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Eng. de Produção
Introdução à Teoria das Filas
Prof. Ricardo Villarroel Dávalos – [email protected]
Fpolis, Abril de 2010
Prof. Ricardo Villarroel Dávalos – [email protected]
Fpolis, Abril de 2010
IntroduçãoDisciplinas das filas
População de clientes
λ e IC
TF = f (λ , µ )
µ e TAc
Variáveis aleatórias
Localização das variáveis aleatórias
NS=Numero Médio de Clientes no SistemaNF=Número Médio de Clientes na FilaNA=Número Médio de Clientes atendidosNS = NF + NA (Número médio de clientes no sistemaTS = TF + TA (Tempo médio de permanência no sistema
C
Dinâmica de uma fila
1 2 3 4 5 6 7S1
00,1250,25
0,3750,5
0,6250,75
0,875
1
Núm
ero
alea
tóri
o
Tempo de Chegada
5 6 7 8Tempo
1 2 3 4 5 6
S1
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Núm
ero
alea
tóri
o
Tempo
Tempo de atendimento
Dinâmica de uma fila
Dinâmica de uma fila – Distribuições estatísticas
Dinâmica de uma fila – Distribuições estatísticas
Estas duas distribuições são utilizadas na teoria das filas para representar os tempos de chegada e de atendimento
Modelos de filasKendall define os modelos de fila:
Modelo de fila A/B/c/K/m/Zonde:
A = distribuição dos intervalos entre chegadasB = distribuição dos tempo de serviçoc = quantidade de servidores (atendentes)c = quantidade de servidores (atendentes)K = capacidade max. do sistema (NS máximo)m = tamanho da populaçãoZ = disciplina da fila
Modelos de filasNa notação de Kendall define os Valores de A e B dependem do tipo de distribuição.M: Exponencial ou Poisson (Denominadas Marcovianas)Em: Erlang de estágio mHm: Hiper-exponencial de estágio mDeterminísticaDeterminísticaOutrosPor exemplo: M/E2/5/20/∞/Randômico -> A/B/c/K/m/ZSignifica: Chegada Marcoviana, Atendimento Erlang de segundo grau, 5 atendentes, capacidade máxima do sistema igual a 20 clientes, população infinita e atendimento ranômico (aleatório)
O Modelo M/M/1: População População Infinita
λ λ
População (infinita)
Modelo de fila M/M/1
O modelo de fila M/M/1
• A notação condensada A/B/c é muito usada e se supõe que não há limite para o tamanho da fila, a população é infinita e a disciplina é FIFO.
• Para A e B, quando a distribuição for Exponencial negativa ou Poisson, usa-se M (Marcoviana).
• O modelo de fila M/M/1 que tanto as chegadas quanto o • O modelo de fila M/M/1 que tanto as chegadas quanto o atendimento são Marcovianos, i.e., seguem a distribuição de Poisson (p/ ritmos) ou Exponencial negativa (p/ intervalos). Além disso, existe apenas um servidor.
λ λ
Função Distribuição de Probabilidade Poisson
Função de distribuição de probabilidade Exponencial Negativa
Função densidade
Função cumulativa
Um processo de Marcovianoconsiste num conjunto de objetos e num conjunto de estados tais que:
• Em qualquer instantecada objetodeve estar num estado(objetos distintos não estão necessariamente em estados diferentes); e
Processos Marcovianos
diferentes); e • A probabilidadede que um objetopasse de um estado para
outronum período de tempo depende apenas desses dois estados.
O Modelo M/M/1: População Infinita:
Uma empresa deseja contratar um reparador para efetuar manutenção em suas máquinas, que estragam a um ritmo de 3 falhas por hora. Para tal possui duas opções: um reparador lento, que é capaz de consertar a um ritmo de 4 falhas por hora ou um reparador rápido, que é capaz de consertar a um ritmo médio de 6 falhas por hora. O salário/hora do reparador lento é $3,00 e do reparador rápido é $5,00. O custo de uma máquina parada é $5,00. Pede-se qual a contratação que deve ser efetuada para que o custo total (reparador mais máquinas paradas) seja mínimo?Reparador Lento
NS = λ/(µ - λ) = 3/(4-3) = 3 máquinas
Exemplo 3
NS = λ/(µ - λ) = 3/(4-3) = 3 máquinasCusto das máquinas = 3* 5 = $ 15,00Custo do reparador = $ 3,00 Custo total = $ 18,00
Reparador rápidoNS = λ/(µ -λ) = 3/(6-3) = 1 máquinasCusto das máquinas = 1* 5 = $ 5,00Custo do reparador = $ 5,00 Custo total = $ 10,00
Comparando, vemos que o reparador rápido, apesar de ter um custo maior, implica um custo total menor.
Em um sistema de filas seqüenciais, conforme figura a seguir,calcule as filas que se formam em cada servidor.
Exemplo 4
Fila λ µ NF
Fabricação 10 15 1,54
Inspeção 10 30 0,17
Reparo 2 20 0,01
Para encontrar o NF foi utilizada NF = λ2 / µ(µ-λ)
O Modelo M/M/1/k : M/M/1/k : População Finita
λ λ
População k (finita)
Modelo de fila M/M/1/k
O Modelo M/M/1/k: População Finita
Tendo em vista a complexidade matemática destes modelos não iremos nos estender nesta abordagem e tambémnos estender nesta abordagem e tambémnão teremos exemplos deste tipo de modelo de fila (M/M/1/k).
O Modelo M/M/c: População InfinitaInfinita
λ λ
População Infinita
C = 2
Modelo de fila M/M/2
Representa uma única fila e diversos servidores e, tanto a chegada como o atendimento são Marcovianos (isto é, seguem a Distribuição de Poisson ou da Distribuição Exponencial Megativa).
O modelo de fila M/M/c
Para um sistema que tem a estrutura da figura a anterior são válidas as definições estudadas anteriormente (λ, µ, IC = 1/λ, TA e c = capacidade de atendimento).
As fórmulas para o modelo M/M/c são complexas e difíceis de serem manipuladas e, assim a preferência generalizada é pelo uso de gráficos. A seguir uma ilustração destes gráficos.
O modelo de fila M/M/c
O Modelo M/M/c: População Infinita
Exemplo 1
Uma fábrica possui um depósito de ferramentas onde os operários vãoreceber as ferramentas especiais para a realização de uma determinadatarefa. Verificou-se que o ritmo de chegada (λ = 1 chegada/minuto) e oritmo de atendimento(µ=1,2 atendimentos por minuto) seguem omodelo Marcoviano. A fábrica paga $9,00 por hora ao atendente e$18,00 ao operário. Pede-se: Acrescentar diversos atendentes atéchegar ao custo mínimo.
a) Modelo M/M/1 (c=1): Custo Total = Custo horário do(s) atendente (s)+ custo horário dos operários(na fila sendo atendidos pelo(s) servidor(es), pois não estão produzindo em seus postos de trabalho.) ρ = λ /µ = 1/1,2 = 0,833NS = λ/(µ - λ) = 1/(1,2 -1) = 5 Custo Total = Custo do atendente + Custo operários
= 9 + 5* 18 = $ 99,00
b) Modelo M/M/2 (c=2): Custo Total = Custo horário do(s) atendente (s)+ custo horário dos operáriosρ = λ /cµ = 1/1,2*2 = 0,416NS = 1 (veja tabela) Custo Total = Custo do atendente + Custo operários
= 2*9 + 18 = $ 36,00= 2*9 + 18 = $ 36,00
c ρ NS Custo dos atendentes [$]
Custo dos operários [$]
Custo total [$]
1 0,833 5 9 90 99
Para 3, 4 e 5 o cálculo do custo total é realizado de formaanáloga ao anterior e os resultados se encontram na tabelaa seguir
2 0,417 1 18 18 36
3 0,277 0,7 27 12,6 39,6
4 0,208 0,6 36 10,8 46,8
5 0,167 0,59 45 10,62 55,62
Ver Gráfico
Exemplo 2
No sistema de filas seqüenciais descrito na figura abaixo, admita que o ritmo de chegada tenha crescido para λ=25 peças por minuto, calcule a quantidade de servidores de cada estação de trabalho tal que o tamanho da fila correspondente (NF) seja menor que 1.
Exemplo 2
/ µ(µ
-λ)
25*2
5/30
(30-2
5)
CFabricação λ=25 e µ=15
Inspeçãoλ=25 e µ=30
Reparo λ=(0.2)*25 e µ=20
ρ NF ρ NF Ρ NF
1 - 0,83 4,16 0,25 0,09
2 0,83 3,5 0,41 0,2
3 0,55 0,5
NF
= λ
2
25*2
5/30
(30
Ver gráfico
3,5
Modelo M/M/2 (c=2): ρ = λ /cµ = 25/15*2 = 0,833NS = 3,5 (veja gráfico)
CFabricação λ=25 e µ=15
Inspeçãoλ=25 e µ=30
Reparo λ=(0.2)*25 e µ=20
ρ NF ρ NF Ρ NF
1 - 0,83 4,16 0,25 0,09
2 0,83 3,5 0,41 0,2
Conclusão: A quantidade de servidores que atende à solicitação é:
Produção = 3; Inspeção 2 e Reparo = 1.
3 0,55 0,5
O Modelo M/M/c: População Finita
λ λ
População Finita
C = 2
Modelo de fila M/M/2/k
O Modelo M/M/c/k: População Finita
Analogamente as considerações anteriores para a populaçãofinita com um único atendente, podemos afirmar que tambémaqui ocorre o mesmo.É comum encontrarmos situações de múltiplos atendentes compopulação finita.A tabela a seguir apresenta as fórmulas das diferentes variáveis.
O Modelo M/M/1/k: População Finita
O Modelo M/M/1/k: População Finita
Tendo em vista a complexidade matemática, não iremos nos estender nesta abordagem, a qual pode, entretanto, ser vista com simplicidade na técnica simulação de sistemas
O Modelo M/M/1/k: População Finita
que será abordada no próximo capítulo
• O modelo M/Em/cas chegadas seguem uma distribuição POISSONe o atendimento segue uma distribuição ERLANG de grau m.
• Os pesquisadores comentam que este modelo apresenta melhores resultados que o modelo
O Modelo M/Em/c: População Infinita
apresenta melhores resultados que o modelo M/M/c.
• Apresentam uma complexidade matemáticae ocálculo dos diferentesparâmetros de uma filapodem serapoiados por gráficos.
• A Teoria das Filas foi criada por A. K. Erlang e esta funçãoleva seu nome como homenagem.
Distribuição do tipo Erlang
Tendo em vista a complexidade matemática, não iremos nos estender nesta abordagem, a qual pode, entretanto, ser vista com simplicidade na técnica simulação de sistemas
O Modelo M/Em/c: População Infinita
que será abordada no próximo capítulo
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS
� O processo da Simulação
� Coleta e preparação de dados
� Estabelecimento dos objetivos
� Construção e formulação de modelos.
� Tradução do modelo
� Experimentação
� Análise e interpretação
SIMULAÇÃO DE SISTEMAS
Identificação do Problema
Estabelecimento dos objetivos
Formulação do modelo
Validação ?
Não
SimModificação do modelo
Experimentação einterpretação dos resultaos
Conclusão e implementação
Não
Sim
• Foram apresentados diversos softwares de Simulaçãoe outros que apóiam a Teoria das Filasno Exercício 1;Filasno Exercício 1;
• A partir da próxima aula estudaremos SIMULAÇÃOcom o apoio da ferramenta ARENA
1. PROMODEL � Eduardo
2. FLEXSIM � Mateus
3. EXTEND � Ezequiel
4. MICROSAINT �Alexandre
5. SCIFORMA PROCESS � Cleber
6. SIMPROCESS � Dyeison
7. GOLDSIM � Rubmar
8. CRYSTAL BALL � Sara
Exercício 1: Item 3 (softwares) Exercício 1: Item 3 (softwares)
8. CRYSTAL BALL � Sara
9. IBM WebSphere Business Modeler Advanced � Lucas
10. Oracle Business Process Management � Gerônimo
11. TIBCO � Wilson
12. BIZAGI � Priscila
13. AUTOMOD � Fabio
14. VISSIM � Gilson
15. STELLA � Guilhermo
16. Aris Express � Murilo
17. Software AG
16. Aris Express � Murilo17. Software AG18. Dymola19. AnyLogic � Daniel20. EcoSimPro21. SimCreator � Monique
Exercício 1: Item 3 (softwares) Exercício 1: Item 3 (softwares)
21. SimCreator � Monique22. SimLox23. SIMSCRIPT III24. SIMUL 8 � Gabriel
UMA COLEÇÃO DE FERRAMENTAS DE SIMULAÇÃO
Exercício 2: Itens 9 e 10
7/04/2010
Exercício 2: Item 9Exercício 2: Item 9
Uma fábrica possui um depósito de ferramentas onde os operários vãoreceber as ferramentas especiais para a realização de uma determinada tarefa.Verificou-se que o ritmo de chegada (λ = 1,2 chegada/minuto) e o ritmo deatendimento(µ=1,6 atendimentos por minuto) seguem o modelo Marcoviano.A fábrica paga $69,00 por hora ao atendente e $99,00 ao operário. Pede-se:Acrescentar diversos atendentes até chegar ao custo mínimo.
c ρ NS Custo dos atendentes [$]
Custo dos operários [$]
Custo total [$]
1
2
3
4
5
Exercício 2: Item 10Exercício 2: Item 10
No sistema de filas seqüenciais descrito na figura abaixo, admita que o ritmo de chegada tenha crescido para λ=30 peças por minuto, calcule a quantidade de servidores de cada estação de trabalho tal que o tamanho da fila correspondente (NF) seja menor que 1.
CFabricação λ= e µ=
Inspeçãoλ= e µ=
Reparo λ= e µ=
ρ NF ρ NF Ρ NF
1
2
3
4
Prova Escrita da Disciplina: 5/05/20105/05/2010
Matéria : Conteúdo lecionado até uma semana antes da prova
Acompanhamento dos Exercícios