aritm etica modular. - personal.us.espersonal.us.es/lcamacho/transparenciaspractica6.pdf · d gitos...

Dıgitos de control.Test de Primalidad

Algoritmo para calcular ar mod nCriptografıa

Aritmetica Modular.personal.us.es/lcamacho

Luisa M. Camacho

Luisa M. Camacho Aritmetica Modular.

1 Dıgitos de control.NIFISBNNumero de cuenta corriente

2 Test de Primalidad

3 Algoritmo para calcular ar mod n

4 CriptografıaSistema RSA

NIFISBNNumero de cuenta corriente

La letra del NIF se obtiene reduciendo el numero del DNI modulo 23 yaplicando al resultado la siguiente tabla

0 −→ T 6 −→ Y 12 −→ N 18 −→ H1 −→ R 7 −→ F 13 −→ J 19 −→ L2 −→ W 8 −→ P 14 −→ Z 20 −→ C3 −→ A 9 −→ D 15 −→ S 21 −→ K4 −→ G 10 −→ X 16 −→ Q 22 −→ E5 −→ M 11 −→ B 17 −→ V

Ejemplo

Queremos averiguar un dıgito del siguiente NIF: 56.7x5.779-H.Calculamos en Z23:

567 · 100000 + x · 10000 + 5779 ≡ 15 · 19 + x · 18 + 6 ≡⇓

≡ 9 + 18x+ 6 ≡ 18x+ 15 ≡⇓≡ 18

Queremos resolver la congruencia: 18x+ 15 ≡ 18 (mod 23).

18x+ 15 ≡ 18 (mod 23)⇔ 18x ≡ 3 (mod 23)⇔

6x ≡ 1 (mod 23)⇔ x ≡ 4(mod23)

Ası el numero que falta es el 4.

Ejemplo

Queremos averiguar un dıgito del siguiente NIF: 56.7x5.779-H.Calculamos en Z23:

567 · 100000 + x · 10000 + 5779 ≡ 15 · 19 + x · 18 + 6 ≡⇓

≡ 9 + 18x+ 6 ≡ 18x+ 15 ≡⇓≡ 18

Queremos resolver la congruencia: 18x+ 15 ≡ 18 (mod 23).

18x+ 15 ≡ 18 (mod 23)⇔ 18x ≡ 3 (mod 23)⇔

6x ≡ 1 (mod 23)⇔ x ≡ 4(mod23)

Ası el numero que falta es el 4.

El ISBN (International Standard Book Number) es un numero de 10 cifras queidentifica, de forma unica, cualquier libro editado en el mundo.Los diez dıgitos estan repartidos en cuatro bloques:

x1x2 − x3x4x5x6 − x7x8x9 − x10

1 El primero es un indicativo geografico. A Espana le corresponde el 84.

2 El segundo bloque corresponde a la editorial.

3 El tercer bloque corresponde al libro (dentro de la editorial).

4 El ultimo bloque (un dıgito) lo constituye un dıgito de control que secalcula de la siguiente forma:

x10 = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 + 7x7 + 8x8 + 9x9 mod 11

(si x10 = 10 el dıgito de control se sustituye por la letra “X”).

En otras palabras: x10 =

9∑i=1

i · xi mod 11

x1x2 − x3x4x5x6 − x7x8x9 − x10

x10 = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 + 7x7 + 8x8 + 9x9 mod 11

9∑i=1

i · xi mod 11

x1x2 − x3x4x5x6 − x7x8x9 − x10

x10 = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 + 7x7 + 8x8 + 9x9 mod 11

9∑i=1

i · xi mod 11

x1x2 − x3x4x5x6 − x7x8x9 − x10

x10 = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 + 7x7 + 8x8 + 9x9 mod 11

En otras palabras: x10 =9∑i=1

i · xi mod 11

Numero de cuenta corriente

Entidad︷︸︸︷1234 −−

Oficina︷︸︸︷5678 −−

D ıgitos de control

00︸︷︷︸ −−N o de cuenta︷︸︸︷0123456789

Dichos dıgitos de control se calculan de la siguiente forma:

1 Si la entidad y la oficina vienen determinadas por ABCD-EFGH elprimer dıgito de control viene dado por

7A+ 3B + 6C + 1D + 2E + 4F + 8G+ 5H mod 11

si el resultado fuese 10, ponemos un 1.

2 El segundo dıgito controla el numero de cuenta ABCDEFGHIJ yviene determinado por

10A+ 9B + 7C + 3D + 6E + 1F + 2G+ 4H + 8I + 5J mod 11

y tambien pondremos un 1 si el resultado es 10.

Entidad︷︸︸︷1234 −−

Oficina︷︸︸︷5678 −−

00︸︷︷︸ −−N o de cuenta︷︸︸︷0123456789

7A+ 3B + 6C + 1D + 2E + 4F + 8G+ 5H mod 11

10A+ 9B + 7C + 3D + 6E + 1F + 2G+ 4H + 8I + 5J mod 11

Entidad︷︸︸︷1234 −−

Oficina︷︸︸︷5678 −−

00︸︷︷︸ −−N o de cuenta︷︸︸︷0123456789

7A+ 3B + 6C + 1D + 2E + 4F + 8G+ 5H mod 11

10A+ 9B + 7C + 3D + 6E + 1F + 2G+ 4H + 8I + 5J mod 11

Test de Primalidad

Test de primalidad de Wilson:Se basa en la siguiente propiedad

p es primo ⇔ (p− 1)! + 1 ≡ 0 (mod p)

Test de pseudoprimalidad de Fermat:Se basa en la siguiente propiedad

si p primo y a un entero positivo ⇒ ap ≡ a (mod p).

Aplicacion test de base a

1 Elegir un entero positivo a, al que se denomina la base del test.Basta con utilizar bases que sean numeros primos menores o igualesque p, (normalmente se empieza con a = 2).

2 Calcular ap mod p.

3 Si el resultado no es a entonces p no es primo (se dice que p no hapasado el test en base a)

4 Si el resultado es a entonces p podrıa ser primo o podrıa no serlo(en ese caso se dice que p es pseudoprimo para la base a). En esecaso elegimos una nueva base a y repetimos el proceso.

Calcular ar mod n

Leer a, r y n.Hacer x = 1, i = 1, A = a, R = r,Mientras R sea distinto de cero hacer

Mientras R sea par, haceri = i+ 1R = R/2A = mod(A2, n)Fin mientras

i = i+ 1R = R− 1A = Ax = mod(x ∗A,n)

Fin mientrasDevuelve x.

Sistema RSA

Criptografıa

Paso previo:Convertir el mensaje a modo numerico. Es decir, representamos cadaletra (incluyendo espacios y signos de puntuacion) por un numero.

Numeramos las letras del alfabeto (en la practica, los 256 codigos ASCII)

t = 00 A = 01 B = 02 C = 03 D = 04 E = 05 F = 06G = 07 H = 08 I = 09 J = 10 K = 11 L = 12 M = 13

N = 14 N = 15 O = 16 P = 17 Q = 18 R = 19 S = 20T = 21 U = 22 V = 23 W = 24 X = 25 Y = 26 Z = 27

Sistema RSA

Criptografia

Mensaje (en modo numerico)

↓clave para cifrar

↓Mensaje cifrado

↓clave para descifrar

↓Mensaje descifrado

Sistema RSA

Criptografıa

Criptografıa simetrica: la clave para cifrar es la misma quepara descifrar.(Son menos seguros).

Criptografıa asimetrica: las claves para cifrar y descifrar sondistintas.Por ejemplo: sistema RSA.

Sistema RSA

A quiere enviar un mensaje a B

Mensaje (en modo numerico) separado en palabras de igual longitud r

↓clave publica de B

(conocida por todos)↓

Mensaje cifrado↓

clave privada de Bsolo la conoce B

↓Mensaje descifrado

Sistema RSA

Sistema RSA: claves

La clave publica

La clave publica de B es conocida por todos, consta de dosnumeros (n, e) cumpliendo:

e debe ser coprimo con φ(n)

Sistema RSA

Sistema RSA: claves

La clave privada

La clave privada de B solo la conoce B, es la pareja (n,d) siendod el inverso de e modulo φ(n), es decir d es la solucion de

d · e ≡ 1 modφ(n)

(observese que el inverso siempre existe porque hemos elegido epara que sea coprimo con φ(n))

Importante: para que realmente la clave privada sea secretadebemos elegir n muy grande, ası sera practicamente imposiblecalcular φ(n).

Sistema RSA

Sistema RSA: cifrado y descifrado

Clave publica (n, e)Clave privada (n,d)

}con e · d ≡ 1 modφ(n)

Cifrar: sea N una de las palabras del mensaje, cifraremos Nsustituyendola por C:

C = N e modn

Descifrar: sea C una de las palabras del mensaje cifrado, haremos

C d modn

Comprobacion:

Cd = (Ne)d = N1+mφ(n) = N ·(Nφ(n))m T.E.≡ N modn,

(T.E. = Teorema de Euler, para eso necesitabamos que n sea coprimo contodas las palabras N)

Sistema RSA

RSA: ejemplo de cifrado

Para simplificar los calculos utilizaremos simplemente un alfabeto de 8 caracteres (7 letras y el espacio):

t E M N O P R S0 1 2 3 4 5 6 7

Le queremos enviar el mensaje NO ME ESPERES a una persona cuya clave publica es (n, e) = (101, 67).

Convertimos en mensaje a modo numerico, separando en palabras de igual longitud, en este caso porejemplo seran de longitud r = 2.

34− 02− 10− 17− 51− 61− 70

Ciframos cada palabra:

3467 ≡ 61 mod 101 0267 ≡ 26 mod 101 1067 ≡ 91 mod 101 1767 ≡ 14 mod 101

5167 ≡ 35 mod 101 6167 ≡ 94 mod 101 7067 ≡ 21 mod 101

El mensaje cifrado es:61− 26− 91− 14− 35− 94− 21

Sistema RSA

RSA: la firma

La firma es una palabra F que se utiliza para evitar que alguien pueda enviarun mensaje haciendose pasar por nosotros.

Si A desea enviar un mensaje con firma a B codificara su firma dos veces:

primero con la clave privada de A,

y despues con la clave publica de B

Ası nadie puede hacerse pasar por A, puesto que solo el sabe su clave privada.

Para decodificarla, B debe usar

primero la clave privada de B,

y despues la clave publica de A.

aritm etica modular. - personal.us.espersonal.us.es/lcamacho/transparenciaspractica6.pdf · d gitos...

Documents