energie molto minori w f la violazione di cp vale per g ... · nel modello standard ... •...
TRANSCRIPT
La Violazione di CP nel Modello Standard
prof. Domenico Galli
Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori Dottorato di Ricerca in Fisica
g
νeW−
e−
µ− g
νµ
Accoppiamento Debole
• I processi leptonici sono i soli processi deboli non contaminati dall’interazione forte.
• Le ampiezze di probabilità per processi a energie molto minori della massa del W sono proporzionali alla Costante di Fermi GF: – Vale per tutti i fermioni eccetto il top.
• La costante g nei vertici è la carica debole: – Adimensionale, di grandezza confrontabile con l’accoppiamento
elettromagnetico √α. • L’elemento di matrice M è proporzionale al prodotto di due
accoppiamenti e un propagatore:
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 2!
M ∝ g−i gµν − tµtν
MW2( )
MW2 − t
g
t = p2µ − p1
µ( ) p2µ − p1µ( )
M = 12 ψνµ
γ µ12 1− γ
5( )ψ µ⎡⎣⎢
⎤⎦⎥ ggµν − tµtν
MW2
MW2 − t
g ψ eγ ν12 1− γ
5( )ψνe⎡⎣
⎤⎦
Accoppiamento Debole (II)
• Se il 4-impulso trasferito t è piccolo: si può approssimare:
• In queste condizioni il 4-impulso trasferito t è troppo piccolo per distinguere i 2 vertici e l’interazione si comporta come una interazione puntiforme di 4 fermioni.
• Costante di Fermi GF:
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 3!
g
νeW−
e−
µ− g
νµ
µ−
νµ
νe
e−GF
M ∝ ggµν − tµtν
MW2
MW2 − t
g g 2
MW2 g
µν , − t MW2
t = p2µ − p1
µ( ) p2µ − p1µ( )
−t MW2
GF =28g 2
MW2 NU( )
GFc( )3
= 28
g 2
MWc2( )2
SI( )
Universalità dell’Accoppiamento Debole
• L’interazione debole in corrente carica ha la stessa costante di accoppiamento per tutti i fermioni: – Questa proprietà è evidente per i leptoni, ma non per i quark.
• Per i 3 decadimenti leptonici in figura si ha:
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 4!
τ− gτ
ge
νe
ντ
W−
e−
τ− gτ
ντ
W− νµ
gµ µ− ge
νeW−
e−
µ− gµ
νµ
Γ τ − → µ−νµντ( )∝ gτ2
MW2
gµ2
MW2 mτ
5
Γ τ − → e−νeντ( )∝ gτ2
MW2
ge2
MW2 mτ
5
Γ µ− → e−νeνµ( )∝ gµ2
MW2
ge2
MW2 mµ
5
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
Γ τ − → µ−νµντ( )Γ τ − → e−νeντ( ) =
gµ2
ge2
ρµ
ρe
Γ µ− → e−νeνµ( )Γ τ − → e−νeντ( ) =
gµ2
gτ2
mµ5
mτ5
ρµ
ρτ
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
Universalità dell’Accoppiamento Debole (II)
• Sperimentalmente si ha: e si ottiene:
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 5!
τ− gτ
ge
νe
ντ
W−
e−
τ− gτ
ντ
W− νµ
gµ µ− ge
νeW−
e−
µ− gµ
νµ
Γ τ − → µ−νµντ( )Γ τ − → e−νeντ( ) =
BR τ − → µ−νµντ( )BR τ − → e−νeντ( )
Γ µ− → e−νeνµ( )Γ τ − → e−νeντ( ) =
1BR τ − → e−νeντ( )
ττ
τ µ
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
gµge
= 1.001± 0.002
gµgτ
= 1.001± 0.003
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
ge = gµ = gτ =def
g (universalità)
L’Accoppiamento ai Quark
• Nel settore dei quark, il bosone W si accoppia con coppie quark-antiquark formate da un quark up-like e un anti-quark down-like.
• I decadimenti in cui cambia la stranezza: sono tuttavia sfavoriti rispetto ai decadimenti in cui non cambia:
• Per esempio il decadimento: è sfavorito rispetto al decadimento:
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 6!
dd
udu
n p
νeW−
e−
udu
du
p
νeW−
e−
u
Λ
s
s→ u ΔF = 1
d→ u ΔF = 0
Λ→ pe−νe ΔF = 1
n→ pe−νe ΔF = 0
L’Accoppiamento ai Quark (II)
• Analogamente il decadimento in cui cambia la stranezza: è sfavorito rispetto al decadimento in cui non cambia:
• Nell’ipotesi dell’universalità gli elementi di matrice sarebbero uguali nei due casi:
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 7!
W−νµ
µ−d
π−
s
W−νµ
µ−
K−
K− → µ−νµ ΔF = 1
π − → µ−νµ ΔF = 0
M ∝GF µLγ ανµL( ) uLγ αsL( )M ∝GF µLγ ανµL( ) uLγ αd L( )
L’Accoppiamento ai Quark (III)
• Nell’ipotesi dell’universalità risulterebbe, per l’estensione in fase:
• Mentre sperimentalmente si ha:
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 8!
W−νµ
µ−d
π−
s
W−νµ
µ−
K−
Γ K− → µ−νµ( )Γ π − → µ−νµ( ) =
mK− 1−
mµ−
mK−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
2
mπ− 1−
mµ−
mπ−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
2 = 8.06
Γ K− → µ−νµ( ) = 1
τK−
BR K− → µ−νµ( ) = 0.64
1.24 ×10−8s−1
Γ π − → µ−νµ( ) = 1
τπ−
BR π − → µ−νµ( ) = 1
2.6 ×10−8s−1
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
Γ K− → µ−νµ( )Γ π − → µ−νµ( ) = 1.34
L’Accoppiamento ai Quark (IV)
• Nell’ipotesi dell’universalità, basandosi sulla vita media del muone: – La vita media del neutrone sarebbe un po’ troppo corta; – La vita media delle particelle strane sarebbe di gran lunga troppo
corta. • Nel settore dei quark, la costante di accoppiamento debole
sembra dipendere dal tipo di processo.
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 9!
W−
l−
νl
gl
W−
d
u
gdu
W−
u
gsus
gl > gdu gsu
Miscelamento di Cabibbo
• Si può trovare un angolo piccolo θC, tale che:
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 10!
gdu = gl cosθCgsu = gl sinθC
W−
l−
νl
gl = g
W−
d
u
gdu = g cos θC
W−
u
sgsu = g sin θC
Γ K− → µ−νµ( )Γ π − → µ−νµ( ) =
mK− 1−
mµ−
mK−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
2
mπ− 1−
mµ−
mπ−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟2⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
2 tan2θC
gl > gdu gsugl > gl cosθC gl sinθC
θC = 12.9º ,cosθC = 0.974,sinθC = 0.221
Miscelamento di Cabibbo (II)
• La relazione tra le costanti di accoppiamento: equivale a supporre che valga l’universalità, ma che gli stati che si accoppiano al vertice debole siano stati miscelati:
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 11!
gdu = gl cosθCgsu = gl sinθC
W−
l−
νl
g
W−
u
s sin θC gd cos θC
W−
u
g
µLγ ανµL( ) g g sinθC( )MW
2 uLγαd L( ) ⎯→⎯ µLγ ανµL( ) ggMW
2 uLγαd L sinθC( )
µLγ ανµL( ) g g cosθC( )MW
2 uLγαsL( ) ⎯→⎯ µLγ ανµL( ) ggMW
2 uLγαsL cosθC( )
Miscelamento di Cabibbo (III)
• Si può generalizzare supponendo che gli stati che si accoppiano al vertice debole siano:
• Lo stato d′ che si accoppia all’interazione debole è diverso dall’autostato di sapore d.
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 12!
νee
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ L,
νµ
µ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟L
,u′d
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ L
=u
dcosθC + ssinθC
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ L
W−
l−
νl
g
W−
u
gd cos θC + s sin θC
θC
θC
Miscelamento di Cabibbo (IV)
• Ma se d′ è una sovrapposizione degli stati d e s: perché non dovrebbe esistere la sovrapposizione ortogonale s′?
• In tal caso la relazione tra le due basi sarebbe la rotazione:
• Ma avremmo un doppietto incompleto di stati accoppiati al vertice debole:
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 13!
νee
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ L,
νµ
µ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟L
,u′d
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ L,
?′s
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ L
θC
θC
′d =dcosθC + ssinθC
′s =− dsinθC + scosθC
′d′s=
cosθC sinθC− sinθC cosθC
ds
Il Meccanismo GIM
• Inoltre, a causa del miscelamento di Cabibbo, nella lagrangiana sarebbe presente una transizione in corrente neutra che cambia il sapore (FCNC):
• Sperimentalmente, tuttavia, i corrispondenti processi fisici sono fortemente soppressi.
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 14!
θC
θC
J cn = uLγαu L + ′dLγ
α ′d L = uLγαu L + dL cosθC + sL sinθC( )γ α d L cosθC + sL sinθC( ) =
= uLγαu L + cos
2θCdLγαd L + sin
2θC sLγαsL
ΔS=0
+ cosθC sinθC dLγαsL + sLγ
αd L( )ΔS =1 FCNC( )
Il Meccanismo GIM (II)
• Per esempio il decadimento in corrente neutra con : è soppresso rispetto al decadimento in corrente carica con : mentre dovrebbe avere probabilità simile guardando i diagrammi.
• Glashow, Iliopulos e Maiani (1970) ipotizzarono l’esistenza di un quarto quark, il charm, partner mancante dell’s′ nella formazione di un secondo doppietto di quark:
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 15!
ΔF = 1
K+ →π + + νe + νe BR = 1.5−0.9+1.3 ×10−10
ΔF = 1
K+ →π 0 + νe + e+ BR = 4.98 ± 0.07( ) ×10−2
s
νe
uπ0
e+W+
dsπ+
Z0
νe
νee
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ L,
νµ
µ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟L
,u′d
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ L,
c′s
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ L
Il Meccanismo GIM (III)
• Con l’aggiunta del quark charm: la corrente neutra si scrive:
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 16!
νee
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ L,
νµ
µ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟L
,u′d
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ L
=u
dcosθC + ssinθC
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ L,
c′s
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ L
=c
−dsinθC + scosθC
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ L
J cn = uLγαu L + ′dLγ
α ′d L + cLγα cL + ′sLγ
α ′sL =
= uLγαu L + dL cosθC + sL sinθC( )γ α d L cosθC + sL sinθC( ) +
+ cLγα cL + −dL sinθC + sL cosθC( )γ α −d L sinθC + sL cosθC( ) =
= uLγαu L + cos
2θCdLγαd L + sin
2θC sLγαsL
ΔS=0 +cosθC sinθC dLγ
αsL + sLγαd L( )
ΔS =1 FCNC( ) +
+cLγα cL + sin
2θCdLγαd L + cos
2θC sLγαsL
ΔS=0
− sinθC cosθC dLγαsL + sLγ
αd L( )ΔS =1 FCNC( )
=
= uLγαu L + cLγ
α cL + dLγαd L + sLγ
αsL
Il Meccanismo GIM (IV)
• Le FCNC si cancellano. • Restano le correnti neutre che conservano il sapore. • La rotazione di Cabibbo è irrilevante per le correnti neutre:
– Si scrivono nella stessa forma nelle due basi.
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 17!
J cn = uLγαu L + ′dLγ
α ′d L + cLγα cL + ′sLγ
α ′sL =
= uLγαu L + dLγ
αd L + cLγα cL + sLγ
αsLΔS =0
Tutto in ordine?
• Vignetta presentata da Cabibbo nel 1966…
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 18!
Il Punto
• Universalità delle interazioni deboli anche nel settore dei quark: – Rotazione di Cabibbo:
• Differenze leptoni-quark; • Soppressione decadimenti ;
• Soppressione FCNC: – GIM; – Ipotesi quark charm.
• Nessuna previsione di violazione di CP nel modello. • 1973: l’esistenza di 3 doppietti di quark è proposta da M.
Kobayashi e K. Maskawa come una possibile spiegazione della violazione di CP.
• 1975 (Mark I): scoperto il terzo leptone carico (τ); • 1977 (FNAL): scoperto il quark bottom (b); • 1987 (Argus): evidenza indiretta del quark top (t) nell’oscillazione
dei B0. • 1995 (Fermilab): scoperto il quark top (t);
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 19!
ΔF = 1
νee
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ L,
νµ
µ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟L
,u′d
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ L,
c′s
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ L
′d′s=
cosθC sinθC− sinθC cosθC
ds
Da 2 a 3 Famiglie di Sapore
• 2 famiglie:
• 3 famiglie:
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 20!
νee
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ L,
νµ
µ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟L
u′d
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ L,
c′s
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ L
′d′s=V
ds
V =cosθC sinθC− sinθC cosθC
νee
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ L,
νµ
µ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟L
,ντ
τ
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ Lu′d
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ L,
c′s
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ L,
t′b
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ L
′d′s′b=VCKM
dsb
VCKM =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
VCKM =
c12c13 s12c13 s13e− iδ
−s12c23 − c12s23s13eiδ c12c23 − s12s23s13e
iδ s23c13s12s23 − c12c23s13e
iδ −s23c12 − s12c23s13eiδ c23c13
sij = sinθijcij = cosθij
⎧⎨⎪
⎩⎪, i, j = 1,2,3
Le 3 Famiglie di Quark
• I quark sono classificati in tre famiglie di sapore:
• L'elemento superiore in ciascuno dei doppietti è il quark up-like della famiglia, di carica elettrica + ⅔;
• L'elemento inferiore è il quark down-like, di carica − ⅓. • A ogni quark corrisponde lo stato di particella coniugato di carica
(anti-quark) con numeri quantici opposti. • I quark differiscono, oltreché per il valore della carica elettrica,
per il valore della massa e per i numeri quantici di sapore. • I quark sono dotati della carica di colore responsabile delle
interazioni forti.
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 21!
ud
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟,
cs
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟,
tb
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ 23
− 13
up-likedown-like
Correnti Deboli Cariche
• La dinamica del sapore nelle interazioni deboli, nel Modello Standard è descritta dalla densità di lagrangiana in corrente carica: la quale rappresenta il processo di trasformazione dello stato di sapore, che avviene mediante l'accoppiamento tra la corrente dei quark Jµ
cc e il campo Wµ del bosone W carico; g è la costante di accoppiamento debole.
• La corrente carica Jµcc dei quark si scrive:
dove VCKM è la matrice di miscelamento del sapore dei quark.
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 22!
Lccq = − g
2Jµcc†Wµ + Jµ
ccWµ†( )
Jµcc = u, c, t
Lγ µVCKM
dsb
L
VCKM =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
Parametri Fisici nella Matrice di Miscelamento
• Matrice complessa N × N 2N2 parametri. • Unitarietà: N2 vincoli:
• per esempio, per N = 3:
• Totale 2N2 − N2 = N2 parametri.
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 23!
V †V = 11 ⇒ Vik*Vij = δkj , j,k = 1,2,…,N
Vud* Vcd
* Vtd*
Vus* Vcs
* Vts*
Vub* Vcb
* Vtb*
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
=1 0 00 1 00 0 1
Parametri Fisici nella Matrice di Miscelamento (II)
• I campi dei quark sono definiti modulo una fase arbitraria: – L’espressione della corrente carica:
non cambia per una sostituzione:
• L’arbitrarietà di queste 2N fasi, può essere utilizzata per eliminare 2N − 1 parametri: – La fase globale è irrilevante (se si modifica allo stesso modo la fase di
tutti i quark, V non cambia). • I parametri fisici diventano N2 − 2N + 1 = (N − 1)2.
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 24!
Jµcc = u, c, t
Lγ µVCKM
dsb
L
q j → eiφ j q j
Vij → e− iφiVijeiφ j = ei φ j −φi( )Vij
⎧⎨⎪
⎩⎪
q j
Parametri Fisici nella Matrice di Miscelamento (III)
• Se la matrice V fosse reale essa sarebbe ortogonale: angoli di rotazione indipendenti tra gli N vettori della base.
• I rimanenti: parametri sono fasi complesse irriducibili.
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 25!
N2
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟=N N −1( )
2
Np = N −1( )2 − N N −1( )2
= 2N2 − 4N + 2 − N 2 + N
2= N
2 − 3N + 22
=N −1( ) N − 2( )
2
Parametri Fisici nella Matrice di Miscelamento (IV)
Numero Famiglie
Numero Parametri
Numero Angoli
Numero Fasi Irriducibili
2 1 1 0 3 4 3 1 4 9 6 3 N
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 26!
N −1( )2 N N −1( )2
N −1( ) N − 2( )2
• N ≥ 3 richiesto per avere almeno 1 fase complessa irriducibile.
Fasi Complesse Irriducibili e Violazione di CP
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 27!
• Se la matrice CKM è reale non è compatibile con la violazione di T e quindi neppure con la violazione di CP.
• Una fase complessa irriducibile nella matrice CKM consente la violazione di CP.
W−
u
Vub V ∗ub
W+
b b
Parametrizzazioni della Matrice CKM
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 28!
• Parametrizzazione originale di Kobayashi e Maskawa. • Utilizza 3 angoli, θ1, θ2 e θ3 e una fase δ che viola CP. • L’angolo θ1 è l’angolo di Cabibbo.
VCKM =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
=
c1 −s1c3 −s1s3s1c2 c1c2c3 − s2s3e
iδ c1c2s3 + s2c3eiδ
s1s2 c1s2c3 + c2s3eiδ c1s2s3 − c2c3e
iδ
ci = cosθisi = sinθi
Parametrizzazioni della Matrice CKM (II)
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 29!
• Parametrizzazione standard. • Utilizza i 3 angoli di Eulero, θ12, θ23 e θ13 e una fase δ che viola CP. • L’angolo θ12 è l’angolo di Cabibbo.
• Attuale miglior stima dei parametri:
VCKM =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
=
c12c13 s12c13 s13e− iδ13
−s12c23 − c12s23s13eiδ13 c12c23 − s12s23s13e
iδ13 s23c13s12s23 − c12c23s13e
iδ13 −c12s23 − s12c23s13eiδ13 c23c13
cij = cosθijsij = sinθij
θ12 = 13.04 ± 0.05( ) º , θ13 = 0.201± 0.011( ) º , θ23 = 2.38 ± 0.06( ) º , δ13 = 1.20 ± 0.08( ) º
Parametrizzazioni della Matrice CKM (III)
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 30!
• Parametrizzazione standard fattorizzata. • Utilizza i 3 angoli di Eulero, θ12, θ23 e θ13 e una fase δ che viola CP. • L’angolo θ12 è l’angolo di Cabibbo.
VCKM =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
=
c12c13 s12c13 s13e− iδ13
−s12c23 − c12s23s13eiδ13 c12c23 − s12s23s13e
iδ13 s23c13s12s23 − c12c23s13e
iδ13 −c12s23 − s12c23s13eiδ13 c23c13
=
=1 0 00 c23 s230 −s23 c23
c13 0 s13e− iδ13
0 1 0−s13e
+ iδ13 0 c23
c12 −s12 0
s12 c12 0
0 0 1
cij = cosθijsij = sinθij
λ = s12Aλ2 = s23Aλ3 ρ − iη( ) = s13e− iδ13
VCKM =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
=
1− λ2
2− λ4
8λ Aλ3 ρ − iη( )
−λ +A2 1− 2ρ( )
2λ5 − iA2ηλ5 1− λ2
2− 18+ A
2
2⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟λ4 Aλ2
Aλ3 1− 1− λ2
2⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ρ + iη( )⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
−Aλ2 1− λ2
2⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟1+ λ2 ρ + iη( )⎡⎣ ⎤⎦ 1− A
2λ4
2
+O λ6( )
Parametrizzazioni della Matrice CKM (IV)
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 31!
• Parametrizzazione di Wolfenstein. • Utilizza i 4 parametri λ, A, ρ ed η:
• L’angolo λ è il seno dell’angolo di Cabibbo.
• La violazione di CP è contenuta nel termine . • Attuale miglior stima dei parametri:
ρ − iη
λ = 0.2257−0.0010+0.0009 , A = 0.814−0.022
+0.021 , ρ = 0.135−0.016+0.031 , η = 0.349−0.017
+0.015
Struttura Gerarchica della Matrice CKM
• La parametrizzazione di Wolfenstein mette in luce la struttura gerarchica della matrice CKM: – Ordine 0:
– Ordine 1:
– Ordine 2:
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 32!
VCKM =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
=1 0 00 1 00 0 1
+O λ( )
VCKM =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
=1 λ 0−λ 1 00 0 1
+O λ2( )
VCKM =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
=
1− λ2
2λ 0
−λ 1− λ2
2Aλ2
0 −Aλ2 1
+O λ3( )
Struttura Gerarchica della Matrice CKM (II)
– Ordine 3:
– Ordine 5:
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 33!
VCKM =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
=
1− λ2
2λ Aλ3 ρ − iη( )
−λ 1− λ2
2Aλ2
Aλ3 1− ρ − iη⎡⎣ ⎤⎦ −Aλ2 1
+O λ4( )
VCKM =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
=
1− λ2
2− λ4
8λ Aλ3 ρ − iη( )
−λ +A2 1− 2ρ( )
2λ5 − iA2ηλ5 1− λ2
2− 18+ A
2
2⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟λ4 Aλ2
Aλ3 1− 1− λ2
2⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ρ + iη( )⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
−Aλ2 1− λ2
2⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟1+ λ2 ρ + iη( )⎡⎣ ⎤⎦ 1− A
2λ4
2
+O λ6( )
Struttura Gerarchica della Matrice CKM (III)
• Favorite transizioni nella stessa famiglia; • Transizioni famiglie 1⟶2 soppresse per un fattore λ; • Transizioni famiglie 2⟶3 soppresse per un fattore λ2;!• Transizioni famiglie 1⟶3 soppresse per un fattore λ3.!
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 34!
Transizioni in corrente carica; lo spessore indica la probabilità di transizione.
Gli accoppiamenti più piccoli sono complessi e producono violazione di CP.
VCKM =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
1 λ λ3
−λ 1 λ2
λ3 λ2 1
Relazioni di Universalità Debole
• Dalla relazione di unitarietà della Matrice CKM: seguono le 3 relazioni di universalità debole:
• La corrente carica totale di un quark up-like con tutti i quark down-like è di intensità universale.
• Nessuna informazione riguardo CP (termini reali).
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 35!
V †V = 11 ⇒ Vik*Vij = δkj , j,k = 1,2,3
Vij2
j=1
3
∑ = 1, i = 1,2,3
Vud2+ Vus
2+ Vub
2= 1
Vcd2+ Vcs
2+ Vcb
2= 1
Vtd2+ Vts
2+ Vtb
2= 1
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
Triangoli Unitari
• Dalle stesse relazione di unitarietà della Matrice CKM: seguono anche le 6 relazioni triangolari (triangoli nel piano complesso):
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 36!
V †V = 11 ⇒ Vik*Vij = δkj , j,k = 1,2,3
Vij*Vik
i=1
3
∑ = 0, j,k = 1,2,3, j ≠ kj = 1,k = 2j = 3,k = 1j = 2,k = 3
Vud*Vus +Vcd
*Vcs +Vtd*Vts = 0
Vub*Vud +Vcb
*Vcd +Vtb*Vtd = 0
Vus*Vub +Vcs
*Vcb +Vts*Vtb = 0
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
Vji*Vki
i=1
3
∑ = 0, j,k = 1,2,3, j ≠ kj = 1,k = 3j = 3,k = 2j = 1,k = 2
Vud*Vtd +Vus
*Vts +Vub*Vtb = 0
Vtd*Vcd +Vts
*Vcs +Vtb*Vcb = 0
Vud*Vcd +Vus
*Vcs +Vub*Vcb = 0
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
Vub*Vud
Vcb*Vcd
Vtb*Vtd
Triangoli Unitari (II)
• Si osservino, nella parametrizzazione di Wolfenstein gli ordini di grandezza dei lati in λ:
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 37!
Vud*Vus +Vcd
*Vcs +Vtd*Vts = 0
Vub*Vud +Vcb
*Vcd +Vtb*Vtd = 0
Vus*Vub +Vcs
*Vcb +Vts*Vtb = 0
Vud*Vtd +Vus
*Vts +Vub*Vtb = 0
Vtd*Vcd +Vts
*Vcs +Vtb*Vcb = 0
Vud*Vcd +Vus
*Vcs +Vub*Vcb = 0
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
O λ( ) +O λ( ) +O λ5( ) = 0O λ3( ) +O λ3( ) +O λ3( ) = 0O λ4( ) +O λ2( ) +O λ2( ) = 0O λ3( ) +O λ3( ) +O λ3( ) = 0O λ4( ) +O λ2( ) +O λ2( ) = 0O λ( ) +O λ( ) +O λ5( ) = 0
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
Vub*Vud
Vcb*Vcd
Vtb*Vtd
VCKM =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
1 λ λ3
−λ 1 λ2
λ3 λ2 1
Triangoli Unitari (III)
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 38!
Vud*Vus +Vcd
*Vcs +Vtd*Vts = 0
Vub*Vud +Vcb
*Vcd +Vtb*Vtd = 0
Vus*Vub +Vcs
*Vcb +Vts*Vtb = 0
Vud*Vtd +Vus
*Vts +Vub*Vtb = 0
Vtd*Vcd +Vts
*Vcs +Vtb*Vcb = 0
Vud*Vcd +Vus
*Vcs +Vub*Vcb = 0
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
VCKM =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
1 λ λ3
−λ 1 λ2
λ3 λ2 1
Vtd*Vts λ
5
Vcd*Vcs λ
Vud*Vus λ
Vcb*Vcd λ
3
Vub*Vud λ
3Vtb*Vtd λ
3
Vus*Vub λ
4
Vts*Vtb λ
2
Vcs*Vcb λ
2
Vub*Vtb λ
3
Vud*Vtd λ
3Vus*Vts λ
3
Vtd*Vcd λ
4
Vtb*Vcb λ
2
Vts*Vcs λ
2
Vub*Vcb λ
5
Vud*Vcd λ
Vus*Vcs λ
• Consideriamo in particolare il triangolo:
• Definiti: si ha: e il triangolo si può scalare in modo che sia:
Triangoli Unitari (IV)
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 39!
Vub*Vud +Vcb
*Vcd +Vtb*Vtd = 0
Vtb*Vtd λ
3
Vcb*Vcd λ
3
Vub*Vud λ
3
ρ = ρ 1− λ22( )
η =η 1− λ22( )
⎧⎨⎪
⎩⎪
Vub*Vud = Aλ
3 ρ + iη( )Vcb*Vcd = −Aλ3
Vtb*Vtd = Aλ
3 1− ρ − iη( )
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
VCKM =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
=
1− λ2
2λ Aλ3 ρ − iη( )
−λ 1− λ2
2Aλ2
Aλ3 1− ρ − iη⎡⎣ ⎤⎦ −Aλ2 1
+O λ4( )
ρ + iη
1
1− ρ − iηx
iy
C = 0,0( ) B = 1,0( )
A = ρ,η( )
BC =Vcb*VcdVcb*Vcd
= Aλ3
Aλ3= 1
• In tal caso i lati risultano:
Triangoli Unitari (V)
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 40!
Vtb*Vtd λ
3
Vcb*Vcd λ
3
Vub*Vud λ
3
AC =Vub*VudVcb*Vcd
= ρ + iη2= ρ2 +η 2 =
def
Rb
BC =Vcb*VcdVcb*Vcd
= Aλ3
Aλ3= 1
AB =Vtb*Vtd
Vcb*Vcd
= 1− ρ − iη2= 1− ρ( )2 +η 2 =
def
Rt
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
ρ + iη
1
1− ρ − iηx
iy
C = 0,0( ) B = 1,0( )
A = ρ,η( )
1
Vub*VudVcb*Vcd
Vtb*Vtd
Vcb*Vcd
C B
A
• Per quanto riguarda gli angoli, si ha:
• L’angolo γ coincide con buona approssimazione con la fase irriducibile δ.
Triangoli Unitari (VI)
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 41!
α = argVub*VudVtb*Vtd
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
β = argVtb*Vtd
Vcb*Vcd
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟= arctan η
1− ρ
γ = argVub*VudVcb*Vcd
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟= arctanη
ρ
1
Vub*VudVcb*Vcd
Vtb*Vtd
Vcb*Vcd
C B
A
ρ + iη
1
1− ρ − iηx
iy
C = 0,0( ) B = 1,0( )
A = ρ,η( )αγ β
• La relazione di unitarietà: si può anche scrivere come:
Triangoli Unitari (VII)
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 42!
Rbeiγ + Rte
− iβ = 1 1
Vub*VudVcb*Vcd
Vtb*Vtd
Vcb*Vcd
C B
A
ρ + iη
1
1− ρ − iηx
iy
C = 0,0( ) B = 1,0( )
A = ρ,η( )αγ β
Vub*Vud +Vcb
*Vcd +Vtb*Vtd = 0
• I moduli sono tipicamente calcolati dal rapporto tra ratei di decadimento.
• Esempio: Vud: – Rapporto tra ratei di decadimento di neutrone e muone; – Rapporto proporzionale a |Vud|2; – |Vud| = 0.9735 ± 0.0008.
Misura degli Elementi della Matrice CKM
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 43!
VCKM =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
dd
udu
n p
νeW−
e−
u
VudνeW−
e−
µ−
νµ1
• Esempio: Vus: – Rapporto tra il rateo di decadimento semileptonico del K− e il rateo di
decadimento del muone; – Rapporto proporzionale a |Vus|2; – |Vus| = 0.2196 ± 0.0023.
Misura degli Elementi della Matrice CKM (II)
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 44!
VCKM =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
VusνeW−
e−
µ−
νµ1
• Esempio: Vcb: – Rapporto tra il rateo di decadimento
e il rateo di decadimento del muone;
– Rapporto proporzionale a |Vcb|2; – |Vcb| = 0.0402 ± 0.0019.
Misura degli Elementi della Matrice CKM (III)
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 45!
VCKM =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
VcbνeW−
e−
µ−
νµ1
Bd0 → D*−l+ν
• Esempio: Vub: – Rapporto tra il rateo di decadimento:
e il rateo di decadimento:
– Rapporto proporzionale a |Vub/Vcb|2; – |Vub/Vcb| = 0.090 ± 0.025.
Misura degli Elementi della Matrice CKM (IV)
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 46!
VCKM =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
Vcb
uπ−
Vub
Bd0 → D*−l+ν
Bd0 →π−l+ν
• Esempio: Vtd: – Rateo di oscillazione:
– Dominato dalla massa del top:
Misura degli Elementi della Matrice CKM (V)
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 47!
VCKM =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
B0
dB0d
B0d B
0
d
Bd0 ↔ Bd
0
t t ∝mt2 VtbVtd
* 2 ∝mt2λ6
cc ∝mc2 VcbVcd
* 2 ∝mc2λ6
c t , ct ∝mcmtVtbVtd*VcbVcd
* ∝mcmtλ6
ΔmBd0 ∝
mt2
mW2 mBd0 Vtd
2
• Esempio: Vts (CDF, 2006): – Ratei di oscillazione:
– Dominati dalla massa del top;
Misura degli Elementi della Matrice CKM (VI)
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 48!
VCKM =
Vud Vus VubVcd Vcs VcbVtd Vts Vtb
s
s
Vqs
V ∗qs
B0s B
0
sB0
s B0
s
s
s Vqs
V ∗qs
Bd0 ↔ Bd
0
Bs0 ↔ Bs
0
ΔmBd0
ΔmBs0
≈Vtd
2
Vts2 ≈
λ6
λ4= λ2
VtdVts
= 0.2060 ± 0.0007 Δms( )−0.0060+0.0081
Δmd + teor.( )
!-1 -0.5 0 0.5 1
"
-1
-0.5
0
0.5
1
#
$
%
)#+$sin(2
sm&dm&
dm&
K'
cbVubV
!-1 -0.5 0 0.5 1
"
-1
-0.5
0
0.5
1
Attuali Vincoli del Triangolo Unitario
• Collaborazione UTfit: – Determinazione della
miglior stima dei parametri del triangolo unitario;
– Sulla base delle misure sperimentali provenienti dai diversi esperimenti.
DOMENICO GALLI — Fisica delle Alte Energie agli Acceleratori — La Violazione di CP nel Modello Standard! 49!
Prof. Domenico Galli Dipartimento di Fisica
[email protected] http://www.unibo.it/docenti/domenico.galli
http://lhcbweb2.bo.infn.it/bin/view/GalliDidattica