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TRANSCRIPT
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Walter Schmitting
Das Traveling-Salesman-Problem -Anwendungen und heuristische Nutzung
von Voronoi-/Delaunay-Strukturenzur Lösung euklidischer, zweidimensionaler
Traveling-Salesman-Probleme
Dissertationsschrift
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Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Schmitting, Walter:Das Traveling-Salesman-Problem : Anwendungen und heuristische Nutzungvon Voronoi-/Delaunay-Strukturen zur Lösung euklidischer, zweidimensionalerTraveling-Salesman-Probleme / Walter Schmitting. - Münster: Schmitting 2000 ISBN 3-00-004089-7
Zugl.: Düsseldorf Univ. Diss., 1999D61 (1999)
Elektronisch publiziert von der Universitäts- und LandesbibliothekDüsseldorf; abrufbar unter der URL:http://www.ulb.uni-duesseldorf.de/diss/wiwi/1999/schmitting.html
Als Dissertationsschrift eingereicht an der WirtschaftswissenschaftlichenFakultät der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf am 21.10.1998.Tag der mündlichen Prüfung: 10.02.1999Prüfer:Univ.-Prof. Dr. Wolfgang BerensUniv.-Prof. Dr. Horst DegenUniv.-Prof. Dr. Klaus-Peter Franz
© by Walter Schmitting, Münster 2000
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. JedeVerwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohneZustimmung des Verfassers unzulässig und strafbar. Dies gilt insbesondere fürÜbersetzungen, Transformation auf andere Medien (z.B. Mikroverfilmungen) undjegliche Form kommerzieller Verwertung.
ISBN 3-00-004089-7
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Geleitwort
Die akademische Auseinandersetzung mit dem Traveling Salesman-Problem dauert nun-mehr schon seit mehr als sechs Jahrzehnten an. Trotzdem hat die Fragestellung kaum anPopularität wie Relevanz verloren: Alljährlich erscheinen neue wissenschaftliche Beiträgezu diesem Thema und in einer Vielzahl praktisch bedeutsamer Kontexte werden fort-laufend Traveling Salesman-Probleme identifiziert und gelöst. Damit gehen in einem öko-nomisch orientierten Bezugsrahmen oftmals erhebliche Effektivitäts- und Effizienzgewinneeinher.
Das vorliegende Werk - ausgezeichnet als beste Dissertationsschrift des Jahres 1998 ander Wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf -setzt ungewöhnlicherweise gleich zwei Schwerpunkte bei der Behandlung des Themas:Zum ersten gilt die Aufmerksamkeit des Verfassers den realen Erscheinungsformen desTraveling Salesman-Problems. In Gestalt einer kritischen, zahlreiche Querbezüge aufzei-genden Synopse werden die "Anwendungen" des Problems - erstmalig in dieser Breiteund Tiefe - zusammenfassend dargestellt und untersucht. Damit wird eine bislang zukonstatierende Lücke in der Literatur geschlossen, da "Anwendungen" des Problems inder Realität bislang nur skizzenhaft zusammengestellt und daher über eine Vielzahl ver-schiedener Quellen verstreut erschienen.
Den zweiten Schwerpunkt der Schrift bildet die Auseinandersetzung mit dem zweidi-mensionalen, euklidischen Traveling Salesman-Problem als Spezialfall des allgemeinenProblems. Es wird untersucht, inwiefern sich eine besondere Einteilung des Raumes,welche sogenannte Voronoi-/Delaunay-Strukturen bereitstellen, zur Beschleunigung undVerbesserung der Lösungsqualität von Heuristiken nutzen läßt. In diesem Rahmen kon-zipiert der Verfasser insbesondere Modifikationen der klassischen Convex-Hull-Inser-tion-Heuristik und evaluiert diese eingehend hinsichtlich ihrer Leistungsfähigkeit. Es ge-lingt ihm bei einer Vorgabe von auch praxistauglichen Mindestlösungsqualitätenaußerordentlich schnelle Algorithmen zu entwerfen.
Abgesehen von diesen sehr beeindruckenden inhaltlichen Leistungen ist die erheblicheSorgfalt des Verfassers bei der akribischen Beschreibung und Dokumentation der ent-worfenen Heuristiken sowie der mit ihnen erreichten Leistungen hervorzuheben. Damitwird es dem Leser möglich, die erzielten Ergebnisse vollständig nachzuvollziehen und diedurch diese Arbeit aufgezeigten hoffnungsvollen Forschungsansätze eigenständig weiter-zuentwickeln.
Der durch die umfangreiche Dokumentation bedingte Umfang des Werkes ist sicherlichein Motiv für die bislang in den Wirtschaftswissenschaften noch eher unübliche Publi-kation desselben im World Wide Web. Ich wünsche dieser richtungsweisenden Arbeiteine weite Verbreitung und viel Resonanz.
Prof. Dr. Wolfgang Berens
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Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mit-arbeiter am Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Controlling an der Wirt-schaftswissenschaftlichen Fakultät der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf und wurdeim Wintersemester 1998/1999 als Dissertationsschrift angenommen.
Das Traveling-Salesman-Problem (TSP) begegnete mir erstmalig während meines Stu-diums an der Wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät der Westfälischen Wilhelms-Univer-sität Münster im Winter 1990. Der von ihm ausgehenden Faszination war ich unmittelbarerlegen: Ein auf den ersten Blick einfach erscheinendes, im realen Leben vielfach auftre-tendes Problem erweist sich in vielen seiner Erscheinungsformen nach derzeitigem Kennt-nisstand als unlösbar. Die Existenz einer Vielzahl komplexer und interdisziplinärer Lösungs-ansätze bzw. heuristischer Verfahren vermag durch ihre algorithmische Eleganz zu begei-stern wie auch zu eigenen Überlegungen anzuregen.
Ein Doktorand wird im Hinblick auf seine Arbeit oft als Einzelkämpfer tituliert. Tat-sächlich findet die fachliche Auseinandersetzung mit dem Thema überwiegend in derKlausur des "stillen Kämmerleins" statt. Dennoch kann ein solches Vorhaben doch nie-mals ohne die moralische Unterstützung und den fachlichen Rat einer Vielzahl andererPersonen zu einem fruchtbaren Ende geführt werden. Daher möchte ich allen Beteiligtenmeinen persönlichen Dank abstatten. Zunächst gilt derselbe meinem akademischen Lehrerund Doktorvater Prof. Dr. Wolfgang Berens. Neben seiner wissenschaftlichen Kompe-tenz lernte ich insbesondere die von ihm gewährten akademischen Freiheiten zu schätzen.Darüber hinaus möchte ich Herrn Prof. Dr. Horst Degen herzlich für die Übernahme desZweitgutachtens danken.
Mein Dank gilt auch den ehemaligen Kolleginnen und Kollegen am Lehrstuhl für Con-trolling in Düsseldorf: Elge Brandt, Dr. Thorben Finken, Dr. Andreas Hoffjan, Dr.Carsten Junga, Dr. Martin Karlowitsch, Dr. Birte Klein, Dipl.-Kfm. Roman Makoski,Dr. Martin Mertes und Dipl.-Kfm. Joachim Strauch. In intensiven Schreibphasen stan-den sie immer zu meiner Entlastung im Lehr- und Verwaltungsbetrieb bereit. Für sorg-fältige Korrekturlesungen und kritische Hinweise zu meinem verschachtelten Schreibstilhabe ich Karin Büschenfeld, Dipl.-Kfm. Torsten Büschenfeld, Dr. Andreas Hoffjan undDipl.-Math. Silke Weiß zu danken. Einige Generationen studentischer Hilfskräfte habendiese Arbeit begleitet und die oftmals schwierige Literaturbeschaffung bewältigt. Stell-vertretend für viele mehr sei hier Dipl.-Kffr. Anja Henseler, Herrn Michael Esch, Dipl.-Kfm. Arno Pangerl, Dipl.-Math. Iris Fromme und Dipl.-Math. Mirko Kraft gedankt.
Im privaten Umfeld gilt mein Dank meinen Eltern und Großeltern, die es mir ermöglich-ten und mich dabei unterstützten, entgegen der Familientradition den eingeschlagenenWeg zu verfolgen. Last not least hätte diese Arbeit ohne den stetigen und liebevollenRückhalt meiner Frau Helga sowie meiner Tochter Jana Alice, die alle seelischen Tiefenund Täler mit mir durchschritten (und mir wieder heraushalfen) kaum zu einem frucht-baren Ende geführt werden können.
Walter Schmitting
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Inhaltsverzeichnis
Abkürzungsverzeichnis..................................................................................................XSymbol- und Variablenverzeichnis.............................................................................XIVAbbildungsverzeichnis............................................................................................XXIVTabellenverzeichnis .................................................................................................... XL
1. Einführung ............................................................................................................. 11.1 Gegenstand der Arbeit..................................................................................... 11.2 Ziele der Untersuchung.................................................................................... 41.3 Gang der Ausführungen................................................................................... 6
2. Das Traveling-Salesman-Problem.......................................................................... 92.1 Überblick ........................................................................................................ 92.2 Grundlegende Charakterisierung.....................................................................10
2.2.1 Allgemeine Definition und Problembeschreibung...............................102.2.2 Die Familie der Traveling-Salesman-Probleme - ein Überblick...........182.2.3 Das euklidische zweidimensionale Traveling-Salesman-Problem........22
2.3 Verfahren zur Lösung des Traveling-Salesman-Problems................................242.3.1 Vorbemerkung..................................................................................242.3.2 Untere Schranken und Relaxationen..................................................242.3.3 Ein Überblick über exakte Verfahren.................................................292.3.4 Heuristische Verfahren......................................................................37
2.3.4.1 Zum Begriff der Heuristik ...................................................372.3.4.2 Beispiele für klassische Heuristiken .....................................532.3.4.3 Beispiele für Metaheuristische Prinzipien.............................72
2.4 Die Verwendung von Testproblemen zur Evaluation der Leistungs-fähigkeit von Heuristiken im Rahmen dieser Arbeit .........................................86
3. Anwendungen des Traveling-Salesman-Problems ...............................................923.1 Einführung .....................................................................................................923.2 Vorschlag einer Klassifikation.........................................................................943.3 Anwendungen mit räumlich orientierten Distanzfunktionen.............................96
3.3.1 Überblick..........................................................................................963.3.2 Variationen des klassischen Traveling-Salesman-Problems ................973.3.3 Tourenplanungsprobleme................................................................1023.3.4 Innerbetriebliche Transportvorgänge bei einer Luftfahrtgesell-
schaft..............................................................................................1053.3.5 Auftragszusammenstellung in Lagerhäusern ....................................1103.3.6 Steuerung von Regalfahrzeugen in Hochregallagern........................1113.3.7 Steuerung von Maschinen mit räumlich zu positionierenden Sub-
systemen unter besonderer Berücksichtigung der Leiterplatten-fertigung.........................................................................................1163.3.7.1 Rahmendefinition und Überblick über den Prozeß der
Leiterplattenfertigung........................................................1163.3.7.2 Maskenbelichtung im Rahmen der Leiterplatten-
fertigung ...........................................................................119
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3.3.7.3 Das "Drilling Problem" im Rahmen der Leiterplatten-fertigung und analoge Anwendungen.................................126
3.3.7.4 Leiterplattenbestückung ....................................................1403.3.7.5 Verdrahtung von Computerkomponenten..........................1423.3.7.6 Diffraktometerpositionierung im Rahmen der Röntgen-
kristallographie .................................................................1433.3.8 Verschnittminimierung beim Tapetenzuschnitt ................................1463.3.9 Risikomaximale Gestaltung von Dartboards ....................................1513.3.10 Diverse weitere Anwendungen........................................................154
3.4. Anwendungen mit nicht räumlich orientierten Distanzfunktionen ..................1603.4.1 Überblick........................................................................................1603.4.2 Umrüstprobleme.............................................................................1613.4.3 Maschinenbelegungsprobleme.........................................................1673.4.4 Datierungsprobleme in der Archäologie ..........................................1723.4.5 Anwendung im Rahmen der Clusteranalyse .....................................1783.4.6 Reduzierung der Auftragsstreuung in der Glasindustrie ...................1813.4.7 Rotierende Dienstpläne für Buspersonal..........................................1873.4.8 Ausblick auf weitere Anwendungen ................................................192
3.5 Schlüsse aus den dargestellten Anwendungen ...............................................193
4. Voronoi-/Delaunay-Strukturen und das Traveling-Salesman-Problem ............2144.1 Überblick .....................................................................................................2144.2 Voronoi-/Delaunay-Strukturen .....................................................................215
4.2.1 Grundlegende Charakterisierung .....................................................2154.2.2 Ausgewählte Eigenschaften.............................................................2224.2.3 Herkunft und Anwendungen ...........................................................2294.2.4 Berechnung ....................................................................................233
4.2.4.1 Vorbemerkung ..................................................................2334.2.4.2 Naive Algorithmen............................................................2344.2.4.3 Komplexe laufzeiteffiziente Algorithmen ...........................2364.2.4.4 Probleme bei der Berechnung von
Voronoi-/Delaunay-Strukturen..........................................2514.2.4.5 Berechnung von Voronoi-/Delaunay-
Strukturen im Rahmen dieser Arbeit..................................2564.3 Beziehungen zwischen dem euklidischen, zweidimensionalen Traveling-
Salesman-Problem und Voronoi-/Delaunay-Strukturen .................................2644.3.1 Optimale Rundreisen und die Kanten der Delaunay-Struktur ...........2644.3.2 Zur Anzahl und Qualität von Rundreisen auf Delaunay-
Strukturen ......................................................................................2704.3.3 Begründungen für die heuristische Nutzung von Voronoi-/
Delaunay-Strukturen in der Literatur...............................................2764.3.4 Untersuchung heuristisch nutzbarer Beziehungen zwischen
Voronoi-/Delaunay-Strukturen und dem Traveling-Salesman-Problem am Beispiel von zu in der optimalen Rundreisegenutzten Delaunay-Kanten dualen Voronoi-Kanten .......................283
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5. Die heuristische Nutzung von Voronoi-/Delaunay-Strukturen zur Lösungdes Traveling-Salesman-Problems ......................................................................3045.1 Einführung und Überblick.............................................................................3045.2 Die heuristische Nutzung von Voronoi-/Delaunay-Strukturen in der
Literatur .......................................................................................................3075.2.1 Charakteristika existierender Nutzungen .........................................3075.2.2 Die heuristische Nutzung von Voronoi-/Delaunay-Strukturen in
der Literatur - Exemplarische Vertiefung am Beispiel des Ver-fahrens von SEGAL/ZHANG/TSAI (1991) ....................................3195.2.2.1 Darstellung .......................................................................3195.2.2.2 Reflexion und Kritik..........................................................322
5.3 Überlegungen zur heuristischen Nutzung von Voronoi-/Delaunay-Struk-turen am Beispiel eines Eröffnungs- und eines Verbesserungsverfahrens .......3285.3.1 Die Nutzung von Voronoi-/Delaunay-Strukturen am Beispiel
eines Eröffnungsverfahrens: "Convex Hull Insertion"-Heuristik.......3285.3.1.1 Konzept und historische Entwicklung................................3285.3.1.2 Implementierung und Evaluation .......................................3365.3.1.3 Einführung der Tripelaktualisierung...................................3625.3.1.4 Verkürzung der Rechenzeit durch die Nutzung aus
Voronoi-/Delaunay-Strukturen abgeleiteter Nachbar-schaften (Variante I)..........................................................378
5.3.1.5 Verkürzung der Rechenzeit durch die Nutzung ausVoronoi-/Delaunay-Strukturen abgeleiteter Nachbar-schaften - eine Erweiterung (Variante II)...........................390
5.3.1.6 Verkürzung der Rechenzeit bei expliziter Akzeptanzvon Lösungsqualitätsverschlechterungen durch dieNutzung von Voronoi-/Delaunay-Strukturen (TriangleInsertion) ..........................................................................399
5.3.2 Rechenzeitverkürzung unter Nutzung von Voronoi-/Delaunay-Strukturen am Beispiel eines Verbesserungsverfahrens: "NodeInsertion"-Heuristik ........................................................................4145.3.2.1 Konzept ............................................................................4145.3.2.2. Anwendung der "Node Insertion"-Heuristik unter
Nutzung von Voronoi-/Delaunay-Strukturen auf zu-fällig erzeugte Rundreisen .................................................419
5.3.2.3 Anwendung der "Node Insertion"-Heuristik unterNutzung von Voronoi-/Delaunay-Strukturen auf mittelsder "Nearest Neighbor"-Heuristik erzeugte Rundreisen .....428
5.3.2.4 Anwendung der "Node Insertion"-Heuristik unterNutzung von Voronoi-/Delaunay-Strukturen auf mittelsder CHI-TICI-Heuristik erzeugte Rundreisen ....................439
5.3.2.5 Weitere Senkung der Rechenzeit der "Node Insertion"-Heuristik unter Nutzung von Voronoi-/Delaunay-Struk-turen mittels "selektiver Prüfung" ......................................455
5.4 Zusammenfassende Bewertung .....................................................................457
6. Kritische Reflexion und Ausblick .......................................................................464
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Anhänge
1 Ergebnisse der Approximation der Laufzeit des hier eingesetzten Verfahrenszur Berechnung von VD-Strukturen durch eine lineare Funktion in Abhän-gigkeit von der Problemgröße im Rahmen einer Regressionsanalyse (SPSS-Output).............................................................................................................469
2 Einige statistische Kennzahlen für Merkmale der für die TSP-Gruppen II und(teilweise) III aus der TSPLIB berechneten VD-Strukturen...............................471
3 Untersuchung der Identität von Delaunay-Kanten und Kanten der optimalenRundreise für 100 TSP der Gruppe I .................................................................480
4 Untersuchung von Anzahl und Lösungsqualität der auf der Delaunay-Struk-tur existierenden Rundreisen für einhundert 15-Städte-TSP der Gruppe I ..........484
5 Untersuchung der Verteilung der Lösungsqualitäten der auf der Delaunay-Struktur identifizierten Rundreisen für das TSP 15_001 aus Gruppe I ...............488
6 Korrelationen zwischen den Längen von Voronoi- und Delaunay-Kanten für15 TSP aus den Gruppen II und III ...................................................................491
7 Untersuchung des Auftretens von Delaunay-Kanten unterschiedlicher Ränge(RDE) in den optimalen Rundreisen für 15 TSP aus den Gruppen II und III...........496
8 Untersuchung des Auftretens von Voronoi-Kanten unterschiedlicher Ränge(RVE) als Duale von in der optimalen Rundreise genutzten Delaunay-Kan-ten für 15 TSP aus den Gruppen II und III ........................................................503
9 Voronoi-Kanten verschiedener Ränge (RVE) als Duale zu von der optima-len Rundreise genutzten und ungenutzten Delaunay-Kanten - Aufbereitung alsKreuztabellen für 15 TSP aus den Gruppen II und III........................................510
10 SPSS-Boxplots der Verteilungen der relativen Längen und Ränge von Vo-ronoi-Kanten (RLVE, RVE), gruppiert nach der Verwendung der Delau-nay-Duale in der optimalen Rundreise und nach verschiedenen ACH-Wer-ten für 15 TSP aus den Gruppen II und III ........................................................526
11 Ergebnisse der Anwendung unterschiedlicher Parametrisierungen der klassi-schen "Convex Hull Insertion"-Heuristik auf 35 Testprobleme der GruppeII aus der TSPLIB ............................................................................................542
12 Ergebnisse der Approximation der Laufzeit der klassischen "Convex HullInsertion"-Heuristik durch eine kubische Funktion in Abhängigkeit von derProblemgröße im Rahmen einer Regressionsanalyse (SPSS-Output)..................559
13 Rechenzeiten der um die Nutzung von Voronoi-/Delaunay-Strukturen er-weiterten "Convex Hull Insertion"-Heuristik mit Tripelaktualisierung, Va-riante I, bei verschiedenen Parametrisierungen...................................................560
14 Ergebnisse der Approximation der Laufzeit der CHI-TA VD1-Heuristikdurch eine kubische bzw. quadratische Funktion in Abhängigkeit von derProblemgröße im Rahmen einer Regressionsanalyse (SPSS-Output)..................564
15 Rechenzeiten und Lösungsqualitäten der um die Nutzung von Voronoi-/De-launay-Strukturen erweiterten "Convex Hull Insertion"-Heuristik mit Tri-pelaktualisierung, Variante II, bei verschiedenen Parametrisierungen .................566
16 Aus der Anwendung der um die Nutzung von Voronoi-/Delaunay-Strukturenerweiterten "Convex Hull Insertion"-Heuristik mit Tripelaktualisierung, Varian-
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te II, auf 41 TSP aus der TSPLIB bei verschiedenen Parametrisierungen re-sultierende Vollprüfungsquoten................................................................................. 581
17 Ergebnisse der Approximation der Laufzeit der CHI-TA VD2-Heuristik durcheine kubische bzw. quadratische Funktion in Abhängigkeit von der Problem-größe im Rahmen einer Regressionsanalyse (SPSS-Output) ..................................... 588
18 Ergebnisse der Approximation der Laufzeit der CHI-TA VD2-Heuristik durcheine quadratische Funktion in Abhängigkeit von der Problemgröße im Rahmeneiner Regressionsanalyse (SPSS-Output) bei verschiedenen Parametrisierungen ...... 590
19 Ergebnisse der Anwendung unterschiedlicher Parametrisierungen der "ConvexHull Insertion - Triangle Insertion, Cheapest Insertion"-Heuristik auf 41 TSPder Gruppen II und III (tw.) ...................................................................................... 594
20 Ergebnisse der Approximation der Laufzeit der CHI-TICI-Heuristik durch einequadratische Funktion in Abhängigkeit von der Problemgröße im Rahmen einerRegressionsanalyse (SPSS-Output) bei verschiedenen Parametrisierungen............... 606
21 Ergebnisse der Approximation der Laufzeit der NIVD-Heuristik für zufällig er-zeugte Rundreisen durch eine lineare Funktion in Abhängigkeit von der Pro-blemgröße im Rahmen einer Regressionsanalyse (SPSS-Output) bei verschie-denen Parametrisierungen.......................................................................................... 612
22 Anwendung der NIVD-Heuristik auf mittels der ANN-Heuristik erzeugteRundreisen: Korrelationen zwischen Problemgröße und Lösungsqualitäten so-wie Lösungsqualitäten bei verschiedenen Parametrisierungen ................................... 618
23 Ergebnisse der Approximation der Laufzeit der NIVD-Heuristik für mittels derANN-Heuristik erzeugte Rundreisen durch eine lineare Funktion in Abhän-gigkeit von der Problemgröße im Rahmen einer Regressionsanalyse (SPSS-Output) bei verschiedenen Parametrisierungen.......................................................... 622
24 Ergebnisse der Anwendung unterschiedlicher Parametrisierungen der CHI-TICI-Heuristik in Kombination mit der NIVD-Heuristik (mit g = 1) auf 41 TSPder Gruppen II und III (tw.) ...................................................................................... 628
25 Ergebnisse der Approximation der Laufzeit der CHI-TICI NIVD-Heuristikdurch eine quadratische Funktion in Abhängigkeit von der Problemgröße imRahmen einer Regressionsanalyse (SPSS-Output) bei verschiedenen Parametri-sierungen.................................................................................................................... 650
26 Ergebnisse einer Approximation der Laufzeit der NIVD-Heuristik für mittelsder CHI-TICI-Heuristik erzeugte Rundreisen durch eine lineare Funktion inAbhängigkeit von der Problemgröße im Rahmen einer Regressionsanalyse(SPSS-Output) bei verschiedenen Parametrisierungen der CHI-TICI-Heuristik ....... 654
27 Vergleich der Laufzeiten der Kombination der CHI-TICI-Heuristik (bei ver-schiedenen Parametrisierungen) mit der NIVD- bzw. NIVD-M-Heuristik für 41TSP der Gruppen II und III (tw.) .............................................................................. 656
28 Ergebnisse einer Approximation der Laufzeit der CHI-TICI NIVD-M-Heu-ristik durch eine quadratische Funktion in Abhängigkeit von der Problemgrößeim Rahmen einer Regressionsanalyse (SPSS-Output) bei ausgewählten Para-metrisierungen ........................................................................................................... 658
Literaturverzeichnis....................................................................................................662
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Abkürzungsverzeichnis
Abb. : Abbildung
ABQ : Abbruchquote
ACH : Abstand (einer Stadt eines TSP zur) "Convex Hull"
ACM : Association for Computing Machinery
acos : Arkuscosinus
ALDE : Absolute Length (of a) Delaunay Edge
ALVE : Absolute Length (of a) Voronoi Edge
ANN : All Nearest Neighbor (-Heuristik)
APA : Areas potentially available
B&B : Branch-and-Bound (-Algorithmen, -Verfahren)
BEA : Bond Energy Algorithm (-Heuristik)
BT : British Telecommunications
BTSP : Bottleneck Traveling-Salesman-Problem
bzgl. : bezüglich
CAD : Computer-Aided Design
CC : Convex Hull - Cheapest Insertion (-Heuristik)(nach GOLDEN/STEWART (1985))
CCA : Convex Hull - Cheapest Insertion - Angle Selection (-Heuristik)(nach GOLDEN/STEWART (1985))
CCAO : Convex Hull - Cheapest Insertion - Angle Selection - Or opt (-Heu-ristik (nach GOLDEN/STEWART (1985))
CEIL : "Ceiling"; Bezeichnung einer mathematischen Funktion
CH : Convex Hull
CHI : Convex Hull Insertion (-Heuristik)
CHIL : Convex Hull Insertion (-Heuristic Tour) Length
CHI-TA : Convex Hull Insertion (-Heuristik mit) Tripelaktualisierung
CHI-TA VD1 : Convex Hull Insertion (-Heuristik mit) Tripelaktualisierung (unterNutzung von) Voronoi-/Delaunay (-Strukturen), Variante I
CHI-TA VD2 : Convex Hull Insertion (-Heuristik mit) Tripelaktualisierung (unterNutzung von) Voronoi-/Delaunay (-Strukturen), Variante II
CHI-TICI : Convex Hull Insertion (-Heuristik mit) Tripelaktualisierung (unterNutzung von) Voronoi-/Delaunay (-Strukturen) als "Triangle In-sertion - Cheapest Insertion"
CI : Convex Hull Insertion (-Heuristik)(nach GOLDEN/STEWART (1985))
c.p. : ceteris paribus
CPU : Central Processing Unit
CSP : Crew Scheduling Problem
D&C : Divide-and-Conquer (-Algorithmus, -Verfahren)
DE : Delaunay Edge
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Del. : Delaunay
DNS : Desoxyribonukleinsäure
DP : Dynamische Programmierung
EAV : Endauswahlverfahren
EE : Entfernungseinheiten
Fig. : Figure
FORTRAN : Formula Translator (Programmiersprache)
FTP : File Transfer Protocol
ggT : größter gemeinsamer Teiler
GA : Greatest Angle (Insertion) (nach GOLDEN/STEWART (1985))
GAL : Genetischer Algorithmus
GAMS : Guide to Available Mathematic Software (des NIST, USA)
ges. : gesamt
HNP : "Half-Neighbor"-Problem
HPPP : Homogeneous Poisson Point Process
i.a. : im allgemeinen
IBM : International Business Machine (-Corporation)
IC : Integrated Circuit
IEEE : Institute of Electrical and Electronical Engineers (USA)
IIE : Institute of Industrial Engineers
i.S. : im Sinne
i.w.S. : im weiteren Sinne
k.A. : keine Angabe (in der Originalquelle)
korr. : korrigiert
kum. : kumuliert
LK : LIN/KERNIGHAN (-Heuristik, -Verfahren)
LP : Lineare Programmierung bzw. Lineares Programm
LQ : Lösungsqualität
LRW : Laplacian Random Walk
MAX : Maximum
Md. : Modus
MEE : Most Eccentric Ellipse Method(nach GOLDEN/STEWART (1985))
MFlops : million floating-point operations per second
MIN : Minimum
MIPS : Million Instructions per Seconds
MTSP : m traveling salesman problem, auch Multi-Traveling-Salesman Pro-blem
MW : Mittelwert
NB : Nachbarn
NBG : Nachbarschaftsgrad
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- XII -
NBS : Nachbarschaftsbestimmung, Bestimmung von Nachbarschaftsstruk-turen
NC : Numerical Control (-Machine)
NCH : Not Convex Hull (-Status)
NDE : Non Delaunay Edge (-Status)
NI : Node Insertion (-Heuristik)
NIF : Not Inserted First (-Städte, -Status)
NIST : National Institute of Standards and Technology (USA)
NIVD : Node Insertion (-Heuristik unter Nutzung von) Voronoi-/Delau-nay (-Strukturen)
NIVD-M : Node Insertion (-Heuristik unter Nutzung von) Voronoi-/Delau-nay (-Strukturen mit iterationsübergreifender Speicherung/) Memo-rierung (und Nutzung von Prüfungsergebnissen/selektiver Prüfung)
NN : Nearest Neighbor (-Heuristik)
No. : Number
NP : nichtdeterministisch polynomial
OLC : Optimal Length Calculated
OLN : Optimal Length Noted (in TSPLIB)
ORSA : Operations Research Society of America
opt. : optimal
o.S. : ohne Seitenangabe
o.V., O.V. : ohne Verfasser
OZ : Operationszeit (Rechenzeit)
Par. : Parametrisierung
PCTSP : Precedence Constrained Traveling-Salesman-Problem
Prfg. : Prüfung (-en)
proz. : prozentual
RDE : Rank (of a) Delaunay Edge
RLDE : Relative Length (of a) Delaunay Edge
RLVE : Relative Length (of a) Voronoi Edge
RP : Rostering Problem
RR : Rundreise
RVE : Rank (of a) Voronoi Edge
RXD : Ratio times Difference Insertion (-Heuristik)(nach GOLDEN/STEWART (1985))
RZ : Restzeit
SA : Simulated Annealing
SFC : Space Filling Curve (-Heuristik)
SIAM : Society for Industrial and Applied Mathematics
SPSS : "Statistical Package for the Social Sciences" bzw. "Superior Per-formance Software System" (Statistikprogramm)
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- XIII -
STATLIB : Statistical Library; Online-Bibliothek überwiegend statistischer Soft-ware
Stdabw.,
STDABW : Standardabweichung
STSP : Single Traveling-Salesman-Problem
TA : Tripelaktualisierung
TAC : Threshold Accepting
Tab. : Tabelle
TAP : Traveling Archaeologist Problem
theor. : theoretisch
TICI : Triangle Insertion - Cheapest Insertion (-Heuristik)
TP : Teilprüfung
TS : Tabu Search
TSP : Traveling-Salesman-Problem
TSPLIB : Traveling-Salesman-Problem Library
TSTS : Two-Stage Traveling Salesman (-Heuristik)
tw. : teilweise
UCIM : Universal Chip Insertion Machine
UO : (Delaunay Edge) Used (in) Optimal (Tour) (-Status)
VAV : Vorauswahlverfahren
VC : Variationskoeffizient
VD : Voronoi-/Delaunay (-Strukturen)
VE : Voronoi Edge
VF : Voronoi-Flächen; Flächeninhalte von Voronoi-Polygonen
VK : Voronoi-Knoten
VL : Verbesserungslauf
VP : Vollprüfung
VPA : Vollprüfungsanteil
VPQ : Vollprüfungsquote
VRP : Vehicle Routing Problem
WiSt : Wirtschaftswissenschaftliches Studium
WISU : Das Wirtschaftsstudium
WWW : World Wide Web
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Symbol- und Variablenverzeichnis
Allgemein verwendete Symbole und Variablen:
# : Anzahl
di j, : Distanz zwischen den im Rahmen eines TSP zyklisch zu reihenden Ob-
jekten als Beitrag zur i.a. zu minimierenden Zielfunktion bei der direk-ten Abfolge der Objekte i und j in einer Sequenz; i j n, , ,...,∈ 1 2l q undi.a. i j≠ ; so z.B. als euklidische Distanz zwischen den Städten einesTSP oder Rüstzeiten beim Umrüstproblem
D : Zweidimensionale Matrix der Distanzen di j, für ein TSP; Distanzmatrix
i : Index- und Zählvariable; kontextgebunden
j : Index- und Zählvariable; kontextgebunden
k : Index- und Zählvariable; kontextgebunden
l : Index- und Zählvariable; kontextgebunden
Lp : Minkowski-Metrik
L1 : City-Block-Metrik als spezifizierter Unterfall der Minkowski-Metrik
L∞ : Maximumsmetrik als spezifizierter Unterfall der Minkowski-Metrik
LQ : Lösungsqualität als prozentuale Angabe darüber, in welchem Maße dieLänge einer betrachteten Rundreise die Länge der optimalen Rundreisefür ein TSP übersteigt
m : Mittelwertm : Index- und Zählvariable; kontextgebunden
n : Anzahl der im Rahmen eines TSP unter Berücksichtigung einer i.a. zuminimierenden Zielfunktion in einer zyklischen Sequenz zu ordnenden Ob-jekte; z.B. als Städte im Rahmen einer Rundreise
nch : Anzahl der ausgezeichneten Raumpunkte einer Punkteschar bzw. derStädte eines euklidischen, zweidimensionalen TSP, welche auf dem Randder von der Punkteschar bzw. allen Städten des TSP gebildeten kon-vexen Hülle liegen
NP : Klasse der nicht mit in Abhängigkeit von der Problemgröße polynomialemAufwand lösbaren Probleme; mit polynomialem Aufwand in Abhängig-keit von der Problemgröße nur durch einen nichtdeterministischen Al-gorithmus lösbar
O(.) : O-Notation; Laufzeitkomplexität eines Algorithmus im schlechtestdenk-baren Falle in Abhängigkeit von zu benennenden Determinanten, i.a. imFalle des TSP zumeist der Problemgröße n
OLC : "Optimal Length Calculated"; Länge der optimalen Rundreise für ein zwei-dimensionales, euklidisches TSP, welche unter Berücksichtigung euklidi-scher Distanzen zwischen den Städten bestimmt wurde
OLN : "Optimal Length Noted" (in TSPLIB); Länge der optimalen Rundreise fürein zweidimensionales, euklidisches TSP, welche entsprechend den Kon-ventionen der TSPLIB (d.h. mit ganzzahligen Distanzen unter Berück-sichtigung spezifischer Rundungsregeln) bestimmt wurde
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- XV -
OZ : Operationszeit (Rechenzeit)
p : Index- und Zählvariable; kontextgebunden
P : Klasse der mit in Abhängigkeit von der Problemgröße polynomialem Auf-wand lösbaren Probleme
ρ : Permutation einer Folge von Objekten, so z.B. von Städten eines TSP
r : Index- und Zählvariable; kontextgebunden
r2 : Bestimmtheitsmaß im Rahmen der Regressionsanalyse
s : Standardabweichungt : Index- und Zählvariable; kontextgebunden
x : Abszisse eines zweidimensionalen, kartesischen Koordinatensystems
xi : x-Koordinate der Stadt i eines TSP in einem zweidimensionalen Raum
x j i, : Koordinate der Stadt i in der Dimension j eines im m-dimensionalen Raum
formulierten TSP; i n∈ 1 2, ,...,l q; j ∈ 1 2, ,...,ml qy : Ordinate eines zweidimensionalen, kartesischen Koordinatensystems
yi : y-Koordinate der Stadt i eines TSP in einem zweidimensionalen Raum
Z (.) : Über eine Regressionsanalyse aus simulativ-empirisch ermittelten Datenabgeschätzte durchschnittliche Laufzeit eines Algorithmus, üblicherweisein Abhängigkeit von n als der Größe eines TSP angegeben
Spezielle Symbole und Variablen des Abschnitts 2:
• Formulierung des TSP als Lineares Programm (Abschnitt 2.2.1)
S : Menge der Sub- bzw. Kurzzyklen von zyklisch zu reihenden Objektenim Rahmen der Formulierung eines TSP als Lineares Programm
xi j, : Binärvariable im Rahmen einer Formulierung des TSP als Lineares Pro-
gramm; xi j, gibt an, ob eine Abfolge zweier Städte eines TSP in einer spe-
zischen Lösung realisiert wird oder nicht; xi j, ,∈ 0 1l q; i j n, , ,...,∈ 1 2l qund i.a. i j≠
• Beispiele klassischer Heuristiken zur Lösung des TSP (Abschnitt 2.3.4.2)
ti : Stadt i eines TSP; i n∈ 1 2, ,...,l q• Beispiele Metaheuristischer Prinzipien zur Lösung des TSP (Abschnitt 2.3.4.3)
T : Temperaturparameter des "Simulated Annealing"
x : Im Rahmen des "Simulated Annealing" herangezogene gleichverteilte Zu-fallszahl (mit 0 1<
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- XVI -
• Multiperiod TSP (Abschnitt 3.3.2)
Ki : Anzahl der Tage, welche zwischen zwei Besuchen in einer Stadt i min-destens vergangen sein müssen; 1 ≤ ≤K Mi
M : Anzahl der Tage des zugrundegelegten Zeithorizontes für die Planung vonRundreisen bzw. die Erstellung eines Besuchsplanes
Ti : Zeitintervall als Anzahl der Tage, in welchem eine Stadt i im Rahmender Planung von Rundreisen einmal besucht werden muß; 1 ≤ ≤T Mi
Ui : Anzahl der Tage, welche zwischen zwei Besuchen in einer Stadt i höch-stens vergehen dürfen; 1 ≤ ≤U Mi
• Tourenplanungsprobleme/Vehicle Routing Problem (Abschnitt 3.3.3)
m : Anzahl der im Rahmen einer Tourenplanung einzusetzenden Fahrzeuge
ml : Untergrenze für die Anzahl der im Rahmen einer Tourenplanung ein-setzbaren Fahrzeuge
mu : Obergrenze für die Anzahl der im Rahmen einer Tourenplanung ein-setzbaren Fahrzeuge
qi : Bedarf einer im Rahmen eines Tourenplanungsproblemes zu beliefern-den Stadt i in Volumen- oder Gewichtseinheiten; i n∈ 1 2, ,...,l q
Qk : Kapazität des im Rahmen der Tourenplanung einzusetzenden Fahrzeu-ges k; k m∈ 1 2, ,..,l q
• Einsatz einer computergesteuerten Stanze als Bestandteil einer Fertigungszelle alsTSP (Abschnitt 3.3.7.3)
αi : Rotationswinkel des Werkzeugmagazins (Revolvermagazin) zur Heran-führung eines benötigten Werkzeuges wi an das Werkstück in Relationzu einem Referenzwerkzeug w0 ; i n∈ 1 2, ,..,l q
w0 : Referenzwerkzeug im Werkzeugmagazin der Stanze
wi : Im Rahmen einer vorzunehmenden Stanzung einzusetzendes Werkzeugaus dem Werkzeugmagazin der Stanze; i n∈ 1 2, ,..,l q
• Verschnittminimierung beim Tapetenzuschnitt als TSP (Abschnitt 3.3.8)
d : Notwendige Längenverschiebung von benachbarten Tapetenbahnen ge-geneinander, um einen stimmigen Übergang des Tapetenmusters zu ge-währleisten
di j,' : Distanz aus bzw. Element der modifizierten Distanzmatrix D' für den Ta-
petenzuschnittD' : Modifizierte Distanzmatrix für den Tapetenzuschnitt als Ausschnitt aus der
relevanten Distanzmatrix D; erste r Spalten und Zeilen
L : Höhe der rechteckigen, zu tapezierenden Wand in Längeneinheiten
r : Längeneinheiten, in denen sich das Muster der Tapete wiederholt (d.h. vonneuem beginnt)
s : Anzahl der Zeilen bzw. Spalten, für welche die Distanzmatrix für den Ta-petenzuschnitt streng zirkulär ausfällt
ti j, : Verschnitt (in Längeneinheiten) bei einem Abschneiden der Tapetenbah-
nen i und j in direkter Folge von der Tapetenrolle
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- XVII -
v : Verschnitt (in Längeneinheiten) zwischen zwei aufeinander folgend vonder Tapetenrolle abgeschnittenen Tapetenbahnen
w : Breite der Tapetenrolle in Längeneinheiten
W : Breite der rechteckigen, zu tapezierenden Wand in Längeneinheiten
• Risikomaximale Gestaltung von Dartboards als TSP (Abschnitt 3.3.9)
di jA, : Distanzfunktion A zur Zielfunktion A für die risikomaximale Gestaltung
von Dartboards; i ∈ 1 2 20, ,...,l q, j ∈ 1 2 20, ,...,l q , i j≠di j
B, : Distanzfunktion B zur Zielfunktion B für die risikomaximale Gestaltung
von Dartboards; i ∈ 1 2 20, ,...,l q, j ∈ 1 2 20, ,...,l q , i j≠ρ( )k : Permutation der Folge der Sektoren eines Dartboards mit k ∈ 1 2 20, ,...,l qt : Mindestdifferenz der Punktwerte zweier benachbarter Sektoren des Dart-
boards
w : Wahrscheinlichkeit, den dem Sektor k des Dartboards benachbarten Sek-tor zu treffen, wenn auf den Sektor k gezielt wird
xi j, : Binärvariable für die Bezeichnung der direkten Folge der Sektoren i und
j auf einem Dartboard mit xi j, ,∈ 0 1l q, i ∈ 1 2 20, ,...,l q, j ∈ 1 2 20, ,...,l qund i j≠
zA : Zielfunktion A für die risikomaximale Gestaltung eines Dartboard
zAopt : Optimaler Zielfunktionswert der Zielfunktion A für die risikomaximale Ge-
staltung von Dartboards
zB : Zielfunktion B für die risikomaximale Gestaltung eines Dartboard
zBopt : Optimaler Zielfunktionswert der Zielfunktion B für die risikomaximale Ge-
staltung von Dartboards
• Umrüstprobleme als TSP (Abschnitt 3.4.2)
b0 : Bearbeitungszeit eines fiktiven Loses auf einer Maschine; b0 0=
bj : Bearbeitungszeit eines Loses j auf einer Maschine; j n∈ 1 2, ,..,l qC : Konstante
ti j, : Summe aus Bearbeitungs- und Umrüstzeit für ein Los j auf einer Ma-
schine, wenn zuvor das Los i gefertigt wurde; i j n, , ,..,∈ 1 2l q, i j≠Z0 : Ausgangszustand einer Maschine vor Bearbeitung einer Losfolge, in wel-
chen sie auch nach deren Bearbeitung zurückversetzt werden soll
Z j : Zustand, welchen eine Maschine vor dem Beginn der Bearbeitung des
Loses j aufweisen muß; ggf. muß auf diesen Zustand umgerüstet wer-den; j n∈ 1 2, ,..,l q
• Festlegung einer Chargenfolge für einen Brennofen als TSP (Abschnitt 3.4.2)
a : Untergrenze des Integrals für die Bestimmung der Elemente der Dichte-matrix
ai : Starttemperatur der Charge i; i n∈ −1 2 1, ,..,l qan : Zu erreichende Endtemperatur des Brennofens nach Bearbeitung der Char-
genfolge
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- XVIII -
b : Obergrenze des Integrals für die Bestimmung der Elemente der Dichte-matrix
bi : Schlußtemperatur der Charge i; i n∈ −1 2 1, ,..,l qbn : Ausgangstemperatur des Brennofens vor Bearbeitung der Chargenfolge
D : Distanzmatrix für eine Reindizierung der Chargen nach aufsteigenderSchlußtemperatur bi
Dρ : Permutation der Distanzmatrix D
f(.) : Dichtefunktion der Temperaturwechselkosten
g(.) : Kosten für die Erhöhung bzw. Absenkung der Ofentemperatur
vi j, : Elemente der Dichtematrix; i j n, , ,..,∈ 1 2l qV : Dichtematrix
• Maschinenbelegungsprobleme als TSP (Abschnitt 3.4.3)
Ai : i-ter Auftrag; i n∈ 1 2, ,...,l qki l,
' : Indexposition der ersten auf der l-ten Maschine auszuführenden Opera-
tion des i-ten Auftrages; i n∈ 1 2, ,...,l q, l m∈ 1 2, ,...,l qki l,
'' : Indexposition der letzten auf der l-ten Maschine auszuführenden Opera-
tion des i-ten Auftrages; i n∈ 1 2, ,...,l q, l m∈ 1 2, ,...,l qmi : Anzahl der einzelnen Operationen des Auftrags Ai ; i n∈ 1 2, ,...,l qMl : l-te Maschine; l m∈ 1 2, ,...,l qOi k, : k-te Operation des Auftrags Ai ; k mi∈ 1 2, ,...,l q, auszuführen auf einer
spezifizierten Maschine Ml (festgelegt durch den Vektor ri k, )
pi k, : Bearbeitungszeit der Operation Oi k, des Auftrages Ai ; i n∈ 1 2, ,...,l q,k mi∈ 1 2, ,...,l q
ri k, : Vektor zur Festlegung der Folge, in denen die Operationen Oi k, eines Auf-
trages Ai auf den Maschinen bearbeitet werden müssen; k mi∈ 1 2, ,...,l q,i n∈ 1 2, ,...,l q
Ti : Gesamte Bearbeitungszeit des i-ten Auftrages als Summe der Bearbei-tungszeit seiner Operationen; i n∈ 1 2, ,...,l q
Ti l,' : Bearbeitungszeit von dem Beginn der Bearbeitung der ersten Operation
des i-ten Auftrages auf der l-ten Maschine bis zum Ende der Bearbei-tungszeit des i-ten Auftrages; i n∈ 1 2, ,...,l q, l m∈ 1 2, ,...,l q
Ti l,'' : Bearbeitungszeit von dem Beginn der Bearbeitung der ersten Operation
des i-ten Auftrages bis zur letzten Ausführung einer Operation desselbenauf der l-ten Maschine; i n∈ 1 2, ,...,l q, l m∈ 1 2, ,...,l q
• Datierungsprobleme in der Archäologie als TSP (Abschnitt 3.4.4)
A : Verknüpfungsmatrix für eine Anzahl von Fundorten und -objekten unterBerücksichtigung eines fiktiven Fundortes zwecks Überführung in ein TSP
B : Ergebnis einer Permutation der Zeilen der Verknüpfungsmatrix S mittelsder Permutationsmatrix H
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- XIX -
di jT m,
, : Distanz zwischen zwei Zeilen der permutierten Verknüpfungsmatrix A
bzw. Matrix B unter Berücksichtung der gesamten Anzahl erscheinen-der Fundobjekttypen; i n∈ +1 2 1, ,..,l q, j m∈ 1 2, ,..,l q
di jS m,, : Distanz zwischen zwei Zeilen der Verknüpfungsmatrix A unter Berück-
sichtung der Anzahl erscheinender Fundobjekttypen; i n∈ +1 2 1, ,..,l q,j m∈ 1 2, ,..,l q
DS : Aus der Ähnlichkeitsmatrix S abgeleitete Distanzmatrix unter Berück-sichtigung der Anzahl erscheinender Fundobjekttypen
DT : Aus der Ähnlichkeitsmatrix T abgeleitete Distanzmatrix unter Berück-sichtigung der Anzahl erscheinender Fundobjekttypen
H : Permutationsmatrix zur Permutation der Zeilen der Verknüpfungsma-trix A zur Matrix B
L(H) : Zielfunktion; Bewertung der Permutationsmatrix H als "Rundreise" auf-grund aus der Matrix DT ermittelten Distanzen
rj : Vertikale Erstreckung von Blöcken eingebetteter Nullfolgen in der per-
mutierten Verknüpfungsmatrix A bzw. Matrix B; j n∈ +1 2 1, ,..,l qR H( ) : Weiterentwickelte Zielfunktion zur Minimierung der Erstreckung ver-
tikal eingebetteter Nullblöcke in der permutierten Verknüpfungsmatrix Abzw. Matrix B
si j, : Ähnlichkeit zweier Zeilen der Verknüpfungsmatrix A als Anzahl der in
beiden Zeilen (d.h. Fundorten) i und j gemeinsam enthaltenen Fundob-jekttypen; i n∈ +1 2 1, ,..,l q; j m∈ 1 2, ,..,l q
S : Ähnlichkeitsmatrix für die Verknüpfungsmatrix A
T : Ähnlichkeitsmatrix zur permutierten Verknüpfungsmatrix B
u(.) : Summe der Einträge der Hauptdiagonalen einer anzugebenden Matrix
• Probleme der Clusteranalyse als TSP (Abschnitt 3.4.5)
ai j, : Element der Ausgangsmatrix A; i n∈ 1 2, ,..,l q, j m∈ 1 2, ,..,l qA : Ausgangsmatrix mit Objekt-Attribut- oder Objekt-Objekt-Zuordnungen
B : Mittels einer Permutation der Zeilen und Spalten der AusgangsmatrixA gebildete Matrix (unter Verwendung der Permutationsmatrizen H1und H2 )
H1 : Permutationsmatrix zur Permutation der Zeilen der Ausgangsmatrix A
H2 : Permutationsmatrix zur Permutation der Spalten der Ausgangsmatrix A
r : Permutationen von Zeilenfolgen in der Matrix Af : Permutationen von Spaltenfolgen in der Matrix AME(.) : Zu maximierende Zielgröße bzw. Bewertung der Matrix B in Abhängig-
keit von A, H1 und H2ME1(.): Erster Bestandteil von ME(.) nach einer Zerlegung; abhängig von A
und H1ME2 (.): Zweiter Bestandteil von ME(.) nach einer Zerlegung; abhängig von A
und H2 .
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- XX -
• Reduzierung der Auftragsstreuung in der Glasindustrie als TSP (Abschnitt 3.4.6)
A : Verknüpfungsmatrix für eine Anzahl von Standardtafeln und Kunden-aufträgen
C : Konstante
di j,α : Distanzmaß als "Unähnlichkeit" zweier Standardtafeln i und j hinsicht-
lich nicht auf beiden zugewiesener Kundenauftragsteile; i n∈ 1 2, ,..,l q,j m∈ 1 2, ,..,l q
di j,β : Distanzmaß als "Ähnlichkeit" zweier Standardtafeln i und j hinsichtlich
nicht auf beiden zugewiesener Kundenauftragsteile; i n∈ 1 2, ,..,l q, j ∈1 2, ,..,ml q
di j,χ : Aus di j,
β abgeleitetes Distanzmaß mit di j,χ = C - di j,
β ; ; i n∈ 1 2, ,..,l q,j ∈ 1 2, ,..,ml q
Dα : Distanzmatrix zum Distanzmaß di j,α (Ansatz zur Minimierung der "Unähn-
lichkeiten")
Dβ : Distanzmatrix zum Distanzmaß di j,β (Ansatz zur Maximierung der "Ähn-
lichkeiten")
Dχ : Distanzmatrix zum Distanzmaß di j,χ (Ansatz zur reversen Minimierung
der "Ähnlichkeiten")
H : Permutationsmatrix zur Permutation der Zeilen der Verknüpfungsmatrix A
rj : Vertikale Erstreckung von Blöcken eingebetteter Nullfolgen in der per-
mutierten Verknüpfungsmatrix A; j n∈ 1 2, ,..,l qR H( ) : Zielfunktion zur Minimierung der Erstreckung vertikal eingebetteter Null-
blöcke in der permutierten Verknüpfungsmatrix A
• Rotierende Dienstpläne für Buspersonal als TSP (Abschnitt 3.4.7)
di j, : Länge der aus der Folge der Einsätze i und j resultierenden Freizeitpe-
riode; i n∈ 1 2, ,..,l q, j n∈ 1 2, ,..,l qd i j, : Variiertes Distanzmaß unter Berücksichtigung von Tagestypen
ei : Dauer eines Einsatzes; i n∈ 1 2, ,..,l qE : Summierte Einsatzzeiten
F : Summierte Freizeitzeiten
t1 : Tagestyp "Wochentag"
t2 : Tagestyp "Samstag"
t3 : Tagestyp "Sonn- und Feiertage"
w(l,m) : Mittels eines Kalenders bestimmbare Wahrscheinlichkeit für die Abfol-ge der Tagestypen l und m; l m t t t, , ,∈ 1 2 3l q
Z : Zeitspanne des Rotationszyklus als Summe aus E und F
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- XXI -
Spezielle Symbole und Variablen des Abschnitts 4 sowie der zugehörigen Anhänge:
ACH : Abstand (einer fixierten Stadt eines TSP) zur konvexen Hülle als An-zahl der bis zu einer auf dem Rand der konvexen Hülle liegenden Stadtzu durchlaufenden Delaunay-Kanten von der fixierten Stadt aus
ALDE : Absolute (euklidische) Länge einer Delaunay-Kante
ALVE : Absolute (euklidische) Länge einer Voronoi-Kante
dp pi j, : Euklidische Distanz zwischen den ausgezeichneten Raumpunkten pi und
p j ; i n∈ 1 2, ,..,l q, j n∈ 1 2, ,..,l q , i j≠eDel : Anzahl der Kanten einer Delaunay-Struktur
eVor : Anzahl der Kanten einer Voronoi-Struktur
fDel : Anzahl der Flächen (Dreiecke) einer Delaunay-Struktur
fVor : Anzahl der Voronoi-Knoten einer Voronoi-Struktur
M : Dimensionen eines Rastergitters für Koordinatenwerte im Rahmen dernumerisch stabilen Berechnung von Voronoi-/Delaunay-Strukturen
NBG : Nachbarschaftsgrad; gibt an, wieviele Delaunay-Kanten von einer fixier-ten Stadt aus bis zu einer anderen Stadt eines TSP zu durchlaufen sind
NCH : Not Convex Hull (-Status); Status einer Stadt eines TSP, welche nichtauf dem Rand der von sämtlichen Städten des TSP gebildeten kon-vexen Hülle liegt
NDE : Nicht-Delaunay (-Kante); Kante einer optimalen Rundreise eines zweidi-mensionalen, euklidischen TSP, die nicht der Delaunay-Struktur angehört
pi : Ausgezeichneter Raumpunkt; i n∈ 1 2, ,..,l qP : Endliche Menge der ausgezeichneten Raumpunkte
RDE : Rang einer Delaunay-Kante hinsichtlich ihrer (euklidischen) Länge (be-zogen auf die Längen sämtlicher eine betrachtete Stadt eines euklidi-schen, zweidimensionalen TSP berührenden Delaunay-Kanten bei Sor-tierung nach aufsteigender Länge)
RLDE : Relative Länge einer Delaunay-Kante (bezogen auf die Summe der eukli-dischen Längen sämtlicher eine betrachtete Stadt eines euklidischen, zwei-dimensionalen TSP berührenden Delaunay-Kanten; berechnet in Prozent)
RLVE : Relative Länge einer Voronoi-Kante (bezogen auf die Summe der euk-lidischen Längen sämtlicher dem Voronoi-Polygon einer betrachtetenStadt eines euklidischen, zweidimensionalen TSP zugehörigen Voro-noi-Kanten; berechnet in Prozent)
RVE : Rang einer Voronoi-Kante hinsichtlich ihrer (euklidischen) Länge (be-zogen auf die euklidischen Längen sämtlicher dem Voronoi-Polygoneiner betrachteten Stadt eines euklidischen, zweidimensionalen TSP zu-gehörigen Voronoi-Kanten bei deren Sortierung in absteigender Länge)
T(.) : Laufzeitkomplexität des "Divide & Conquer"-Algorithmus zur Berech-nung von Voronoi-/Delaunay-Strukturen im schlechtestdenkbaren Falle inAbhängigkeit von der Anzahl der ausgezeichneten Raumpunkte bzw.Städte eines TSP n.
UO : (Delaunay Edge) Used (in) Optimal (Tour); binäre Statusvariable einer De-launay-Kante (UO = 1: Delaunay-Kante ist Bestandteil der optimalen
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- XXII -
Rundreise; UO = 0: Delaunay-Kante ist kein Bestandteil der optimalenRundreise eines TSP)
Vk : Voronoi-Polygon, welches durch den ausgezeichneten Raumpunkt pk de-finiert ist; k n∈ 1 2, ,..,l q
VF : Voronoi-Flächen; Flächeninhalte von Voronoi-Polygonen
w : Ergebnisgröße einer Vereinfachung des Cosinussatzes im Rahmen der Be-rechnung von Voronoi-/Delaunay-Strukturen
X : Unendliche Menge der nicht ausgezeichneten Raumpunkte
z : z-Achse eines dreidimensionalen Koordinatensystems
zi : z-Koordinate eines ausgezeichneten Raumpunktes i in einem dreidi-mensionalen Koordinatensystem; i n∈ 1 2, ,..,l q
Spezielle Symbole und Variablen des Abschnitts 5 sowie der zugehörigen Anhänge:
ABQ : Abbruchquote als Parameter der CHI-TICI-Heuristik, der den Zeitpunktdes Wechsels von der "Triangle Insertion" auf die "Cheapest Insertion"steuert
b1, b2 : Koeffizienten der mittels einer Regressionsanalyse abgeschätzten Expo-nentialfunktion für die Entwicklung der Vollprüfungsquote im Rahmender CHI-TA-Heuristik bei steigender Problemgröße
CHI-KLAS: Bezeichnung für die mittels der CHI-TA-Heuristik realisierten Lö-sungsqualitäten im Rahmen eines Vorzeichenrangtests nach WILCOXON
CHI-TINI : Bezeichnung für die mittels der CHI-TICI/NIVD-Heuristik realisierten Lö-sungsqualitäten im Rahmen eines Vorzeichenrangtests nach WILCOXON
CHIL : Convex Hull Insertion (-Heuristic Tour) Length; Länge einer mittels derCHI-Heuristik ermittelten Rundreise
f(r) : Empirisch geschätzte Wahrscheinlichkeit (Approximation einer Dichte-funktion), mit der eine Lösungsqualität von r eintritt, Notation nach BE-RENS (1992)
F(r) : Empirisch geschätzte Wahrscheinlichkeit (Approximation einer Vertei-lungsfunktion), mit der eine Lösungsqualität von r oder schlechter ein-tritt, Notation nach BERENS (1992)
g : Nachbarschaftsgrad als im Rahmen der CHI-TA VD1- und der NIVD-Heuristik herangezogener Parameter
gA, gB : Nachbarschaftsgrade A und B als Parameter der CHI-TA VD2-Heuristik
G1 : Graph der ersten Stufe im Rahmen des "Filterverfahrens" von SEGAL/ZHANG/TSAI (1991); entspricht der Delaunay-Struktur
G2 : Graph der zweiten Stufe im Rahmen des "Filterverfahrens" von SEGAL/ZHANG/TSAI (1991); Ergebnis einer selektiven Eliminierung von De-launay-Kanten aus dem Graph der ersten Stufe (G1)
G2* : Im Rahmen dieser Arbeit modifizierter "Graph der zweiten Stufe" des Fil-terverfahrens von SEGAL/ZHANG/TSAI (1991), welcher durch die In-terpretation von Kantenbögen als Einzelkanten strukturerhaltend reduziertbzw. vereinfacht wird
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- XXIII -
G3 : Graph der dritten Stufe im Rahmen des "Filterverfahrens" von SEGAL/ZHANG/TSAI (1991); Ergebnis einer selektiven Eliminierung von De-launay-Kantenbögen während der Bestimmung einer (Teil-) Rundreise ausdem Graph der zweiten Stufe (G2)
i* : Index- und Zählvariable; kennzeichnet Städte als Bestandteile von gebil-deten Städtetripeln für die Prüfung von Einfügungen im Rahmen der CHI-bzw. CHI-TA-Heuristik sowie ihren Modifikationen unter Nutzung vonVoronoi-/Delaunay-Strukturen
j* : Index- und Zählvariable; kennzeichnet Städte als Bestandteile von gebil-deten Städtetripeln für die Prüfung von Einfügungen im Rahmen der CHI-bzw. CHI-TA-Heuristik sowie ihren Modifikationen unter Nutzung vonVoronoi-/Delaunay-Strukturen
k* : Index- und Zählvariable; kennzeichnet Städte als Bestandteile von gebil-deten Städtetripeln für die Prüfung von Einfügungen im Rahmen der CHI-bzw. CHI-TA-Heuristik sowie ihren Modifikationen unter Nutzung vonVoronoi-/Delaunay-Strukturen
ki : Anzahl der Kanten, welche in der Iteration i der CHI-Heuristik in der bisdahin gebildeten Teilrundreise enthalten sind
li : Anzahl der Städte, welche in der Iteration i der CHI-Heuristik noch nichtin die gebildete Teilrundreise eingefügt wurden
NBG : Nachbarschaftsgrad; gibt an, wieviele Delaunay-Kanten von einer fixier-ten Stadt aus bis zu einer anderen Stadt eines TSP zu durchlaufen sind
NIF : "Not Inserted First" (-Status, -Städte); eine Stadt eines zweidimensionalen,euklidischen TSP kann bei der Lösung desselben mit der CHI-TICI-Heu-ristik nicht über die "Triangle Insertion" in die Rundreise eingefügt werden
p(.) : Beschreibung der Anzahl der notwendigen Prüfungen im Rahmen derVor- und Endauswahl der CHI- und der CHI-TA-Heuristik in Abhän-gigkeit von der Problemgröße n sowie der Anzahl der auf dem Randder konvexen Hülle der Städteschar des TSP liegenden Städte nch
Q : Qualitätscharakteristik; Spiegelung von F(r) an der Geraden F(r) = 0,5;Notation nach BERENS (1992)
r : Lösungsqualität als Verhältnis zwischen optimaler und heuristisch er-mittelter Rundreiselänge für ein TSP nach BERENS (1992); Relationzur hier verwendeten Notation LQ: r LQ= +
11
RZ : Restzeit; Residualkomponente bei Zerlegung der Rechenzeit (OZ) für ver-schiedene vorgestellte Heuristiken in Teilreichenzeiten für unterschied-liche Vorgänge
VPA : Vollprüfungsanteil als Maßstab der theoretischen Reduzierung des Re-chenaufwandes durch die Minderung der Anzahl der für die Einfügungzu untersuchenden Städtetripel durch die Vornahme von Teil- statt Voll-prüfungen bei einer Modifikation der CHI-Heuristik
VPQ : Vollprüfungsquote als Maßstab der beobachtbaren Reduzierung des Re-chenaufwandes durch die iterationsübergreifende Speicherung von Prü-fungsergebnissen hinsichtlich der Einfügung von Tripeln im Rahmen derTripelaktualisierung (Teil- statt Vollprüfungen) sowie verschiedener heu-ristischer Nutzungen von Voronoi-/Delaunay-Strukturen im Vergleich zurunmodifizierten CHI-Heuristik
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- XXIV -
Abbildungsverzeichnis
Abb. 1 Einige Varianten des (unbeschränkten) TSP für einen einzelnen Hand-lungsreisenden. ..........................................................................................19
Abb. 2 Abstrahierende Visualisierung einer "Space Filling Curve" und aus der-selben abgeleitete Rundreise als Lösung für ein zweidimensionales, euk-lidisches TSP. ............................................................................................59
Abb. 3 Schematische Darstellung eines Hochregallagers mit Übergabe- und Re-galplätzen sowie Weg des Regalfahrzeugs................................................112
Abb. 4 Bohrprobleme aus der Leiterplattenfertigung: (a) PCB442 und (b)LIN318, entnommen der TSPLIB von REINELT. ...................................128
Abb. 5 Schneidplan für die Bauteile eines Produktionsauftrages auf einer Me-talltafel nach WÄSCHER (1996). ............................................................135
Abb. 6 Verschnittminimierender Tapetenzuschnitt als TSP: Beispiele für Mu-sterwiederholung r und Verschiebung d. ..................................................146
Abb. 7 Verschnittminimierender Tapetenzuschnitt als TSP: Drei Möglichkei-ten der Schnittreihenfolge für ein Beispiel mit n = 3, r = 8, d = 5 undL = 3........................................................................................................148
Abb. 8 Verschnittminimierender Tapetenzuschnitt als TSP: Distanzmatrix Dfür das erweiterte Beispiel aus Abb. 7 mit n = 10, r = 8, d = 5 und L = 3. .....149
Abb. 9 Gegenwärtiges Dartboard-Design. ...........................................................152
Abb. 10 Im Rahmen der Planungen für Mittelspannungs-Ringnetzwerke vonSILLABER (1986) vorgestellter Layoutgraph mit 48 Knoten und 77Kanten; Kantenlängen in Metern. .............................................................158
Abb. 11 Maschinenbelegungsproblem - Exemplarische Darstellung der Folge derAufträge 1 und 2 mit m1 5= und m2 4= Operationen bei identischemZeitbedarf für alle Operationen ( p ii k, , ,= ∀ ∈1 1 2 l q ∀ ∈k mi1,...,l q). ......169
Abb. 12 Maschinenbelegungsproblem - Variation der Abb. 11, Visualisierung derT T i j li l j l,
'',' , , , , und , = = ∀ ∈1 2 1 2 3l q . .......................................................169
Abb. 13 Verknüpfungsmatrix, Ähnlichkeitsmatrix und Distanzmatrix für die Da-ten der BRAINERD/ROBINSON-Studie.................................................175
Abb. 14 Zahlenbeispiel zur Clusterung eines Datenfeldes, (a) Ausgangsmatrix A,(b) nach dem Kriterium ME optimale Permutation der Zeilen undSpalten von A zu B mit ME = 8................................................................179
Abb. 15 Beispiel 1 zur Anwendung des TSP in der Glasindustrie: Distanzma-trix Dα zur Tab. 8....................................................................................183
Abb. 16 Vollständiger Zyklus von Einsatz- und Freizeitperioden im Verlaufeder Rotation eines Dienstplanes................................................................189
Abb. 17 Voronoi-Struktur für das TSP 15_001 aus Gruppe I. ...............................217
Abb. 18 Delaunay-Struktur für das TSP 15_001 aus Gruppe II .............................218
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- XXV -
Abb. 19 Sequentieller Algorithmus zur Berechnung der VD-Struktur nachGREEN/SIBSON (1978), zwei Konstruktionsschritte (a), (b). .................239
Abb. 20 Divide-and-Conquer-Konstruktion der VD-Struktur: Zerlegung derStädteschar in zwei Teilmengen (Dividing) und isolierte, rekursive Be-rechnung der Voronoi-Strukturen der gebildeten Teilprobleme: Voro-noi-Struktur für die rechte Seite der Zerlegung. .......................................243
Abb. 21 Divide-and-Conquer-Konstruktion der VD-Struktur: Zerlegung derStädteschar in zwei Teilmengen (Dividing) und isolierte, rekursive Be-rechnung der Voronoi-Strukturen der gebildeten Teilprobleme: Voro-noi-Struktur für die linke Seite der Zerlegung...........................................244
Abb. 22 Divide-and-Conquer-Konstruktion der VD-Struktur: Verschmelzung derTeillösungen (Merging), Verschmelzungslinie. .........................................245
Abb. 23 Divide-and-Conquer-Konstruktion der VD-Struktur: Verschmelzung derTeillösungen (Merging), Konstruktion der Verschmelzungslinie. ..............246
Abb. 24 Bildung der Delaunay-Triangulation für die Städte auf dem Rand derkonvexen Hülle........................................................................................249
Abb. 25 Ermittlung eines neuen Delaunay-Dreieckes nach LUDWIG (1994). ........257
Abb. 26 Laufzeiten (in Sekunden) des hier implementierten Verfahrens (nachLUDWIG (1994)) zur Bestimmung von VD-Strukturen für 49 TSPder Gruppen II und III (unter Einschluß inkonsistenter Fälle). ..................263
Abb. 27 TSP 15_001 aus Gruppe I: Optimale Rundreise (fett) und Delaunay-Struktur. ..................................................................................................266
Abb. 28 Histogramm der Lösungsqualitäten (als %>OLC) sämtlicher auf derDelaunay-Struktur für das TSP 15_001 aus der Gruppe I identi-fizierten Rundreisen mit eingezeichnetem erwarteten Normalvertei-lungsplot (SPSS-Ausgabe). ......................................................................272
Abb. 29 Histogramm der Anzahl der auf der Delaunay-Struktur identifiziertenRundreisen für die TSP der Gruppe I mit je 15 Städten. ...........................273
Abb. 30 Histogramm der Lösungsqualitäten (als %>OLC) sämtlicher auf derDelaunay-Struktur für die TSP der Gruppe I (mit je 15 Städten) iden-tifizierten Rundreisen mit eingezeichnetem erwarteten Normalvertei-lungsplot (grobe Klassenbildung). ............................................................274
Abb. 31 Über ein Histogramm mit feiner Klasseneinteilung approximierte Dich-tefunktion der Lösungsqualitäten (als %>OLC) sämtlicher auf der De-launay-Struktur für die TSP der Gruppe I (mit je 15 Städten) iden-tifizierten Rundreisen mit eingezeichnetem erwarteten Normalvertei-lungsplot..................................................................................................275
Abb. 32 Voronoi-Struktur für das TSP EIL101 aus Gruppe II mit fett einge-zeichneter optimaler Rundreise. ...............................................................284
Abb. 33 Bedeutung der Elemente des Specifiers im Boxplot..................................299
Abb. 34 SPSS-Boxplot für die Verteilung der Ränge von Voronoi-Kanten(RVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 und UO = 1 nachverschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 4) für das TSPKR100A aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacherfassung).......................300
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Abb. 35 SPSS-Boxplot für die Verteilung der relativen Länge von Voronoi-Kanten (RLVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 undUO = 1 nach verschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 4)für das TSP KR100A aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacher-fassung). ..................................................................................................301
Abb. 36 Qualitätscharakteristik nach BERENS (1992) für drei ausgewählteParametrisierungen der generalisierten klassischen CHI-Heuristik (35TSP der Gruppe II)..................................................................................342
Abb. 37 Entwicklung der Rechenzeit der klassischen CHI-Heuristik (Parametri-sierung 7-10, Modus B) bei steigender Problemgröße (TSP-Gruppe II). .......355
Abb. 38 Approximation der Rechenzeit der klassischen CHI-Heuristik (Para-metrisierung 7-10, Modus B) durch: (a) eine kubische, im Rahmeneiner Regressionsanalyse ermittelte Beziehung (ohne Konstante). Diegemessenen Rechenzeiten sind jeweils als Punkte, die aufgrund derBeziehungen geschätzten Rechenzeitverläufe als gestrichelte Linien ein-getragen. (b) die Anzahl der notwendigen Prüfungen im Rahmen derCHI-Heuristik, durch Multiplikation mit einer Konstanten an dieRechenzeiten der verwendeten Hard- und Software angeglichen (Mo-dell aus Tab. 32, Zeile 2). Die gemessenen Rechenzeiten sind alsPunkte eingetragen; der gestrichelte Linienzug verbindet die prog-nostizierten Rechenzeiten für die einzelnen TSP. ......................................358
Abb. 39 Verteilung der Residuen einer kubischen Approximation (ohne Kon-stante) der Rechenzeit der klassischen CHI-Heuristik im Rahmen derRegressionsanalyse als PP-Normalverteilungsplot. ...................................359
Abb. 40 Anzahl notwendiger Prüfungen für Einfügungsverfahren mit Tripelak-tualisierung bei unterschiedlichen TSP-Größen und Vollprüfungsan-teilen........................................................................................................366
Abb. 41 Entwicklung der Vollprüfungsquote im Rahmen der CHI-TA-Heuri-stik (Parametrisierung 7-10, Modus B) bei steigender Problemgröße(TSP-Gruppen II und III).........................................................................374
Abb. 42 Entwicklung der Rechenzeit der unmodifizierten CHI-Heuristik (OZCHI) sowie der CHI-TA-Heuristik (OZ CHI TA) bei steigender Pro-blemgröße (TSP-Gruppen II und III; Parametrisierung 7-10, Modus B). .......375
Abb. 43 Entwicklung des Verhältnisses der Rechenzeit zwischen unmodifizier-ter CHI-Heuristik und CHI-TA-Heuristik bei steigender Problem-größe (TSP-Gruppe II, Parametrisierung 7-10, Modus B). .......................376
Abb. 44 Komponenten der Rechenzeit (Vollprüfungs-, Teilprüfungs-, Restzeit)der CHI-TA-Heuristik (Parametrisierung 7-10, Modus B) bei steigen-der Problemgröße (TSP-Gruppen II und III): (a) summiert und (b)isoliert ausgewiesen. ................................................................................377
Abb. 45 Ausschnitt aus der Delaunay-Struktur des TSP EIL51 aus Gruppe II. ......379
Abb. 46 Entwicklung der Rechenzeit der CHI-TA-Heuristik (OZ CHI-TA)und der um die Nutzung von Nachbarschaften modifizierten CHI-TA-Heuristik, Variante I, (für g = 1 bis 3; entsprechend OZ CHI-TANBG1 ... OZ CHI-TA NBG3) bei steigender Problemgröße (TSP-Gruppen II und teilweise III)....................................................................386
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Abb. 47 Komponenten der Rechenzeit (Vollprüfungs- (VP), Teilprüfungs- (TP),Rest- (RZ), Nachbarschaftsbestimmungszeit (NBS)) der CHI-TA-Heu-ristik mit Nutzung von Nachbarschaftsstrukturen, Variante I, für denNachbarschaftsgrad 3 bei steigender Problemgröße (TSP-Gruppen II,tw. III, Par. 7-10, Md. B): (a) isoliert und (b) kumuliert ausgewiesen. ......388
Abb. 48 Komponenten der Rechenzeit (Vollprüfungs- (VP), Teilprüfungs- (TP),Restzeit (RZ), letztere inklusive der für die Bestimmung der Nachbar-schaft benötigten Zeitdauer) der CHI-TA-Heuristik (Parametrisierung7-10, Modus B) mit Nutzung von Nachbarschaftsstrukturen, VarianteI, für den Nachbarschaftsgrad 3 bei steigender Problemgröße (TSP-Gruppen II, tw. III) in Relation zu den entsprechenden Komponen-tenrechenzeiten der CHI-TA-Heuristik.....................................................389
Abb. 49 Delaunay-Struktur für das TSP EIL51 aus Gruppe II. ..............................391
Abb. 50 Entwicklung der Rechenzeit der CHI-TA-Heuristik (OZ CHI-TA)und der um die Nutzung von Nachbarschaften modifizierten CHI-TA-Heuristik in Variante I mit dem Nachbarschaftsgrad g = 3 (OZ CHI-TA VD1: NBG 3) und Variante II mit den verschiedenen Nachbar-schaftsgraden gA und gB (OZ CHI-TA VD2: NBG gA , gB ) bei stei-gender Problemgröße (TSP-Gruppen II und teilweise III). .......................395
Abb. 51 Komponenten der Rechenzeit (Vollprüfungs- (VP), Teilprüfungs- (TP),Rest- (RZ), Nachbarschaftsbestimmungszeit (NBS) der CHI-TA-Heu-ristik mit Nutzung von Nachbarschaftsstrukturen, Variante II, für dieParametrisierung g gA B= =2 3, bei steigender Problemgröße (TSP-Gruppen II, tw. III; Grundparametrisierung 7-10, Modus B): (a) iso-liert und (b) kumuliert ausgewiesen. .........................................................396
Abb. 52 Komponenten der Rechenzeit (Vollprüfungs- (VP), Teilprüfungs- (TP),Restzeit (RZ), letztere inklusive der für die Bestimmung der Nachbar-schaft benötigten Zeitdauer) der CHI-TA-Heuristik mit Nutzung vonNachbarschaftsstrukturen, Variante II, für die Parametrisierung gA = 2,gB = 3 bei steigender Problemgröße (TSP-Gruppen II, tw. III) in Re-lation zu den entsprechenden Komponentenrechenzeiten der CHI-TA-Heuristik..................................................................................................397
Abb. 53 TSP 15_015 aus Gruppe I: Fehler bei der Rundreisebildung durch dieHeuristik CHI-TICI (Stadt 4 nicht eingefügt; Teilrundreise fett ge-kennzeichnet)...........................................................................................404
Abb. 54 Ausschnitt aus der für das TSP A280 (Gruppe II) mittels der CHI-TICI-Heuristik ermittelten Rundreise: Ungünstige Einfügungen in denletzten Iterationen, z.B. die Städte 115, 150 und 178. ..............................406
Abb. 55 Entwicklung der durchschnittlichen Lösungsqualität der CHI-TICI-Heuristik für die TSP der Gruppen II und III (tw.) sowie der Ge-samtheit der untersuchten TSP bei einer Variation der Abbruchquotezwischen 0% und 20%.............................................................................408
Abb. 56 Entwicklung der Rechenzeit der CHI-TICI-Heuristik mit verschiede-nen Abbruchquoten (OZ(ABQ)) sowie zum Vergleich der um dieNutzung von Nachbarschaften modifizierten CHI-TA-Heuristik, Va-riante II, mit den Nachbarschaftsgraden gA = 2, gB = 3 (OZ CHI-
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TA VD2: NBG 2,3; Grundparametrisierung 7-10, Modus B) bei stei-gender Problemgröße (TSP-Gruppen II und tw. III).................................412
Abb. 57 "Node Insertion"-Heuristik (Verbesserungsverfahren): Verkürzung derRundreise durch alternative Einfügung einer Stadt (Ausgangssituation(a), alternative Einfügung realisiert bei (b)). .............................................415
Abb. 58 TSP KR100A aus Gruppe II: (a) Zufällig gebildete Rundreise, Lö-sungsqualität 805,73 %>OLN; (b) Verbesserung der Rundreise aus(a) mittels der NIVD-Heuristik (Nachbarschaftsgrad g = 1) auf 43,11%>OLN, 12 Läufe notwendig; (c) beste aller "Nearest Neighbor"-Rundreisen, 16,05 %>OLN; (d) optimale Rundreise gemäß Städtefol-ge in der TSPLIB.....................................................................................421
Abb. 59 Entwicklung der Mittelwerte der benötigten Anzahl Läufe der NIVD-Heuristik (Nachbarschaftsgrade g = 1 und g = 2) in Abhängigkeit vonder Problemgröße bei Anwendung auf jeweils 300 zufällig erzeugteRundreisen für jedes TSP der Gruppe II (vgl. auch Tab. 46).....................425
Abb. 60 Entwicklung der Mittelwerte der Rechenzeit der NIVD-Heuristik(Nachbarschaftsgrade g = 1 und g = 2) in Abhängigkeit von der Pro-blemgröße bei Anwendung auf jeweils 300 zufällig erzeugte Rund-reisen für jedes TSP der Gruppe II (vgl. auch Tab. 46).............................425
Abb. 61 Entwicklung der Mittelwerte der Rechenzeit für die Nachbarschafts-bestimmung im Rahmen der NIVD-Heuristik (Nachbarschaftsgradeg = 1 und g = 2) in Abhängigkeit von der Problemgröße bei An-wendung auf jeweils 300 zufällig erzeugte Rundreisen für jedes TSPder Gruppe II (vgl. auch Tab. 46). ...........................................................426
Abb. 62 (a) Entwicklung der Anzahl benötigter Läufe der NIVD-Heuristik(Nachbarschaftsgrade g = 1,2,3,4) in Abhängigkeit von der Problem-größe bei Anwendung auf mittels der "All Nearest Neighbor"-Heuri-stik erzeugte Rundreisen für die TSP der Gruppen II und III (tw.);(b) Entwicklung der für die Bestimmung der Nachbarschaftsstruktu-ren im Rahmen der NIVD-Heuristik benötigten Rechenzeit (Nachbar-schaftsgrade g = 1,2,3,4) in Abhängigkeit von der Problemgröße fürdie TSP der Gruppen II und III (tw.). ......................................................433
Abb. 63 Entwicklung der Rechenzeit der NIVD-Heuristik (Nachbarschafts-grade g = 1,2,3,4) in Abhängigkeit von der Problemgröße bei An-wendung auf mittels der "All Nearest Neighbor"-Heuristik erzeugteRundreisen für die TSP der Gruppen II und III (tw.): (a) GesamteRechenzeit (OZ); (b) Gesamte Rechenzeit geteilt durch die Anzahlder benötigten Läufe, d.h. Rechenzeit pro Lauf. .......................................436
Abb. 64 Entwicklung der durchschnittlichen Lösungsqualität der CHI-TICI-Heuristik mit Nachbesserung der Rundreisen durch die NIVD-Heu-ristik (g = 1) für die TSP der Gruppen II und III (tw.) sowie der Ge-samtheit der untersuchten TSP bei einer Variation der Abbruchquotezwischen 0% und 25%.............................................................................440
Abb. 65 Anzahl notwendiger Läufe (#VL (ABQ)) der NIVD-Heuristik (g = 1)in Abhängigkeit von der Problemgröße (TSP der Gruppen II und tw.III) bis zur Erfüllung des Abbruchkriteriums nach Schritt 3 des Ver-
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besserungsverfahrens bei der Behandlung der durch die CHI-TICI-Heuristik erzeugten Rundreisen: (a) für verschiedene Abbruchquoten(ABQ), (b) für die Abbruchquote 15%.....................................................444
Abb. 66 Entwicklung der Rechenzeit der Kombination aus CHI-TICI-Heuri-stik mit verschiedenen Abbruchquoten (OZ(ABQ)) und des Ver-besserungsverfahrens NIVD (g =1) bei steigender Problemgröße(TSP-Gruppen II und tw. III)...................................................................445
Abb. 67 Rechenzeiten des NIVD-Verbesserungsverfahrens (g = 1) bei der Be-handlung der durch die CHI-TICI-Heuristik erzeugten Rundreisen fürverschiedene Abbruchquoten (ABQ) und verschiedene Problemgrößen(TSP der Gruppen II und tw. III): (a) Absolute Rechenzeiten (OZVB (ABQ)), (b) Rechenzeiten geteilt durch die Anzahl der notwendi-gen Läufe des NIVD-Verfahrens bis zur Erfüllung des Abbruchkrite-riums in Schritt 3 der Heuristik (OZ VB korr. (ABQ)). ............................446
Abb. 68 (a) Entwicklung des quadratischen Koeffizienten bei quadratischenApproximationen der Laufzeit der isolierten CHI-TICI-Heuristik imRahmen von Regressionsanalysen bei steigender ABQ; (b) Entwick-lung des quadratischen Koeffizienten bei quadratischen Approxima-tionen der Laufzeit der NIVD-Heuristik in Anwendung auf mittelsder CHI-TICI-Heuristik erzeugte Rundreisen im Rahmen von Re-gressionsanalysen bei steigender ABQ; (c) Entwicklung der Irrtums-wahrscheinlichkeit für die Existenz eines quadratischen Koeffizientenbei quadratischen Approximationen der Laufzeit der NIVD-Heuristikin Anwendung auf mittels der CHI-TICI-Heuristik erzeugte Rund-reisen im Rahmen von Regressionsanalysen bei steigender ABQ; (d)Entwicklung des Bestimmtheitsmaßes bei quadratischen Approxima-tionen der Laufzeit der NIVD-Heuristik in Anwendung auf mittelsder CHI-TICI-Heuristik erzeugte Rundreisen im Rahmen von Re-gressionsanalysen bei steigender ABQ......................................................448
Abb. 69 Ergebnisse eines Vorzeichenrangtests nach WILCOXON (SPSS-Out-put) für den Vergleich der mit der klassischen CHI-Heuristik (alsCHI-TA-Heuristik, Variablenbezeichnung CHI-KLAS, Parametrisie-rung 7-10, Modus B) und der CHI-TICI/NIVD-Heuristik (ABQ =16%, g = 1) (Variablenbezeichnung CHI-TINI) erzielten Lösungs-qualitäten.................................................................................................451
Abb. 70 Vergleich der durch die klassische CHI-Heuristik (Parametrisierung7-10, Modus B) sowie die Kombination aus CHI-TICI-Heuristik(ABQ = 16%) und NIVD-Verbesserungsverfahren (g = 1) für dieTSP der Gruppen II und tw. III erreichten Lösungsqualitäten: (a)Häufigkeitsverteilungen der Lösungsqualitäten, (b) Qualitätscharakte-ristik nach BERENS (1992) mit der zugehörigen Notation r der Lö-sungsqualität und 1 - F(r) als gespiegelter Summenhäufigkeitsfunktion(mit gebrochenen Achsen)........................................................................453
Abb. 71 Entwicklung der Rechenzeit der Kombination aus CHI-TICI-Heuri-stik (ABQ = 16%) und des Verbesserungsverfahrens NIVD (g = 1)ohne (NIVD) und mit selektiver Prüfung (NIVD-M)................................456
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Abb. 72 "Fünf-Minuten-Größen" der verschiedenen vorgestellten Heuristikenzur Lösung des TSP (bzw. verschiedener Parametrisierungen dersel-ben) als Abschätzung aufgrund der mittels Regressionsanalysen er-mittelten Approximationen; mit und ohne Berücksichtigung der fürdie Bestimmung der gegebenenfalls verwendeten VD-Struktur be-nötigten Rechenzeit. ................................................................................458
Abb. 73 Ergebnisse einer Approximation der Entwicklung der Rechenzeiten(OZ) des eingesetzten Verfahrens zur Berechnung der VD-Strukturendurch eine lineare Funktion (ohne Konstante) in Abhängigkeit vonder Problemgröße (n) im Rahmen einer Regressionsanalyse (SPSS-Output) für 49 TSP der Gruppen II und III aus der TSPLIB. ...................469
Abb. 74 Laufzeiten (OZ) des hier implementierten Verfahrens (nach LUDWIG(1994)) zur Bestimmung von VD-Strukturen für 49 TSP der Grup-pen II und III aus der TSPLIB sowie im Rahmen einer Regressions-analyse ermittelte approximierende Gerade...............................................470
Abb. 75 Verteilung der Residuen einer Approximation der Entwicklung derRechenzeiten (OZ) des hier implementierten Verfahrens zur Be-stimmung von VD-Strukturen (nach LUDWIG (1994)) durch eine li-neare Funktion (ohne Konstante) in Abhängigkeit von der Problem-größe (n) im Rahmen einer Regressionsanalyse für 49 TSP der Grup-pen II und III aus der TSPLIB. ................................................................470
Abb. 76 Untersuchung der Verteilung der Lösungsqualitäten der auf der De-launay-Struktur identifizierten Rundreisen für das TSP 15_001 ausGruppe I: PP-Normalverteilungsplot (SPSS-Ausgabe). ............................489
Abb. 77 Untersuchung der Verteilung der Lösungsqualitäten der auf der De-launay-Struktur identifizierten Rundreisen für das TSP 15_001 ausGruppe I: Trendbereinigter PP-Normalverteilungsplot (SPSS-Ausga-be). ..........................................................................................................489
Abb. 78 Untersuchung der Verteilung der Lösungsqualitäten der auf der De-launay-Struktur identifizierten Rundreisen für das TSP 15_001 ausGruppe I: Lilliefors-Test auf Normalverteilung (SPSS-Ausgabe). .............490
Abb. 79 Untersuchung der Verteilung der Lösungsqualitäten der auf der De-launay-Struktur identifizierten Rundreisen für das TSP 15_001 ausGruppe I: Kolmogorov-Smirnov-Test auf Normalverteilung (SPSS-Ausgabe). ................................................................................................490
Abb. 80 SPSS-Boxplot für die Verteilung der relativen Länge von Voronoi-Kanten (RLVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 undUO = 1 nach verschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 3)für das TSP EIL51 aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacherfassung). ......527
Abb. 81 SPSS-Boxplot für die Verteilung der Ränge von Voronoi-Kanten(RVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 und UO = 1 nachverschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 3) für das TSPEIL51 aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacherfassung)...........................527
Abb. 82 SPSS-Boxplot für die Verteilung der relativen Länge von Voronoi-Kanten (RLVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 undUO = 1 nach verschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 4)
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für das TSP BERLIN52 aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacher-fassung). ..................................................................................................528
Abb. 83 SPSS-Boxplot für die Verteilung der Ränge von Voronoi-Kanten(RVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 und UO = 1 nachverschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 4) für das TSPBERLIN52 aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacherfassung)...................528
Abb. 84 SPSS-Boxplot für die Verteilung der relativen Länge von Voronoi-Kanten (RLVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 undUO = 1 nach verschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 3)für das TSP ST70 aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacherfassung).........529
Abb. 85 SPSS-Boxplot für die Verteilung der Ränge von Voronoi-Kanten(RVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 und UO = 1 nachverschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 3) für das TSPST70 aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacherfassung). ...........................529
Abb. 86 SPSS-Boxplot für die Verteilung der relativen Länge von Voronoi-Kanten (RLVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 undUO = 1 nach verschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 4)für das TSP EIL76 aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacherfassung). ......530
Abb. 87 SPSS-Boxplot für die Verteilung der Ränge von Voronoi-Kanten(RVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 und UO = 1 nachverschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 4) für das TSPEIL76 aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacherfassung)...........................530
Abb. 88 SPSS-Boxplot für die Verteilung der relativen Länge von Voronoi-Kanten (RLVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 undUO = 1 nach verschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 4)für das TSP PR76 aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacherfassung).........531
Abb. 89 SPSS-Boxplot für die Verteilung der Ränge von Voronoi-Kanten(RVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 und UO = 1 nachverschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 4) für das TSPPR76 aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacherfassung)............................531
Abb. 90 SPSS-Boxplot für die Verteilung der relativen Länge von Voronoi-Kanten (RLVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 undUO = 1 nach verschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 4)für das TSP KR100A aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacher-fassung). ..................................................................................................532
Abb. 91 SPSS-Boxplot für die Verteilung der Ränge von Voronoi-Kanten(RVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 und UO = 1 nachverschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 4) für das TSPKR100A aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacherfassung).......................532
Abb. 92 SPSS-Boxplot für die Verteilung der relativen Länge von Voronoi-Kanten (RLVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 undUO = 1 nach verschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 4)für das TSP KR100C aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacher-fassung). ..................................................................................................533
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Abb. 93 SPSS-Boxplot für die Verteilung der Ränge von Voronoi-Kanten(RVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 und UO = 1 nachverschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 4) für das TSPKR100C aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacherfassung).......................533
Abb. 94 SPSS-Boxplot für die Verteilung der relativen Länge von Voronoi-Kanten (RLVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 undUO = 1 nach verschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 4)für das TSP KR100D aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacher-fassung). ..................................................................................................534
Abb. 95 SPSS-Boxplot für die Verteilung der Ränge von Voronoi-Kanten(RVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 und UO = 1 nachverschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 4) für das TSPKR100D aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacherfassung).......................534
Abb. 96 SPSS-Boxplot für die Verteilung der relativen Länge von Voronoi-Kanten (RLVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 undUO = 1 nach verschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 4)für das TSP RD100 aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacherfassung). .....535
Abb. 97 SPSS-Boxplot für die Verteilung der Ränge von Voronoi-Kanten(RVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 und UO = 1 nachverschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 4) für das TSPRD100 aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacherfassung). ........................535
Abb. 98 SPSS-Boxplot für die Verteilung der relativen Länge von Voronoi-Kanten (RLVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 undUO = 1 nach verschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 4)für das TSP EIL101 aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacher-fassung). ..................................................................................................536
Abb. 99 SPSS-Boxplot für die Verteilung der Ränge von Voronoi-Kanten(RVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 und UO = 1 nachverschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 4) für das TSPEIL101 aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacherfassung).........................536
Abb. 100 SPSS-Boxplot für die Verteilung der relativen Länge von Voronoi-Kanten (RLVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 undUO = 1 nach verschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 4)für das TSP LIN105 aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacher-fassung). ..................................................................................................537
Abb. 101 SPSS-Boxplot für die Verteilung der Ränge von Voronoi-Kanten(RVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 und UO = 1 nachverschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 4) für das TSPLIN105 aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacherfassung). .......................537
Abb. 102 SPSS-Boxplot für die Verteilung der relativen Länge von Voronoi-Kanten (RLVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 undUO = 1 nach verschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 4)für das TSP CH130 aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacherfassung). .....538
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Abb. 103 SPSS-Boxplot für die Verteilung der Ränge von Voronoi-Kanten(RVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 und UO = 1 nachverschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 4) für das TSPCH130 aus Gruppe II (mit partieller Mehrfacherfassung). ........................538
Abb. 104 SPSS-Boxplot für die Verteilung der relativen Länge von Voronoi-Kanten (RLVE) als Duale zu Delaunay-Kanten mit UO = 0 undUO = 1 nach verschiedenen ACH-Werten (ACH = 1 bis ACH = 5)für das TSP CH150 aus Gruppe II (mit partie