encerrados en memorizar.wmvr.org/ejercicios/ejerciciosmatematicas2.pdfsolamente es adquirido de...

1

M A T E M Á T I C A S 2 Esta guía pertenece a ___________________________________________________

Escuela Secundaria _____________________________________________________

Respetables alumnos y padres de familia:

Esta guía de clase se ha elaborado con las sugerencias de los Profesores de Matemáticas de la Región Centro de Chihuahua, con el fin de apoyar en el estudio a nuestros alumnos, de tal manera, que puedan utilizarla como la base de los conocimientos y habilidades que en clase deben adquirir. Es importante que en el trabajo de iniciación se promueva el esfuerzo individual de los adolescentes, así como el trabajo colaborativo para llegar al conocimiento, con explicaciones sencillas del profesor y promoviendo que todos los alumnos hagan aportaciones para la solución de los problemas, ya que el aprendizaje solamente es adquirido de manera individual. Recordemos que no es el médico el que sana, es el paciente, así mismo, no es el maestro el que aprende, es el alumno, con su muy particular aptitud, interés, dedicación, esfuerzo, responsabilidad, participación, etcétera. Una catedrática de la Universidad decía a sus alumnos: “Nada se aprende, nada se enseña, si no es por la repetición y el ejercicio. Son necesarios cientos, miles de ensayos para aprender verdaderamente lo que se estudia. Si por orgullo o pereza nos olvidamos de esta necesidad, nuestra ineptitud nos hará aprender duramente que la naturaleza no se deja violentar o apresurar”. Hay dos clases de persona - me dijo en cierta ocasión mi abuelo – los que trabajan y los que se adjudican el mérito. Él me aconsejó que tratara de estar en el primer grupo, ya que es ahí donde hay menos competencia.

El autor

SUGERENCIAS PARA APRENDER Y DE USO DE LA GUÍA

ÍNDICE

Bloque 1 Página 2

Bloque 2 Página 35

Bloque 3 Página 55

Bloque 4 Página 80

Bloque 5 Página 106

Lee y

comprende los

conceptos que

vienen

encerrados en

los recuadros.

Escribe

un

resumen

de lo que

leas.

Memoriza los

conocimientos

que sea

necesario.

memorizar.

Resuelve las

actividades

de la guía.

Comparte los

conocimientos

con tus

compañeros.

2

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS

PROBLEMA: Observa las siguientes tablas de multiplicación, en donde el producto va disminuyendo en la primera tabla y aumentando en la segunda. Deduce las leyes de los signos de la multiplicación.

Por +3 +2 +1 0 –1 –2 –3

+5 15 10 5 0 –5 –10 –15

Por +5 +4 +3 +2 +1 0 –1 –2 –3

–3 –15 –12 –9 –6 –3 0 3 6 9

Con base en las multiplicaciones anteriores completa lo siguiente: Si multiplicamos dos números del mismo signo el resultado tiene signo _________ Si multiplicamos dos números de diferente signo el resultado tiene signo ________

Las leyes de los signos de la multiplicación son las siguientes: a) Un número positivo por otro positivo, el resultado es positivo: (+5)(+3) = +15 b) Un número positivo por otro negativo, el resultado es negativo: (+5)( –3) = –15 c) Un entero negativo por otro positivo, el resultado es negativo: (–3)(+5) = –15 d) Un número negativo por otro negativo, el resultado es positivo: (–3)( –3) = + 9

FORMAS DE REPRESENTAR UNA MULTIPLICACIÓN

Con el signo por: 5 x –3 Con un punto: 5 • –3 Con paréntesis: (5) (–3)

ACTIVIDADES PARA APRENDER 1.- Completa la siguiente tabla de multiplicar.

Por 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5

7

Por 7 6 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3

-5

2.- Completa de acuerdo a las leyes de los signos.

( + ) ( + ) = + ( + ) ( – ) = ( – ) ( – ) = ( – ) ( + ) =

( + ) ( ) = – ( ) ( –) = – ( – ) ( ) = + ( ) ( + ) = +

( )( ) = ( )( ) = ( )( ) = ( )( ) =

BLOQUE 1

3

3.- Calcula los siguientes productos aplicando las leyes de los signos. (+4) (+2) = ______ (+4) (+1) = ______ (+4) (–1) = ______ (+4) (–2) = ______ 4.- Resuelve los siguientes problemas y escribe el resultado correcto.

5.- Resuelve las siguientes multiplicaciones. Primero multiplica los signos. 9 x 2 = ___ (+8) (–3) = ___ ( –5) (–3) = ___ (–5) (–8) = ___ (+2) (+1) = ___ (a)(–b) = ___ (–4.2) (+3) = ____ (–7) (–7) = ___ (–3) ² = ______ (–4) ² = ______ (+40) (–40) = _____

(–3) (+4) = _____

(–3) (+3) = _____

(–3) (1) = _____

(–3) (0) = _____

(4) (–20) = ______

(–10) (+3) = ______

(–4.5) (3) = ______

(–8) (0) = ______

a) En un juego de azar, una persona perdió $90 cuatro veces seguidas y en siete ocasiones ganó $60 cada vez. ¿Cuál es el estado de sus cuentas? ____

b) En una mina, una calesa baja a razón de 7 metros por segundo. ¿Dónde se hallará a los 15 segundos con respecto al nivel de la estación? _____________

c) El producto de dos números es –25. Si esos dos números son multiplicados por –8, ¿cuál será el nuevo producto? ______

d) Pensé un número. Al multiplicarlo por –6 y enseguida restarle 42 obtuve 0. ¿Qué número pensé? __________

e) ¿Qué números multiplicados da +16 y sumados resulta +8? (___) (___) = 16 ___ + ___ = 8

f) ¿Qué números multiplicados da 10 y sumados resulta +7? (___) (___) = 10 ___ + ___ = 7

g) ¿Qué números multiplicados da 6 y sumados resulta 5? (___) (___) = 6 ___ + ___ = 5

h) ¿Qué números multiplicados da –20 y sumados resulta 1? (___) (___) = –20 ___ + ___ = 1

4

6.- Escribe el número correcto que falta. (–7) (3) = ____ (__) (__) = 14 (–7) (6) = ____ (–2) (__) = 12 (__) (__) = –40 (–7) (4) = ____ (__) (–8) = –16 (__) (__) = 25 (–2) (__) = 20 (__) (__) = –21 (__) (__) = –15 (–2) (8) = ___

7.- Encuentra como el valor numérico de las siguientes expresiones, si n = 3. Ejemplo: 20 – 4n = 20 – 4(3) = 20 – 12 = 8 3n = __________________________ 2n – 1 = _____________________ 2n + 6 = _______________________ –5n + 8 = _____________________ 3n + 1 = _______________________ –3n – 50 = ____________________ 6n – 3n = ______________________ –4n = ________________________ 5n – 20 = ______________________ –3n + 60 = ___________________ 8.- Las personas que fueron al supermercado observaron una lista de precios que se encontraban en oferta. Observa las ofertas y resuelve los problemas.

Artículo

Precio por unidad

Jabón $ 6.00

Nescafé $ 34.00

Jugo $ 12.00

Crema $ 27.00

Rastrillo $ 23.00

a) Mario compró 2 rastrillos

y 4 jabones para baño.

¿Cuánto pagó en total?

_____________

b) Rosa compró 1 nescafé y

7 jugos de piña. ¿Cuánto

pagó en total? ___________

c) Iván compró 4 rastrillos, 9

jabones para baño y 3 cremas.

¿Cuánto pagó en total?

_____________

d) Elena compró 10 jabones, 3

nescafés y 20 jugos de piña.

¿Cuánto pagó en total? ______

d) ¿Cuál es el precio de 5

rastrillos y 8 jabones?

____________

5

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS

PROBLEMA: Completa las siguientes tablas de división en donde se observa que

el resultado va disminuyendo y deduce las leyes de los signos de la división.

Entre 15 10 5 0 –5 –10 –15

5 3 2

÷ –15 –12 –9 –6 –3 0 3 6 9

–3 5 4

La multiplicación y la división son dos operaciones inversas, por lo tanto, las leyes de los signos de la división serán inversos a los de la multiplicación. (+) (+) = + Su inverso es (+) ÷ (+) = + (+) (–) = – Su inverso es (–) ÷ (–) = + (–) (–) = + Su inverso es (+) ÷ (–) = – (–) (+) = – Su inverso es (–) ÷ (+) = –

ACTIVIDADES PARA APRENDER 1.- Resuelve las siguientes divisiones. Primero divide los signos. 35 ÷ 7 = 100 ÷ (–25) = –25 ÷ (–1) = 18 ÷ (–2) = –20 ÷ (–1) = 65 ÷ (–13) = –15 ÷ (–1) = 24 ÷ 4 = –35 ÷ 7 = –100 ÷ 25 = –20 ÷ (-4) = –8 ÷ 4 = –36 ÷ (–9) = –33 ÷ 11 = 28 ÷ (–7) = 4 ÷ 4 = 35 ÷ (–7) = –100 ÷ (–25) = –8 ÷ (–2) = 20 ÷ (–1) = –40 ÷ (–5) = –63 ÷ (–7) = –76 ÷ (–19) = 156 ÷ (–12) = –35 ÷ (–7) = –25 ÷ 1 = –54 ÷ 9 = –112 ÷ (–8) =

2.- Encuentra el número que falta. ( ) ÷ 5 = 4 9 ÷ ( ) = 3 – 4 ÷ ( ) = –2 ( ) ÷ –7 = 2 –15 ÷ ( ) = 5 ( ) ÷ 7 = –7 ( ) ÷ –3 = 5 –6 ÷ ( ) = 3 18 ÷ ( ) = 6 ( ) ÷ 18 = –5 –9 ÷ ( ) = –3 – 65 ÷ ( ) = –13

En la multiplicación y en la división, cuando son dos signos iguales con los que se opera, el resultado es positivo. Cuando son dos signos diferentes el resultado es negativo.

6

3.- Resuelve los siguientes problemas. 3.- Resuelve los siguientes problemas.

a) Un submarino se sumerge hacia el fondo del agua a –2 metros por segundo. ¿Cuánto tiempo tardará para llegar a los –398 metros de profundidad?

b) Las ventas de una tienda cambiaron –18 puntos en 3 días. ¿Cuál fue el promedio del cambio cada día?

d) Un minero desciende en una mina –48 metros en 16 minutos. ¿Cuál es el promedio del descenso por minuto?

e) Una familia reporta en su balance mensual los siguientes movimientos: Enero $170, Febrero $–30, Marzo $80 y Abril $–20. ¿Cuál es el promedio en el balance mensual por los cuatro meses?

f) Una persona hizo en el banco los siguientes movimientos entre depósitos y retiros: Enero $7350, febrero $–850, Marzo $–1450, y abril $ 6150. ¿Cuál es el promedio en el balance mensual?

c) El área de una recámara es de 30 m² y el área de otra es de 12 m². ¿Por cuánto se tiene que multiplicar el área de la recámara chica para tener un área igual que la recámara mayor?___________________

7

4.- Se quiere calcular el ancho de un terreno de forma rectangular que tiene de área 5 440 metros cuadrados y su largo mide 85. ¿Cuál es la medida del ancho? _________________

h) Un avión cambia de altitud –5025 metros en 15 minutos. ¿Cuánto bajó en cada minuto?

g) Iván gana $8 100 al mes y Fernando gana $3 600. ¿Por cuánto tiene que multiplicar Fernando su dinero para ganar lo mismo que Iván?

i) El papá de Fernando les reparte a sus tres hijos $5 274 y le toca $1 758 a cada uno. ¿Cuánto dinero recibirá cada uno si lo que tiene para repartir son $10 548?

j) El papá de Mario les reparte a sus 5 hijas $8 270.00 ¿Cuánto dinero recibe cada hija? ¿Cuánto dinero deberá el papá para que a cada una de sus hijas le reparta $ 3600?

8

PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS • Cálculo de productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de una potencia. Significado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo.

POTENCIACIÓN

PROBLEMA: Encuentra el área del cuadrado y el volumen del cubo.

La potenciación es una operación que consiste en multiplicar un número por sí mismo tantas

veces como lo indique el exponente.

A = 4² = (4)(4) = 16 V = 4³ = 4 x 4 x 4 = 64

ACTIVIDADES PARA APRENDER

1.- Encuentra las siguientes potencias.

6² = 6 x 6 = 36 12² = 15² = 20² =

103 = 10² = 104 = 105 =

2² = 24 = 53 = 64 =

2.- ¿Cuál es el valor de n², si n vale 32?

3.- ¿Cuál es el valor de nᵌ, si n vale 14?

4.- PROBLEMA: Un paquete tiene 16 cajas, cada caja contiene 16 estuches y cada

estuche tiene 16 relojes.

a) ¿Cuántos relojes hay en un paquete?

5.- Completa la siguiente serie numérica:

1 4 9 16 25

4

4 4

4

4

Base

Exponente

Potencia 4³ = 64

9

MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS ENTERAS CON UNA MISMA BASE

PROBLEMA: Multiplica las siguientes potencias que tienen una misma base.

(4²) (4³) = (4)(4) • (4)(4)(4) = 𝟒𝟓

(a²) (a³) = (a)(a) • (a)(a)(a) = 𝒂𝟓

(b)(b²) (b³) = (b) • (b)(b) • (b)(b)(b) = 𝒃𝟔 Podemos generalizar que: “Para multiplicar dos potencias que tengan la misma

base los exponentes se suman”.

(4² x 4³) = 42+3 = 45

(–3x²) (5xᵌ) = −15𝑥5 (–) (+) = – (–3) (5) = –15 (x²) (xᵌ) = 𝑥5


1.- ¿Cuáles son los resultados de las siguientes potencias con la misma base?

(y³) (y²) = ___ x² x² = ___ (𝑏3) (𝑏5) (𝑏4) = ___ 𝑏4 𝑏5 = ___

2.- Multiplica como en el ejemplo.

(3²) (3³) = (3)(3)(3)(3)(3) = 𝟑𝟓

(2³) (2²) = (𝟐𝟒) (𝟐𝟓) = (a³) (a²) = (x) (x) = (10²) (10³) = (y²) (y²) = (8²) (8²) = (4²) (4) =

(x³) (x²) = (𝒚𝟑) (𝒚𝟓) =

3.- Multiplica como en el ejemplo: (𝟐𝟐) (𝟐𝟑) = 𝟐𝟓 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 (3²) (3³) = _______________________________________

(𝟐𝟓) (𝟐𝟑) = ______________________________________ (10³) (10²) = _____________________________________

(𝟏𝟎𝟒) (10³) = _____________________________________ (8²) (8) = ________________________________________

10

4.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (2²) (2²)? ……………………………….. (___) a) 8 b) 16 c) 32 d) 4 5.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (4²) (4³)? ……………………………….. (___) a) 64 b) 1 024 c) 256 d) 4 096 6.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (3²) (3)? ……………………………….. (___) a) 27 b) 9 c) 243 d) 81

7.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (𝟐𝟒) (𝟐𝟑)? ……………………………….. (___) a) 32 b) 128 c) 64 d) 36 8.- ¿Cuál es el resultado de multiplicar: (3²) (3³)? ……………………………….. (___) a) 27 b) 9 c) 243 d) 81 9.- Multiplica directamente.

(m³) (m²) = ______ (𝒙𝟒) (𝒙𝟑) = ________ (y²) (y²) = _____

(a²) (a²) = _____ (x) (x) = ________ (𝒂𝟑) (𝒂𝟓) = ______

(x²) (x) = _____ (𝒚𝟒)(𝒚𝟓) = ________ (y²) (y²) (y²) = ______ (y²) (y²) = _____ (a³) (a²) = ________ (m³) (m²) = ______

(x³) (x³) = _____ (𝒂𝟐) (𝒂𝟔) = ________ (x²y³) (x³y²) = _______

10.- Multiplica. Ejemplo: (−𝟐𝒂𝟐) (𝟓𝒂𝟑) = −𝟏𝟎𝒂𝟓 (5a²) (8a³) = ________ (7x³) (2x³) = _______ (3x²) (3x²) = _______ (4m³) (5m²) = ________ (3x³) (4x²) = ________ (3x²) (7x³) = _______

(3a²) (5a²) = ________ (4x³) (2x) = ________ (5x) (6x) = ________ (–9x²) (–3x) = _________ (–2y) (–4y³) = ________ (–1y²) (+8y²) = _______ (+7y²) (–4y²) = ________ (–6x³) (–2 x²) = ________ (–3m³) (+2m²) = _______ (3x²) (+3x³) = _________ (+2m³) (–2m²) = ________ (9x³) (9x³) = ________ (4x³) (–x) = _________ (+6a) (–a) = ________ (+5x³) (+4x²) = ________ 11.- PROBLEMA: ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de un rectángulo si sabemos que su largo equivale a la expresión 7x² y su ancho se representa con la expresión 3x³? _____________

11

6

4

5

5

4

6 7

5 10

7

6

POTENCIA DE UNA POTENCIA

PROBLEMA: El profesor de matemáticas nos pidió que encontráramos el resultado de las siguientes operaciones y que estableciéramos una regla general. (3²)³ Aquí el exponente ³ nos indica que 3² los vamos a tomar como factor

tres veces. Esto es: (3²) (3²) (3²) = 𝟑𝟔 Por lo tanto, deducimos que, para elevar una potencia a otra potencia, los

exponentes se multiplican. (3²)³ = 𝟑𝟐 𝒙 𝟑

(𝟓𝟑) = 𝟓𝟏𝟖 Porque: (5³)(5³)(5³)(5³)(5³)(5³) = 𝟓𝟏𝟖

(x³ y²) = 𝒙𝟐𝟏𝒚𝟏𝟒 Porque se multiplican los exponentes


1- Resuelve las siguientes operaciones como en el ejemplo.

(x²)³ = (x²)(x²)(x²) = 𝒙𝟐𝒙𝟑 = 𝒙𝟔 (𝒙𝟔)² = _______________________

(x²)² = __________________________ (𝒃𝟒)² = _______________________ 2.- Resuelve las siguientes potencias de potencias y obtén el resultado final. Ejemplo. (2²)³ = 2 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 (2³)³ = ____________________________________________ (10³)³ = ______________________ 3.- Encuentra el resultado de las siguientes potencias de potencias. Ejemplo

(x²) = 𝒙𝟐𝒙𝟒 = 𝒙𝟖 (b³)² = ____________________

(𝒂𝟓)² = ___________________ (y³) = ____________________

(𝒙𝟒) = __________________ (𝒃𝟕)ᵌ = ____________________ 4.- Encuentra las potencias resultantes. Ejemplo.

(x³ y²) = 𝒙𝟏𝟐𝒚𝟖 (x² y³)³ = ___________ (𝒃𝟓𝒄𝟒)² = __________

(𝒂𝟑𝒃𝟓) = ___________ (x³ y² ) = ___________ (a² b)³ = __________

(a³ b³ ) = __________ (𝒙𝟖𝒚𝟒)² = ___________ (a² b³) = __________

12

DIVISIÓN DE POTENCIAS QUE TIENEN UNA MISMA BASE

PROBLEMA: Simplifica la siguiente división de potencias que tienen una misma

base y establece la regla para efectuarla.

43

42 = 4 𝑥 4 𝑥 4

4 𝑥 4= 43 –2 = 41 = 4

PROBLEMA: Simplifica la siguiente división de potencias que tienen una misma

base en donde el exponente del numerador es mayor que el del denominador.

103

107 = 103 –7 = 10–4 = 1

104 103

107 = 10 𝑥 10 𝑥 10

10 𝑥 10 𝑥 10 𝑥10 𝑥 10 𝑥 10 𝑥 10 =

1

104

Cuando en una división nos resulta una potencia negativa, la convertimos en positiva dejando como denominador el 1 y pasándola como potencia positiva al denominador.


1.- Divide como en el siguiente ejemplo. 𝟒𝟒

𝟒𝟐 = 𝟒 𝒙 𝟒 𝒙 𝟒 𝒙 𝟒

𝟒 𝒙 𝟒= 𝟒𝟒 –𝟐 = 𝟒𝟐

𝟖𝟑

𝟖𝟐=

𝟑𝟒

𝟑𝟐=

𝟓𝟓

𝟓𝟑=

𝒙𝟒

𝒙𝟐=

𝒚𝟔

𝒚𝟒=

𝒙𝟕

𝒙𝟒=

2.- Encuentra directamente el resultado de las siguientes divisiones. 𝒚𝟓

𝒚𝟐=

𝒂𝟑

𝒂𝟐=

𝒙𝟕

𝒙𝟒=

𝒃𝟏𝟎

𝒃𝟒=

𝒙𝟏𝟐

𝒙𝟔=

𝒙𝟕

𝒙𝟑=

𝒙𝟔

𝒙𝟔=

𝒚𝟏𝟎

𝒚𝟖=

𝒙𝟒

𝒙𝟒=

𝒙𝟒

𝒙𝟐=

3.- ¿Cuál es el resultado de calcular el cociente de 𝒙𝟏𝟎

𝒙𝟔 ?

4.- Encuentra el resultado de las siguientes divisiones. Indica todo en positivo.

𝟏𝟎𝟑

𝟏𝟎𝟓=

𝒙𝟐

𝒙𝟕=

𝒚𝟑

𝒚𝟕=

𝒙𝟐

𝒙𝟓=

𝒂𝟔

𝒂𝟏𝟎=

𝒙𝟒

𝒙𝟗=

𝒙𝟒

𝒙𝟓=

𝒚𝟓

𝒚𝟏𝟐=

Regla: Para dividir potencias que tengan la

misma base restamos los exponentes.

13

5.- Completa la siguiente tabla.

División Razonamiento Regla Resultado

𝟏𝟎𝟓

𝟏𝟎𝟐

𝟏𝟎 𝒙 𝟏𝟎 𝒙 𝟏𝟎 𝒙 𝟏𝟎 𝒙𝟏𝟎

𝟏𝟎 𝒙 𝟏𝟎 𝒙 𝟏𝟎

𝟏𝟎𝟓 –𝟐

𝟏𝟎𝟑

𝟏𝟎𝟒

𝟏𝟎𝟐

𝒙𝟕

𝒙𝟒

𝒚𝟔

𝒚𝟓

𝒙𝟓𝒚𝟓

𝒙𝟐𝒚𝟑

𝒙𝟗

𝒙𝟓

6.- Relaciona la columna de la izquierda con la de la derecha, escribiendo dentro del paréntesis la letra de la respuesta correcta.

(___) 𝒙𝟓

𝒙𝟐 A) 𝒙𝟓 + 𝒙𝟐

(___) 𝒙𝟐

𝒙𝟓 B) (𝒙𝟕)

(___) (𝒙𝟓)(𝒙𝟐) C) (𝒙𝟏𝟎)

(___) (𝒙𝟓)² C) (𝒙𝟑)

(___) 𝒙𝟓 + 𝒙𝟐 D) 𝟏

𝑿𝟑

7.- ¿Cuál es el resultado de calcular el cociente de 𝒙𝟏𝟐

𝒙𝟒 ? ……………………….. (___)

a) 𝟏

𝒙𝟏𝟔 b) 𝒙

𝒙𝟒 c) 𝒙𝟖 d) 𝒙𝟏𝟔

8.- ¿Cuál es el resultado de calcular el cociente de 𝒙𝟗

𝒙𝟒? ……………………….. (___)

a) 𝟏

𝒙𝟓 b) 𝒙

𝒙𝟓 c) 𝒙𝟏𝟑 d) 𝒙𝟓

9.- ¿Cuál es el resultado de calcular el cociente de 𝒚𝟖

𝒚𝟓? ………………….…. ______

14

a b

c

d

h

i

FIGURAS Y CUERPOS • Identificación de relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Justificación de las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

PROBLEMA: Demuestra que “los ángulos opuestos por el vértice a y b son iguales”.

Calca y recorta lo que corresponde al ángulo b y sobreponlo en el ángulo a.

< a = < b, por ser opuestos por el vértice.

Cuando se cruzan dos rectas de un lado a otro se forman rectas transversales

originando ángulos opuestos por el vértice y ángulos adyacentes.


1.- Encuentra la medida de los ángulos que se indican.

a ___

b ___

c ___

d ___ g ___ h ___ i ___

e ___

f ___

155°

b

a

f

d e

49°

55°

c

99°

36°

a

25° b

g

141°

a y c son ángulos opuestos por el vértice. Y también b y d. a y d son ángulos adyacentes porque comparten el mismo

vértice y un lado. Y también d y c, c y b, a y b.

Los ángulos adyacentes son suplementarios porque

suman 180°. a + d = 180°

15

2.- En el siguiente dibujo se presentan dos rectas que al cortarse forman ángulos

opuestos por el vértice y ángulos adyacentes suplementarios. Observa el dibujo y

contesta las preguntas.

¿Cuánto suman los ángulos suplementarios? ___

¿Cuánto mide el ángulo c? _____

¿Cuál es la medida del ángulo a? _____

¿Cuánto mide el ángulo b? _____

3.- En Santa Bárbara, Chihuahua, para ir del pueblo a la Mina Clarines, hay un camino que al cruzarse con la carretera de terracería forman ángulos como los que se representan en el siguiente dibujo. Observa el dibujo y contesta las preguntas.

¿Cuál es la medida del ángulo c? _____

¿Cuál es la medida del ángulo a? _____

¿Cuál es la medida del ángulo b? _____

4.- El profesor Vicente les planteó a sus alumnos el siguiente problema:

El siguiente dibujo representa el cruce de dos vías del ferrocarril.

¿Cuál es el valor del ángulo representado por la letra x? ______

5.- La sombra que proyecta la antena de la televisión de una casa, forma con el marco de una puerta ángulos como se muestran en el siguiente dibujo. Observa y contesta las preguntas.

c

a 135°

132°

x

c

b a

100°

c b

a 40°

Mina

Clarines

¿Hasta cuántos ángulos identificas

que se forman en el dibujo?................... ______

¿Cuál es la medida del ángulo a?.......... ______

¿Cuál es la medida del ángulo c?.......... ______ .

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ÁNGULOS EN RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL

PROBLEMA: Calca y recorta la circunferencia dibujada abajo y colócala exactamente sobre la otra circunferencia. Observa que la medida de los ángulos coincide y demuestra que:

a = e b = f c = g d = h Por ser correspondientes.

c = f d = e Por ser alternos internos.

a = h b = g Por ser alternos externos.

Rectas paralelas


1.- En las siguientes rectas paralelas escribe parejas de ángulos que cumplen con lo que se indica enseguida, compara la medida de los ángulos que se forman y contesta las preguntas que se te hacen.

Opuestos por el vértice: _______, _______, _______, _______.

Suplementarios: _________, _________, ________, ________, ________, ________, ________, __________. Alternos internos: __________, __________ Alternos externos: __________, __________

Si en el dibujo anterior, el ángulo 1 mide 45°:

a) ¿Cuánto miden los ángulos 2 y 8? _______ b) ¿Cuánto miden el 2 y el 4? _______

c) ¿Cuánto miden los ángulos 3 y 6? _______ d) ¿Cuánto miden el 6 y el 7? _______

2 1

3 4

5 6

7 8

a b

c d

e f

g h

17

2.- Observa el siguiente dibujo en donde P y Q son paralelas.

3.- Escribe la medida de los ángulos formados en las rectas si 3x + 2x = 180°

4.- Corta las siguientes rectas paralelas con una transversal, mide con el transportador uno de los ángulos que se forman y escribe a los otros su medida.

5.- En una calle de dos banquetas paralelas se instaló una tubería para agua de manera transversal como se muestra en el dibujo.

e f

c d

a b

3x 2x

Q

P

ả

135°

d c

g

h

a

123° f

b

a) ¿Cuáles ángulos miden 123°?

____________________________

b) ¿Cuánto mide el ángulo f? _____

c) ¿Cuáles ángulos miden 57°?

____________________________

a = _______ b = _______

c = _______ d = _______

e = _______ f = _______

¿Cuánto mide el ángulo ả? …. (____)

a) 135°

b) 65°

c) 45°

d) 55°

18

ÁNGULOS INTERNOS DEL TRIÁNGULO

PROBLEMA: Demuestra que los ángulos internos del triángulo suman 180°. Con el papel doblado, a partir del dibujo de un triángulo podemos que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°. b a c

a + b + c = 180° Porque forman un ángulo llano. Un ángulo es la porción indefinida de plano limitada por dos líneas. Para medir un ángulo se coloca el transportador de tal manera que los grados señalados en él nos den la medida del ángulo. Ángulo agudo Ángulo recto Ángulo obtuso Ángulo llano


1.- Mide con el transportador los ángulos internos de cada triángulo y suma sus medidas.

180° 145° 90° 25°

19

2.- Encuentra la medida de los ángulos que faltan en cada uno de los triángulos que aparecen en las figuras y escríbela en el ángulo interno que señala cada flecha.

90°

22°

90°

y

69°

31°

36° 90°

23°

60°

90° 45°

30°

4.- Observa la siguiente figura: ¿Cuánto

mide el ángulo y?........................... (___)

a) y = 111°

b) y = 30°

c) y = 90°

d) y = 21°

3.- En un triángulo, dos de sus ángulos

internos miden 25° y 50°. ¿Cuánto mide

el otro ángulo?............................... (___)

a) 75°

b) 105°

c) 130° d) 285°

¿?

20

6.- Encuentra el valor de la medida de los ángulos faltantes. 7.- En la prueba de matemáticas la maestra nos planteó el siguiente problema: Encuentra la medida de los ángulos internos del siguiente triángulo si sabemos que el ángulo R mide 145° y el ángulo A mide 55°.

8.- Dos de los ángulos de un triángulo miden 30° y 90°. ¿Cuál es la medida del tercer ángulo?.................................._________



11.- Encuentra la medida del ángulo Ω del triángulo que se forma en las siguientes rectas.

a) 50° b) 45° c) 60° d) 55°

Ω

80°

45°

C B

A

R

a = ______

b = ______

106°

a

b 58°

a

52°

b

32°

a) ¿Cuánto mide el ángulo B? __________

b) ¿Cuánto mide el ángulo C? __________

Ω = ___________

a = ______

b = ______

21

FIGURAS Y CUERPOS • Construcción de triángulos con base en ciertos datos.

Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

TRAZO DE UN TRIÁNGULO CON REGLA Y COMPÁS

PROBLEMA: Traza un triángulo cuyos lados midan 5 cm, 4 cm y 3 cm.

1° Trazo con regla uno de sus lados, cualquiera que sea. En este caso es el lado

que mide 5 cm y lo llamamos lado AB.

2° Tomo con el compás la medida del otro lado (4 cm) y apoyando el compás en

uno de los extremos del lado AB, trazamos un arco hacia uno de los lados del lado

AB.

3° Tomo con el compás la medida del tercer lado del triángulo (3 cm) y apoyando el

compás en el otro extremo del lado AB, trazamos otro arco que corte al arco que

habíamos trazado.

4° Trazo el lado que va del punto A al punto donde se cruzaron los arcos.

5° Trazo el lado que va del punto B al punto donde se cruzaron los arcos.


1.- Resuelve los siguientes problemas geométricos. Analiza su posibilidad y

unicidad (único) del trazo.

a) Traza un triángulo equilátero cuyos lados midan 3 cm.

b) Traza un triángulo isósceles cuyos lados midan 3 cm, 5 cm y 5 cm.

c) Traza un triángulo escaleno cuyos lados midan 2 cm, 3 cm y 4 cm.

22

3.- Tenemos tres conjuntos de tres líneas cada uno, con las medidas que se

muestran enseguida para construir con cada conjunto de líneas un triángulo. Dibuja

enseguida los triángulos que si podrás dibujar.

A B C

a) ¿En cuál de los casos no se pudo dibujar el triángulo? _____________________

b) ¿Por qué? _______________________________________________________

4.- El criterio general para poder construir un triángulo es: “Con tres segmentos se

puede formar un triángulo si la suma de la medida de dos lados, cualesquiera de

ellos, siempre es mayor que la medida del otro lado”.

Si tenemos las siguientes ternas de longitudes de segmentos, di con cuáles sí se

puede construir un triángulo y con cuáles no. Dibuja enseguida uno de los trazos

que sí se pueda y demuestra el que no es posible.

Ternas Sí o No

(8 cm, 7 cm y 5 cm)

(7 cm, 5 cm y 3 cm)

(4 cm, 4 cm y 3 cm)

(5 cm, 3 cm y 2 cm)

(7 cm, 7 cm y 3 cm)

Trazo posible

Trazo no posible

23

5.- Trata de trazar un triángulo cuyos lados midan 4 cm, 2 cm y 2 cm y di por qué

no existe la posibilidad de trazarlo.

__________________________________

__________________________________

__________________________________

__________________________________

6.- Traza enseguida tres triángulos diferentes, que tengan cada uno dos lados que

midan 4 y 5 cm respectivamente y mide en los tres triángulos el tercer lado.

Demuestra por qué sí pudiste trazar los triángulos para observar que el problema

tiene varias soluciones.

7.- Construye los cinco triángulos que se pueden trazar, en los que dos de sus lados

midan 6 cm y 3 cm respectivamente.

24

MEDIDA • Resolución de problemas que impliquen el cálculo de áreas de figuras

compuestas, incluyendo áreas laterales y totales de prismas y pirámides.

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

PROBLEMA: Escribe las fórmulas para encontrar el área de las siguientes figuras.

Figura Fórmula del área

CUADRADO 𝑎2

RECTÁNGULO (b) (h)

TRIÁNGULO 𝑏 ℎ

2

CÍRCULO π 𝑟2

TRAPECIO (𝐵 + 𝑏)ℎ

2


1.- Encuentra el área de las siguientes figuras y escríbela dentro de cada figura.

A = ________ A = _________

A = ________

A = ___________

65 m

10 cm

5.9 mm

3.8 mm

16 m

30 m

20 m

8.7 cm

Las superficies se miden con

unidades cuadradas: m², dm²,

cm², etcétera.

1 metro cuadrado es un cuadrado

que mide 1 metro por cada lado.

25

A = __________

A = __________

2.- Encuentra el área de la parte sombreada en cada una de las siguientes figuras.

Área = _______ A = _________

A = __________ A = __________

8 cm

4 cm

7 cm

8 cm

9 cm

4 cm 6 cm 4 cm

5 cm

12 cm

6 cm

8 cm

4 cm

2.5 m

6 cm

26

A = __________

A = __________

3.- A mi mamá le dieron un jarabe en una caja en forma de prisma cuadrangular con

las dimensiones que se muestran enseguida. ¿Cuánto mide el área total de las seis

caras laterales de la caja? _____________

4.- La fábrica de cajas va a elaborar una caja cúbica con las dimensiones que se

muestran en el siguiente diseño. Escribe las medidas en el desarrollo plano de la

caja y encuentra su área total.

8 cm

8 cm

30 cm

12 cm

8 cm 8 cm 8 cm

Área total: ________

27

8 cm

20 cm

1.60 m

2.20 m

5.- PROBLEMA: La cortina de una ventana

está representada con la parte sombreada

en el siguiente dibujo. Encuentra el área

total de la ventana y el área de la cortina.

Área total: ______________

Área de la cortina: ______________

6.- PROBLEMA: La Cartilla Nacional de

Salud que mide 12 cm de base por 18

cm de altura, en su portada tiene una

parte de 6 cm de base por 5 cm de

altura, como se muestra en el siguiente

dibujo.

Encuentra el área total de la cartilla y el

área de la parte sombreada.

Área total: ______________

Área sombreada: ______________

Cartilla

Nacional

8.- PROBLEMA: En un señalamiento circular

de estacionamiento que mide de radio 20 cm,

la letra E abarca una área de 200 cm², tal y

como se muestra en el siguiente dibujo.

¿Cuál es el área de la parte no sombreada?

Área no sombreada: ______________

7.- PROBLEMA: El Profesor Colunga pidió

a sus alumnos que elaboraran una caja de

base cuadrada con las siguientes

dimensiones. ¿Cuál es la cantidad mínima

de material que necesita cada alumno?

a) 864 cm²

b) 604 cm²

c) 768 cm²

d) 700 cm²

28

PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES • Resolución de problemas diversos

relacionados con el porcentaje, como aplicar un porcentaje a una cantidad; como

aplicar un porcentaje a una cantidad respecto a otra, y obtener una cantidad

conociendo una parte de ella y el porcentaje que representa.

EL PORCENTAJE

El porcentaje o tanto por ciento (%) se puede utilizar en muchas situaciones de la

vida real, tales como el aumento en los precios, por la aplicación del impuesto del

16% del IVA, el aumento a los salarios, la devaluación del peso, etcétera.

Cuando calculamos un porcentaje, lo hacemos encontrando el tanto por ciento de

una cantidad. Tanto por ciento significa tantos de cada cien.

PROBLEMA: Mario prestó $300 con el 6% de interés mensual.

¿Cuánto recibirá de pago al término del mes?

Por $100 le pagarán de interés $6, por $200 le pagarán de interés $12, y por los

$300 le pagarán $18. Es decir 6 pesos por cada 100.

Las maneras en que se puede indicar un porcentaje son las siguientes:

Porcentaje Fracción Número decimal

6 % 6

100

.06

Para encontrar el porcentaje de cualquier cantidad podemos hacerlo de las

siguientes maneras:

a) Multiplicamos 300 por el decimal que significa el porcentaje.

300 x 0.06 = 18

b) Multiplicamos 300 por la fracción que significa el porcentaje.

6

100 𝑑𝑒 300 =

6

100 𝑥 300 =

1 800

6= 300


1.- Suponiendo que voy a comer a un restaurante haciendo un consumo de $400 a

lo que me aumentan el 16% de IVA. ¿Cuánto es lo que debo pagar en total?

Porcentaje Fracción Número decimal

Resultado: __________

29

2.- Escribe en la siguiente tabla las diferentes maneras en que se pueden

representar cada uno de los siguientes porcentajes y su significado.

Porcentaje Fracción Decimal Significado

18%

4%

.50

.02

35%

3.- Escribe el significado de cada uno de los siguientes porcentajes y encuentra

cada uno realizando mentalmente la operación.

Problema Significado Resultado

5% de 200 5 de cada 100

10% de 300

8% de 500

15% de 300

4.- Calcula los siguientes porcentajes.

a) Obtener el 10% de $575 _________

b) Obtener el 16% de $6 390 _________

c) Obtener el 8% de 45 naranjas __________

d) Obtener el 40% de 1 548 personas __________

e) Obtener el 3% de 120 vacas _____________

f) Obtener el 12% de 450 alumnos ____________

g) Obtener el 21% de 524 votantes ____________

h) Obtener el 20% de 590 estudiantes ___________

i) Obtener el 15% de 250 kilogramos ____________

30

5.- Resuelve los siguientes problemas.

5.- PROBLEMA: Iván compró un pantalón

que costaba $350 y le hicieron un

descuento del 15%. ¿Cuánto pagó por el

pantalón…………………………….. (____)

a) $ 297.50 b) $ 52.50 c) $ 402.50 d) $ 294.00

7.- PROBLEMA: En una tienda, a un

pantalón que vale $350.00 le hacen el 16%

de descuento. ¿Cuánto se debe pagar por

el pantalón?........................................(____)

a) $ 420.00 b) $ 280.00 c) $ 294.00 d) $ 343.00

9.- PROBLEMA: Una televisión tiene un

precio inicial de $3250. ¿Cuál es el precio

final del televisor con el impuesto del IVA

que es del 16%?......................... (____)

a) 3 737.50 b) $ 3 737.00 c) $ 3 770.00 d) $ 3 747.50 11.- PROBLEMA: Gasté 40 % de mi dinero y regalé el 15 % de lo que me quedó. Si al principio tenía 400 pesos, ¿cuánto tengo ahora?

6.- PROBLEMA: Un comerciante

compra el par de botas en $1600. ¿En

cuánto deberá vender cada par para

poder ganarse el 30%?

8.- PROBLEMA: En este año ha habido

productos que han aumentado hasta el

30% de su precio. Si el kilogramo de

jabón para lavar costaba $18.00, ¿a qué

precio se encuentra actualmente?

10.- PROBLEMA: Al comprar un estéreo

cuyo precio es de 6 500 pesos nos

hacen un descuento del 9 %. ¿Cuánto

hay que pagar por el estéreo?

12.- PROBLEMA: En un grupo de 48

alumnos reprueban el 7 %. ¿Cuántos

alumnos son los reprobados?

31

NOCIONES DE PROBABILIDAD • Comparación de dos o más eventos a partir de

sus resultados posibles usando relaciones como: “es más probable que…”, “es

menos probable que…”

PROBABILIDAD

PROBLEMA: Mariana compró 3 boletos para la rifa de un teléfono celular en la que

se vendieron 125 boletos. ¿Cuál es la probabilidad de que se gane el celular?

Para calcular una probabilidad se necesita determinar el espacio muestral.

El espacio muestral está constituido por todos los datos posibles de un evento.

En este caso el espacio muestral es 125.

También se necesita determinar el número de casos favorables, que en este caso

es 3, o sea el número de boletos que compra Mariana.

Por lo tanto, la probabilidad de que Mariana gane el teléfono es 3

125


1.- Determina el espacio muestral de los siguientes eventos.

a) Lanzar una moneda para saber qué cae: _______

b) Lanzar un dado para ver qué número cae: ______

c) Hacer 50 boletos para la rifa de un reloj: _______

d) Meter en una urna 3 canicas rojas, 5 canicas verdes y 12 canicas blancas: ______

e) En una bolsa hay 10 calcetines negros y 8 azules: _______

f) Un televisor se va a rifar con boletos numerados del 1 al 100: _______

2.- Al realizar el experimento aleatorio de lanzar un dado:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga el 5?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un número menor que 5?

3.- Se va a rifar una televisión con cincuenta boletos numerados del 1 al 50.

Encuentra las probabilidades que se piden.

a) Probabilidad de que gane un número menor que el 5:

b) Probabilidad de que gane un número que sea un número mayor que el 40:

c) Probabilidad de que gane el número 7:

d) Probabilidad de que gane el 5, el 10, el 15, el 20, el 25, el 30, el 35, el 40 o el 45:

32

4.- Al realizar un experimento de lanzar un dado:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en 2?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en 5?

c) ¿Qué es más probable que caiga el 2 ó el 5? ______________


a) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en 6?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en 4 o 3?

c) ¿Qué es más probable que caiga el 6 ó el 4 o 3? ________________


a) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga 3 o 1?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en 6, 5 o 3?

c) ¿Qué es más probable que caiga el 3 o 1, ó 6, 5 o 3? ________________

7.- Tenemos enseguida las siguientes palabras: MATEMÁTICAS y SECUNDARIA.

Si elijo al azar una letra de cada una de las dos palabras:

a) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una U en la palabra SECUNDARIA?

b) ¿En cuál palabra es más probable que sea la letra A la que elija? _____________

c) ¿En cuál palabra es menos probable que sea la letra E la que elija? ___________

d) ¿En cuál palabra es menos probable que sea la letra T la que elija? ___________

e) ¿En cuál letra es la misma probabilidad de elegirla? ___________________

8.- En una urna hay 13 bolas blancas, 15 bolas negras, 24 cafés, 13 azules y 14

rojas.

Si saco al azar una de las bolas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola café?

b) ¿Cuál bola es menos probable que saque? _________________

c) ¿Cuál bola es más probable que saque? _____________________

d) ¿Qué es más probable sacar, una bola blanca o una bola azul? ______________

e) Ordena todas las probabilidades de mayor a menor:

˃ ˃ ˃ ˃

33

ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE DATOS • Análisis de casos en los que la

media aritmética o la mediana son útiles para comparar dos conjuntos de datos.

PROMEDIO O MEDIA ARITMÉTICA

PROBLEMA: Encuentra el promedio de las siguientes calificaciones.

7, 9, 10, 8, 6, 10, 8, 8 y 8.

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 7 + 9 + 10 + 8 + 6 + 10 + 8 + 8 + 8

9=

74

9= 8.2

El promedio es una medida de tendencia central que se encuentra sumando todos

los números y dividiendo la suma entre la cantidad de casos que forman la lista.

MEDIANA

PROBLEMA: Encuentra la mediana en la siguiente lista.

10, 10, 9, 8, 8, 8, 8, 7, 6 Mediana: 8

La mediana es el dato que se encuentra ubicado al centro o en medio de una lista

después de haber sido ordenada. Es otra medida de tendencia central. En el caso

de que se encuentren dos datos en el centro, se obtiene el promedio de ambos.


1.- Encuentra el promedio o media aritmética de las siguientes series de números.

Serie de números Promedio

8,6

9, 8, 7, 6

3, 4, 8, 9, 11

10, 40, 60, 80, 90, 90

7.5, 8.4, 9.3, 6.8, 9.2

125, 200, 450, 500, 760, 432

4.5, 2.25, 3.75, 3.5, 4.5

34

2.- PROBLEMA: Un

jugador de basquetbol

durante varios partidos

encestó los siguientes

puntos: 20, 18, 12, 15,

14, 6 y 10. ¿Cuál es su

promedio?

3.- PROBLEMA: En la ciudad

de Chihuahua a las 7:30

horas de los primeros días

del mes de enero, se

registraron respectivamente

las siguientes temperaturas:

1°C, 3°C, 2°C, 6°C,

8°C, 8°C, 3°C y 2°C.

¿Cuál es el promedio de

estas temperaturas?

4.- PROBLEMA: La familia

Holguín gastó diariamente

en alimentos las siguientes

cantidades: $120, $140,

$95, $123, $240, $175 y

$96. ¿Cuál es el promedio

de gastos diarios?

5.- PROBLEMA: Iván en

su carro a Ciudad Juárez

lo hace cambiando cada

hora la velocidad y viaja

conservando cada hora

las siguientes

velocidades: 90 km por

hora, 110 km por hora,

140 km por hora y 115

km por hora.

¿Cuál es el promedio de

la velocidad?

6.- PROBLEMA: En una

prueba de Matemáticas que

se aplicó a un grupo, cada

uno de los alumnos

obtuvieron los siguientes

aciertos:

28, 27, 26, 26, 24, 24, 23, 22,

22, 22, 21, 20, 20, 20, 20, 19,

19, 19, 18, 16, 14, 14, 12, 11,

9 y 8.

a) ¿Cuál es el promedio de

aciertos del grupo?

b) ¿Cuál es el número que

representa la mediana?

7.- PROBLEMA: Una persona

en la sierra recorrió durante

varios días estas distancias:

7 km, 8 km, 13.5 km, 10 km,

11.5 km, 8 km y 14 km.

a) ¿Cuál es el promedio de

kilómetros recorridos?

b) ¿Cuál es el número que

representa la mediana?

35

PROBLEMAS ADITIVOS • Problemas con suma de monomios y polinomios.

SUMA CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

PROBLEMA: ¿Cuál es el perímetro del siguiente terreno? Una expresión algebraica está formada por una o más variables como, por ejemplo, 5x – 2. Las variables son la parte representadas con las literales, en este caso es x. El término algebraico 5x tiene: coeficiente 5, literal x, signo + y exponente de x que es 1. Las expresiones algebraicas se clasifican en: Monomios formada por un solo término como 5x, binomios como 5x – 2, trinomios como x² + 2x – 1. Para simplificar expresiones algebraicas, solo sumamos o restamos los términos semejantes. Ejemplo: (5x – 2) + (4x – 2) + (2x + 7) + 2x = 5x – 2 + 4x – 2 + 2x + 7 + 2x = 13x + 3 Los términos son semejantes cuando tienen la misma literal afectada con el mismo exponente. Ejemplos: (5x, 4x, 2x y 2x) y (–2, –2 y +7). Para encontrar el valor numérico de un polinomio, basta con sustituir las literales por su valor, ejemplo: Cuando “x” vale 3 en el siguiente polinomio. x² – 5x + 9 = 3² –5(3) + 9 = 9 – 15 + 9 = 3


1.- Completa la tabla dándole a las literales los siguientes valores, ejemplo. a = 3 b = 4 x = 2 n = 5 c = –6

Expresión Nombre Operaciones Valor

–4a + 4 Binomio – 4(3) + 4 = –12 + 4 = – 8 – 8

a + 2a (x + 3) ² 4n – 1 5n + 4

b² – 4ac 3n – 7

x² – 2x + 5

4x – 2

2x + 7

2x

5x – 2

BLOQUE 2

36

2.- Simplifica, reduciendo los términos semejantes.

9x + 4x = _______ 5x + 3x + 2x = _______ 7y + 5y – 9y = ______

9y – 3y = ______ 2a + 4a + 6a = _______ 2a + 3a – 5a = _______

10x + 20x = ______ 3x + 5x – 6x = _______ 10x – 5x + 12x = ______ 8x – 15x = _______ 3y – 12y = _______ 4x – 9x = _______

– 2x – 7x = _______ – 5y – 8y = _______ – 11b – 7b = ______

3.- Simplifica.

3x² + 2x – 2 – 2x² + 5x + 5 = ___________________________________________

5b + 7b² + 12 + 3b – 4b² – 7 = _________________________________________

3x² – 2x + 2 + 5x³ – 2x² + 3x – 4 = ______________________________________

(4x² – 5x + 3) + (– 2x² – 2x – 4) = _______________________________________

(3x³ – 4x² – 5x) + (5x³ + 2x² – 3x) = _____________________________________ 4.- Encuentra el perímetro de las siguientes figuras.

P = _____________ P = _________________ P = __________________

P = ______ P = _______________ P = ___________

4n 4n

4n + 5

2x + 1

3a + 5 2x

n

n

n

n

2m

2m

4x

6y x x

x x

x

37

5.- El siguiente dibujo representa el plano de la casa donde vive el Señor Reyes.

9x + 7

3x + 4

2x + 4 5x – 2 2x 5

a) ¿Cuánto mide el perímetro de la cochera? ________________ b) ¿Cuánto mide el perímetro del baño? _______________ c) ¿Cuánto mide el perímetro de la recámara? ________________ d) Si el ancho del estudio mide 8 metros, ¿cuánto mide de perímetro? ___________ e) ¿Cuánto mide el perímetro de toda la casa? ________________ 6.- ¿Cuál es el resultado de (3x + x² – 10) + (5x + x² + 10)?............................ (____) a) 2x² + 8x b) 8x + 20 c) 8x – 20 d) 2x + 2x² + 0 7.- ¿Cuál es la suma de los polinomios 3x² – y; 5x² – 2xy + 3y; 5xy + y?........ (____) a) 15x³ – 10xy – 3y³ b) 8x² + 3x²y² + 3y c) 8x³ + 3xy + 3y d) 8x² + 3xy + 3y

Cochera

Sala

Estudio Ba

ño

2x + 2

x + 2

Recá

mara

38

8.- Simplifica, reduciendo los términos semejantes. 5x + 6x = _______ 3x + 4x + 6x = _______ 8y + 6y – 10y = ______ 8y – 3y = ______ 4a + 4a + 4a = _______ 3a + 4a – 6a = _______ 12x + 20x = ______ 3x + 3x – 6x = _______ 12x – 5x + 12x = _____ 7x – 15x = _______ 5y – 14y = _______ 5x – 10x = _______ –4x – 6x = _______ –4y – 7y = _______ –10b – 7b = _______ 9.- Encuentra lo que mide el perímetro de cada una de las siguientes figuras.

13

4x – 2 4x – 2

2x + 1

5 5 2x + 1

3x + 1

4x + 2

2x + 2 2x + 2

5x – 2

5x – 2

x + 4

3x

2x

2x + 1

P = _____________ P = _____________

P = _____________ P = _____________

39

10.- El Profesor nos presentó la siguiente figura y nos indicó que el lado que falta

vale 2x + 5. ¿Cuál es la medida del perímetro de la figura? ………….……….. (___)

a) 6x + 4

b) 6x + 20

c) 13x + 15

d) 13x + 20

11.- Yo manejo billetes con denominaciones x, y, z.

He ahorrado una cantidad de dinero que es igual a 2x + 2y + 8z.

Esta quincena gané en mí trabajo una cantidad igual a 10x + 5y + 3z.

Me pagaron una cantidad igual a 3x + 8y + 2z de un dinero que me debían.

¿Cuánto dinero tengo?...................................................................................... (___)

a) 15x +7y + 13z b) 15x + 15y + 13z c) 10x + 15y + 13z d) 15x + 15y

12.- Escribe las medidas que faltan en la siguiente figura que corresponde al croquis

de una cooperativa escolar.

a) ¿Cuánto mide el perímetro de la región A? ___________

b) ¿Cuánto mide el perímetro de la región D? ___________

c) ¿Cuánto mide el perímetro de toda la cooperativa? _________

d) Si x vale 2, ¿cuánto mide el perímetro de la región B? _________

e) Si x vale 2, ¿cuánto mide el perímetro de la región C? _________

A (____)

(____)

6 x

10 x

10 x

17 x

x + 8

8x + 3

2x + 4

B

C D

40

PROBLEMAS ADITIVOS • Problemas con resta de monomios y polinomios.

RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

PROBLEMA: En el siguiente cuadrado mágico la suma de las líneas horizontales, de las verticales y de las diagonales es igual a 12x – 18. Encuentra los sumandos que faltan.

ACTIVIDADES PARA APRENDER 1.- Escribe el inverso de los términos que están dentro del paréntesis. – (2x + 7) = – (6y – 7) = – (6x – 8y + 5) = – (4x + 6) = – (6x – 9) = – (6a – 4b – 7) = – (– 6x + 9) = – (–3y + 4) = – (–3a + 10b – 6c) = 2.- Simplifica. Ejemplo: 18 – (–15) – 3 – (–5x) = 18 + 15 – 3 + 5x = 30 + 5x 7x – (–7x) = _______________________ 8x – (–3x) = ___________________ 4x – (–9x) = _______________________ – 6x – (–5x) = ___________________ 13x – (–2x) + 45 – (–21) = _____________________________________________ 8x – (–2x) + 53 – 14 = ________________________________________________ (12x + 9) – (3x + 6) = _________________________________________________ (8a + 5) – (4a + 5) = __________________________________________________ (6x² + 9) – (8x² + 12) = ________________________________________________

Sumamos los sumandos de la primera línea vertical:

(2x – 3) + (12x – 18) = 2x – 3 + 12x – 18 = 14x – 21

Para encontrar el sumando que falta, a 12x – 18 le

restamos 14x – 21.

(12x – 18) – (14x – 21) =

12x – 18 – 14x + 21 = – 2x + 3

Siempre que haya signo menos antes de un

paréntesis, todo lo que está dentro del paréntesis se

cambia por su signo contrario.

12x –18 4x – 6 – 4x + 6

2x – 3 0

41

3.- Simplifica – (3x – 7) = – (4x² – 3x + 2) = – (–4x³ – 6x² + 3x – 8) = – (– 2x + 4) = – (–5x³ + 4x² – x + 0.8) = 4.- Resta (5x² + 6) – (3x² + 8) = _________________________________________________ (7x³ – 2x² + 6) – (7x² + 2x – 4) = ________________________________________ (6x³ – 3x² + x + 1) – (8x³ + 3x² – 1) = ______________________________________ 7x³ – (–3x² – 2x + 1) = ________________________________________________ (0.08x³ – 0.02x² + 0.01) – (0.02x³ – 0.03x² – 1) = ___________________________ 5.- Resuelve los siguientes problemas. a) En mi casa tenemos (8x + 9) naranjas. Si nos comemos (4x + 7) naranjas, ¿cuántas naranjas nos quedan? __________________ b) El perímetro de la casa de mi sobrino Iván mide (24x + 22) metros, y una de las recámaras mide de perímetro (6x + 9) metros, ¿cuánto es mayor el perímetro de la casa que el de la recámara? __________________ 6.- Simplifica (y + 4) + (y – 5) – (y + 8) = _____________________________________________ (7y² + 6) – (3y² – 12) + (8y² + 3) = _______________________________________ (4a² – 3a) + (7a² – 9a) – (6a) = __________________________________________ (5x³ + 6) – (2x³ – x) + (x³ – x) = _________________________________________

42

7.- Resta (x² + 5x + 6) – (x² + 2x) = ______________________________________________ (x³ + 1) – (x³ + x²) = __________________________________________________ (3x² – 6x + 1) – (6x² + 8x – 3) = _________________________________________ (3x² – 7x + 2) – (–5x² – 2x + 4) = ________________________________________ 8.- Resuelve los siguientes problemas. a) El papá de Isaid tiene (25x + 8) años, y la edad de Isaid es de (x + 4) años, ¿cuántos años es mayor el papá? _________________ b) Mario y su hermano Ismael se dirigen a Cd Juárez en distintos carros. El primero maneja a una velocidad de (6x + 20) kilómetros por hora, y el segundo lo hace a una velocidad de (5x – 10) kilómetros por hora. a) ¿Cuántos kilómetros avanza más Mario durante una hora? ______________ b) ¿Cuánto avanza más en dos horas? ____________ c) Si “x” vale 20, ¿a qué velocidad va Mario? _______________ d) Si “x” vale 20, ¿a qué velocidad va Ismael? _______________ 9.- Observa los siguientes dibujos y resuelve los problemas planteados enseguida. a) ¿Cuánto es más alto el edificio que la astabandera? ___________ b) ¿Cuánto es más alta la astabandera que la escuela? ___________ c) ¿Cuánto es más alta la escuela que la iglesia? ____________ d) ¿Cuánto es más alto el edificio que la escuela? _________

Escuela Secundaria 13

x + 9 x + 13

10x + 5

12x + 20

43

a

PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS • Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS EQUIVALENTES. MODELOS GEOMÉTRICOS.

PROBLEMA: ¿Cuál es el área de las siguientes figuras? A = a(a + 2) = a² + 2a Área del cuadrado = (a)(a) = a² Área del rectángulo = (2)(a) = 2a Una identidad algebraica es una expresión que se escribe diferente a otra, pero que ambas valen lo mismo, por eso reciben el nombre de identidades algebraicas.

ACTIVIDADES PARA APRENDER 1.- Encuentra la expresión algebraica que representa el área de las siguientes figuras o modelos geométricos. x x m a x + 6 A = _______ A = _______ A = ______ A = ___________ 2.- Encuentra el área de cada una de las siguientes figuras. a a a x y z A = ____________________ A = _________________________ x + 3 7 + 4 x A = ___________ A = __________

2

a

a

a + 2

a

7

b

a

a

a 3

5

Propiedad distributiva de la multiplicación:

a(a + 2) = (a)(a) + (a)(2) = a² + 2a

2a a²

44

3.- En los siguientes modelos geométricos, escribe en la línea la expresión algebraica que falta para completar las identidades algebraicas de sus distintas áreas. a +1 a 1 2(a + 1) = __________________ x + 2 x x 2 2 (x + 2) (x + 2) = ______________________________________ (5 + 3) ² = ___________________________________ a + 1 a 1 4(a + 1) = _________________________ x x 3 3 x + 3 ____________________________________ = (x + 2) (x + 3)

5

3

3

3 5

3 5

5 5 + 3

+

2

3

5

+

2

x

2 x

2 x

4 4 4

2 x

2 x

x

2 2 2

45

4.- El salón de baile de Cd. Aldama, está diseñado como se muestra en el primer modelo. Los dibujos siguientes tres muestran las ampliaciones que están programadas en un futuro para que el salón tenga mayor capacidad. Encuentra el área de todos los dibujos. x + 3 x + 4

A = ________________________ A = __________________________ x + 5 x + 6 A = ________________________ A = _______________________ 5.- PROBLEMA: Mi tío va a instalar en una pared con cerámica decorada, un cuadro con las tres piezas que se muestran enseguida del lado izquierdo y la forma en que quedará terminado con la figura del lado derecho. 3

3

x

3

x

x

x

+

x x

+

5

+

4

x

+

3

6

¿Cuál es la expresión que representa el

área total del cuadro terminado? ….(___)

a) x² + 6x + 9

b) x² + 6x + 18

c) x² + 9x + 18

d) x + 9x + 9

46

MEDIDA • Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.

VOLUMEN DEL CUBO, PRISMAS Y PIRÁMIDES RECTOS.

El volumen es el espacio que un cuerpo ocupa. La capacidad es la cantidad de cualquier líquido que puede contener ese volumen. El volumen tiene tres dimensiones que son largo, ancho y alto. El volumen se mide en unidades cúbicas, como cm³, dm³, m³, etc. 1 metro cúbico es un cubo que mide 1 metro por cada arista. 1 dm³ = 1 litro 1 m³ = 1 000 litros

Sólido Fórmula del volumen

Cubo Área de la base por la altura = L³ = (L)(L)(L)

Prisma Área de la base por la altura

Pirámide Área de la base por la altura entre tres.


1.- Expresa en unidades cúbicas (u³) el volumen o espacio de los siguientes sólidos.

V = __________

V = _________

V = __________

V = _________

V = _________ V = __________

20

20

20

2.1

2.6 9.9

Una pirámide es la tercera parte del volumen de un cubo o de un prisma.

47

2.- Encuentra el volumen de los siguientes sólidos geométricos.

3.- PROBLEMA: ¿Cuál es el volumen de una casa que tiene la siguiente forma y dimensiones?

V = __________________ V = ___________________

2.5 m

3 m

4 m

6 m

6 m

10 m

10 m

2.5 m

4 cm

3.1 cm

2 cm

1.8 cm

5.8 cm

2.5 cm

2.5 cm

2.5 cm

3.4 cm

4.- PROBLEMA: Un libro de Matemáticas tiene las siguientes dimensiones: 24 cm, 19 cm y 3 cm. ¿Cuál es el volumen que ocupa?

5.- PROBLEMA: Una oficina tiene la siguiente forma y dimensiones:

a) ¿Cuántas caras tiene? ____ b) ¿Cuántos vértices tiene? ____ c) ¿Cuántas aristas tiene? ____ d) ¿Cuál es su volumen? ____

48

8.- Encuentra el volumen de las siguientes pirámides cuadrangulares.

Capacidad: ______________ litros.

2 m

3.80 m

12.30 m

20 m

7.- PROBLEMA: Encuentra el volumen de un prisma recto con base cuadrada, cuya altura es de 15 cm y los lados de la base miden 20 cm cada uno.

10.- PROBLEMA: En una tienda tienen 75 cubos para jugar que miden 8 centímetros de arista cada uno. Si todos se van a acomodar dentro de una caja, ¿cuál debe ser el volumen de la caja? ______________

9.- PROBLEMA: ¿Cuál es la capacidad de un depósito de agua con 8 perforaciones al frente y con las dimensiones como el siguiente?

6.- PROBLEMA: Una alberca tiene estas dimensiones: 25 m, 10 m y 3 m. ¿Cuál es su volumen? ______________ ¿Cuántos litros de agua se necesitan para que se llene hasta la mitad? __________________

25 cm

40 cm

24 cm

56 cm

49

MEDIDA • Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides.


1.- Encuentra el volumen de los siguientes prismas o pirámides y contesta las preguntas que se te hacen enseguida. V = _____________ V = ____________ V = ________ V = _________ a) ¿Son iguales las bases del prisma A y de la pirámide B? _____ b) ¿Cómo son las alturas del prisma A y la pirámide B? ____________________ c) ¿Cómo es el volumen del prisma A y el de la pirámide B? _________________ d) ¿Cómo es el volumen del prisma C y el de la pirámide D? _________________ e) ¿Qué observas en relación al volumen y las medidas de los sólidos? ________ __________________________________________________________________

15 cm

4 cm 4 cm

5 cm

4 cm 4 cm

18 cm 6 cm

4 cm 4 cm

B

A

4 cm 4 cm

C

D

50

2.- Encuentra el volumen de las siguientes pirámides y contesta la pregunta. Observa cómo cambian las alturas de las pirámides. V = ______ V = _________ V = _________ V = _________ ¿Cómo varía el volumen de las pirámides en relación con su altura, si el área de la base no cambia? ____________________________________________________

6.- Completa la tabla siguiente.

Sólido Lado Lado Altura Volumen

Prisma cuadrangular 10 160


Prisma cuadrangular 6 6 360


4 4

24

4 4

12

6

4 4

3

4

4

3.- PROBLEMA: ¿Qué altura tiene un edificio de forma de prisma si las dimensiones de su base son 20 metros por 10 y tiene un volumen de 5000 m³? Altura: ______________

5.- PROBLEMA: En el Centro Deportivo Magisterial se construyó una alberca rectangular con un espacio de 400 m³. Si la base de la alberca mide 25 metros de largo por 8 metros de ancho. ¿Cuánto mide de profundidad? __________

4.- PROBLEMA: Dentro de una caja rectangular de 504 cm³ de volumen se guardan 28 fichas de dominó. ¿Cuál es el volumen de cada ficha? ___________

51

PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES • Identificación y resolución de situaciones

de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.

PROPORCIONES INVERSAS

PROBLEMA: Determina si en el siguiente problema existe proporción inversa.

5 obreros tardan 8 horas en hacer un trabajo.

10 obreros tardarán 4 horas en hacer el mismo trabajo.

Las proporciones inversas son aquellas que, al aumentar una cantidad la otra

cantidad por el contrario disminuye, o aquellas que cuando una cantidad disminuye,

la otra cantidad aumenta. Ejemplo:

Número de obreros 5 10

Número de horas 8 4

Observa que aumenta la cantidad de obreros y disminuye el tiempo que tardan en

hacer el trabajo.


1.- Completa la siguiente tabla que representa el tiempo que tardan varios obreros

en realizar un mismo trabajo.

Número de obreros 2 4 8 16

Número de horas 40 20

a) Completa los siguientes factores de la tabla donde el producto constante es 80:

40 x 2 = _____ 20 x 4 = _____ ____ x 8 = 80 _____ x 16 = 80

b) ¿Qué es lo que pasa al aumentar el número de obreros? ___________________

c) ¿Es una proporción inversa? _____ ¿Por qué? ___________________________

_________________________________________________________________

Observa que como el producto constante es 80, entonces para encontrar lo que

tardan 8 obreros, buscamos un número que multiplicado por 8 nos de 80, y lo

podemos hacer dividiendo 80 ÷ 8 = 5

d) ¿Cuánto es 80 ÷ 16? _____

En las proporciones inversas los

productos son constantes.

8 x 5 = 40 4 x 10 = 40

Producto constante: 40

52

2.- Completa la siguiente tabla que representa el tiempo que tardan varios obreros

en realizar un mismo trabajo.

Número de obreros 5 10 25 40

Número de horas 20

Completa los siguientes factores de la tabla en donde el producto constante es 100:

20 x 5 = ____ 10 x ___ = ____ ___ x 25 = ____ ____ x 40 = 100

a) ¿Qué es lo que pasa al aumentar el número de obreros? ___________________

b) ¿Es una proporción inversa? _____

3.- Se van a distribuir 2 500 litros de gasolina en distintos depósitos que tienen una

capacidad de 5 litros, 10 litros, 20 litros y 25 litros cada uno. ¿Cuántos depósitos se

necesitan de cada uno para almacenar la gasolina?

Capacidad de los depósitos (litros) 5 10 20 25

Número de depósitos necesarios

a) Completa los siguientes factores de la tabla donde el producto constante 2 500.

____ x 5 = 2 500 ____ x ___ = ______ ____ x 20 = ______ ____ x 25 = 2 500

b) ¿Qué es lo que pasa al aumentar la capacidad de los depósitos? _____________

c) ¿Es una proporción inversa? _____

4.- Completa las siguientes tablas de variación proporcional inversa.

3 6 10 15 20

30

40 50 60 80 100

30

4 12 24 48 96

120

60 80 90 100 125

60

53

NOCIONES DE PROBABILIDAD • Realización de experimentos aleatorios y

registro de resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial. Relación

de ésta con la probabilidad teórica.

PROBABILIDAD TEÓRICA Y FRECUENCIAL

La probabilidad teórica o clásica es la que se calcula dividiendo el espacio muestral

entre el número total de resultados posibles como, por ejemplo, si en la rifa de un

automóvil se venden 5 000 boletos y una persona compró 20 boletos, la probabilidad

teórica o clásica es 20

5 000=

1

250= 0.004

La probabilidad frecuencial o empírica es la que se fundamenta por una serie de

varias realizaciones de un experimento aleatorio.

Para establecer la probabilidad frecuencial se repite el experimento un número

determinado de veces, se registran los datos y se divide el número de veces que se

obtiene el resultado que nos interesa entre el número de veces que se realizó el

experimento.


1.- PROBLEMA: Encuentra la probabilidad frecuencial de que caiga sello al lanzar

una moneda al aire, si se realizó el experimento 5, 10, 15, 20 y 40 veces con los

siguientes resultados. Escribe también la probabilidad teórica.

a) ¿Cuántas caras tiene una moneda? ________

b) ¿Cuál será el espacio muestral? ___________

c) ¿En este experimento la probabilidad teórica siempre será igual? ________

Veces que se repite el experimento

Veces que cayó sello Probabilidad frecuencial

Probabilidad teórica

5 2 2

5

1

2

10 6 6

10=

3

5

15 8

20 11

40 24

d) ¿En este experimento la probabilidad frecuencial siempre será igual? _______

54

2.- Realiza el experimento de sacar una bola amarilla de una caja que tiene 3 bolas

rojas y 5 amarillas, repitiéndolo las veces que se indica para encontrar los resultados

que se piden en la tabla. Puedes simular el experimento con 8 papelitos. (3R) y (5A)

Veces que se repite el exp.

Veces que salió bola amarilla

Probabilidad frecuencial

Probabilidad teórica de sacar bola amarilla

4

10

15

18

20

4.- Realiza el experimento de que caiga águila al lanzar una moneda al aire,

repitiéndolo las veces que gustes y registra los resultados en la tabla sobre las veces

que repetiste el experimento, probabilidad frecuencial y probabilidad teórica.

5.- Arroja un dado las veces que se te indica para encontrar la probabilidad de que

caiga el número 4 y registra los resultados obtenidos.

Veces que se repite el exp.

Veces que cayó 4


Probabilidad teórica de que caiga 4

4

8

12

16

55

PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS • Resolución de cálculos numéricos que

implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, si fuera necesario, en

problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios.

JERARQUÍA DE OPERACIONES. USO DE PARÉNTESIS

PROBLEMA: Resuelve las siguientes operaciones tomando en cuenta lo siguiente: Primero se multiplica y/o divide de izquierda a derecha. Enseguida se suma y/o resta de izquierda a derecha. – 4 + 5 x 8 = Multiplicamos primero 5 x 8 = 40

– 4 + 40 enseguida sumamos – 4 + 40 = 36

36

Cuando la operación está indicada con paréntesis circulares, hacemos primero las

operaciones que están dentro del paréntesis.

(– 4 + 5) x 8 = 1 x 8 = 8 Primero sumamos – 4 + 5 = 1


1.- Resuelve las siguientes operaciones aplicando la jerarquía. Primero multiplica.

40 + 5 x 8 = _______________________ 12 + 5 x 4 =

250 x 1 + 250 = ____________________ 8 + 5 – 3 x 10 =

5² + 25 = _________________________ 35 + 2.5 x 1.4 =

4.2 x 5 + 7 = ______________________ 2.5 + 4.3 x 4.8 =

7.1 x 3.4 + 5.6 = _____________________ 24.3 + 6.4 x 2.3 =

2.- Resuelve las siguientes operaciones aplicando la jerarquía. Primero divide.

16 ÷ 2 x 3.4 = ________________________ 16 + 4 ÷ 2 = ________________________

13.5 + 28 ÷ 4 = _______________________ 5.2 – 8 ÷ 4 = ________________________

28 ÷ 7 x 2.4 = ________________________ 23 – 100 ÷ 4 = ______________________

238 ÷ 7 x 9 = ________________________ – 36 + 16 ÷ 4 = ______________________

14 + 36 ÷ 6 = ________________________ 96 ÷ 3 – 32 = ________________________

25 – 125 ÷5 = _______________________ 48 ÷ 3 + 75 ÷ 5 = ______________________

BLOQUE 3

56

3.- Resuelve las siguientes operaciones aplicando la jerarquía.

7 x 3 – 5 = ______________________ 387 – 125 x 4 =

–24 ÷ 3 + 4 = _____________________ –24 + 4 x 3 =

–16 ÷ 2 - 3 = _____________________ 16 + 4 ÷ (–2) =

15 x 8 + 2 – 7 = ___________________ 17 + 3 x 5 =

3 x (–7) – 5 + 4 = __________________ 13 + 28 ÷ 4 – 5 =

4.- Resuelve las siguientes operaciones, resolviendo primero los que está indicado

adentro del paréntesis.

(64 – 8) ÷ 4 = ____________________ (243 ÷ 27) ÷ 9 = __________________

(243 ÷ 27) x 9 = __________________ 576 ÷ (24 x 8) = __________________

(64 – 32) ÷ 4 = ___________________ 84 – (4 x 7) = ____________________

92 – (46 ÷ 23) x 2 = ________________________________

– 92 – 46 ÷ (23 x 2) = _______________________________

84 – (28 ÷ 4) x 7 = _________________________________

144 ÷ (12 x 4) – 1 = ________________________________

5.- Escribe el paréntesis asociando correctamente para poder obtener el resultado

que se pide.

4 x 8 + 5 = 52 4 ÷ 10 – 6 = 1 24 ÷ 4 x 3 = 2

2 + 8 x 7 = 70 8 – 7 + 2 – 1 = 2 1 + 8 x 6 = 54

36 – 3 x 2 x 4 = 12 13 – 5 ÷ 4 = 2 3 x 5 + 8 = 39

6.- Elabora enseguida cuatro operaciones con paréntesis y resuélvelas.

a) _____________________________________________

b) _____________________________________________

c) _____________________________________________

d) _____________________________________________

57

7.- Resuelve los siguientes problemas. Usa paréntesis para indicar las operaciones.

8.- Resuelve las siguientes operaciones.

a) 10 – 2 + 8 – 6 – 5 + 1 = _____________________________________________

b) 20 – 10 + 12 – 12 – 10 + 4 = _________________________________________

c) 5 – 3 x 2 + 4 – 4 ÷ 2 = ______________________________________________

d) 8 – 4 x 3 + 6 – 10 ÷ 5 = _____________________________________________

e) 10 – 12 ÷ 3 + 8 – 5 x 4 = ____________________________________________

9.- ¿Cuál es el resultado de √36 + 2 x 7 – 8 ÷ 2? …………………….………..… (___)

a) 16 b) 20 c) 23 d) 28

10.- ¿Cuál es el resultado de √25 + 3 x 5 – 10 ÷ 2? …………………..…….…… (___)

a) 18.5 b) 10 c) 15 d) 20

11.- ¿Cuál es el resultado de √16 + 2 x 4 – 12 ÷ 4? ……………………………… (___)

a) 6 b) 9 c) 12 d) 8.5


a) 18 b) 20 c) 24 d) 17


a) 17.5 b) 36 c) 34 d) 28

22 m

28 m

14 m

22 m

28 m

b) ¿Cuánto mide el área sombreada

en la siguiente figura?

14 m

9 m

a) ¿Cuánto mide el área sombreada

de la siguiente figura que

corresponde a la sala de una casa?

58

PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS • Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de

expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

PROBLEMA: ¿Cuánto vale el área de la siguiente figura?

A = (3a) (3a²) = (3) (3) (a) (a²) = 9a³

Veamos lo que significa multiplicar un monomio por otro monomio. (3) (–3) = –9 Se aplica las leyes de los signos. (+) (–) = –

(3) (3²) = 3³ = 3 x 3 x 3 = 27 Se suman los exponentes por tener igual base.

2a³ (–3a²) = (2) (–3) (a³) (a²) = – 6a5 Multiplicamos los números con sus signos y luego

las literales.


1.- Multiplica.

(4) (5) = ________ (–8) (+3) = ________ (–4) (–3) = _______

(+5) (–8) = ________ (2x³) (6) = ________ (8x) (9x²) = _______

(8x) (–5) = ________ (–x) (–9) = ________ (7x³) (–9x²) = _______

(5x³) (4) = ________ (8y³) (–3) = ________ (–3y²) (–7y) = _______

2.- Multiplica monomio por monomio.

(–5) (+5) = _______ x² (x²) = _________ (5²) (5³) = _______

–a² (a) = _________ (–x³ ) (x²) = ________ –2x² (–3x²) = _______

(a²) (a²) = ________ –6m (–n) = _________ 4a (7b) = _______

(3x²) (7) = _________ (5x²) (-2) = __________ (–3x) ( –9x²) = _______

3.- Escribe dentro lo que vale el área de cada una de las siguientes figuras.

b

a

4x

5x² 8x²

8x²

3xᵌ

4x²

3a²

3a

59

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIO POR BINOMIO

PROBLEMA: ¿Cuánto vale el área de la siguiente figura?

Área = (5x) (5x + 9) = 25x² + 45x


1.- Multiplica monomio por binomio.

3 (8 + 5) = ___________________ 9 (4 – 6) = _____________________

4x² (3x + 8) = _________________ 5x² (2x + 1) = ___________________

7xᵌ (x² – x) = __________________ 2𝑥4 (4x² – 4xᵌ) = _________________

2x² (x² + 3x) = _________________ –2x² (5x³ + 4) = __________________

–7x² (3xᵌ – 2x) = _______________ – 4x² (–5x² + 2) = _________________

3𝑥5 (4x² – 2𝑥4) = _______________ – 8x² (–3x² – 3) = _________________

2.- Encuentra el área de la parte sombreada en cada una de las siguientes figuras.

3.- ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación: x (20 – 2x)? ...................... (____)

a) 20 – 3x b) 20x – x² c) 20 – 2x d) 20x – 2x

4.- ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación (–3x) (2x² + 5) .……...…. (____)

a) –6x³ – 15x b) –6x² – 15x c) 6x³ – 15 d) 6x³ + 15x

6

4x + 2

5x + 9

5x

Se multiplica el monomio por cada

uno de los términos del binomio.

Con sus signos y aplicando las

leyes de los exponentes.

(5x) (5x) = 25x²

(5x) (9) = 45x

13x – 16

3x

12x – 4

6x

2x

2x + 1

60

x

+

3

x + 7

Multiplicamos cada uno de los términos del multiplicando

por cada uno de los términos del multiplicador y

hacemos la suma de los términos semejantes.

x² 7x

3x 21

21

MULTIPLICACIÓN DE BINOMIO POR BINOMIO

PROBLEMA: ¿Cuánto vale el área de una tarjeta de teléfono público cuyo largo mide

(x + 7) centímetros y de ancho su medida es de (x + 3) centímetros?

( x + 7) ( x + 3 ) = x² + 3x + 7x + 21 = x² + 10x + 21

x + 7

x + 3

x² + 7x

3x + 21

x² + 10x + 21

El producto de dos binomios puede ser ilustrado con áreas como sigue:

(x) (x) = x² (x) (3) = 3x

(x) (7) = 7x (3) (7) = 21


1.- Multiplica binomio por binomio.

(4 + 2) (3 + 2) =

(3 + 5) (4 + 2) =

(4x + 5) (4x + 5) =

(2y² + 5) (yᵌ – 5) =

(5y² + 8) (5y + 7) =

2.- Multiplica binomio por binomio.

(5 + 4) (5 – 4) =

(x² + 4) (2x + 3) =

(3x + 3) (3x + 3) =

(4x + 3) (4x + 3) =

(y + 4)² =

(3y + 5) (3y + 5) =

61

2.- Encuentra el área total de las siguientes figuras y exprésala algebraicamente.

A = ________________

A = ________________

3.- Multiplica los siguientes binomios.

(4x + 3) (4x + 4) = _____________________

(6x + 7) (6x + 3) = _____________________

(10 + 7) (10 + 7) = _____________________

(3x + 2) (3x + 9) = _____________________

(9x + 6) (9x + 3) = _____________________

4.- Encuentra el área total de las siguientes figuras expresada algebraicamente.

5x + 6

5x + 6

2y + 8 3x + 4

2x + 2

x

x + 2

2y + 6

+

3

x

x + 3

+

5

62

A = _________________

A = ________________ A = _______________

3.- Multiplica los siguientes binomios.

(x + 2) (x – 5) = ______________________

(6x – 6) (x + 3) = ______________________

(4x – 1) (4x + 1) = ______________________

(4x² – 2) (5x³ + 4) = ______________________

(6x³ – 3) (6x³ + 3) = ______________________

(7x² – 4) (7x² + 4) = ______________________

(x² + 6x) (x² – 6x) = ______________________

4.- Resuelve los siguientes binomios al cuadrado.

a) (3x + 2y)² = ___________________________

b) (2m² + 5)² = ___________________________

2x + 3

7x + 3

4y + 12

5y + 3

4x + 8

4x + 8

63

5.- Observa el siguiente cuadrado que ha sido dividido en 5 partes. Realiza la

multiplicación de binomios que corresponda para encontrar la expresión

algebraica simplificada que represente al área de cada región. Completa la tabla.

3x + 3

B C

D E x – 1

2x + 1 x + 2

Región Operación Área

A (3x + 3) (x –1) B C D E

6.- Encuentra el valor numérico de las siguiente expresiones algebraicas con los

valores que se dan en la tabla y escríbelo en el espacio correspondiente.

x y x² y² x² – 2xy + y² x² – y²

3 4 5 2 8 10

x + 5

x – 1 A

64

DIVISIÓN DE MONOMIOS

PROBLEMA: Divide y simplifica lo siguiente:

65

63=

6 𝑥 6 𝑥 6 𝑥 6 𝑥 6

6 𝑥 6 𝑥 6 = 65 – 3 = 62 = 36

𝑦4

𝑦2=

(𝑦) (𝑦)(𝑦) (𝑦)

(𝑦) (𝑦)= 𝑦4 – 2 = 𝑦2

Para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes.


1.- Divide y simplifica.

45

42=

86

83=

25

22=

10–6

10–4=

37

32=

109

103=

2.- Divide.

𝑥5

𝑥3=

𝑟8

𝑟3=

𝑦6

𝑦3=

𝑏7

𝑏3=

𝑚8

𝑚4=

𝑤10

𝑤6=

𝑥5𝑦3

𝑥3𝑦2 =

𝑥7𝑦4

𝑥3𝑦2 =

𝑥6𝑦8

𝑥3𝑦3 =

𝑎8𝑏3

𝑎3𝑦2 =

𝑚7𝑛5

𝑚3𝑛2 =

𝑥18𝑦8

𝑥3𝑦6 =

𝑏8𝑐3

𝑏3𝑐 =

𝑎5𝑏3

𝑎2𝑏2 =

𝑥15𝑦13

𝑥9𝑦6 =

15𝑥5𝑦3

5𝑥3𝑦2 =

25𝑥4𝑦9

5𝑥2𝑦5 =

12𝑥6𝑦5

4𝑥2𝑦5 =

+36𝑦3𝑧3

– 3𝑦3𝑧2 =

– 108𝑥4𝑦9

– 6𝑥2𝑦5 =

– 125𝑥6𝑦5

5𝑥2𝑦5 =

5𝑥5𝑦3

5𝑥3𝑦2 =

– 32𝑥6𝑦7

8𝑥2𝑦5 =

48𝑥9𝑦15

– 12𝑥5𝑦5 =

65

FIGURAS Y CUERPOS • Formulación de una regla que permita calcular la suma de los

ángulos interiores de cualquier polígono.

SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DE POLÍGONOS

PROBLEMA: Determina la fórmula que permite encontrar la suma de los ángulos internos

de cualquier polígono.

En los polígonos convexos es posible realizar el proceso de triangulación, que consiste en

dividir la figura en triángulos, trazando desde un vértice todas las diagonales posibles.

No convexo

Recordemos que, en todos los triángulos, la suma de sus ángulos internos es 180°.

Vemos que, en el caso del cuadrado, éste fue dividido en 2 triángulos y que los ángulos

internos de cada triángulo forman los ángulos internos del cuadrado.

Como en el cuadrado se forman 2 triángulos, entonces la suma de sus ángulos internos es

igual a: 180° x 2 = 360°

Podemos establecer la fórmula 180 (n –2) con la que es posible obtener la suma de los

ángulos internos de cualquier polígono, donde n es igual a los lados del polígono.

Cuadrado: 180 (n – 2) = 180 (4 – 2) = 180 x 2 = 360°

Pentágono: 180 (n – 2) = 180 (5 – 2) = 180 x 3 = 540°


1.- Triangula los siguientes polígonos, trazando desde un mismo vértice de cada uno todas

las diagonales posibles. Ilumina los triángulos resultantes con distinto color.

66

a) Basados en la actividad anterior completen la siguiente tabla.

Figura Número de

lados

Número de triángulos en los

que se dividió

Suma de los ángulos

internos

Trapecio

Cuadrado

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octágono

b) Aplicando la fórmula: 180 (n – 2) encuentra la suma de los ángulos internos de un

decágono? _____________

2.- La pared del frente de una tienda está pintada con adornos en la pared para los que se

utilizaron diferentes figuras tal y como se muestra en el siguiente dibujo.

¿Cuánto miden en total los ángulos internos de estas cinco figuras? ________________

3.- Observa el siguiente cuadrado y contesta las preguntas.

f

e

d

c

b

a a) ¿Cuánto mide el ángulo d? ______

b) ¿Cuánto miden los ángulos a + b + c? ________

c) ¿Cuánto miden los ángulos e + f + d? ________

d) ¿Cuánto miden los ángulos a + b + c + d + e + f? _________

67

FIGURAS Y CUERPOS • Análisis de polígonos que permiten cubrir el plano.

TESELACIÓN

PROBLEMA: Cubre el siguiente plano que se encuentra en proceso de teselación, sin dejar

huecos, utilizando para ello figuras geométricas, ya sea regulares o irregulares.

Estas figuras pueden ser el triángulo equilátero, el cuadrado o el hexágono regular, que

son las únicas figuras que por sí solas pueden cubrir el plano sin dejar huecos.

SUPERFICIE EN PROCESO DE TESELACIÓN

A este proceso de cubrimiento del plano sin dejar huecos, ni que se empalmen o traslapen

las figuras, se le conoce con el nombre de teselación.


1.- Termina la siguiente teselación de una de las paredes que el albañil dejó incompleta.

2.- El octágono regular por sí solo no puede cubrir un plano, pero al combinarlo con otras

figuras es posible que se logre la teselación. Completa la teselación de la superficie que se

muestra enseguida. Ilumínala.

68

3.- Una teselación también se puede hacer con figuras irregulares. Forma una tesela con

las siguientes figuras. Puedes dibujarlas en la posición que gustes y con los colores que

elijas. Hazlo en la cuadrícula de abajo.

¡Oh! gloriosa secundaria,

digno centro del saber.

5.- Completa la siguiente teselación.

Ilumina los triángulos pequeños con

dos colores diferentes.

4.- Tesela el plano de abajo utilizando los tres polígonos

con la forma y tamaño que se muestran enseguida.

69

MEDIDA • Relación entre el decímetro cúbico y el litro.

MEDIDAS DE VOLUMEN

Su unidad es el metro cúbico y su símbolo es m³.

Km³ Hm³ Dm³ m³ dm³ cm³ mm³

Kilómetro cúbico

Hectómetro cúbico

Decámetro cúbico

Metro cúbico

decímetro cúbico

centímetro cúbico

milímetro cúbico

MEDIDAS DE CAPACIDAD

Su unidad es el litro.

KL HL DL l dl cl ml

Kilolitro Hectolitro Decalitro Litro decilitro centilitro mililitro

Entre las medidas de volumen y las de capacidad existe la siguiente relación: 1 dm³ = 1 litro 1 m³ = 1 000 litros 1 Dm³ = 1 000 000 litros


1.- PROBLEMA: Un tanque para agua

tiene la forma de un cubo. Si una de sus

aristas mide 3 metros:

a) ¿Cuál es su volumen? ___________

b) ¿Cuánta agua le cabe? _____________

2.- PROBLEMA: La alberca de la granja de mi

tío mide 8 metros de largo por 3 metros de

ancho por 1.5 metros de hondo.

a) ¿Cuál es su volumen? ___________

b) ¿Cuál es su capacidad? ______________

3.- PROBLEMA: Se construyó una

alberca de base rectangular que mide en

su base 20 metros de largo por 8 metros

de ancho. Su profundidad es de 2 metros.

¿Qué cantidad de agua necesita para

llenarse? _________________

4.- PROBLEMA: Una compañía vende

sus jugos en depósitos con forma de

prismas que miden en su base 15 cm de

largo por 8 cm de ancho. La altura es de

25 cm. ¿Qué cantidad de jugo puede

contener el depósito? ______________

70

PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES • Representación algebraica y análisis de una

relación de proporcionalidad y = kx.

REGLAS DE CORRESPONDENCIA

FUNCIÓN: Es una relación en la que a cada elemento de un conjunto le

corresponde uno y solo un elemento del otro conjunto. A cada elemento x le

corresponde un elemento y.

Una relación de correspondencia es cuando las cantidades de dos conjuntos están

relacionadas, por ejemplo, la cantidad de frijol esta relacionada con el precio que

tiene por cada kilo, si 1 kilo cuesta 15 pesos, 5 kilos tendrán un valor de 120 pesos.

En este caso es una relación de proporcionalidad, por a mayor cantidad de tortillas

es mayor el precio.


1.- Completa la siguiente tabla.

Descripción de la relación

¿Repre Senta?

x

¿Repre Senta?

y

Regla

Es de Propor ciona lidad

Cada kilo de tortillas cuesta 15 pesos, por lo tanto, por varios kilos se pagan 15x pesos.

Kilos de tortillas

Precio que se paga

y = 15x

Si

Cada litro de gasolina cuesta 19 pesos, por lo tanto, por varios litros se pagan 19x pesos.

El costo por la entrada al cine es de 70 pesos por persona, por lo tanto, varias personas 70x pesos.

La alberca cobra 25 pesos por persona, por lo tanto, varias personas pagan 25x pesos.

El estacionamiento cobra 20 pesos la entrada, más 5 pesos por cada hora que dure en el estacionamiento.

y = 20 + 5x

El parque de la Ciudad Infantil cobra 30 pesos la entrada más 4 pesos por juego que se utilice.

La cineteca renta a 75 pesos la película más 15 pesos por día que la utilice.

Con 1 litro de gasolina se pueden recorrer 15 kilómetros, por tanto, con x litros recorrerá 75x km.

71

2.- Representa en una tabla y en una gráfica la relación de correspondencia anterior

y contesta las preguntas.

Relación: Con 1 litro de gasolina se pueden recorrer 15 kilómetros, por tanto, con x

litros recorrerá 15x kilómetros.

Regla: y = 15x

Litros x

Kilómetros y

1 15

2

3

4

5

a) ¿La recta pasa por el origen? _______

b) ¿El producto de los medios es igual al producto de los extremos? ______

c) ¿Es una relación de proporcionalidad directa? ______

3.- Representa en una tabla y en una gráfica la relación de correspondencia anterior

y contesta las preguntas.

Relación: El estacionamiento cobra 20 pesos la entrada, más 5 pesos por cada hora

que dure en el estacionamiento.

Regla: y = 5x + 20

Horas x

Pago total y

0 20 pesos

1

2

3

4

a) ¿La recta pasa por el origen? _______

b) ¿El producto de los medios es igual al producto de los extremos? ______

c) ¿Es una relación de proporcionalidad directa? ______

y

x

y

x

72

4

8

16 20

24

28

32

12

16

S

u

e

l

d

o

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Horas trabajadas

4.- Analiza el siguiente problema y resuelve lo que se pide enseguida.

PROBLEMA: Una compañía que vende filtros para agua les paga a sus empleados

$100 diarios de sueldo fijo y $20 de gratificación por cada filtro que vendan al día.

a) De acuerdo al problema, completa la siguiente tabla que corresponde a un día de

trabajo.

x Filtros vendidos

0 1 2 3 4

y

Pago total

$100

b) ¿De qué depende el pago? _____________________________________

c) ¿Cuánto es lo que le pagan de gratificación por cada filtro vendido? _________

d) ¿Cuánto es lo que le deben de pagar, aunque no venda ningún filtro? ________

e) Encierra la expresión algebraica que representa a esta función.

y = 20x + 100 ó y = 100x + 20

5.- Haz lo que se pide enseguida.

PROBLEMA: El sueldo por hora de un empleado más compensación diaria en

pesos, está dado por la siguiente función:

y = 7x + 2 “x” es la cantidad de horas trabajadas, y “y” es el sueldo total.

Realiza la tabulación y la gráfica de la función anterior.

y = 7x + 2

Horas

x

Sueldo

y

0

1

2

3

4

73

TABLAS, GRÁFICAS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

PROBLEMA: Representa en una tabla, en una gráfica y con una expresión algebraica el

siguiente problema:

a) En la biblioteca de la escuela hay una pila de 10 libros que alcanzan una altura de 35

centímetros. ¿Cuál es el grueso de 1 libro y de 20 libros?

Con tabla Con gráfica

x

Libros

y

Grosor (cm)

1 3.5

10 35

20 70

Con expresión algebraica

y = 3.5x


1.- El costo de una llamada telefónica de larga distancia por 5 minutos es de $30.

¿Cuál de las siguientes tablas es la que representa correctamente este problema .. (____)

a)

Minutos Precio

2 $6

3 $12

4 $24

5 $30

c)

Minutos Precio

1 $6

3 $18

5 $30

7 $42

x Abscisa

Ordenada y

70

35

3.5

1 10 20

b)

Minutos Precio

1 $6

3 $12

5 $30

7 $36

d)

Minutos Precio

1 $6

3 $18

5 $36

7 $42

K = 35

10= 3.5

74

2.- Un insecto recorre de manera constante 5 centímetros de distancia cada 10 segundos.

¿Cuál de las siguientes gráficas representa correctamente el problema? …...…….. (____)

a) b)

a) ¿Qué tipo de proporción es la gráfica del resultado correcto? ______________________

3.- Una llave proporciona de manera constante 120 litros de agua cada 2 minutos. ¿Cuál

de las siguientes expresiones algebraicas representa correctamente el problema? …(___)

a) y = 40x b) y = 30x c) y = 120x d) y = 60x

4.- Representa el siguiente problema en una tabla, en una gráfica y con una expresión

algebraica.

PROBLEMA: Un carro que viaja en carretera llevando una velocidad constante recorre 360

kilómetros en 4 horas. ¿Qué distancia recorre en 1, 2, 3, 4 y 5 horas?

Tabla Gráfica

Tiempo (x) Distancia (y)

Expresión algebraica

____________

x

y

D

i

s

t

a

n

c

i

a

50

40

x

y

30

20

10

5 10 15 20 25

12.5

10

x

y

7.5

5

2.5

5 10 15 20 25

Tiempo (segundos) Tiempo (segundos)

75

5.- La siguiente tabla representa la gasolina que consume un carro al recorrer cierta

distancia. Completa los datos que faltan en la tabla y contesta las preguntas.

Litros 2 3 5 6 9

Kilómetros 27

a) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ________

b) ¿Cuál es la expresión algebraica que le corresponde a este problema? ………….. (____)

a) d = 27l b) d = 9 l c = d = 54 l d= 18 l

c) ¿Es un problema de variación proporcional directa? _______

d) Representa el problema anterior en la gráfica cartesiana y contesta las preguntas.

a) ¿Cuál es el valor de la ordenada, cuando la abscisa vale 3? _______

b) ¿Cuál es el valor de la ordenada, cuando la abscisa vale 5? _______

c) ¿Cuáles son los valores de las abscisas? ___________________________________

d) ¿Cuáles son los valores de las ordenadas? ___________________________________

e) Escribe las coordenadas que resultaron:

(2, 18), (____, ____), (_____, _____), (_____, _____), (_____, _____).

y

x

81

54

27

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Litros

76

ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE DATOS • Búsqueda, organización y presentación de información en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia) según el caso y análisis de la información que proporcionan.

GRÁFICAS POLIGONALES

PROBLEMA: Analiza la siguiente gráfica poligonal y compara los datos de los dos conjuntos que se presentan en el mismo plano.

5 6 7 8 9 10


1.- Basados en la siguiente gráfica contesta las preguntas que aparecen enseguida.

a) ¿Cuántos alumnos del equipo A dieron el salto más alto? _______

b) ¿Cuántos alumnos del equipo A saltaron más de 200 centímetros? _______

c) ¿Cuántos alumnos integran el equipo A? _______

d) ¿Cuántos alumnos del equipo A saltaron 220 centímetros? _______

CALIFICACIONES

Equipo A.

La calificación que más se repite

en el grupo A es el 8.

En el grupo B hay mayor número

de reprobados y son en total 4.

En el grupo B hay un total de 33

alumnos.

15

10

5

A

L

U

M

N

O

S

190 200 210 220 230

Distancia de saltos en centímetros

12

10

4

2

6

8

Grupo A

Grupo B

A

L

U

M

N

O

S

77

2.- Enseguida se presenta una gráfica poligonal. Interpreta los datos y contesta las siguientes preguntas.

Comportamiento del gasto en alimentos por la familia Reyes durante los primeros seis meses de los años 2 017.

a) ¿Cuánto gastó en alimentos en marzo del 2 018? ________________ b) ¿Cuánto gastó en los seis meses del año 2 018? ________________ c) ¿En qué mes gastó más en alimentos? ____________________________ d) ¿Cuánto gastó en el mes de abril del año 2 018? ______________ e) ¿Cuánto gastó más en junio que en enero? ______________ f) Sobre la misma gráfica representa en cada uno de los meses gastos diferentes de la familia, según tu punto de vista y hazlo con la gráfica poligonal ahí mismo.

3.- Con base en la información que aparece en la siguiente gráfica, elabora una lista de las observaciones que puedas hacer.

Comportamiento de las calificaciones de matemáticas de un alumno en primer grado y segundo grado en la secundaria durante los cinco periodos

del ciclo escolar.

3 000

2 000

1 000

P

E

S

O

S

E F M A M J

M eses

Año 2 018

Año 2 009

78

4.- Observa la siguiente gráfica y contesta las siguientes preguntas. Primer grado

Segundo grado

a) ¿Cuántos alumnos del grupo A fueron los que sacaron 9 de calificación? (____) a) 10 b) 4 c) 7 d) 5

b) ¿Cuántos alumnos hay en el grupo B? ...................................................... (____) a) 28 b) 32 c) 44 d) 30

c) ¿Cuál es la calificación que más se repite en el grupo B? ___________

d) ¿En cuál grupo hay mayor número de reprobados y cuántos? ______________

e) ¿Cuántos alumnos hay en el grupo A? _________

f) ¿Cuántos alumnos por los dos grupos sacaron 6 de calificación? ____________

g) ¿Cuántos alumnos hay en los dos grupos con 10 de calificación? ___________

Segundo grado

8

I II III IV V

PERIODOS

10

9

7

6

5

CA

Li

FI

CA

CIO NES

Primer grado

5 6 7 8 9 10

4

3

2

1

Calificaciones

a) Calificaciones de primer grado: _________________

b) Calificaciones de segundo grado: _______________

c) Promedio de primer grado: _______

d) Promedio de segundo grado: ________

e) Periodo y grado en que reprobó: ________________

Número

de

alumnos

79

ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE DATOS • Análisis de propiedades de la media y la mediana.

PROMEDIO Y MEDIANA a) La media aritmética o promedio es el valor que se localiza en el punto medio de una lista de datos numéricos y se encuentra con la suma de todos los datos numéricos de la lista dividida entre el número de casos. b) La mediana es el dato que se encuentra ubicado al centro o en medio de una lista, después de haber sido ordenada.


1.- Encuentra los promedios que faltan en la siguiente boleta de calificaciones.

Asignatura Calificaciones Promedio

Español 7.5 8.5 7.7 7.0 7.6

Inglés 8.0 9.0 9.0 8.0 8.5

Matemáticas 8.0 9.0 9.0 7.5 8.3

Biología 8.2 8.0 8.4 9.0 8.4

Informática 7.6 8.2 8.1 7.8 7.9

Geografía 9.0 9.0 8.3 8.0 8.5

Asignatura 6.0 7.0 8.0 9.0 7.5

Educación Física 9.5 9.8 8.8 9.8 9.4

Artes 7.5 7.6 7.2 9.0 7.8

Promedio bimensual

2.- En la siguiente tabla se muestran las calificaciones de un grupo. Encuentra la calificación que representa la mediana.

Calificación No. De alumnos

5 2

6 3

7 7

8 8

9 3

10 2

3.- Encuentra el promedio y la mediana de las edades de los profesores de una escuela que están dadas en la siguiente lista. 26, 19, 21, 34, 45, 20, 43, 39, 23, 49, 28, 23, 20, 26, 26, 63, 40 y 63.

80

PATRONES Y ECUACIONES • Construcción de sucesiones de números enteros a partir

de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general de una sucesión

con progresión aritmética de números enteros.

SUCESIONES DE NÚMEROS POSITIVOS

Una sucesión numérica es una serie de números, o un conjunto de números que se

encuentran escritos ordenadamente en base a una regla dada. Ejemplo: 3, 7, 11, 15, 19…

PROBLEMA: Encuentra la regla general de la sucesión: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13…

Los términos de toda sucesión numérica, siempre se pueden numerar desde el primer

término hasta el infinito. El orden de la sucesión se representa con la letra n.

Orden de la sucesión n 1 2 3 4 5 6 7

Términos de la sucesión 1 3 5 7 9 11 13

En esta sucesión el valor de n es: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…

Para llegar a la regla general con la que encontramos cualquier término en esta sucesión,

primero buscamos la primera diferencia de derecha a izquierda que hay entre los términos:

13 – 11 = 2 11 – 9 = 2 9 – 7 = 2 7 – 5 = 2 5 – 3 = 2 3 – 1 = 2

1 3 5 7 9 11 13

2 2 2 2 2 2

El 2 no cambia, es constante.

La regla general es: 2n – 1 n representa el orden de cada uno de los términos.

Primer término: 2n – 1 = 2(1) – 1 = 2 – 1 = 1

Segundo término: 2n – 1 = 2(2) – 1 = 4 – 1 = 3

Tercer término: 2n – 1 = 2(3) – 1 = 6 – 1 = 5

Cuarto término: 2n – 1 = 2(4) – 1 = 8 – 1 = 7

El término 20, lo encontramos de la siguiente forma: 2n – 1 = 2(20) – 1 = 40 – 1 = 39


1.- Forma una sucesión numérica de 8 términos, cuyo primer término sea 12 y se le

vayan sumando 3 y así sucesivamente.

n 1 2 3 4 5 6 7 8

Sucesión 12 15 18

BLOQUE 4

El 2 deberá formar parte de la regla general.

Vemos que multiplicando 2 por n, o sea por el

orden de la sucesión y restándole 1 podemos

obtener cualquier número se la sucesión.

Por lo tanto, la regla general es 2n – 1.

81

2.- Forma una sucesión numérica de 8 términos, cuyo primer término sea 3 y se le

vayan sumando 10, y así sucesivamente.

n 1 2 3 4 5 6 7 8

Sucesión

a) ¿Cuál es la diferencia entre los términos de la sucesión? _______

b) ¿Cuál de las siguientes reglas es la que corresponde a esta sucesión? _________

5n + 7 20n – 7 16n – 5 10n – 7

3.- Escribe otros términos a la siguiente sucesión numérica.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sucesión 3 8 13

a) ¿Cuál es la regla general de esta sucesión? _____________

8n + 2 5n – 2 5n 5n + 2

b) ¿Cuál es el término que se encuentra ubicado en el lugar 20 de la sucesión? __

4.- Forma una sucesión numérica de ocho términos cuyo primer término sea 7 y se

le vayan sumando 5, y así sucesivamente.

a) ¿Cuál es la regla general de esta sucesión? ______________

b) ¿Cuál es el término que se encuentra en el lugar 50 de esta sucesión numérica? ____


a) En una ciudad están numeradas las casas en la forma que se muestra enseguida:

1 4 7 10 13 16 19 22

¿Cuál es la regla general de esta sucesión? ____________

Si los vecinos reportaron que se había perdido el número de la casa que se encuentra

en el lugar 100 de la calle. ¿Cuál es el número que la Presidencia Municipal mandó hacer,

sin necesidad de preguntar a los vecinos el número faltante?

82

b) En un concurso de Matemáticas por resolver bien el primer problema, un equipo gana

4 puntos, por el segundo problema bien resuelto gana 9 puntos, 14 por el tercero, 19 por

el cuarto, 24 por el quinto y así sucesivamente. ¿Cuántos puntos recibirá el equipo al

resolver bien el problema 20? ________________

c) En el concurso de Historia por contestar bien la primera pregunta un equipo gana 3

puntos, por la segunda pregunta bien contestada gana 7 puntos, 11 por la tercera, 15 por

la cuarta, 19 por la quinta y así sucesivamente. ¿Cuántos puntos recibirá el equipo al

contestar la pregunta 30? ______________

d) Mi hijo está ahorrando dinero en forma sucesiva. El primer día ahorró 7 pesos, el

segundo 16 pesos, el tercero 25, el cuarto 34, y así sucesivamente. ¿Cuánto será lo que

deba ahorrar el día número 30? _______________

e) Una compañía va a estar contratando a sus empleados de manera sucesiva. La primera

semana contratará 2 empleados, la segunda 5, la tercera 8, la cuarta 11, la quinta 14 y así

sucesivamente. Si los contratos los estará haciendo durante 25 semanas, ¿cuántos

empleados será los que contrate la última semana? ______________

f) Una compañía minera va a estar contratando a sus empleados de manera sucesiva. El

primer mes contratará 15 empleados, el segundo 22, el tercero 29, el cuarto 36, el quinto

43 y así sucesivamente. Los contratos los estará realizando durante dos años.

¿Cuántos empleados será los que contrate el mes número 12? _______________

¿Cuántos empleados será los que contrate el mes número 18? _______________

¿Cuántos empleados será los que contrate el mes número 24? _____________

g) La mamá de Isaid le dijo que, por ayudarle en la casa el primer día le iba a dar 5 pesos,

el segundo 8 pesos, el tercero 11 pesos, el cuarto 14, el quinto 17 pesos y así

sucesivamente. ¿Cuánto dinero le debe dar el día número 30? ________________

83

SUCESIONES DE NÚMEROS CON SIGNO

PROBLEMA: Encuentra la regla general de la siguiente sucesión numérica:

– 4, – 1, 2, 5, 8, 11, 14, 17…

Orden n 1 2 3 4 5 6 7 8

Términos de la sucesión – 4 – 1 2 5 8 11 14 17

Para encontrar la regla general nos auxiliamos con la primera diferencia de derecha a

izquierda que hay entre los términos de la sucesión: 17 – 14 = 3 14 – 11 = 3

11 – 8 = 3 8 – 5 = 3 5 – 2 = 3 2 – (–1) = 2 + 1 = 3 –1 – (–4) = –1 + 4 = 3

8 11 14 17

3 3 3

Como el 3 no cambia, entonces en la regla general debe estar el 3 y la regla es: 3n – 7

a) ¿Cuál es el término 20 en esta sucesión?: 3n – 7 = 3(20) – 7 = 60 – 7 = 53

A partir de una regla general, se puede construir una sucesión numérica, basta con

encontrar el valor numérico de la expresión algebraica que representa la regla, dando a n

valores a partir del 1, hasta llegar al total de términos que vayamos a encontrar.

Ejemplo: Formar una sucesión de ocho términos cuya regla general es: 2n – 30

2n – 30 = 2(1) – 30 = 2 – 30 = – 28

2n – 30 = 2(2) – 30 = 4 – 30 = – 26

2n – 30 = 2(3) – 30 = 6 – 30 = – 24 Sucesión: –28, –26, –24, –22, –20, –18, –16, –14…


1.- Agrega cinco términos a cada una de las siguientes sucesiones numéricas.

10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, _____, _____, _____, _____, _____...

20, 18, 16, 14, _____, _____, _____, _____, _____...

12, 10, 8, 6, _____, _____, _____, _____, _____...

5, 3, 1, –1, – 3, _____, _____, _____, _____, _____...

– 3, – 5, – 7, – 9. –11, _____, _____, _____, _____, _____...

– 7, –12, –17, _____, _____, _____, _____, _____...

6, 3, 0, – 3, – 6, _____, _____, _____, _____, _____...

84

2.- Encuentra y escribe en los cuadros las primeras diferencias, de derecha a

izquierda entre los términos de las siguientes sucesiones y en base a ellas

determina cuál de las dos reglas generales es la que corresponde a cada sucesión.

Sucesiones Opciones Regla

–10 –7 –4 –1 2 5 8

–15 –11 –7 –3 1 5 9

–4 0 4 8 12 16 20

–13 –10 –7 –4 –1 2 5

14 12 10 8 6 4 2

–15 –11 –7 –3 1 5 9

3.- Forma una sucesión numérica de ocho términos que tenga 10 como primer

término y se le reste 4, y así sucesivamente.

n 1 2 3 4 5 6 7 8

Sucesión 10 6 2 –2 –6

a) ¿Cuál es la primera diferencia entre los términos de la sucesión? _______

–18 – (–14) = –18 + 14 = ____ –14 – (–10) = –14 + 10 = ____

b) ¿Cuál es la regla general de la sucesión? ___________

– 4n + 14 4n + 4 4n + 6 4n + 10

c) ¿Cuál es el número que se encuentra en el lugar 30 de esta sucesión? ________

3n – 13 y 4n – 5

5n – 19 y 4n – 19

4n – 8 y 3n – 10

3n – 16 y 4n – 19

–2n + 16 y 2n +16

5n – 26 y 4n – 19

85

4.- La expresión algebraica 3n – 20 es la regla general de una sucesión numérica.

Encuentra los primeros 8 términos de la sucesión numérica y escríbelos enseguida.

______, ______, ______, ______, ______, ______, ______, ______...

5.- Encuentra los términos 10°, 15°, 20°, 30° y 100° de la sucesión numérica cuya

regla general es 3n – 10 y escríbelos en la siguiente tabla.

n 10 15 20 30 100

Sucesión

6.- Escribe los seis primeros términos que resultan de las siguientes reglas

generales de sucesiones numéricas

Regla Términos

–3n ______, ______, ______, ______, ______, ______ …

–2n ______, ______, ______, ______, ______, ______ …

2n – 1 ______, ______, ______, ______, ______, ______ …

n – 72 ______, ______, ______, ______, ______, ______ …

–6n + 5 ______, ______, ______, ______, ______, ______ …

7.- ¿Cuál es la regla general de la sucesión –2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12…? ___________

a) 2n b) 2n + 4 c) 4n – 4 d) 2n – 4

8.- ¿Cuál es la regla general de la sucesión –2, 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26…? ________

a) 4n – 6 b) 4n + 4 c) 4n – 4 d) 4n + 6

9.- ¿Cuál es la regla general de la sucesión –5, –2, 1, 4, 7, 10, 13, 16…? _________

a) 7n – 8 b) 3n c) 3n – 8 d) 3n + 10

10.- ¿Cuál es la regla general de la sucesión –8, –5, –2, 1, 4, 7, 10, 13…? ________

11.- ¿Cuál es la regla general de la sucesión 7, 5, 3, 1, –1, –3, –5…? ____________

12.- ¿Cuál es la regla general de la sucesión 10, 6, 2, –2, –6, –10, –14, –18…? _______

86

PATRONES Y ECUACIONES • Resolución de problemas que impliquen el

planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b =

cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros, con enteros, fraccionarios o

decimales positivos y negativos.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

El modelo de la balanza es un método que nos sirve para entender mejor la manera

en que se soluciona una ecuación.

PROBLEMA: Resuelve por el modelo de la balanza la ecuación x + 4 = 7

1° Se representa la ecuación en una balanza.

x + 4 = (7)

Primer miembro Segundo miembro

x

=

2° Despejamos la x quitando 4 cuadrados que están en el platillo del lado izquierdo

de la balanza (primer miembro) y para que la balanza siga en equilibrio, se quitan

también 4 cuadrados que están del lado derecho de la balanza (segundo miembro).

x =

x + 4 – 4 = 7 – 4

x = 3

87


1.- La siguiente balanza está en equilibrio.

x x 5 kg

5 kg

x 5 kg 5 kg 3 kg

a) Di si las siguientes acciones sirven para encontrar el valor de x en la ecuación.

Quitar 5 kg a cada platillo de la balanza…………………………………. ________

Quitar una x del platillo izquierdo y una x del platillo derecho…………. ________

Quitar otros 5 kg del platillo izquierdo y otros 5 kg del platillo derecho. ________

b) ¿Cuál es el valor de x en la ecuación?...................................................________

2.- Aplica el modelo de la balanza y resuelve las siguientes ecuaciones.

x x

x = _____ x = _____

y y

y = _____ y = _____

88

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Con el propósito de hacer más eficiente la solución de ecuaciones usamos la

transposición de términos, que consiste en cambiar con signo contrario un término

de un miembro al otro miembro. Si el término está sumando, pasa restando y

viceversa. Si el término está multiplicando pasa dividiendo y viceversa.

x + 4 = 7 Despejamos la x pasando el 4 al segundo miembro con signo

x = 7 – 4 contrario y resolvemos operaciones.

x = 3

PROBLEMA: 8 veces un número es igual a ese mismo número más 14.

8x = x + 14 Cambiamos x al primer miembro con signo contrario.

8x – x = 14

7x = 14 Resolvemos operaciones: 8x – x = 7x

x = 14

7 Despejamos x.

x = 2 Hacemos la división.

PROBLEMA: ¿Cuál es el valor de x en el siguiente rectángulo si sabemos que de

largo mide x + 30, de ancho 5 y su área es de 200 cm²?

Base por altura = Área

5(x + 30) = 200

Resolvemos la ecuación:

5(x + 30) = 200

5x + 150 = 200

5x = 200 – 150

5x = 50

x = 50

5

x = 10

x + 30

5

89


1.- Utiliza la transposición de términos para resolver las siguientes ecuaciones.

x + 4 = 12 x + 5 = 11 y + 3 = 15 7 = y + 5

x – 4 = 9 x – 5 = 1 y – 3 = 15 7 = y – 5

4x = 12 5x = 35 3y = 15 9x = 3

2.- Utiliza la transposición de términos y resuelve las siguientes ecuaciones.

7x + 9x = 64 2x + x = 27 24y + 26y = 5 000

9x + 12 + 6x + 8 = 65 x + x = 420 16 + 2x + 4 + 11x = 85

3x + 7 + 6x + 4 = 92 14x + 18 + 11x + 30 = 148 2x + 3x = 25 – 10

90

3.- Resuelve las siguientes ecuaciones con paréntesis.

5(2x – 1) = 15 3(2x – 5) = 9 8x + 2(10x – 4) = 20

5(2x + 3) = 15 + 20 4(7 + 2x) – 10 = 6x 2(3x – 3) – 2x = 14

4.- ¿Cuál es la solución de la

siguiente ecuación? …. (____)

3(x + 2) + 4 = 19

a) x = 9.2 b) x = 8 c) x = 4 d) x = 3


siguiente ecuación? … (____)

2(3x + 5) + 3 = 25 a) x = 2 b) x = 1 c) x = 3 d) = 6.3


siguiente ecuación? ... (____)

7(x – 4) – 5 = 9 a) x = 7 b) x = 6 c) x = –7 d) x = 5


siguiente ecuación? …… (____)

8(2x – 3) + 15 = 39

a) x = 2 b) x = 12 c) x = 6 d) x = 3

91

8.- Resuelve los siguientes problemas planteando para ello la ecuación correcta.

a) En la pared de un edificio se quieren hacer 4 ventanas como se muestran en el dibujo.

Si dos ventanas son cuadradas de 3 metros de lado y otras dos también cuadradas, pero

de 2 metros de lado, ¿cuánto debe medir la separación entre ventanas de acuerdo a la letra

x señalada en la siguiente figura?

2x x x x 2x

31 m

10

10

2x

x

x

2x

2x =

4

3x

2x +

3 2 2 3

b) Observa la siguiente figura:

Área = 100 cm²

¿Cuánto mide de largo la figura? _________

¿Cuánto mide de ancho? __________

Si largo por ancho es igual a área, ¿cuánto

vale “x”? ________

c) Si las siguientes figuras tienen el

mismo perímetro.

¿Cuál es el valor de x? ______

¿Cuál es el perímetro de cada

figura? ______________

92

d) Se repartieron 4 250 pesos para dos

trabajadores. El segundo trabajador recibió

500 pesos más que el primero.

Primer trabajador: x

Segundo trabajador: x + 500

Ecuación: _____________________

¿Cuánto recibió cada trabajador? ______

e) Se tienen 500 hojas de máquina que se

van a repartir a dos profesores. El segundo

profesor recibe 80 hojas más que el primero.

¿Cuántas recibe cada uno? ____________

f) Rosa y Pedro tienen la misma cantidad

de dinero. Rosa lo tiene en 4 cheques más

500 pesos en efectivo. Pedro lo tiene en 2

cheques más 1 000 pesos en efectivo. Si

los cheques son por la misma cantidad,

¿por qué cantidad es cada cheque?

_________________

h) La suma de tres números consecutivos

es 51. ¿Cuáles son esos números? ______

g) La suma de dos números consecutivos

es 115.

¿Cuáles son esos números? __________

Primer número: x

Segundo número: x + 1

i) El triple de la edad de Rosa es igual a la

edad de su mamá. Su mamá tiene 51

años. ¿Cuántos años tiene Rosa? ______

93

9.- Resuelve los siguientes problemas aplicando y resolviendo la ecuación que lo solucione.

Encuentra el resultado en las opciones que se dan.

x

2x + 3

x + 12

3

x

2x + 3

a) ¿Cuánto mide el largo y el ancho del siguiente

rectángulo cuyo perímetro mide 30 cm?

12 y 5 cm

10 y 6 cm

11 y 4 cm

9 y 2 cm

b) El largo de un rectángulo mide 10 cm más

que su ancho. Su perímetro mide 44 cm.

¿Cuál es la medida del largo y el ancho?

10 cm y 10 cm 16 cm y 6 cm

4 cm y 14 cm 12 cm y 2 cm

c) ¿Cuál es el valor de x en la siguiente figura

si sabemos que su perímetro mide 38 cm?

3

2

4

5

d) ¿Cuánto mide el ancho de una ventana,

cuyo largo es el doble que su ancho y su

perímetro es de 540 cm?

180 cm

100 cm

45 cm

90 cm

e) ¿Cuál es el valor de x en la ecuación

6x – 5 = 2x + 3?

x = 3

x = 2

x = 1

x = –1

f) El doble de la edad de Mario más los 44

años que tiene su papá suman 60 años. ¿Qué

edad tiene Mario?

x = 9 años

x = 10 años

x = 7 años

x = 8 años

94

10.- Resuelve los siguientes problemas identificando primero la ecuación correcta de las

cuatro que se dan. Resuelve la ecuación correspondiente para llegar al resultado.

11.- Observa la siguiente balanza que se encuentra en equilibrio.

20 10 12

Kg x x = kg kg x

¿Con cuál ecuación se encuentra el peso de cada una de las barras x? ....(____)

a) 2x = 20 b) 2x – 20 = x – 22 c) 2x + 20 = x + 22 d) 2x = x

¿Cuánto pesa una barra x? ________

a) El precio de una playera es de x pesos. Si

se compran más de tres se hace un

descuento de 7 pesos en cada una. Vanesa,

Rocío, Itzel y Karen aprovechan la oferta y

compran una cada una. Si en total se

pagaron 308 pesos, ¿cuánto costaba

inicialmente cada playera?

x + 7 = 308

2(x – 7) = 508

x = 308 + 28

4(x – 7) = 308

b) ¿Cuánto mide cada uno de los lados del

siguiente triángulo equilátero cuyo perímetro

es de 150 cm?

4x + 2 = 450

x + 2 = 450

4x + 3 = 150

3(4x + 2) = 150

4x + 2

c) El valor de un pantalón es x. Si se compran

3 pantalones se hace un descuento de 25

pesos en cada uno. Una persona compró 3

por los que pagó 1272 pesos. ¿Cuánto

costaba inicialmente cada pantalón?

3x – 25 = 1272

x = 1272

3(x – 25) = 1 272

x + 3 – 25 = 1 272

d) ¿Cuál es el valor de x en la siguiente

ecuación?

5(x + 4) = 7(x – 2)

x = 10

x = 12

x = 17

x = 3

95

MEDIDA • Caracterización de ángulos centrales e inscritos en un círculo, y análisis de sus

relaciones.

ÁNGULO CENTRAL Y ÁNGULO INSCRITO

El ángulo central es el que tiene su vértice en el centro del círculo y está formado por dos

radios y el ángulo inscrito es el que tiene el vértice del ángulo en un punto de la

circunferencia y está formado por dos cuerdas.

Ángulo central Ángulo inscrito Ángulo inscrito y central

Cuando el arco de un ángulo central coincide con el arco de un ángulo inscrito, la medida

del ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central.

45° 90° AC es el arco de los dos ángulos

Ángulo AOC = 90°

Ángulo ABC = 45°


1.- Prolonga con regla y lápiz el largo y el ancho de lo que falta en cada una de las

fotografías y contesta las preguntas. Completa los dibujos e ilumínalos.

a) ¿Qué clases de ángulos se

forman? ____________________

b) ¿Cuál es la medida de cada uno?

_________ y ___________

O

A

C B

96

Completa el dibujo y píntalo.

¿Qué clases de ángulos se

forman? ____________

¿Cuánto mide cada ángulo?

_________ y ________

2.- Dibuja con el compás un círculo que mida 4 centímetros de radio.

Traza con el transportador en el circulo un ángulo central que mida 70 grados.

Traza en el mismo círculo un ángulo inscrito con el mismo arco del ángulo central

que trazaste. ¿Cuánto mide el ángulo inscrito? _________________

97

3.- En los siguientes círculos están trazados tres ángulos centrales y tres inscritos. En cada ángulo central traza un ángulo inscrito que coincida con el mismo arco del ángulo central. En cada ángulo inscrito traza un ángulo central con el mismo arco del ángulo inscrito. Después completa la siguiente tabla y contesta las preguntas que se hacen.

Círculo Medida del ángulo central Medida del ángulo inscrito

A

B

C

D

E

F a) ¿Cuál es la relación entre sus medidas de los ángulos centrales e inscritos? __________ ________________________________________________________________________ 4.- A partir de los datos que se te presentan en la siguiente figura, calcula la medida del ángulo B. 5.- Enseguida se te presenta esta figura. Contesta lo que se te pide.

Medida del ángulo B: ________

¿Qué procedimiento seguiste para calcular su medida? __________

________________________________________________________

________________________________________________________

I

C

B

A

F E D

C B A

. . 48º

. 50º

64º

90º 180º 46º o

.

¿Cuánto mide el ángulo central de un pentágono regular? _______

¿Cuál es la medida del ángulo que forman las diagonales

AB, y BC en el pentágono? _________

B 54°

.

98

6.- Escribe la medida de los tres ángulos inscritos que se forman en los siguientes círculos.

7.- Escribe la medida de los tres ángulos centrales que se forman en los siguientes círculos.

α

90°

78°

130°

45°

74°

80°

8.- En el centro de la

cancha de basquetbol de

la escuela, los alumnos

de tercero dibujaron la

siguiente figura.

60°

β

El ángulo β mide ________

9.- Al pastel de Ana Paula

le han hecho tres cortes

de la siguiente manera:

90°

El ángulo α mide _______

α

2

1

3

10.- Un pintor ha iniciado

su obra con el siguiente

trazo:

58°

El ángulo b mide ________

b

99

y

PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES • Análisis de las características de una gráfica

que representa una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.

PROPORCIONES DIRECTAS Y GRÁFICAS

PROBLEMA: Si sabemos que 5 litros de gasolina cuestan 39 pesos, encontrar lo que

cuestan 1, 2, 3, 4, litros de gasolina.

x

Litros

y

Pesos

1 7.8

2 15.6

3

4

5 39

39

5= 7.8

k = 7.8

y = 7.8 por x

y = 7.8x

En la gráfica vemos que aumenta la cantidad de litros de gasolina y aumenta el precio de

ésta. Que la gráfica tiende a ir hacia arriba. Que la gráfica pasa por el origen ya que es una

proporción directa.


1.- Localiza en el siguiente plano cartesiano los siguientes pares ordenados. Enseguida une

los puntos A con B, B con C, C con D y D con A. Ilumina la figura que resulta.

A (5, 2)

B (5, 5)

C (2, 5)

D (2, 2)

-2

-1

5

4

3

2

1

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x

39

31.2

23.4

15.6

7.8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

x

Esta situación de proporcionalidad la podemos

representar en una gráfica cartesiana, y analizar las

distintas características de la situación.

Litros

P

e

s

o

s

Eje de las

ordenadas

Eje de las

abscisas

100

2.- En base a las figuras dibujadas en el plano cartesiano, escribe las coordenadas de los

puntos que se piden.

A (____, ____)

B (____, ____)

C (____, ____)

D (____, ____)

F (____, ____)

G (____, ____)

H (____, ____)

J (____, ____)

M (____, ____)

P (____, ____)

3.- La siguiente gráfica nos muestra el pago que recibe un obrero por el tiempo trabajado.

Analiza la gráfica y contesta las preguntas que se te hacen.

f) De acuerdo a la gráfica original completa la siguiente tabla.

Horas 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Pesos

x

y

1 2 3 4 5 6 7 8

Q

P O

Ñ

N M

L

K J

I H

G F

E D C

B

A

y

x

10

20

30

40

50

60

70

80

90 P

e

s

o

s

Horas

a) ¿Cuánto gana por hora el obrero? _________

b) ¿Cuánto gana por 5 horas trabajadas? ______

c) ¿La recta pasa por el origen? _______

d) ¿Es una proporción directa? ________

e) Si el obrero ganara 20 pesos por cada hora,

¿cómo sería la gráfica? Traza la recta en este

mismo plano cartesiano.

101

4.- Representa el siguiente problema en la tabla y en la gráfica y contesta las preguntas.

PROBLEMA: En un pueblo 1 kilo de tortillas cuesta $5. ¿Cuánto valen 2, 3, 4 y 5

kilos?

x

Kilos

y

Pesos

1

2

3

4

5

a) ¿Es una proporción directa? _______

b) ¿Cuál es la constante en el problema? ___________

c) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer el precio de cualquier

cantidad de tortillas, cuando se conoce el precio de 1 kilo? ___________________

5.- Representa el siguiente problema en la tabla y en la gráfica y contesta las preguntas.

PROBLEMA: Una máquina tarda 5 minutos en producir 40 tuercas. ¿Cuántas

tuercas producirá en 1, 2, 3, 4 y 6 minutos?

x

(Minutos)

y

Tuercas

1

2

3

4

5 40

6

y

x

y

x

1 2 3 4 5

Kilos

P

r

e

c

i

o

($)

102

a) ¿Es una proporción directa? _______

b) Cuál es la constante en el problema? ___________

c) ¿Cómo encuentras el precio de cualquier cantidad de producción de tuercas? ___

__________________________________________________________________

d) ¿Cuál es la expresión algebraica que permite conocer cualquier cantidad de

tuercas que se pueden producir en cualquier tiempo? ___________

6.- Completa la siguiente tabla, elabora la gráfica y contesta la pregunta.

x

Lado de un cuadrado

y

Área

3

5

7

9

11

13

15

a) ¿Cuál es la expresión algebraica que nos permite encontrar el área de un

cuadrado cuando conocemos la medida de uno de sus lados? ….………….. (_____)

w) y = 2x x) y = x³ y) y = x² z) y = 𝑥

2

b) De acuerdo a la gráfica original completa la siguiente tabla.

Lado del cuadrado 25 48 62 84 96

Área

y

x

103

7.- La siguiente gráfica nos muestra la cantidad de palabras escritas por una

secretaria en un tiempo determinado. Analiza la gráfica y contesta las preguntas

que se te hacen.

11.- La siguiente gráfica nos muestra la distancia recorrida por un ciclista en un tiempo

determinado. Analiza la gráfica y contesta las preguntas que se te hacen.

h) De acuerdo a la gráfica original completa la siguiente tabla.

Tiempo (M) 5 10 15 20 25 30

Distancia (km)

30

27

24

21

18

4 8 12 16

300

600

900

1 200

1 500

P

A

L

A

B

R

A

S

Tiempo (Minutos)

a) ¿Cuántas palabras escribe en 4 minutos? _____

b) ¿Cuántas palabras escribe en 2 minutos? _____

c) ¿Cuántas palabras escribe en 12 minutos? ____

d) ¿Cuántas palabras escribe en 1 minuto? ______

e) ¿Pasa por el origen la recta? _______

f) ¿Es una proporción directa? ________

g) Si la secretaria escribiera 600 palabras cada 4

minutos, ¿cómo sería la gráfica? Traza la recta en

este mismo plano cartesiano.

10 20 30 40 50 60 70

3

6

9

12

15

K

i

l

ó

m

e

t

r

o

s

Tiempo (Minutos)

a) ¿Cuántos km recorre en una hora? __________

b) ¿Cuántos km recorre en 40 minutos? ________

c) ¿Cuántos km recorre en 10 minutos? ________

d) ¿Cuántos km recorre en 1 minuto? __________

e) ¿Pasa por el origen la recta? _______

f) ¿Es una proporción directa? ________

g) Si el ciclista recorriera 3 km cada 20 minutos,

¿cómo sería la gráfica? Traza la recta en este

mismo plano cartesiano.

104

PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES • Análisis de situaciones problemáticas asociadas

a diversos fenómenos y uso de tablas y expresiones algebraicas.


1.- En Estados Unidos de Norte América la temperatura se mide en grados

Fahrenheit (°F) y en México se mide en grados centígrados (°C).

Relacionado con esto tenemos la función:

°F = 9

5 (°𝐶) + 32 Esto es lo mismo que: °F = (1.8) (°C) + 32

a) En Aldama, la temperatura máxima registrada en un día de Julio fue de 36 °C,

mientras que la mínima fue de 20 °C. ¿A cuántos grados Fahrenheit corresponden

estas temperaturas?

Aldama USA

°C °F

36 20

b) En Agosto del 2018 se informó en la televisión que en Chihuahua la temperatura

máxima probable para un día sería de 40 °C, mientras que para Monterrey el

pronóstico era de 42 °C. ¿A cuántos grados Fahrenheit corresponden estas

temperaturas?

°C °F

Chihuahua Monterrey

c) ¿Cuál es la temperatura en grados Fahrenheit si la temperatura está en 32 °C?

d) ¿Cuál es la temperatura en grados Fahrenheit si la temperatura está en 39 °C?

e) ¿Cuál es la temperatura en grados Fahrenheit si la temperatura está en –12 °C?

105

2.- Elabora la gráfica cartesiana de acuerdo a los datos que se presentan en la

primera tabla y enseguida completa la segunda tabla de acuerdo a la gráfica que se

encuentra ya elaborada.

a) Consumo de gasolina de un carro a una velocidad constante.

x Litros

y Kilómetros

10 80

20 160

30 240

40 320

b) Distancia en centímetros del alargamiento de un resorte al colocar diferentes

kilogramos en un extremo.

x Kilos

y Distancia

a) ¿Cuántos kilómetros recorre el carro por litro? ______________

b) ¿Cuánto se alarga el resorte con 5 kilogramos de peso? ______________

c) ¿Qué distancia recorre el carro con 50 litros de gasolina? _________________

d) ¿Qué distancia se alarga el resorte con 6 kilogramos de peso? _____________

e) ¿Cuántos kilómetros recorre el carro con 35 litros de gasolina? ______________

f) ¿Qué expresión algebraica se asocia con los kilómetros recorridos?............ (____)

m) y = 80x n) y = 16x o) y = 8x p) y = 8x + 10

g) ¿Qué expresión algebraica se asocia con el alargamiento del resorte?....... (____)

m) 𝑦 =1

5𝑥 n) 𝑦 =

1

2𝑥 o) y = 0.5x p) y = x + 0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

Kilogramos

1 2 3 4 5 6 7 8

Cm.

106

PATRONES Y ECUACIONES • Resolución de problemas que impliquen el planteamiento

y la resolución de un sistema de ecuaciones 2 x 2 con coeficientes enteros.

ECUACIONES SIMULTÁNEAS

PROBLEMA: Encuentra dos números tales que al sumarse den 65 y que al restarse den 39. Los dos números los representamos con las letras “x” y “y” para plantear la ecuación.

x + y = 65 Dos números que sumados den 65.

x – y = 39 Mismos números que al restarse den 39.

Este es un sistema de ecuaciones. Formado por 2 ecuaciones.

MÉTODO DE REDUCCIÓN (Suma y resta)

Este es uno de varios métodos que se utiliza para resolver ecuaciones simultáneas. El método consiste en reducir por medio de sumas y restas los términos semejantes que hay en las ecuaciones, o que puede haber, hasta eliminar una de las incógnitas en ambas ecuaciones. 1ª ecuación: x + y = 65 Se reducen términos semejantes sumando y restando.

2ª ecuación: x – y = 39 Eliminamos “y” porque es la misma literal con

2x = 104 coeficientes iguales, solo son diferentes en el signo.

x = 104

2 Nos queda una ecuación con una incógnita.

Resolvemos por medio de transposición de términos.

x = 52 Tenemos el valor de x.

Para encontrar el valor de “y” basta con sustituir el valor de “x” que es 52 en cualquiera de las dos ecuaciones planteadas al principio. x – y = 39 Segunda ecuación.

52 – y = 39 Sustituimos la “x” por el 52.

– y = 39 – 52

(Por -1) – y = –13 Cuando resulta signo negativo en los dos miembros,

y = 13 estos se pueden cambiar por signos positivos

(Multiplicación por –1 en los dos miembros).

BLOQUE 5

107


1.- Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas. Utiliza el método de reducción.

x + y = 6 x + y = 7

x – y = 2 x – y = 3

x + y = 43 x + y = 100 x – y = 7 x – y = 20

x + y = 8 x + y = 121 x – y = 2 x – y = 29

x + y = 11 x + y = 25

x – y = 35 x – y = 25

108

2.- Resuelve los siguientes problemas con la aplicación de ecuaciones simultáneas.

a) Encontrar dos números tales que al

sumarse den 47 y que al restarse den 3.

b) Encontrar dos números tales que al

sumarse den 50 y que al restarse den 6.

c) Encuentra dos números cuya suma

sea 10 y cuya diferencia es 2.

d) Resuelve el siguiente sistema:

x + y = 5

x – y = 3

e) Encuentra dos números cuya suma

sea 148 y cuya diferencia sea 46.

f) Resuelve el siguiente sistema.

x + y = 75

x – y = 5

¿Cuáles son los valores

de “x” y de “y” que lo

satisfacen? ___________

x = 3 y = 2

x = 4 y = – 4

x = 4 y = 1

x = 4 y = 5

¿Cuáles son los valores

de “x” y de “y” que lo

satisfacen? ___________

x = 40 y = 75

x = 5 y = 45

x = 45 y = 30

x = 40 y = 35

109

PROBLEMA: Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas.

2x + y = 3

–3x – 2y = –2 Observa que al sumar y restar no se puede eliminar ninguna

incógnita porque les falta tener coeficiente igual.

Buscamos la literal que nos conviene eliminar.

En este caso eliminaremos la “y” para lo cual necesitamos tener +2y en la primera ecuación

y –2y en la segunda.

Para ello multiplicamos por 2 todos los términos de la primera ecuación:

Por (2) 2x + y = 3 2 por 2x = 4x, 2 por +y = 2y, y 2 por 3 = 6

– 3x – 2 y = – 2

4x + 2y = 6

– 3x – 2y = –2 Ahora sí podemos eliminar 2y – 2y = 0

x = 4 Continuamos el procedimiento que ya vimos con el

sustituyendo el valor 4 de x en una de las ecuaciones

para encontrar el valor de y.


1.- Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas.

4x + 6y = 26 x + y = 20

x – 3y = 38 3x – 2y = 15

2x + y = 3 3x – 2y = 12

3x – 7y = 30 x + y = –1

110

2.- Resuelve los siguientes problemas con aplicación del método de reducción.

c) Mi mamá compró 2 lápices y 2 plumas

en 16 pesos. La mamá de Raúl pagó por 4

lápices y 2 plumas 26 pesos.

Si la compra la hicieron en la misma tienda,

¿cuánto costó cada lápiz y cada pluma?

b) Un bote grande y uno chico contienen

20 litros de pintura. 10 botes grandes y 4

botes chicos contienen 152 litros de

pintura. ¿Cuánto contiene cada bote?

a) 5 refrescos grandes y uno chico

cuestan 44 pesos. 3 refrescos grandes y

3 chicos cuestan 36 pesos. ¿Cuál es el

precio de cada refresco?

f) A una función de cine asistieron 270

personas entre hombres y mujeres. Los

boletos de hombre costaron 10 pesos y

los de mujer 8 pesos y se recaudaron

2480 pesos. ¿Cuántos hombres y

cuántas mujeres fueron al cine?

e) La suma de las edades de Mario e Iván

es de 75 años. Si el doble de la edad de

Mario menos la edad de Iván es igual a 57

años, ¿cuál es la edad de cada uno?

d) La suma de dos compras hechas en

una tienda es de 84 pesos. Si el doble de

la primera compra menos la segunda es

de 96 pesos, ¿cuánto se gastó en cada

compra?

111

PROBLEMA: Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas.

5x + 2y = 3

2x + 3y = –1

Da lo mismo eliminar “x” que eliminar “y”, porque ambas tienen signo positivo y coeficientes

diferentes.

Eliminamos la x.

(–2) 5x + 2y = 3 Toda la primera ecuación la multiplicamos por –2. ( 5) 2x + 3y = –1 Toda la segunda ecuación la multiplicamos por 5.

–10 x – 4y = – 6

10 x + 15y = – 5

11y = – 11

y = –11

11

y = –1 Por último buscamos el valor de “x”.

1.- Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas,

5x + 7x = 71 5x + 3y = 21 5x – 7y = –1

8x – 3y = 0 4x – 5y = 2 3x + 4y = 24

112

2x + 3y = 12 3x + 2y = 32 4x + 6y = 26

3x – 2y = 5 3x – 4y = –10 6x – 4y = 0


a) María compra 2 elotes y 3 refrescos por

los que paga 36 pesos. Luisa compra 1

elote y 2 refrescos y paga 22 pesos.

¿Cuánto cuesta cada elote y cada

refresco?

b) La suma de las edades de Saúl y de Noé

es de 105 años. Si el doble de la edad de

Saúl menos la edad de Noé es de 39 años,

¿qué edad tiene cada uno?

c) Compro primero 2 chocolates y 2

refrescos por los que pago 9 pesos. Luego

compro 3 chocolates y 2 refrescos por los

que pago 11 pesos. ¿Cuál es el precio de

cada producto?

d) Con 12 pesos puedo comprar 3 chicles y

2 dulces. Con 32 pesos puedo comprar 5

chicles y 2 dulces. ¿Cuánto vale cada

producto?

113

3.- Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas.

x + y = 12 2x – y = 4 x – y = 5 x – y = 10 x + y = 5 x + 2y = 8

4x – y = 10 x + y = 25 3x – 2y = 5

3x + 5y = 19 x – y = 1 x + 2y = 15

e) Compré 5 litros de leche y 3 litros de

aceite en 110 pesos. Enseguida compré 2

litros de leche y 2 de aceite en 60 pesos.

¿Cuánto vale cada producto?

f) La suma de las edades de Omar y de

Beto es de 26 años. Si el doble de la edad

de Omar menos la edad de Beto es de 16

años, ¿qué edad tiene cada uno?

114

PATRONES Y ECUACIONES • Representación gráfica de un sistema de ecuaciones de

2x2 con coeficientes enteros.

ECUACIONES SIMULTÁNEAS. MÉTODO GRÁFICO Consiste en representar gráficamente en el plano cartesiano las dos ecuaciones. PROBLEMA: Resuelve con el método gráfico el siguiente problema: La suma de dos números es 6 y su diferencia es 4. ¿Cuáles son esos números? x + y = 6 Primera ecuación. x – y = 4 Segunda ecuación.

Tabulamos para hallar dos puntos para cada ecuación y las representamos en el plano. x + y = 6 Primera ecuación.

Si x = 0 Si x = 1

x – y = 4 Segunda ecuación.

x y

0 –4

1 –3

x y

0 6

1 5

D

C

B

A

y

x

•

•

•

•

C) (0, –4)

D) (1, –3)

Si x = 0

x – y = 4

0 – y = 4

– y = 4

y = – 4

Si x = 1x – y = 4

1 – y = 4

– y = 4 – 1

-y = 3

y = -3

La solución de las ecuaciones

está donde se cruzan las

rectas, que en este caso es el

punto: (5, 1)

x = 5

y = 1

A) (0, 6)

B) (1, 5)

115


1.- Resuelve por el método gráfico. Completa lo que falta. 2x – y = – 7 Primera ecuación. x + y = 1 Segunda ecuación. a) Hallamos dos puntos para cada ecuación dándole valores arbitrarios a x. 2x – y = –7 Primera ecuación.

(1, 9)

x + y = 1 Segunda ecuación.

(1, 0)

b) Representamos las dos ecuaciones en un solo plano cartesiano.

x y

1 9

2

x y

1 0

2

y

x •

•

y = x + 1

116

2.- Resuelve por el método gráfico las siguientes ecuaciones simultáneas. x + y = 5 x – y = 1 Primera ecuación. Segunda ecuación.

x + y = 5 x – y = 1

Puntos Puntos

(___ , ___) (___ , ___)

(___ , ___) (___ , ___)

Gráfica

y

Solución: x = ______ y = ______

x

x y

1

2

x y

1

2

117

3.- Resuelve las siguientes ecuaciones por el método gráfico. x + 2y = 5 x + y = 4 Primera ecuación. Segunda ecuación. x + 2y = 5 x + y = 4

(___, ___) (___ , ___)

(___, ___) (___ , ___)

Gráfica

y

Solución: x = _____ y = _____

x

x y

1

3

x y

2

3

118

4.- Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas con el método gráfico. 3x + 2y = 7 3x+ y = 5 Primera ecuación. Segunda ecuación.

(___ , ___) (___ , ___)

(___ , ___) (___ , ___)

Gráfica y

Solución:

x = _______

y y = _______

x y

1

2

x y

0

1

119

5.- Resuelve los siguientes problemas aplicando el método gráfico. a) Compré 3 plumas y 2 lápices por los que pagué 8 pesos. Enseguida compré 2 plumas y 3 lápices por los que pagué 7 pesos. ¿Cuánto pagué por cada cosa? ________________ Primera Ecuación. Segunda Ecuación:

(___ , ___) (___ , ___)

(___ , ___) (___ , ___)

y

Solución:

x = ______

y = ______ x b) Mi mamá compró 1 kg de sopa y 2 kg de lentejas por los que pagó 7 pesos. En la misma tienda mi tía compró 2 kg de sopa y 1 kg de lentejas por los que pagó 8 pesos. ¿Cuánto costó el kg de sopa? ______ ¿Cuánto costó el kg de lentejas?_______

x y

0

2

x y

2

5

120

c) Raúl compró 3 latas de atún y 2 paquetes de galletas por los que pagó 21 pesos. Juana compró 2 latas de atún y 2 paquetes de galletas iguales que los de Raúl y pagó 16 pesos. ¿Cuánto cuesta la lata de atún? ______ ¿Cuánto cuesta el paquete de galletas? ______

121

FIGURAS Y CUERPOS • Construcción figuras simétricas respecto de un eje, análisis y

explicitación de las propiedades que se conservan en figuras.

SIMETRÍA AXIAL

PROBLEMA: Traza una figura simétrica al triángulo ABC.

La simetría axial también recibe el nombre de bilateral. Se llama simetría axial a la que se

relaciona con un eje de simetría.


1.- En base al eje de simetría m, completa los dibujos siguientes de tal manera que sean

simétricos. Ilumínalos.

2.- Traza 2 ejes de simetría en cada uno de los tres siguientes dibujos.

m

La figura A´B´C´ es simétrica a la figura ABC con

respecto al eje de simetría m.

La distancia de m a A, es igual que la de m a A´.

El lado AB es igual que el lado A´B´.

El ángulo C es igual que el ángulo C´.

El triángulo ABC es igual o congruente que el

triángulo A´B´C´.

Una simetría axial es una reflexión. La figura se refleja

como en un espejo, por eso queda con diferente

orientación.

B´

C´

A´

C

B

A

m

m m

122

3.- A la figura ABCD trázale su simétrica con respecto al eje de simetría m, llámala figura

A´BĆ´D´ y contesta las preguntas que se hacen.

a) AB es paralela con CD. ¿Es paralela A´B´ con C´D´? _______

b) ¿Cómo es la medida de los ángulos de la figura original y su simétrica? ________

c) ¿Cómo es la medida de los lados de la figura original y su simétrica? __________

d) ¿Son iguales o diferentes las dos figuras? __________________

e) Si trazas las diagonales a las dos figuras uniendo A con C y B con D, ¿son

perpendiculares u oblicuas estas diagonales? ________________________

4.- A la figura ABCD trázale su simétrica con respecto al eje de simetría, llámala figura

A´BĆ´D´ y contesta las preguntas que se hacen.

a) AD es paralela con BC. ¿Es paralela A´D´ con BĆ´? ____________

b) ¿Cómo es la medida de los ángulos de la figura original y su simétrica? ________

c) ¿Cómo es la medida de los lados de la figura original y su simétrica? __________

d) ¿Son iguales o diferentes las dos figuras? __________________

e) Si trazas las diagonales a las dos figuras uniendo A con C y B con D, ¿son perpendiculares u oblicuas estas diagonales? ________________________

D C

B A

m

D C

B A

123


a) Los puntos trazados enseguida representan cada uno a cuatro pueblos. P y P´ se

encuentran a una misma distancia de la carretera que es recta y lo mismo ocurre con Q y

Q´. Traza recta que representa a la carretera.

P •

• Q

• Q´

P´ •

b) Traza los ejes de simetría que tengan cada uno de los siguientes triángulos.

Equilátero Isósceles Escaleno

¿Hay algún triángulo que tenga dos ejes de simetría? __________

c) ¿Cuántos ejes de simetría tiene un cuadrado y un rectángulo? Trázalos

_____ ejes _____ ejes

d) Traza la figura simétrica respecto al eje de simetría que se da enseguida y contesta.

¿Cómo son los lados y los ángulos de la figura simétrica respecto a la figura original?

diferentes, semejante, homólogos, o iguales? ___________________

124

6.- Dadas las siguientes figuras, traza a cada una su simétrica de acuerdo con el eje de simetría que se da. Se aplica una reflexión. 7.- Traza la figura simétrica del siguiente triángulo y contesta las preguntas. 8.- Completa las siguientes figuras, para que la recta m sea eje de simetría de la figura que resulta.

15.6 12

10

m

C

B

A

34°

56°

a) ¿Cuánto mide en ángulo A´? _________

b) ¿Cuánto mide el ángulo B´? _________

c) ¿Cuánto mide el lado A´C? _________

d) ¿Cuánto mide el lado BC? _________

e) Si el área del triángulo ABC es 30 u²,

¿cuánto mide el área del triángulo A´BC?

___________

m

m

m a) ¿Qué figura se formó? _______________

125

l

m

l m

Esta figura es una traslación de la primera.

Tienen ambas la misma orientación.

9.- Las reflexiones son movimientos en el plano, o transformaciones geométricas que son aplicadas sucesivamente a una figura sin modificarla.

Enseguida realiza a la siguiente figura una reflexión de acuerdo a los ejes de simetría l y

m que se cortan formando un ángulo de 90°.

10.- Realiza enseguida dos transformaciones seguidas con base a los ejes de simetría l y

m que son paralelos. Contesta enseguida las preguntas que se hacen.

126

m

n

a) ¿Cuáles figuras coinciden en su orientación? ___________________________ b) ¿Qué observas en las distancias entre la primera figura y la última? _________ _________________________________________________________________ c) ¿Se conservan las distancias y los ángulos? ____________________________ d) ¿Es ésta una reflexión donde todos los puntos se mueven en la misma dirección y a la misma distancia? ______ 11.- Realiza la siguiente reflexión con respecto a los ejes de simetría m y n.

a) ¿Cuáles figuras coinciden en su orientación? ___________________________ _______________________________________

127

MEDIDA • Cálculo de la medida de ángulos centrales e inscritos, así como de arcos, el

área de sectores circulares y de la corona.

PROBLEMA: Encuentra el área de la parte sombreada del siguiente círculo cuyo radio

mide 3 unidades.

Todo ángulo central determina una fracción o parte del círculo. El área de un círculo se encuentra con la formula ¶ r². Tomamos como valor de ¶ el 3.14.

Área de la parte sombrea = 𝝅𝒓𝟐

𝟒=

(𝟑.𝟏𝟒 )( 𝟑𝟐)

𝟒=

(𝟑.𝟏𝟒) (𝟗)

𝟒=

𝟐𝟖.𝟐𝟔

𝟒= 𝟕. 𝟎𝟔𝟓 𝒖𝒏𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒂𝒔

ACTIVIDADES DE CLASE

1.- Traza con compás en la siguiente figura, un circulo que tenga de radio la medida del

segmento OA. Encuentra la medida de la parte del círculo que queda no sombreada en el

dibujo.

2.- Encuentra el área de las figuras que se te presentan enseguida.

O

10 m

10 m A 5 m

7 cm

8.5 cm 16 cm

128

5.- PROBLEMA: El área de la corona circular de la rueda de un carro está delimitada por dos circunferencias concéntricas, una exterior que corresponde a la llanta y una interior que corresponde al rin de la rueda. ¿Calcula el área de la corona circular que corresponde a la llanta si el diámetro de la llanta mide 54 cm y el del rin mide 38 cm? A = ________________ 6.- Dibuja dos circunferencias concéntricas, una cuyo radio menor mida 3 cm y otra que su radio mayor sea de 5 cm, enseguida encuentra el área de la corona circular.

Área de la corona = ¶ (R² – r²)

3.- PROBLEMA: Una pared de forma cuadrada que mide 16 metros por lado fue pintada con diferentes colores y formas, tal y como se muestra en la siguiente figura. ¿Cuánto mide el área que no corresponde a los círculos? _______________

4.- PROBLEMA: En un terreno circular que

mide 20 metros de diámetro se va a construir

una pila para agua de forma cuadrada que

mida 3 metros por lado. ¿Cuánto medirá el

área del espacio del terreno que queda libre

después de construir la pila? ___________

129

9.- PROBLEMA: La siguiente figura representa a una fuente de agua. Los 4 puntos

señalados están alineados y O es el centro de los 3 círculos. La distancia del punto O al

punto A es de 6 metros, y las distancias entre los demás puntos es de 3 metros. Considera

¶ = 3.14

A B C

a) ¿Cuánto mide el área del círculo central de radio OA? _________________

b) ¿Cuánto mide el área del círculo de radio OB? _______________

c) ¿Cuánto mide el área del sector sombreado? _________________

d) ¿Cuánto mide la corona circular de mayor área? _______________

8.- PROBLEMA: ¿Cuánto mide el área de la corona circular en la siguiente figura que representa el área donde se realiza el lanzamiento de bala de juegos deportivos?

7.- PROBLEMA: Un reloj está diseñado con dos circunferencias concéntricas cuyos radios miden 6.5 cm y 12 cm respectivamente. Encuentra el área de la corona circular del reloj.

O •

3 m

4.5

130

10.- Resuelve los siguientes problemas:

4 m

8

5 m

10

a) ¿Cuánto mide el área del círculo mayor?

b) ¿Cuánto mide el área del círculo menor?

c) ¿Cuánto mide el área de la corona circular?

d) ¿Cuánto mide el área del círculo mayor?

e) ¿Cuánto mide el área del círculo menor?

f) ¿Cuánto mide el área de la corona circular?

g) En este momento siendo martes 24

de julio el reloj de la casa marca las 4

horas con 5 minutos. Encuentra el área

de la corona circular de dicho reloj que

tiene las siguientes dimensiones.

7 cm

10 cm

h) Entre la herramienta que tiene el

profesor, se encuentran varias huachas

con las siguientes medidas. Encuentra el

área de la corona circular.

5 cm

2 cm

131

PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES • Lectura y construcción de gráficas de funciones

lineales asociadas a diversos fenómenos.

GRÁFICAS

PROBLEMA: Interpreta la siguiente gráfica poligonal que representa el consumo de

gasolina en litros, por kilómetros recorridos por un automóvil.

Con esta gráfica podemos obtener la siguiente información:

¿Cuántos km recorre con 4 litros? 40 km, ¿Cuántos km recorre por litro el auto? 10 km.

¿Cuántos km recorre con 0 litros? 0 km y ¿Cuántos litros necesita para recorrer 110 km?

Para contestar esta última pregunta, utilizamos la información de la gráfica para formular y

resolver el problema utilizando las razones y proporciones.

4

10=

𝑥

110 𝑥 =

4 𝑥 110

40 𝑥 =

440

40 𝑥 = 11


1.- La siguiente gráfica representa el llenado de una alberca con agua en cierto tiempo.

Registra los diferentes ritmos en la tabla.

Minutos Litros

12000

10000

8000

Se recomienda completar los

datos que faltan en la gráfica.

Escribimos en litros el 1, 3, 5…

Kilómetros

10 20 30 40 50 60 70 80 90

6

4

2

L

i

t

r

o

s

5 10 15 20 25

6000

4000

2000

Minutos

L

i

t

r

o

s

132

2.- Interpreta la información de la siguiente gráfica y contesta las preguntas.

a) Distancia recorrida por un vehículo en determinado tiempo.

a) ¿Cuántos kilómetros recorre en 2 horas? ________________

b) ¿Cuántos kilómetros recorre en 1 hora? _________________

c) ¿Cuántos kilómetros recorre en 0 horas? __________________

d) ¿Cuál es la distancia recorrida en 3 horas? _________________

e) ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 8.5 horas? _________________

3.- Construye la gráfica poligonal relacionada con el costo de llamadas telefónicas de larga

distancia por minuto, sabiendo que dos minutos cuestan 4 pesos.

c) ¿Cuánto pagará una persona que al mes habló cinco horas y media? ________________

2 4 6 8

400

240

80

Horas

Ki

ló

me

tr

os

a) ¿Cuánto pagará una persona

por llamadas de larga distancia

que al mes habló 13 minutos?

________________

b) ¿Cuánto pagará una persona

por llamadas de larga distancia

que al mes habló dos horas y

media? ________________

133

PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES • Análisis de los efectos al cambiar los parámetros

de la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente.

GRÁFICAS. FUNCIONES DE LA FORMA: y = mx + b

PROBLEMA: Analiza funciones de la forma y = mx + b, donde cambie el valor de la

pendiente m.

Funciones: y = 2x + 13 y y = 5x + 13

Fíjate que lo que cambia en las funciones es el 2 de la primera función por el 5 en la

segunda, que vienen siendo las pendientes y que se representan de manera general por la

letra m.

Si en las dos funciones le damos a x valor de 3, entonces tendremos:

y = 2(3) + 13 = 19 y= 5(3) + 13 = 28 El 19 es menor que 28

Al representar estas dos funciones en una gráfica nos van a resultar dos rectas en diferente

posición donde veremos cuál es la inclinación que tienen. Veremos si las rectas que nos

resultan son paralelas o concurrentes y si concurren en un mismo punto.


1.- Observa que en las siguientes funciones lo que cambia es la pendiente m.

Realiza la tabulación de cada función y elabora la gráfica de las cuatro en el mismo plano

cartesiano. Enseguida contesta lo que se pide.

y = 2x + 2 y = x + 2 y = 3x + 2 y = – x + 2

x y x y x y x y

134

a) ¿Qué es lo que cambia en las funciones anteriores? ___________________

b) ¿Cómo son las rectas que representan a cada una de las funciones (paralelas o

concurrentes)? ____________________

c) ¿Cómo es la posición o la inclinación de las rectas que representan a cada una de las

funciones anteriores (igual o diferente)? __________________

2.- PROBLEMA: Tres hermanos, Gilberto, Manuel y Oscar, rentan un traje cada uno en el

mismo lugar. A Gilberto se lo rentan en $100 más $20 de depósito diario; A Manuel se lo

rentan en $100 más $40 de depósito diario; A Oscar se lo rentan en $100 más $60 de

depósito diario. ¿Cuánto deberá pagar cada uno por cuatro días de renta?

a) ¿Cuáles son las cantidades que cambian en este problema? ___________________

b) ¿Qué cantidad es la que permanece constante? ____________

c) Si el pago de Gilberto se representa en forma general con la expresión algebraica:

y = 20x + 100, ¿cuáles son las funciones con las que se representa el pago que deben

hacer Manuel y Oscar? Manuel _________________ Óscar ______________

d)Tabula lo que nos indica lo que pagará cada uno en los cuatro días.

Gilberto Manuel Oscar

y = 20x + 100

x y

1 120

2 140

3 160

4 180

e) Elabora en este plano la gráfica que represente los gastos de los tres hermanos.

y

x

4 2 3 1

280

240

200

160

120

80

40

135

x

3.- Tabula y grafica en el plano cartesiano trazado abajo las siguientes funciones y

enseguida contesta lo que se pide.

y = x + 4 y = 2x + 3 y = x + 1 y = 3x + 3

x y

1

2

3

4

a) ¿En cuáles funciones las rectas resultan paralelas? ____________________________

b) ¿En cuáles funciones las rectas resultan concurrentes? _________________________

y

136

NOCIONES DE PROBABILIDAD • Comparación de las gráficas de dos distribuciones

(frecuencial y teórica) al realizar muchas veces un experimento aleatorio.

GRÁFICAS DE PROBABILIDAD TEÓRICA Y FRECUENCIAL

5.- Lanza un dado 30 veces, registra en la siguiente tabla los resultados, y construye las

gráficas de las distribuciones teórica y frecuencial.

Cae 1 Cae 2 Cae 3 Cae 4 Cae 5 Cae 6

De 30 veces

40

30

20

10

Sello Águila

Fre

cuen

cias

1.- La siguiente gráfica representa la

probabilidad teórica de que caiga sello o

águila al lanzar una moneda al aire 40 veces.

2.- Realiza el lanzamiento de la moneda las

veces que se indica en la siguiente tabla y

registra los resultados.


Lanzamientos Sello Águila

10

20

30

40

3.- Basado en la distribución de

la tabla construye la gráfica

frecuencial que represente a los

40 lanzamientos realizados.

40

30

20

10

Sello Águila

4.- Compara las dos gráficas elaboradas.

Fre

cuen

cias

encerrados en memorizar.wmvr.org/ejercicios/ejerciciosmatematicas2.pdfsolamente es adquirido de...

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