elteapáczaicserejánosgyakorlógimnáziumés kollégium...
TRANSCRIPT
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és
Kollégium – Biológia tagozat
Fizika 9. osztály
I. rész: Kinematika
Készítette: Balázs Ádám
Budapest, 2020. január 12.
2. Tartalomjegyzék
Tartalomjegyzék
I. rész: Kinematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
8. A kinematika alapfogalmai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
9. A sebesség fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
10. Az átlagsebesség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
11. Mozgások összetétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
12. A gyorsulás fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
13. A gyorsuló mozgás grafikonjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
14. Feladatok gyorsulásra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
15. A szabadon eső test mozgása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
16. A függőleges hajítások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
17. A vízszintes hajítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18. Ferde hajítások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
19. Feladatok hajításra, szabadesésre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
20. Az egyenletes körmozgás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
21. A centripetális gyorsulás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8. óra. A kinematika alapfogalmai 3.
8. óra A kinematika alapfogalmai
Klasszikus mechanika: A testek mozgásának leírásával, a mozgás törvényeivel fog-lalkozik. A környezetünkben lévő testekre érvényes, nem túl kicsi, nem túl gyors tes-tekre. Atomi méret1 közelében, fénysebességet megközelítve már nem használható.
Kinematika: Mozgástan, a mechanika azon részterülete, amelyik a mozgások pusztamatematikai leírásával foglalkozik. A szó a görög κινηµα (mozgás) szóból származik.
Anyagi pont modell: A testeket kiterjedés nélküli, pontszerű objektumnak tekint-hetjük, ha méretüknél jóval nagyobb távolságokat tesznek meg. Példák: a Föld pont-szerűnek tekinthető, ha a Nap körüli mozgását vizsgáljuk; egy autó pontszerűnek te-kinthető, ha egy több km-es utat tesz meg.
Hely és helyzet: Más néven a lokáció és az orientáció. Azt értjük alattuk, hogy holtalálható meg a test és milyen irányba néz. Mindkét fogalom relatív.
Vonatkoztatási pontok: Kitüntetettpontok, amihez képest megadjuk a tes-tek helyét. A dimenziószámnál mindigeggyel több pont szükséges, hogy ez egyér-telmű legyen2. A vonatkoztatási pontok-hoz koordináta-rendszert rögzítve vonat-koztatási rendszerről beszélünk.
1. ábra. Vajon melyik a másik oldal?
1. Feladat. Adjuk meg egy tárgy helyét két különböző vonatkoztási rendszerből!
2. Feladat. Mikola cső középső beosztása legyen egy vonatkoztatási pont. A buboréktőle 4 cm-re van. Egyértelmű-e a buborék helye és helyzete?
3. Feladat. Adott három pont, melyek egy általános helyzetű háromszöget határoz-nak meg. Adjuk megy egy kiválasztott pont koordinátáit az általuk meghatározottvonatkoztatási rendszerben!
4. Feladat. Létezik-e olyan vonatkoztatási rendszer, amiből nézve a Mikola-csőbenmozgó buborék nyugalomban van?
1Az atomok nagyságrendjébe eső méret az Ångström, az átváltás: 1 Å= 10−10 m2Pl. a síkon meg kell adni, hogy mit tekintünk origónak, és a választott x és y tengely irányába
mutató egységvektorokat kell definiálni 1-1 pont megadásával. Kétdimenzióban ez 3 pont összesen.
4. 8. óra. A kinematika alapfogalmai
Pálya: Az a geometriai alakzat (görbe),amin a test mozgása során végighalad.
Út: A test által befutott pályaszakaszhossza, mely egy nemnegatív számérték.A megtett út jele: s vagy ∆s
Elmozdulás: A mozgás kezdőpontjábóla végpontjába mutató vektor. Jele: ∆~r
0 1
1
Pálya
s = 1, 2 mElmozdulás
2. ábra. Kinematikai alapfogalmak.
Hely-idő diagram: A test helyét megadjuk az idő függvényében. A test egyszerrekét helyen nem lehet, de minden pillanatban van valahol. Nem is teleportálhat.
t(s)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x(m)
−2−10
1
2
3
4
5
t(s)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x(m)
−2−10
1
2
3
4
5
3. ábra. Mesélj különböző történeteket a hely-idő grafikonokról!
Út-idő diagram: Megadjuk test által megtett összes utat az idő függvényében. Azeddigi feltételeken túl mindig növekszik, vagy állandó3.
t(s)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
s(m)
0
1
2
3
4
5
6
t(s)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
s(m)
0
1
2
3
4
5
6
4. ábra. Mesélj különböző történeteket az út-idő grafikonokról!
8. Házi feladat. Készítsd el egy lift hely-idő és út-idő diagramját!
8. Szorgalmi. Ábrázold Excel vagy hasonló program segítségével a házi feladatot!
3Monoton nő az idő függvényében.
9. óra. A sebesség fogalma 5.
9. óra A sebesség fogalma
A sebesség nagysága: Fizikailag az egységnyi idő alatt megtett út hossza. Mate-matikailag az út-idő diagramon ábrázolt grafikon meredeksége.
A sebesség iránya: A testre ható erőket egy pillanatra figyelmen kívül hagyjukés megnézzük, hogy melyik irányba mozogna tovább a test. Fizikailag ez a sebességiránya. Matematikailag a pálya érintője jelöli ki ezt az irányt.
A sebesség általában: A test A pontból eljut B-be egy nagyon kicsi ∆t idő alatt.A helyvektor időegység alatti megváltozása a sebesség:
~v =~rA − ~rB
∆t
9. Házi feladat.
9. Szorgalmi.
6. 10. óra. Az átlagsebesség
10. óra Az átlagsebesség
Az átlagsebesség matematikai kiszámítása:
vátl. =Sösszes
tösszes
Az átlagsebesség szemléletes fizikai tartalma: Annak az egyenletesen mozgótestnek a sebessége lenne vátl., ami ugyanolyan hosszú utat ugyanannyi idő alatt tennemeg, mint a változó sebességű mozgást végző test.
Egyenlő idők esetén: A sebességek számtani közepe.
vátl. =s1 + s2 + s3 + s4
∆t+ ∆t+ ∆t+ ∆t=v1 ·∆t+ v2 ·∆t+ v3 ·∆t+ v4 ·∆t
4 ·∆t=v1 + v2 + v3 + v4
4
Egyenlő utak esetén: A sebességek harmonikus közepe.
vátl. =∆s+ ∆s+ ∆s
t1 + t2 + t3=
3 ·∆s∆s
v1+
∆s
v2+
∆s
v3
=3
1
v1+
1
v2+
1
v3
10. Házi feladat. Egy 200 méter hosszúságú pályán az autó 36 km/h-val megy körbe,majd tesz egy kört 54 km/h-val, majd egy újabbat 64,8 km/h-val. Mekkora az autóátlagsebessége m/s-ban?
10. Szorgalmi. Az átlagsebesség vektor, vagy skalármennyiség?
11. óra. Mozgások összetétele 7.
11. óra Mozgások összetétele
Galilei-féle relativitási elv: Adott egy K vonatkoztatási rendszer, és a hozzá képestállandó ~v sebességgel mozgó K′ rendszer. Mindkettőben a fizikai törvények azonosak,és az is idő ugyanúgy telik. A két rendszer egyenértékű, egyik sem kitüntetett.
x
y
z K
x′
y′
z′ K′ ~v
Test az álló hajóban Test a mozgó hajóban
5. ábra. Zárkózz be barátod társaságában egy hajó fedélzete alatt egy meglehetősen nagyterembe. Vigyél szúnyogokat, lepkéket és egyéb röpködő állatokat, gondoskodjál egy vizes-edényről, melyből a víz egy szűk nyakú edénybe csöpög. Most mozogjon a hajó tetszés szerintisebességgel: azt fogod tapasztalni - ha a mozgás egyenletes és nem ingadozó - a jelenségekbensemmiféle változás nem következik be (a klasszikus mechanika keretei között).
Galilei-transzformáció: A K rendszerből a K′-be a mennyiségek átszámíthatók.
~v · tx
y
z K
x′
y′
z′ K′ ~v
Épület
~r~r′
6. ábra. Legyen a két rendszer t = t′ = 0 időpillanatban közös origójú. Ekkor egy K-ben állótest pozíciója a két rendszerből nézve más, de létezik kapcsolat az egyes helyvektorok között.
Az átszámítást Galilei-transzformációnak nevezzük és végig feltételezzük, hogy az időmindkét rendszerben ugyanúgy telik.
~r′ = ~r − ~v · t
8. 11. óra. Mozgások összetétele
5. Feladat. Jancsi 2 ms -mal sétál előre a 20 m
s -mal haladó metróban, Juliska 1 ms -mal
megy hátrafelé. Mekkora sebességük egy peronon álló megfigyelő számára?
• Jancsi a metróval azonos irányba halad, ezért a sebességek összeadhatók:
v0 + v1 = 20ms
+ 2ms
= 22ms
• Juliska sebessége a metró sebességével ellentétes, ezért negatív előjelű:
v0 + v2 = 20ms− 1
ms
= 19ms
6. Feladat. Egy versenyautó 140 kmh -val, egy másik 122 km
h -val megy körbe a 4,5 kmhosszú pályán. Mennyi idő, míg az első lekörözi másodikat, ha egyszerre indultak?
• A lassabb számára a gyorsabb sebessége: 140 kmh − 122 km
h = 18 kmh = 5 m
s
• A pálya megtételéhez szükséges idő ekkora sebességgel: t =s
v=
4500 m5 m
s= 900 s
• A gyorsabb autó a lassabbat 900 másodperc, vagyis 15 perc alatt körözi le.
7. Feladat. Dani átúszta a 150 méteres medencét 1,2 ms sebességgel. Ugyanilyen széles,
de 2 ms sebességű folyóban merőlegesen a partra elindul. Mennyivel lejjebb ér partot?
8. Feladat. Dani most egy olyan 150 m szélességű folyóban indul el merőlegesen,melyben a part szélétől lineárisan nő a sebesség 1 m
s -ig. Mennyivel lejjebb ér itt partot?
11. Házi feladat. Egy ember a folyón felfele evez. Egy hídnál elhagyja a csáklyáját,de csak fél óra múlva veszi észre. Ezután visszafordul és felszedi. Milyen gyors a folyósodrása, ha 5 km-rel a híd után éri utol a csáklyát, és végig egyenletesen evezett?
11. Szorgalmi. Hogyan kell összeadni a sebességeket, ha fénysebességgel összemérhetősebességgel mozgó részecskéket vizsgálunk?
12. óra. A gyorsulás fogalma 9.
12. óra A gyorsulás fogalma
Kísérlet. Hosszú, kis dőlésszögű lejtőre helyezzünk egy acélgolyót és mérjük megmennyi idő alatt tesz meg 50 cm-t! Alkossunk hipotézist, hogy hányszor ennyi ide-ig tart kétszer, háromszor, illetve négyszer ekkora utat megtennie?
Kísérlet. Mérjük meg, hogy 10 cm-es utakat hány másodperc alatt tesz meg. Ábrá-zoljuk a test mozgását út-idő diagramon!
t(s)
s(m)
0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t (s)
v(m
s
)
0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
6
7
8
7. ábra. A gyorsuló mozgás grafikonjai
• Az út négyzetesen arányos az idővel, tehát: s = k · t2
• A mozgás átlagsebessége: vátl. =s
t=k · t2
t= k · t
• A sebesség nulláról v-ig nő, ez utóbbi az átlagsebesség duplája: v = 2 · vátl.
• A sebesség megváltozásának és a közben eltelt időnek a hányadosát jelöljük a-val.
S =a
2· t2 v = a · t
12. Házi feladat. Egy test gyorsulása 4 m/s2. Hogyan mozog a test az első 5 másod-percben? Ábrázold az s− t, v − t, a− t diagramokat!
12. Szorgalmi. Oldd meg a házi feladatot Excel-ben!
10. 13. óra. A gyorsuló mozgás grafikonjai
13. óra A gyorsuló mozgás grafikonjai
9. Feladat. Álló helyzetből induló autó 3 s alatt gyorsít 6 mssebességre, amit 3 s-ig
tart, majd 3 s alatt lefékez és megáll. Ábrázoljuk a mozgást grafikonokon!
t (s)
a (m/s2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
−1
−2
0
8. ábra. A gyorsulás-idő diagram
A gyorsulások az egyes szakaszokon:
• a0 = 0m
s2
• a1 =6− 0
3= 2
(ms2
)• a2 = 0
m
s2
• a3 =0− 6
3= −2
(ms2
)• a4 = 0
m
s2
t (s)
v (m/s)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
1
2
3
4
5
6
7
9. ábra. A sebesség-idő diagram
A sebességek az egyes szakaszokon:
• v0 = 0 ms
• v1 = 2 · t
• v3 = 6 ms
• v3 = −2 · t
• v4 = 0 ms
t (s)
s (m)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
5
10
15
20
25
30
35
14
9
15
21
27
3235 36 36
10. ábra. Az út-idő diagram
A megtett út az egyes szakaszokon:
• s0 = 0m
• s1 =2
2· t2
• s2 = 6 · t
• s3 = 6 · t− 2
2· t2
• s4 = 36m
13. óra. A gyorsuló mozgás grafikonjai 11.
10. Feladat. Egy jármű 2 s alatt 8 ms-ra gyorsít, majd lassít 3 s-on keresztül, hogy
sebessége csak 2 mslegyen és így halad tovább. Készítsük el a mozgás grafikonjait!
t (s)
a (m/s2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
−10
3
4
−2
11. ábra. A gyorsulás-idő diagram
A gyorsulás az egyes szakaszokon:
• a0 = 0m
s2
• a1 =8− 0
2= 4
(ms2
)• a2 =
2− 8
3= −2
(ms2
)• a3 = 0
m
s2
t (s)
v (m/s)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10012345678
12. ábra. A sebesség-idő diagram
A sebesség az egyes szakaszokon:
• v0 = 0 ms
• v1 = 4 · t
• v2 = −2 · t
• v3 = 2 ms
t (s)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
s (m)
0
5
10
15
20
25
30
2
8
15
20
2325
2729
31
13. ábra. Az út-idő diagram
A megtett út az egyes szakaszokon:
• s0 = 0m
• s1 =4
2· t2
• s2 = 8 · t− 2
2· t2
• s3 = 2 · t
13. Házi feladat. Egy saját példát megoldani és a program segítségével ellenőrzni.
13. Szorgalmi. Excel programot készíteni a második feladathoz.
12. 14. óra. Feladatok gyorsulásra
14. óra Feladatok gyorsulásra
11. Feladat. Egy teherautó álló helyzetből 10 s alatt éri el az 5 ms -ot. Mekkora a
gyorsulása? Mennyi ideig kellene gyorsulnia, hogy elérje a 36 kmh sebességet?
• A teherautó gyorsulása: a =∆v
∆t=
5− 0
10= 0, 5
( ms2)
• Az elérni kívánt sebesség: 36kmh
= 10ms
• A szükséges idő: t =v
a=
10
0, 5= 20 ( s )
12. Feladat. Egy golyó egy lejtőn 3 ms2 gyorsulással legurul. A lejtő aljára már 6 m
s
sebességgel érkezik. Mekkora a közben megtett útja?
• Ekkora sebesség eléréséhez szükséges idő: t =v
a=
6
3= 2 ( s )
• Álló helyzetből indulva az út: s =a
2· t2 =
3
2· 22 = 6 ( m )
13. Feladat. Egy autó 72 kmh -ról 10 s alatt áll meg teljesen. Egy motor 5 s alatt fékez
le 15 ms -ről. Mekkora a gyorsulásuk fékezéskor? Melyik jármű fékez jobban?
• Az autó sebessége: 72kmh
= 20ms
• Az autó gyorsulása fékezés közben: a =∆v
∆t=
0− 20
10= −2
( ms2
)• A motoros gyorsulása fékezés közben: a =
∆v
∆t=
0− 15
5= −3
( ms2
)14. Feladat. Mekkora a gyorsulás ha 3 m
s -ról 13ms -ra 5 másodperc alatt gyorsítunk?
A gyorsulás nagysága: a =∆v
∆t=
13− 3
5= 2
( ms2)
15. Feladat. Egy autó 72 kmh -ról 54 km
h -ra fékezett, közben gyorsulása -0,5 ms2 volt.
Mennyi ideig fékezett?
• A sebesség fékezés előtt: v1 = 72kmh
= 20ms, utána: v2 = 54
kmh
= 15ms
• A sebességváltozás: ∆v = v2 − v1 = 15ms− 20
ms
= −5ms
• Az autó fékezési ideje: ∆t =∆v
a=−5
−0, 5= 10 s
14. óra. Feladatok gyorsulásra 13.
16. Feladat. Három autó egymás mellett megy 20 ms -os sebességel. Az első tartja
ezt a tempót, a második gyorsítani kezd 2 ms2 -tel, a harmadik fékezni kezd −2 m
s2 -tel.Mekkora a megtett útja az egyes autóknak 3 másodperc múlva?
• Az első autó sebessége nem változik, ezért útja: s = v · t = 20 · 3 = 60 ( m )
• A második útja: s = v0 · t+a
2· t2 = 20 · 3 +
2
2· 32 = 60 + 9 = 69 ( m )
• A harmadik útja: s = v0 · t+a
2· t2 = 20 · 3− 2
2· 32 = 60− 9 = 51 ( m )
17. Feladat. Az autópályán 2 másodperc a követési távolság. Mekkora utat jelent ezegy 100,8 km
h -val haladó, majd hirtelen lefékező autó számára?
• Az autó sebessége a fékezés előtt: v1 = 100, 8kmh
= 28ms
• Az autó gyorsulása: a =∆v
∆t=
0− 28
2= −14
( ms2
)• A négyzetes úttörvény szerint kiszámítjuk, hogy az autó mennyi utat tenne meg,
ha nem is fékezne és abból levonjuk, amit a fékezés miatt nem tesz meg:
s = v0 · t+a
2· t2 = 28 · 2− 14
2· 22 = 56− 28 = 28 ( m )
• Ha időben visszafelé képzeljük el a fékezést, akkor álló helyzetből indul az autó,gyorsulása 14m
s2ezért a megtett út 2 s alatt:
s =a
2· t2 =
14
2· 22 = 28 ( m )
14. Házi feladat. Egy 36 kmh -val haladó autó elkezd gyorsítani 3 s-on át 2 m
s2 -mal.
a.) Mekkora sebességre gyorsul fel?
b.) Mekkora utat tett meg a gyorsítás közben?
c.) Ábrázold a mozgást s− t, v − t, a− t grafikonon!
d.) Mekkora az átlagsebesség a gyorsítási szakaszon?
14. Szorgalmi. Az Earthrace nevű hajó végsebessége 59,3 km/h. Mekkora kezdőse-bességről tud 5 s alatt felgyorsulni a végsebességre, ha 2 m
s2 gyorsulásra képes?
14. 15. óra. A szabadon eső test mozgása
15. óra A szabadon eső test mozgása
Szabadesés: Ha egy testre kizárólag a tömegvonzás hat, akkor szabadon1 esik.
Kísérlet. Állandó sebességgel zuhannak-e a szabadon eső testek?
Egy kötélen egymástól egyenlő távolságokra rögzítünk csavarokat, és a kötelet kifeszí-tett állapotban leejtük. A koppanások nem egyenletesek, hanem egyre gyakoribbak,tehát a sebesség zuhanás közben folyamatosan nő.
Kísérlet. A nehezebb testeket jobban gyorsítja a gravitáció?
Nem, mert bármilyen tömegű is a test, ugyanolyan mértékben fog növekedni a sebes-sége. Erről meggyőződhetünk egy üres és egy vízzel teli palack ledobásával.
Kísérlet. Egy tollpihe és egy ágyúgolyó egyszerre esik le?
Nem, de ez nem is szabadesés. A levegő akadályozza a mozgást, így nem csak agravitációs erő érvényesül. Egy sima és egy összegyűrt papírlapnál is ugyanez történik.
Kísérlet. A tollpihe és az ágyúgolyó egyszerre esik le légüres térben?
Igen, a NASA vákuumkamrában elvégezte ezt a kísérletet és egyszerre értek le.
Nehézségi gyorsulás: A Föld közelében lévő testek közelítőleg a Föld középpontjafelé gyorsulnak2, ebben az irányban a gyorsulás értéke kb. g = 10 m
s2 .
Kísérlet. Mérjük meg a nehézségi gyorsulás számértékét!
Leejtünk egy testet h magasságból és mérjük az esési időt. A megtett út:
s =a
2· t2 =⇒ h =
g
2· t2 =⇒ g =
2 · ht2
A nehézségi gyorsulás Magyarországon 9,81 ms2 . A nehéségi gyorsulás értéke földrajzi
szélesség és a magasság függvényében is változik.
1Más test, vagy a közegellenállás nem akadályozza a mozgását.2Nem feltétlenül igaz, hogy ténylegesen ebbe az irányba is mozognak.
15. óra. A szabadon eső test mozgása 15.
18. Feladat. Hány métert halad lefelé a szabadon eső test az esési idő függvényében?
• A teljes út minden másodpercében a négyzetes úttörvény szerint növekszik.
• 0, 5, 20, 45, 80, 125, ... 5 · n2 (méter)
19. Feladat. Hány métert zuhan a test a szabadesés egyes másodperceiben?
• A megtett útból levonjuk az előző másodpercig megtett útat.
• 0, 5, 15, 25, 45, ... 5 · n2 − 5 · (n− 1)2 (méter)
• Felhasználva az (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 azonosságot az n.-ik másodperc útja:
Sn. = (2 · n− 1) · 5 (méter)
20. Feladat. Hogyan helyezzük el az ejtőzsinóron a csavarokat, hogy ejtéskor egyen-letesen halljuk a koppanásokat?
Válasszunk ki egy alaptávolságot, pl. 30 cm-t, és ennek páratlan számú többszöröseilegyenek a csavarok közötti távolságok, tehát 90 cm, 150 cm, 210 cm.
21. Feladat. Mekkora sebességgel csapódik be a test 1, 2 ... n s-os zuhanás után?
• n másodperces zuhanás: vn = g · t = 10 ms2 · n s = n · 10 m
s
22. Feladat. Milyen mély az a kút, amelyben 5 s alatt ér le egy kavics?
• A megtett út a kút mélysége: s =g
2· t2 =
10
2· 52 = 125 (m)
23. Feladat. Mennyi idő alatt zuhan le egy vasgolyó egy 80 méter magas épületből?
s =g
2· t2 =⇒ t2 =
2 · sg
=2 · 80
10= 16 =⇒ t = 4 s
Szabadesés a Holdon: Ha egy űrhajós a Holdon elejt egy tollat, a toll hatod akkorgyorsulással esik, mert ott a g a földi érték hatodával egyezik meg.
gH = 1, 62m
s2gH ≈
g
6
15. Házi feladat. A Holdon lévő szikla tetejéről egy 170 cm magas űrhajós ledobfejmagasságból egy követ, ami 3 másodpercig zuhan. Mekkora a szikla magassága?
15. Szorgalmi. Egy test 180 méter magasból leesik. Osszuk fel 3 szakaszra az utat,amit a test egyenlő időközök alatt tett meg.
16. 16. óra. A függőleges hajítások
16. óra A függőleges hajítások
Függőleges hajítás lefelé: Egy testet v0 kezdősebességgel ledobunk, és az szabadonesik lefelé. A megtett út és az elért sebesség a következő:
s = v0 · t+g
2· t2 v = v0 + g · tg
2
24. Feladat. Egy követ 4 mssebességgel ledobtunk ami így 5 s-ig zuhant. Mekkora a
kő megtett megtett útja és a becsapódási sebessége?
• Az út: s = v0 · t+g
2· t2 = 4 · 5 +
10
2· 52 = 20 + 125 = 145 (m)
• A sebesség: v = v0 + g · t = 4 + 10 · 5 = 54m
s
Függőleges hajítás felfelé Egy testet feldobunk v0 kezdősebességgel, közben sza-badon esik lefelé. Az emelkedési magasság és a sebesség a következő:
h = v0 · t−g
2· t2 v = v0 − g · t
g
2
25. Feladat. Hol van a 4 ms-mal feldobott kő 5 s elteltével és mekkora a sebessége?
• Az út: s = v0 · t−g
2· t2 = 4 · 5− 10
2· 52 = 20− 125 = −105 (m)
• A sebesség: v = v0 − g · t = 4− 10 · 5 = −46m
s
• A negatív út azt jelenti, hogy a test a kiindulási magasság alatt van, pl. egy mélykútba zuhant. A negatív sebesség, mert a fellövéssel ellentétes irányú a sebesség.
Emelkedési idő: A v0 kezdősebességgel feldobott test pillanatnyi sebessége pályájá-nak tetőpontján nulla. Ennek alapján a te emelkedési idő kiszámítható:
v = v0 − g · te = 0 =⇒ v0 = g · te =⇒ te =v0g
Maximális emelkedés: Az emelkedési időt a hely összefüggésébe behelyettesíthetve:
hmax =v20
2 · g
16. óra. A függőleges hajítások 17.
A zuhanás ideje: A felső pontról kezdősebesség nélküli szabadesés történik:
h =g
2· t2z =⇒ v20
2 · g=g
2· t2z =⇒ v20
g2= t2z =⇒ tz =
v0g
Az emelkedési idő és a zuhanási idő is azonos ha ugyanoda jut vissza a test:
tteljes = te + tz =v0g
+v0g
=2 · v0g
=⇒ tteljes,Föld ≈v05
26. Feladat. Egy pisztolyból kilövünk egy golyót felfelé, 100 ms-os torkolati sebesség-
gel. Milyen magasra jut a lövedék és mennyi idő alatt? Mit hanyagoltunk el?
• Az emelkedés időtartama: t =v0g
=100
10= 10 (s)
• A lövedék ilyen magasra jut fel: hmax =v20
2 · g=
1002
2 · 10= 500 (m)
• Vegyük észre, hogy 500 méter magasra jutott összesen 10 másodperc alatt, tehátátlagsebessége 50 m/s, ami a torkolati sebesség fele.
• Nem vettük figyelembe a levegő ellenállását, ami fékezi a lövedéket.
27. Feladat. Egy v0 = 10 ms-mal felfelé hajított test mennyi idő elteltével zuhan vissza
a kezünkbe és mekkora a becsapódási sebessége?
• A levegőben töltött idő a kezdősebesség számértékének ötöde, tehát 2 s.
• Ezt az időt a sebességre vonatkozó összefüggésbe beírhatjuk:
v = v0 − g · t = 10− 10 · 2 = −10m
s
• Tehát a test sebességének abszolút értéke ugyanakkora, mint mikor kilőtték, csakaz iránya nem felfelé, hanem már lefelé mutat.
16. Házi feladat. Fellőttünk egy kavicsot 40 ms-mal, ami 10 másodpercig volt a leve-
gőben és egy mély kútba zuhant. Mekkora a kavics teljes megtett útja?
16. Szorgalmi. Készíts Excel vagy GeoGebra programot, mely egy változtatható kez-dősebességű test hajítását szimulálja!
18. 17. óra. A vízszintes hajítás
17. óra A vízszintes hajítás
Kísérlet. A szabadon eső, vagy az oldalra eldobott test ér hamarabb földet?
Az ún. Lőwy-féle ejtőgéppel leejtünk és vízszintesen elhajítunk acélgolyókat. A kétgolyó egyszerre esik le.
A mozgások függetlenségének elve: A testek adott irányban megtett útjára nincshatással egy erre merőleges irányban történő mozgása.
Vízszintes hajítás Egy testet v0 kezdősebességgel vízszintesen elindítunk, mely en-nek hatására x irányban egyenes vonalú egyenletes mozgást végezne. Közben szabadonesne y irányban. A tengelyek mentén megtett utak:
x = v0 · tg
2y = −g
2· t2
28. Feladat. Milyen alakú pályákon mozognak a vízszintesen elhajított testek?
x [m]
y [m]
0 5 100
−5
−10
−15
−20
14. ábra. A vízszintes hajítás
Függőleges irányban egyszerű szabadesés amozgás, az y irányban történő elmozdulásminden test esetén azonos.
t 0 s 1 s 2 s 3 sy 0m -5m -20m -45m
A vízszintes irányú elmozdulások 2 ms, 4
ms, valamint 6 m
s-os kezdősebességű testek
esetén a következők:
t 0 s 1 s 2 s 3 ss2 0m 2m 4m 6ms4 0m 4m 8m 10ms6 0m 6m 12m 18m
A vízszintes irányban elhajított testek fél-parabola alakú pályán haladnak, a mozgá-sok függetlenségének elve szerint.
17. óra. A vízszintes hajítás 19.
29. Feladat. Egy féltéglát 45 m magas toronyból oldalra 4 ms-mal dobtunk el. Mekkora
távolságra repült el?
• A test szabadon esik le a toronyból, ezért felírható négyzetes úttörvény:
s =g
2· t2 =⇒ t2 =
2 · sg
=2 · 45
10= 9 =⇒ t = 3 (s)
• A 3 s zuhanás közben oldalra is mozog 4 ms -mal, a toronytól 12 méterre jut.
30. Feladat. János szeretné megmérni, hogy milyen sebességgel képes eldobni egytárgyat. Kidob egy követ vízszintesen egy 20 méter magas kilátóból, majd a kilátótól18 méterre találja meg a földön. Mekkora volt a dobás kezdősebessége?
• A kő szabadon esik, ezért a négyzetes úttörvényből kifejezhető az idő:
y =g
2· t2 =⇒ t2 =
2 · yg
=2 · 20
10= 4 =⇒ t = 2 (s)
• Mivel oldalra is 2 másodpercig ment és 18 méter utat tett meg, így a sebesség:
v0 =x
t=
18
2= 9
m
s
31. Feladat. Neo átugrik egy 15 méter magas toronyházról egy 10 méter magasra. Akét ház távolsága 6 méter. Mekkora sebességgel ugrott?
6 m
10 m
15 m
15. ábra. Neo ugrása a toronyházról
• Az ugrás nagysága: y = 5 (m)
• Az ugrás ideje a négyzetes úttör-vényből határozható meg:
t2 =2 · yg
=2 · 510
= 1 =⇒ t = 1 (s)
• Hat métert 1 másodperc alatt teszmeg, ezért a sebessége:
v0 =x
t=
6
1= 6
m
s
17. Házi feladat. Milyen magas az a torony, amelyből az oldalra 500 ms-mal kilőtt
lövedéket a toronytól 2 km-re találták meg?
17. Szorgalmi. Ábrázoljuk grafikonokon Neo mozgását! Mindkét tengelyhez különgrafikonokat készíts!
20. 18. óra. Ferde hajítások
18. óra Ferde hajítások
Az α szögben ferdén eldobott test mozgása: A kezdősebesség v0, ezt vy függő-leges és vx vízszintes komponensre bontjuk. Függőlegesen felfelé hajítás, vízszintesenegyenes vonalú egyenletes mozgás. Az emelkedési magasság és az emelkedési idő:
hem =v2y
2 · gtem =
vyg
Mivel a teljes levegőben töltött idő az emelkedési idő duplája, így a hajítás távolsága:
x = vx · 2 · tem =2 · vx · vy
g
x
hemv0
α
16. ábra. A ferdén elhajított test mozgása felbontható egy vízszintes egyenes vonalúegyenletes mozgásra és egy függőleges irányú felfelé történő hajításra.
32. Feladat. Vízszintes talajról 60 fokban kilövünk egy testet 15 m/s sebességgel.Milyen magasra emelkedik, milyen messzire jut és menny ideig mozog?
33. Feladat. Vízszintes talajról 45 fokban kilövünk 0,1 kg tömegű testet 20 m/s se-bességgel. Milyen magasra emelkedik, milyen messzire jut és menny ideig mozog?
18. Házi feladat. Egy szabadságharc korabeli ágyú a 7,2 kg-os lövedéket 220 m/ssebességgel lőtte ki 30 fokos szögben. Milyen távolságra lő az ágyú és mennyi idő alattér földet a lövedék?
18. Szorgalmi. Vízszintes talajról 60 fokban kilövünk 0,2 kg tömegű testet 15 m/ssebességgel. Milyen magasra emelkedik 1 másodperc alatt és milyen távol van a kilövéshelyétől? Mekkora ekkor a test sebessége?
19. óra. Feladatok hajításra, szabadesésre 21.
19. óra Feladatok hajításra, szabadesésre
34. Feladat. Ha az 58 méter magas Pisai ferde toronyból ledobunk egy ágyúgolyót, ak-kor 3,4 másodperc alatt ér le. Mekkora a nehézségi gyorsulás értéke a kísérlet alapján?Mik a mérés hibái? Vajon Galilei mért a toronyban?
35. Feladat. A teljes emelkedési magasság hányad részét teszi meg a függőlegesenfölfelé hajított test, mire a sebessége a kezdősebesség felére csökken?
36. Feladat. A föld felszíne felett 45 m magasságban vízszintes irányban 20 m/s-maleldobunk egy kavicsot. Mennyi idő alatt és mekkora sebességgel ér földet?
37. Feladat. Mekkora sebességgel kell vízszintes irányban eldobni egy testet egy 180méter magas toronyból, hogy az a toronytól 60 méterre repüljön?
38. Feladat. Vízszintes talajról 60 fokban kilövünk egy testet, amely 5 m magasraemelkedik. Milyen messzire jut és menny ideig mozog?
39. Feladat. Vízszintes talajról 30 fokban kilövünk egy testet, amely 3 s múlva érföldet. Milyen magasra emelkedik és milyen messzire jut?
19. Házi feladat. Készíts út-idő, sebesség-idő, gyorsulás-idő grafikont az egyik tet-szőleges órai feladathoz!
19. Szorgalmi. Vízszintes talajról 48 fokban kilövünk 0,1 kg tömegű testet 20 m/ssebességgel. Milyen magasra emelkedik a test és milyen távol zuhan le?
22. 20. óra. Az egyenletes körmozgás
20. óra Az egyenletes körmozgás
Radián: Egységsugarú körön egységnyi hosszúságú ívhez tartozó középponti szög.
40. Feladat. Váltsuk át az alábbi fokban megadott szögeket radiánba!
a) 360° =
b) 180° =
c) 45° =
d) 1° =
e) π =
f)5
6π =
g)3
5π =
h) 1 =
Körmozgás: Tömegpont vagy kiterjedt test egy pontja körív alakú pályán mozog.
Kísérlet. Lemezjátszóra helyezzünk egy papírlapot és csepegtessünk rá színezett vizet!
Egyenletes körmozgás: A test egyenlő idők alatt egyenlő ívhosszakat tesz meg.
Periódusidő: A teljes kör megtételéhez szükséges idő. Jele: [T ] = s
Fordulatszám: Egységnyi idő alatti fordulatok száma. Jele: [f ] =1
sf =
1
T
Szögsebesség: A szögelfordulás és a közben eltelt idő hányadosa.
ω =∆ϕ
∆t=
2π
T[ω] =
1
s
Kerületi sebesség: A köríven megtett út és a közben eltelt idő hányadosa.
vk =∆i
∆t=
2 · r · πT
= 2 · r · π · f = ω · r [vk] =m
s
41. Feladat. A London Eye óriáskerék átmérője 120 méter és fél óra alatt megy teszmeg egy kört. Mennyi a kerületi sebessége és a szögsebessége és frekvenciája?
42. Feladat. A Föld 150 millió km-re van a Naptól és 365,25 nap alatt kerüli meg.Mennyi a Föld kerületi sebessége?
20. Házi feladat. Egy 20 m átmérőjű körhinta 20 másodperc alatt tesz meg egy kört.Mennyi a fordulatszám, a szögsebesség és a kerületi sebesség?
20. Szorgalmi. Egy nagymutató hossza 10 cm, a kismutató hossza 5 cm. Mennyi aszögsebességük, kerületi sebességük és fordulatszámuk aránya?
21. óra. A centripetális gyorsulás 23.
21. óra A centripetális gyorsulás
Centripetális gyorsulás: A sebességvektor iránya változik a mozgás során, ezért azegyenletes körmozgásnak van gyorsulása. Az ~acp a körpálya középpontjába mutat.
| ~acp| = acp =v2kr
= r · ω2 = vk · ω
43. Feladat. A diákok testnevelés órán egy 10 méter sugarú pályán futnak és 5 má-sodperc alatt teszik meg a kör negyedét. Hány km
ha sebességük?
44. Feladat. Egy lemezjátszó fordulatszáma 33 1min
. Mekkora a szögsebessége? Mek-kora a lemez szélének kerületi sebessége, ha átmérője 30 cm?
45. Feladat. Egy 30 cm sugarú ventilátor 3000 fordulatot tesz meg percenként. Hatá-rozzuk meg a fordulatszámot, a periódusidőt, a szögsebességet, a legnagyobb kerületisebességet és a centripetális gyorsulást!
46. Feladat. Egy repülőgép halad egy 3 km sugarú körpályán, és a műszerek jelzéseiszerint az eredő gyorsulása 30 m
s2. Hány km
hsebességgel halad a repülőgép? Mekkora a
szögsebessége? Kb. hány perc alatt tenne meg egy teljes kört?
21. Házi feladat. A nemzetközi űrállomás 405 km magasságban kering és 92 percalatt kerüli meg a Földet. Mennyi a kerületi sebessége és a centripetális gyorsulása?
21. Szorgalmi. Mekkora a kanyar sugara, ha az autó 90 km/h sebességgel veszi be,és a centripetális gyorsulása 3,123 m/s2