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ELEMENTOS DEMATEMATICA
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Exterior: $7.-
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Impresión: Olimpíadas de Matemática
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Diagramación: Mariana A. Ortega
ELEMENTOS-DE MATEMATICA
PUBLICACION DIDACTICO-CIENTIFICA
DE LA UNIVERSIDAD CAECE
VOLUMEN XVI NUMERO LXIII MARZO 2002
SUMARIO Editorial 3 La Unicidad déla Tangente Prof. Jorge Bosch 5 La Matemática y el Deporte. Atletismo I (Carreras) Dres. Núñez Espallargas y Servat Susagne 11 La Simulación Estadística en la Planificación Familiar Lic. Susana Pasciullo 16 Fractales Prof. Sergio Falcón Santana 19 La Biblioteca Lic. Francisco Villaverde 24 Los Problemas en el Aula Prof. Juan Angel Foncuberta 25 Aula Presente Lic. Lucrecia D. Iglesias 30 Problemas propuestos para 3o C. EGB y polimodal Prof. Mario J. Cozzani 35 Problemas y soluciones para publicar Dr. Daniel Prelat 41 WWWjnatemática... Lic. Francisco Villaverde 44
ISSN 0326-8888
Editorial ~ i Entregamos a nuestros distinguidos colegas el ^
LXIII de nuestra revista. 6 numero
Y/ A las secciones fijas habituales se agregan en y,
este número cuatro artículos que, refiriéndose a ^ temas muy distintos, estimamos que despertarán el ¿
V/ interés de los lectores. %
Se trata de:
1.- "La unicidad de la tangente", desarrollado con su Ú reconocida maestría por el Prof. Jorge Bosch, y que ^ finaliza con una definición general del concepto de ^ tangente. ^
Y/ 2. - "La matemática y el Deporte. Atletismo I. Carreras" ^ de la autoría de nuestros distinguidos colaboradores ^ de la Universidad de Barcelona, Dres. Núñez ^
Falcón Santana, que nos honra con esta colaboración ^ desde las Islas Canarias, sobre un tema de creciente Ú
Espallargas y Servat Susagne, donde se demuestra ^ que la Matemática es aplicable aún a cuestiones ^ aparentemente no matemáticas. ^
3.- "Fractales". Un nuevo trabajo del Profesor Sergio Ú
| 4.- "La Simulación Estadística en la Planificación Fami- ^ liar", interesante tema presentado por la Lic. Susana ^ Pasciullo en el VI Congreso de Educación Mate- ^ Omática llevado a cabo en la Universidad CAECE ^ durante septiembre de 2001. ^
Agradecemos a todos los colaboradores de ^ "Elementos de Matemática" por enriquecer esta ^ publicación con sus trabajos. ^
El Director ^ * • *
ELEMENTOS DE MATEMÁTICA - Vol.XVI, Nro. 63, Marzo de 2002 5
La Unicidad de la Tangente por Jorge Bosch
Observación sobre la definición y la unicidad de la tangente. Es bastante usual en algunos textos de Matemática tratar la noción de tangente como si ya se supiera cuál es su significado, pero en realidad hay varias maneras de introducirla. La más sencilla y conocida es la que se ofrece en los libros de Análisis Matemático utilizando el concepto de derivada. Pero lo que no se suele indicar en los cursos elementales de Análisis es que esta definición es independiente de la presentación de la curva como gráfica de una función, aunque se cambie el sistema de coordenadas. Es decir que la tangente, si existe, es única, y sólo depende de la curva. Al respecto lo más conveniente es utilizar Análisis Vectorial, como se hace en los libros de Geo-metría Diferencial y en algunos de Análisis Matemático, pero esto requiere conceptos un poco más elevados que los correspondientes a una introducción al Análisis. Aborda-remos el tema con los recursos elementales de derivada y de transformación de sis-temas de coordenadas. Usaremos la notación Oxy para designar un sistema de origen O y ejes x, y, aunque en realidad la caracterización más precisa consiste en dar un par ordenado de vectores fijos no alineados (epe ), de origen común, que representan a las unidades y que determinan el origen de coordenadas O y los ejes x, y.
Definición 1. Sea una curva y que se presenta, con respecto a un sistema de coordenadas S = Oxy, como la gráfica de una función y = f(x); sea xo un punto del dominio de la función f(x), y sea P el punto de la curva y que tiene coordenadas (x ff(x j). Si la función f(x) es derivable en x¿ se llama tangente a la curva y en P respecto del sistema S a la recta que pasa por P y tiene como coeficiente angular respecto de S a la derivada f'(x ).
6 PROF. JORGE BOSCH
Observación. Como la derivada es siempre un número real (finito) la tangente definida del modo indicado no puede ser paralela al eje "y", o sea al vector e2, pues este vector carece de coeficiente angular (aunque a veces se dice, de manera totalmente informal, que tal coeficiente angular es infinito). Por tanto, el caso de tangente paralela al eje de ordenadas debe ser objeto de una definición especial.
Si se cambia el sistema de coordenadas pero se mantiene fija la curva y, ésta no aparece ya, en general, como gráfica de la misma función y -f(x), e inclusive puede dejar de ser la gráfica de una función. Esto sucedería si, con respecto a un nuevo sistema Oír, hubiera una paralela al eje de ordenadas que cortara a la curva y en más de un punto. Por ejemplo, en el caso de la Figura la curva y representa una función y =f(x) con respecto al sistema de coordenadas S = Oxy, pero al cambiar el sistema de coordenadas la misma curva puede no representar una función: en efecto, con respecto al sistema cartesiano K = Otr la curva y ya no representa una función porque al argumento tj corresponderían dos valores de la supuesta función, que serían las ordenadas de los puntos de intersección de la recta s (paralela al eje r) con la curva y; y esto va en contra, precisamente, de la definición de función.
Volvamos a las derivadas. Sigamos con la suposición (referida a la Figura) de que la curva y represente una función y =f(x), derivable en xg, respecto del sistema S. Sea P el correspondiente punto de la curva y sea p la tangente respecto del sistema S, definida como de costumbre mediante la d e r i v a d a S e a tg la abscisa del punto P respecto del nuevo sistema K, y supongamos que, al menos en un entorno de t, la curva y aparezca como gráfica de una función r = g(t), derivable en tg. Si aplicamos la definición anterior hallamos como tangente a y en P a una recta que pasa por P y tiene como coeficiente angular respecto de K a la derivada tj; cabe preguntar: ¿coincide esta tangente respecto de K con la hallada anteriormente respecto de S, o sea con la recta pl Si trabajamos con sistemas de coordenadas cartesianas (no necesariamente ortogonales) la respuesta es afirmativa.
Vamos a demostrarlo, pero antes recordemos que la matriz de pasaje de S a K es del tipo:
M (S,K) = ya21 a22 )
, con A ^ 0 .
siendo A el determinante de la matriz. Como sabemos, las columnas son las coordenadas de los vectores básicos de K respecto de S, y las filas permiten escribir la transformación de las coordenadas de un punto cualquiera al pasar de S a K, o sea:
x = an t + a¡2 y
y = a21t + a22 y
Si no se impone a los coeficientes a., otra restricción más que la de ser no nulo el determinante D, estas ecuaciones definen lo que se llama la transformación afín más general de origen O. Ahora estamos en condiciones de demostrar lo que deseába-mos, pero antes haremos una observación.
LA UNICIDAD DE LA TANGENTE 7
Observación previa. Si la curva yes la gráfica de la función y =f(x) respecto de un sistema S = Oxy = (epe2), y si P es un punto de y de coordenadas (xn,yo), sabemos que, por definición, la tangente a y en P tiene por coeficiente angular respecto de S a la derivada f'(xj. Luego si el vector u, de coordenadas (,upu2) respecto de S, es paralelo a la mencionada tangente, no puede ser u¡ = 0 pues en tal caso el vector y la supuesta tangente serían paralelos al eje de ordenadas (y al vector e2) y entonces, en virtud de la Observación que sigue a la Definición 1, no existiría la derivada f ( x j y la supuesta tangente no estaría definida. Luego, para tal vector debe verificarse necesariamente u ^ 0 y, por ser paralelo a la tangente, se tiene u, /u¡ = f'(xj.
Teorema de unicidad de la tangente. Sean y una curva y P uno de sus puntos; sean también S - Oxy, K = Otr, dos sistemas de coordenadas cartesianas de origen común. Se supone que y, referida a S, es la gráfica de una función y = f(x), y referida a K es la gráfica de otra función r = g(t). Se supone también que el punto P, referido al sistema S tiene coordenadas (x^yj, y referido a K tiene coordenadas (t¿rj. Por último, se supone que la función y = f(x) es derivable en xq , y que la función r = g(t) es derivable en t. Entonces la tangente a la curva y en P con respecto a S coincide con la tangente a y en P con respecto a K. (O sea que la definición de tangente que hemos dado provee siempre la misma recta tangente en P, independientemente de la función que resulte como ecuación de la curva al cambiar el sistema cartesiano de origen O.)
Demostración. Sea M(S, K) la matriz de pasaje de S a K indicada más arriba, la que da lugar a las ecuaciones de transformación afín ya mencionadas. Si nos restringimos a los puntos de y, sabemos por hipótesis que para ellos se tiene r = g(t). Entonces, si en las ecuaciones de transformación reemplazamos r por g(t), se obtiene que x e y aparecen como funciones de t, del siguiente modo:
Por las hipótesis hechas, sabemos que para t = to es x - xo, y como y es derivable en to yf lo es en xg, podemos derivar la igualdad anterior respecto de t (en el punto tj; teniendo en cuenta que en el segundo miembro aparece una función compuesta, hay que derivar primero/respecto de x en el punto xg y luego derivar el argumento respecto de t en el punto to; se llega así a la siguiente igualdad:
x(t) = aut + a¡2 g(t) y(t) = a t + a g(t).
Luego, reemplazando estos valores en la expresión y =f(x), se obtiene: a t + a g(t) = f(a t + a g(t)).
an + "22 S'(tJ = f'(xj.(au + a¡2 g'(tj) (i)
de donde (2)
(3)
8 PROF. JORGE BOSCH
De (2) se despeja g'(tj: aw f'( Xo )~a21
8'(t<>) = anf'(x0)-a22 (4)
con denominador no nulo en virtud de (3). Ahora pasemos al coeficiente angular de la tangente. Sea u un vector no nulo, de origen O, paralelo a la recta tangente a y en P respecto de 5; luego, su coeficiente angular coincide con el de dicha tangente. Ahora bien: si las coordenadas de u respecto de S son {uru2), se sabe por la Observación previa que es u/ ¿t y entonces el coeficiente angular del vector (y de la mencionada recta tangente) es h = u2 /u¡ ; en consecuencia
h = u2/u¡ = f'(xj. (5)
Las ecuaciones de transformación vistas más arriba se aplican a las coordenadas del vector del mismo modo que a las coordenadas de los puntos, o sea, llamando (m/,m2') a las coordenadas de u respecto de K:
Uj = au uf + a¡2 u2' u2 = a2¡ uf + a22 u2'.
Dividiendo la segunda igualdad por la primera y recordando que u^O y que h~u2
/ur se obtiene:
a21M,' + a22w2' h = ———7 ; (6) auu¡ +anu2
El denominador no se anula porque es igual a up y ya hemos visto que esta coordenada es distinta de cero.
Segunda suposición, que también será aclarada al final: si se mantiene la primera suposición, debe ser
u/ luego podemos poner
h' = u^/uf, coeficiente angular de u respecto de K, y también se puede dividir numerador y denominador de (4) por wy', con lo cual se obtiene:
h = , an +al2h'
de donde se despeja h' :
auh — a2
12 22
cuyo denominador no se anula en virtud de (3) y (5). De (4), (5) y (7) se deduce:
h' = g'(to), lo cual prueba que la recta tangente a y en P con respecto a K es paralela a u; y como además pasa por P, coincide con la tangente a y en P con respecto a 5, quedando demostrada así la unicidad de la tangente.
LA UNICIDAD DE LA TANGENTE 9
Resta formular dos aclaraciones que hemos dejado para el final: 1) Empezaremos por la segunda suposición, o sea que, manteniendo la primera
suposición, u ' no puede anularse. En efecto: si fuera u/ = 0
se tendría por (6): d> 1Á ̂
h= — 7 , (8) & j2 W 2
con denominador no nulo por ser igual a ur Luego: a¡2 ¿0, u2' #0. (9)
Simplificando u2' en (8) y teniendo en cuenta la primera igualdad de (9), se obtiene h = a22 /a¡2 , o sea a¡2h = a22 , y por (5):
ai2 f'(Xo) ~ a22 ' de d0Ilde ü22 ~ ü¡2 f'(Xo) = 0' absurdo por estar en contra de la primera suposición (3). Con esto queda demos-trado que, asumiendo la primera suposición, debe ser ' ^ 0.
2) Examinemos ahora la primera suposición y veamos qué sucede si el primer miembro de (3) es nulo, lo que equivale a suponer que el denominador de (4) es nulo. Pretendemos demostrar que en este caso no existe la derivada de y en tg. Partimos entonces de
a22-a12f'(xo) = 0. (10)
No puede ser a¡2 = 0 pues se tendría también a22 = 0, lo que implicaría A= 0, en contra de lo supuesto para la matriz M(S,K). Entonces
f ( x j = a22/a12. (11)
Ahora nos interesará calcular la matriz inversa de la anterior, que es M(K,S). Sabemos que ésta es la traspuesta de la adjunta de la anterior, dividida por A, o sea:
í n -r, \
M(K,S) = -7 «n j
y entonces las ecuaciones de transformación de coordenadas correspondientes a esta matriz son:
t = (1/D).(a22 x - a¡2 y) r = (l/D).(-a21 x + au y).
Reemplazando estos valores en r = g(t) y considerando que y = f(x) se obtiene (l/D).(-an x + anf(x)) = g[(l/D).(a22 x - a¡2f(x))J.
Si existiera g'(tj se podrían derivar ambos miembros respecto de x en el punto xo, y recordando que al reemplazar x por xoey por f ( x j en la primera de las ecuaciones de transformación el primer miembro de ésta resulta ser to, se obtendría
(l/D).[-a21 + a n f ( x j ] = g'(tj.(l/r>).[a22 - a]2f(x)].
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Pero en virtud de (10) el segundo miembro es nulo, luego el primero también lo es. Como 1/ D es distinto de cero, debe ser -a2¡ + auf'(xg) = 0. Se ve que an no puede anularse porque en tal caso sería también a2] = 0, y por tanto D = 0, lo que contradice la hipótesis. Entonces, de la igualdad establecida se deduce
f ( x j = a2¡ /an .
Comparando esta igualdad con (11) se advierte que las filas de la matriz M(S,K) serían proporcionales, y en consecuencia D = 0, absurdo. Este absurdo proviene de suponer que existe g'(tj y en consecuencia la función y no es derivable en to , como queríamos demostrar. Entonces el caso en que vale (10) está fuera de las hipótesis del teorema y en consecuencia no debe ser tomado en consideración. Luego la tangente a y en P con respecto a S es la única tangente a y en P. Con esto queda demostrado el teorema en todos los casos posibles.
Observación. El caso en que se cumple (10) puede interpretarse geométricamente como sigue. Si se cumple (10) vale también (11), y ésta indica que la tangente a y en P con respecto a S es paralela a e2\ o sea al eje r. Si aceptamos a esta tangente como única, tal como se deduce del teorema, se comprende que la función r = g(t) no sea derivable en to y que, estrictamente hablando, no exista la tangente a y en P con respecto a K.
Este teorema permite dar una definición general de tangente a una curva en un punto.
Definición general de tangente. Sean y una curva y P uno de sus puntos. Se llama tangente a y en P a la tangente a y en P según algún sistema cartesiano S respecto del cual esa tangente exista.
El teorema garantiza que, si hay varios sistemas respecto de los cuales existe la tangente a y en P, todas las tangentes así obtenidas coinciden. r~
ELEMENTOS DE MATEMÁTICA - Vol.XVI, Nro. 63, Marzo de 2002 11
La Matemática y el Deporte Atletismo I (CARRERAS)
por J.M. Núñez Espallargas y J.Servat Susagne n
Uno de los objetivos didácticos que se platea todo profesor de matemáticas es el de motivar al alumno por la materia y una de las estrategias utilizadas para intentar alcanzar este objetivo es la de contextualizar la enseñanza de la matemática de modo que el estudiante descubra las múltiples potencialidades que encierran este saber. Son numerosos los centros de interés que puede elegir el docente para encontrar aplica-ciones de los conceptos y recursos que ofrece la matemática. En las páginas que siguen vamos a mostrar algunos ejemplos en un ámbito, como es el mundo del deporte, que suele atraer la atención de la juventud, pero que, habitualmente, se sitúa alejado de los intereses de la matemática.
También hemos tenido en cuenta, al elaborar la selección de cuestiones que planteamos, la creciente importancia que van cobrando los estudios académicos de educación física y la consiguiente formación del profesorado especializado en esa materia, profesorado que debe tener algunas nociones de matemáticas en su curriculo. Existen multitud de situaciones en la práctica deportiva que pueden comprenderse mejor y, en consecuencia, perfeccionarse, aplicando el enfoque y la metodología que nos proporcionan las matemáticas. Es cierto que, en algunos deportes, como los de equipo, el análisis matemático de las situaciones puede ser complicado por el número de variables que intervienen, pero también lo es que, en otros muchos, y especialmente en el atletismo, se puede realizar ese análisis con sólo los recursos que proporciona la enseñanza secundaria.
Por su simplicidad y, en consecuencia, por su aplicabilidad a diversos contextos educativos hemos elegido algunas situaciones en dos tipos de pruebas clásicas dentro del atletismo: las carreras y los lanzamientos.
CARRERAS Exceptuando la maratón, el resto de carreras en competiciones oficiales se
realizan en campos de deporte y estadios. Esta localización dentro de un espacio limitado implica que, excepto las pruebas de menor longitud recorrida, como las carreras de 50 y 100 metros lisos, que pueden llevarse a cabo en pistas rectas, las restantes pruebas requieren trayectorias curvas en pistas cerradas. Por otra parte, el hecho de que compitan varios atletas simultáneamente, obliga al trazado de pistas con varias calles paralelas de igual anchura. Estos hechos básicos nos permiten aplicar nociones geométricas sencillas a cuestiones deportivas de carácter práctico, como pueden ser el diseño general de las pistas, la indicación de los principios y finales de carrera para que las oportunidades de los participantes sean iguales e, incluso, algunas estrategias ventajosas para el atleta. n Departamento de Didáctica de las Ciencias Experimentales y de la Matemática, Universidad de Barcelona, Barcelona, España.
12 DR. JOSÉ MARÍA NÚÑEZ ESPALLARGAS Y DR. JORDI SERVAT SUSAGNE
Como primera situación plantearemos la posibilidad de construir en un espacio dado pistas rectas para realizar carreras de 50 o 100 metros llanos.
1. ¿Es posible construir en el patio de un cetnro escolar una pista con dos calles para realizar carreras de 100 metros llanos, suponiendo que este recinto es rectangular y tiene unas dimensiones de 75 m de ancho por 85 m de largo?.
Observemos dos datos importantes que se deben tener en cuenta a la hora de que la pista sea homologable oficialmente, el primero es que la anchura de cada calle debe ser de 1,25 m y, el segundo, de que toda pista de carreras debe disponer de 10 m finales de salida para que los corredores no sufran ningún accidente.
Realizaremos los cálculos considerando sólo dos cifras decimales. La
diagonal AB del patio V755 + 85" = 113,35m. La máxima longitud para la pista con
las dos calles sobre la diagonal AB es IH. Por la construcción CE = DF = III.
Además CD es perpendicular a AI y EF lo es de BH. Por la semejanza de los AI AG
triángulos AID y ABG se deduce que — = 7— . Por lo tanto: AI = 85
l , 2 5 x — = 1,42m. La longitud de la pista IH es igual a 113,35 - 2 x 1,42 =
110,51 m. La construcción es viable A
Podemos determinar cuantitativamente la ventaja que supone al atleta correr de modo que mantenga constantemente su trayectoria paralela a la línea que marca el
borde de su calle.
2. En el caso de un corredor de 100 m llanos que sigue una trayectoria paralela a los lados de su calle, ¿cuál es su ventaja sobre el que corre diagonalmente ?. Es fácil calcular que para la anchura de las calles de 1,25 m, la ventaja del atleta que se desplaza paralelamente es menor que un centímetro sobre el que lo hace diagonalmente..
El diseño de campos de deporte y estadios ofrece muchas situaciones que precisan de la ayuda de las matemáticas. Comenzamos por considerar el caso de los campos de deporte usuales. La banda para realizar las carreras en un campo de
LA MATEMÁTICA Y EL DEPORTE. ATLETISMO I (CARRERAS) 13
deportes tiene dos partes rectas y dos curvas que corresponden a dos semicir-cunferencias.
3. Determinar el recorrido total de la pista interior y el de las restantes pistas en función de a, la anchura de cada una de éstas.
Denominamos l la longitud de la parte recta y r el radio de las semicircunferencias interiores. Entonces el recorrido de la línea interior de la pista interior es: 21 + 2nr. Dado que hay que suponer que el corredor va a una distancia de 30 cm de la línea interior, la verdadera longitud del recorrido para un atleta es: 21 + 2n (r + 0,30). El recorrido de la pista siguiente será: 21 + 2k (r + 0,30 + a), por lo tanto la ventaja en cada vuelta es de 2nt. El recorrido de la pista n será: 21 + 2 n(r + 0,30 + (n-l) a), de donde la ventaja en cada vuelta es de 2k (n-l) a.
Es importante conocer la ventaja que reporta a los atletas correr por pistas interiores, para poder determinar con precisión los puntos desalida en las distintas pistas para, de este modo, igualar las oportunidades.
4 . Determinar el radio de la parte curva de un campo de deportes de recorrido real 400 m de modo que la parte recta permita organizar carreras de 100 m lisos. ¿Qué ventaja debemos dar en una carrera de 400 m al corredor que vaya por la cuarta pista?.
Como el recorrido total es 400m y los tramos rectos deben ser, al menos de 1 OOm, entonces, por el ejercicio 3, tenemos: 400 = 2x100 + 27r( r+0,30). De donde r=31,5m. La ventaj a del corredor que corre por la cuarta pista (anchura 1,25) es 2n (4-1) x 1,25= 23,56 m.
Observemos un hecho que suele pasar desapercibido, como es la importancia que tiene la colocación del juez que da la salida, para igualar las condiciones en las carreras oficiales.
1. En una carrera de 1500 m el corredor A, que corre por una pista contigua pero exterior al B para compensar el efecto provocado por la curvatura de la pista, tiene una ventaja de 110 m sobre el B. Se sabe que la marca normal de este
14 DR. JOSÉ MARÍA NÚÑEZ ESPALLARGAS Y DR. JORDI SERVAT SUSAGNE
último es de, aproximadamente, 4 minutos. ¿En cuánto se acorta la ventaja del corredor A sobre el B si el juez que da la salida se coloca junto a B? B hace 1500m en 240 segundos (4 minutos), luego en un segundo recorre 6 m y en un tercio de segundo 2 m. Dado que A oye el disparo de salida un tercio de segundo más tarde que B, se acorta su ventaja sobre este corredor en apenas 2m. (La velocidad del sonido es, aproximadamente, de 340 m/seg)
Analizaremos ahora algunas situaciones en el caso de los estadios olímpicos. En ellos, la parte curvada de cada extremo del campo está construida mediante el trazado de tres arcos de circunferencia.
6. Calcular el recorrido de la pista interior de un estadio olímpico.
La parte curva de un estadio olímpico está formada por la unión de tres arcos de circunferencia correspondiendo, todos ellos, a un ángulo central de 60°, de modo que los dos exteriores con centros C y E tienen igual radio r y el interior de centro D tiene radio R. En la figura se aprecia que el triángulo formados por los tres centros CDE es equilátero. El lado de este triángulo equilátero es igual a R - r y la altura DH es
h = ^ 3 . 2
Si denominamos L la distancia máxima entre dos puntos del recorrido y l la longitud de la parte recta de la pista, entonces tenemos que
2 es decir L = l + 2 R - ( R - r ) > / 3 . Por su parte, la anchura máxima H del estadio es, obviamente, H = R + r. Así mismo, observemos que la longitud del arco de radio r es 1/6 • 2tcr — l/3nr y la del arco de radio R es 1/6 • 2nR = 1/3nR . En conclusión, el recorrido de la línea interior es 21 + 4/3 Ttr + 2/3nR y el de la pista interior real (considerando 30 cm de margen) 21 + (4/3r + 2/3/? + 0,60)71.
7. Disponemos de una plaza rectangular de 165 m de largo por 80 m de ancho. Queremos construir en ella una estadio con una anchura de 5 m (4 pista de 1,25 m cada una) y un recorrido interior real de 400 m. ¿Qué dimensiones tendrá? Utilizando las expresiones obtenidas en el caso anterior, tendremos
LA MATEMÁTICA Y EL DEPORTE. ATLETISMO I (CARRERAS) 15
165 = (5+5) + l + 2R- (R-r) =^3 80 = (5+5) + R + r 400 = 21 + (4/3r + 2/3R + 0,60)n
de donde, se obtienen los valores: R — 45 m, r - 25 m, l = 99,6 m.
Comprobemos hasta qué punto es ventajoso para un atleta correr pegado al máximo a la línea interior de su pista.
8. ¿Qué distancia real realiza un corredor de 3.000 m en una pista curva de un estadio de 330 m de recorrido que se mantiene constantemente a 15 cm de la línea interior?
Supondremos que, en lugar de correr a 30 cm de la línea interior que es el valor estándar con el que se calcula el recorrido real de una pista, nuestro corredor lo hace a sólo 15 cm. Podemos aplicar la expresión que nos da la ventaja de recorrido considerando que la anchura de pista es a = 15 cm. Tendremos: 2p 0,15, valor que debemos multiplicar por 9, que es el número de vueltas que el corredor realiza para cubrir los 3.000 m. El resultado es 8,50 m menos. Notemos que la separación entre los pies de un corredor implica que el pie que corre por la parte exterior de la pista debe cubrir una distancia ligeramente superior al otro.
Las situaciones que hemos mostrado son sólo una muestra de las posibilidades de aplicar las matemáticas a situaciones de carreras en estadios.
En el próximo número de Elementos de Matemática se ofrecerá a los lectores la propuesta sobre Lanzamientos. LZ !
16 ELEMENTOS DE MATEMÁTICA - Vol.XVI, Nro. 63, Marzo de 2002
La simulación estadística en la planificación familiar
por Susana Pasciullo
Medidas para el control de la natalidad
Supongamos que un país, amenazado por el explosivo crecimiento poblacional y la consecuente pobreza de sus habitantes, decide implementar políticas de planificación familiar que consisten en lo siguiente: "cada pareja constituida puede tener tantos hijos hasta que nazca un varón"
Esto es, si el primer hijo es varón, no tiene más descendencia. Si el primer hijo es una mujer, puede tener un segundo hijo, y sí este es varón no tiene más descendencia. Si por el contrario, el primero es mujer y el segundo también, puede tener un tercer hijo, y así sucesivamente hasta que nazca un varón.
Estas medidas cambiarán la estructura poblacional en cuanto al número de varones y mujeres? Cuál será el promedio de hijos por familia? Cuál la variabilidad en el número de hijos por familia? Es muy probable que una familia deba tener dos hijos para tener uno varón?
La verdad estadística simulada
En una planilla de cálculo, como en la Tabla 1, recreamos la situación de 1000 familias alcanzadas por la política de planificación familiar considerando que la probabilidad de que nazca un varón es igual a la probabilidad de que nazca una mujer y vale 0.5. Así, en la celda B2 (Tabla 1) simulamos el sexo de un recién nacido con =IF(RAND()>0.5,1,0) representando con 0 el nacimiento de una mujer y con 1 el de un varón.
En la celda C2, con el algoritmo indicado en la Tabla 1 preguntamos por el sexo del recién nacido en B2. Si es mujer, (B2=0) generamos otro nacimiento, en caso contrario, es decir si resultó varón, (B2=l) escribimos un blanco y finaliza el experi-mento.
El algoritmo en C2 se copia hasta P2, previendo de esta manera 15 replicaciones hasta lograr el nacimiento de un varón. Si bien este número es arbitrario, puede observarse en R1003 que en la presente corrida, el máximo de replicaciones del experimento hasta lograr un varón fue 9. Finalmente el bloque B2:P2 se copia en B2:P1001 completando de esta forma la situación délas 1000 familias. Observemos los resultados obtenidos compuestos o bien por un 1, o bien por una secuencia de 0 seguida de un 1.
En la columna Q contamos la cantidad de 1 en cada fila, que naturalmente es 1, con =COUNTIF(B2:P2,l) y en la columna R contamos la cantidad de 0 en cada fila,
S e c u e n c i a
CÜUNTIFÍE!2:P:
C0UNTIFÍB2:P:
MAXÍR2: R1001 j f
Q D r w D
1 2 3
I V 1
=¡FÍB2=0,IFÍR/
M N 0 p> Q R i?
1 2 1 3 1 4 1 5 V a r o n e s M u j e r e s T o t a l d e h i jos I . / 1 ;
oUMíQ2:Q1001' i =SÜM(R2:R10011
18 LIC. SUSANA PASCIULLO
es decir la cant idad de mujeres antes del nac imiento de un varón con •=COUNTIF(B2:P2,1). Luego en la columna S sumamos la cantidad de varones más la cantidad de mujeres obteniendo el número total de hijos en cada familia.
En las celdas Q1002 y R1002 calculamos las respectivas sumas con las funciones indicadas en la Tabla 1. Destaquemos en primer lugar que el número de varones nacidos es casi el mismo que el números de mujeres nacidas. Esto es, la planificación familiar no altera la estructura de la población en cuanto al sexo. En otras palabras, las probabilidades iniciales de cada sexo al nacer no tienen por qué modificarse.
En SI002 aparece el total de hijos en las 1000 familias, entonces el promedio de hijos por familia resulta
- 1999 X = 1.999
1000
Con la función =VAR(S2:S]001) calculamos la variancia del número total de hijos por familia obteniendo para esta corrida de simulación, S2 =1.8749 como estimación de cr .
Finalmente con la función =COUNTIF(S2:S1001,2) contamos las familias que tuvieron 2 hijos, resultando en nuestro caso 248. Por lo tanto una de cada 4 familias debieron tener dos hijos para tener un varón.
La solución teórica del problema.
Definamos la variable aleatoria: X: Cantidad de hijos que tiene una familia hasta que nace un varón.
Sabemos que X tiene una distribución Geométrica de parámetro p=0.5, simbó-
licamente X ~G( p = 0.5) con E( X) = — = 2 y Var( X ) = — f - = 2 . P P
Calculemos ahora P(X=2) teniendo en cuenta que la función de probabilidad Geométrica es:
P(X =x) = (l-p)x-i p con x = 1,2,3...
de donde resulta P( X = 2) = 0.25 . Q
ELEMENTOS DE MATEMÁTICA - Vol.XVI, Nro. 63, Marzo de 2002 19
Fraetales por Sergio Falcón Santana <*>
Introducción.-
Cuando Lewis Fry Richardson tiene la idea de medir la longitud L de una costa con una regla de tamaño 1, observa con asombro que dicha longitud L depende del tamaño de la regla con la que mide, de forma que al disminuir 1 aumenta L. Estudiando el problema encuentra que esta relación es de la forma L = l~a siendo "a" un parámetro de conversión a determinar.
Con auxilio de estos datos más los obtenidos de sus propias investigaciones, Mandelbrot crea la Geometría fractal.
Según su dimensión, los fraetales pueden ser lineales, planos o espaciales. Hablemos sólo de los fraetales lineales, que, como su nombre indica, son los creados mediante una línea.
Un fractal lineal es una figura geométrica formada por una línea de tal forma que en cada sección de la misma se repite la forma de la línea total. Entre los fraetales lineales se encuentran el triángulo de Sierpinski, el copo de nieve o curva de Koch, la curva de Peano, etc.
Se dice que la transformación afín f(x,y)=(ax+by+c, a'x+b'y+c') del plano euclídeo es una contracción si la distancia entre los transformados de dos puntos es menor que la distancia entre los puntos originales de los mismos. De hecho, los ejemplos de fraetales anteriormente mencionados son contracciones.
Los fraetales se dan no sólo en la naturaleza muerta (costas, acantilados, etc.) sino que también se dan en la naturaleza viva (fraetales naturales), como por ejemplo en la coliflor romanesco aunque también es visible en una coliflor común. Exterior-mente, una coliflor consta de un tronco que sostiene un casquete esférico. Pero de ese tronco nacen unas ramificaciones más pequeñas que no son más que pequeños troncos que sostienen casquetes esféricos constituyendo una repetición de la formación inicial. Pero incluso de estos pequeños troncos nacen otros más pequeños aún que sostienen casquetes esféricos más pequeños que repiten las dos formaciones anteriores. Es por lo tanto un fractal (en este caso, un fractal espacial).
Y también se encuentran fraetales en ciertos tipos de helecho, en el hinojo, etc. Estudiaremos a continuación algunos de los fraetales lineales.
El triángulo de Sierpinski.-
Dibuja un triángulo equilátero con una base horizontal y el vértice opuesto hacia arriba. Si unes los puntos medios de cada lado de este triángulo, obtendrás cuatro triángulos equiláteros semejantes al primero, tres de los cuales tienen base horizontal
'*' Departamento de Matemáticas, Universidad de Las Palmas de Gran Canaria.
20 PROF. SERGIO FALCÓN SANTANA
y el vértice opuesto hacia arriba por lo que estos tres repiten la misma estructura que el triángulo inicial. Si repites la operación ante-rior en estos tres triángulos, obtendrás cuatro triángulos en cada uno de ellos, tres los cuales tienen un vértice hacia arriba por lo que repiten la estructura de su triángulo "madre" que ya repetía la estructura del triángulo ini-cial. Esta operación la puedes repetir cuantas veces quieras obteniendo siempre tres trián-gulos que repiten la estructura inicial. La
figura que se obtiene en cada operación se llama fractal, aun cuando, teóricamente, el fractal se consigue cuando se repite la operación un número infinito de veces.
Es interesante hallar el perímetro del triángulo final de Sierpinski, así como el área que encierra.
I.- Calculemos la suma de los perímetros de todos los triángulos que repiten al inicial (los triángulos rellenos de la figura anterior). En la primera iteración se obtienen 3 triángulos equiláteros cuyos lados miden
1/2, en la segunda 32 triángulos de lados 1/22 y así sucesivamente hasta que en la iteración n-ésima se consiguen 3" triángulos equiláteros cuyos lados son de longitud 1/2 por lo que la suma de los perímetros de estos triángulos es
Pn = 3" -3-—. 2"
Si hacemos que el número de iteraciones tienda a infinito, entonces el períme-tro final sería
P = lim P = lim •3 :
es decir, la suma de los perímetros de los triángulos obtenidos aumenta con las iteraciones.
II.- Calculemos el área encerrada por la figura final. Evidentemente, el área de un triángulo equilátero de lado a, es
h = . a -( V ' a
= a-
área = base-altura/2 = a-W3 1 2 V3 — = a 2 2
Como ya se dijo al hallar el perímetro, en la n-ésima iteración se obtienen 3" 1
triángulos equiláteros de lados —por lo que su área es
, 3" V3 las areas es A = .
" 4" 4
2" y la suma de todas
FRACTALES 21
Si hacemos que n tienda a infinito, entonces el área encerrada por el triángulo de Sierpinski es
' 3 Y V 3 A = lim A = lim — = 0 .
4
El área encerrada por el triángulo de Sierpinski disminuye con las iteraciones. En resumen, en la práctica, conforme aumenta el número de iteraciones,
aumenta la longitud de la curva y disminuye el área encerrada por la misma. Y, repitiendo el proceso indefinidamente se llegaría a encontrar que el triángulo de Sierpinski es una curva cerrada de longitud infinita que encierra un área nula.
La curva de Koch o copo de nieve.-
Dibuja un triángulo equilátero con una base horizontal y el vértice opuesto hacia arriba. Divide cada lado en tres partes iguales, sobre la parte central dibuja un triángulo equilátero hacia fuera y elimina el lado inicial. Se obtienes la figura a). En la segunda iteración se encontraría la figura b):
figura a figura b
Si repetimos el proceso con los nuevos lados obtenidos y continuamos la iteración indefinidamente se obtiene la curva de Koch o copo de nieve.
El triángulo inicial es una curva continua en todos sus puntos y también es derivable, salvo en los vértices ya que en ellos la tangente no es única. La figura obtenida tras la primera iteración es continua en todos sus puntos y derivable en todos salvo en los "vértices" por la misma razón. Y así sucesivamente. Por lo tanto, como primera particularidad de esta curva, vemos que en el límite es continua en todos sus puntos y no derivable en ninguno de ellos, razón por la cual a las curvas de este tipo se les llama también curvas patológicas o monstruosas.
I.- Hallemos la longitud de la curva de Koch. Si el lado del triángulo inicial es de longitud 1, la longitud de la curva tras la primera
iteración (el perímetro del "casi" triángulo) es P( = 4-3-1/3, en la segunda es P, = 4-4-3- l /3 2 y así sucesivamente hasta que en la n-ésima iteración se obtienen 4"-3 lados de longitud 1/3" por lo que la longitud de la curva de Koch es
1 ( 4 Y P = l imP = l im4 -3— = l i m 3 - - =«=:
j V J / al igual que sucede con el triángulo de Sierpinski, la longitud de la curva de Koch aumenta con el número de iteraciones.
22 PROF. SERGIO FALCÓN SANTANA
II.- Para hallar el área encerrada por la curva de Koch, tengamos en cuenta que en cada iteración se forman 4"1 -3 "casi" triángulos equiláteros que no formaban parte del "triángulo" anterior por lo que sus áreas se han de sumar al área anterior. Teniendo en cuenta que el área de un triángulo equilátero es, según vimos en el triángulo de Sierpinski,
2 V3 area - a 4
siendo a la longitud del lado, en las sucesivas iteraciones se obtienen las siguientes áreas: Iterac. Lado
0 l o = 1
Área
4
1 1=1/3 A/=A0+ 3-( \ \
v3y
yf3 V3 1 + -
3
l2=l/32
1 =l/33
A 2 = A, + 4-3-v 3 ,
V T V 3 " r , 1 4 ^ 1 + — + —r
a ^ A . + Í ' - I - L J Í - J L 3 2 3 4 4
1 1 4 1 + _ + +
3 3 3
2 \
Y así continuaríamos indefinidamente. Evidentemente, cada área obtenida es mayor que la anterior pues se le suma a ésta un número positivo. En el límite, el área encerrada por la curva de Koch es
A = l i m A_ = l i m V3~ , 1 4 4 1 + —+ — + - — + •
3 3 3
1 + 4 4
1 + — + —— 9 9
\ \ (
J n = 0
Y teniendo en cuenta que la serie contenida en el paréntesis es una serie geométrica decreciente de razón 4/9 cuya suma es a()/( 1 -r), resulta finalmente que el área encerrada por la curva de Koch es
A = V3 1 + 1 1 3 j _ 4 i + i ^ V — - —
3 5 r 20 ~ 5
Por lo tanto, la curva de Koch es una curva continua en todos sus puntos y no derivable en ninguno, de longitud infinita y que encierra un área finita.
Dimensión fractal.-
E1 concepto de dimensión fractal o dimensión de homotecia es desarrollado por Mandelbrot tomando como base el concepto de distancia de Hausdorff quien plantea la idea de la dimensión no entera. Sea n el número de unidades de tamaño p que
FRACTALES 23
contiene un fractal unitario. Se define la dimensión fractal d mediante el cociente ln n
a ln p
Ejemplo 1.- Si se divide un segmento de longitud 1 en dos partes iguales de longitud igual a 1/2 entonces, la dimensión fractal es
d _ ln2 _ ln2 ln(l / 2) ~ —ln2 ~ .
Ejemplo 2.- Si se divide cada lado de un cuadrado de lado unidad en tres partes iguales, entonces es p = l / 3 y se obtienen n=9 cuadrados, por lo que
ln 9 21n3 „ d = = = 2
ln(l/3) —ln3 Ejemplo 3.- Si se dividen las aristas unitarias de un cubo en cuatro partes iguales (p=l/4), entonces se obtienen «=64 cubos, por lo que
ln64 _ _ 61n2 _ 3
ln( l /4)~ —21n2 ~~
Evidentemente, los resultados obtenidos con estos tres ejemplos son resultados lógicos pues las dimensiones geométricas de un segmento, un cuadrado y un cubo son 1, 2 y 3, respectivamente. Pero si hallamos la dimensión fractal del triángulo de Sierpinski, el cual está constituido por n=3 triángulos equiláteros cuyos lados tiene de longitud p= 1/2, entonces resultaría
^ ^ - D r s s s o ln(l/2) —ln 2
con lo que resulta un objeto de dimensión no entera. ^ = - J n 4 ^ = - i n 4 - G 1'2619
ln(l / 3) —ln3
Aplicaciones de los fractales.-• Descripción de fenómenos del mundo real, como por ejemplo, las turbulencias. • Aplicación en el campo de las imágenes digitales, como la generación de imágenes
artificiales y la comprensión y análisis de imágenes reales. • La síntesis musical.
• Diseño de antenas multifrecuencia necesarias para las comunicaciones.
Bibliografía.-- Barnsley, M.F.: Fractals Everywhere, Academic Press, Boston, 1988 - Gardner, M.: Música blanca y música parda, curvas fraetales y fluctuaciones
del tipo 1/f, Investigación y Ciencia, junio 1978 - Glenick, J.: Caos, la creación de una nueva ciencia, Seix Barral, Barcelona, 1994 - Junger, Peitgen, Saupe: El lenguaje de los fraetales, Investigación y Ciencia,
octubre 1990 - Mandelbrot, B.: Los objetos fraetales, Editorial Tusquets, Barcelona, 1988 - Peterson, I.: El turista matemático, Alianza Editorial, Madrid, 1992
24 ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol.XVI, Nro. 63, Marzo de 2002
l Q E I E L D O Q E E A por F ranc isco V i l l averde
C o m e n t a r i o s s o b r e l ibros d e ser ia d i v u l g a c i ó n m a t e m á t i c a > ;
Longitud. La verdadera historia de un genio solitario que resolvió el mayor problema científico de su tiempo. Dava Sobel. Editorial Debate S.A. 1998.
Tengo que reconocer que cuando un colega me habló de este libro, y la historia que relata, me di cuenta de la importancia y dificultad (en el siglo XVIII) de la determi-nación de la longitud geográfica de un lu-gar en la Tierra. En esa época el problema de la longitud era el dilema científico más polémico. La importancia de este problema puede reflejarse en el famoso Decreto de la Longitud de 1714 por el cual el Parlamento británico instituyó un premio (varios millo-nes de pesos de moneda actual) por un método factible y útil de medir la longitud. Por no poder medir la longitud geográfica los marinos se perdían en el mar en cuanto dejaban de ver la costa. La vida de los tri-pulantes de los barcos y la fortuna de las naciones dependían de la solución de este problema. El obstinado relojero John Harri-son (el personaje de esta historia) tuvo la osadía de proponer una solución mecánica (en contra del "establishment" científico de la época que sostenía una solución astronó-mica), y a esa empresa le dedicó toda su vida. El argumentaba que la solución al pro-blema pasaba por poder medir con preci-sión la hora local en forma confiable, para lo cual el reloj debía ser transportable en un barco (piense el lector que no podría tratarse de un reloj de péndulo). Este libro narra la historia de la obsesión de Harrison por construir la forma perfecta de medir el tiempo que actualmente se conoce como cronómetro. Finalmente, en 1773, un Harrison envejecido y cansado reclamó la recompensa a que tenía derecho, tras 40 años de intrigas políticas, guerras interna-
0E8A1E
cionales, discu-siones con erudi-tos, revoluciones científicas y ca-tástrofes econó-micas. Recomien-do la lectura de este libro porque no ocurre muchas veces que ubiquemos un problema científico en su contexto histórico y social. Si el lector no hizo muchas veces ese ejercicio creo que encontrará esta lectura muy prove-chosa y tal vez divertida.
Espero disfruten la lectura recomendada. Hasta la próxima.
Un pedido a los lectores de Elementos de Matemática: Si tienen sugerencias sobre libros o artículos para comentar u otro tipo de propuesta para mejorar este espacio les pido me lo hagan sa-ber escribiendo a la dirección de la revista o mediante correo electrónico a:
[email protected]. Desde ya gracias.
ELEMENTOS DE MATEMÁTICA - Vol.XVI, Nro. 63, Marzo de 2002 25
L o s P r o b l e m a s en el A u l a por Juan Ángel Foncuberta
El Señor Aristarco de Samos (Siglo III antes de Cristo) Aristarco fue un astrónomo y matemático griego; el primero en sostener la teoría heliocéntrica, en un todo similar a la de Copérnico. Sostuvo que la Tierra posee un movimiento de rotación alrededor de un eje inclinado respecto al plano de su revolución anual alrededor del sol. Adjudicó a los planetas movimientos pare-cidos con órbitas de distinta inclinación y, a la luna, una revolución alrededor de la Tierra. ¿Por qué una teoría que simplificaba la explicación de fenómenos observables no consiguió una aceptación general? Sucede que contrariaba la física aristotélicapredominante. Además Hiparco, con toda su autoridad, adhirió al geocentrismo y Ptolomeo lo desarrolló con tal habilidad y eficacia que su paradigma prevaleció hasta Copérnico. Entonces se renovarían las disputas filosóficas pero el resultado sería otro, según sabemos.
1.- Hiparco y la invención de la trigonometría.
Sabemos que los babilonios se interesaron en la astronomía, ciencia en la que obtuvieron importantes éxitos. Para sus estudios, necesitaban desarrollar un sistema para medir ángulos Con tal propósito, dividieron la circunferencia en 360 ángulos centrales iguales e idearon el que conocemos como sistema sexagesimal. Es probable que en la elección haya influido la observación de que 360 es una aproximación al número de días del año y que Io es la medida aproximada del ángulo que barre el sol sobre la eclíptica diariamente. Por otra parte, para dar la posición de los astros era preciso fijar un sistema de coordenadas. Los babilonios eligieron como planos de referencia la eclíptica (curva que recorre aparentemente el sol) y un plano perpendi-cular, siendo el origen del sistema el punto vernal (nuestro equinoccio de otoño) La altura (positiva o negativa) del astro sobre la eclíptica es la latitud. Así la latitud aparente del sol es siempre cero. La otra coordenada es la longitud que , en el caso del sol, es cero cuando pasa por el punto vernal y aumenta diariamente, como hemos dicho, aproximadamente Io por día.
Por las características de su trabajo, era posible que, en algún momento los astrónomos descubrieran lo que hoy llamamos trigonometría. Hiparco (hacia 150 antes de Cristo) adoptó el sistema sexagesimal y, según los investigadores, fue el primero en desarrollar ideas trigonométricas. Tomó como principio, la medición de cuerdas correspondientes a ángulos centrales. Hiparco decidió medir el radio en el sistema sexagesimal. Sabía que la longitud de la circunferencia es igual a 2jiR. Para n usó la aproximación sexagesimal: 3,08,30=3 + 8/60+30/3600=3,141666. Entonces, resulta que R =57,18 (valor que coincide con nuestro "radián").
Como para el ángulo de 60°, la cuerda es igual al radio, resulta que (cuerda 60°) = 57,18 según Hiparco.
26 JUAN ÁNGEL FONCUBERTA
Comentario.- Este valor debe corresponder con el seno de 30° multiplicado por 2. Verificamos: si la cuerda para 60° es 57,18 y el radio adoptado por Hiparco era 57,18, quiere decir que el valor de la cuerda con respecto a ese radio es 1. Por lo tanto la mitad de la cuerda coincide con el seno de 30°.
figura 1 flgura2
Ahora, Hiparco estaba en condiciones de calcular la cuerda correspondiente al ángulo suplementario de 60°. Bastaba aplicar el teorema de Pitágoras. Resulta que: cuerda 120° = cuerda (60°) = V3R (V3 si la unidad es R), es decir el doble del seno de 60°.
Una vez conocidas las cuerdas correspondientes a 60° y 120°,Hiparco encaró el problema de determinar la cuerda correspondiente a 30°. Sus cálculos fueron los siguientes traducidos a nuestro lenguaje: en la figura tenemos ab = cuerda 60°, bp = cuerda 30°, ca = cuerda 120° . Hay que hallar bp en función de ab. Los triángulos apc y bpc son iguales. Tomamos cr=ac y ps perpendicular a cb. Resulta rp=pb y, en consecuencia rs=l/2rb.
l/2rb = 1/2(2R - cr) = 1/2 (2R - ac) = 1/2 (2R - cuerda (120°)) (1) Debía lograr que apareciera la cuerda de 30°, para lo cual tuvo en cuenta que
cbp es semejante a sbp y por lo tanto cb/bp=bp/sb, y en consecuencia sb=bp2/cb, sb=bp2/2R.
Sustituyó en (1), bp2/2R='/2 (2R-cuerda(120°) y bp2=R(2R-cuerda(cos (120°)) La generalización de este procedimiento le permitía, una vez conocida la
cuerda correspondiente a un ángulo, obtener la correspondiente al ángulo mitad. Así, Hiparco pudo calcular las cuerdas correspondientes a 15° y 7o,5.
Ejemplo: (cuerda30°)2=57,18 (114,36-cuerda60°)=57,18 (114,36- V3 57,18)=876,07 y cuerda 30° = 29,60. (Si la unidad es el radio cuerda 30°=29,60/57,18=0,5176 que es el doble del seno de 15°.
Comentario.- Para fijar la posición de los astros, Hiparco no adoptó el sistema de referencia babilónico sino el sistema ecuatorial sustituyendo la eclíptica por el ecuador celeste. En el sistema de coordenadas ecuatoriales la posición queda determinada por el ángulo sobre el ecuador a partir del punto vernal (ascensión recta ) y la declinación (ángulo de altura sobre el ecuador).
LOS PROBLEMAS EN EL AULA 27
2.-Ptolomeo (100-178 de la era cristiana)
Es considerado el más grande astrónomo de la antigüedad , a tal punto que su descripción del movimiento de los astros prevaleció hasta el siglo XVI. La colección de sus obras es conocida por el nombre que le dieron los árabes: el Almagesto. Ptolomeo, que conocía la obra de Hiparco, se propuso mejorar los conocimientos matemáticos sobre cuerdas y construir una tabla más extensa. Para facilitar los cálculos adoptó para el radio el valor 60. Veamos cómo calculó la cuerda correspondiente a 36° (esa cuerda corresponde al lado del decágono regular). ¿Por qué esa elección? Porque en los Elementos de Euclides aparecían interesantes relaciones referidas al lado del decágono regular. Por ejemplo: "Si se toma un segmento igual al lado de un hexágono regular y a continuación sobre la misma recta se lleva el lado del decágono regular inscripto en la misma circunfe-rencia, el punto de separación divide al segmento suma en media y extrema razón".
En la figura: m es el punto medio de oc. Determinamos p de modo que bm = mp.
Como oc = R =1 (6), hay que probar que op = 1(10) es decir que:
cp/co = co/op (2) bo2 = bm2- om2
bo2 = bp2 - po2
Entonces: mp2- om2 = bp2- po2
(mp + om)(mp - om)= bp2- po2
(cp)(op)= bo2 = co2 (verificándose (2)) Como se demostró que po = 1 (10) (lado del decágono regular inscripto en la
circunferencia de radio oc) resulta que po es la cuerda correspondiente al ángulo de 36°:
po = mp - om = bm - om = a / r 2 +om 2 - o m = ^ 3 6 0 0 + 9 0 0 - 3 0 = 37; 4,5. Si la unidad de medida es 60 resulta po = 37;4,5 /60 = 0,62 (aprox) que es el
duplo del seno de 18°. Conocida la cuerda de 36°, mediante el empleo de las fórmulas de Hiparco
acerca del ángulo doble, Ptolomeo estaba en condiciones de calcular las cuerdas de 72°, 144°, 18°,... y los suplementos respectivos. Pero, su proyecto era más ambicioso: construir una tabla a intervalos de medio grado. Hasta ese momento se había valido de los teoremas y propiedades establecidas en los Elementos de Euclides, donde no figuraba el siguiente:
Teorema de Ptolomeo.- En un cuadrilátero inscripto en una circunferencia, el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.
Construimos áng(abp) = áng(cbd) Resulta A(apb)~ A(bcd) y ap/cd = ab/bd Además A(abd)~ A(bpc) y pc/ad = bc/bd De (3) (ap)(bd)= (ab)(cd)
28 JUAN ÁNGEL FONCUBERTA
De (4) (pe )(bd ) = (be )(ad) Sumando las dos últimas igualdades: (bd)(ap + pe) = (ab)(ed) + (bc)(ad) Ptolomeo, entonces, consideró el caso particular en el cual uno de los lados es
un diámetro. Por ejemplo, si se toma ac = cuerda (a) y ab = cuerda(p), resulta: cuerda((3)cuerda(180°-a) = 2R cuerda(a-p) + cuerda((5)cuerda(180°-a) (5)
por aplicación del teorema (figura 5).
A partir de esta fórmula, Ptolomeo podía, conocidas las cuerdas de dos ángulos, determinar la cuerda del ángulo diferencia (a-(3). Por ejemplo, las cuerdas 72° = 70;32,3 =1,176 y cuerda 60° = 60 (la cuerda del ángulo central de 60° es igual al radio) podía calcular cuerda de 12° aplicando la fórmula (5): cuerda (72° - 60°) = ((cuerda 72°)(cuerda 120°) - (cuerda 60°)(cuerda 108))/2R
Se observa que la fórmula es muy parecida a la del seno de la diferencia de dos ángulos.
Ptolomeo obtuvo una fórmula similar para determinar la cuerda de la suma de dos ángulos en función de las cuerdas de los mismos. Estos descubrimientos, agregados a la fórmula para cuerdas de ángulos medios de Hiparco, le permitieron calcular las cuerdas de 6o, 3o, 1,5°, 0,75°. Aquí Ptolomeo encontró un obstáculo insalvable para determinar la cuerda correspondiente a 0,5°, porque a partir de la cuerda de 1,5° ,debía halla una fórmula para determinar la cuerda del ángulo trisecado. Se encontraba con el problema de trisecar un ángulo. En todo su trabajo, le habían bastado "Los Elementos",pero no le permitían lograr su objetivo de construir una tabla de cuerdas a intervalos de 0,5°.
Sin embargo, Ptolomeo no se dio por vencido y aplicó un argumento "infinitesimal", partiendo de la proposición siguiente:
si a < (3, entonces cuerdaa/cuerdaP < a/|3. Tomó entonces: a=0,75° y (3= Io y luego a = l ° y |3 = 1,5° para "encerrar" la
cuerda de Io . Obtuvo cuerda I o=1; 2,5 = 0,017, y con la fórmula de cuerda del ángulo medio
la cuerda de 0,5° como se había propuesto. Al elegir el cálculo de cuerdas la trigonometría de Ptolomeo era más difícil de
manejar que la trigonometría de las semicuerdas (senos). Seguramente, pensaban en ángulos centrales y lados de polígonos regulares. De todos modos, no puede dejar de maravillarnos que planteasen y resolviesen tales problemas.
LOS PROBLEMAS EN EL AULA 29
Con estos conocimientos Ptolomeo, resolvió problemas de trigonometría plana como por ejemplo: conocida la longitud de una varilla plantada verticalmente y la sombra, en determinado momento del día, hallar la altura del sol. Este problema era para él algo más complicado que para nosotros porque no conocía la función tangente.
BIBLIOGRAFÍA.-- Babini José y Rey Pastor Julio.- Historia de la Matemática (Gedisa) - Katz Víctor - A History of Mathematics (Addison Wesley) - Enciclopedia Británica
RESPUESTAS A PROBLEMAS DEL NÚMERO ANTERIOR
1.- A partir de una tabla de cuadrados y cubos de 1 hasta 30 los babilonios resolvían ecuaciones del tipo: x3+2 x2-3136 = 0. Por la tabla advertían que la solución probable es 14, que verificaban.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.- Probar la siguiente proposición que figura en los Elementos de Euclides: "El cuadrado del lado de un pentágono regular inscripto en una circunferencia es igual a la suma de los cuadrados de los lados del decágono regular y del hexágono regular inscriptos en la misma circunferencia". Esta proposición ayudó a Ptolomeo a construir la tabla de cuerdas.
2.- Probar que scnp/scna. < (B/a si 0<a<(3. | j
30 ELEMENTOS DE MATEMÁTICA - Vol.XVI, Nro. 63, Marzo de 2002
A u l a Presente Lic. Lucrecia Delia Iglesias
Nuestra presentación de hoy está dedicada a mostrar diferentes alternativas en el desarrollo del aprendizaje de la operación de división y la construcción de algoritmos eficientes para la resolución de situaciones de la vida cotidiana que la involucren.
Algunas preguntas pertinentes.
Es innecesario hablar de las dificultades que tradicionalmente provocaba el aprendizaje del algoritmo usual basado en la estructura decimal de la numeración y organizado sobre la integración apretada y complej a de multiplicaciones y sustracciones resueltas completando por adición. Estas dificultades solían abordarse in virtiendo mu-cho tiempo en una práctica repetitiva y mecánica para que los alumnos lograran la fija-ción del procedimiento. Por eso es pertinente hacer algunas preguntas.¿Qué valores justifican el aprendizaje escolar de ese algoritmo frente al uso corriente de las calcu-ladoras? ¿Es posible organizar la enseñanza del mismo, de modo que los alumnos puedan construirlo reflexivamente y aplicarlo con actitud crítica? ¿Hay otras formas algorítmicas que los alumnos puedan construir autónomamente para resolver situaciones concretas? ¿Es válido estimular tales formas sin que los alumnos alcancen una mecanización eficaz en términos del algoritmo tradicional?
Lo que sigue constituye un conjunto de ejemplos que con modalidades diferentes han aparecido en prácticas docentes observadas por nosotros o citadas en textos especializados que mostramos con el objeto de orientar la reflexión respecto de las preguntas formuladas.
Ejemplo 1:
Quimey, Ignacio y Yesica eran alumnos de 2do. año de EGB, en el momento de encarar la resolución del siguiente problema:
«Tengo 18 libros para hacer pilas de 5 libros cada una. ¿Cuántas pilas puedo hacer?»
Cada uno trabajó solo frente a un observador que únicamente intervino repitiendo el enunciado del problema en caso necesario.
Los niños no habían recibido enseñanza sobre las operaciones de multiplicación o división pero estaban acostumbrados a tomar iniciativas frente a cualquier situación. En caso de que un niño resolviera sin dejar el registro de cómo había procedido, el observador le pedía que lo hiciera, como se ve en el caso de Ignacio.
AULA PRESENTE 31
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Se puede comprobar que la comprensión del significado del problema es suficiente como para generar estrategias materiales (Ignacio «cuenta con los dedos») o gráficas (Quimey y Yesica dibujan libros). El aspecto simbólico le sirve a Ignacio para completar el registro de su conteo (5 + 5 + 5 + 3 = 18) mientras que Yesica escribe la serie numérica hasta 24 y dibuja círculos, víctima de una dispersión inconducente. Cuando el observador le repite el enunciado, la niña recurre a un dibujo pertinente.
Ejemplo 2:
La fuerza de la comprensión del contexto puede llegar a generar también procedimientos de cálculo que recurran a algoritmos más familiares que el de la división. Así lo presenta Jean Marie Kraemer, del Instituto de Evaluación en la enseñanza (Centro Arnheim, Holanda)1
Ante el problema
«¿Cuántos pollos de 12 florines cada uno puedo comprar con 50 florines?»
niños de cuarto grado que han comenzado a aprender a dividir eligen por regla general otras operaciones para resolver.
Es interesante ver que en cada caso, el alumno es dueño de un procedimiento que puede aplicar críticamente.
1 Kraemer, Jean Marie; «Dividir construyendo los números (mentalmente) ¿Una alternativa frente al algoritmo usual de la división?» en UNO; Revista de Didáctica; n° 22; Octubre - 1999, páginas 29 a 42.
32 LUCRECIA DELIA IGLESIAS
Restas sucesivas Sumas reiteradas
50 — 1
-12
12 24
+12 +1?, 38 — 1
-12
24 36
+12
26 — 1
-12
14 — 1
-12
02
48
+12
Cálculo proporcional por desdoblamiento
12 \ | 12 1 = 12
12 J\ 24 124 2 = 24
12 V 136 3 = 4^36
12 24 148 4 = 48
4
Ejemplo 3 Clara cursaba 3er grado cuando la maestra le propuso como ejercicio:
«Pienso cuántas cifras tendrá el resultado y luego lo resuelvo»
Esto supone ciertas enseñanzas previas y vale la pena comprobar con qué grado de autonomía la niña puede responder al desafío.
La determinación de las cifras del resultado obedece a un procedimiento que Clara aprendió y puede aplicar sin que podamos reconocer una conducta totalmente reflexiva. Sin embargo, su procedimiento de resolución de las divisiones da cuenta de un alto grado de autonomía: usa productos por 10, por 100 o por 1000 tanto como por 20 o por 40, en forma pertinente y por propia iniciativa. Tiene su propia organización del espacio para hacer el registro de los factores y su suma (en el caso 3, con nuevo registro para corregir con comodidad un error detectado).
Ejemplo 4 Cuando Ramiro y Cristian compañeros de aula de 5to. año de EGB resolvieron
estas operaciones de dividir, todos los alumnos del curso ya habían construido con ayuda de materiales concretos la estructura decimal de la numeración y la habían aplicado en la resolución de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones por una o más cifras.
34 LUCRECIA DELIA IGLESIAS
RAMIRO
« y , ^ - ^ IfÚ
t U i b S o
a i & o
Ramiro muestra que su forma de pensar la estructura decimal le permite registrar restos por encima del dividendo y componer mentalmente las cifras parciales para continuar la división. Su manera de expresar el resto de la división es decir «y sobran 5» («y s. 5») o «y sobran 7» («y s. 7»).
Cristian ha adoptado una forma de registro parecida al algoritmo tradicional pero no lo sigue fielmente porque organiza el espacio a su comodidad haciendo sumas para aproximarse a un cociente (70 + 70 = 140; 70 + 70 + 70 = 210; 210 + 140 = 350). Finalmente usa210+210 + 210+210 = 840 para hallar la parte 12 del cociente en forma directa.
El examen de conductas autónomas aunque asistemáticas puede conducirnos a no buscar formas más económicas y precisas de cálculo que puedan ser adquiridas reflexivamente por los alumnos.
En el artículo citado se exhibe como una alternativa el algoritmo que llaman «de estimación» o «moderno».
Ejemplo 5 3.561 + 9
-2.700 —
- 861
- 8 1 0 —
51
45 —
x 300
x 90
x
Estimación
300 X 9 = 2.700
4 0 0 x 9 = 3.600
o sea: aproximadamente 400
da 395 y resto 6.
Es posible percibir ciertos nexos entre esta última forma de proceder y algunas de las conductas autónomas observadas y parece evidente que todas se beneficiarían con el fortalecimiento de cálculos mentales que favorezcan las estimaciones que pueden abreviar los procesos de cálculo y ahondar en la comprensión de su significado.
" • • - ' •••• - : ' = • • i '
ELEMENTOS DE MATEMÁTICA - Vol.XVI, Nro. 63, Marzo de 2002 35
P r o b l e m a s P r o p u e s t o s para 3 ° c i c l o E . G . B y Po l imoda l
Prof. Mario Cozzani
Ejercicio N°l. En el triángulo ABC se dan: B = 120", BC-a, AB - x. La circun-ferencia que pasa por B es tangante en C a AC y corta a la prolongación de AB en D. Se une C con D. Io) Calcular en función de a y de x las longitudes AC, AD, BD y CD. 2o) Estudiar la variación de AD cuando varía x, y trazar la curva representativa.
Solución. En el triángulo ABC se tiene (aplicando el Teorema del coseno)
AC2 = AB' + 5C 2 -2 AB BC- eosB = x2 + a1 + ax Como los ángulos a y (3 son iguales (¿por qué?) entonces los triángulos ADC y ABC son semejantes y sus lados son proporcionales
AD = AC AC AB '
AC x2+ax + a2 de donde: AD =
\B
BD = AD - AB = x2 +ax +a2
— x = a(x + a)
También = CD=AC'BC =^ylx2 + a2+ax AC AB AB x
2o) Haciendo AD = y se tiene
y = x2 + ax + a2 , , a2
~x + aA
36 MARIO COZZANI
Podemos hacer variar x de 0 a + o o . E n x = 0 hay una asíntota vertical. Si* tiende a + oo , y también.
La función se puede anular para x2 + a x + ¿r = 0; no tiene raíces reales. Su derivada es negativa entre 0 y a, se anula en x = a y es positiva entre a y + <*>:
2 , 1 a
y = i — r X
La función tiene un mínimo en (a,3a) y presenta una asíntota oblicua en y=x+a.
x a a + oo
y' oo - 0 + 1
+ OO 3a i~ OO
min V
Ejercicio N°2. Sea el rectángulo ABCD de dimensiones AB-34, BC-20 y sobre AB se traza un punto N tal que A7V = lOm. 1 °) Determinar sobre CD un punto M tal que la diferencia de las áreas de los tra-pecios ADMN y BCMN sea igual a 80.
2o) Se traza PC = AN y se determina el triángulo MPN. Calcular los ángulos de dicho triángulo. Calcular la medida de sus lados.
x + 10 • 2 0 -
24 + ( 3 4 - x ) • 2 0 = 8 0
x + 1 0 - 5 8 + x = í 2x - 48 = 8
x = 28m
Queda PM = 4 m . ¿Por qué?
PROBLEMAS PARA 3o CICLO DE E.G.B. Y POLIMODAL 37
Queda que el área del triangulo PMN es igual a 40m2. ¿Por qué? Cálculo de los ángulos del triángulo PMN: Tomando los triángulos rectángulos NHP y MRN
tgá = => á = 55°28" 14m
t g p = 2 0 m = ^ p = 48°46" 18m
HP = 14m ¿Porqué?
NR = 6m ¿Por qué?
Ejercicio N°3: Sean dos circunferencias de centro A y B, y de radios a y b tangentes exteriormente. Calcular el radio x de una circunferencia de centro C tangente exteriormente a las otras dos dadas, de forma tal que la altura del triángulo ABC que parte de C sea igual al diámetro de la circunferencia de radio desconocido.
Sea el semiperímetro del triángulo ABC: p = a + b + x .
Teniendo en cuenta la fórmula de Herón (con AB = a+b, BC = b + x,AC = a + x)
A = Jp-(p-AB)-(p-Bc)-(p-Ac)
A = J(a + b + x)-(<fi + b + x- <fi-b)-a-b
A = ^(a + b + x)-x-a-b (1)
Además: A = base X altura = ( a+ 2x
De (1) y (2): y/(a + b + x)-x-a b =x-(a + b)
Queda: (a + b + x)-a b - x-{a + b)2
{a + b) • ab + xab = x-(a + bf
( 2 )
38 MARIO COZZANI
ab • (a + b) = x- [(a + b)~ - ab]
(ia + b)-ab _ (a + b)-ab x =
(a + bf - ab a2+ab + b2
Ejercicio N°4. Las bases de un trapecio son a y 3a, uno de sus lados oblicuos es igual a la base más pequeña y forma un ángulo de 45° con la base mayor. Calcular el área del trapecio.
h = V2
A = a24l
Ejercicio N°5. Se traza AB = 3a . Sobre AB se toma un punto M entre Ay B, tal que AM = 2a , y sobre AM se construye un triángulo equilátero AMC; sobre MB se construye un triángulo equilátero MBD. Se traza CD . De C se traza C//perpendicular a AB . Io) Demostrar que CH = CD • 2°) Calcular el área del polígono ABDC.
Solución: Io) Los triángulos CMH y CMD tie-nen un ángulo de 60° entre dos lados iguales, y un lado MC común. Luego CD = CH . * El cuadrilátero ABDC es un romboide. ¿Por
qué? * El cuadrilátero ABDC es inscriptible en una
circunferencia. ¿Por qué? * El cuadrilátero ABDC verifica el teorema de
Ptolomeo. Verifíquelo:
C /IVs.
/ 1 W
2a / / 1 \ / 1 \
1 \ ^ s . 1 \ sJD 1 \ 60°/ \ a 1 60° ( \ /
A H M B
CM • HD = CD • HM + MD • CH
2o) El área del polígono ABDC es A A A A ÁCM A
5 = ACM+ CMD+ MDB = ACM + ^^ + MDB 2
S = a2V3+ —a/3+ —V3 = —a2V3 2 4 4 '
Ejercicio N°6. Sea la función y -8x2 - 6x + 6 4x2 - 9x-9
b c I o) Mostrar que y se puede expresar en la forma y - a H 1 , siendo a, b,
c, m y n números reales a determinar. x-m x — n 2o) Estudiar las variaciones de y, y dibujar la curva representativa en forma apro-
ximada.
Solución. Io) Efectuamos el cociente de los polinomios: y = 2 + 12x + 24 4x2 —9x — 9
PROBLEMAS PARA 3o CICLO DE E.G.B. Y POLIMODAL 39
12*4-24 4x2 -9x-9
12x + 24 3x + 6
4(x-3)[ x + ( x - 3 ) f x + ~
Por el principio de identidad de polinomios:
3x + 6 A
(x - 3) x + + • B
•3 x +3
4 J 4
3x + 6 = A(x + 3 / 4 ) + f í ( x - 3 )
Si x = 3, A = 4 Si x = - 3 / 4 , 5 = -1
Luego: y = 2 h — 6 x —3 x + 3 / 4
2o) Se concluye que y no se anula para ningún valor de x. La curva no corta al eje x. Asíntotas verticales: x = 3 y x = - 3 / 4 . Asíntota horizontal: y = 2. La función tiene máximo en x = 1 / 2 y mínimo en x = - 9 / 2 . La derivada es
- 1 2 ( 4 X 2 + 1 6 X - 9 )
(4x2 - 9 x - 9 ) 2
i 2' 5 9 2
9 26 2 ' 15
3 4 2
0
\ 26 15
min
+ 0
2 _ 2
~3 X 5 max
40 MARIO COZZANI
Ejercicio N°7. En un heptágono regular que tiene por lado a y las diagonales tienen por longitudes b y c (c>b ) se tiene que:
a = {b + cf -2c2
2 c + b
Sea un heptágono regular ABCDEFG y su circunferencia circunscripta. En los cuadriláteros inscriptos ABCD, GBCD aplicamos sucesivamente el Teorema de Ptolomeo:
AB = BC = CD = a
AC = BD = GB = b
AD = GC^GD = c
b2 =ac + a2 =a(c + a) (1)
bc = ac + ab = a(c + b) (2)
Dividiendo m.a.m. (1) y (2):
b2 ${c + a)
b(c + b) = c(c + a)
c +ac
bc + b2 = a
De (2): a = be c + b
bc + b" -c be bc + b -c +bc
a
c c + b
_ (b + c f - 2 c f 2 c + b
Observación: de la relación (2)
J_ b + c a
c + c + b
, que resulta la relación propuesta
(propiedad de proporciones)
be 1 = 1 + 1 a b e
Se obtiene como conclusión que la relación entre las longitudes de un lado a y de las dos diagonales de un heptágono regular convexo inscripto en una circunferencia es:
1 = 1 + 1 a b e
H
ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol.XVI, Nro. 63, Marzo de 2002 41
P r o b l e m a s y S o l u c i o n e s para P u b l i c a r
de Daniel Prelat
PROBLEMA 1: a) Encontrar una función / : 9Í 9Í que sea continua en un único punto. b) Encontrar una función / : 9Í 9Í que sea derivable en un único punto.
2 , 2 _ • x + y < 1 },P = {x,y)<E(R2 : <1 A < l} PROBLEMA 2: Dados D = {x,y)e 9Í2
encontrar: a) Una biyección continua / : D — » t a l que / _ 1 ; 9Í2 -» D también sea continua. b) Una biyección continua g : 9Í2 -> P tal que g'1: P 9t2 también sea continua. c) Una biyección continua h: D P tal que h1 : P -> D también sea continua. NOTA: Las biyecciones continuas cuyas inversas también son continuas se denominan "funciones bicontinuas" o (desde hace aproximadamente un siglo) "homeomorfismos". El Problema 2 admite soluciones no solamente bicontinuas sino indefinidamente diferenciables (tanto las funciones/, g y h como sus inversas).
PROBLEMA 3: Sea P el conjunto de primos positivos y a un número real estrictamente mayor que 7. El problema consiste en "demostrar" informalmente (es decir: sin preocuparse por los "detalles" de convergencia) la famosa Fórmula del Producto (de Euler), una de las más hermosas e importantes de la matemática:
II" peP
J _ Pa
- I ,
RESOLUCION DE LOS PROBLEMAS PUBLICADOS EN SEPTIEMBRE DE 2001
PROBLEMA 1: Demostrar que en todo grafo finito (i.e.: con una cantidad finita de vértices y de aristas) simple (i.e.: sin aristas múltiples ni lazos) no trivial (i.e.: con al menos dos vértices) existen al menos dos vértices de igual grado. RESOLUCIÓN: Dado un grafo G finito, simple y no trivial, sea V(G)= \vl,v2,...,vp} el conjunto de sus vértices y para cada vértice vkeV(G) sea deg( vk) su grado, es decir. El número de aristas incidentes en vk Por ser G no trivial, p > 2 . Caso A): G es conexo % Para cada vértice vkeV(G), el conjunto de los vértices adyacentes a dicho vértice es un subconjunto propio no vacío de V,, pues por hipótesis G no tiene lazos y vk no es un vértice aislado (caso contrario G sería trivial o no conexo). Por lo tanto, 1 < deg( vk)< p-1, es decir: hay más vértices que grados posibles, de donde se deduce inmediatamente la tesis ("Principio de las casillas"). Más detalladamente: la función que a cada vértice de G le asigna su grado es una función deg : {vj, v2,...,v }-> {1,2,...,p-1} y por lo tanto no puede ser inyectiva.
v >
# T
42 DR. DANIEL PRELAT
Caso B):Gnoes conexo: S i todas las componentes conexas de G son grafos triviales, entonces G tiene al menos dos vértices de grado cero verificándose la tesis. Si alguna componente conexa G' de G no es trivial, entonces G' (y por lo tanto G) tiene al menos dos vértices de igual grado, por lo demostrado en el caso A.
PROBLEMA 2: Sea p > 2 un número entero primo. , a) Probar que para todo k e {1,2,...,/?-!}, el número combinatorio es múltiplo de p.
b) Probar que para todo entero n, np - «es divisible por p .
c) Probar que si x, y y z son tres enteros tales que zp= + y"~l, entonces p divide al producto x.y.z .
RESOLUCIÓN: a) En la siguiente secuencia de implicaciones:
p(p-l)...(p-k + \) • m=> p( p — 1)...( p — k+1 )= k!.m => p\k! v p\m k!
=> p\k v p\k — 1 v p\k — 2 v. . .v p\2 v p\m => p\m
la tercera y la cuarta se deben a que p es primo, y por lo tanto si divide a un producto entonces divide a alguno de los factores; la última se debe a que (por hipótesis) \<k<p-\. b) Caso n > 0 : Se puede demostrar por inducción sobre n . Los casos n = 0 y n =1 son triviales, pues en ambos casos es np -n = 0 . Ahora, de la Hipótesis Inductiva p\np - n y de lo demostrado en la parte a) se tiene que
1 ( \ p~i i (n + l) p ~(n + l) = K"' +1-"-1 = «P + X P
k=1 V* J k=1 ' ^
p-k
es divisible por p (por serlo n p - n y cada ,1 <k< p-1).
b) Caso n < 0 : Si p > 2, entonces es impar y resulta n"-n = (-1 )p(-n)" -n = -(-n )p-n = -\-n)" -(-n j\
múltiplo de p, por ser -n>0 (con lo cual p\(-n )p - ( - n ) por lo demostrado en el caso anterior). Finalmente, si p = 2: np-n = n2-n = n( n-l) es par (cualquiera sea el entero ri) y por lo tanto divisible por p.
NOTA: El lector Enrique Casas, ex-alumno de la Licenciatura en Matemática de la Universidad CAECE, observa que este resultado demostrado en el item b) (nos referiremos en esta nota solamente al caso n > 0 tiene como corolario inmediato el "Pequeño Teorema de Fermat", que afirma que si p es primo n y p son coprimos, entonces np~1 =l(mod p). Lo que le llama la atención a Enrique Casas es que en el enunciado del item b) no figuren la hipótesis de que n es mayor quep y que n y p sean coprimos. Se trata de una buena observación que se aclara mirando en detalle la deducción del Pequeño Teorema de Fermat a partir del item b):
p\np —n => p\n.(np~1 -1)=> p\n v p\np~l -1 => p\np~l -1 <=> np~l =1 (mod p ) (*)
PROBLEMAS 43
La clave está en la tercera implicación, que es correcta solamente si n no es divisible por p. Obsérvese que si 1< n < p , por ser p primo resulta inmediatamente que n y p son coprimos y por lo tanto es válida la inferencia (*). En definitiva, la hipótesis necesaria para la deducción del Pequeño Teorema de Fermat a partir de b) es que n y p sean coprimos, pero el item b) no requiere tal hipótesis. c )Si p\xv p\yv p\z entonces la tesis es inmediata. Supongamos, por el contrario, que p no divide a ninguno de los tres enteros x, y y z. Entonces, por lo demostrado en b) y la deducción (*), p\xp^-1 a p\yp~l-1 a p\zp-1. Por lo tanto, p divide a zp~l-\-{xp-'-\)-(yp-1-l) = \ (Absurdo).
PROBLEMA 3: Calcular el resto de la división entera de 71213141516 p o r 5.
RESOLUCIÓN: Puesto que 1.213.141.516 es múltiplo de 4, se tiene 1.213.141.516 = 4m para algún enero positivo m. Ahora:
y 1.213.141.516 _y4m — ( 52 )4'" — ^ 4m $Am~~k2k +24'" = 5
4m-l
k ¡^Am-i-k r^k + 42m
. k=0 v K ) _
= 5.a + 42m =5.a+( 5 - 1 )2"' ¿m-1 2 m
7 - 1 / + ( - 1 r
5.a + 5 2m—1
X ' 2 m
k 52n,-l-k(_l)k
_ 4=0 v K ) -
+ \ — 5.a + 5.b + l = 5{ a + b ) + \
donde k= 0
2m-l y
»=X k=0
2m 7 - 1 r
son dos enteros positivos (que a>Oes obvio; en cuanto a b, de (5 -1 )2m = 5.b +1 se de-duce inmediatamente que b no puede ser negativo). Por lo tanto, el resto pedido es 1.
44 ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol. XVI Nro. 63, Marzo de 2002
Comentarios sobre páginas Web . . . relacionadas con la matemática I I I Por el Lic. Francisco F. Villaverde
Estimados lectores: En esta sección se comentan brevemente los contenidos de algunas páginas de Internet en directa vinculación con la matemática. Desde ya se convoca a todos los interesados a escribir sus propios comentarios de páginas para compartir con el resto de los lectores. También son bienvenidas preguntas que motiven búsquedas en Internet. Quiénes deseen colaborar y/o recibir las direcciones comentadas por e-mail pueden escribir a paco@ itba.edu.ar o a la revista. En el número de Marzo del 2001 hice un comentario sobre "mathlets". Insisto sobre el tema ya que supongo que este tipo de aplicaciones en Internet jugarán un papel importante en el futuro próximo como ayuda en la enseñanza y aprendizaje de la matemática.
http://www.joma.org/ Journal of Online Mathematics and its applications El Journal of Online Mathematics and its Applications (JOMA) es una publicación de la Mathematical Association of America (MAA). Ya salió el número 3 que incluye entre otras cuestiones tres interesantes simulaciones relativas a problemas clásicos del cálculo de probabilidades: el problema del cumpleaños, el problema del poker y el de la aguja de Bufón, con el que puede obtenerse una estimación del número n. El JOMA publica materiales de apoyo a las clases de matemática, probado en clases, materiales de aprendizaje basados en Internet, artículos sobre diseño y uso de ayudas a la enseñanza y artículos de investigación sobre el aprendizaje de los alumnos con estos materiales. Vuelvo a recomendar a los lectores de estas líneas lo que los editores (y la comunidad matemática en Internet) ha denominado "mathlets". Un "mathlet" puede ser un applet de Java: un programa que se ejecuta cuando nos conecta-mos al sitio y que en general muestra construcciones gráficas, simulaciones o alguna aplicación interactiva. El criterio de diseño de estos materiales es que sean simples y de fácil uso. Cada vez existen más lugares donde buscar estas aplicaciones y también los hay para otras disciplinas: "physlets" para física y "chemlets" para química. El lector interesado no tiene mas que probar con su buscador de Internet favorito (yo uso google) buscando «mathlets».
http://www.albertaonline.ab.ca/resources/MathApplets.htm Mathlets en Internet Números, patrones y relaciones, formas y espacio, probabilidad (incluye el problema de Monty Hall); todo un repertorio de situaciones muy adecuadas para el primario y secundario. Muy interesante el mathlet referido al teorema de Pitágoras (al nivel del primario). En este caso se puede comprobar el teorema superponiendo cuadriláteros y/o triángulos en que se descompone uno de los cuadrados de los catetos.
http://www.mcs.surrey.ac.Uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/ Esta es una página dedicada por Ron Knott (de la universidad de Surrey) a los números de Fibonacci, la razón aurea y la cadena dorada. Hay mucha información variada y de interés general (como los números de Fibonacci en la naturaleza) en este sitio y muy interesante. Los primeros términos de la sucesión de Fibonacci son 0 ,1 ,1 ,2 ,3 ,5 ,8 ,13 , . . . : la razón dorada es la coordenada del punto que divide al segmento de longitud 1 en media y extrema razón mientras que la cadena dorada es una sucesión de ceros y unos: 1011010110110101101... que está muy relacionada con la sucesión de Fibonacci y la razón dorada. El lector podrá encontrar el problema original de los conejos donde la sucesión de Fibonacci aparece por primera vez, la familia de árboles, vacas y abejas; la espiral de Fibonacci y la forma de caracoles de mar, arreglos de hojas y pétalos, etc.