Disciplina  ENG04404  –  Ondas  Eletromagnéticas   Versão:  31  de  maio  de  2013  1  

SERVIÇO  PÚBLICO  FEDERAL  MINISTÉRIO  DA  EDUCAÇÃO  

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LISTA  DE  EXERCÍCIOS  Nº  2  

 

Problemas  

1)   O   campo   elétrico   de   uma   onda   eletromagnética   possui   duas   componentes   linearmente   polarizadas,  sendo   uma   na   direção   𝑥   e   outra   na   direção   𝑦.   A   onda   eletromagnética   propaga-­‐se   na   direção   𝑧.   As  amplitudes  do  campo  elétrico  nas  direções  𝑥  e  𝑦  são  respectivamente  𝐸!"  e  𝐸!".  A  onda  eletromagnética  em   questão   depende   harmonicamente   do   tempo   e   das   coordenadas   espaciais.   Considerando   que   os  campos   elétricos   em   cada   uma   das   direções   estão   defasados   por   certa   quantidade   𝛿,   determine   (a)   a  equação   que   descreve   o   locus   do   vetor   campo   elétrico   no   plano  𝑥𝑦.   (b)   Qual   é   a   geométrica   da   região  descrita  pelo  vetor  campo  elétrico  ao  longo  do  tempo?  (c)  O  que  ocorre  se  a  amplitude  𝐸!" → 0?  (d)  E  se  𝐸!" → 0?   Considere   então   que   𝐸!" = 𝐸!".   (e)   Se   𝛿 → 0,   há   alteração   no   tipo   de   polarização   da   onda  eletromagnética?   Disserte.   (f)   Se   𝛿 = ±𝜋/2,   quais   são   as   polarizações   assumidas   pela   onda  eletromagnética?  Discorra  em  detalhe.  

 

2)   Uma   onda   eletromagnética   plana   linearmente   polarizada   incide   de   forma   normal   em   uma   interface  existente  entre  um  meio  1  e  um  meio  2.  A   impedância  do  meio  1  é  𝑍!   e   a   impedância  do  meio  2  é  𝑍!.  Ambos  os  meios  são  ilimitados.  (a)  Esboce  o  plano  de  incidência  e  determine  os  coeficientes  de  transmissão  𝜏  e   reflexão  𝜌  para  o  campo  elétrico  𝐄.  Obtenha  os  campos   (b)  elétricos  e   (c)  magnéticos   transmitidos  e  refletidos   em   termos   dos   coeficientes   de   Fresnel   associados   ao   campo   elétrico   𝐄.   (d)   Há   impacto   nos  resultados  caso  a  onda  eletromagnética   incidente  seja  perpendicularmente  ou  paralelamente  polarizada?  Disserte.  

 

3)   No   âmbito   do   sistema   físico   descrito   no   problema   nº   2,   mediante   o   mesmo   plano   de   incidência  esboçado,  determine  (a)  os  coeficientes  de  transmissão  𝜏  e  reflexão  𝜌  para  o  campo  magnético  𝐇.  Obtenha  os  campos   (b)  elétricos  e   (c)  magnéticos   transmitidos  e   refletidos  em  termos  dos  coeficientes  de  Fresnel  associados  ao  campo  magnético  𝐇.    

4)   Ainda   no   contexto   do   sistema   físico   descrito   no   problema   nº   2,   determine   o   vetor   de   Poynting   𝐒  associado   à   onda   eletromagnética   (a)   incidente,   (b)   refletida   e   (c)   transmitida.   (d)   O   Princípio   da  Conservação   de   Energia   é   satisfeito?   Disserte   a   respeito.   Adote   na   presente   análise   os   coeficientes   de  Fresnel  para  o  campo  elétrico  𝐄  e  magnético  𝐇  obtidos  nos  problemas  anteriores.  

 

5)  Reobtenha  e  reanalise  os  resultados  auferidos  nos  problemas  nº  2,  nº  3  e  nº  4  quando  (a)  𝑍! ≫ 𝑍!,  (b)  𝑍! ≪ 𝑍!  e  (c)  𝑍! = 0,  discorrendo  em  detalhe  a  respeito  de  cada  caso.  (d)  Há  algum  sistema  físico  limitado  ao  qual  a  situação  ilimitada  enunciada  no  problema  2)  é  análoga?  Disserte.  

 

6)  Uma  onda   eletromagnética   plana   incide   obliquamente   em  uma   interface   estabelecida   por   dois  meios  distintos   e   infinitos.   Os   meios   comportam-­‐se   como   dielétricos   perfeitos   e   a   onda   eletromagnética   em  propagação  possui  polarização  perpendicular.  As   impedâncias  dos  meios  nos  quais  se  propagam  as  ondas  

           

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incidente   e   transmitida   são   respectivamente   𝑍!   e   𝑍!.   Nestes   termos,   (a)   esboce   o   plano   de   incidência  associado  ao  problema  em  questão.  Determine  então   (b)  o  coeficiente  de   reflexão  𝜌!  e  o  coeficiente  de  transmissão  𝜏!.  Adicionalmente,  quantifique  (c)  o  ângulo  de   incidência  crítico  𝜃!"  a  partir  do  qual  e   (d)  o  ângulo   de   Brewster   𝜃!"   no   qual   respectivamente   a   onda   eletromagnética   é   completamente   refletida   e  transmitida.  Disserte  a  respeito  dos  resultados.  A  quais  expressões  as  calculadas  anteriormente  se  reduzem  caso  individualmente  (e)  𝜇! = 𝜇!  e  (f)  𝜖! = 𝜖!?  Analise  e  discorra.    

7)   No   âmbito   do   sistema   físico   descrito   no   problema   nº   6,   mediante   o   mesmo   plano   de   incidência  esboçado,   determine   (a)   os   coeficientes   de   transmissão   𝜏!   e   reflexão   𝜌!   para   o   campo   magnético  𝐇.  Obtenha  os  campos  (b)  elétricos  e  (c)  magnéticos  transmitidos  e  refletidos  em  termos  dos  coeficientes  de  Fresnel  associados  ao  campo  magnético  𝐇.    

8)   Ainda   no   contexto   do   sistema   físico   descrito   no   problema   nº   6,   determine   o   vetor   de   Poynting   𝐒  associado   à   onda   eletromagnética   (a)   incidente,   (b)   refletida   e   (c)   transmitida.   (d)   O   Princípio   da  Conservação   de   Energia   é   satisfeito?   Disserte   a   respeito.   Adote   na   presente   análise   os   coeficientes   de  Fresnel  para  o  campo  elétrico  𝐄  e  magnético  𝐇  obtidos  nos  problemas  anteriores.  

 

9)  Reobtenha  e  reanalise  os  resultados  auferidos  nos  problemas  nº  6,  nº  7  e  nº  8  quando  (a)  𝑍! ≫ 𝑍!,  (b)  𝑍! ≪ 𝑍!  e  (c)  𝑍! = 0,  discorrendo  em  detalhe  a  respeito  de  cada  caso.  (d)  Há  algum  sistema  físico  limitado  ao  qual  a  situação  ilimitada  enunciada  no  problema  2)  é  análoga?  Disserte.  

 

10)  Uma  onda  eletromagnética  plana   incide  obliquamente  em  uma   interface  estabelecida  por  dois  meios  distintos   e   infinitos.   Os   meios   comportam-­‐se   como   dielétricos   perfeitos   e   a   onda   eletromagnética   em  propagação   possui   polarização   paralela.   As   impedâncias   dos   meios   nos   quais   se   propagam   as   ondas  incidente   e   transmitida   são   respectivamente   𝑍!   e   𝑍!.   Nestes   termos,   (a)   esboce   o   plano   de   incidência  associado  ao  problema  em  questão.  Determine  então   (b)  o   coeficiente  de   reflexão  𝜌∥   e  o   coeficiente  de  transmissão  𝜏∥.  Adicionalmente,  quantifique   (c)  o  ângulo  de   incidência   crítico  𝜃!"   a  partir  do  qual  e   (d)  o  ângulo   de   Brewster   𝜃!"   no   qual   respectivamente   a   onda   eletromagnética   é   completamente   refletida   e  transmitida.  Disserte  a  respeito  dos  resultados.  A  quais  expressões  as  calculadas  anteriormente  se  reduzem  caso  individualmente  (e)  𝜇! = 𝜇!  e  (f)  𝜖! = 𝜖!?  Analise  e  discorra.    

11)   No   âmbito   do   sistema   físico   descrito   no   problema   nº   10,   mediante   o   mesmo   plano   de   incidência  esboçado,   determine   (a)   os   coeficientes   de   transmissão   𝜏∥   e   reflexão   𝜌∥   para   o   campo   magnético   𝐇.  Obtenha  os  campos  (b)  elétricos  e  (c)  magnéticos  transmitidos  e  refletidos  em  termos  dos  coeficientes  de  Fresnel  associados  ao  campo  magnético  𝐇.    

12)   Ainda   no   contexto   do   sistema   físico   descrito   no   problema   nº   10,   determine   o   vetor   de   Poynting   𝐒  associado   à   onda   eletromagnética   (a)   incidente,   (b)   refletida   e   (c)   transmitida.   (d)   O   Princípio   da  Conservação  de  Energia   é   satisfeito?  Disserte   a   respeito.  Adote  os   coeficientes  de   Fresnel   para  o   campo  elétrico  𝐄  e  magnético  𝐇  obtidos  nos  problemas  anteriores  na  presente  análise.  

           

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13)   Continuando   no   âmbito   do   problema   nº   10,   obtenha   (a)   a   relação   existente   entre   o   ângulo   de  incidência  crítico  𝜃!"  e  o  ângulo  de  Brewster  𝜃!"  para  meios  não-­‐magnéticos.  Esboce  graficamente   (b)   tal  ângulo  de  incidência  crítico  𝜃!"  e  (c)  tal  ângulo  de  Brewster  𝜃!".  Disserte.    

14)  Reobtenha  e  reanalise  os  resultados  auferidos  nos  problemas  nº  10,  nº  11  e  nº  12  quando  (a)  𝑍! ≫ 𝑍!,  (b)  𝑍! ≪ 𝑍!   e   (c)  𝑍! = 0,   discorrendo   em   detalhe   a   respeito   de   cada   caso.   (d)   Há   algum   sistema   físico  limitado  ao  qual  a  situação  ilimitada  enunciada  no  problema  2)  é  análoga?  Disserte.  

 

15)   Obtenha   as   expressões   que   vinculem   os   campos   elétrico   𝐄   e   magnético   𝐇   normais   existentes   na  interface  dos  sistemas  físicos  descritos  nos  (a)  problema  nº  2,  (b)  problema  nº  6  e  (c)  problema  nº  10.  (c)  As  equações  obtidas  nos   itens  anteriores   fornecem   informações  adicionais  às  providas  por  aquelas  oriundas  dos  campos  tangenciais  à  interface?  Discorra.  

 

16)  Uma  eletromagnética  plana   incide  sobre  uma  interface  estabelecida  por  dois  meios  com  impedâncias  distintas.  O  ângulo  de  incidência  𝜃!  em  questão  é  aquele  no  qual  o  coeficiente  de  reflexão  é  nulo.  Sendo  𝜃!  o  ângulo  com  a  qual  a  onda  eletromagnética  em  análise  é  refratada,  determine  o  ângulo  𝜃′ ≡ 𝜃! + 𝜃!  na  condição  de  polarização  (a)  perpendicular  descrita  no  problema  nº  6  e  (b)  paralela  descrita  no  problema  nº  10.  Discorra  sobre  os  resultados  obtidos.  (c)  Subsidie  fisicamente  as  expressões  matemáticas  auferidas  nos  itens  anteriores.  

 

17)   Considere   que   𝜃   seja   um   ângulo   que   pertence   ao   conjunto   dos   número   complexos   ℂ.   Portanto,  𝜃 = 𝜃! + 𝑗𝜃!.  Neste   contexto,   determine   (a)  cos  (𝜃)   e   (b)   sen(𝜃).   Se  cos 𝜃 = 𝑗𝐴,   com  𝐴 ∈ ℝ,   obtenha  então  (c)  sen(𝜃),   (d)  𝜃!  e   (e)  𝜃!.  Analise  e  discorra  sobre  o  tema.   (f)  Os  resultados  anteriores  podem  ser  estendidos  à  reflexão  total?  Disserte  e  obtenha  o  ângulo  de  transmissão  𝜃!  nesta  situação.    

18)   As   propriedades   eletromagnéticas   da   atmosfera   variam   ao   longo   de   suas   diversas   camadas.   As  variações   mais   significativas   ocorrem   na   direção   vertical   à   superfície   terrestre.   Considerando   esta  dependência,  obtenha  o  ângulo  𝜙  mediante  o  qual  um  evento  eletromagnético  muito  distante  no  universo  é   observado   na   superfície   terrestre   quando   o   teor   esférico   natural   da   terra   é   (a)   desprezado   e   (b)  considerado   na   condição   de   aproximação   Gaussiana.   Balize   a   análise   em   relação   ao   ângulo   azimutal  verdadeiro   𝜃,   ângulo   este   mediante   o   qual   a   onda   eletromagnética   incide   na   camada   mais   externa   da  atmosfera.  Disserte  a  respeito  dos  resultados.  

 

19)   A   densidade   superficial   de   potência   transportada   em   média   por   uma   onda   eletromagnética   é  denominada  de  intensidade  

𝐼 ≡1𝑇

𝑆𝑑𝑡!

!  

sendo  𝑆  o  módulo  do  vetor  de  Poynting  𝐒  associado  e  𝑇  o  período  da  onda  eletromagnética.  Na  situação  de  polarização  perpendicular  descrita  no  problema  nº  6,  em  função  da  geometria  do  plano  de  incidência  e  das  

           

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características  eletromagnéticas  dos  meios,  determine  (a)  a  fração  de  intensidade  refletida  𝑅! ≡ 𝐼!/𝐼!  e  (b)  a  fração  de  intensidade  transmitida  𝑇! ≡ 𝐼!/𝐼!.  (c)  A  intensidade  refletida  𝑅!  pode  ser  expressa  em  termo  de  𝑇!?   Demonstre.   (d)   O   resultado   obtido   no   item   (c)   imediatamente   anterior   satisfaz   a   o   Princípio   de  Conservação  de  Energia?  

 

20)  Suponha  que  a  onda  eletromagnética  então  esteja  paralelamente  polarizada  com  relação  ao  plano  de  incidência   tal   como   descreve   o   problema   nº   10.   Em   função   da   geometria   do   plano   de   incidência   e   das  características  eletromagnéticas  dos  meios,  determine  (a)  a  fração  de  intensidade  refletida  𝑅∥  e  (b)  a  fração  de   intensidade   transmitida   𝑇∥.   (c)   A   intensidade   refletida   𝑅∥   pode   ser   expressa   em   termo   de   𝑇∥?  Demonstre.  (d)  O  resultado  obtido  no  item  (c)  satisfaz  a  o  Princípio  de  Conservação  de  Energia?  Adote  as  definições  enunciadas  no  problema  nº  19.