elementos finitos en analisis estructural
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Introducción a los elementos finitos , así como su aplicación al análisis estructural de muros y vigas, la parte teórica y paracticaTRANSCRIPT
ELEMENTOS FINITOS EN EL ANALISIS ESTRUCTURAL DE PRTICOS CON MUROS
RESUMENSe presenta una introduccin a la utilizacin de los elementos finitos en el anlisis estructural de prticos con muros de corte, para lo cual se revisan las ecuaciones bsicas de la Teora de la Elasticidad, y se da una interpretacin fsica al Mtodo de Ensamblaje Directo, empleado en el Anlisis Matricial de Estructuras, que se puede usar en Elementos Finitos. Adems se establece una metodologa genrica y directa tipo Rayleigh-Ritz, basada en la minimizacin de la energa potencial y en campos de desplazamientos predefinidos, para la deduccin de las matrices de rigideces de los elementos finitos, tomando como referencia a un cuadriltero para esfuerzos planos y para deformaciones planas. Por ltimo se adjunta un programa de computacin para el anlisis de estructuras sometidas a esfuerzos planos que incluyen elementos finitos cuadrilteros y elementos tipo barras de prticos totalmente compatibles entre s, discutindose la razn de los problemas de incompatibilidad de formulacin presentes en algunos programas comerciales de anlisis estructural.
ABSTRACTAn introduction to the use of finite elements in structural analysis of frames with shear walls is presented. Basic equations of Elasticity Theory are reviewed, and a physical interpretation of the Direct Assembly Method is introduced; such interpretation can be adapted to finite elements. A generic methodology of a Rayleigh-Ritz type, based on potential energy minimization and predefined displacements is established to deduce stiffness matrices for finite elements, using as a reference a plane stress and a plane strain quadrilateral. A computer program for frames with plain stress shear wall analysis is provided, which includes quadrilateral finite elements and linear frame elements, fully compatible. The reasons for non compatibility in several commercial programs are also discussed.
1. INTRODUCCIN:
El mtodo de los elementos finitos es un mtodo genrico para obtener soluciones numricas, con una precisin aceptable, a muchos problemas complejos de ingeniera, constituidos o modelados mediante continuos. A travs del mtodo de los elementos finitos se ha conseguido abordar, con eficiencia, problemas tan dismiles como el anlisis estructural, la transferencia de calor, el flujo de fluidos, los campos elctricos, etc.
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Si se quisieran determinar los desplazamientos en la estructura plana de la figura, los mtodos clsicos nos conduciran al planteamiento de ecuaciones diferenciales parciales sin solucin matemtica especfica, debido a que la estructura y el estado de carga son demasiado complicados.
Para utilizar el mtodo de los elementos finitos, por otro parte, se requiere discretizar el continuo material en un nmero finito de sectores (elementos finitos), con geometra ms simple, interconectados entre s a travs de nudos.
En cierto modo, los elementos finitos son pedazos de la estructura real. El hecho de idealizar la interconexin entre los elementos finitos exclusivamente a travs de sus nudos, podra determinar que solamente en tales nudos se cumplan obligatoriamente las condiciones de compatibilidad de deformacin. El resultado es que la estructura se flexibilizara en exceso, pues se permitiran traslapes o separaciones entre caras de los elementos contiguos.
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Es evidente que ste no es el comportamiento de la estructura real, por lo que para un modelamiento ms apropiado, los elementos finitos slo deberan deformarse siguiendo elsticas que mantengan la continuidad entre elementos, consiguindose de este modo compatibilidad de deformaciones entre las caras adyacentes de los elementos (no siempre ese enfoque es el ms conveniente, pero es un buen punto de partida).
Los tringulos y los cuadrilteros planos, constituyen los elementos finitos bidimensionales ms utilizados en el anlisis estructural, tanto por la facilidad con que se adaptan a casi cualquier configuracin geomtrica, como por la relativa simplicidad de determinacin de sus matrices de rigideces.
Las barras lineales, que conforman las estructuras aporticadas y las celosas, constituyen los elementos finitos naturales. El estudio de las barras lineales ha sido extenso, y los tratados de Anlisis Matricial de Estructuras detallan la manera de modelar su comportamiento.
Cuando se presentan continuos tridimensionales (como la presa de la siguiente figura), es usual la utilizacin de elementos finitos polidricos, como el hexaedro o el tetraedro.
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En el caso de continuos superficiales curvos, se suelen utilizar cuadrilteros fuera de plano (loscuatro vrtices del cuadriltero no pertenecen a un mismo plano).
2. ECUACIONES DE LA TEORA DE LA ELASTICIDAD:
La Teora de la Elasticidad es un auxilio importante para comprender el Mtodo de los Elementos Finitos. La siguiente figura representa un elemento diferencial plano de espesor constante t (no es un elemento finito pues tiene dimensiones infinitamente pequeas en lugar de dimensiones finitas).
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Las fuerzas por unidad de volumen Fx y Fy, que actan sobre el cuerpo, pueden provenir de la accin de la aceleracin de la gravedad, aceleraciones ssmicas, campos magnticos, etc.
a) Ecuaciones Diferenciales de Equilibrio:
Planteando equilibrio de fuerzas, en el elemento diferencial bidimensional, en las direcciones x yy, se tiene:
x x
yx x
dx dy t
dx dy t
xy dy dx t y
y dy dx t y
Fx dx
Fy dx
dy t 0
dy t 0
Simplificando:
x x
yx x
Donde:
xy F 0 y x
y F 0 y y
yx xy
Lo que transforma las ecuaciones previas en:
x x
xy x
xy F 0 y x
y F 0 y y
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Por analoga, las ecuaciones diferenciales de equilibrio en un elemento diferencial tridimensional son:
x x
xy x
xz x xy y
y y
yz y
xz Fx 0 z
yz F 0 z y
z Fz 0 z
b) Compatibilidad de Deformaciones:
Cuando un cuerpo elstico se deforma, el campo de desplazamientos es continuo, sin que se produzcan aberturas, traslapes o quiebres de la elstica, lo que da lugar a las condiciones de compatibilidad de deformaciones.
Al considerar la compatibilidad de deformaciones en el elemento diferencial plano, las tres deformaciones unitarias ex , ey, g xy, estn interrelacionadas, y son funcin de dos campos de desplazamientos:
u u (x , y)v v(x , y)
De igual manera, al considerar la compatibilidad de deformaciones en el elemento diferencial tridimensional, las seis deformaciones unitarias ex , ey, ez, g xy, g yz, g zx , son funcin de tres campos de desplazamientos:u u (x, y, z) v v (x, y, z) w w (x, y, z)
c) Relacin entre Desplazamientos y Deformaciones Unitarias:
La relacin existente entre los desplazamientos y las deformaciones unitarias es fundamental en la formulacin de la matriz de rigideces de los elementos finitos.
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Si se expresa matricialmente la relacin entre desplazamientos y deformaciones unitarias para el elemento diferencial bidimensional, se tiene:
u 0x x xv uy y 0 y vxy u vy x y x
Por analoga, la relacin entre desplazamientos y deformaciones unitarias para el caso del elemento diferencial tridimensional es: u 0 0x vx yy wz zx
0 0 y
0 0 u z vxy u v
yz y x v wzx z yy x 0 w
0z y u w 0z x z x
d) Relaciones Esfuerzo Unitario - Deformacin Unitaria:
Para el caso de materiales ortotrpicos (materiales con caractersticas elsticas diferentes en cada una de las tres direcciones ortogonales principales), en continuos tridimensionales, se tienen las7
siguientes relaciones:
1 E xxx
xy E xyx
xz zx
E x
xy E y
1 E yy
yz E yy
xz yz
E z
xz z
E z 1 E zz
[1] [2][3]
xy xyG [4]
xy
yz yz G [5]
yz
xz G [6]
xzxz
Para el caso de materiales isotrpicos (materiales con caractersticas elsticas idnticas en todas las direcciones), en continuos tridimensionales, se tienen las siguientes relaciones simplificadas:
1 [1]x E x E y E z1y E x E y E z1z E x E y E z
xy xy G
yz yz G
xz xz G
[2] [3][4] [5][6]
Donde:
G E 2(1 )
Expresando matricialmente las relaciones correspondientes a elementos bidimensionales isotrpicos, bajo condicin de esfuerzos planos (se eliminan las ecuaciones 3 , 5 y 6 , y los esfuerzos s z, t yz y t zx ), se tiene:
x 11y Exy 00 x1 0 y C0 2(1 ) xy
La relacin matricial inversa para esfuerzos planos es:8
x 1Ey 1 2xy 00 x1 0 y E0 1 xy2
Evidentemente la matriz [E] es la matriz inversa de [C]. [E] = [C]-1La matriz [C] recibe el nombre de matriz de deformabilidad del material, y la matriz [E] se denomina matriz de elasticidad del material.
La relacin matricial entre deformaciones unitarias y esfuerzos unitarios, para continuos tridimensionales, con materiales isotrpicos es:
x 1 0
y z xyyz
xz0 0 x yz xyyz ) xz
La relacin matricial inversa es:
11 1
0 0 0
1 0 0 0x 1 1 xy y1 0 0 0z E (1 ) 1 1 zxy (1)(1 2 ) 0 00 1 2 0
0 xy
yz 0 0 02(1 )
0
yz 1 2 xz
0 0 00 xz2(1 )1 20 02(1 )
Para el caso de continuos tridimensionales, con materiales isotrpicos, bajo condiciones de deformaciones planas, se descartan las filas 3, 5 y 6, de la matriz [E] de 6x6, y se define ez =0, g yz = 0 y g xz = 0, obtenindose:
x
y (1xy1E1)(1 2 )0 00 x0 y E1 2 xy2
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3. INTERPRETACIN FSICA DEL MTODO DE ENSAMBLAJE DIRECTO:
El Mtodo de Ensamblaje Directo, empleado tradicionalmente en el anlisis matricial de estructuras aporticadas y en celosa, es la utilizacin del principio de que, la solicitacin (fuerza o momento) nodal que se requiere, para que varios elementos que convergen a un mismo nudo de la estructura tengan una misma magnitud de corrimiento nodal (desplazamiento o rotacin compatible, usualmente unitario), es igual a la suma de las solicitaciones que se requieren para conseguir dicha deformacin en cada uno de los elementos que convergen al nudo.
Dado que los componentes de las matrices de rigideces de cada uno de los elementos de una estructura, son las fuerzas o momentos nodales que se necesitan para mantener una deformacin unitaria en uno de los nudos de un elemento estructural, la formacin de la matriz de rigideces global de la estructura puede reducirse a la suma selectiva de los componentes de las matrices de rigideces de todos los elementos de una estructura. Este proceso se conoce como Ensamblaje Directo.
Los mismos criterios empleados para la utilizacin del Mtodo de Ensamblaje Directo en el anlisis de prticos y celosas, pueden ser empleados para analizar continuos discretizados mediante elementos finitos.
Elsticas de Deformacin Fundamentales de las Barras Planas:
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Elsticas de Deformacin Correspondientes a los Corrimientos Unitarios de los Grados deLibertad de la Estructura:
Por cada desplazamiento nodal desconocido de la estructura se plantea una ecuacin de equilibrio de fuerzas, y por cada rotacin nodal desconocida se plantea una ecuacin de equilibrio de momentos.
Cada componente de la matriz de rigideces de la estructura (matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones de equilibrio), se puede obtener directamente de las elsticas de deformacin para corrimientos unitarios, sumando las solicitaciones de todas las barras que concurren al nudo donde se est especificando la condicin de equilibrio.
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Ecuaciones de equilibrio del prtico:
Fx3
Fy3
Mz3
Fx4
Fy4
Mz4
En anlisis matricial de estructuras, en lugar de emplear las elsticas de deformacin para corrimientos unitarios de los grados de libertad, se calculan matrices de rigideces, en coordenadas globales, para cada barra (cada componente de la matriz de rigideces se calcula en base a corrimientos unitarios en los extremos de barra) y, durante el ensamblaje de la matriz de rigideces de la estructura global se realiza la suma de componentes consistentes de las matrices de rigideces de diferentes elementos. Este proceso es numricamente equivalente a utilizar las elsticas de deformacin, y recibe el nombre de Ensamblaje Directo.
Los trminos independientes, son las solicitaciones nodales ms las solicitaciones de barra transformadas a solicitaciones nodales.
K1 3
K 2 4
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K 2 3
Si mediante algn proceso especial (luego se describir tal proceso), se pudieran determinar las rigideces de los elementos finitos que conforman un continuo (por ejemplo un cuadriltero de esfuerzos planos), no existira ningn obstculo para que se construyan elsticas de deformacin correspondientes a corrimientos unitarios de nudo, que permitan visualizar fsicamente los componentes de las diferentes ecuaciones de equilibrio que deberan plantearse. Como alternativa podran utilizarse las matrices de rigideces de los elementos finitos, en conjunto con el mtodo de ensamblaje directo, para conseguir el mismo objetivo.
Si se supone que los nudos del muro solamente admiten desplazamiento sobre el plano principal (un desplazamiento horizontal y uno vertical por nudo), y que la estructura tiene los 2 apoyos de la figura, el nmero total de grados de libertad de la estructura sera de 26.
Las elsticas correspondientes a los 2 corrimientos unitarios del nudo 7 de la estructura seran:
dx7 = 1
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dy 7 = 1
4. LA ENERGA POTENCIAL Y EL MTODO RAYLEIGH - RITZ:
a) Energa Potencial:
La Energa Potencial de un sistema estructural se designa pP, y se puede expresar como funcin de los corrimientos. Cuando pP se minimiza con respecto a los corrimientos, da lugar a ecuaciones de equilibrio de la forma
K D R
Un sistema estructural es conservativo si, partiendo de una configuracin inicial, sufre corrimientos arbitrarios y retorna a la configuracin inicial sin efectuar trabajo fsico alguno (realiza trabajo nulo).
Una configuracin o un corrimiento es admisible cuando no viola ni las condiciones internas de compatibilidad, ni las condiciones de borde esenciales.
b) Energa Potencial en Sistemas con un Grado de Libertad:
Como ejemplo, se puede tomar un resorte suspendido, de longitud L, de rigidez axial k, en cuyo extremo libre se aplica una fuerza P, y se permite un desplazamiento vertical D en el lugar de aplicacin de la fuerza.
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La energa potencial (capacidad de realizar trabajo a futuro) de un sistema estructural tiene dos componentes:
Energa Potencial de Deformacin de la estructura. Energa Potencial de las solicitaciones.
Si se toma como nivel de referencia al extremo libre del resorte cuando no est solicitado por la fuerza, la energa potencial del sistema, despus de aplicada la fuerza y producidos los corrimientos es:
1 k D 2P 2
P.D
El signo negativo de la energa potencial de la fuerza obedece a que, una vez realizado el trabajo, la fuerza ha perdido capacidad de realizar trabajo a futuro.
Derivando la energa potencial pP con respecto a D, e igualando a cero para obtener un mnimo, se tiene:
k D P 0k D P
Esta ecuacin es exactamente la misma que se planteara al imponer condiciones de equilibrio en el sistema.
P D eqk
Si alternativamente se toma como nivel de referencia a un punto ubicado H unidades hacia abajo del extremo libre del resorte cuando no est solicitado por la fuerza, la energa potencial del sistema se describira como:
1 k D 2P 2
P (H C)
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Derivando la nueva ecuacin de energa potencial con respecto a D, e igualando a cero para obtener un mnimo, se tiene:
k D P 0k D PNuevamente se obtiene que:
P D eqk
El resultado obtenido es independiente de cualquier nivel de referencia que se escoja para definir la energa potencial del sistema estructural, por lo que resultara conveniente escoger aquel que defina las expresiones ms sencillas o las ms convenientes para simplificacin.
Cualitativamente se puede decir que las solicitaciones pierden energa potencial cuando han realizado trabajo sobre una deformacin en la misma direccin que la solicitacin, mientras que los resortes almacenan energa potencial positiva sin importar la direccin de la deformacin.
La representacin grfica de las dos ecuaciones antes detalladas indica que la energa potencial ha sido minimizada, y que los mnimos son coincidentes:
De todas las configuraciones admisibles de la elstica de deformacin de un sistema conservativo, aquellas que satisfacen las ecuaciones de equilibrio convierten a la energa potencial del sistema en estacionaria con respecto a pequeas variaciones de los corrimientos.
c) Energa Potencial en Sistemas con Mltiples Grados de Libertad:
Se dice que un sistema tiene n grados de libertad, si se requieren n magnitudes independientes para definir su configuracin. En este caso, la energa potencial del sistema ser funcin de la magnitud de los diferentes grados de libertad.
P F(D1 ,
D 2 , D3 , ..., D n )
Si se aplica la condicin estacionaria de la energa potencial se tiene:
P 0Di(i 1, 2, 3, ..., n )
El resultado es un sistema de n ecuaciones simultneas con n incgnitas.
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Como ejemplo, se pueden tomar tres resortes en serie, de rigideces axiales k1, k2 y k3, en cuyos extremos se aplican fuerzas P1, P2 y P3, respectivamente, y se permiten desplazamientos absolutos D1, D2 y D3 en los sitios de aplicacin de las fuerzas.
La energa potencial del sistema, despus de las deformaciones es:
1P k 12
D12
1k 2 (D 22
D1 ) 2
1k 3 (D 32
D 2 )2
P1 D1
P2 D 2
P3 D3
Derivando con respecto a cada corrimiento, e igualando a 0, para minimizar la energa potencial del sistema, se tiene:
P D1k1 D1k 2 (D 2D1 ) P1 0
P D 2
k 2 (D 2
D1 )
k 3 (D3
D 2 ) P2 0
P D 3
k3 (D 3
D 2 ) P3 0
Organizando matricialmente el sistema de ecuaciones se tiene:
k1 k 2k20
k 2 0 D1 P1k 2 k 3 k3 D 2 P2k3 k3 D3 P3
La expresin matricial simplificada es:K D P
El sistema de ecuaciones es exactamente igual al que se obtendra planteando ecuaciones de equilibrio en los puntos de aplicacin de las fuerzas.
Una manera alternativa de plantear la ecuacin de energa potencial, en trminos matriciales, es:
1 D T K DP 2
D T . P
En el caso del ejemplo previo, la expresin desarrollada de la ecuacin de energa potencial es:
k1 k 21P 2
k2 0 D1 P1
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EL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANLISIS ESTRUCTURAL DE PRTICOS CON MUROS DE CORTE Marcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador
d) Expresiones para la Energa Potencial:
Se puede tomar como referencia el caso general de esfuerzos tridimensionales {s} y deformaciones tridimensionales {e}:x y z xy x y z xyTyz zx Tyz zx La relacin esfuerzo unitario - deformacin unitaria en coordenadas rectangulares es:
E
Si se define como Uo a la energa potencial de deformacin por unidad de volumen, tal magnitud representa el trabajo realizado por las fuerzas internas.
En un cubo de dimensiones unitarias, el esfuerzo unitario es igual a la fuerza y la deformacin unitaria es igual al desplazamiento sobre el que acta el esfuerzo unitario. Con estas consideraciones, incluyendo todos los esfuerzos unitarios, las deformaciones unitarias infinitesimales producen un cambio en la energa de deformacin interna de acuerdo a la siguiente expresin.
TdU o ddU ox d xy d yz d zxy d xyyz d yz zx d zx
Derivando parcialmente con relacin a cada deformacin unitaria se tienen las siguientes expresiones.
dU oxxdU oyydU ozzdU oxyxydU oyz yz dU ozx zx
Generalizando las expresiones anteriores, con ecuaciones matriciales:
dUo E
Integrando con respecto a las deformaciones unitarias se tiene:U 1 T Eo 2
Se definen a los desplazamientos de un punto arbitrario de coordenadas x, y, z con la siguiente
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expresin:
EL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN EL ANLISIS ESTRUCTURAL DE PRTICOS CON MUROS DE CORTE Marcelo Romo Proao, M.Sc.Escuela Politcnica del Ejrcito - Ecuador
f u v w T
Donde u, v, w son funcin de las coordenadas x, y, z. Las fuerzas por unidad de volumen pierden potencial cuando ocurren los desplazamientos en la misma direccin de las fuerzas. En un volumen unitario el cambio de energa potencial es:
Cambio
de Potencial
Fx u
Fy v
Fz w
Un cuerpo de volumen V tiene una energa potencial total:
P V oU
.dV
f T F dVV
D T P
La primera expresin es la energa de deformacin interna, la segunda es el cambio de potencial en las fuerzas volumtricas, y la tercera es el cambio de potencial en las fuerzas que actan sobre los nudos.
Previamente se estableci que, para el caso de sistemas estructurales sin fuerzas volumtricas, la energa potencial poda calcularse con la siguiente expresin:
1 D T K DP 2
D T . P
Comparando las dos ecuaciones se deduce que:
1 D T K D dVUo
2 V
Reemplazando Uo en la expresin anterior:
1 D T K D2
1 T E dV2 V
Simplificando:
D T K D T E dVV
Esta relacin permite la determinacin de la matriz de rigideces de un elemento finito, en funcin de sus deformaciones unitarias internas.
e) El Mtodo Rayleigh - Ritz:
Las estructuras con miembros discretos, como los prticos y celosas, tienen un nmero finito de grados de libertad, pero los sistemas continuos pueden tener grados de libertad en cada uno de sus puntos, y su comportamiento se describe mediante ecuaciones diferenciales parciales simultneas.
Se puede evitar resolver dichas ecuaciones (en la gran mayora de los casos no tienen solucin cerrada), empleando el Mtodo Rayleigh - Ritz, que utiliza expresiones matemticas de interpolacin para expresar los corrimientos de cada punto, en funcin de un nmero finito de grados de libertad. El Mtodo Rayleigh - Ritz se vuelve ms exacto mientras mayor sea el nmero de grados de libertad que se utilice.
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5. EL ELEMENTO FINITO CUADRILTERO PLANO PARA MODELAR DEFORMACIONES POR CARGAS AXIALES, POR FLEXIN Y POR CORTANTE:
A continuacin se presenta una metodologa genrica para formular la matriz de rigideces de un elemento finito cuadriltero plano, empleado en el anlisis estructural bajo la condicin de esfuerzos planos. El mismo elemento, bajo la hiptesis de deformaciones planas, requiere nicamente que se utilice la matriz de elasticidad correspondiente. Procedimientos muy similares se emplean en la deduccin de matrices de rigideces de otros tipos de elementos finitos.
Muchos problemas de anlisis estructural involucran la interaccin de elementos lineales cuyo comportamiento est definido bsicamente por las deformaciones axiales, por flexin y por cortante (barras de prticos), as como por continuos bidimensionales que conviene modelarlos mediante elementos finitos.
Para poder utilizar simultneamente ambos tipos de elementos, es necesario que sean capaces de modelar eficientemente las deformaciones por cargas axiales, por flexin y por cortante.
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El Mtodo de los Elementos Finitos se desarroll a partir del modelamiento de deformaciones mediante funciones lineales en los continuos bidimensionales. Estas funciones son especialmente apropiadas para definir directamente las deformaciones por cortante y por carga axial, e indirectamente las deformaciones flexionantes, mediante un refinamiento de la malla. Posteriormente se incorporaron funciones polinmicas complementarias, para modelar las deformaciones por flexin.
Los paquetes de computacin que existen en el mercado, como el SAP, han utilizado ese proceso evolutivo en la formulacin de las matrices de rigideces de los elementos finitos. Los grados de libertad (desplazamientos y rotaciones de nudo) aparecen desacoplados, lo que por un lado facilita la definicin de las matrices de rigideces, pero por otro condiciona y limita la utilizacin simultnea de barras integradas al continuo bidimensional por incompatibilidad de formulacin.
El problema fundamental de emplear a un mismo tiempo barras y elementos finitos con matrices de rigideces cuyos desplazamientos y rotaciones estn desacoplados, es que los desplazamientos de nudo en los elementos finitos pueden dar lugar a rotaciones de nudo importantes, cuyo efecto no es considerado en las barras lineales que convergen a dicho nudo, lo que en ciertos casos puede conducir a serios errores de modelamiento.
Con el objeto de obviar esta problemtica, se presenta la matriz de rigideces tradicional para elementos finitos cuadrilteros planos [QM6], con 2 grados de libertad por nudo (8 grados de libertad nodales) y 4 grados de libertad centroidales, modificada mediante la incorporacin de "Acoples Rgidos" o Nudos Finitos Rgidos, en las uniones entre elementos finitos y barras lineales, de manera que se consiga superar la incompatibilidad de formulacin mediante una compatibilidad de deformacin entre los dos tipos de elementos.
a) El Cuadriltero Plano en Coordenadas Globales:
El elemento finito cuadriltero plano puede tener una geometra real arbitraria.
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b) El Cuadrilatero Plano en Coordenadas Naturales:
Para efectos de simplificar las operaciones se utiliza como referencia al elemento finito cuadriltero plano en coordenadas normalizadas (coordenadas naturales).
A cada punto del cuadriltero plano real le corresponde un punto del cuadriltero normalizado con coordenadas naturales. Las ecuaciones de transformacin entre los sistemas de coordenadas se discuten posteriormente.
c) Grados de Libertad del Cuadriltero Plano:
Los grados de libertad (corrimientos) del cuadriltero plano, tanto en coordenadas globales como en coordenadas naturales, son 2 desplazamientos (u, v) por cada nudo, lo que significa un total de 8 corrimientos referenciales externos para el elemento finito. Adems se incluyen 4 grados de libertad internos de flexibilizacin.
d) Funciones de Forma de los Desplazamientos Nodales en el Cuadriltero Plano enCoordenadas Naturales:
Se definen las siguientes Funciones de Forma de los Corrimientos Nodales, cuya caracterstica es la de ser funciones de dos variables (s, t) simples y manejables, que tienen valor unitario para uno de los grados de libertad de los nudos del elemento finito y valor nulo para los restantes 11 grados de libertad. Por facilidad de formulacin se utiliza como base al elemento finito en coordenadas naturales.22
Los desplazamientos horizontales en el elemento finito se describen mediante la variable (u), y los desplazamientos verticales mediante la variable (v).
Desplazamiento Unitario Horizontal del Nudo [1] (u1 = 1):
u 1 ( s4v 0
1) ( t 1)
Desplazamiento Unitario Vertical del Nudo [1] (v1 = 1):
u 0v 1 ( s4
1) ( t 1)
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Desplazamiento Unitario Horizontal del Nudo [2] (u2 = 1):
u 1 (s4v 0
1) ( t 1)
Desplazamiento Unitario Vertical del Nudo [2] (v2 = 1):
u 0v 1 (s4
1) ( t 1)
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Desplazamiento Unitario Horizontal del Nudo [3] (u3 = 1):
u 1 (s4v 0
1) (t 1)
Desplazamiento Unitario Vertical del Nudo [3] (v3 = 1):
u 0v 1 (s4
1) (t 1)
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Desplazamiento Unitario Horizontal del Nudo [4] (u4 = 1):
u 1 ( s4v 0
1) (t 1)
Desplazamiento Unitario Vertical del Nudo [4] (v4 = 1):
u 0v 1 ( s4
1) (t 1)
e) Funciones de Forma Auxiliares de Flexibilizacin en el Cuadriltero Plano enCoordenadas Naturales:
Adicionalmente a los 8 grados de libertad descritos en el numeral previo, se incorporan 4 grados de libertad internos centroidales (no provocan desplazamientos en los nodos coincidentes con los
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vrtices), que flexibilizan al elemento finito mediante 2 deformaciones consistentes con el efecto de flexin y 2 distorsiones cuadrticas.
Distorsin Cuadrtica Horizontal (u5 = 1):
u 1 s2v 0
Elstica Flexionante Vertical (v5 = 1):
u 0v 1 s 2
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Elstica Flexionante Horizontal (u6 = 1):
u 1 t 2v 0
Distorsin Cuadrtica Vertical (v6 = 1):
u 0v 1 t 2
f) Funciones de Transformacin de Coordenadas:
Para transformar coordenadas entre el elemento finito en coordenadas naturales y el elemento finito en coordenadas globales se utilizan las siguientes funciones paramtricas:
N I
N II
1 (141 (14
s)(1 t)
s)(1 t)
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N III
N IV1 (141 (14
s)(1 t)
s)(1 t )
Se puede observar que las 4 funciones paramtricas descritas anteriormente, son tambin las funciones de forma nodales clsicas del elemento finito con dos grados de libertad por nudo.
Las funciones de transformacin entre los dos sistemas de coordenadas, que utilizan las funciones paramtricas, son:
x N I x1y N I y1
N II x 2N II y2
N III x3N III y3
N IV x 4N IV y4
Reemplazando se tiene:
1x (14y 1 (14s)(1
s)(1t)x1
t )y1(1 s)(1
(1 s)(1t)x 2
t )y 2(1 s)(1
(1 s)(1t)x 3
t)y 3(1 s)(1
(1 s)(1t)x 4
t )y 4
g) Campo de Desplazamientos:
En el literal [d] se detallan 4 funciones de forma para describir los campos de desplazamientos horizontales y verticales del elemento finito, basadas en los desplazamientos horizontales y verticales de nudo. En el literal [e], se describen 2 funciones de forma auxiliares para modelar deformaciones flexionantes y distorsiones cuadrticas, asociadas a corrimientos centroidales.
N 1 (11 4N 1 (12 4N 1 (13 4N 1 (14 42s)(1 t ) s)(1 t) s)(1 t) s)(1 t)N 5 1 sN 6 1 t 2
El campo de desplazamientos en el elemento finito es una funcin de los corrimientos nodales y de los corrimientos centroidales. La contribucin de cada corrimiento nodal y de cada corrimiento centroidal est definida por la respectiva funcin de forma.
uN1 u1N 2 u 2N3 u 3N 4 u 4N5 u 5 N 6 u 6
vN1 v1N 2 v2N 3 v3N 4 v 4N5 v5 N 6 v6
h) Relaciones Deformaciones Unitarias - Desplazamientos:
De la Teora de Elasticidad se conoce que:
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uxxvy yxy u vy x
De donde:
N N N N N Nx u1 1x
N1 y v1 y
N u2 2x N 2 v 2 y N u 3 3x N3 v 3 y N3 u 4 4 x N 4 v 4 y N u 5 5 x N 5 v 5 y N 5u6 6 x N 6 v 6 y N 6u1 1yxyv N 11 xu 2 2yv N 22 xu3yv N 33 xu 4 4yv N 44 xu 5yv N5 5 xu 6yv N 6 6 x
Se definen las siguientes matrices de transformacin para las 4 funciones de forma nodales y las 2 funciones de forma centroidales:
Ni x
Bi 0
Ni y
0
N iy N ix
(i 1, 2, 3, 4, 5, 6)
Adems:
d T u1
v1 u 2
v2 u 3
v3 u 4
v4 u 5
v5 u 6 v6De donde: B1
B 2 B 3
B 4 B 5 B 6
d B d
i) Derivadas Parciales de las Funcione s de Forma:
La Matriz Jacobiana de derivadas parciales es:
x y
J s s x yt t
Las derivadas parciales de las funciones de forma son:
30
N is N it N ixJ N iy
(i 1, 2, 3, 4, 5, 6)
Alternativamente se tiene la siguiente expresin:
N ix N iy
N iJ 1 s N it
(i 1, 2, 3, 4, 5, 6)
Las derivadas parciales que aparecen en la Matriz Jacobiana, y que son utilizadas con las 4 funciones de forma nodales, son:x 1 (1 s 4y 1 (1 s 4x 1 (1 t 4y 1 (1 t 4
t)x 1
t) y1
s)x 1
s)y1
(1 t)x 2
(1 t)y 2
(1 s)x 2
(1 s) y 2
(1 t )x 3
(1 t)y 3
(1 s)x 3
(1 s)y 3
(1 t)x 4
(1 t) y 4
(1 s)x 4
(1 s)y 4
Las derivadas parciales de las funciones de forma respecto a (s) son:
N1s N 2 s N 3s N 4 s N 5 s N 6 s
1 (1 t)41 (1 t)41 (1 t)41 (1 t)4
2s
0
Las derivadas parciales de las funciones de forma respecto a (t) son:
N1t N 2 t N 3t
1 (1 s)41 (1 s)41 (1 s)4
31
N 4 t N 5 t N 6 t1 (1 s)4
0
2tA partir de estas expresiones y de la inversa de la Matriz Jacobiana se obtienen las derivadas de las4 funciones de forma nodales respecto a las variables (x, y), quedando establecidas las matrices[Bi].
Para las 2 funciones auxiliares de flexin y distorsin, se calcula la inversa de la Matriz Jacobiana, evaluando solamente las derivadas de las funciones antes detalladas para valores de (s = 0; t = 0).
j) Relaciones Esfuerzos Unitarios - Deformaciones Unitarias:
De la teora de Elasticidad se conoce la siguiente relacin para el caso de esfuerzos planos:
x 1 0 xEy 1 0 y2
1 1xy 0 0 xy2
E
E B d
Para el caso de deformaciones planas se tiene la siguiente relacin:
x
y (1xy1 0 xE1 0 y)(1 2 ) 1 20 0 xy2
k) Matriz de Rigideces del Elemento Finito:
La siguiente expresin relaciona la matriz de rigideces de un elemento finito genrico con sus deformaciones unitarias internas:
d T K d T EV
.dV
Donde:
B dT d T B T
Reemplazando {e} y {e}T se tiene:
d T K d
d T B T E BV
d dV
Simplificando:32
K B T EV
B dV
Efectuando la integracin en coordenadas normalizadas (se utiliza el determinante de la matriz jacobiana), la matriz de rigideces del elemento finito cuadriltero plano queda definida como:
1K1
Donde:
1 B T E1
B Det J dV
dVn : diferencial volumtrico en el elemento finito normalizado dVn = espesor.dAn
K 1 1 B T E1 1
B Det J
espesor
dAn
Para integrar numricamente la expresin se pueden utilizar 4 puntos de integracin (un punto deGauss-Legendre por cada cuadrante), cuyas coordenadas son: (0.57735,0.57735), (-0.57735,0.57735), (-0.57735,-0.57735) y (0.57735,-0.57735), o (3 / 3,3 / 3)...
4K Bi T Eii 1
Bi Det J
espesor Ai
El rea de influencia de cada punto de integracin (Ai) es unitaria, por lo tanto:
4K Bi T Eii 1
Bi Det J
espesor
Dado que la matriz de rigideces obtenida es de 12x12 (8 grados de libertad nodales y 4 centroidales), se requiere realizar una condensacin esttica para que sea funcin exclusiva de los grados de libertad nodales, obtenindose de este modo una matriz de rigideces de 8x8.
Para obtener una mayor precisin en la integracin numrica se podra emplear un mayor nmero de puntos de integracin, con coordenadas y reas de influencia descritas por los coeficientes de Gauss para los polinomios de Legendre.
Las coordenadas de los puntos de Gauss y sus respectivos pesos de integracin (reas de influencia), para diferentes nmeros de puntos de integracin son:
33
Nmero dePuntos deIntegracinCoordenadasrea de Influencia de cada punto (Ai)
4(-0.57735027,-0.57735027)1.0000000000x1.0000000000=1.0000000000
(+0.57735027,-0.57735027)1.0000000000x1.0000000000=1.0000000000
(+0.57735027,+0.57735027)1.0000000000x1.0000000000=1.0000000000
(-0.57735027,+0.57735027)1.0000000000x1.0000000000=1.0000000000
9(-0.77459667,-0.77459667)0.5555555556x0.5555555556=0.3086419753
(-0.77459667,0.00000000)0.5555555556x0.8888888889=0.4938271605
(-0.77459667,+0.77459667)0.5555555556x0.5555555556=0.3086419753
(0.00000000,-0.77459667)0.8888888889x0.5555555556=0.4938271605
(0.00000000,0.00000000)0.8888888889x0.8888888889=0.7901234568
(0.00000000,+0.77459667)0.8888888889x0.5555555556=0.4938271605
(+0.77459667,-0.77459667)0.5555555556x0.5555555556=0.3086419753
(+0.77459667,0.00000000)0.5555555556x0.8888888889=0.4938271605
(+0.77459667,+0.77459667)0.5555555556x0.5555555556=0.3086419753
16(-0.86113631,-0.866113631)0.3478548451x0.3478548451=0.1210029933
(-0.86113631,-0.33998104)0.3478548451x0.6521451549=0.2268518518
(-0.86113631,+0.33998104)0.3478548451x0.6521451549=0.2268518518
(-0.86113631,+0.866113631)0.3478548451x0.3478548451=0.1210029933
(-0.33998104,-0.866113631)0.6521451549x0.3478548451=0.2268518518
(-0.33998104,-0.33998104)0.6521451549x0.6521451549=0.4252933031
(-0.33998104,+0.33998104)0.6521451549x0.6521451549=0.4252933031
(-0.33998104,+0.866113631)0.6521451549x0.3478548451=0.2268518518
(+0.33998104,-0.866113631)0.6521451549x0.3478548451=0.2268518518
(+0.33998104,-0.33998104)0.6521451549x0.6521451549=0.4252933031
(+0.33998104,+0.33998104)0.6521451549x0.6521451549=0.4252933031
(+0.33998104,+0.866113631)0.6521451549x0.3478548451=0.2268518518
(+0.86113631,-0.866113631)0.3478548451x0.3478548451=0.1210029933
(+0.86113631,-0.33998104)0.3478548451x0.6521451549=0.2268518518
(+0.86113631,+0.33998104)0.3478548451x0.6521451549=0.2268518518
(+0.86113631,+0.866113631)0.3478548451x0.3478548451=0.1210029933
l) Modelamiento de las Rotaciones de Nudo en e l Elemento Finito:
Los nudos de la estructura en que confluyen barras y elementos finitos requieren de dos desplazamientos y una rotacin de nudo, consistentes con los corrimientos nodales de las barras. La mejor alternativa para poder formular las tres ecuaciones de equilibrio correspondientes, es la de crear un acople rgido integrado por el extremo de barra, y una o ms caras de los elementos finitos que convergen al nudo. Se deber prestar especial cuidado a la formulacin de la ecuacin de equilibrio de momentos correspondiente, y a la influencia de dicha rotacin sobre el equilibrio de fuerzas en los nudos de los elementos finitos.
m) Los Trminos de Carga de las Ecuaciones de Equilibrio:
Los trminos independientes de las ecuaciones de equilibrio, al igual que en el Anlisis Matricial de Estructuras Aporticadas y en Celosa, son las solicitaciones nodales que actan sobre la estructura, ms las solicitaciones sobre las caras transformadas a solicitaciones nodales equivalentes.
34
Para determinar las solicitaciones nodales equivalentes se puede igualar el trabajo virtual de las solicitaciones sobre las caras, al trabajo virtual de las solicitaciones nodales equivalentes, tomando como deformacin virtual en ambos casos a la elstica de deformacin genrica de la cara del elemento.
6. PROGRAMA DE COMPUTACIN Y EJEMPLOS:
6.1 Programa de Anlisis de Estructuras Aporticadas con Elementos FinitosCuadrilteros Planos:
A continuacin se presenta un programa ilustrativo del uso de elementos finitos en muros de corte de estructuras aporticadas, escrito en lenguaje GWBASIC, cuyos algoritmos pueden ser fcilmente adaptados a cualquier lenguaje cientfico.
10 REM PROGRAMA DE ANALISIS DE ESTRUCTURAS APORTICADAS CON ELEMENTOS FINITOS CUADRANGULARES QM620 REM DESARROLLADO POR MARCELO ROMO30 A1$=" ### ######.### ######.### ## ## ##"40 A2$=" ### ### ### #######.### ######.###########.###"50 A3$=" ### #.######^^^^^ #.######^^^^^ #.######^^^^^"60 A4$=" ### #.######^^^^^ #.######^^^^^ #.######^^^^^"70 A5$=" ### #.###^^^^^ #.###^^^^^ #.###^^^^^ #.###^^^^^#.###^^^^^ #.###^^^^^"80 A6$=" ### ######.### ######.### ######.###"90 A7$=" ### #####.#### #####.####"100 A8$=" ### ### ### ### ### #######.####.### ####.###"110 REM LEE NOMBRE DEL ARCHIVO DE ENTRADA DE DATOS120 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "DEME NOMBRE DEL ARCHIVO DE ENTRADA DEDATOS";130 INPUT ARCHIVO$140 REM ABRE ARCHIVOS DE ENTRADA DE DATOS Y SALIDA DE RESULTADOS150 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "ABRE ARCHIVOS DE ENTRADA DE DATOS YSALIDA DE RESULTADOS"160 OPEN ARCHIVO$ FOR INPUT AS#1 LEN=128170 A$=ARCHIVO$+".RES"180 OPEN A$ FOR OUTPUT AS#2 LEN=128190 REM LEE E IMPRIME TITULO DEL PROBLEMA200 INPUT#1,A$210 INPUT#1,TITULO$220 PRINT#2,TITULO$230 PRINT#2," "240 PRINT#2," DATOS DE LA ESTRUCTURA:"250 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "LEE DATOS DE LA ESTRUCTURA"260 INPUT#1,A$,A$,A$,A$270 REM LEE CARACTERISTICAS BASICAS DE LA ESTRUCTURA Y DIMENSIONALOS ARREGLOS:280 REM LEE NUMERO DE NUDOS, NUMERO DE BARRAS, NUMERO DE ELEMENTOSFINITOS, NUMERO DE ESTADOS DE CARGA290 INPUT#1,NNUDOS,NBARRAS,NFINITOS,NCARGAS300 DIMX(NNUDOS),Y(NNUDOS),ORDEN(NNUDOS,3),P1#(NNUDOS,3),CORRIM#(NNUDOS,3),P#(3*NNUDOS),PUN(3*NNUDOS),CONCATENA(60,10),CONTADOR(60),CONTADOR1(60),ELEMEN(60,10),DESPLX(10),DESPLY(10)310 DIM
35
NUDO1(NBARRAS),NUDO2(NBARRAS),E#(NBARRAS),AREA#(NBARRAS),INERCIA#(N BARRAS),WX(NBARRAS),WY(NBARRAS)320 DIM NUDO1F(NFINITOS),NUDO2F(NFINITOS),NUDO3F(NFINITOS),NUDO4F(NFINITOS),EF#(NFINITOS),POISSON#(NFINITOS),ESPESOR#(NFINITOS)330 DIMKM#(12,12),IT(12),F#(8),REACCION#(8),CORR#(8),F1#(8),ESFUERZOS#(3),JCB#(2,2),JI#(2,2),JIAUX#(2,2),B#(3,12),ELAS#(3,3),PROD#(12,3),S(16),T(16),P(16),RE#(12),EPSILON#(3),NUDO(4)340 PRINT#2,"NUMERO DE NUDOS =";NNUDOS350 PRINT#2,"NUMERO DE BARRAS =";NBARRAS360 PRINT#2,"NUMERO DE ELEMENTOS FINITOS =";NFINITOS370 PRINT#2,"NUMERO DE ESTADOS DE CARGA =";NCARGAS380 PRINT#2," "390 PRINT#2,"CARACTERISTICAS DE NUDO:"
400 PRINT#2,"NUDO COORDENADAS
RESTRICCIONES"
410 PRINT#2,"X YXY
Z"
420 REM LEE COORDENADAS Y RESTRICCIONES DE NUDO430 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "LEE COORDENADAS Y RESTRICCIONES DE NUDO"440 INPUT#1,A$,A$,A$,A$,A$,A$,A$450 FOR I=1 TO NNUDOS460 INPUT#1,J,X(J),Y(J),ORDEN(J,1),ORDEN(J,2),ORDEN(J,3)470 PRINT#2,USING A1$;J,X(J),Y(J),ORDEN(J,1),ORDEN(J,2),ORDEN(J,3)480 NEXT I490 IF NBARRAS=0 GOTO 590500 PRINT#2," "510 PRINT#2," PROPIEDADES DE LAS BARRAS:"520 PRINT#2," BARRA NUDO 1 NUDO 2 E AREAINERCIA"530 REM LEE PROPIEDADES DE LAS BARRAS540 INPUT#1,A$,A$,A$,A$,A$,A$,A$550 FOR I=1 TO NBARRAS560 INPUT#1,J,NUDO1(J),NUDO2(J),E#(J),AREA#(J),INERCIA#(J)570 PRINT#2,USINGA2$;J,NUDO1(J),NUDO2(J),E#(J),AREA#(J),INERCIA#(J)580 NEXT I590 IF NFINITOS=0 GOTO 1150600 PRINT #2," "610 PRINT#2," PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS FINITOS:"620 PRINT#2," ELEMENTO NUDO 1 NUDO 2 NUDO 3 NUDO 4 MODULOMODULO ESPESOR"630 PRINT#2," ELASTICOPOISSON"640 INPUT#1,A$,A$,A$,A$,A$,A$,A$,A$,A$650 REM LEE PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS FINITOS660 FOR I=1 TO NFINITOS670INPUT#1,J,NUDO1F(J),NUDO2F(J),NUDO3F(J),NUDO4F(J),EF#(J),POISSON#(J),ESPESOR#(J)680 PRINT#2,USINGA8$;J,NUDO1F(J),NUDO2F(J),NUDO3F(J),NUDO4F(J),EF#(J),POISSON#(J),ESPESOR#(J)690 NEXT I700 REM DETERMINA NUDOS GEOMETRICOS ASOCIADOS A NUDOS ESTRUCTURALESRIGIDOS710 NCONCATENACIONES=0
36
720 FOR NUDO=1 TO NNUDOS730 IF ORDEN(NUDO,3)0 GOTO 1400740 NCONCATENACIONES=NCONCATENACIONES+1750 CONCATENA(NCONCATENACIONES,1)=NUDO760 CONTADOR(NCONCATENACIONES)=1770 FOR J=1 TO NFINITOS780 IF NUDO1F(J)NUDO AND NUDO2F(J)NUDO AND NUDO3F(J)NUDO ANDNUDO4F(J)NUDO GOTO 1370790 IF NUDO1F(J)=NUDO GOTO 1240800 IF NUDO2F(J)=NUDO GOTO 1100810 IF NUDO3F(J)=NUDO GOTO 960820 TEMP=NUDO3F(J)830 IF CONTADOR(NCONCATENACIONES)=1 GOTO 870840 FOR K=2 TO CONTADOR(NCONCATENACIONES)850 IF TEMP=CONCATENA(NCONCATENACIONES,K) GOTO 890860 NEXT K870 CONTADOR(NCONCATENACIONES)=CONTADOR(NCONCATENACIONES)+1880 CONCATENA(NCONCATENACIONES,CONTADOR(NCONCATENACIONES))=TEMP890 TEMP=NUDO1F(J)900 FOR K=2 TO CONTADOR(NCONCATENACIONES)910 IF TEMP=CONCATENA(NCONCATENACIONES,K) GOTO 1370920 NEXT K930 CONTADOR(NCONCATENACIONES)=CONTADOR(NCONCATENACIONES)+1940 CONCATENA(NCONCATENACIONES,CONTADOR(NCONCATENACIONES))=TEMP950 GOTO 1370960 TEMP=NUDO2F(J)970 IF CONTADOR(NCONCATENACIONES)=1 GOTO 1010980 FOR K=2 TO CONTADOR(NCONCATENACIONES)990 IF TEMP=CONCATENA(NCONCATENACIONES,K) GOTO 10301000 NEXT K1010 CONTADOR(NCONCATENACIONES)=CONTADOR(NCONCATENACIONES)+11020 CONCATENA(NCONCATENACIONES,CONTADOR(NCONCATENACIONES))=TEMP1030 TEMP=NUDO4F(J)1040 FOR K=2 TO CONTADOR(NCONCATENACIONES)1050 IF TEMP=CONCATENA(NCONCATENACIONES,K) GOTO 13701060 NEXT K1070 CONTADOR(NCONCATENACIONES)=CONTADOR(NCONCATENACIONES)+11080 CONCATENA(NCONCATENACIONES,CONTADOR(NCONCATENACIONES))=TEMP1090 GOTO 13701100 TEMP=NUDO1F(J)1110 IF CONTADOR(NCONCATENACIONES)=1 GOTO 11501120 FOR K=2 TO CONTADOR(NCONCATENACIONES)1130 IF TEMP=CONCATENA(NCONCATENACIONES,K) GOTO 11701140 NEXT K1150 CONTADOR(NCONCATENACIONES)=CONTADOR(NCONCATENACIONES)+11160 CONCATENA(NCONCATENACIONES,CONTADOR(NCONCATENACIONES))=TEMP1170 TEMP=NUDO3F(J)1180 FOR K=2 TO CONTADOR(NCONCATENACIONES)1190 IF TEMP=CONCATENA(NCONCATENACIONES,K) GOTO 13701200 NEXT K1210 CONTADOR(NCONCATENACIONES)=CONTADOR(NCONCATENACIONES)+11220 CONCATENA(NCONCATENACIONES,CONTADOR(NCONCATENACIONES))=TEMP1230 GOTO 13701240 TEMP=NUDO4F(J)1250 IF CONTADOR(NCONCATENACIONES)=1 GOTO 12901260 FOR K=2 TO CONTADOR(NCONCATENACIONES)1270 IF TEMP=CONCATENA(NCONCATENACIONES,K) GOTO 13101280 NEXT K
37
1290 CONTADOR(NCONCATENACIONES)=CONTADOR(NCONCATENACIONES)+11300 CONCATENA(NCONCATENACIONES,CONTADOR(NCONCATENACIONES))=TEMP1310 TEMP=NUDO2F(J)1320 FOR K=2 TO CONTADOR(NCONCATENACIONES)1330 IF TEMP=CONCATENA(NCONCATENACIONES,K) GOTO 13701340 NEXT K1350 CONTADOR(NCONCATENACIONES)=CONTADOR(NCONCATENACIONES)+11360 CONCATENA(NCONCATENACIONES,CONTADOR(NCONCATENACIONES))=TEMP1370 NEXT J1380 IF CONTADOR(NCONCATENACIONES)>1 GOTO 14001390 NCONCATENACIONES=NCONCATENACIONES-11400 NEXT NUDO1410 REM DETERMINA ELEMENTOS FINITOS ASOCIADOS A NUDOSESTRUCTURALES RIGIDOS1420 FOR I=1 TO NCONCATENACIONES1430 CONTADOR1(I)=01440 FOR J=1 TO CONTADOR(I)1450 FOR K=1 TO NFINITOS1460 IF NUDO1F(K)CONCATENA(I,J) AND NUDO2F(K)CONCATENA(I,J) ANDNUDO3F(K)CONCATENA(I,J) AND NUDO4F(K)CONCATENA(I,J) GOTO 15301470IF CONTADOR1(I)=0 GOTO 1510
1480FOR L=1 TO CONTADOR1(I)
1490IF K=ELEMEN(I,L) GOTO 1530
1500NEXT L
1510CONTADOR1(I)=CONTADOR1(I)+1
1520ELEMEN(I,CONTADOR1(I))=K
1530NEXT K
1540NEXT J
1550NEXT I
1560REM CALCULA EL NUMERO DE GRADOSDE LIBERTAD Y ORDENALAS
ECUACIONES1570 NGRADOS=01580 FOR I=1 TO NNUDOS1590 FOR J=1 TO 31600 IF ORDEN(I,J)=0 GOTO 16301610 ORDEN(I,J)=01620 GOTO 17201630 FOR K=1 TO NCONCATENACIONES1640 FOR L=2 TO CONTADOR(K)1650 IF CONCATENA(K,L)=I GOTO 17101660 NEXT L1670 NEXT K1680 NGRADOS=NGRADOS+11690 ORDEN(I,J)=NGRADOS1700 GOTO 17201710 ORDEN(I,J)=01720 NEXT J1730 NEXT I1740 FOR I=1 TO NCONCATENACIONES1750 FOR J=2 TO CONTADOR(I)1760 ORDEN(CONCATENA(I,J),1)=ORDEN(CONCATENA(I,1),1)1770 ORDEN(CONCATENA(I,J),2)=ORDEN(CONCATENA(I,1),2)1780 ORDEN(CONCATENA(I,J),3)=ORDEN(CONCATENA(I,1),3)1790 NEXT J1800 NEXT I1810 PRINT#2,"NUMERO DE GRADOS DE LIBERTAD =";NGRADOS1820 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "NUMERO DE GRADOS DE LIBERTAD =";NGRADOS1830 REM CALCULA EL NUMERO DE ELEMENTOS POR COLUMNA MATRICIAL Y
38
DETERMINA PUNTEROS DEL VECTOR SKYLINE1840 FOR I=1 TO NGRADOS1850 PUN(I)=11860 NEXT I1870 REM DETERMINA VECTOR DE PUNTEROS EN FUNCION DE LAS BARRAS1880 FOR I=1 TO NBARRAS1890 FOR J=1 TO 31900 IT(J)=ORDEN(NUDO1(I),J)1910 IT(J+3)=ORDEN(NUDO2(I),J)1920 NEXT J1930 REM ORDENA DE MENOR A MAYOR LOS GRADOS DE LIBERTAD DE LA BARRA1940 FOR J=2 TO 61950 FOR K=1 TO J-11960 IF IT(J)>IT(K) GOTO 20001970 TEMP=IT(J)1980 IT(J)=IT(K)1990 IT(K)=TEMP2000 NEXT K2010 NEXT J2020 REM CALCULA LONGITUDES DE COLUMNAS MATRICIALES DE LAS BARRAS2030 FOR J=2 TO 62040 IF IT(J)=0 GOTO 21002050 FOR K=1 TO J-12060 IF IT(K)=0 GOTO 20902070 IF IT(J)-IT(K)+1IT(K) GOTO 22702240 TEMP=IT(J)2250 IT(J)=IT(K)2260 IT(K)=TEMP2270 NEXT K2280 NEXT J2290 REM CALCULA LONGITUDES DE COLUMNAS MATRICIALES DEL ELEMENTOFINITO2300 FOR J=2 TO 122310 IF IT(J)=0 GOTO 23702320 FOR K=1 TO J-12330 IF IT(K)=0 GOTO 23602340 IF IT(J)-IT(K)+1IT(K) OR IT(J)=0 OR IT(K)=0 GOTO 26902630 TEMP=PUN(IT(K))+IT(J)-IT(K)2640 GET #3,TEMP2650 C1#=CVD(C$)2660 C1#=C1#+KM#(J,K)2670 LSET C$=MKD$(C1#)2680 PUT #3,TEMP2690 NEXT K2700 NEXT J2710 NEXT BARRA2720 IF NFINITOS=0 GOTO 38002730 FOR ELEMENTO=1 TO NFINITOS2740 LOCATE 11,1:PRINT "ELEMENTO FINITO ";ELEMENTO;" DE ";NFINITOS2750 REM CALCULA MATRIZ DE RIGIDECES DE 12X12 DEL ELEMENTO FINITO2760 GOSUB 86302770 REM CONDENSA LA MATRIZ DE RIGIDECES DEL ELEMENTO FINITO DE12X12 A 8X82780 GOSUB 97702790 REM COLOCA LA MATRIZ DE RIGIDECES DEL ELEMENTO FINITO EN LAMATRIZ DE RIGIDECES DE LA ESTRUCTURA2800 FOR J=1 TO 82810 FOR K=1 TO 82820 IF IT(J)>IT(K) OR IT(J)=0 OR IT(K)=0 GOTO 28902830 TEMP=PUN(IT(K))+IT(J)-IT(K)2840 GET #3,TEMP2850 C1#=CVD(C$)2860 C1#=C1#+KM#(J,K)2870 LSET C$=MKD$(C1#)2880 PUT #3,TEMP2890 NEXT K
40
2900 NEXT J2910 NEXT ELEMENTO2920 REM COLOCA EL VECTOR DE ROTACION DE NUDO EN EL VECTOR SKYLINE2930 IF NCONCATENACIONES=0 GOTO 38002940 FOR I1=1 TO NCONCATENACIONES2950 LOCATE 11,1:PRINT "CONCATENACION ";I1;" DE";NCONCATENACIONES;" "2960 REM CALCULA DESPLAZAMIENTOS DE NUDO PROVOCADOS POR LA ROTACION2970 FOR J=1 TO CONTADOR(I1)2980 DESPLX(J)=-(Y(CONCATENA(I1,J))-Y(CONCATENA(I1,1)))2990 DESPLY(J)=X(CONCATENA(I1,J))-X(CONCATENA(I1,1))3000 NEXT J3010 REM ANALIZA LOS ELEMENTOS FINITOS AFECTADOS POR LA ROTACION3020 FOR ELEMENTO=1 TO NFINITOS3030 LOCATE 12,1:PRINT "ELEMENTO FINITO ";ELEMENTO;" DE ";NFINITOS3040 NCON=03050 REM DEFINE EL VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS DEL ELEMENTO FINITOPOR ROTACION DEL NUDO RIGIDO3060 FOR K=1 TO 83070 CORR#(K)=03080 NEXT K3090 FOR J=1 TO CONTADOR(I1)3100 IF NUDO1F(ELEMENTO)CONCATENA(I1,J) GOTO 31403110 CORR#(1)=DESPLX(J)3120 CORR#(2)=DESPLY(J)3130 NCON=NCON+13140 IF NUDO2F(ELEMENTO)CONCATENA(I1,J) GOTO 31803150 CORR#(3)=DESPLX(J)3160 CORR#(4)=DESPLY(J)3170 NCON=NCON+13180 IF NUDO3F(ELEMENTO)CONCATENA(I1,J) GOTO 32203190 CORR#(5)=DESPLX(J)3200 CORR#(6)=DESPLY(J)3210 NCON=NCON+13220 IF NUDO4F(ELEMENTO)CONCATENA(I1,J) GOTO 32603230 CORR#(7)=DESPLX(J)3240 CORR#(8)=DESPLY(J)3250 NCON=NCON+13260 NEXT J3270 IF NCON=0 GOTO 37803280 REM CALCULA MATRIZ DE RIGIDECES DE 12X12 DEL ELEMENTO FINITO3290 GOSUB 86303300 REM CONDENSA LA MATRIZ DE RIGIDECES DEL ELEMENTO FINITO DE12X12 A 8X83310 GOSUB 97703320 REM REALIZA EL PRODUCTO DE LA MATRIZ DE RIGIDECES DEL ELEMENTOPOR EL VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS3330 FOR J=1 TO 83340 PROD#(J,1)=03350 FOR K=1 TO 83360 PROD#(J,1)=PROD#(J,1)+KM#(J,K)*CORR#(K)3370 NEXT K3380 NEXT J3390 REM COLOCA LAS SOLICITACIONES DE NUDO PROVOCADAS POR LAROTACION3400 FOR J=1 TO 83410 IF IT(J)=0 GOTO 35603420 IF IT(J)>ORDEN(CONCATENA(I1,1),3) GOTO 3500
41
3430 TEMP=PUN(ORDEN(CONCATENA(I1,1),3))+IT(J)- ORDEN(CONCATENA(I1,1),3)3440 GET #3,TEMP3450 C1#=CVD(C$)3460 C1#=C1#+PROD#(J,1)3470 LSET C$=MKD$(C1#)3480 PUT #3,TEMP3490 GOTO 35603500 TEMP=PUN(IT(J))+ORDEN(CONCATENA(I1,1),3)-IT(J)3510 GET #3,TEMP3520 C1#=CVD(C$)3530 C1#=C1#+PROD#(J,1)3540 LSET C$=MKD$(C1#)3550 PUT #3,TEMP3560 NEXT J3570 SUMA#=03580 FOR K=1 TO CONTADOR(I1)3590 IF NUDO1F(ELEMENTO)CONCATENA(I1,K) GOTO 36203600 SUMA#=SUMA#+PROD#(1,1)*(-Y(CONCATENA(I1,K))+Y(CONCATENA(I1,1)))3610 SUMA#=SUMA#+PROD#(2,1)*(X(CONCATENA(I1,K))-X(CONCATENA(I1,1)))3620 IF NUDO2F(ELEMENTO)CONCATENA(I1,K) GOTO 36503630 SUMA#=SUMA#+PROD#(3,1)*(-Y(CONCATENA(I1,K))+Y(CONCATENA(I1,1)))3640 SUMA#=SUMA#+PROD#(4,1)*(X(CONCATENA(I1,K))-X(CONCATENA(I1,1)))3650 IF NUDO3F(ELEMENTO)CONCATENA(I1,K) GOTO 36803660 SUMA#=SUMA#+PROD#(5,1)*(-Y(CONCATENA(I1,K))+Y(CONCATENA(I1,1)))3670 SUMA#=SUMA#+PROD#(6,1)*(X(CONCATENA(I1,K))-X(CONCATENA(I1,1)))3680 IF NUDO4F(ELEMENTO)CONCATENA(I1,K) GOTO 37103690 SUMA#=SUMA#+PROD#(7,1)*(-Y(CONCATENA(I1,K))+Y(CONCATENA(I1,1)))3700 SUMA#=SUMA#+PROD#(8,1)*(X(CONCATENA(I1,K))-X(CONCATENA(I1,1)))3710 NEXT K3720 TEMP=PUN(ORDEN(CONCATENA(I1,1),3))3730 GET #3,TEMP3740 C1#=CVD(C$)3750 C1#=C1#+SUMA#3760 LSET C$=MKD$(C1#)3770 PUT #3,TEMP3780 NEXT ELEMENTO3790 NEXT I13800 REM OPERA LA MATRIZ DE COEFICIENTES CON LA TECNICA DEL SKYLINE3810 CLS:LOCATE 10,1:PRINT "OPERA LA MATRIZ DE COEFICIENTES"3820 EPSILON#=1E-103830 GET #3,13840 C1#=CVD(C$)3850 IF ABS(C1#)