212753769 el metodo de los elementos finitos aplicado al analisis estructural misoluciondudas

,EL METODO DE LOS ELEMENTOS,

FINITOS APLICADO ALANALISISESTRUCTURAL

,

MANUEL VAZQUEZDoctor Ingeniero Aeronutico

Universidad Politcnica de Madrid

, ,

ELOISA LOPEZDoctora en Ciencias Fsicas

Universidad Complutense de Madrid

Editorial Noela - MADRID

,Indice

Prlogo XI

Captulo 1. Conceptos bsicos 11.1. Introduccin 1

1. CONCEPTOS DE ELASTICIDAD 11.2. Ecuaciones de equilibrio 11.3. Relaciones esfuerzos-deformaciones 21.4. Relaciones deformaciones-desplazamientos 41.5. Problema elstico 5

n. CONCEPTOS ENERGETICOS 71.6. Teorema de los trabajos virtuales 71.7. Principio de la energa potencial total 8

III. CONCEPTOS MATEMATICOS 101.8. Coordenadas naturales 101.9. Jacobiano 171.10. Integracin numrica 20

Captulo 2. Fundamentos del MEF 312.1. Introduccin 31

,

1. DESCRIPCION DEL MEF 312.2. Fases del mtodo 312.3. Divisin en elementos finitos 322.4. Vector de desplazamientos del elemento 352.5. Matriz de rigidez del elemento 382.6. Matriz completa de rigidez de la estructura 422.7. Respuesta de la estructura 46

n. ANALISIS DEL MEF 482.8. Condiciones de las funciones de desplazamientos 482.9. Criterios de convergencia 512.10. Equilibrio de la estructura 562.11. Estabilidad de los elementos 57

, ,

III. FORMULACION DEBIL 582.12. Mtodo de Rayleigh-Ritz 582.13. Mtodos de los residuos ponderados 60

VII

VIII

Captulo 3.3.1.3.2.

1.

11.

III.

Captulo 4.

4.1.4.2.4.3.4.4.4.5.4.6.4.7.4.8.4.9.

Captulo 5.5.1.5.2.

1.

11.

III.

INDICE

Barras y estructuras articuladasIntroduccinEcuacin diferencial de gobierno

PLANTEAMIENTO y DESARROLLO DEL MEF3.3. Matriz completa de rigidez3.4. Vector de fuerzas nodales equivalente3.5. Respuesta de la barra3.6. Estructuras articuladas

ELEMENTOS DE GRADO SUPERIOR3.7. Elemento cuadrtico3.8. Elementos cbico y de grado n - 1

FORMULACIN DBIL3.9. Mtodo de Rayleigh-Ritz3.1 O. Mtodos de los residuos ponderados

Vigas y estructuras reticuladasIntroduccinEcuacin diferencial de gobiernoFuncin de desplazamientosMatriz completa de rigidezVector de fuerzas nodales equivalenteVigas de un solo tramoVigas continuasEstructuras reticu1adasMtodo de Rayleigh-Ritz

Estructuras bidimensionalesIntroduccinElasticidad bidimensional

ELEMENTO TRIANGULAR DE TRES NODOS5.3. Funciones de desplazamientos5.4. Matriz de rigidez del elemento5.5. Vector de fuerzas nodales equivalente5.6. Matriz completa de rigidez de la estructura5.7. Respuesta de la estructura

ELEMENTO RECTANGULAR DE CUATRO NODOS5.8. Funciones de desplazamientos5.9. Matriz de rigidez del elemento5.10. Vector de fuerzas nodales equivalente5.11. Matriz completa de rigidez de la estructura5.12. Respuesta de la estructura

ELEMENTOS DE GRADO SUPERIOR5.13. Elementos lagrangianos5.14. Elementos serendpitos

636363

6565747792

9797

102

108108114

127127127129134137143156162176

181181182

186186191195199205

214214218219221226

233233241

Captulo 6.6.l.

1.

n.

Captulo 7.7.l.7.2.7.3.7.4.7.5.7.6.7.7.7.8.

Captulo 8.8.1.8.2.8.3.8.4.

Captulo 9.9.1.9.2.9.3.9.4.9.5.9.6.

Captulo 10.10.1.10.2.10.3.lOA.10.5.10.6.10.7.10.8.

,

INDICE

Estructuras tridimensionalesIntroduccin

,

ELEMENTO TETRAEDRlCO DE CUATRO NODOS6.2. Funciones de desplazamientos6.3. Matriz de rigidez del elemento604. Vector de fuerzas nodales equivalenteELEMENTO HEXADRlCO DE OCHO NODOS6.5. Funciones de desplazamientos6.6. Matriz de rigidez del elemento6.7. Vector de fuerzas nodales equivalente

Placas delgadasIntroduccinEcuacin diferencial de gobiernoMatriz de rigidez del elementoRespuesta de la placaElemento rectangular de 12 g.d.!.Otros elementos rectangularesElemento triangular de 10 g.d.!.Otros elementos triangulares

.

Estructuras axisimtricasIntroduccinElasticidad axisimtricaElemento triangular de tres nodosElemento rectangular de cuatro nodos

Formulacin isoparamtricaIntroduccinElementos de barraElemento cuadrilateral de cuatro nodosElementos cuadrilaterales curvosElementos triangularesElemento hexadrico de ocho nodos

Clculo dinmicoIntroduccinEcuacin matricial de equilibrio dinmicoMatrices de masa, amortiguamiento y rigidezModos y frecuencias naturalesMtodo de Jacobi generalizadoMtodos de iteracinMtodo de superposicin de modos naturalesMtodo de las diferencias finitas

IX

245245

245245250255

259259261265

269269269274277279300302312

315315315318335

343343344353372374379

383383383386394402404405411

xApndices

A.

B.

c.

D.E.

,

INDIcE

Algebra matricialAl. IntroduccinA.2. DefinicionesA3. Matrices especialesAA. Suma, resta y multiplicacin por un escalarA.5. Multiplicacin de matricesA6. Determinante de una matrizA.7. Rango de una matrizA8. Matriz inversaA9. Particin de matricesA10. Matriz de rotacin

Mtodo de las diferencias finitasB.1. IntroduccinB.2. Diferencias finitasB.3. Derivadas de una funcin F (x)BA. Derivadas parciales de una funcin F (x, y)B.5. Coordenadas triangulares

Mtodo de los desplazamientosC.1. IntroduccinC.2. Relaciones entre solicitaciones y desplazamientosC.3. Descripcin del mtodoCA. Matriz de rigidez de una barraC.5. Matriz completa de rigidez de la estructuraC.6. Respuesta de la estructura

Bibliografa,

Indice de materias

413

415415415416418419422424425427428

431431431432440447

451451451453466474482

493495

Prlogo

El mtodo de los elementos finitos (MEF) es una de herramienta muy til en laresolucin de un gran nmero de problemas de ingeniera, tales como los deriva-dos del anlisis de la deformacin de los cuerpos, la transmisin del calor, las redeselctricas y los movimientos de los fluidos. En este libro nos limitaremos al pri-mero de los problemas y, en consecuencia, aplicaremos el mtodo de los elemen-tos finitos al clculo de estructuras.

El libro El mtodo de los elementos finitos aplicado al anlisis estructuralforma parte de una coleccin orientada al estudio de las estructuras que se inicicon Mecnica para Ingenieros -Esttica- en el ao 1971 (5 ediciones), continuen 1986 con Resistencia de Materiales (4 ediciones), Clculo matricial de estruc-turas (2 ediciones) en 1992 y, finalmente en 1993, Mecnica para Ingenieros-Esttica y Dinmica- (2 ediciones). Todos estos libros, al igual que el que hoy sepresenta, tienen un enfoque comn, que combina las exposiciones tericas conejemplos de alto grado de detalle. La relevancia otorgada a los ejemplos facilita,desde nuestro punto de vista, la comprensin de las exposiciones, aminorando asla aridez propia de la materia.

Los conceptos mnimos de Elsticidad, teoremas energticos y clculo numricoson resumidos en el primer captulo de Conceptos bsicos. A continuacin, en elsegundo captulo se expone la descripcin y el anlisis del mtodo de los elementosfinitos que se aplicar a lo largo del resto del libro.

En los captulos 3 al 8 se aplica el mtodo de los elementos finitos a lossiguientes tipos de estructuras: Barras y estructuras articuladas, Vigas y es-tructuras reticuladas, Estructuras bidimensionales, Estructuras tridimensiona-les, Placas delgadas y Estructuras axisimtricas. En todos estos captulosse comienza con las ecuaciones diferenciales de la Resistencia de Materiales o dela Teora de la Elasticidad que gobiernan el funcionamiento de cada uno de lostipos de estructuras. A continuacin se prosigue aplicando a cada una de esasestructuras las distintas fases del mtodo: Divisin en elementos finitos, Vectorde desplazamientos del elemento, Matriz de rigidez del elemento, Matriz com-pleta de rigidez de la estructura y Respuesta de la estructura. En algunos ejem-plos se comprueba la aproximacin que se consigue en la respuesta de la estruc-tura obtenida por el MEF, respecto de la que se considera exacta conforme ala Resistencia de Materiales o la Teora de la Elasticidad. Se comprueba adems,en esos ejemplos, que esa aproximacin es tanto mayor cuanto mayor es el nme-ro de elementos finitos en que se divide la estructura. En los captulos 3 y 4 seaplica la formulacin dbil del MEF, que utiliza principios energticos, a barras

y vigas.

XI

XII PRLOGO

En el captulo 9 se analiza la Formulacin isoparamtrica por su importanciapara la utilizacin de elementos curvilneos que se adaptan mejor a los contornos de

la estructura.El captulo 10, ltimo del libro, se refiere al Clculo dinmico, debido a la impor-

tante aplicacin que el MEF tiene en la resolucin de los problemas que presentanlas cargas dinmicas en las estructuras. Se incluyen en este captulo los mtodos deJacobi generalizado, de iteracin, de superposicin de modos naturales y de diferen-cias finitas.

Los diez captulos del libro se complementan con tres apndices. El apndice A,

es un pequeo resumen del AIgebra matricial cuyos conceptos resultan imprescindi-bles para el lector de este libro. El apndice B, Mtodo de las diferencias finitas,expone el mtodo incluyendo ejemplos muy conceptuales. El apndice e, Mtodo delos desplazamientos, a travs de su desarrollo matricial, constituye un caso particu-lar del MEF y supone una introduccin al mismo.

Se conserva la primera persona del plural en la presentacin de este libro a suslectores, pese a que la muerte del autor Manuel Vzquez precede a su publicaci,n.Se hace as porque en el ofrecimiento de la obra a sus lectores, en la confianza y 'eldeseo de que les sea provechosa y ample sus conocimientos, se prolonga la cerradacompaa que presidi su escritura.

Los autores agradecen la acogida que han tenido los anteriores libros de la colec-cin y esperan que tambin la tenga El mtodo de los elementos finitos aplicado alanlisis estructural, que nace con el nuevo milenio.

Madrid, marzo de 2001

MANUEL V ZQUEZELOSA LPEZ

1.,

CONCEPTOS BASICOS

,

1.1. INTRODUCCIONLa Teora de la Elasticidad determina el comportamiento de una estructuraante las cargas mediante la resolucin de sistemas de ecuaciones diferenciales,llamados ecuaciones de campo o de gobierno, complementados por las condicionesde contorno o de sustentacin.

Los mtodos tradicionales de clculo de estructuras utilizan la Resistenciade Materiales que aade hiptesis simplificatorias a la Teora de la Elasticidadpara resolver las ecuaciones de gobierno, obtenindose unas soluciones que seconsideran exactas.

Sin embargo, estos mtodos tradicionales de clculo normalmente solo se pue-den aplicar a estructuras articuladas y reticuladas. En estructuras mas comple-jas como las estructuras continuas es necesario aplicar mtodos aproximadoscomo el Mtodo de los elementos finitos. Despus de dividir la estructura enpartes, llamadas elementos finitos, interconectadas entre s, el mtodo de loselementos finitos reduce el problema elstico a la resolucin de un sistema deecuaciones algebraicas. Este mtodo se basa en una serie de conceptos que seagrupan en los apartados siguientes'

1. Conceptos de Elasticidad.lI. Conceptos energticos.lII. Conceptos matemticos.

I. CONCEPTOS DE ELASTICIDAD,

, ,

1.2. ECUACIONES DE EQUILIBRIO

Sea un cuerpo sometido a un sistema de fuer-zas aplicadas cualesquiera (Fig. 1.1a) y sea Oel punto del cuerpo cuyos estados de esfuer-zos y de deformaciones estamos considerando.Eligiendo el punto O como origen del triedrode ejes coordenados x, y, z, el estado de esfuer-zos en el punto O esta definido por el vectorde esfuerzos

z

y

P3

(1.1) Fig. 1.1(a).

1

2 CONCEPTOS BSICOS

z

'Xl'O"y

'yx'nO

'tyz Y'z1 '>2'>3 '>4 (3+k+l+m+n)! (1.53)

16 CONCEPTOS BSICOS

Las coordenadas de volumen 6,6, 6, ~4, no son independientes ya que hallde satisfacer la relacin (1.49), 6 + 6 + 6 + ~4 = 1. Por esta razn, puederexpresarse en funcin de nicamente tres coordenadas ~,1], (, definidas por

(1.5{

Al utilizar el sistema de coordenadas naturales ~,1], ( un tetraedro cualquiera de caras 6 = 0, 6 = 0, 6 = 0, ~4 = 0, (Fig. 1.12a) se transforma en untetraedro rectngular con el vrtice 1 situado en el origen del sistema de ejet-

~,1], ( y sus caras definidas por los planos 1 - ~ - 1] - ( = 0, ~ = 0, 1] = 0, ( = ((Fig. 1.12b).

z 4

;2=O;1=0 4 ;=0

I;3=0 3 I 1-;-r-s=0I

-- I--

--

1 I 1 3r=0 .-----;4=0 2 / r

/Y / ~=O

(a) (b)

Fig. 1.12.

Ejemplo 1.1. Utilizando la integral de Euler, calcular la integral1= i 6de~dA,

extendida a la superficie triangular representada3 (Fig. 1.13).

30 cmSolucin: Teniendo en cuenta (1.46), la integralde Euler es

1I

I

~---------I270 cm

k 1llm l1 = 2A ... .(2+k+l+m)!

Fig. 1.13 Sustituyendo 2A = 70 . 30 = 2100 cm2

, k = 1,1= 3, m = 2, se obtiene

1!3!2! . 21 = 2100 (2 + 1 + 3 + 2)! = 0,625 cm .

JACOBIANO 17

1.9. JACOBIANO

Las derivadas respecto a un sistema de ejes cartesianos x, y estn relacionadascon las derivadas respecto a otro sistema de ejes ~,r (Fig. 1.14). En efecto,segn la regla de la derivacin en cadena

a a ax a ay ya~ = ax a~ + ay a~ , ~a a ax a ay

-=- = + -=- -:-=-ar ax ar ay ar .Estas relaciones se expresan en forma ma-

tricialx

Fig. 1.14

a ax ay aa~ a~ a~ ax (1.55)a ax ay a ,

ar ar ar ay

es decir

a aa~ ax

= [J] (1.56)a a

,

ar ay"iendo [J] el Jacobiano de transformacin del sistema de coordenadas x, y al5istema de coordenadas ~,r, definido segn (1.55) y (1.56) por

axa~[J] =ox0'17

De la ecuacin (1.56) se deduce

ayo~ay0'17

(1.57)

a aox

= [J]-l o~ (1.58) a a

,

ay 0'17

18 CONCEPTOS BSICOS

siendo la inversa del Jacobiano, segn (A.31)8y 8ydr d~8x 8xdr d~det [J] , (1.59)

donde det[J] representa el determinante del Jacobiano, de valor

d [J] = 8x 8y _ 8x 8yet 8~ 8r 8r 8~ . (1.60)

Siendo i,j los vectores unitarios en el sistema de coordenadas x, y y ue Urlos vectores unitarios en el sistema de coordenadas ~, r, (Fig. 1. 15), se verificay

r

J

I x

. 8x 8xdx 1= 8 ~ ue + 8 dr ur,

.~ r. 8y 8y

dy J = 8~ ~ ue + 8r dr ur-

Fig. 1.15

Multiplicando vectorialmente ambas expresiones

(dxi) x (dyj) =

se deduce

8x 8x8~ d~ ue + 8r dr ur x

dxdyk =8x 8y

8~ 8r8x 8y8r 8~ d~ dr k

(1.61)y, por tanto

d d 8x 8y _ 8x 8y de dr.x y = 8~ 8r 8r 8~

[Jr1 = ~; ,oxdet [J] = = Joe

y el diferencial de longitud dL a

dL = dx = det[J] de = J dE;, .

JACOBIANO 19

(1.64)

(1.65)

(1.66)

En el caso tridimensional, las expresiones (1.57) y (1.63) se amplan aox ay ozoe or;, or;,

[J] = ox ay oz (1.67)or or orox ay ozo( o( o(

y el diferencial de volumen dV resulta

dV = dx dy dz = det [J] ~ dr d( .

Ejemplo 1.2. Determinar el Jacobiano de la transformacin de coordenadas

y el valor correspondiente al punto ~ = -0,5, r = 0,5.

Solucin: Segn (1.57) el Jacobiano en el caso bidimensional es

(1.68)

Sustituyendo

axa~ = 3 + r ,

se obtiene el Jacobiano

axa~[J] = axar

aya~ = 1 + r ,

ay-a~ay .ar

ayar=3+~,

3+r 1+r[J] = 1 + ~ 3 + ~ ,

siendo su valor correspondiente al punto ~ = -0,5, r = 0,5,

35[J] = '0,5

1,52,5

20 CONCEPTOS BSICOS

, ,

1.10. INTEGRACION NUMERICA

El clculo numrico de una integral se conoce por cuadratura, siendo la cuadra-tura de Gauss la mas utilizada para determinar las integrales en el mtodo delos elementos finitos. Aplicaremos dicha cuadratura primeramente a integralesde una dimensin y despus a integrales de dos y tres dimensiones.

A. Integracin unidimensional

Mediante un cambio de la coordenada cartesiana x por la coordenada natu-ral ~, la integral definida de una funcin f(x) entre los limites Xl y X2 puedetransformarse en la integral definida de una funcin r/J(~) entre los lmites -1 y1. Es decir, un cambio de la variable x a una variable ~ permite establecer laigualdad

11= f(x) dx =

-1r/J(~) d~ . (1.69)

La manera ms simple de obtener numricamente de forma aproximada estaintegral es multiplicar la longitud del intervalo por el valor r/J(6) en el pun-to medio de dicho intervalo (6 = O), es decir, 1 = 2 . r/Jl = W l . r/Jl, siendoW l = 2 para esta aproximacin (Fig. 1.16a). Este resultado coincide con elexacto nicamente cuando r/J(~) representa una lnea recta.

1 t.?2

1 ".

ifJl ifJz

ifJ

ifJ(~) 2 3d

ifJI ifJz ifJ3

-1

Fig. 1.16

(a)

+1-1 ~I o

(b) (e)

Generalizando a n puntos la anterior frmula de integracin numrica o cua-dratura, se obtiene

1=1

-1(1. 70)

siendo r/J(~i) el valor de la funcin r/J(O en un punto seleccionado ~i y W i uncoeficiente o factor de peso correspondiente a ese punto.

Los valores de ~i y W i en funcin de n aparecen reflejados en la Tabla 1.1 yrepresentados en las figuras 1.16b y c los correspondientes a n = 2 Y n = 3.

INTEGRACIN NUMRICA 21

n ei Wi1 0,00000 00000 2,00000 000002 O, 5773502692 = 1/yl3 1, 00000 000003 0,77459 66692 = ylo, 6 0,5555555556 - 5/9

0,00000 00000 0,8888888889 = 8/94 0,86113 63116 0,34785 48451

0,33998 10436 0,65214 515495 O, 90617 98459 0,23692 68851

0,53846 93101 0,47862 867050,00000 00000 0,56888 88889

6 0,93246 95142 O, 17132 44924O, 66120 93865 0,36076 157300,23861 91861 0,46791 39346

Tabla 1.1.

Cualquiera que sea el nmero n de puntos que intervienen en la cuadratura,:a eleccin de los puntos ~i y de los pesos Wi fue realizada por Gauss de formatal que la integracin numrica resulte lo mas exacta posible.

Se demuestra que las posiciones de los n puntos coinciden con las races de~os polinomios de Legendre, por lo que que a esta integracin numrica se ledenomina de Gauss-Legendre.

Una regla importante de la integracin numrica es que la cuadratura deGauss de n puntos da una solucin exacta cuando la funcin r/J(~) es un polino-mio de grado igualo menor a 2n -1. Si la funcin r/J(~) no es un polinomio, o esun cociente de polinomios, la cuadratura de Gauss no da una solucin exacta,aumentando su precisin al aumentar el nmero de puntos que se seleccionen.

B. Integracin bidimensional

La integracin numrica de la funcin bidimensional r/J(~, r)1 1

1 = r/J( ~, r) d~ dr-1 -1

se realiza aplicando sucesivamente las reglas de la integracin numrica uni-dimensional. As, para integrar numricamente la funcin r/J(~, r) se integranumricamente primero respecto a ~ manteniendo r constante y despus seintegra numricamente respecto a r. Es decir

1 11 2=n

1=-1 -1

r/J( ~, r) d~ dr =i=J

dr =

J=m

=j=l

WJ~=n

Wir/J(~i,;)j) ,i=l

22 CONCEPTOS BSICOS

O seaI I

.

J

I=-1

eP((, T)) d( dT) = L L Wi Wj eP((i' T)j)-1

(1.71)

y se obtiene evaluando la funcin eP((,T)) en puntos especficos de Gauss, mul-tiplicndolos por los factores de peso correspondientes a esos puntos y sumn-dolos. No es necesario utilizar el mismo nmero de puntos en cada direccin (o T), pero es lo mas frecuente. Las posiciones de los puntos (i' T)j Ylos pesos Wi ,W j sern los correspondientes a la integracin unidimensional (Tabla 1.1).

Integracin en una superficie rectangular

I rII

1 11 ~=+I lf3(1,1)

2 4 1i - - - cr- - - - - r= +1f31 1I C I ~~----l----- r=--l1 3 lf3

(-1,-1)'--------'(1,-1)(a)

Fig. 1.17.

1 r 1 ~= +1/0,6~= -1/0,61 l '(-1,1) I I (1,1)

p-- 6--9---;=+1/O,6~2 5 81I >-------iilT..-+--~~I I I1 I 4 7 1~ - - -0- - -e- - --

(-1,-1) (1,-1) r= -1/0,6(b)

Supongamos que para hallar la integral numrica (1.71) de la funcin eP((, T))en una superficie rectangular se eligen cuatro puntos de Gauss (Fig. 1.17a). Deacuerdo con la Tabla 1.1, los dos factores de peso W i son iguales a 1 y lo mismosucede con los dos factores de peso W j . En este caso la integracin numricase reduce a

I = 1 . 1 . ePI + 1 . 1 . eP2 + 1 . 1 . eP3 + 1 . 1 . eP4 ,

es decirI = ePI + eP2 + eP3 + eP4,

siendo ePi el valor de la funcin eP((, T)) en el punto i de Gauss.Si en la superficie rectangular anterior se eligen nueve puntos de Gauss

(Fig. 1.17b), segn la Tabla 1.1, los pesos correspondientes Wi , Wj son 5/9y 8/9. En este caso la integracin numrica (1.71) resultante es

es decir


al aplicar la cuadratura de Gauss, resulta

Integracin en una superficie triangularPara hallar la integral numrica de una funcin

rjJ(~, 1]) en una superficie triangular (Fig. 1.18)

o o

2

(1,0)

Fig. 1.18.

.--- 1-';-1] =0

1(0,0)

1]

(0,1) 3

,

1-1)

24 CONCEPTOS BAsICOS

Si se eligen los cuatro puntos de Gauss representados en la Tabla 1.2., deacuerdo con los valores de dicha tabla, sus coordenadas son 6 = T/l = 1/3,6 = T/2 = 0,2, 6 = 0,6, T/3 = 0, 2, ~4 = 0,2, T/4 = 0,6 Y los pesos correspondien-tes W1 = -27/96, W 2 = W3 = W4 = 25/96. En consecuencia, en este caso laintegracin numrica (1.71) se reduce a

I _ -27 25 25 ~- 96 1 + 96 2 + 96 3 + 96 4 ,

es decir

Grado de precisin

La exactitud de la integracin numrica depende del nmero de puntos elegi-dos y est definida por su grado de precisin que determina el grado del mayorpolinomio completo en coordenadas cartesianas que puede ser integrado exacta-mente utilizando la cuadratura de Gauss. El grado de precisin de la integracinnumrica en elementos triangulares figura en la columna GP de la Tabla 1.2.

C. Integracin tridimensionalPara la integracin numrica de una funcin tridimensional (~, T/, (), la frmulade la cuadratura de Gauss es

donde las posiciones de los puntos ~i, T/j, y los pesos Wi , Wj , Wk son loscorrespondientes a la integracin unidimensional (Tabla 1.1).

Ejemplo 1.3. Utilizando las cuadraturas de Gauss-Legendre de primero, segundo ytercer orden, determinar la integral

J1 7r~

1= cos -d~-1 . 2

y calcular el grado de aproximacin obtenido en cada caso.

Solucin: La solucin exacta de la integral unidimensional es

J1 7r~ 2 7r~ 1 2 2 4

1 = cos - d~ = - sen - = - + - = - = 1,2732.-1 2 7r 2 -1 7r 7r 7r

Para hallar de forma aproximada la integral unidimensional se aplica la ecuacin (1.70)


3:endo Wi, ei los coeficientes que figuran en la Tabla 1.1 en funcin del orden n de la~'.ladratura.

Cuadratura de Gauss-Legendre de primer ordenPara n = 1, los coeficientes son 6 = 0, W 1 = 2 Y la integracin numrica resulta

1r'0Ir = W1

26 CONCEPTOS BSICOS

Cuadratura de Gauss-Legendre de primer ordenPara n = 1, los coeficientes son 6 = o, W1 = 2 Y la integracin numrica resulta

h = W1 tjJ(6) = 2 . 1 = 2.que supone un error por defecto del 16,67%.

Cuadratura de Gauss-Legendre de segundo orden

Para n = 2, los coeficientes son 6 = -0,57735, W 1 = 1, 6 = 0,57735, W 2integracin numrica resulta

h = W1 tjJ(6) + W2 tjJ(6) = 1 . tjJ(-0.57735) + 1 tjJ (O, 57735),es decir

1 y la

h = [(-0,57735)4 - (-0,57735)3 + 1] + [(0,57735)4 - (0,57735)3 + 1] = 2,22222,

que supone un error por defecto del 7,41%.

Cuadratura de Gauss-Legendre de tercer orden

Para n = 3, los coeficientes son 6 = -0,77459, W 1 = 0,55555, 6 = o, W2 = 0,88888,~3 = 0,77459, W 3 = 0,55555 Y la integracin numrica resulta

o sea

Is = 0,55555 tjJ(-O, 77459) + O, 88888 tjJ(O) + O, 55555 tjJ(O, 77459).Siendo

tjJ(-O, 77459) = (-0,77459)4 - (-0,77459)3 + 1 = 1,82474,tjJ(O) = 1,tjJ(O, 77459) = (0,77459)4 - (0,77459)3 + 1 = 0,89524,

la integracin numrica de tjJ(~) es

Is = 0,555551,82474 + O, 888881 + O, 55555 0,89524 = 2,39996,

que supone un error despreciable respecto a la solucin exacta. Esto est de acuerdo conla regla de que una cuadratura de Gauss-Legendre de orden n = 3 da la solucin exactaa la integracin de polinomios de grado igualo inferior a 2n - 1 = 2 . 3 - 1 = 5. En estecaso el polinomio tjJ(~) es de cuarto grado y por ello la integracin Is = 2,39996 da unerror despreciable.

Ejemplo 1.5. Utilizando la cuadratura de Gauss de segundo orden, determinar laintegral numrica

Solucin: Se aplica la ecuacin (1.71) haciendo n = 2 Y m = 2i=2 j=2

1 = L L WiWj tjJ(~i, 'I]j).i=l j=l


Segn la Tabla LIlas coordenadas de los puntos de Gauss son 6 = -1/v'3, 6 = 1/v'3en la direccin ~ y r1 = -1/v'3, r2 = 1/v'3 en la direccin r y los correspondientes pesosVI = 1 Y W2 = 1 en las dos direcciones. Por consiguiente

1 2 1 2 1 2 1 21 = 1 . 1 + 11 +v'3 v'3 v'3 v'3

1 2 1 2 1 2 1 2+11 + 11

v'3 v'3 v'3 v'3ES decir

41 ="9 '

que coincide con la solucin exacta

Ejemplo 1.6. Utilizando cuatro puntos de Gauss, determinar en la superficie rectan-pilar representada (Fig. 1.19a) la integral

!4+X2

1 = 2 dx dy.A 3 +y

Datos: a = 4, b = 3.y 2a

Solucin: Al utilizar las coordenadas de longitud;, T/ definidas por (1.37)

x-a x-4~ -- = -,-----,a 4

se obtiene

y-bT/= b

y-33

,2b

x = 4 (1 + y = 3(1 + r).~Iediante esta transformacin de coordenadas el:ectngulo de lados 2a y 2b se convierte en el cua-drado de vrtices (-1, -1), (1, -1), (1, 1), (-1, 1)Fig. 1.19b). Ahora bien, segn (1.57), el Jaco-

(a)

r

4 (-1,1)

x

3 (1,1) DIano es

OX oy- 4 Oo~ o~[J] =

ox oy eO 3-

8T/ 8T/

:; su determinante det[J] = 12. Sustituyendo enia integral 1 las ecuaciones de transformacin ydA. = dx dy = det[J] ~dT/, resulta

1 (-1,-1)(b)

2 (1,-1)

Fig. 1.19.

1 =! 4 + x2dx d =JI JI 20 + 32~ + 16e det[J] d~ dA 3 + y2 y -1 -1 12 + 1ST/ + 9r2 r,

28 CONCEPTOS BSICOS

es decirI = 16JI JI 5 + 8e + 4e: de dr.

-1 -1 4 + 6r + 3r

Segn la Tabla 1.1, las coordenadas (e, r) de los puntos de Gauss son (-1/v'3, -1/v'3),(l/v'3, -1/v'3), (1/v'3,1/v'3), (-1/v'3,1/v'3) Y los pesos son Wi = Wj = 1. Teniendoen cuenta (1.71),

siendo

1 = 16 5 + 8(-1v'3) + 4(-1/v'3)2cP 4+6(-1/v'3)+3(-1/v'3)2 '

cP3 = 16 5 + 8(1v'3) + 4(1/v'3)24 + 6(l/v'3) + 3(1/v'3)2 '

Operando se obtiene

cP2 = 16 5 + 8(1v'3) + 4(l/v'3)24 + 6(-1/v'3) + 3(-1/v'3)2

cP4 = 16 5 + 8(-1v'3) + 4(-1/v'3)2 .4 + 6(1/v'3) + 3(1/v'3)2

I = 16 380 = 155 90.39 '

Ejemplo 1.7. Utilizando la integracin numrica determinar el rea del tringulo 1-2-3en funcin de las coordenadas de sus vrtices (Fig. 1.20a).

Datos: Xl, Yl, X2, Y2, X3, Y3

y

3

x

Solucin: Utilizando, primeramente, las coordena-das de rea 6,6,6, de acuerdo con (1.41a),

X = x16 + x26 + x36,

y = Y16 + Y26 + Y36,

y, a continuacin, las coordenadas e, r (1.47)X = Xl(l - e- r) + X2e + X3r,y = Yl(l- e- r) +Y2e+Y3r,

1(0,0)

r

(0,1) 3

'r--- 1-;-r=0

o sea

X = Xl + (X2 - Xl) e+ (X3 - Xl) r,Y = Yl + (Y2 - Yl) e+ (Y3 - Yl) r.

Esta doble transformacin de coordenadas convier-te el tringulo 1-2-3 en un tringulo rectngulo 123de catetos unitarios (Fig. 1.20b). Teniendo en cuenta(1.62), el rea del tringulo 1-2-3 es

A = l dA = l dx dy = 11 11-'7 det[J] de dr. (a)Fig. 1.20. Segn (1.57), el Jacobiano de la transformacin es

-; SU determinante

8x

(J] = g~81]

8y-8~8y -81]

X2 - Xl

X3 - Xl


Y2 - Yl

Y3 - Yl

Aplicando a la integracin (a), la cuadratura de Gauss de primer orden (1.72)

oiendo, de acuerdo con los valores de la tabla 1.2, 6 = 1/3, 1]1 = 1/3, W l = 1/2. Como:J = det(J] es constante, no depende de las coordenadas naturales ~,1]. Por consiguiente_-1. = 1/2 det(J], es decir

A = ~ [(X2 - Xl )(Y3 - Yl) - (X3 - Xl )(Y2 - Yl)] .

2.FUNDAMENTOS DEL MEF

,

2.1. INTRODUCCION

Debido a la complejidad de las ecuaciones de gobierno de las estructuras continuasy, en general, de la mayora de las estructuras se hace imprescindible la utilizacindel mtodo de los elementos finitos o MEF. Este mtodo determina el comporta-miento de una estructura ante las cargas sustituyendo la solucin continua, exactay en la mayora de los casos imposible del sistema de ecuaciones diferenciales queconforman el problema elstico por una solucin discontinua o discreta y, por tanto,aproximada. Para ello discretiza la estructura, es decir, la divide en elementos no di-ferenciales, o elementos finitos, interconectados entre s a travs de un determinadonmero de puntos, que llamaremos nodos.

Despus de estudiar cada elemento por separado se recompone la estructura res-tableciendo el equilibrio y la compatibilidad de desplazamientos en los nodos, loque da lugar a un sistema de ecuaciones algebraicas. La resolucin de este sistemade ecuaciones permite hallar los desplazamientos de los nodos y, a partir de ellos,las restantes incgnitas de la estructura. Es un mtodo aproximado cuyo grado deaproximacin aumenta con el nmero de elementos en que se divida la estructura,cuando la aplicacin del mtodo es correcta.

Este captulo se divide en tres partes: Descripcin del MEF, Anlisis del MEF yFormulacin dbil. En la primera parte se exponen las diferentes fases del mtodode los elemento finitos. En la segunda se analizan los factores que influyen en lacalidad de sus resultados. Y en la tercera se incluyen el mtodo de Rayleigh-Ritzy los mtodos de los residuos ponderados como casos particulares del MEF que seaplican a determinados tipos de estructuras.

. ,

I. DESCRIPCION DEL MEF,

2.2. FASES DEL METODO

El mtodo de los elementos finitos consta de las siguientes fases:

l. Divisin en elementos finitos2. Vector de desplazamientos del elemento3. Matriz de rigidez del elemento4. Matriz completa de rigidez de la estructura5. Respuesta de la estructura

32 FUNDAMENTOS DEL MEF

La fase 1 de Divisin en elementos finitos o discretizacin de la estructura se

realiza utilizando programas de ordenador llamados preprocesadores. Las fases 2 y3 de Vector de desplazamientos del elemento y de Matriz de rigidez del elementoconstituyen lo que se denomina formulacin del elemento, a partir de la cual se lle-ga a la fase 4 de Matriz completa de rigidez de la estructura. Finalmente, en la fase5 de Respuesta de la estructura se determinan los parmetros nodales que permitencalcular la respuesta de los elementos, es decir, sus esfuerzos y deformaciones. Enesta fase es preciso utilizar programas de ordenador llamados postprocesadores.

2.3. DIVISIN EN ELEMENTOS FINITOSEsta fase del MEF divide una estructura continua en elementos finitos interconec-tados entre s mediante nodos que estn situados generalmente en los bordes de loselementos pero que pueden estar tambin en su interior. De esta forma los infinitosgrados de libertad de una estructura continua se convierten en un nmero finitode grados de libertad de la estructura discreta representado por el nmero total deparmetros nodales, que comprenden los desplazamientos de los nodos y en muchoscasos tambin sus derivadas.

Es evidente que cuanto mayor sea el nmero de elementos finitos en que se divideuna estructura habr mas similitud entre la estructura discretizada y la estructuracontinua y, en consecuencia, ser mayor el grado de aproximacin de los resultadosque se obtengan. Segn el tipo de estructura que se considere los elementos finitossern uni, bi y tridimensionales.

A. Elementos unidimensionales

Las estructuras cuyo comportamiento o deformacin ante las cargas depende deuna sola variable se discretizan en elementos finitos unidimensionales. En el casoms simple de una viga de seccin constante sometida a una carga de traccin P(Fig. 2.1a) utilizaremos un elemento finito de la misma longitud y seccin que laviga con nodos 1 y 2 en sus extremos (Fig. 2.1b), siendo los parmetros nodales losdesplazamientos Ul Y U2

Fig. 2.1.

(a)

p

U

(h)

Consideramos ahora el caso de una viga de seccin variable (Fig. 2.2a) que sediscretiza en dos elementos finitos: el elemento 1 con nodos 1 y 2 en sus extremosy seccin transversal de rea Al y el elemento 2 con nodos 2 y 3 en sus extremosy seccin transversal de rea A 2 (Fig. 2.2b). Suelen adoptarse como reas Al y A 2

DIVISIN EN ELEMENTOS FINITOS 33

las reas de las secciones centrales de los tramos de viga correspondientes a cadaelemento finito. Evidentemente, la aproximacin del resultado ser mayor cuantomayor sea el nmero de elementos finitos en que se discretiza la viga.

I Ip 1 2

(a) (b)

Fig. 2.2.

Asimismo, en una estructura articulada con cargas aplicadas en sus nudos (Fig.2.3a) se consideran las propias barras articuladas como elementos finitos con nodosen los extremos (Fig. 2.3b), siendo los parmetros nodales los desplazamientos u, vde los nudos de la estructura.

1 D7

(a) (b)

Fig. 2.3.

Finalmente, consideramos una viga sometida a una carga transversal distribuidacualquiera (Fig. 2.4a) que se discretiza en dos elementos finitos con nodos en susextremos (Fig. 2.4b). En este caso los parmetros nodales son los desplazamientostransversales VI, V2 Y V3 Y los giros de flexin el, e 2 y e 3 , que se determinarn encada elemento sin tener que resolver la ecuacin de gobierno de la viga.

V2 V3(JI (Jr------l- '__-----1) 3

2 31

(a) (b)

Fig. 2.4.


B. Elementos bidimensionalesCuando el comportamiento de la estructura ante las car-gas depende de dos coordenadas, por ejemplo x e y, laestructura se discretiza en elementos bidimensionales. Es-tas estructuras estn gobernadas por sistemas de ecuacio-nes diferenciales parciales en vez de ecuaciones diferencia-les ordinarias. Esta discretizacin en elementos bidimen-sionales se aplica a estructuras con estado de esfuerzosplano como las placas con cargas en su plano, o a estruc-turas con estado de deformaciones plano como los murosde contencin. Fig. 2.5.

Uno de los elementos bidimensionales mas utilizados en la discretizacin de es-tructuras es el elemento triangular por su fcil adaptacin a cualquier superficieplana. (Fig. 2.5). Otros elementos bidimensionales son el elemento rectangular (Fig.2.6) Yel cuadrilateral (Fig. 2.7) que a su vez pueden subdividirse en elementos trian-gulares. Los elementos curvados, como el elemento triangular curvado (Fig. 2.8),se caracterizan por su fcil adaptacin a las zonas perimetrales de las superficies.

Fig. 2.6. Fig.2.7. Fig. 2.8.

c. Elementos tridimensionalesEn muchas ingenieras, ya sean civil o aeronutica, se utilizan estructuras espa-ciales tanto en su forma como en las cargas aplicadas. Estas estructuras exigenuna discretizacin tridimensional siendo los elementos tridimensionales de uso msfrecuente los tetradricos de cuatro nodos (Fig.2.9). Estos elementos de la discreti-zacin tridimensional se consideran equivalentes a los elementos triangulares de ladiscretizacin bidimensional. Otros elementos tridimensionales muy utilizados sonlos hexadricos (Fig. 2.10) y los prismticos (Fig. 2.11).

IIIII

J>---_/

/

I~----

/'/'

IIIIb----/'

/'/'

Fig. 2.9. Fig. 2.10. Fig. 2.11.

VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS DEL ELEMENTO 35

I

I\ __0---h--~ --....,/

En cualquiera de los tres tipos deelementos finitos considerados, los nodospueden estar situados no solo en los vr-tices sino tambin en los lados y en el inte-rior del elemento (Fig. 2.12), lo que suponeun considerable aumento de complejidaden el estudio del elemento y, en consecuen-cia, la exigencia de utilizar programas masavanzados de ordenador. Fig. 2.12.

Mientras que los problemas estructurales unidimensionales se resuelven frecuente-mente por mtodos analticos, en los problemas bidimensionales y tridimensionalesla aplicacin del mtodo de los elementos finitos se ha hecho totalmente necesaria.

2.4. VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS DEL ELEMENTO

Esta fase del MEF determina el vector de desplazamientos del elemento que permiteconocer de forma aproximada los desplazamientos en cualquier punto del elemento.

A. Funciones unidimensionales

Sea, por ejemplo, un elemento finito unidimensional de longitud L con nodos ensus extremos (Fig. 2.13a). Siendo los desplazamientos UI Y U2 de sus nodos 1 y 2los nicos parmetros nodales, los grados de libertad del elemento son 2. El despla-zamiento de un punto cualquiera del elemento puede expresarse aproximadamenteutilizando la funcin de desplazamientos

1 u l 2 Uzy , ~ ,I II1.1 1II XI 1

,1I 1X

1 IX z

U(x) = al + a2X, (2.1)que es un polinomio con un nmero de pa-rmetros ai igual a 2 que es el grado delibertad del elemento. Estos parmetros aise obtienen particularizando la expresinanterior en los nodos,

Fig. 2.13 (a).resultando

X2U1 - X1 U 2

L-U1 + U2

L

Al sustituir estos valores en (2.1), se obtiene

u(x) = N1U1 + N2U2, (2.2)


es decir

(2.4)

, (2.3),

N _ -Xl +X2 - L .X2 -x

NI = L '

siendo NI Y N 2 las funciones de interpolacindel elemento

La ecuacin (2.3) puede expresarse en laforma

x

IIII

2 1

X 2

U~I F'-' U(X)IIIIIII

1

u(X)

XlI I11...- ....... .1

'-'

(h)

(2.6){Ue } = U(X),

donde

{ U e } es el vector de desplazamientos del ele-mento

{be} es el vector de parmetros nodales delelemento

21

1

[Nel es la matriz de interpolacin del ele-mento

1

(e)2

1 , (2.7)

Fig. 2.13 (b) Y (e).

En resumen, al suponer que los desplazamientos u(x) varan linealmente entrelos desplazamientos nodales Ul Y U2 (Fig. 2.13b), las funciones de interpolacinNi permiten calcular el desplazamiento de un punto cualquiera del elemento enfuncin de los desplazamientos nodales.

La funcin de interpolacin Ni determina los desplazamientos de los puntos delelemento cuando se le da un valor unidad al desplazamiento del nodo i manteniendonulo el desplazamiento del otro nodo. Asimismo, la representacin de la funcin Nicoincide con la forma que adquiere el elemento como consecuencia de los anterioresdesplazamientos, tomados en direccin perpendicular al elemento (Fig. 2.13c). Poresta razn, se les llama funciones de forma a las funciones de interpolacin Ni ymatriz de forma a la matriz de interpolacin [Nel.

VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS DEL ELEMENTO 37

B. Funciones bidimensionales

Consideremos como elemento bidimensional un elemento triangular con un nodoen cada vrtice y desplazamientos UI, VI, U2, V2, U3, V3 (Fig. 2.14a). En este caso,el desplazamiento de un punto cualquiera del elemento finito puede ser expresadoaproximadamente por las funciones de desplazamientos

U(x,y) = al + a2X + a3Y,

v(x, y) = a4 + a5x + a6Y,(2.9)

siendo el vector de desplazamientos del elemen-to {ue }

que son polinomios que tienen un nmero de pa-rmetros ai igual a 6 que es el grado de liber-tad del elemento. Particularizando las funcionesanteriores en los nodos 71, 2 Y 3, se determinanlos parmetros ai, que sustituidos en (2.9) per-miten expresar el vector de desplazamientos delelemento bidimensional en la forma

x

y

(2.10)

(2.11),uV

Fig. 2.14 (a).el vector de parmetros nodales del elemento {de}

(2.12)

y la matriz de forma o de interpolacin del elemento [Ne]

(2.13)

Los desplazamientos u tienen que depender solamente de UI, U2, U3. De la mis-ma forma, los desplazamientos v dependern solamente de VI, V2, V3 y, adems,ambas dependencias tienen que ser iguales. Por esta razn la matriz de forma delelemento [Ne ] ha de ser

NI O N 2 O N 3 O

O NI O N 2 O N 3, (2.14)

siendo las funciones de interpolacin Ni polinomios de primer grado en x, y cuyoscoeficientes dependen de las coordenadas nodales. Al igual que en el caso del elemen-to unidimensional, la funcin de interpolacin Ni determina los desplazamient;9$i ()

.. ~'f., \. ...-.~""-~~. ( 1de los. puntos ~el elemento cuando se le .da un valor umdad al desplaza~Ien1.~(del_",:;~(''.,nodo z mantemendo nulos los desplazamIentos de los otros nodos. TambIen:::eq::e~~.-.- .,.)i l-

011 J ~J\.. ,\".,'",: "}........-::pl. rl~L\"5/.,{...;l

~"y


caso, la representacin de la funcin Ni coincide con la forma que adquiere el ele-mento como consecuencia de los anteriores desplazamientos tomados en direccinperpendicular al elemento (Fig. 2.14b).

1 2

,"\."\.

, \

x'I "\.

/J

J,

J ,

1

1

2

,,,,, /

Nix,y)r-J

2'3

12

N(;c,y)r-J

3l'

1 /'/'

/'

Fig. 2.14 (b).

z

B. Funciones tridimensionalesEn el caso de un elemento tridimensional connn nodos y cada nodo con 3 parmetros Ui,Vi, Wi (Fig. 2.15), el vector de desplazamien-tos del elemento es

donde la matriz de forma del elemento [Ne ] es

que tiene nn submatrices de forma [Ni] de 3 x 3elementos

(2.15)

(2.16)

En este caso, las funciones de interpolacinNi son polinomios de primer grado en x, y, z,cuyos coeficientes dependen de las coordena-das nodales.

(2.17)OO

O

ON 2o

O

N,

y

Fig. 2.15.

2.5. MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO

Esta fase del mtodo de los elementos finitos determina la ma.triz de rigidez delelemento que permite calcular los parmetros nodales de un elemento {De} en fun-cin de las fuerzas nodales {Fe} que actan sobre l. A continuacin se formulala matriz de rigidez del elemento utilizando, primero, el teorema de los trabajosvirtuales y, despus, el principio de la energa potencial total.

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO 39

}

{q.}

A. Teorema de los trabajos virtualesConsideremos que una estructura en equilibrio seha discretizado en elementos finitos. Cada ele-mento estar en equilibrio sometida a un siste-ma de fuerzas externas {Fe} que comprenden lasfuerzas {Pe} aplicadas en los nodos, las fuerzas{qe} distribuidas en su volumen Ve Y las fuerzas{Pe} distribuidas en su superficie Se (Fig. 2.16).Estas fuerzas originan en cada punto del elemen-to un estado de esfuerzos definido por el vectorde esfuerzos {O'}.

Supongamos que en ese elemento en equilibriose originan unos desplazamientos nodales virtua-les infinitesimales {8:~ que satisfacen las condi- Fig. 2.16.ciones de contorno. Estos desplazamiento nodales {8:} dan lugar a unos desplaza-mientos virtuales {u;} en los puntos del elemento que originan en cada punto unestado de deformaciones virtuales definido por el vector de deformaciones {e*}.

Segn el teorema de los trabajos virtuales (1.16), ha de ser nula la suma deltrabajo W e que realizan las fuerzas externas {Fe} durante los desplazamientosvirtuales {8:} y {u:} y del trabajo W i que realizan las fuerzas internas, debidas alos esfuerzos {O'}, durante las deformaciones virtuales {e*}.

El trabajo que realizan las fuerzas externas {Fe} durante los desplazamientosvirtuales {8:} y {u;} es

W e = { 8:}T{Pe} + {u:}T {qe}dVe +Ve

(2.18)

Segn (2.5), (2.10) Y (2.15), la relacin entre los desplazamientos de los puntosdel elemento {ue } y los parmetros nodales {8e} es {ue } = [Ne]{8e}. Aplicando aesta relacin la igualdad matricial ([b][c]f = [cjT[bjT, resulta

(2.19)e igualmente

{U:}T = {8:}T[Ne ]T.Sustituyendo esta relacin en (2.18), se obtiene

(2.20)

{8:}T[Nef {qe}dVe +v.

{8:}T[Nef {Pe}dSe,s.

es decir

[Nef{qe}dVe + {8:}TVe

(2.21 )

Asimismo, el trabajo W i que realizan las fuerzas internas, debidas a los esfuerzos{O'}, durante las deformaciones virtuales {e*}, segn (1.18), es

W i =- {e*}T{O'}dVe .Ve

(2.22)


Teniendo en cuenta (1.13), {e} = [8]{u}, y puesto que {ue }relacin entre las deformaciones y los parmetros nodales es

(2.23)

es decir (2.24)siendo [Be] la matriz de deformacin del elemento, definida por

[Be] = [8][Ne]. (2.25)Teniendo en cuenta ahora la relacin entre los esfuerzos y las deformaciones

{a} = [D]{e}, ecuacin (1.7), se obtiene{a} = [D][Be ]{8e }. (2.26)

Aplicando de nuevo la relacin ([b][c]f = [c]T[b]T a (2.24), resulta{e}T = {8e}T[Be]T (2.27)

e igualmente (2.28)Sustituyendo (2.26) y (2.28) en la expresin (2.22) del trabajo de las fuerzas

internas se halla

W i = -{8:V [BeF[D][Be]dVe {8e}.Ve

es decir

W i = - {e*}T{a}dVe =-Ve

{8:}T[BeF[D] [Be ]{8e}dVe,Ve

(2.29)

Sustituyendo ahora en la expresin (1.16) del teorema de los trabajos virtuales,la expresin (2.21) del trabajo de las fuerzas externas y la expresin (2.29) deltrabajo de las fuerzas internas, se obtiene

{8:}T [BeF[D][Be]dVe {8e}=Ve

= {8:}T{Pe} + {8:}T [Ne]T {qe}dVe + {8:}T [NeF {pe}dSe.Ve Se

Si se supone un desplazamiento virtual unitario a un nodo i en una direccincualquiera, por ejemplo la direccin x (8ix = 1) y a la vez que sean nulos los des-plazamientos virtuales de los restantes nodos, la ecuacin anterior se reduce a

[Be]T[D][Be]dVe {8e} = {Pe}+Ve

(2.30)

que representa la ecuacin matricial de equilibrio del elemento y equivale a

donde [ke ] es la matriz de rigidez del elemento, definida por

[ke ] = [Be]T[D][Be]dVe.Ve

(2.31 )

(2.32)

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO 41

El vector {Fe} es el vector de fuerzas nodales del elemento, igual a{Fe} = {Fpe } + {Fqe } + {F pe },

siendo

(2.33)

(2.34)el vector de fuerzas aplicadas directamente a los nodos del elemento,

{FqJ = [Nef{qe}dVe,Ve

(2.35)

(2.36)

el vectorde fuerzas nodales equivalente a las fuer-zas distribuidas en el volumen delelemento y

[Nef{Pe}dSe,Se

el vector de fuerzas nodales equivalente a las fuerzas distribuidas en la superficiedel elemento.

Todas las integrales que figuran en la matriz de rigidez del elemento y en los vec-tores de fuerzas, sah{o en estructuras muy sencillas, se resuelven utilizando mtodosde integracin numrica, de los cuales el mas generalizado es el de la cuadraturade Gauss.


Por consiguiente, la energa potencial total del elemento finito es

(2.40)

y sustituyendo (2.19), (2.26) y (2.27) en la relacin anterior, se obtiene

[Be]T[D][BeJ dVeVe

(2.41)

Segn el principio de la energa potencial total, la configuracin de equilibrioestable del elemento tiene lugar cuando su energa potencial total rPe es mnima.y por tanto, si el elemento tiene n e grados de libertad, de acuerdo con (1.27), laconfiguracin de equilibrio estable se obtiene resolviendo el sistema de ne ecuaciones

arPea81 OarPe Oa82 (2.42)

Aplicando estas ecuaciones a la expresin (2.41) de la energa potencial total,resulta

[BelT[Dl [Be]dVeVe

que coincide con la ecuacin (2.30) obtenida aplicando el teorema de los trabajosvirtuales.

2.6. MATRIZ COMPLETA DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA

Esta fase del mtodo de los elementos finitos determina la matriz completa de rigi-dez de la estructura discretizada en elementos finitos. Consideremos una estructuradiscretizada que tiene no grados de libertad y est en equilibrio sometida a unsistema de fuerzas (Fig. 2.18). Estas fuerzas, que incluyen cargas y reacciones delos enlaces externos, son las fuerzas {Po} aplicadas en los nodos: las fuerzas {qo}distribuidas en el volumen V de la estructura y las fuerzas {Po} distribuidas en susuperficie S.

Para determinar la matriz completa de rigidez de la estructura aplicaremos elteorema de los trabajos virtuales a la estructura discretizada. De acuerdo con (2.30),la ecuacin matricial completa de equilibrio de la estructura est representada por

MATRIZ COMPLETA DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA 43

[B]T[D][B]dV {8a} = {Po} +V

(2.43)

_/

dV'dj~ I,

~,I(..----

dS,

Fig. 2.18.

siendo {8a} el vector de parmetros nodales de la estructura,

(2.44)

[B] la matriz de deformacin de la estructura y [N] la matriz de forma de la es-tructura relacionadas, al igual que (2.25), por la expresin

[B] = [8][N]. (2.45)La ecuacin (2.43) equivale a

[Ka] {8o} = {Fa}, (2.46)

donde [Ka] es la matriz completa de rigidez de la estructura, de orden no igual alnmero de grados de libertad de la estructura discretizada, definida por

[Ka] = [Bf[D][B] dV,v

(2.47)

cuyas submatrices son

[K ij ] = [Bi]T[D][B j ] dV.v

(2.48)

Asimismo, el vector {Fa} es el vector de fuerzas nodales de la estructura

{Fa} = {Po} + [Nf {qa} dV + [N]T{Po} dS, (2.49)v s


igual a{Fo} = {F~} + {F~} + {F~},

siendo{F~} = {Po}

el vector de fuerzas aplicadas directamente a los nodos de la estructura,

{F~} = [N]T {qO} dVv

(2.50)

(2.51)

(2.52)

(2.53)

el vector de fuerzas nodales equivalente a las fuerzas distribuidas en el volumen dela estructura y

{F~} = [N]T{Po} dSs

el vector de fuerzas nodales equivalente a las fuerzas distribuidas en la superficiede la estructura.

Al igual que sucede en los elementos, en la estructura discretizada el vector dedesplazamientos de la estructura {u} y el vector parmetros nodales {80 } estnrelacionados mediante la matriz de forma de la estructura [N]. Es decir

{u} = [N] {80 }. (2.54)

Si nn es el nmero de nodos de la estructura discretizada, la matriz de formapuede expresarse en funcin de sus submatrices

(2.55)

Teniendo en cuenta (2.45), se obtiene, en funcin de la matriz de forma, la matrizcompleta de rigidez de la estructura

o bien

[Ko] = [N]T [8f [D][8][N] dV,v

(2.56)

[Ko] =v

(2.57)

Por tanto, las submatrices de rigidez de la estructura son

[Kij ] = [Ni ][8f[D][8][Nj ] dV.v

(2.58)

MATRIZ COMPLETA DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA 45

En el caso de una estructura bidimensional (Fig. 2.19a)

[N] = N1 O I N 2 O l", I N nnO N1 I O N 2 I ... I O

ON 'nn

(2.59)

(1) (3)

(2) (4)

2 4 6

135donde Ni es la funcin de forma del nodo i que determinalos desplazamientos de los puntos de la estructura cuan-do se le da un valor unidad al desplazamiento del nodoi manteniendo nulos los desplazamientos de los otros no-dos (Fig. 2.19b). Los valores Ni (x, y) corresponden nica-mente a los puntos de coordenadas x, y de los elementoscontiguos al nodo i, siendo nulos los correspondientes aelementos no contiguos.

Fig. 2.19 (a).

~/

/ /''/ /'/'

1

Fig. 2.19 (b).Esta fase del MEF se denomina tambin ensamblaje de los elementos porque

frecuentemente la matriz completa de rigidez de la estructura se construye com-poniendo las matrices de rigidez de los elementos en que se ha discretizado. Paraello, previamente es necesario expandir las matrices de rigidez de los elementos [ke ]a tamao de la estructura, tal como se explic en el apndice e del mtodo de losdesplazamientos. Posteriormente se halla la matriz completa de rigidez utilizandola expresin

[Ko] = L [k~] , (2.60)donde [k~] representa la matriz de rigidez de cada elemento ampliada al tamaode la estructura, de orden no igual al nmero de grados de libertad de la estructu-ra discretizada. Para ello ser preciso utilizar submatrices nulas como submatricescomplementarias. De forma anloga se ensamblan los vectores de fuerzas nodales


de los elementos para obtener el vector de fuerzas nodales de la estructura

{Fa} = L {F~} , (2.61)siendo {F~} el vector de fuerzas nodales de cada elemento ampliado al tamaode la estructura (orden na), para lo que ser preciso complementarlo con trminosnulos.

2.7. RESPUESTA DE LA ESTRUCTURA

Esta fase del MEF determina el comportamiento de la estructura teniendo en cuen-ta las condiciones de contorno y las condiciones de carga. La resolucin de un sis-tema de ecuaciones lineales permite calcular los parmetros nodales desconocidosy, seguidamente, las fuerzas nodales desconocidas que son las reacciones de los en-laces externos. A partir de los parmetros nodales se obtiene la respuesta de loselementos al hallar las deformaciones y los esfuerzos en cualquiera de sus puntos.De esta forma, queda completada la respuesta de la estructura a las condiciones decontorno y de carga.

A. Condiciones de contornoTal como se demuestra en el mtodo de los desplazamientos analizado en el apndicee, la matriz completa de rigidez de la estructura [Ka] es singular porque unaestructura no tiene impedidos los movimientos como cuerpo rgido cuando no setienen en cuenta sus enlaces externos.

P1

I Pj./

tR dV 'fI fI

--{qo} ~Rm n

Fig. 2.20.

Las coacciones de los enlaces externos disminuyen los grados de libertad de laestructura e impiden sus movimientos como cuerpo rgido (Fig. 2.20), salvo en elcaso de que la estructura sea un mecanismo. Al tener en cuenta los enlaces externos,la matriz completa de rigidez de la estructura [Ka] se reduce a la matriz de rigidezde la estructura [K] que ya no es singular y tiene un orden n igual al nmero de

RESPUESTA DE LA ESTRUCTURA 47

grados de libertad activos de la estructura, es decir, igual al nmero de parmetrosque definen la configuracin de la estructura teniendo en cuenta las coacciones queejercen sus enlaces externos.

Para hallar la matriz de rigidez de la estructura [K], al igual que en el mto-do de los desplazamientos, se desglosan los parmetros nodales {d} en parmetrosconocidos (o nulos) {dc} Ydesconocidos {dd} Ylas fuerzas nodales en fuerzas noda-les conocidas {Fc} Y fuerzas nodales desconocidas {Fd}' Teniendo en cuenta estosdesgloses, la ecuacin matricial de la estructura (2.46) se convierte

de la que se deduce

K

K Il KIlI, (2.62)

(2.63)Usualmente los parmetros nodales conocidos son nulos, {dc } = {D}, al co-

rresponder a desplazamientos de nodos coaccionados por los enlaces externos. Eneste caso, la anterior ecuacin se reduce a

(2.64)

donde [K] es la matriz de rigidez de la estructura de orden n igual al nmero degrados de libertad activos de la estructura.

B. Condiciones de carga

En la ecuacin (2.64), [K]{ dd} = {Fc}, las fuerzas nodales conocidas son las fuerzasaplicadas a los nodos de la estructura discretizada, directas o equivalentes. Segn(2.49), sern

{Fc } = {P} + [Nf{q}dV +v

[N]T{p} dS,s

(2.65)

representando {P} las fuerzas conocidas aplicadas en los nodos, {q} las fuerzas co-nocidas distribuidas en el volumen V de la estructura y {p} las fuerzas conocidasdistribuidas en su superficie S.

C. Clculo de los parmetros nodales desconocidos

De la ecuacin (2.63) se deduce

(2.66)

que determina los parmetros nodales desconocidos. En el caso frecuente de quelos parmetros nodales conocidos sean nulos, {dc } = {D}, la ecuacin anterior sereduce a

(2.67)


D. Clculo de las fuerzas nodales desconocidasDe la ecuacin matricial (2.62) se deduce

De esta ecuacin, teniendo en cuenta (2.66), resulta

(2.68)

que determina las fuerzas nodales desconocidas que suelen ser las reacciones de losenlaces externos. En el caso particular de que los desplazamientos conocidos seannulos {8c } = {O}, se obtiene

{F = [Kn][K]-l{Fc}.

E. Respuesta de los elementos

(2.69)

Hasta ahora se han calculado los parmetros nodales desconocidos y las fuerzasnodales desconocidas que constituyen la respuesta global de la estructura ante lascondiciones de contorno y de cargas. Seguidamente, determinaremos la respues-ta de los elementos que estar definida por las deformaciones y los esfuerzos encualquiera de sus puntos.

La ecuacin (2.24) permite calcular las deformaciones en cualquier punto delelemento en funcin de sus parmetros nodales {8 e }

(2.70)

o bien, teniendo en cuenta (2.25),

(2.71)La ecuacin (2.26)

(2.72)o bien, teniendo en cuenta (2.25)

(2.73)determina los esfuerzos en cualquier punto del elemento en funcin de sus parme-tros nodales {8e} .

,

11. ANALISIS DEL MEF

2.8. CONDICIONES DE LAS FUNCIONES DE DESPLAZAMIENTOS

Para conseguir unas mejores aproximaciones en el mtodo de los elementos finitoses conveniente que los polinomios de las funciones de desplazamientos satisfaganla condicin de polinomio completo y la condicin de isotropa.

CONDICIONES DE LAS FUNCIONES DE DESPLAZAMIENTOS 49

A. Condicin de polinomio completoEsta condicin significa que un polinomio de desplazamientos de cualquier gradodebe contener todos los trminos de grado inferior, teniendo en cuenta que si seomite algn trmino puede no alcanzarse la solucin exacta aunque el nmero detrminos llegue a ser muy elevado.

La solucin exacta de los desplazamientos de una estructura unidimensional enel entorno de cualquier punto i puede expresarse en la forma de un desarrollo enserie de Taylor

dudx ,

1( X - x) +-

, 2!

Si en el elemento que contiene el punto i se utiliza como funcin de desplaza-mientos un polinomio de grado m

1-----:-:--....1x

(a)

x

1 2....--------.

I

es evidente que se puede ajustar o aproximar localmente hasta el trmino de gra-do m del desarrollo de Taylor y el error que se comete es del orden del primertrmino de dicho desarrollo que se desprecia. Ahora bien, para conseguir esa apro-ximacin es preciso que el polinomio de grado m de la funcin de desplazamientossea completo, teniendo en cuenta que los trminos adicionales de grado superior noconsiguen, en general, una mayor aproximacin de la funcin de desplazamientos.

Sea, por ejemplo, una barra empotrada en un extremo y sometida a una cargalongitudinal P aplicada en el otro extremo (Fig. 2.21a). La solucin exacta de losdesplazamientos es

pu(x) = EAx.

Si se discretiza en un elemento con no-dos en sus extremos (Fig. 2.21b) Y se eli-ge una funcin de desplazamientos de dostrminos u(x) = a3x2 + a4x3, la solucinaproximada que obtengamos ser incorrec-ta al haber omitido el trmino a2x. Si sehubiera elegido como funcin de desplaza-mientos el polinomio completo de dos tr-minos u(x) = al + a2X, se habra alcanzadola solucin exacta. Adems, al ser

(b)ou

Ex = ox = a2,Fig. 2.21.

el trmino a2X representa la posibilidad de que el elemento tenga deforma-cin constante lo que sucede realmente en el ejemplo considerado. Tampocohubiera sido buena aproximacin utilizar como funcin de desplazamientosu(x) = a2x + a4x3 ni u(x) = a2x + a5x4.


y - - - - - - - grado 12

xy Y -------- 22 3

xy y ------- 33 4 4xy y------

x

2xy

322xy xy

1

2X

3X

4X

1

y

x

Fig. 2.22. Fig. 2.23.

En el caso de un elemento bidimensional (Fig. 2.22), un polinomio de grado nes completo cuando contiene todos los trminos x1ym tales que l + m = n y nofalta ningn trmino de grado inferior. As, la expresin de una funcin de despla-zamientos cuadrtica (n = 2) es u(x) = al + a2x + a3Y + a4x2 + a5XY + a6y2. Engeneral, una funcin de desplazamientos de grado n correspondiente a un elementobidimensional contiene (n + l)(n + 2)/2 trminos. Para comprobar los trminosque deben aparecer en un polinomio completo de dos dimensiones es convenienteutilizar el tringulo de Pascal (Fig. 2.23), del que se deduce que un polinomio deprimer grado requiere tres trminos, uno de segundo grado seis trminos, uno detercer grado diez trminos, uno de cuarto grado quince trminos, etc.

Del mismo modo se aplica la condicin de polinomio completo a los elementostridimensionales. La funcin de diez trminos

representa una funcin de desplazamientos cuadrtica de tres dimensiones.La condicin de polinomio completo es deseable para obtener una buena apro-

ximacin en el mtodo de los elementos finitos.

B. Condicin de isotropaEn el apartado 1.3 la isotropa redujo de 21 a 2 (E Y v) el nmero de coeficientesindependientes de la matriz constitutiva [D] de un material elstico. Esa mismaisotropa exige que ninguna direccin sea preferencial en el comportamiento de unelemento finito.

La anterior condicin significa que en un elemento bidimensional las funcionesde desplazamientos u(x, y), v(x, y) no tendrn preferencia respecto a los ejes x e y,por lo que ambas funciones deber tener la misma forma y sus trminos deben sersimtricos en el tringulo de Pascal. Sea, por ejemplo, un elemento rectangular connodos en sus extremos (Fig. 2.24). Al ser 8 los grados de libertad del elemento, elnmero de parmetros ai de las funciones de desplazamientos ser 8 y si empleamoslas funciones de desplazamientos

CRITERIOS DE CONVERGENCIA 51

y

no se satisfara la condicin de isotropa ya que la inclu-sin de (X4X2 y (Xsx 2 como nicos trminos cuadrticos,est dando preferencia a las coordenadas x respecto a lascoordenadas y. Esto se evita utilizando las funciones dedesplazamientos

z

x

Fig. 2.24.

Fig. 2.25.

----y

III

,o-/

/Para un elemento tridimensional como el prismticorectngular con nodos en sus extremos (Fig. 2.25), al te-ner 24 grados de libertad, para que las funciones de des-plazamientos satisfagan la condicin de isotropa emplea-remos todos los trminos lineales, una seleccin de trmi-nos cuadrticos simtricos y un trmino cbico tambinsimtrico

( ) 2 2 2U x, y, Z = (Xl + (X2X + (X3Y + (X4Z + (X5X + (X6Y + (X7Z + (xsXYZ,y anlogas expresiones para las componentes v(x, y, z) y w(x, y, z).

Se observa que las funciones de desplazamientos que hemos considerado no satis-facen la condicin de polinomio completo y nicamente tienen todos los trminos

hasta el primer grado. Debido a ello, las funciones de desplazamientos utilizadascometen errores de aproximacin de segundo grado.

El cumplimiento de la condicin de isotropa es conveniente para lograr mejo-res aproximaciones en el mtodo de los elementos finitos, debiendo considerarse elelemento anistropo como un elemento conceptualmente defectuoso.

2.9. CRITERIOS DE CONVERGENCIA

El anlisis de una estructura por el mtodo de los elementos finitos es correctosi al aumentar el nmero de elementos, hacindolos cada vez mas pequeos, lasrespuestas de la estructura se aproximan cada vez mas a la solucin exacta de lasecuaciones de gobierno. Es decir, si durante el llamado proceso de refinamiento dela malla, las soluciones aproximadas van convergiendo hacia la soluci6n exacta.

Cuando no se conocen las ecuaciones de gobierno y, por tanto, no se conoce larespuesta exacta de la estructura, la convergencia de las soluciones se constata porel hecho de que se verifiquen las ecuaciones de equilibrio en cualquier punto de laestructura.

Para lograr la convergencia, las funciones de desplazamientos se han de elegir deforma tal que se satisfagan los criterios de cuerpo rgido, de deformacin constantey de compatibilidad. Sin embargo, se puede lograr dicha convergencia sin que sesatisfagan tales criterios.


A. Criterio de cuerpo rgidoCuando los desplazamientos nodales de un elemento corresponden a los de un mo-vimiento como cuerpo rgido, todos los puntos del elemento deber tener un estadode deformaciones nulo. De acuerdo con este criterio, un elemento bidimensionaldebe poder trasladarse en su plano en dos direcciones y girar (Fig. 2.26), sin quepor ello se produzcan deformaciones en sus puntos ( x = O, y = O, 'Yxy = O).

t-----~--~I I

-- \-----~ --

I I \ \I I \ \I I \ \

I ----- \ --~II I \ ------~ -~ --

Fig. 2.26.

B. Criterio de deformacin constante

Cuando los desplazamientos nodales de un elemento corresponden a los de un es-tado de deformaciones constante, todos los puntos del elemento deber tener esemismo estado de deformaciones constante. Este criterio se justifica fsicamente porel hecho de que si aumentamos progresivamente el nmero de elementos, en ellmite el elemento tiene un tamao muy pequeo y, por tanto, un estado de defor-maciones constante. De acuerdo con este criterio, un elemento bidimensional cuyosdesplazamientos nodales se corresponden con estados de deformaciones constantes(Fig. 2.27), ha de tener en todos sus puntos un estado de deformaciones constan-te ( x =cte, y =cte, 'Yxy =cte), que se determina a partir de las funciones dedesplazamientos.

Es evidente que el criterio de cuerpo rgido es el caso particular del criterio dedeformacin constante cuando la constante es nula.

---'>-------)

-- I--

--

'jl --I II II II I

I --I ----

--~ --G------

Fig. 2.27.


C. Criterio de compatibilidadLos desplazamientos y en muchos casos tambin las derivadas de esos despla-zamientos deben ser continuos en los puntos situados dentro de los elementos yen sus bordes. Esto significa que los elementos han de ser compatibles o confor-mes. Es obvio que la compatibilidad dentro de los elementos est garantizada si seutilizan, como es habitual, polinomios como funciones de desplazamientos.

Una funcin tiene un grado de continuidad m, representado por cm, cuando lafuncin y sus derivadas hasta el orden m son continuas. Por tanto, en una conti-nuidad Ca solamente es continua la funcin y no lo son sus derivadas, mientras queen una continuidad el son continuas la funcin y sus derivadas de primer ordenpero no las de orden superior.

En los elementos de estructuras solicitadas a traccin/compresin y de estruc-turas bidimensionales la continuidad de los desplazamientos en los puntos de susbordes exigir una continuidad Ca. Asimismo, en los elementos de estructuras soli-citadas a flexin, como las vigas y las placas, la continuidad se refiere a los despla-zamientos transversales y a los giros que son las derivadas de los desplazamientostransversales. Por esta razn en estos elementos se precisa una continuidad el.

Este criterio de compatibilidad garantiza la convergencia con el refinamiento dela malla. No obstante, dicha convergencia puede lograrse tambin con elementosincompatibles.

Ejemplo 2.1. Una mnsula se discretiza en una malla formada por dos elementos rec-tngulares con nodos en los vrtices (Fig. 2.28a). Comprobar si los elementos satisfacenlos criterios de convergencia, utilizando las funciones de desplazamientos

u(x, y) = 0


Segn (1.11), las deformaciones en cualquier punto de este elemento sonBu Bv

ex = = O, ey = - = O,Bx ByBu Bv

IXY = + = as - as = OBy Bxy, por tanto, el elemento satisface el criterio de cuerporgido.

(J'y (J'xe = - -v- =0

y E E '

Criterio de deformacin constanteImponemos a los nodos 1 y 2 de uno de los elementoslos desplazamientos UI = U2 = , VI = V2 = O, man-teniendo nulos los desplazamientos de los nodos 3 y 4(Fig. 2.28c). Ello se consigue sometiendo al elemento alos esfuerzos longitudinales (J'x Y a los esfuerzos trans-versales (J'y que eviten el que se produzca la contraccinlateral en el elemento. Es decir

(e)

y I


Para comprobar si las funciones de desplazamientos dan lugar a este mismo estado dedeformaciones en todos los puntos del elemento, se sustituyen los desplazamientos nodalesen las funciones de desplazamientos y se obtiene que todos los coeficientes Qi son nulos,excepto Q6 = (j / a. Por consiguiente, las funciones de desplazamientos se reducen ;;L

u(x,y)=O,(j

v(x,y) = -x.a

Segn (1.11), las deformaciones en cualquier punto de este elemento son

BuBx

= O, E y =Bv-=0By ,

Bu BvIXY = - +-By Bx a

y, por tanto, el elemento satisface el criterio de deformacin constante.

Criterio de compatibilidad

Al ser polinomios las funciones de desplazamientos, los desplazamientos son continuosen el interior de los elementos. Para comprobar el criterio de compatibilidad en el bordecomn a los dos elementos, se imponen desplazamientos arbitrarios a los nodos comunes1 _ 4 y 2 _ 3 (Fig.2.28f)

2'=3'-

--

-...

--......

- -...- 23 2 3

(1) / (2)1'=4'

..- ......

..- ......

4 ..- 1 ...... 1..-..- ......Xl X2

Fig. 2.28 (j).

Los desplazamientos de los puntos situados en el borde comn estn determinados por

y por

Al tener los mismos desplazamientos en los nodos COl'mnes 1 - 4 y 2 - 3 y ser linealeslos desplazamientos en el borde comn, no se producir ningn salto o discontinuidaden dicho borde al deformarse la mnsula y, por ello, los elementos son compatibles. Enconsecuencia, se satisfacen los tres criterios de convergfncia en la mnsula discretizada.


2.10. EQUILIBRIO DE LA ESTRUCTURAEn la solucin exacta del problema elstico se satisfacen las condiciones de equili-brio en cualquier punto del interior de la estructura. Vamos ahora a comprobar siesas condiciones de equilibrio se satisfacen utilizando el mtodo de los elementosfinitos en la respuesta de la estructura en los nodos, en los bordes de los elementosy en su interior.

A. Equilibrio en los nodosLa ecuacin (2.64), [K]{ Od} = {Fe}, representa la ecuacin de equilibrio de losnodos, por lo que la respuesta de la estructura definida por el vector de desplaza-mientos {Od} tiene que ser tal que cada nodo estar en equilibrio sometido a lasfuerzas nod'a,les (directas y equivalentes).

B. Equilibrio en los bordes delelemento

(a)

OX(I) a (2)x7:xy(l) (2)

7:xy

(b)

Fig. 2.29.

En el desarrollo del MEF no se plante ningu-na ecuacin de equilibrio en los bordes de loselementos y, por ello, no tienen porque satis-facerse las ecuaciones de equilibrio en dichosbordes. Es decir, cualquier paraleleppedo ele-mental situado en el borde de una malla bidi-mensional (Fig. 2.29a) no tiene porque estar enequilibrio y, por tanto, en ausencia de fuerzasmsicas q que acten sobre el elemento, no tie-nen porque verificarse las ecuaciones de equili-brio 0"~1) = 0"~2), T~t) = Tg) (Fig. 2.29b). Sinembargo, si las soluciones del MEF convergen,los desequilibrios en los bordes de los elementosse harn cada vez menores con el refinamientode la malla.

c. Equilibrio en los puntos del interior del elementoDe igual modo, las ecuaciones de equilibrio del paraleleppedo (1.2) no tienen porquesatisfacerse en el interior de los elementos. Como con el refinamiento de la malla, enuna discretizacin correcta de la estructura, se alcanza cada vez una respuesta masaproximada de los desplazamientos nodales {od}, tambin sern mas aproximadoslos valores de los esfuerzos {u} = [D][B]{o} en el interior de los elementos y, enconsecuencia, ser mas aproximado el cumplimiento de las ecuaciones de equilibrio.

Adems, al hacerse pequeos los tamaos de los elementos con el refinamientode la malla, suele suceder que todos los puntos de cada elemento tengan el mismoestado de deformaciones (criterio de deformacin constante) y, por tanto, el mismoestado de esfuerzos. En este caso particular, en ausencia de fuerzas msicas q, lospuntos del interior de cada elemento satisfarn las ecuaciones de equilibrio.

ESTABILIDAD DE LOS ELEMENTOS 57

2.11. ESTABILIDAD DE LOS ELEMENTOSUn elemento finito es inestable cuando su energa de deformacin es nula para unvector de parmetros nodales {8e } diferente al correspondiente al movimiento delelemento como cuerpo rgido. Cuando esto sucede la matriz de rigidez del elemento[keJ es nula y el elemento constituye un mecanismo. En efecto, segn (2.39), laenerga de deformacin de un elemento es

1Ue =-2y teniendo en cuenta (1.7), resulta

1Ue = - {e}T[D]{e}dVe .2 v (2.74)

Sustituyendo (2.24) y (2.27), se obtiene1 T TUe = -{8e } [BeJ [D][BeJ dVe {8 e }.2 Ve

Utilizando (2.32), se expresa la energa de deformacindel elemento en funcin de su matriz de rigidez [keJ y del yvector de parmetros nodales {8e }

1 TUe = 2 {8 e } [ke]{8e } (2.75)x

y, por tanto, cuando la energa de deformacin Ue es nula,la matriz de rigidez [keJ es tambin nula.

Fig. 2.30 (a).

y-----4 --~- 4 t" \ 0-- ------ -,II \ \ II I I 2 \ 3 \ I 4 II I ---- \ I

- ~--

'------ ---i)1-J --

0----,~-- ..... --1'I

--

.....

I \ -- .....I \ --~ / \ .....II \ \5 I 6 7 8I \ /I I &-- \ / -....d- -....-- \

---.... II -- --~ -....~-----i) 'o

Fig. 2.30 (b).

El que un elemento sea inestable suele producirse como consecuencia de defi-ciencias en su formulacin, como es el caso de un bajo orden de la cuadratura de


Gauss utilizada en las integraciones. Sea, por ejemplo, un elemento bidimensionalrectangular de cuatro nodos (Fig. 2.30a) que tiene un total de 8 grados de libertady, por tanto, el vector de parmetros nodales { e } tiene 8 trminos. Ello permitedescomponer los posibles desplazamientos nodales del elemento en la suma de 8componentes o modos de desplazamientos independientes (Fig. 2.30b). Los modos1, 2 y 3 son los modos del cuerpo rgido y representan las traslaciones segn los ejesx, y y el giro del elemento como si fuera un cuerpo rgido. Los restantes modos sonlos modos de deformacin y comprenden los modos de deformacin constante y losmodos de deformacin lineal. Los modos de deformacin constante son los modosde traccin 4 y 5 y el modo de cortadura 6. Finalmente, los modos de deformacinlineal son los modos de flexin 7 y 8.

Al sustituir los desplazamientos nodales { e } correspondientes al movimientodel cuerpo rgido (modos 1, 2 y 3) en la ecuacin (2.75) se obtiene Ue = O. Porel contrario, al sustituir los desplazamientos nodales { e } que corresponden a losestados de deformacin constante (modos 4, 5 y 6) se ha de verificar que Ue > O,cualquiera que sea el proceso de integracin que se utilice.

Sin embargo, al utilizar la cuadratura de Gauss para determinar la energa dedeformacin del elemento, puede suceder que a todos los puntos de la cuadraturacorrespondan vectores de deformaciones {e} nulos para determinados desplaza-mientos nodales { e }, de acuerdo con la relacin (2.24), {e} = [B]{e }. En estecaso, segn (2.74), la energa de deformacin sera Ue = ~ {e}T[D]{e}dVe = O2 vpara esos desplazamientos nodales { e } y, teniendo en cuenta (2.75), tambin seranula la matriz de rigidez [keJ para esos mismos { e }, presentndose la inestabilidaden el elemento. Ello puede suceder en el elemento rectangular considerado cuandolos desplazamientos nodales {e} corresponden a estados de deformacin lineal oflexin (modos 7 y 8). En el centro de este elemento as deformado, el vector dedeformaciones {e} es nulo, por lo que si se elige un solo punto de Gauss (n = 1)coincidir con el centro del elemento y ello hace que Ue = ~ {e }T[D]{e }dVe = O2 vy, por tanto, se presenta la inestabilidad en el elemento, lo que no hubiera sucedi-do si el orden de la cuadratura de Gauss hubiera sido n > 2. Es evidente que laprobabilidad de que se presente una inestabilidad en un elemento aumenta cuandoel orden de la cuadratura de Gauss n es bajo.

Los elementos inestables deben ser utilizados con precaucin ya que pueden darlugar a mallas inestables, las cuales debido a las cargas experimentan desplazamien-tos excesivos y poco representativos de los desplazamientos reales de la estructura.De todas formas la inestabilidad de un elemento puede no afectar demasiado alos elementos contiguos, lo que hace que una malla que contiene algn elementoinestable sea aprovechable.

, ,

III. FORMULACION DEBIL,

2.12. METODO DE RAYLEIGH-RITZEl mtodo de Rayleigh-Ritz, basado en el principio de la energa potencial total,se aplica a estructuras cuyo comportamiento ante las cargas puede establecerse

MTODO DE RAYLEIGH-RITZ 59

mediante expresiones integrales extendidas a toda la estructura, como son las ex-presiones de la energa potencial total cP. A los mtodos que obtienen la formulacinde los elementos a partir de la energa potencial total, se les denominan mtodosvariacionales. Estos mtodos, junto con los mtodos de los residuos ponderados quese estudian a continuacin, constituyen la forma dbil de resolucin del problemaelstico, ya que lo hacen de forma aproximada, mediante integraciones extendidasa toda la estructura. Por el contrario, el mtodo exacto constituye la forma fuerte,al resolver el sistema de ecuaciones diferenciales de gobierno teniendo en cuentacada punto de la estructura.

La energa potencial total de una estructura estar definida por una ecuacinanloga a la ecuacin (2.40) de la energa potencial total del elemento finito

cP=_{8}T{p}- {u}T{q}dV-v

1S { u}T {p }dS + 2 (2.76)

El mtodo Rayleigh-Ritz expresa las componentes u, v, w del vector de despla-zamientos {u} de un punto cualquiera de la estructura, de coordenadas x,y,z, enla forma ..

i=l

U = L O'.i!i(X, y, z),i=l

donde

t=m

V = L O'.di(X, y, z),i=l

t=n

W = L O'.di(X, y, z),

'l.=m

(2.77)

fi(X, y, z) son funciones que deben satisfacer el criterio de compatibilidad ylas condiciones de contorno, siendo normalmente polinomios.O'.i son coeficientes a determinar, cuyo nmero coincide con el nmero n degrados de libertad de la estructura y de ah el que la suma de los trminosl, m - l y n-m de cada una de las componentes u, v, w sea igual a n. Espreciso estimar cuantos trminos ha de tener cada componente del vector dedesplazamientos {u} para conseguir el grado de aproximacin deseado.

Las ecuaciones (2.77) equivalen a

{u} = [A]{a}, (2.78)

siendo [A] una matriz de orden n cuyos elementos son las funciones fi(X,y,Z) y{a} el vector formado por los n coeficientes O'.i'

El vector de desplazamientos nodales {8} se determina a partir del vector dedesplazamientos {u}. Sustituyendo en la expresin (2.76) de la energa potencialtotal cP el vector de desplazamientos {u} = [A]{a} y los vectores {c} = [8]{u}y {O"} = [D][8]{u}, se obtiene la expresin de la energa potencial total de laestructura en funcin exclusivamente de los coeficientes O'.i. Es decir

(2.79)


De acuerdo con el principio de la energa potencial total,equilibrio de la estructura est definida por las n ecuaciones

d~ O . 2d =, para z = 1, ,..., n.ai

la configuracin de

(2.80)

Este sistema-de ecuaciones da lugar a la ecuacin matricial de rigidez

[L]{a} = {H}, (2.81)en la que las magnitudes de H i y de ai han de ser tales que los productos H i .ai ten-gan unidades de energa. Resolviendo este sistema de ecuaciones se hallan los coe-ficientes ai Yutilizando (2.78) se determinan los desplazamientos {ti} que permitencalcular, mediante (1.13), las deformaciones en cualquier punto de la estructura

{g} = [8][A]{a},y, mediante (1.7), los esfuerzos

{u} = [D][8][A]{a},

(2.82)

(2.83)

con lo que se determina la respuesta de la estructura ante las cargas y las condi-ciones de contorno.

Al aplicar este mtodo se tiene que seleccionar entre las mltiples funcionesJi (x, y, z) las que hagan que la energa potencial total sea estacionaria. Para elloes necesario que los polinomios que se utilicen sean completos. As para un despla-zamiento bidimensional de grado 2 la componente u, ha de ser

Hay que tener en cuenta que cuantos mas trminos tengan las funciones de des-plazamientos ser mayor la aproximacin con relacin a la solucin exacta. Es decir,el grado de aproximacin del mtodo Rayleigh-Ritz es tanto mayor cuanto mayorsea el nmero n de grados de libertad de la estructura discreta que suponemosequivalente a la estructura continua.

,

2.13. METODOS DE LOS RESIDUOS PONDERADOS

En aquellas estructuras en las que se conocen las ecuaciones diferenciales de go-bierno, de solucin imposible en la mayora de los casos, se utilizan los llamadosmtodos de los residuos ponderados. En los problemas estructurales estos mtodosproporcionan la misma formulacin del elemento que los mtodos variacionales yson cada vez mas empleados.

Sea, por ejemplo, una estructura cuyos nicos desplazamientos u(x) estn defi-nidos por la ecuacin diferencial de gobierno, representada por

D(u,x) = O, (2.84)

MTODOS DE LOS RESIDUOS PONDERADOS 61

debiendo adems satisfacer en el contorno de la estructura las condiciones

C(u,x)=O,

en la que C (u, x) puede representar tambin una ecuacin diferencial.Se adopta como funcin aproximada de desplazamientos

(2.85)

(2.86)

en la que fi (x) suelen ser polinomios aunque no necesariamente. En las estructurasdiscretizadas se adopta usualmente como funcin aproximada de desplazamientos

U- - ~ Nu'-L.-J t 't, (2.87)

donde Ni son funciones de interpolacin y Ui son los desplazamientos nodales dela estructura.

Al sustituir las funciones aproximadas (2.86) o (2.87) en la ecuacin diferencialde gobierno (2.84), se obtiene el residuo interno

"

RD=D(,x), (2.88)y al sustituir dichas funciones aproximadas en las condiciones de contorno (2.85),se obtiene el residuo externo o residuo de contorno

Re = C (, x). (2.89)En el caso de que la funcin aproximada de desplazamientos (2.86) o (2.87)

satisfaga las condiciones de contorno (2.85) se prescinde del residuo externo Re.Los mtodos de los residuos ponderados minimizan los residuos RD y Re igua-

lando a cero los promedios de los residuos ponderados en toda la estructura y ensu contorno. La expresin analtica de estos mtodos es

(2.90)

representando

R el residuo RD y/o Re,r el volumen de la estructura y/o la superficie de su contorno,W i las funciones de peso.

Las ecuaciones (2.90) permiten calcular los coeficientes D:i o los desplazamientosnodales Ui, a partir de los cuales se determina la respuesta de la estructura.

Las funciones de peso Wi multiplican a los residuos R siendo su nmero igual alos coeficientes D:i o a los desplazamientos nodales Ui. Los diversos mtodos de losresiduos ponderados difieren en la forma de definir las funciones de peso. As, elmtodo de los mnimos cuadrados adopta W i = 8R/8D:i' con lo que las ecuaciones(2.90) se convierten en


(2.91)

R aR dr = Or aO!i '

que determinan los coeficientes O!i.Otro de los mtodos de los residuos ponderados, de aplicacin en estructuras

discretizadas, es el mtodo de Garlekin que utiliza como funciones de peso W i lasfunciones de interpolacin Ni, con lo que la ecuaciones (2.90) se convierten en

NiRdr = O,r

(2.92a)

que permiten hallar los desplazamientos nodales Ui' En el caso de que se utilice lafuncin aproximada de desplazamientos (2.86), se adopta Wi = aU/aO!i transfor-mandase las ecuaciones (2.90) en

(2.92b)

que permiten hallar los coeficientes O!i.La mayor ventaja de los mtodos de los residuos ponderados es que pueden ser

aplicados a cualquier problema del que se conozcan sus ecuaciones diferenciales degobierno. Son mtodos matemticos de aproximacin de funciones que tienen pocosignificado fsico pero que son cada vez mas empleados.

3.BARRASYESTRUCTURASARTICULADAS

,

3.1. INTRODUCCION

En este captulo se aplica el mtodo de los elementos finitos a estructuras que semodelan en elementos finitos unidimensionales, como son las estructuras de barrasque trabajan a traccin y compresin, entre las que se encuentran las estructurasarticuladas.

Los elementos finitos que se consideran son elementos lagrangianos que utilizancomo funciones de interpolacin los polinomios de Lagrange, que se caracterizanpor tener un cierto valor en un punto y valores nulos en otros puntos determinados.

Este captulo se divide en tres partes: Planteamiento y desarrollo del MEF,Elementos de grado superior y Formulacin dbil.

En la primera parte, los elementos finitos que se emplean son elementos linea-les, formulados mediante funciones de interpolacin que son polinomios de primergrado.

En la segunda parte se analizan los elementos de grado superior en los que lasfunciones de interpolacin ya no varan linealmente. Estos elementos son necesariosen casos complejos que exigen, para lograr una mayor aproximacin, que se aumen-te el grado de las funciones de interpolacin si no se quiere aumentar el nmero deelementos.

Finalmente, en la tercera parte del captulo se procede a la formulacin dbil delMEF, aplicando el mtodo de Rayleigh-Ritz y los mtodos de residuos ponderadosa barras que trabajan a traccin o compresin.

,

3.2. ECUACION DIFERENCIAL DE GOBIERNO

y v"BFig. 3.1. (a)

A

La solucin del problema elstico en cualquier estructura hace intervenir las ecua-ciones de equilibrio entre fuerzas externas e internas, las relaciones entre esfuerzosy deformaciones y las de compatibilidad de las deformaciones. Al expresar la ecua-cin de equilibrio de una barra sometida a traccin o compresin en funcin de losdesplazamientos se obtiene su ecuacin diferencial de gobierno.

Sea, por ejemplo, una barra de seccintransversal de rea A(x) y mdulo de elastici-dad E sometida a traccin o compresin, de- p.A---tbido a una carga longitudinal distribuida porunidad de longitud q(x) (Fig. 3.1a). Del equi-

63

64 BARRAS y ESTRUCTURAS ARTICULADAS

dx librio longitudinal de la rebanada (Fig. 3.1b), se deduce

LX = O, -N + (N + dN) + q(x) dx = O,N q(x)

N+dN de donde

dNdx+q(x)=O. (3.1)

Fig. 3.1. (b)

Al ser un caso unidimensional, los desplazamientos longitudinales de los puntosde la barra estn definidos por el campo de desplazamientos u(x). Si se satisfacela hiptesis de Bernouilli-Navier de que las secciones planas permanecen planasdurante la deformacin, la relacin

duex = dx' (3.2)

determina el campo de deformaciones de la barra. Y si la barra es linealmenteelstica, el campo de esfuerzos est definido por

duU x = Eex = E .dx

De la relacin entre solicitaciones y esfuerzos

(3.3)

N = uxdA =A A

dA,

se deduce la ley de fuerzas normales de la barra

N = EA duodx

(3.4)

Sustituyendo este valor de N en la ecuacin de equilibrio (3.1), se obtiene laecuacin diferencial de gobierno de una barra que trabaja a traccin o compresin

ddx

EA du + q(x) = O.dx

(3.5)

En el caso de que E y A sean constantes, la ecuacin diferencial de gobierno sereduce a

(3.6)

MATRIZ COMPLETA DE RIGIDEZ 65

Ejemplo 3.1. La barra troncocnica AB representada (Fig. 3.2a), de longitud L yde rea A o en la seccin de empotramiento, est sometida a una carga longitudinal Paplicada en su extremo B. Determinar el campo de desplazamientos y el alargamiento dela barra.

Datos: EAo, L.

~~ I~ --1 - -A ~ --B P -~ 1 _--1

-~ 1 - I--~ ,

x'

Solucin: Segn (3.4), la ley de fuerzas normalesde la barra (Fig. 3.2b) es A

N = EA(x' ) du = P.dx'

De esta ecuacin se deduce (a)

---

---p -- ...,-

- 1--

-- I

I, ,I

L

B

L,

I r2L Pdx'= -u(x ) = JXI EA(x

')

= r2L Pdx' (2L )2JXI EAo X'2 '

2L

dux'

2L

dux'

_ 4PL2 r2L dx'- EAo JXI X '2 '

(b)

Fig. 3.2.e integrando se determina el campo de desplazamientos de la barra

( 1) _ 2PL (2L - Xl)ux -EA 'o Xl

y su alargamiento

I 2PLUB = u(x )xl=L = EA

o.

I. PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO DEL MEF

3.3. MATRIZ COMPLETA DE RIGIDEZ

A. Elemento lineal

Consideremos un elemento finito de barra delongitud L con nodos en sus extremos some-tido a traccin/compresin (Fig. 3.3a). Al serde segndo orden la ecuacin diferencial de go-bierno de una barra sometida a traccin/com-presin (3.5), su solucin exige 2 parmetros.

1 u I 2 u2, , I ljl ,,1 I I

XI 1 1 IX

~'x2

Fig. 3.3. (a)

66 BARRAS y ESTRUCTURAS ARTICULADAS

Si se utiliza como funcin de desplazamientos aproximada u(x) un polinomio deprimer grado

u(X) = I + 2X,

su representacin es una recta (Fig. 3.3b) Yel elemento considerado es un elementolineal. Siendo los desplazamientos UI YU2 de sus nodos 1 y 2 los nicos parmetrosnodales, al particularizar los valores de la funcin de desplazamientos u(x) en losnodos del elemento, de acuerdo con (2.2), se obtiene

(3.8)

(3.7)

(3.10)

,

N _ -Xl +x2 - L '

Las funciones NI y N 2 , halladas en (2.4),

o bien

donde [NeJ es la matriz de interpolacin o matrizde forma del elemento

u(x)U

r" u(x)..II

Uz, ,, I1 11 ,, ,I ,, ,

1 I 2' xI , ,,

., ,1

,

1x, L I

I,

tr'

Xz

2'

l'

1

1

I

(b)

2

1

son las funciones de interpolacin o de forma delelemento lineal y son polinomios que tienen valorunidad en el nodo correspondiente y valor cero

212753769 el metodo de los elementos finitos aplicado al analisis estructural misoluciondudas

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