ELEMENTOS DE MATEMATICA

Propietario: Fundación C AECE Publicación didáctico científica editada por la Universidad CAECE-Trimestral

Redacción y Administración Tte. Gral. J.D. Perón 2933 - C.P. 1198

Tel.:4878-7888 int.314 FAX: 4878-7898

Director: Prof. Roberto P.J. Hernández

Secretaria de Edición: Prof. Mariana A. Ortega

Colaboradores Permanentes: Dr. Luis Santaló

Prof. Jorge Bosch Lic. Nicolás Patetta

Dr. Carlos Lac Prugent Dr. Héctor Gersenzvaig

Lic. Lucrecia Iglesias Prof. Juan Foncuberta

Lic. Francisco Villaverde Prof. Mario Cozzani

Con el auspicio del Comité Argentino de Educación Matemática

Suscripción anual: Argentina: $25.-

Exterior: u$s30.- o el equivalente en moneda de cada país.

Ejemplar atrasado: $7.-Exterior:$7.-

Registro Nacional de la Propiedad Intelectual N°42.128

Impresión: Piscis Impresora

Castillo259- (1414) Buenos Aires

Diagramación: Mariana A. Ortega

N & j F O T C

ELEMENTOS DE M A T E M A T I C A

P U B L I C A C I O N D I D A C T I C O - C I E N T I F I C A

DE LA UNIVERSIDAD CAECE

VOLUMEN XVI NUMERO LXI S e p t i e m b r e 2 0 0 1

SUMARIO

Editorial 3 Enseñanza de Probabilidades y Estadística (2" parte) Dr. Carlos Lac Prugent 5 Software estadístico en Internet: La alternativa gratuita Dr. Pablo Andrés Gutiérrez 13 WWW.matemática... Lic. Francisco Villaverde 20 La Enseñanza del Análisis Matemático y su historia Ing. Nicolás D. Patetta 21 La Biblioteca Lic. Francisco Villaverde 26 Nuevas Tecnologías y Educación Lic. Mculha Martínez y Lic. Domingo Merlino 27

Problemas y soluciones para publicar Dr. Daniel Prelat 34 Los Problemas en el Aula Prof. Juan Angel Foncuberta 37 Aula Presente Lic. Lucrecia D. Iglesias 41 Problemas propuestos para 3" C. EGB y polimodal Prof. Mario J. Cozzani 45

ISSN 0326-8888

Editorial I Estimado colega: »

| Comienza con este número, el LXI, el año lóele

existencia de nuestra Revista, que nos encuentra, ^ como siempre, pensando en la temática que más ^ pueda interesar a nuestros lectores. Por eso, en este ^ número, además de las secciones fijas, se incluyen ^ tres artículos que responden a manifiestas inquie- ^ tildes de los colegas expresadas por comentarios ^ que nos llegan, y últimamente durante la realización ^ del VI Congreso de Educación Matemática, que se ^ desarrolló en la Universidad CAECE del 20 al 22 de ^ Septiembre del año en curso. ^

i apoyo de la Computación", de la autoría del Dr. Carlos ^ Lac Prugent, que nos honra nuevamente con su ^ colaboración a "Elementos de Matemática". ^

2.- También prosiguiendo con notabes ^ referencias históricas, el Ing. Nicolás Patetta nos ^

\V ilustra sobre "Historia del Análisis Matemático".

3.- Como aporte complementario al tema 1, I válido en todos los aspectos afines, se incluye el ^ artículo de autoría del Dr. Pablo Gutiérrez "Software ^ estadístico en Internet: La alternativa gratuita". ^

Además, pero con el carácter de una nueva ^ sección fija sobre Informática, según se anticipó en ^

Tales trabajos son: ^

].- "Enseñanza de Probabilidad y Estadística con §

Para finalizar, anticipamos que intentaremos

1 el número anterior, publicamos el primer trabajo de ^ los licenciados Domingo Merlino y Martha Martínez, ^ que titularon: "Cómo hacer un uso inteligente de Internet". ^

publicar en el próximo número algunos de los trabajos ^ que se presentaron en el VI Congreso de Educación ^ Matemática. ^

El Director \

ELEMENTOS DE MATEMÁTICA - Vol.XVI, Nro. 61, Septiembre de 2001 5

Enseñanza de Probabilidades y Estadística (preferentemente con apoyo de la computadora) 2- parte

Dr. C a r l o s L a c P r u g e n t

Continuando con el tema, tratamos ahora la distribución normal con el mismo criterio empleado en el número anterior de esta revista. Prácticamente no utilizamos fórmulas sino conceptos. Creo ¡tinto al pensamiento de mi siempre recordado maestro y director de mi tesis doctoral Prof. Carlos E. Dieulefait, uno de los más grandes esta-dísticos del siglo XX, que "la Matemática debe estudiarse con la luz apagada". Con las fórmulas es por cierto más fácil, pero nuestra propuesta es hacerlocasi sin la ayuda de las fórmulas, estimulando a! alumno a emprender la aventura del pensamiento.

DISTRIBUCIÓN NORMAL Se atribuye el descubrimiento de la distribución normal a Abraham De Moivre

(1667-1754) amigo de Halley y de Isaac Newton. El camino seguido por este mate-mático fue el del análisis del comportamiento probabilísticodeeventos que podían tener dos resultados posibles en cada prueba, es decir un espacio muestral muy elemental. No queda claro cómo De Moivre llegó a la fórmula. Fue Thomas Simpson la primera persona que extendió lacurva normal a mediciones continuas, posiblemente interesado en establecer la posición de una estrella. Cada observación independiente lleva a un resultado algo distinto. El monto de de variación entre los números sería función de la confiabilidad del instrumento.

La idea se extendió más allá cuando el matemático (entre otras cosas) francés Pierre Simón, Marqués de Laplace (1749 -1827) probó el Teorema del Límite Central. La distribución normal fue popularizada por el matemático alemán Cari Gauss (1777 -1855) por lo que muchas veces se suele hablar de "la gaussiana" o "la campana de Gauss".

PUNTAJES Z

Un puntaje Z es una medida de cuántas desviaciones estándar está de distancia un puntaje de la media. Por ejemplo dada la distribución normal, si suponemos una media de 20 y una desviación estándar de 4, un puntaje de 24 se encontrará a una desviación estándar de la media, y como consecuencia tal puntaje de 24 será igual a un puntaje Z = +1, es decir a una distancia 1 de la media de la distribución Z que es 0. Si el puntaje fuera 16 en lugar de 24, el puntaje será Z = -1, ya que 16 se encuentra a una distancia de una desviación estándar por debajo de la media.

A los puntajes Z se les llama "puntajes estandarizados", y cuando todos los puntajes brutos de una distribución normal se los transforma en puntajes Z se obtiene una distribución normal estándar que tiene una media de 0 y un desvío estándar de 1. Con el puntaje Z se evita el problema den vado de los órdenes que no tomaban en cuenta las distancias, esto es lo que ocurría con los percentiles (ver número anterior de esta

6 CARLOS LAC PRUGENT

Revista). Ei puntaje Z toma en cuenta la variabilidad en la distribución en la fórmula de transformación. El puntaje Z es el número de desviaciones estándar de un puntaje desde la media.

Existen dos fórmulas para la transformación de los puntajes brutos en puntajes Z. Una se utiliza cuando los puntajes son poblacionales y la otra cuando se trata de datos muéstrales:

Población Muestra Z = (X o Z = {X - media) / S

donde m es la media poblacional y s es el desvío estándar poblacional, "inedia" es la media aritmética muestral y 5 el desvío estándar en la muestra.

En Estadística mediante los puntajes Z se pueden comparar manzanas con naranjas. ¿Es Ud. más alto que pesado?

La transformación a puntajes Z convierte los puntajes originales que pueden estar dados en diferentes escalas a unidades comunes. La unidad común es el puntaje Z que es el número de desviaciones estándar en que se encuentra un puntaje de la media de la distribución, es decir la distancia a la media.

Ahora bien, si se le dijera que la altura de una persona, transformada a unidades Z es +1,3 y que su peso convertido a unidades Z es -0 ,42 estaremos en condiciones de decir que esta persona es más alta que pesada. Sin embargo, es importante entender el significado. Cuando la altura de esta persona es transformada a puntaje Z, utilizamos la media y el desvío estándar de la distribución de alturas. Análogamente, para transformar el peso de esta persona a puntaje Z, se ha utilizado la media y la desviación estándar de la distribución de los pesos.

Entonces decir que es más alto que pesado es lo mismo que decir que su altura transformada se sitúa en la distribución de las alturas por encima que la de su peso transformado en la distribución de los pesos.

Esta forma de comparar los puntajes de diferentes escalas de medición es muy útil en Psicología y en Educación. En el campo de la Psicología podría establecerse si una persona es más depresiva que ansiosa, más paranoica que maniática o si es mejor en Matemática que en Geografía.

Teorema del Límite Central

0.5 " 0.45 "

ENSEÑANZA DE PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA 7

El teorema del límite central es uno de los resultados más destacados de la teoría de la probabilidad. En su forma más simple establece que la suma de un gran número de observaciones independientes de una misma distribución tiene, bajo condiciones generales, una distribución aproximadamente normal. Más aún, la aproximación va mejorando a medida que el número de observaciones aumenta. Este teorema es considerado como el corazón de la teoría de la probabilidad. Un nombre más adecuado sería el de teorema de la convergencia normal

Supongamos el simple experimento de arrojar 100 veces una moneda. Observa-mos el número de caras que aparecen. Podríamos asignar el número " 1" a la aparición de cara y "0" a la presencia de seca y computamos el puntaje total. De esta manera el número total de caras que aparecen es la suma de 100 variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas.

De acuerdo con el teorema de límite central, la distribución del número de caras será aproximadamente normal. Esto puede ser ilustrado gráficamente mediante la repetición del experimento muchas veces.

En la gráfica pueden observarse los resultados obtenidos de la repetición del experimento. En el eje de ordenadas se consignan las frecuencias expresadas en porcentajes, mientras que en el eje de abscisas se muestra el número de caras resultantes, que a los efectos de una mejor visualización se muestra en valores estandarizados.

Luego de un número grande de repeticiones se presenta una curva que que se vá aproximando a la normal. Se ha observado empíricamente que varios fenómenos naturales, tal como las alturas de los individuos, siguen este comportamiento. Se ha sugerido que estos fenómenos son la suma de un número grande de efectos aleatorios independientes y por tanto se distribuyen normalmente de acuerdo con el teorema del límite central.

RESUMEN

Los percentilos y los puntajes Z son transformaciones de los puntajes originales que proveen información sobre cómo están los puntajes con relación a otros puntajes en la distribución.

El rango percentil de un puntaje se expresa como el porcentaje de puntajes en la distribución que caen por debajo de tal puntaje.

El rango percentil se basa en el rango-orden de los puntajes, cuando el nivel de medición de la variable es ordinal, no puede tomar en cuenta las distancias entre los puntajes, solamente ocupa un lugar y nada más y consideramos el porcentaje de puntajes por debajo de este percentil. Pero si nos situamos en los puntajes Z, el porcentaje de puntos por debajo de un puntaje dado es el rango percentílico de tal puntaje. Usando la tabla Z que identifica el porcentaje de puntos de varias áreas por debajo de la curva posibilita la obtención de los rangos percentil icos vía los puntajes Z. Hay que tomar en cuenta que los rangos percentílicos pueden ser utilizados con distribuciones que no están distribuidas normalmente, sin embargo para calcular los rangos percentiles con la tabla Z, se requiere que la variable, es decir los puntajes, se distribuyan normalmente.

El puntaje Z se debe utilizar cuando las variables en cuestión se miden en el nivel intervalar o en el nivel de razón, aunque existen situaciones en las que se "hace la vista

8 CARLOS LAC PRUGENT

gorda" y se utiliza para puntajes medidos en el nivel ordinal, como en el caso de las notas, con algún argumento aunque poco sustentable, basado en el teorema del límite central. Este puntaje Z es el número de desviaciones estándar de un puntaje bruto desde la media de la distribución. Por encima de la media son positivos y por debajo de la media son negativos; tienen media 0 y desvío estándar 1.

En la distribución normal el 68% de los puntajes caen entre +1 y - 1 , es decir en el intervalo de un desvío estándar a ambos lados de la media. Si se considera el intervalo de dos desvíos estándar a cada lado de la media, es decir entre -2 y +2, se tiene algo más del 95% de los puntajes. Con tres desvíos estándares tendremos más del 99% de los puntajes comprendidos en el intervalo.

Es muy interesante a esta altura comparar estos resultados con los obtenidos mediante la aplicación del teorema de Chebicbev, en el caso de k=l teníamos que el resultado era muy banal, nos decía que la probabilidad en el intervalo de un desvío estándar a cada lado de la media era mayor que 0. Pero si consideramos k=2 desvíos a ambos lados de la media tenemos por lo menos el 75% de los datos (o puntajes), y con la distribución normal el valor es de 95%, siendo éste el valor de probabilidad "exacto".

Finalmente, con k=3 teníamos que por lo menos el 89% estaba en el intervalo de tres desviaciones estándar a ambos lados de la media mientras que la probabilidad exacta es algo más del 99%.

Estos resultados sirven para mostrar que el teorema nos brinda una cota inferior de la probabilidad y que conociendo la distribución, en este caso la normal, tenemos la probabilidad exacta que es mayor que la brindada por el teorema de Chebichev. Entonces este teorema nos resulta particularmente útil para cuando no conocemos nada acerca del comportamiento probabilístico de los puntajes, es decir no sabemos cuál es su distribución de probabilidad.

Aquí no tratamos el tema de la búsqueda de probabilidades de diferentes eventos con la tabla de la distribución normal ya que es un tema trivial y que se encuentra en cualquier libro. Sólo consiste en la búsqueda de áreas mediante los valores Z, o bien de hacer el proceso inverso, es decir resolver problemas como el siguiente:

Un profesor toma un examen de nivel a los alumnos de una escuela, y de acuerdo con las notas obtenidas formará tres grupos: a) los avanzados, b) los término medio y c) los que necesitan refuerzo. Supongamos que el docente decide que los alumnos del grupo b) estarán constituidos por el 60% central, los del grupo a) por 20% superior y los del grupo c) que son los que necesitan refuerzo están comprendidos en el 20% inferior. Entonces dada la media de la distribución y el desvío estándar, y si se puede admitir que la variable soporta el supuesto de distribución normal, se buscarán los valores de Z en la tabla para esos porcentajes y los valores de notas se obtendrán simplemente despejando en puntaje X en las fórmulas vistas antes.

Veremos a continuación un tema que desde nuestro punto de vista es muy importante por su vinculación con el campo de la metodología de la investigación.

CAUSALIDAD Y CORRELACIÓN

En el campo científico se define "causa" como las condiciones que son necesarias y suficientes, es decir si X ocurre entonces ocurrirá Y, Y nunca será observada sin que haya sido precedida por X, entonces X es suficiente para producir Y.

ENSEÑANZA DE PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA 9

Claro está que cuando dos eventos como X e Y aparecen relacionados de esta manera no habrá duda de la existencia de una relación causal.

Sin embargo, si esta es nuestra exigencia habría muy pocas ocasiones en que entre dos eventos haya una relación causal. Pensemos en un simple interruptor y que cada vez que lo accionamos se enciende o se apaga una luz en un orden perfecto y que queremos establecer la existencia de una relación causal. Por cierto que es suficiente que apretemos el interruptor para que la luz se apague, sin embargo ¿es ésta una condición necesaria para que la luz se apague?, tan sólo la caída de una rayo puede violar la condición necesaria para que la luz se apague, es decir que un suceso independiente puede causar el mismo resultado.

Los investigadores pretenden demostrar que X puede ser una de las causas probables para que Y ocurra, pero no pueden demostrar que X es la causa.

Se suele establecer una relación funcional cuando un evento Y es más probable que ocurra cuando se manipula el evento X, donde X precede a Y. Entonces no se mantienen estrictamente las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de causalidad sino que se habla de la relación causa-efecto en el sentido de que manipulando una o más variables se incrementa la probabilidad de ocurrencia de un suceso dado.

Ahora bien, la relación causa-efecto no es la única forma de relación entre las variables.

Covariación es cuando dos variables ocurren o varían juntas y cuando ello ocurre se habla de que las variables están correlacionadas.

Las alturas y los pesos de los alumnos de la clase se encuentran correlacionados ya que en general es más probable que a mayores alturas se tengan mayores pesos. Los sucesos que tienen entre sí una relación causal se encuentran correlacionados, ocurren juntos aunque uno precede temporalmente al otro.

Cuando recolectamos variables que no hayan sido manipuladas en forma sistemá-tica podemos observar la presencia de covariación pero no podremos establecer la existencia de una relación causal. En forma sintética podemos decir que si entre dos variables existe una relación causal, existirá correlación, pero si existe correlación no podremos a partir de ella establecer una relación causal, a veces tal covariación es la resultante de la influencia de una tercera variable. Dos variables pueden mostrar un alto grado de covariación tal como el número de televisores producidos y la cantidad de dementes que se observan en el tiempo. Sin embargo la correlación entre ambas es debida a la existencia de una tercera variable, en este caso el crecimiento de la población. No siempre es posible identificar las otras variables que pueden estar influyendo y que deberían ser aisladas para analizar las características de la correla-ción.

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL DE PEARSON

El coeficiente de correlación lineal varía en t re -1 y+ 1, y cuanto mayor sea el valor absoluto de la correlación la asociación entre las variables es más fuerte.

La correlación entre dos variables se calculaen diferentes disciplinas: por ejemplo en el campo de la Economía, para analizar la relación existente entre la inversión pública y el producto bruto, en Meteorología entre la cantidad de lluvia y el número de árboles por hectárea de terreno, en Psicología para medir el grado de asociación entre

10 CARLOS LAC PRUGENT

estímulos y respuestas o entre los puntajes asignados en una medición del carácter y la temperatura reinante (en general se tiene actitudes más positivas cuando la temperatura es más cálida), etc.

El coeficiente de correlación cuya expresión es:

- ( I .V)2]

examina la fuerza de la relación entre dos variables. Los gráficos siguientes mues-tran algunos valores del coeficiente de correlación lineal.

250,0 250,0

200,0 -

4 *

* / * v * * * <> * 150,0

100,0

50,0

-

• • • * + % * • * *

^ r=u,ü

0.0 0.0 i 0 10 20 30 4J

ENSEÑANZA DE PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA 9

UN EJEMPLO DE APLICACIÓN

En el cuadro siguiente se muestran las alturas de 10 personas y sus correspon-dientes pesos. Se calcula el coeficiente de correlación de acuerdo con la fórmula vista antes. Se incluye en el cuadro el esquema de cálculos pertinentes.

altura (x) peso (y) x2 y2 x*y 1,50 45 2,25 2025,00 67,50 1,55 52 2,40 2751,55 81,31 1,60 59 2,56 3455,55 94,05 1,65 67 2,72 4535,95 111,13 1,70 77 2,89 5914,10 130,74 1,75 78 3,06 6101,29 136,69 1,80 84 3,24 7040,20 151,03 1,85 88 3,42 7773,90 163,11 1,90 91 3,61 8209,15 172,15 1,95 92 3,80 8422,49 178,96

17,25 733,06 29,96 56229,19 1286,67

10 CARLOS LAC PRUGENT

Al resolver se encuentra que r = 0,9768, lo que indica una alta correlación lineal, y nada más.

El diagrama de dispersión es el siguiente:

40000 -i 35000 -BOOOO

5000 20000 -

15000 10000

5000 H

o 1 o 60 110 160

Como se puede apreciar, muestra un alto grado de linealidad. Si bien aquí sólo se ha tratado la correlación lineal, existen otras formas no lineales,

como se aprecia en el diagrama de dispersión que sigue y que muestra una relación cuadrática entre las variables:

100

80

60

40

20

0 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00

Pese a que muestra una buena relación (cuadrática), el coeficiente de corre-lación lineal presentará valores bajos, ya que éste mide el grado de relación lineal entre las variables.

iSSaEl

ELEMENTOS DE MATEMÁTICA - Vol.XVI, Nro. 61, Septiembre de 2001

Software estadístico en Internet: La alternativa gratuita

Dr. Pab lo A n d r é s G u t i é r r e z

"La estadística no es más que el sentido común expresado numéricamente" Pierre Simón, Marqués de Laplace, S. XVU1

"El pensamiento estadístico será un día tan necesario para la ciudadanía eficiente como la habilidad de leer y escribir"

H.G. Wells, S. XX

El método estadístico es un proceso que permite obtener, representar y analizar las características o los valores numéricos para una mejor toma de decisiones en situaciones de incertidumbre. Como es sabido, la metodología estadística requiere, en una etapa inicial, definir el problema, establecer el plan de recolección de información y obtener esa información. En una etapa posterior del método estadístico se deben resumir y representar las observaciones (o sus valores numéricos), analizar los resultados, para f inalmente divulgar las conclusiones.

Como consecuencia inmediata del procedimiento de recolección de información, se tiene una gran cantidad de observaciones o valores. Independientemente de la naturaleza de los datos, las observaciones deben reducirse a una forma cuantitativa. El método estadístico no permite obtener conclusiones respecto de unidades individua-les de observación. El propósito final es evaluar determinados atributos de la población, que es la forma en la que se denominan los grupos, conjuntos o agregados. Con la aparición de las calculadoras y las computadoras personales, la tarea de efectuar complejos cálculos estadísticos se vió simplicada en extremo. En particular, mediante el empleo de computadora j en la actualidad no es necesario recurrir a tablas para conocer la probabilidad asociada a los estadísticos calculados.

El propósito de este artículo es proporcionar información sobre diversos progra-mas de computadora que facilitan el empleo de herramientas estadísticas. Espe-cíficamente se presentan a continuación algunos programas que pueden ser descar-gados desde Internet. Dentro de los programas que pueden obtenerse mediante su descarga existen dos grupos: los programas gratuitos y los programas con período de evaluación. Los programas gratuitos pueden utilizarse en computadoras personales sin restricciones legales. En cuanto a los programas con período de evaluación, pueden utilizarse durante un tiempo de prueba (usualmente 30 días) al cabo del cual el usuario puede optar entre adquirir el producto o suspender su uso.

Los programas que se presentan a continuación pertenecen a la categoría de gratuitos. En efecto, en tanto que su utilización se limite al uso personal o escolar, pueden ejecutarse y copiarse sin restricciones. Desafortunadamente una caracterís-tica común a todos los programas que se presentan aquí es que las versiones disponibles se encuentran en idioma inglés. Debido a la gran oferta de programas que cumplen con las condiciones señaladas, en este artículo no se presentan todos los programas disponibles en Internet, sino solamente aquellos que ofrecen la mayor cantidad de herramientas estadísticas y una interfase sencilla.

14 PABLO ANDRÉS GUTIÉRREZ

Instat+ para Windows (INteractive STATistics packagc) V 1.5.1. Statistical Services Centre, The University of Reading, UK www.rdg.ac.uk/ssc

Instat+ es un programa de estadística general que permite el análisis de los datos mediante un menú del tipo Windows. Permite el ingreso de datos manualmente o mediante interfaces de importación de archivos con formato Excel (95/97), Dbase (2 - 5) y ASCII (texto). Además es posible grabar los datos en formato propio de Instat+ (*. wor). El programa permite transformar y graficar los datos con poco esfuerzo. Las pruebas que pueden efectuarse con este programa son Chi-cuadrado (tablas de contingencia y bondad de ajuste), prueba de t, análisis de varianza (ANOVA de una vía y análisis factorial), análisis de regresión (simple y múltiple) y correlación (simple o matrices). Entre las pruebas no paramétricas, Instat+ ofrece la prueba de Wilcoxon y Kruskal-Wallis. Entre las opciones del menú se destaca la alternativa "Climatic" que permite procesar datos climáticos diarios. Sin embargo el empleo de las utilidades no se restringe a datos climáticos ya que pueden aplicarse para monitorear registros diarios de niveles de ventas o contaminación. La ayuda que ofrece el producto contempla los aspectos generales del programa e incluye un tutorial que permite

comprender claramente el propósito n s r E - • • \ <¿ & ¡r ~ .

1 " «wJjjJf de las pruebas y el modo de operar el programa. Asimismo existen botones

v•-. : de ayuda para cada operación, lo ra»»- '-,., j que facilita su uso. Pueden escribirse

; macros que simplifican las pruebas ; ! 5 • i que se útil izan con mayor frecuencia.

. • ' ' j El programa está acompañado de j numerosos archivos de datos que

• í . , " j permiten comprender el modo en ''.*" " ; ; ' ' .'. '.' ; j que los datos son almacenados.

Instat (GraphPad) para Windows V 3.01. GraphPad Software Inc. www.graphpad.com

La versión que se comenta aquí corresponde a una demo gratuita que no permite imprimir, grabar, exportar o copiar los datos. InStat ha sido diseñado para facilitar el análisis de pequeñas cantidades de datos (hasta 26 variables). Este programa permite la transformación de los datos, reemplazando los valores originales o creando una nueva variable. La capacidad de importar archivos se limita a datos de tipo texto. El aspecto más conspicuo de este producto es la guía paso a paso que ofrece la interfase desde el inicio del programa. El primer paso, incluso antes de entrar o importar los datos, es indicar el tipo de datos con el que se ha de trabajar. Para este primer paso se debe indicar si se desea comparar medias, analizar regresiones y correlaciones o analizar tablas de contingencia. Una vez seleccionada la actividad que se pretende real izar se pasa al segundo paso, se dispone de una planilla en la que los datos se pueden ingresar manualmente, por importación de documentos de texto o pegando desde el portapapeles de Windows. Posteriormente el programa efectúa preguntas al usuario para determinar el tipo de pueba que corresponde efectuar. Durante el proceso de guía paso a paso, se dispone de ayuda en la pantalla. Además, la ayuda contextual está

SOFTWARE ESTADÍSTICO EN INTERNET: LA ALTERNATIVA GRATUITA 15

disponible con claras explicaciones de los procedimientos y con buenos ejemplos. Esta ayuda contiene numerosas pantallas dedidadas a la teoría estadística. La presentación de los resultados es simple y comprensible de modo que resulta sencillo interpretar los valores que aparecen en los resulta- s dos. Las pruebas para una y dos * " » ; * 1 ' * * » «>«»««„. muestras que pueden efectuarse con este programa son las pruebas de t, , de Wilcoxon y Mann-Whitney (ésta última sólo en el cado de dos mués-tras). Cuando se efectúan estudios "*" " . i - „ de tres o más muestras están dispo-nibles las pruebas de ANO VA para-métrica, de Kruskal-Wallis y Fried-man, las pruebas de Chi-cuadrado " -(tablas de contingencia) y también están disponibles los análisis de re- ~ " gresión y correlación.

p a í mm i á '

Statlets V 2.01. StatPoint LLC http:/Av\vw.sgcorp.com/sta tlets.htm

La versión que se encuentra disponible de modo gratuito es la versión académica y permite analizar datos de hasta 50 filas y 10 columnas. Existen versiones no gratuitas con mayor capacidad de análisis. El programa es una compi lación de "applets" de Java y la ayuda se encuentra disponible cuando se tiene conexión a internet. El ingreso de los datos puede efectuarse de modo manual, mediante el pegado desde el portapapeles o mediante archivos de texto (ASCII). Este programa permite el desarrollo de varios métodos descriptivos numéricos y gráficos que junto con el menú de representación gráfica (Plot) y los análisis de una muestra, faci litan el estudio de los datos. Los análisis disponibles en esta versión permiten comparar dos o más muestras mediante las pruebas estadísticas tradicionales, paramétricas y no paramétricas. Se han incluido herramientas que permiten la determinación del tamaño de la muestra incluyendo un gráfico de análisis de potencia. Dentro del menú de modelos se pueden seleccionar pruebas de ANO VA (desde una vía hasta experimentos factoriales), mo- ..... délos de regresión (simple, polinomial y múltiple) y análisis de series tempo-rales. El programa permite diversos ' análisis vinculados con la calidad y control de procesos. En cada una de las opciones analíticas del programa, ; una serie de solapas de carpetas per-mite observar alternativamente di fe- "" rentes resultados (numéricos y gráfi-cos) de las pruebas.

16 PABLO ANDRÉS GUTIÉRREZ

ViSta: The Visual Statistics System Versión 5.6.3 Forrest W. Young http://forrest.psych.unc.edu

Este programa está dedicado casi en su totalidad al análisis multivariado, com-binando di versos procedimientos que pocas veces se encuentran en un mismo paquete estadístico. Uno de los aspectos más complicados del programa es el ingreso de los datos. Afortunadamente el autor provee numerosos ejemplos de archivos de datos que pueden editarse con cualquier editor de textos. Una vez que se ha comprendido la estructura que debe respetarse en la creación de archivos de datos, el proceso de análisis de datos es sencillo. El menú de transformaciones provee numerosas alter-nativas para transformar los datos originales. El programa permite visualizar los resul-tados de cada parle del proceso de análisis de los datos mediante la selección de alternativas numéricas y gráficas. La secuencia de los pasos (representados por bloques) que se han efectuado a lo largo del estudio pueden obervarse en la pantalla de mapa (Workmap) y de acuerdo a la naturaleza de los datos de cada bloque o paso, quedan activos o inactivos los procedimientos de análisis disponibles. La mayoría de

El aspecto más llamativo de KyPlot es su semejanza con Excel de Microsoft. La afinidad con esta planilla de cálculo no se limita a su apariencia. En efecto, este programa estadístico puede importar y exportar fácilmente archivos con formato Excel. El menú es del tipo tradicional de Windows. Los cálculos y operaciones mate-máticas que pueden efectuarse en esta planilla de cálculos son sumamente diversos, tales como optimizaciones mediante mínimos cuadrados, ajuste de curvas, simulacio-nes, transformaciones de Gabor y Fourier, entre muchas otras. Se encuentran dispo-nibles todas las pruebas estadísticas de uso más frecuente: pruebas de t, ANOVA (de una y dos vías), numerosas pruebas no paramétricas, regresiones simple y múltiple, análisis de supervivencia, múltiples análisis multivariados, tales como componentes principales, análisis discriminante, correlación canónica, escalamiento multidimensio-nal y análisis de conglomerados (clusters). Los datos pueden transformarse con gran facilidad de acuerdo a las necesidades del usuario. La mitad de las capacidades del programa residen en su versatilidad gráfica. Es posible modificar la apariencia de los gráficos mediante un entorno sumamente amigable. La selección del tipo de gráfico se encuentra simplificada por un sistema de ventanas secuenciales con claras indicacio-

^ í los resultados gráficos son dinámi-cos, permitiendo el control de la infor-mación en cada caso. Se encuentran disponibles en esta versión los si-guientes análisis: ANOVA, análisis de correspondencia, análisis de fre-cuencias, escalamiento multidimen-sional, análisis univariados (pruebas de t, de Mann - Whitney, homogenei-dad de varianza, entre otros), análisis de regresión, regresión múltiple y com-ponentes principales.

n 7 KyPlot Versión 2.0 Koichi Yoshioka http://www.qualestco.jp/DownIoad/KyPlot/lvyplot_e.htm

SOFTWARE ESTADÍSTICO EN INTERNET: LA ALTERNATIVA GRATUITA 17

nes. Además de la gran variedad de 4. ,',., figuras que pueden obtenerse como JBEJ

consecuencia de la prueba o análisis ; » seleccionado, el programa ofrece una -i;13

gama importante de herramientas de . diseño gráfico que permiten persona-lizar las representaciones. Es posible obtener gráficos en dos o tres dimen-siones a la vez que permite superpo-ner figuras. Las interfases matemá-tica, estadística y gráfica rinden re-sultados de calidad profesional. B

NCSS Jr. (Nuber Cruncher Statistical System) Versión 6.0.21 Jerry Hintze http://www.ncss.com

El programa inicialmente presenta el menú principal y unaplanilla de cálculo. Una vez que se ha seleccionado en el menú la prueba que se desea realizar, aparece la planilla de procedimiento que permite el despliegue de la ventana de resultados. La planilla de cálculo es la ventana que permite ver y modificar los datos. Este sistema permite trabajar con una planilla de datos a la vez. En esta versión gratuita no es posible importar o exportar archivos, pero los datos pueden pegarse desde y hacia otras planillas de cálculo a través del portapapeles. La cantidad de pruebas estadísticas disponibles se encuentra limitada a las más frecuentemente empleadas en análisis sencillos. Los gráficos y pruebas que se desean efectuar pueden seleccionarse en la ventana de procedimientos cuando se ha seleccionado la opción de análisis en el menú principal. Finalmente, una ventana (

de salida despliega los resultados nu-méricos y los gráficos. Los resultados & se presentan en esta ventana de for-ma clara y con información acerca de la interpretación de la salida. En el menú principal seleccionando la "¡ opción de gráficos se puede acceder a un menú que, previa selección de la : alternativa deseada, despliega la "¡¡ ventana de procedimientos que per-mite personalizar la salida gráfica. _

s> %i°.">¡ -sí-i*»

íFjB, OpenStat l i p t Versión 3.5.5 Bill Miller LfJHÜ http://scribers.midwest.net/wgmiller

Este producto es, sin dudas, un programa que se asemeja en muchos aspectos al famoso SPSS (Statistical Package for Social Sciences), un programa profesional de estadística sumamente costoso. Open Stat emplea el menú tradicional de Windows. Si bien no posee capacidades sofisticadas de importación y exportación, trabaja muy

18 PABLO ANDRÉS GUTIÉRREZ

bien con archivos de texto con datos separados por tabulaciones, como los que pueden grabarse desde Excel. Provee una sencilla interfase para transformar datos de acuerdo a las necesidades del usuario. En cuanto a los análisis que pueden efectuarse, la mayoría de las pruebas estadísticas se encuentran disponibles. Algunas de estas pruebas son: la prueba de t (con datos independientes o apareados), ANO VA (una, dos y tres vías), tablas de contingencia, las pruebas no paramétricas de Kruskall-Wallis, Mann-Whitney, Friedman, Wilcoxon y los coeficientes de Kendall, Spearman. Entre las alternativas multivariadas se tiene: MANO VA, ANCOVA, análisis discriminante,

análisis de conglomerados (clusters), análisis de correlación canónica y escalamiento multidimensional. Las opciones gráficas son sencillas y no está permitido modificar la salida grá-fica. La ayuda es sumamente clara y provista de ejemplos que permiten comprenderel funcionamiento del pro-grama. El autor, un profesor retirado, considera este programa como un trabajo en progreso de modo que próximamente pueden encontarrse nuevas versiones del producto.

j- SSP Smith's Statistical Package ^ 1 i Versión 2.02, Gary Snñth

T' http://www.economics.pomona.edu/statsite/framepg.html

Como en la mayoría de este tipo de programas, al iniciarse SSP se encuentra disponible una planilla en donde se pueden ingresar los datos. Este programa admite el ingreso de datos a través del portapapeles o mediante la utilización de archivos de texto. No dispone de una ayuda contextúa! y la dispobible en el menú no está a la altura de las capacidades del sistema. Cuando se seleccionan las opciones antes de efectuarse los cómputos o procedimientos correspondientes se atraviesan algunas pantallas que orientan al usuario. No se encuentran disponibles opciones para la transformación de datos. Entre las opciones del menú de descripción se dispone de opciones de procedimientos exploratorios gráficos o numéricos sencillos. Bajo el menú de incerti

" " TI dumbre se encuentran algunos rao-. délos de simulación que pueden re-

..-. sultar de interés en el aula debido al • funcionamiento interactivo. Las prue-

bas estadísticas que se proveen son sencillas y se encuentran en el menú

. ' . - . : : d e inferencia. Entre las pruebas que se ofrecen se encuentran las pruebas

: . de t, chi cuadrado, ANO VA y regre-siones simple y múltiple. Esteprogra-

" • ma se encuentra disponible en versio-' "" J nes para PC y Mac.

SOFTWARE ESTADÍSTICO EN INTERNET: LA ALTERNATIVA GRATUITA 19

Simfit Versión 5.4, University of Manchester

¡i' http ://wvvvv.simíit.man.ac.uk

Simfit es un programa que permite, además de los tradicionales análisis estadísticos, la simulación y ajuste de curvas. Presenta muy buenas cualidades de representación gráfica, que utiliza modelos matemáticos seleccionabas (incluidos en el producto o ingresados por el usuario). Permite realizar numerosas pruebas tales como análisis de proporciones, análisis de tablas de contingencia, ANOVA (de una a tres vías), pruebas de normalidad (Kolmogorov-Smirnov y Shapiro-Wilks), pruebas de t-student.El fun-cionamiento de la interfase gráfica es complejo pero sumamente potente. El programa posee numerosas opciones para el ajuste de curvas mediante modelos tradicionales (lineales, cuadráticos, polinomiales) y específicos (dosis-respuesta, Lotka-Volterra, Michaelis-Menten). Se dispone de p .--.,•:• .• numerosos módulos de simulación de ¡ :

datos. Se pueden anal izar datos desde ! el portapapeles y se proporciona una i macro para importar datos desde I Excel. El dominiodelfuncionamiento j del programa requiere un importante esfuerzo ya que no es sencillo. Si bien noresultaapropiadoparasuutilización " . . . en el aula, será interesante para quie-nes estén interesados en represen-taciones y simulaciones gráficas de calidad profesional. ———

0> T Í M / S R R T

WinlDAMS (Internationallydeveloped Data Analysis and Management Software paekage). Versión 1.0, UNESCO http://www.unesco.org/webworld/idams.htnil

Este programa desarrollado por la UNESCO permite procesar y analizar esta-ísticamente información numérica. Este programa admite la manipulación de los datos que pueden importarse y exportarse mediante una interfase sencilla. El resto de las interfases no resultan tan simples. Se encuentran disponibles pruebas estadísticas tradicionales y avanzadas, incluyendo la capacidad de construcción inte-ractiva de tablas multidimensionales, la explorac ión g rá f ica de datos (incluso en 3D), análisis de series temporales y un grupo de técnicas multivariadas. La complejidad del manejode datos nofacilita su empleo en el aula, pero permite un interesante desarrollo de técnicas de análisis avanzadas para act ividades extra escolares.

20 ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol. XVI Nro. 61, Septiembre de 2001

i m i m f NÉAhAIMAÉIAA C o m e n t a r i o s s o b r e p á g i n a s W e b r e l a c i o n a d a s c o n l a m a t e m á t i c a

E a Bí? H o H n n S C T a W H a H T O n B W ¥ H n i i P o r e l L ic . F r a n c i s c o F . V i l l a v e r d e

Estimados lectores: En esta sección se comentan brevemente los contenidos de algunas páginas de Internet en directa vinculación con la matemática. Desde ya se convoca a todos los interesados a escribir sus propios comentarios de páginas para compartir con el resto de los lectores. También son bienvenidas preguntas que motiven búsquedas en Internet. Quiénes deseen colaborar y/o recibir las direcciones comentadas por e-mail pueden escribir a paco@itba.edu.ar o a la revista.

http://www.shu.edu/projects/reals/reals.html Interactive Real Analysis (análisis real interactivo)

Un interesante curso interactivo de intro-ducción al análisis real o cálculo avanzado en una variable real (conjuntos de puntos, sucesiones reales, series, continuidad y diferenclabil idad, integral de Riemann y Lebesgue, espacios métricos).Esta es una versión actual izada que incluye búsque-das por palabras clave y applets de Java. Este libro de texto interactivo se encuentra en permanente cambio. Muy recomenda-ble para profesores que cursan estudios de actualización y perfeccionamiento.

Jjva |RA i ntw New versión wcluding/ull tcxl se —I Java-basvd navtgaliona! appUt now available. "u

Chorkrequirementt bi'foro cllrking on Java-IRA. Inter'activo Real Analysis ís an oídme, interacbve textbook for Real Analysis or Advanced Calculus >n ene real variable It deals with sets, sequenres, senes, cor.tmuity, diíT'jrentiabJity, ntegratility (Riemann and Lebesgue). topology, and more The lext ts iliangng constantfy, and your comments are very wclcome: pirase sien oui gueit book Theprojecl vías supported by a granl from Seto» Hall Umvtrsuy.

Documento Eieu/ado ¡f, |P>I„ lil'.;

>-. ^ ra ¿ no

http://www.sci.wsu.edu/idea/ Actividades sobre ecuaciones diferenciales en Internet

IDEA ( In ternet Di f ferent ia l Equat lons Activities) es un esfuerzo interdisciplinario que busca acercar a estudiantes y profe-sores en todo el mundo actividades rela-cionadas con las ecuaciones diferenciales basadas en el uso de computadoras en un espectro amplio de disciplinas y aplica-c iones. IDEA está ausp ic iada por la National Science Foundation. Como todo sitio de Internet IDEA está en permanente evolución. Este sitio contiene una base de datos de actividades sobre el uso de com-putadoras que ¡lustran los conceptos mate-

máticos y la aplicación de estos conceptos en situaciones problemáticas muy diversas. Además (y ésta es una contribución muy buena) se provee el programa DynaSys para ser utilizado en la reso-lución de los ejercicios propuestos. Este programa es de muy sencilla operación, la única premisa para

Continúa en la página 52

érctwc idean Yíc li Qomru-acai» f i r,

"•.vi, i. é' 1

$ Msfcadwe- / Dilección |hltp U GT IDEA •d M

Internet Dlfferential Equatlons Adivines 'S 2

V.'lul ¡i IDEA? '.VI ir i, n>EA? CuiTÍHt Pruiectt

RealProblems ' l i J l fS ip f l Real Equations

, . i.

Helpful Links Add A Link Contad ITs

Spftwarc Real Applications

¡§¡| Email

d OI™|58P-S. I»»- !!» * lEíJO" 1 N<!i£Cm? 649 77

ELEMENTOS DE MATEMÁTICA - Vol.XVt, Nro. 61, Septiembre de 2001 21

La Enseñanza del Análisis Matemático y su Historia Ing. Nico lás D. Patetta

En artículos anteriores he hecho referencia al interés creciente en el uso de la historia de la matemática en la enseñanza de la misma. Este interés se funda principalmente en el innegable valor motivacional que posee presentar los distintos temas de matemática conjuntamente con su historia.

En este trabajo propongo una reflexión histórica sobre los temas que habitual-mente se desarrollan en los cursos de Análisis Matemático para ayudarnos a interpretar las dificultades en su aprendizaje. Para este análisis nos concentraremos en algunos de los temas que conciernen al cálculo di ferencial e integral de las funciones de una variable real.

Habitualmente, con algunas variantes, estos temas suelen organizarse curricular-mente en una secuencia como la siguiente:

1. Función de una variable real 2. Límite funcional 3. Continuidad 4. Derivada 5. Diferencial 6. Primitiva 7. Integral definida 8. Ecuaciones diferenciales Veamos como van apareciendo a lo largo de la historia cada uno de estos

conceptos. Comencemos por la definición de función; la palabra función fue propuesta por Leibnitz y por Juan Bernoulli. Podemos encontrar en Opera (1718) de Juan Bernoulli la siguiente definición " Llamaremos función de una magnitud variable a una cantidad que está compuesta de alguna manera con esta magnitud variable y con constantes". Una definición similar era utilizada por Euler quien introdujo la notación y = f(x) (1734). Cabe destacar que fue Euler quien hace notar la existencia de dos tipos de funciones: algebraicas y trascendentes.

Es necesario esperar hasta 1837 para encontrar la definición actual de función establecida por Dirichlet: Una función f : A B consiste en dos conjuntos, el dominio A y el rango B, y una regla que asigna a cada x £ A un único elemento y £ B. Esta correspondencia es denotada por y =f(x) o x —>f(x). Es bueno hacer notar que el lapso de tiempo transcurrido entre la introducción del concepto y su pulida conclusión es superior a un siglo.

La noción de límite comienza a surgir con los albores del cálculo diferencial pero de una manera sumamente vaga y generalmente pensado desde el punto de vista de límites de razones: - Newton (1687): "La razón última de cantidades evanescentes son límites hacia

los cuales las razones ele las cantidades decrecen ..."

22 NICOLÁS DÁMASO PATETTA

- MacLaurin (1742): "La razón entre 2x +o y a continuamente decrece cuando o decrece y es siempre más grande que la razón entre 2x y a y se aproxima continuamente a esta razón".

La definición de Lacroix (1806) trae un poco de claridad: "El límite de la razón (u¡ — u)/h es el valor hacia el cual esta razón tiende cuando h disminuye, al cual pocemos aproximarnos tanto como deseemos". Pero es necesario llegar a Cauchy para tener una definición de límite de una función. El famoso Résumé des leqons données a l'Ecole Royale Polytechnicjue sur le Calcul Infinitésimal (1823) ha provisto el esquema básico para los textos de cálculo posteriores. En la primera lección podemos encontrar la siguiente definición:

"Lorsque les valeurs successivement attribuées á une me me variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe, de maniere a finir par en différer aussi pea que l'on voudra , cette derniére est appelée la limite de toutes les autres" Nos encontrarnos aquí con una definición acabada de límite aunque "escrita en

palabras". Algunos autores atribuyen a Weierstrass el haber definido con el rigor actual la noción de límite de una función en un punto de acumulación, pero en general se reconoce la paternidad de Cauchy a partir de la definición antes transcripta.

Encontramos en la evolución de la noción de límite un lapso de más de 130 años. Aunque en realidad es mayor ya que la idea de "valor límite" o "infinitésimo" o "magnitud evanescente" existía en muchos de los precursores anteriores a Newton y Leibnitz. El lapso es lo suficientemente grande para poner en evidencia la dificultad intrínseca de este concepto.

El interés por describir una variación continua de las magnitudes analizadas lo vamos encontrando en distintos autores. Euler (1748) produce la siguiente definición: "Una curva continua es una curva tal que su naturaleza puede ser expresada por una única función de x. Si una curva es de tal naturaleza que para representar sus distintas partes se requieren distintas funciones denominaremos a esta curva discontinua".

Como vemos dista bastante de la definición actual de continuidad emparentada con la noción de límite y no con la manera de expresar la función. Una primera aproximación a la definición actual la encontramos en Bolzano (1817) "Una función f(x) varía continuamente en algún valor de x si la diferencia f(x + co) - f(x) puede hacerse más pequeña que cualquier cantidad dada tomando co suficientemente pequeño.

Cauchy^ 1821) adopta una definición similar a la de Bolzano pero con una ligera variante (no resulta claro si Cauchy conocía la definición de Bolzano): "Cuando la función f(x) admita un valor único y finito para todos los valores de x comprendidos entre dos límites dados y la diferencia f(x + i) - f(x) es siempre entre estos dos límites infinitamente pequeña (i infinitamente pequeño) diremos que f(x) es una función continua de la variable x entre los límites donde ella varía ". Observemos que Cauchy plantea la noción de continuidad sobre un intervalo.

Una definición concluyente en términos modernos la encontramos en Heine (1872): " Una función f(x) es continua en el valor x = X si para cualquier cantidad dada e, suficientemente pequeña, existe un número positivo r¡ con la propiedad de que para ninguna cantidad positiva l] que sea menor a if el valor absoluto de f(X ±7])-f(X) excede a e. ". 0

LA ENSEÑANZA DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO Y SU HISTORIA 23

La noción de derivada aparece en 1779 introducida por Lagrange en un intento de fundamentar el cálculo diferencial, evitando las complejidades que traían los infinitésimos, las fluxiones y aún los límites. Lagrange aspiraba a construir el análisis de una forma puramente algebraica. Lamentablemente parte de una suposición falsa: que todas las funciones son analíticas. Es decir que él asume que todas las funciones de variable real pueden expresarse como una serie de potencias.

Lagrange introduce la función derivada a partir del siguiente supuesto: "Si y = f(x) entonces claclo un incremento i de ¡a variable x es posible expresar: f(x + i) como f(x + i) =f(x) + p(x).i + q(x).r + r(x).i} +.... Donde p, q , r, etc son funciones de x e independientes de i. Lagrange luego demuestra que el cociente entre dy y dx es igual a p(x) (el concepto de diferencial era preexistente): Como la función p(x) se "derivaba" de la f(x) llamó a p(x) función derivada de f(x) y usó para p la notación f. De allí es fácil ver que q(x) = (1/2) f ' ( x ) siendo f ' (x ) = [f '(x)]' y así siguiendo construye la serie que hoy denominamos de Taylor para la función f. Por supuesto no se preocupa por la convergencia pero lo más cuestionable es asumir que todas las funciones se expresan de esa forma.

Tengamos presente para comprender este error de Lagrange que él utilizaba una definición de función muy similar a la de Euler antes indicada, por lo que no es de extrañar que con ese nivel de vaguedad cayera en esta confusión. La cuestión es rápidamente esclarecidapor Cauchy, quien presenta su famoso ejemplo de función con infinitas derivadas que no es analítica. Pero en el texto antes citado de Cauchy él reformula la definición de derivada.

Habiendo introducido la definición de límite define a la derivada como el límite de larazón entre los incrementos f(x + i ) - f ( x ) e i. Construyeapart i rdeaquílafórmula de Taylor, habilitada sólo para representar algunas funciones (las que dan origen a series convergentes) y además formula la definición de diferencial a partir de la de derivada. Agreguemos que le queda pendiente el tema de la convergencia uniforme. Será Abel quien le marcará su falencia en 1826, y Weierstrass en 1841 a partir de su definición de convergencia uniforme cerrará el tema de las funciones analíticas.

Creo interesante destacar que el concepto de derivada se introduce para formalizar la representación de funciones a partir de series de potencias y no con la motivación con que actualmente lo presentamos de tasa de cambio de una función o "pendiente de la recta tangente a la curva representada por la función"

Llegamos finalmente al concepto de diferencial, que es anterior a todos los que hemos considerado hasta ahora. En particular, es Leibnitz quien introduce este nombre. Newton y Leibnitz construyen casi simultáneamente el cálculo diferencial en medio de una histórica disputa entre ambos sobre el mismo.

Consideraré solamente laconstrucción de Leibnitz (1674) (sin que esto signifique tomar partido) debido a que los símbolos y nombres que utilizamos actualmente son los introducidos por él. Leibnitz llama diferencial a la aproximación de una diferencia de valores de una variable y deduce a partir de observaciones en un triángulo que llama característico y que dice haber tomado de trabajos de Pascal y que los problemas de la tangente y de la cuadratura son inversos.

Llega a esta conclusión mostrando que en el problema de la tangente interviene el incremento, mientras que en el de la cuadratura aparece la suma de ordenadas. Por esa razón a la reconstrucción de la función "íntegra" a partir de las diferencias (o mejor dicho de las aproximaciones de las diferencias, esto es los diferenciales) la denomina integral por analogía con la relación diferencia-diferencial.

24 NICOLÁS DÁMASO PATETTA

Destaquemos que por semejanzas de triángulos determina a la tangente a partir del segmento subtangente. Leibnitz construye las reglas operativas de la diferenciación y calcula diferenciales e integrales de algunas funciones básicas.

Con la introducción de la noción previa de derivada Cauchy define el diferencial de una función y = f(x) como dy = f '(x).h mostrando que también se puede expresar como dy = f '(x).dx.

Weierstrass en 1861 presenta la diferencial a partir del incremento de la función, diciendo que una función es diferenciable en x si y solo si existen un número k y una función r(x) continua en x , satisfaciendo r(x f = 0 tal que :

f(x)°= f(x ) + k (x - x°) + r(x) (x - x ) Esta expresión constituye ?a base para construir la teoría de la diferenciabi lidad

para funciones de varias variables elaborada por Stolz en 1887. Con referencia a la integral definida me limitaré a mencionar a Cauchy como

el elaborador de una definición inicial en 1823 a partir de trabajos de Euler y Lacroix. En 1854 Riemann presenta la definición de integral definida en la versión que continuamos utilizando en los cursos elementales de cálculo.

Finalmente arribamos al tema final en el que se vuelcan todas las ideas y técni-cas de cálculo desarrolladas en los temas anteriores: las ecuaciones diferenciales, que históricamente es el primer tema en surgir.

Estas ecuaciones surgen al considerar ciertos problemas de movimient. Uno de los más famosos fue el de la Braquistócrona, propuesto por Juan Bernoulli en junio de 1696 y consiste en determinar la curva a lo largo de la cual debe caer un cuerpo bajo la acción de su propio peso de modo que la caída se produzca en el mínimo tiempo posible. En mayo de 1697 fueron publicadas las soluciones obtenidas por Newton, Leibnitz, Jacobo y Juan Bernoulli utilizando los recursos del incipiente cálculo infinitesimal. Por supuesto la teoría de las ecuaciones diferenciales se va elaborando y modificando a lo largo del tiempo y a medida que se van incorporando los conceptos antes descriptos.

En este punto resulta ilustrativo que volvamos a indicar la lista inicial de temas agregándoles al lado de cada ítem el año o los intervalos de tiempo correspondientes:

1. Función de una variable real (1718-1837) 2. Límite funcional (1687-1823) 3. Continuidad(1748-1872) 4. Derivada (1779-1823) 5. Diferencial ( 1 6 7 4 - 1861) 6. Primitiva 1674 7. Integral definida (1823-1854) 8. Ecuaciones diferenciales (1690-?) Como vemos el "orden" en que habitualmente desarrollamos los cursos no

responde a la cronología de los hechos sino a una estructuración producida al formalizarse de manera rigurosa el análisis luego de siglos de evolución.

Una reflexión inicial podría ser la siguiente: Es posible observar en cursos elementales de cálculo que comenzamos trabajando con la definición de función, límite funcional y continuidad obtenidas a mediados del siglo XIX luego de esfuerzos seculares. A partir de allí construimos la derivada, un concepto artificialmente introducido en una etapa de rigorización del análisis. Con todo esto y utilizando la definición dediferencial obtenida en 1861 construimos las reglas operativas del cálculo

LA ENSEÑANZA DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO Y SU HISTORIA 25

diferencial y el cálculo de primitivas que obtuvo Leibnitz en el siglo XVII. Finalmente, usando estas reglas de cálculo resolvemos ecuaciones diferenciales similares o más sencillas que las de esa época donde no tenían ni la noción de función ni la de límite ni la de continuidad ni la de derivada.

La anterior reflexión no pretende inducir a tirar toda la teoría y volver a la técnica original. Pero sí pretende inducir al estudio de los métodos utilizados en esa época incluso por algunos precursores. Encontraremos una buena cantidad de sugerencias para proponer problemas y para nuestra ventaja contamos con poderosos instrumentos de cálculo que no existían en épocas anteriores.

Esta idea de revalorizar el cálculo con los métodos infinitesimales tiene también su historia. Entre otros fue propuesta por F. Klein en 1908.

BIBLIOGRAFÍA - Cauchy A. (1823) Résumé des legons données a l 'École Royale Polytechnique sur

le Calcul Infinitésimal. Chez DEBURE - Dunham, W. (1999) Euler, The Master of Us All.MAA - Hairer, E. & Wanner, G. (1997) Analysis by its History. Springer - Katz V.(1998) A History of Mathematics. Addison Wesley - La ValléePoussin, Ch. (1914) Cours d'Analyse Infinitésimal. Gauthier-Villars - Rey Pastor, J., & Babini, J. (1997) . Historia de la Matemática. Gedisa.

26 ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol.XVI, Nro. 61, Septiembre de 2001

lQEI^LDOQEGA por el Lic. Francisco Vil laverde

j Comentar ios sobre l ibros de seria d ivu lgac ión matemática

Las matemáticas en el siglo XVII, Elena Ausejo,Vo\. 17,1992 [1] Las matemáticas en el siglo XVIII, Mariano Hormigón, Vol. 24,1994 [2] Las matemáticas en el siglo XIX, Mariano Hormigón, Vol. 38,1991 [3] Historia de la ciencia y de la técnica. Ediciones Akal. Madrid, España

Esta colección de historia de la ciencia y la técnica presenta un panorama general de la ciencia desde la prehistoria hasta el primer tercio del siglo XX. En particular en estos tres volúmenes que se comentan se muestra en forma suscinta el desarrollo de la matemática a lo largo de tres siglos.

Los t rabajos y contr ibuciones de Fermat, Descartes, Newton, Leibnitz y por consiguiente la geometría y el cálculo son los temas predominantes de [1], Sin entrar en detalles técnicos es muy interesante (como en todo trabajo sobre la historia de la matemática) enterarse de la inserción de los personajes en el contexto político, so-cial, cultural y familiar que les tocó vivir.

La evolución de la matemática en el siglo XVII es el tema de [2]. Los seguidores de Newton y Leibnitz (Cotes, Taylor, Me Laurin entre otros), la interesante historia de la fa-milia Bernoulli son tema de una primera parte de este volumen. Toda persona que se adentre en el estudio de la matemática se encuentra constantemente con el nombre de otro personaje descollante de este siglo: Euler. Su inmensa obra cruza todos los cam-pos de la matemática moderna a las que en muchos casos llevó en su tiempo a los niveles de la mayor perfección. La revo-lución francesa fue un hito importante de este siglo y varios matemáticos de gran importancia descollaron en esa misma época. Se tratan en este volumen los aportes de D'Alembert, Lagrange (ajuicio del autor el más importante de los matemá-ticos de la época), Laplace, Legendre y Gauss (quien vivió entre este siglo y el XIX). Una nota de este volumen se dedica a las mujeres de la matemática de este siglo, por ejemplo Sophie Germain y María Agnesi.

La matemática del siglo XIX desarro-llada en [3] parte de la obra de dos autores excelsos que sentaron las bases de la matemática de la mayor parte del siglo siguiente. Tales matemá-ticos fueron Cari Gauss y Augustin Cauchy. La primera parte de este volumen reseña la obra de estos dos matemá-ticos.Abel y Galois sellaron el álgebra de este siglo. Por supuesto se narra la historia de la muerte de Galois a consecuencia de las heridas de un duelo.

Un personaje muy importante de este siglo XIX fue, sin duda, Bernhard Riemann quién a pesar de no haber llegado a los 40 años realizó una obra tan profunda que hoy es considerado como uno de los matemáticos mas importantes del siglo XIX, no sólo en geometría sino también en la mayor parte de las restantes disciplinas matemáticas. Otro gran matemático de este siglo fue Karl Weierstrass quien fue la máxima autoridad matemática entre la desapa-rición de Gauss y Cauchy y el encumbramiento de Poincaré y Hilbert. En este siglo XIX Sofía Kovalevskaia fue la primera mujer que se doctoró en matemática.

El sesgo propio de la procedencia de los autores de estas reseñas de la matemática está presente en una mención al desarrollo de la matemática en España.

Espero disfruten la lectura recomendada. Hasta la próxima. Un pedido a los lectores de Elementos de

Matemática: Si tienen sugerencias sobre libros o artícu-

los para comentar o algún tipo de sugerencia para mejorar este espacio les pido me lo hagan saber escribiendo a la dirección de la revista o mediante correo electrónico a:

paco @ itba. edu.ar. Desde ya gracias.

ELEMENTOS DE MATEMÁTICA - Vol.XVI, Nro. 61, Septiembre de 2001 27

Nuevas Tecnologías y Educación Lic. Martha Martínez y Lic. Domingo Merlino

¿CÓMO HACER UN USO INTELIGENTE DE INTERNET? <*>

Objetivo Evaluar las fuentes de información disponibles en Internet y tomar decisiones

acerca de su utilización

1. Presentación del Tema Es común observar en los usuarios que utilizan Internet: • una búsqueda desordenada, asistemática, sin criterios que la orienten. • una presentación de información en la que se mezclan elementos de distinta

calidad y de diferentes grados de veracidad. Existe la tendencia a considerar como válida cualquier información que aparece

en la Red. En este sentido el alumno se manifiesta como un receptor pasivo de lo que se ofrece en ese medio.

¿Cómo superar esta problemática? ¿Cómo formar usuarios inteligentes? En el proceso de adquisición de datos y generación de conocimientos ¿cómo pasar

de la pasividad a una actitud reflexiva y crítica?

¿Cómo superar esta problemática? ¿Cómo formar usuarios inteligentes? En el proceso de adquisición de datos y generación de conocimientos ¿cómo pasar de la pasividad a una actitud reflexiva y crítica?

Para solucionar este tipo de problemas no podemos dar por supuesto que el uso del medio implica necesariamente un manejo inteligente de la información.

Es necesario llevar a cabo un proceso de aprendizaje que permita a cada alumno poder desarrollar estrategias apropiadas en cada situación.

A continuación les presentamos un material teórico que les permitirá encarar esta tarea.

2. Introducción

En vista del impacto de Internet (la Red) y su uso en el medio educativo debemos reflexionar «sobre la gran variedad y cantidad de información, su dinamismo, su actualización, el crecimiento permanente, la volatilidad y la estructura del medio, la libertad y control como así también el entorno social y cultural...» (Borrás 1997)

* Esta documentación es parte de un material utilizado en el: Proyecto Redes Telemáticas para la Formación de Educadores. Implementación de cambios en las Escuelas de los países de América Latina y el Caribe - OEA 2000. - Experiencia Piloto de Cooperación Internacional (Lic. Merlino Domingo A., Lic. Cassetti Julia, Lic. Louro Nilda y Lic. Mazzuto Ana - Agosto 2000 - Buenos Aires - Ministerio de Educación Argentina y OEA)

28 MARTHA MARTÍNEZ Y DOMINGO MERLINO

Internet ofrece en la actualidad servicios ya tradicionales, como el acceso a servidores Gopher, FTP, News, Telnet, E-mail, etc. y el servicio World Wide Web «WWW» o simplemente «web». Este último permite un acceso universal a gran cantidad de documentos hipermediales (texto, imagen y sonido), diseminados en las computadoras de todo el mundo, constituyendo así una red de información distribuida mundialmente. Hoy, a través de entornos gráficos -navegadores, visualizadores o «browsers»- podemos acceder tanto a los recursos tradicionales como a la WWW. (Glosario Internet 2000).

Muchos son los medios disponibles en la Red. Hay información de todo tipo, formato y calidad, programas (software), etc.

En Internet, en el presente, hay varios cientos de millones de páginas web, pero complementando lo ya señalado, esos recursos son «volátiles» y algunos de los servidores de las redes interconectadas cambian en forma permanente.

La navegación con distintas alternativas direccionales (hipertexto) puede causar a los menos entrenados en circular por el «ciberespacio» que se «pierdan» en el mismo. Las exigencias metacognitivas asociadas con las características hipertextuales po-drían, en principio, dificultar el trabajo.

La infraestructura y posibilidades socioeconómicas de los países del tercer mundo no permite aún el «diálogo sobre sus propios problemas».

El entorno social y cultural dominante está todavía mayoritariamente influyendo en determinados grupos sociales, étnica, social y económicamente hablando.

Finalmente, si bien aquí se habla sobre la búsqueda de información en los recursos disponibles en la Red, no se debe olvidar que también nosotros, individual, grupal o institucionalmente, somos elaboradores permanentes de información. Por lo tanto nuestra actitud debe ser tanto la de «consumidores de saber» como'la de «productores de saber» por lo cual también debemos tener en cuenta los mecanismos de publicación y divulgación de la información a través de la Red.

Marqués Graells 1999 ha realizado una síntesis de las ventajas e inconvenientes que puede proporcionar el uso de Internet en educación. Esta lectura puede resultar de gran interés para todos los docentes.

3. Fundamentación pedagógica del uso de Internet.

Cuando se analiza a Internet como instrumento para el aprendizaje, siguiendo a Borrás, se puede aportar a su fundamentación desde los siguientes principios teóricos:

Teorías del aprendizaje:

Constructivismo. El aprendizaje constructivista se caracteriza por la transformación del conocimiento. Aprender no significa simplemente reemplazar un punto de vista (el incorrecto) por otro (el correcto), ni acumular nuevo conocimiento sobre el viejo, sino transformar el conocimiento. Esta transformación, a su vez, ocurre a través del pensamiento activo y original del alumno. Debe considerar sus saberes previos e implica la experimentación y la resolución de problemas. Considera que los errores no son antitéticos del aprendizaje sino más bien la base del mismo. Por otra parte, se comprende mejor cuando se apoyan, involucran y expanden los propios intereses. En cuanto a las relaciones intra e interpersonales, es fundamental el desarrollo de la autonomía y la interacción de los alumnos entre sí y entre éstos y el docente.

NUEVAS TECNOLOGÍAS Y EDUCACIÓN 29

Teoría de la Conversación. La teoría de la Conversación de Pask sigue el punto de vista de Vygotsky sobre el hecho de que aprender es por naturaleza un fenómeno social; que la adquisición de nuevo conocimiento es el resultado de la interacción de gente que participa en un diálogo; y que aprender es un proceso dialéctico en el que un individuo contrasta su punto de vista personal con el de otro hasta llegar a un acuerdo.

Teoría del Conocimiento Situado. De acuerdo con la teoría del Conocimiento Situado, el conocimiento es una relación activa entre un agente y el entorno, y el aprendizaje ocurre cuando el aprendiz está activamente envuelto en un contexto instruccional complejo y realístico.

A la luz de algunas experiencias tanto propias como realizadas en otros ámbitos, se ha podido establecer que una de las mejores estrategias para aprender a utilizar las herramientas cognitivas de Internet es la creación de proyectos educativos con formato Web, donde los estudiantes actúan a la vez como receptores y como gene-radores de saber.

Para quienes desconocen el medio (Internet), será necesario algún tipo de entrenamiento. Borrás, a partir de un curso realizado con profesores de escuela primaria y secundaria, con el objeto de que adquirieran destrezas en la búsqueda autodirigida, identifica estrategias utilizadas en esta experiencia que resultaron útiles en función del propósito planteado:

provisión de una guía efectiva ajuste de los contenidos a las necesidades de los alumnos promoción de práctica intensiva a través de tareas significativas

• fomento de colaboraciones de clase creación conjunta -profesor y alumnos- del entorno de aprendizaje (documento web en este caso)

Es necesario aportar estos elementos tanto teóricos como prácticos pues, si bien nuestro objetivo en esta oportunidad es compartir alguna información referida a la práctica de búsqueda de datos en Internet y analizar su calidad, es importante no desconocer las implicancias y mecanismos que se ponen e n j u e g o en la utilización pedagógica de Internet.

4. La búsqueda y análisis de la información en Internet

4.1 Los pasos a seguir para una búsqueda efectiva Esta es una de las variadas formas en que se puede hacer un uso educativo de

Internet. En este documento consideramos qué datos son grupos de símbolos que al procesarlos y contextualizarlos los convertimos en información (Azinian, H. y ot. 1995). A esta última forma debemos abordarla y gestionarla de manera:

• eficiente (lograr más con lo menos) • eficaz (con pertinencia al objetivo) • efectiva (con más peso en la acción que en la teoría) • relevante (con veracidad, consistencia y adecuación) En la Red contamos con un cúmulo de información importante en cantidad y

distribuida uni versalmente (se encuentra diversa información en distintos servidores).

30 MARTHA MARTÍNEZ Y DOMINGO MERLINO

Cuando debemos acceder a información de nuestro interés podemos tener conocimiento de su ubicación (su «dirección» en Internet o URL). Esta no es la situación común. Entonces debemos hacer uso de otros recursos y herramientas que se encuentran disponibles para localizar la información.

Brevemente haremos referencias a estas últimas que son accesibles a través del W W W .

Paso 1. Debemos contar con una aplicación (cliente) denominada navegador, visualizador o «browser» que nos permite desplazarnos a través de la Red y mostrarnos los documentos que en ella se encuentran. Los más utilizados en nuestros países generalmente son el Internet Explorer y el Netscape Navigator.

Paso 2. Con esta herramienta básica recién podremos acceder a otras que nos facilitarán las tareas de búsqueda propiamente dicha. Para tratar de ordenar, clasificar y así localizar los temas de nuestro interés utilizaremos los buscadores (sistemas combinados de hardware y software). Los hay de distintos tipos: directorios temáticos y motores de búsqueda. Fundamen-talmente se diferencian en como actúan para obtener y actualizar la información lo que condiciona la calidad y cantidad relevada. En forma esquemática vale distinguir: (Busón Buesa y ot. 2000):

Directorios temáticos Motores de búsqueda Organización de la información relevada en estructura jerárquica, temas y subtemas (se confecciona manual y automáticamente)

Rastrean la información disponible en ba-ses de datos (Indice) del tema solicitado que fueron previamente confeccionadas automáticamente a través de un rastreo y análisis de la información en la Red.

Son representativas a modo de ejemplo: Yahoo - Infoseek Cuide-Excite

Son representativas a modo de ejemplo: Altavista - Hotbot A veces se complementan con índices temáticos

En ambos aparecen, como resultado de nuestra consulta, una o más páginas web con una lista de enlaces, vínculos o «links» junto a una descripción del título y/o contenido de la información encontrada.

Paso 3. Consultamos esas listas de enlaces y verificamos si está lo que realmente buscamos como así también su fiabilidad. Varios de los buscadores ofrecen enlaces a otros buscadores y en algunos casos también traducción on-line de contenidos.

4.1.1. Sugerencias y recomendaciones para optimizar el proceso de búsqueda.

Teniendo presente que «recuperar datos significativos implica el desarrollo de habilidades para la categorización de temas que nos sirvan de índices y como palabras claves» podremos aprovechar nuestro tiempo y los recursos digitales disponibles y organizar e interpretar el contenido que es objeto de estudio.

NUEVAS TECNOLOGÍAS Y EDUCACIÓN 29

Primeramente debemos conocer las variables de búsqueda. Estas deben definirse con claridad, estableciendo criterios de evaluación (y como ya af i rmamos incorporando, en el caso de la práctica docente, la perspectiva del alumnado). Podemos utilizar algún directorio y seguir su estructura temática jerárquica. Al utilizar un buscador consultar las opciones de «ayuda para las búsquedas» que nos dan información útil para poder acotarlas, ajustarías y optimizarlas, permitiendo así ahorro de tiempo y obtención de información precisa y analizable sobre el tema buscado. Esta es una práctica que conviene realizar siempre hasta tanto se tengan caracterizadas las propiedades de cada uno. Tienen distintos niveles de ayuda y también tutoriales y ejemplos. Si conocemos un nombre o un título específico convendrá utilizar motores de búsqueda por títulos y palabras claves. Tener en cuenta la posibilidad de usar operadores booleanos. Su utilización en cada buscador se puede encontrar en las respectivas ayudas que indican cómo optimizar las búsquedas. Analizar las cualidades y características de lo encontrado, lo que nos permite, a veces en poco tiempo, saber si lo que recibimos como respuesta es o no válido para el tema en análisis. Tener siempre presente el objetivo de la búsqueda y concentrar el esfuerzo en él evitando dispersarse innecesariamente. Evitar usar palabras comunes -artículos, preposiciones, etc.- pues los buscadores las ignoran. Recordar que buscadores diferentes nos dan respuestas distintas. Por lo tanto ser cuidadosos en la valoración de los resultados obtenidos.

Cuando los resultados no son los que espe-ramos conviene tener en cuenta lo siguiente:

Asegurarse que hemos tomado conoci-miento y hecho uso correcto de las posibilidades (y/o restricciones) de la herramienta uti lizada Controlar la corrección en la ortografía Consultar la «ayuda para la búsqueda» que ofrecen estas herramientas Verificar el idioma que se ha utilizado para la búsqueda Revisar la sintaxis de los operadores lógicos utilizados

- Tratar de ampliar las posibilidades de búsqueda (menos especificidad) Es conveniente hacer uso de sinónimos de palabras

- Cuando todo esto no produzca resulta-dos satisfactorios utilizar otro buscador

Cuando como producto de su búsqueda se obtienen muchos resultados tratar de:

- Ser más específico en la consulta - Analizar cuáles son las palabras más re-

levantes y utilizarlas. - Elegir otras estrategias de búsqueda

(Ibañez 1997) (Molloy 2000)

Paso 4.

Finalmente ordenar, clasificar, seleccionar y sintetizar los datos obtenidos y con ello proceder a elaborar la información.

32 MARTHA MARTÍNEZ Y DOMINGO MERLINO

4.2 El análisis de la información que se encuentra en Internet.

El ítem anterior hacía referencia a la cantidad de información. Para evaluar la calidad y la veracidad se debe poder discernir entre verdad y

ficción, entre información y opinión. Esto evitará hacer un uso incorrecto de la infor-mación o tomar decisiones inadecuadas. Será necesario observar, analizar y verificar:

• Autoría. Con ello podremos informarnos sobre él/Ios autores, su seriedad, reconocimiento, solicitar información adicional, etc. Debemos considerar co-mo de segunda clase, en principio, a aquella información «anónima».

• ¿Quién respalda la información hallada? Editor, organización, ¿es real o solamente virtual?.

• Enfoque. Puntos de vista ideológico, político, comercial, religioso u otros. • Actualización. Determinar cuándo fue escrita o producida y en base a ello

compararla con otra información del mismo tipo o tema.

Se recomienda la lectura de los tópicos-relacionados con «Criterios de calidad para espacios web de interés educativo» en Marqués Graells 1999.

Como educadores se deben asumir la responsabilidad frente a los cambios socio-culturales que las Tecnologías de la Información y laComunicación (TIC's) producen, aplicando la capacidad de análisis crítico para valorizar adecuadamente los argumen-tos que se presentan en favor de ellas. Podemos acceder a mucha información pero «el aprendizaje humano depende no tanto de la cantidad disponible como de la rele-vancia de la misma y del proceso de elaboración que un individuo determinado lleva a cabo» en un contexto social específico.

5. Reflexión

¿Qué conclusiones le sugiere esta lectura en relación a la posi-bilidad de ralizar actividades con sus alumnos que incluyan a

Internet como fuente informativa?

6. Bibliografía

- Azinian, Herminia, Brenta, Blanca y Álvarez, Verónica. «Tecnología informática en la escuela- Aplicando planillas de electrónicas». A-Z Editora, Buenos Aires. 1995.

- Borrás, Isabel. «Enseñanza y aprendizaje con la Internet: una aproximación crítica». San Diego State University, 1997. en http://www.doe.d5.ub.es/te/any97/borras pb/

- Busón Buesa, Carlos, López, José Félix y otros. «Internet». UNED, Madrid, 2000. - «Glosario Internet». Portal Educat ivo «Contenidos .com».2000. En http://

www.contenidos.com/biblioteca/glosario-internet/index.html (sitio en permanentemente actualización)

- Hinchliffe, LisaJanicke. «EvaluationofInformation», 1997. enhttp://alexia.lis.uiuc.edu/ -janicke/Eval.html

- Hinchliffe, Lisa Janicke. "Resource Selection and Information Evaluation". 1997, en http:/ /alexia, lis. uiuc.edu/~ianicke/Evaluate. html.

- Hinchliffe, Lisa Janicke. "Internet Search Strategy". 1997, en http://alexia.lis.uiuc.edu/ ~ i an i c ke/S trate gv. h t m 1

NUEVAS TECNOLOGÍAS Y EDUCACIÓN 33

- Ibáñez, Alvaro. «Cómo buscar y encontrar información en Internet. i-World.1997 (la información numérica que contiene está desactualizada) en http://www.idg.es/iworld/espe-cial/buscar.html

- «Latin American Network Information Center - LANIC» . Texas University. en http:// lanic.utexas.edu/ (sitio en permanente actualización)

- Marques Graells, Pere. «V.-Ventajas e inconvenientes dei uso de Internet en educación» en «Criterios para la clasificación y evaluación de espacios Web de interés educativo». 1999. en http://www.pangea.org/org/espiral/avaweb.htm (es conveniente la lectura de todo el documento)

- Marques Grael Is, Pere. «IV.- Criterios de calidad para espacios web de interés educativo» en «Criterios para la clasificación y evaluación de espacios Web de interés educativo». 1999. en http://www.pangea.org/org/espiral/avaweb.htm (es conveniente la lectura de todo el documento)

- Molloy,MollyE.«Labúsquedadeinformación». NewMexicoStateUniversityLibrary. Julio 2000 en http://lib.nmsu.edu/subject/bord/laguia/#buscar (sitio en permanente actualiza-ción)

- Molloy.Molly E. «Internet Resources for Latin America-La Guía Nueva». New México State University Library. Marzo 2000 en http://lib.nmsti.edu/subject/bord/laguia/ (sitio en permanente actualización).

7. Buscadores

All t he W e b a l l t h e w e b . c o m - M u y b u e n o -Fast w w w . f a s t . n o - M u y b u e n o -A l tav is ta w w w . a l t a v i s t a . c o m C o p e r n i c 2 0 0 0 - S o f t w a r e pa ra la c o n s u l t a s i m u l t á n e a en var ios m o t o r e s de b ú s q u e d a w w w . c o p e r n i c . c o m - E n la ac tua l i dad ya es tá v igen te la ve rs ión 2 0 0 1 -D e j a N e w s (pa ra N e w s G r o u p s ) w w w . d e j a n e w s . c o m Exc i te w w w . e x c i t e . c o m G o o g l e w w w . g o o g l e . c o m - A c t u a l m e n t e e s e l m á s c o m p l e t o -Ho tbo t w w w . h o t b o t . c o m y h o t b o t . l y c o s . c o m La Brú ju la - A r g e n t i n a w w w . b r u j u l a . n e t L i s tados de b u s c a d o r e s l a t i n o a m e r i c a n o s y o t ros recu rsos h t t p : / / r ecu rsosg ra t i s . com/ i ndex .h tm i R e c u r s o s gra t is w w w . l a c o m p u . c o m L is tas de d i s t r i buc ión (ma i l ing list) w w w . l i s z t . c o m L is tas se rv ido r U B A h t tp : / /www.uba .a r / se rv i c i os / se rv i c i o -3 .h tm l L is tas R e d Iris ( E s p a ñ a ) www. red i r i s .es / l i s t Lycos w w w . l y c o s . c o m Y a h o o ( ing lés) w w w . y a h o o . c o m Y a h o o A r g e n t i n a h t t p : / / a r . y a h o o . c o m / Y a h o o Bras i l b r . y a h o o . c o m Y a h o o e s p a ñ o l e s p a n o l . y a h o o . c o m L A N I C "Lat in A m e r i c a n N e t w o r k In fo rmat ion C e n t e r - LANIC" . T e x a s Un ivers i t y E E U U , en h t t p : / / l an i c .u texas .edu / (sit io en p e r m a n e n t e ac tua l i zac ión ) F T P S e a r c h h t t p : / / f t p s e a r c h . l y c o s . c o m / ? f o r m = m e d i u m

34 ELEMENTOS DE MATEMÁTICA - Vol.XVI, Nro. 61. Septiembre de 2001

Problemas y Soluciones para publicar

de Daniel Prelat

PROBLEMA 1: Demost ra r que en todo grafo f ini to (i.e.: con una cantidad finita de vértices y de aristas) s imple (i.e.: sin aristas múltiples ni lazos) no trivial (i.e.: con al menos dos vért ices) existen al menos dos vértices de igual grado.

PROBLEMA 2: Sea p> 2 un número entero primo.

b) Probar que para todo entero n, n" -n es divisible por p. c) Probar que si .v, y y z son tres enteros tales que zp~l = x"'1 + y''~', entonces p

divide al p roducto x.y.z •

PROBLEMA 3: Calcular el resto de la división entera de 71-13141516 p 0 r 5.

RESOLUC1ÓNDE LOS PROBLEMAS PUBLICADOS EN MARZO DE 2001

PROBLEMA 1: Se ha colocado un misil nuclear en el centro de una bóveda circular cuya planta es la representada en el diagrama. Ahora, deben clausurarse definitivamente cada una de las 20 aperturas que han quedado y que están representadas en el diagrama con el símbolo O • El personal encargado de la tarea se encuentra en el exterior de la bóveda y se enfrenta con un problema obvio: encontrar un recorrido que les permita ir pasando por cada una de todas las aperturas sin tener que pasar dos veces (o más) por ninguna de ellas (una vez sellada una apertura, no se puede volver a abrir) y terminar del lado de afuera... ¿Hay alguna forma de saber si existe una solución a este problema antes de intentar encontrar una? En caso afirmativo, ¿cuál es una solución?.

La idea para la resolución de este problema no es encontrar una solución de este problema específico sino la de descubrir un método que permita resolver cualquier problema de este tipo. Por otra parte, el detenerse un momento a estudiar la posibilidad o imposibilidad de resolución de un problema antes de intentar resol verlo directamente algunas veces permite ahorrar mucho tiempo y esfuerzos vanos. Piense, por ejemplo, qué pasaría si en lugar de las cuatro aperturas exteriores que figuran en el diagrama, existieran tres.

RESOLUCIÓN: El método general para saber si este tipo de problemas tiene solución (y en caso afirmativo encontrar una) tiene un origen histórico («Los puentes de Konisgberg», siglo XVIII) y su autor es Leonard Euler. Construyase un grafo en el que cada sector (incluyendo el exterior) esté representado por un vértice y cada puerta que permite el paso entre los sectores v y v', digamos, por una arista que conecta los

a) Probar que para todo k e {1,2,..., p - 1 } , el número combinatorio de p.

P es múltiplo

UJ

PROBLEMAS 35

vértices v y v\ Una solución al problema planteado consiste en un ciclo euleriano en el grafo resultante (ver Fig.l) . Euler demostró que un grafo conexo admite un ciclo euleriano sii todos sus vértices son de grado par. El lector puede consultar «Introduc-ción a la Teoría de Grajos» de Fausto A. Toranzos (Monografía N° 15 de la Serie de Matemática de la OEA) donde se expone el método general para encontrar un circuito euleriano en la demostración del citado Teorema de Euler.

PROBLEMA 2: Demostrar que no existe ningún movimiento en 9C que transforme una hélice dextrógira en una hélice levógira. Recordemos: A) Los movimientos euclídeos son composiciones de traslaciones con rotaciones, es decir: transformaciones M : 9 V —>9v de la forma M(x) = p + Qx donde p es un vector fi jo de 913 y Q una matriz ortogonal de determinante = 1. B) Hélice dextrógira: H+ = {(rcos(t),rsen(t),Xt)/1 e 9\}.

Hélice levógira: H" = { ( r cos ( t ) , r s en ( t ) , -X t ) / t e 9v}-En ambos casos, r y 1 son dos constantes positivas. Este problema se resuelve con relativa facilidad utilizando uno de los dos invariantes geométricos de las curvas regulares en el espacio 9v3: la torsión. La propiedad de la torsión que permite resolver rápidamente este problema es su invariancia respecto de movimientos euclídeos (no así respecto de isometrías cuya parte lineal es de determinante = -1). Este problema ilustra mediante un ejemplo sencillo (pero no trivial) la importancia de los invariantes en geometría. Independientemente de que pueda resolver o no este problema, invito al lector a meditar sobre la propiedad enunciada pues está profundamente relacionada con una de las maravillosas propiedades de «nuestro» espacio: la orientabilidad.

RESOLUCIÓN: La torsión de la hélice dextrógira es (en todo punto de la misma) X -A

/ . , y la de la hélice levógira / ., 7 . (Estamos haciendo referencia a las VA + r" VA ~+r'

hélices dadas en el enunciado del problema, donde e es una constante positiva).

—

Figura 1

36 DANIEL PRELAT

PROBLEMA 3: A) Caracterizar las transformaciones especiales del plano, es decir: las transformaciones afines del plano euclídeo que conservan las áreas de las figuras planas. Más precisamente: dada U : 9Í2 —> 9\2 de la forma U(x) = p + Sx donde Ses una matriz inversible, demuestre que U transforma triángulos en triángulos de igual área si y solamente si el determinante de S es igual a 1 (las matrices de determinante unitario se denominan matrices especiales). Para demostrar esto es conveniente utilizar una expresión del área de un triángulo en función de las coordenadas de los vértices. Luego demuestre que U transforma figuras planas triangulabas en figuras de igual área y extienda informalmente el resultado a figuras más generales mediante exhaución (no se pretende aquí el rigor formal que requiere una buena teoría de la medida; un uso adecuado de la integral de Riemann es más que suficiente).

12 2

( x , y ) e 9 \ 2 / ^ r + ^T = l a" b"

encontrar una tranformación especial del plano que transforme esta elipse en una circunferencia, determinar el radio de dicha circunferencia en función de a y b y deducir la fórmula del área encerrada por la elipse. RESOLUCIÓN: A) El área del triángulo Tde vértices (0,0), (x,y), (x',y') es la mitad del valor absoluto de x.y' - x'.y (se deduce mediante una cuenta elemental), es decir // 2 del determinante de la matriz f r v \

a= r -v

l * ' Luego, si S es la matriz de una transformación lineal tal que área de S(T) = área

de T para todo triángulo T, necesariamente es det(SA) = det(A) para toda matriz A y por lo tanto (si S conserva orientación), resulta det(S) = 1.

B) Dadas \ = y )e 9 \ 2 / — + ^ < ij y C = { x,y )eS\2 / x2 + y2 <ab], y sea

f i U la transformación del plano tal que: U( x,y)- A.x,—.y

X \ donde X = 'a

Entonces, U es una transformación lineal especial (es decir: el determinante de su matriz es = 1) y además :

+ 1<=> a" A "b" X /

ax2 by1 2 9 . . . _

—- + - ^ < 1 <=> x + y' < ab <=>(x, y je C ba" ab'

Es decir: U( C ) = t,. Puesto que esta transformación conserva las áreas, resulta

finalmente: área(4) = área(U(<^)) = área( C ) = nab • ! ; mam »•—imimiiiiiiiuyiniB

ELEMENTOS DE MATEMÁTICA - Vol.XVL Nro. 61. Septiembre de 2001 37

Los Problemas en el Aula Prof. Juan Ángel Foncuberta

El Señor Leonhard Euler (1707-1783) Nacido en Basilea se graduó con las máximas calificaciones a los quince años, cuando conoció a Juan Bernoulli quien accedió a ser su tutor. En 1726 no fue aceptado en la Universidad. Por insinuación de Leibniz, Pedro El Grande lo invitó a formar parte de la Academia de Ciencias deSan Petersburgo. En 1741 pasa a Berlín contratado por el emperador Federico II. Se consagra como el primer matemático de Europa. En 1755, la severa Academia de París lo nombra como miembro teniendo en cuenta que ha ganado 12 premios bienales consecutivos sobre problemas planteados por esa institución. En 1766, regresa a

Rusia por invitación de la emperatriz Catalina. En 1771 lo alcanza la ceguera pese a lo cual sigue trabajando. Un tomo de letra menuda no alcanzaría para dar cuenta de sus aportes a la matemática. Fue un precursor del cálculo de variaciones. Un problema típico del cálculo de variaciones es el siguiente: "determinar el arco de curva de longitud mínima que une dos puntos distintos de una superficie esférica".

1.- Números en la Edad de Piedra.

Existen indicios que permiten afirmar que hace unos 3000 años los hombres desarrollaban algún tipo de actividad matemática. En Europa Central se han encontra-do huesos de animales con marcas en grupos de a cinco bien diferenciadas. Pero el hueso más notable hallado hasta ahora es el que fue localizado en Ishingo (actual Zaire). En el mismo aparecen tres columnas de marcas (rayas) que, en nuestra escritura corresponden a:

3 6 4 8 10 5 5 7 11 21 19 9 11 13 17 19

Los especialistas no se han puesto de acuerdo acerca de los posibles significados: a) los escépticos atribuyen la disposición al azar; b) los deseosos de otorgar crédito a nuestros antepasados piensan que la primera fila sugiere un manejode la multiplicación y división por 2; la segunda algo así como la adición y sustracción de 1 en el uso de decenas encontrando además que la tercera contiene el conjunto de primos entre 10 y 20; c) por fin, están los que interpretan que se trata de registros astronómicos, en particular de ciclos lunares. Esta última hipótesis es la más aceptada. Seguramente, nuevos descubrimientos aportarán luz y nuevos interrogantes.

2.-Números en la Antigua Babilonia.

Hace unos 5000 años, el territorio situado entre los ríos Tigris y Éufrates correspondía al país de los súmenos. De alrededor de 3500 años antes de Cristo

38 JUAN ÁNGEL FONCUBERTA

parecen ser las primeras muestras de la escritura cuneiforme. Sabemos que, sobre una tablilla de arcilla todavía fresca, el escriba registraba con el buril las marcas (cuñas). Los textos más antiguos se refieren a operaciones comerciales y, como es natural, en ellos muchas anotaciones son numéricas y ya aparece el empleo del sistema sexa-gesimal. Sólo hacia - 2600 aparecen combinaciones de sílabas que corresponden a palabras. Aparecen escritos religiosos, jurídicos, contratos de compraventa y textos literarios. La región y sus ciudades se convirtieron en lugar de confluencia de un comercio muy activo generando, en consecuencia, la aparición de una burocracia, un ejército profesional y una clase media de artesanos y comerciantes.

Echaremos un vistazo al sistema numérico: Hasta el número 59 empleaban combinaciones de:

T = 1 > = i o Ejemplo:

» TT

TT

T = 25

A partir de 60, expresaban los números como potencias de 60.

Ejemplo:

T T y J »y = 2.(60)2 + 3 . ( 6 0 ) + 21 =7401

T

Es el sistema que aprendemos en la escuela para trabajar con ángulos, pero el agregado de las palabras "minutos" y "segundos" oculta el hecho de que se trata de potencias de 60.

2Ú0 * : •• ,.! "'>;

TURQUÍA J ~~ ! j . •• i -

** A A Ta V A A 'x

A i* 1 Aíiíí*! Sí / A '

SIRIA ^ i .*- V UBAMO ' .A / IRAK

A , Damasco

ISBAR. üí<q«ad# ISBAR. üí<q«ad# \ IRAK

'' "i * A A v \

- J* - "i í V̂ í.,1 \ > r ..ÜV A .. i

• 1 , \ ! . . . \ ..... "V. A " ¡

A ARABIA í: SAUMTA

Jt KUWAIT :

LOS PROBLEMAS EN EL AULA 39

3.-En la Antigua China.

A orillas del río Huang, se hallaron los famosos "oracle nones" (huesos del oráculo). Se estima que su antigüedad no es inferior a 1600 años antes Cristo. Los sacerdotes empleaban estos huesos para plantear problemas filosóficos, religiosos y matemáticos. Hacia -1000, China es un conjunto de estados feudales que hacia -600 se unifican bajo una monarquía al tiempo que se produce un florecimiento intelectual. Es la época del célebre Confucio. Se crean Academias e institutos de enseñanza. En esos años el auge del comercio conduce a la creación de un sistema de pesas y medidas y legislaciones sobre impuestos. Desarrollan un sistema decimal de numeración sobre la base de los siguientes símbolos:

I ¡¡ III lili lllll T T ¥ 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (notación vertical)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 (notación horizontal)

Ejemplo: T T ¥= 678

Como vemos, se trata de una escritura numérica de posición de base 10. Para los cálculos diseñaron un tablero con varillas de bambú de unos 10 centímetros cada una de las cuales correspondía a una potencia de 10. Se alternaban la notación vertical (unidades) con la horizontal. Cada palillo horizontal de la primera columna valía "cinco", quiere decir que dos de esos palillos formaban una unidad de la segunda columna. Como vemos "me llevo uno" es un invento muy antiguo. Aunque no tenía un símbolo, una columna sin marcas, se leía como nuestro "cero".

Ejemplodeadición: y = 7 M = 9

- T = 16

También conocían los números negativos (registrados con color negro) y los positivos (rojo).

4.-Egipto.

Al principio de la civilización agrícola, el país se pobló con pequeñas comunidades que con el tiempo se unificaron bajo el reinado del faraón. El gobierno se ejercía por delegación de los dioses y se apoyaba en la organización burocrática de los escribas. Las fortunas acumuladas por la nobleza sobre la base de los impuestos se dedicaban a la construcción de enormes monumentos funerarios y la inversión para mejorar las técnicas de producción era escasa. Hacia -3500 se formaron dos grandes reinos: el Bajo Egipto y el Alto Egipto produciéndose la unificación cuando el ultimo venció al primero. Por esa época comienza a fijarse la escritura jeroglífica.(sobre piedra). En los papiros se empleaba la llamada escritura hierática. En esta escritura, cada número del 1 al 9 tenía un símbolo, luego cada múltiplo de 10hastael90un signo propio. También cada múltiplo de 100 hasta 900. Afortunadamente conocemos buena parte de la matemática egipcia por los documentos que han llegado hasta nosotros. El más famoso de ellos es el Papyro Rhind del que se tiene una copia del original no encontrado. La copia data de 1650 antes de Cristo.

Resulta interesante ilustrar el algoritmo para multiplicar: se formaba una tabla de duplicación que luego se manipulaba ingeniosamente.

40 JUAN ÁNGEL FONCUBERTA

Ejemplo (con nuestros símbolos): 15x18 1 15 2 30 4 60 8 120

16 240

Se suman las líneas que suman 18=16+2 y se obtiene 240 + 30 = 270 Ejemplo: 240:16 16 240

8 120 4 60 2 30 1 15

En la segunda columna leemos el resultado: 15. Claro está que los escribas advirtieron que no siempre resultaba todo tan fácil,

porque aparecían cuentas que "no daban exactas" como dirían nuestros alumnos. La dificultad los llevó a trabajar con fracciones. Resulta curioso que sólo trabajaban con fracciones de denominador 1, salvo 2/3. Notación: un 2 con una especie de nubecita arriba simbolizaba Vz. En el Papiro Rhind figura el siguiente problema: "Repartir equitativamente 6 panes entre 10 hombres".

Cuando las divisiones no eran exactas, había que disponer de tablas que permitie-ran expresar números como sumas de potencias de numerador 1 y el "comodín" 2/3.

No se conocen los métodos empleados pero lo cierto es que los escribas lograban su propósito de llevar adelante estos intrincados cálculos. Así para resolver el problema de los panes había que expresar el número 6 como suma de un entero y de fracciones de numerador 1.

6 = 5+2/3+1/5+1/10 + 1/30 Ejemplo: 17:4 4 17

2 8+1/2 1 4+1/4

Comentario.-Resulta intrigante que, dados los antecedentes tan antiguos que acabamos de ver sobre numeración de posición, tardó muchos siglos en adoptarse en Occidente. Sabemos que uno de los más fervientes propulsores fue Leonardo de Pisa (siglo XIII). Por otra parte, hay que subrayar que los antiguos algoritmos (por ejemplo el de división por restas sucesivas) han resultado de gran provecho en los métodos actuales de computación.

BIBLIOGRAFÍA - Katz Víctor: A History of Mathematics (Addison Wesley). - Fauvel John: The History of Mathematics. A Reader. (Open University). - Bretschneider Joachim: El Secreto de Nabada. (Investigación y Ciencia, Agosto

1999).

RESPUESTA ALPROBLEMA DELNÚMERO ANTERIOR. La hipótesis inductiva se cumple sólo si k=0. En consecuencia ,1a multiplicación por (1-1/k) carece de sentido)

PROBLEMAS PROPUESTOS. 1.- En el Papiro Rhind el área de un círculo se iguala a 8/9 del área de un cuadrado

de lado igual al diámetro. Probar que es equivalente a tomar PI=3,1604 ... 2.- Probar que la fórmula babilónica para calcular áreas de cuadriláteros de lados

consecutivos a, b, c, d (Área = (a + c)(b + d ) /4 ) se excede en el caso de cuadrilá-teros no rectángulos.

ELEMENTOS DE MATEMÁTICA - Vol.XVI, Nro. 61. Septiembre de 2001 41

Aula Presente Lic. Lucrecia Deiia Iglesias

El aula presente es la de un taller de capacitación docente para la enseñanza de la Matemática en un contexto de grados integrados en escuelas rurales. Dicha capacitación corresponde a un proyecto de especialización que implica para los participantes la obtención de un título otorgado por el Ministerio de Educación de la Provincia de Buenos Aires. Ellos provienen de los distritos de Tres Arroyos, Gonzales Chaves y San Cayetano, y son docentes de cerca de treinta escuelas rurales de esas localidades. También participan del curso las inspectoras escolares de la jurisdicción, los profesores de Matemáticas y alumnos de los Institutos de Formación Docente locales.

El taller estaba destinado a la planificación de actividades para los alumnos de grupos plurigrado de escuelas rurales. Cada docente se proponía llevarlas a la práctica en su propia aula. Los alumnos de los Institutos estaban obligados a concurrir a las aulas de las escuelas rurales formando pareja pedagógica de los maestros respectivos. Las profesoras de Matemática de los Institutos hacen su propio proyecto. Como todos habían participado del seminario sobre enseñanza de la geometría que se había llevado a cabo en el semestre anterior, el tema propuesto fue CUADRILÁTEROS. Lo que entrañaba el mayor desafío era el hecho de que el grupo de alumnos a cargo de cada docente no era homogéneo y fue necesario organizar las tareas teniendo en cuenta que trabajarían simultáneamente y en la misma aula niños de Io a 7o o al menos, niños agrupados por ciclo ( I o a 3 o , 4o a 6 o ) o por edades (por ejemplo, Io y 2° por un lado, 3o , 4o y 5o por otro, 6o y 7o aparte). Por eso el Taller se organizó sobre la base de profundizar la comprensión de las características del desarrollo del pensamiento geométrico que acompaña el avance de los niños en la escolaridad.

ALGUNAS IDEAS BÁSICAS Las investigaciones de los esposos van Hiele (Universidad de Utrecht, desde

1964 en adelante) dieron por resultado la caracterización de cinco fases distintas por las que atraviesa el desarrollo de las ideas de los niños con relación a los conceptos geométricos. Sólo describiremos las que sirven de fundamento al trabajo del taller que constituye la situación de aula que se presentará después. Estos mismos corresponden a lo que puede esperarse como logros en el desarrollo de los niños durante la Educación General Básica de Io a 9o años.

1. Visualización global Al ingresar a primer grado los alumnos conciben las figuras geométricas

como una configuración global y puramente perceptiva. Han aprendido algunos

42 LUCRECIA DEL LA IGLESIAS

nombres (cuadrado, rectángulo, círculo) del mismo modo que han aprendido vocablos de uso cot idiano (mesa, silla, pan). Los usan como "e t iquetas" que t ienden a a f ianzar la d i ferenciación entre los objetos que ellos señalan. As imismo, son capaces de ir incorporando a su lenguaje los términos que sirven para nombrar los e lementos de los cuerpos (caras, aristas, vért ices) y de las f iguras ( lados, vért ices) con la condición de ser es t imulados por experiencias adecuadas.

2. Anál is i s

A part ir de la manipulación de rompecabezas geométr icos , mosaicos, etcé-tera los a lumnos realizan acciones que les facil i tan el descubr imiento y la fami l ia r izac ión con las propiedades asociadas a cada f igura, en fo rma indepen-diente las unas de las otras. Por e jemplo , aceptar que los lados opuestos de un rectángulo son paralelos e iguales y forman ángulos rectos con el otro par de lados const i tuye un hecho aislado que no tiene relación con el de tener el rec tángulo d iagonales iguales. Sin embargo hay un paso necesar io para poder progresar a la fase siguiente.

3. Deducc ión Informal El paso menc ionado consis te en un cambio en el uso del lenguaje : se trata de

abandonar la func ión di ferenciadora de las "e t iquetas" para dar paso al uso de los nombres de las f iguras como nombres de clases o conjuntos de f iguras susceptibles de estar incluidos unos en otros. En este momento , es posible que los a lumnos comprendan enunciados del tipo: "si es cuadrado es rombo y es rec tángulo" , entre otras a f i rmac iones de carácter inferencial .

U N A S I T U A C I Ó N D E A U L A

Al iniciarse el taller, los part icipantes están organizados por "parejas" pedagógicas ; esto es, cada docente reunido con el o los a lumnos fu turos docentes que le han sido as ignados para acompañar lo durante las exper iencias de la capaci tación. Antes de iniciar la tarea de planif icación sobre CUADRILÁTEROS que los maest ros llevarán a la práctica, se propone encarar la p rofundizac ión de las ideas sobre el desarrol lo del pensamiento geométr ico.

La pr imera de las act ividades del taller consiste en explorar famil ias de cuadr i lá teros respondiendo a las consignas que siguen y que fueron enunciadas progres ivamente .

CONSIGNAS 1. En un geop lano circular mostrar un rectángulo inscripto en una c i rcunferenc ia; si hay

otros que, además, tengan una d iagonal común con el pr imero, mostrar los todos. En tal caso, se podría hablar de la f am i l i a de rectángulos que están inscriptos en la circun-ferencia y t ienen una diagonal común ¿Hay algún cuadrado que cumpla esta propiedad?

2. En el geoplano ortogonal , elegir un clavo y usarlo como vértice para construir la famil ia de cuadrados que t ienen ese vér t ice en común.

3. En el geoplano or togonal , mostrar una famil ia de trapecios rectángulos con uno de los ángu los rectos en común.

AULA PRESENTE 43

La secuencia estuvo pensada a partir del caso de rectángulos inscriptos en una circunferencia porque en el seminario anterior los participantes habían tenido que resol ver el problema de hallar el lugar geométrico de los vértices correspondientes al ángulo recto de los triángulos rectángulos que tienen la hipotenusa en común. La consigna 1 les daba la oportunidad de visualizarla situación en un contexto material accesible a los alumnos.

La puesta en común de los resultados reveló que la mayoría de los participantes del taller reconoció la equivalencia entre las dos situaciones y el hecho de que la manipulación ofrece un modo sencillo de moverse de una posición a otra e imaginar estados intermedios.

A continuación se discutió el hecho de admitir o no al cuadrado como miembro de la famil ia de rectángulos construida y, en general, hubo una repuesta positiva en el sentido de aceptar la admisión del cuadrado con naturalidad.

La actividad propuesta por la consigna 2 hace uso de la palabra familia que había sido incorporada durante la actividad anterior e introduce una variación en la propiedad que define la familia: lo común es un punto en lugar de un segmento.

Para facilitar el registro de lo obtenido se repartieron hojas con una red de puntos organizada en filas y columnas, análoga a las de los clavos de un geoplano ortogonal, y se pidió que dibujen lo construido manipulando dicho geoplano. Esto motivó comentarios con relación a la posibilidad de ampliar la familia de cuadrados ya que la red de papel tiene mayor extensión y más densidad de puntos que la de clavos sobre la tabla. También se habló de usar el recurso de la red para facilitar la concepción en los alumnos de la idea del infinito potencial de cuadrados.

Estos hechos fueron comentados en el grupo general antes de iniciarse la actividad correspondiente a la consigna 3.

En último término se abordó la construcción de la familia de trapecios rectángulos y se discutió la posibilidad de incluir en ella cuadrados o rectángulos La respuesta fue negativa en la mayoría de los participantes. Eso condujo al análisis de las propiedades y a la definición de "trapecio rectángulo" y la situación de cuadrados y rectángulos con relación a ella. Aquí también se propuso generar posiciones intermedias pasando con continuidad desde el caso en que uno de los lados paralelos es mayor que el otro, hasta el caso en que es menor moviendo un vértice por la paralela sin dejar de mantener los ángulos rectos del trapecio; después se hizo la representación del fenómeno en la red de puntos.

En la discusión posterior se puso de manifiesto la renuencia de muchos para aceptar la ruptura epistemológica que representa concebir los nombres de las figuras como nombres de clases que están definidas por una propiedad y no como las etiquetas de formas específicas.

En Didáctica de la Matemática se habla de obstáculos epitemológicos para señalar aquellas situaciones en que un conocimiento anterior debe sustituirse por otro que sirva mejor a la construcción de los conceptos en el desarrollo progresivo de la disciplina. Desde el punto de vista psicológico representa encarar un proceso adaptativo de una fuerte acomodación. El esfuerzo se hizo patente en muchas manifestaciones coloquiales y también en comentarios acertados como el de Vicky,

44 LUCRECIA DELIA IGLESIAS

- "¡Hay que reorganizar todas las ideas!" Rosa expresó su preocupación: - "Entonces, cuando usamos en la clase los nombres como etiquetas,

¿estamos haciendo mal?" La respuesta fue de Adela: - "Bueno, yo pienso que primero hay que afianzar el uso de los nombres

asociados a cada forma antes de pensar en hacer el cambio, el chico tiene que saber bien lo que es un trapecio rectángulo para después no confundirse"

Claudia aporta: - "El tema es saber bien las propiedades" La capacitadora tenía previsto presentar un ejercicio en que se pide completar

un cuadro de resumen con cruces para indicar las propiedades de algunos cuadri-láteros y analizar sobre la base del mismo las posibles inclusiones de unas clases en otras. El cuadro tuvo que dejarse como tarea porque los participantes dedicaron el resto del taller a la discusión en grupos pequeños de la planificación de acti-vidades para sus propios grupos escolares. Los alumnos de Institutos destinaron su t iempo a la búsqueda y f ichado de situaciones adecuadas en una colección de libros a su disposición.

ELEMENTOS DE MATEMÁTICA - Vol.XVI, Nro. 61, Septiembre de 2001 45

Problemas Propuestos para 3-c ic lo S h . G . B y Poiimodal

Prof. Mario Cozzani

Introducción

Una manera de introducir el concepto de series a nivel elemental es por medio de algunos problemas geométricos como los que se detallan a continuación. Estos problemas están referidos a series geométricas. Antes de pasar a desarrollarlos haremos una síntesis de algunos resultados importantes:

El algoritmo de las series se reduce a tomar límites para n — e n la suma S de los n primeros términos de una sucesión dada. El caso más sencillo y frecuente es la progresión geométrica indefinida o serie geométrica:

a + aq+aq2+...+aq"+...+ ci^O Su significado es el siguiente: se forma la S„ = a + aq +... + ciq"~l de los n

primeros términos y se calcula su límite cuando n —>00 .

Siendo q ^ 1 Su = a + aq + aq2 +... + aq"~]

qS = aq + aq2 + aq3 + ... + aq"

(l -q)Su = a — aq"

_ a- aq" " ~ 1

1 -q

Luego: a aq

(1)

Si \q\ < 1 : lim S, l-q

Si es |í"/| < 1 la potencia q" llega a ser menor que cualquier número positivo, es decir que la segunda fracción de (1) tiene por límite 0.

Si > 1 resulta divergente.

Si q = -1 resulta oscilante.

Dada la siguiente serie indicar si es convergente y calcular su suma.

S = 0.6+ 0,06+ 0,006+ ... + 0,000.'.'.06 + ...

6 6 6 6 6 Z 6 6 6

= — + — — + — - + . . . + + . . . 10" 10 102 103 10"

46 MARIO COZZANI

Es una serie geométr ica donde q = ^ y a = —, es convergente y su suma es:

S = — = — = 0,66. . . = 0,6 1 - i - 3

10

Ejercic io N ° l . En la f igura , A B C es un tr iángulo equilátero. Cada círculo toca otros círculos y los lados del tr iángulo. Siendo AB = 1 .ca lcular el área ocupada pol-los infini tos círculos.

C

A r i s \

o /

Para la c i rcunferenc ia de centro O:

j 2 _J2 O L = r o = - K = - ~ l o S i e n d o h 0 =CL y l 0 = 1

S

Para las circunferencias de centro 5, 5' y 5 " :

S V3 V3 S 6

Para las circunferencias siguientes:

h. = CM =h0-2r0 = 2-2 6 2 3 6

r=—h =• 1 3 ' 18

54 " 6-3"

PROBLEMAS PARA 3o CICLO DE E.G.B. Y POLIMODAL 47

Cálculo del Área total:

AT =n(r0)2 +n{rl)2 +n(r2)2 +... + n(rn)2

3 veces 3 veces

1 (ysV táV, (V3)2 , 7 1 — + 7 1 - i — f - 3 + 7 1 ^ — f - 3 + . . . + 7 t - A —

p.y) 1 2 1 8 '

7t 71 1 n 1 7t 1 A,.= — + - + — + . . .+ —

12 4 3 4 3 4 3

12 4

71 7t v ^ 1 A, = — + — > —

12 3

cuando /i —> <

96

1 1 Analizando S = / l —— = —

" a—i o2/i o n=l 3 b

o 1 1 1 1 S„ = —l 1 1-... es una serie geométrica con razón q= —

9 81 729 fe 1 9

^ , . TI 71 1 1 l7T „ „„ Queda: A r = — + = = 0,36.

12 4 8 96

Ejercicio N°2: La figura muestra una sucesión anidada de cuadrados S , S„ ..., Sk, donde ak es el lado y Pk es el perímetro correspondiente al cuadrado 5,.. El cuadrado S4 , se construye a partir del eligiendo cuatro puntos (uno en cada uno de sus lados) a una misma distancia de los vértices, según lo indica la figura 1.

Relaciono <7 y ak: ak+l =

48 MARIO COZZANI

Vio **+! ~ 4 "i

Esta es una definición recurrente (para ¿ >1 )•

Siendo a, = 1, tenemos la siguiente

sucesión:

«, = 1

Vio , a1 = 1

VÍO

Vio

/ V k P ~ 4

v y

Vio 4

v y

4 v y

Siendo Pk el perímetro del cuadrado Sk

tenemos:

P, = 4 a, = 4

P = 4a, = 4 Vio

P = 4 a = 4

4

' V h P 2

4 v. y

P = 4 ' V í o v

4 v. y

Calculamos la sumatoria de todos los perímetros:

sr,, = Pi + P2 + • • • + Pn + •

' V k P 4

v y = 4 + 4

í rrz\"~ l

+ ••• + 4 Vio

Esta es una serie geométrica de razón r =

+ •

Vio

: 4 E 4 v y

Si calculamos las veinte primeras sumas parciales:

5, = 4 S2 =7,1667

í r7^\n

S,fí = 18,95

1-

Como r <1 S = 4 -

V i o

1 - VÍO 4 - V i o Vio

Si n- s. = 16

" 4 - VÍO 19,0994

PROBLEMAS PARA 3o CICLO DE E.G.B. Y POLIMODAL 49

Queda claro que no se puede sumar uno a uno la cantidad infinita de términos. Pero por definición, la suma total es el límite de la sucesión de sumas parciales. Entonces, si contamos en la suma con una cantidad suficiente de términos, podemos acercarnos tanto como se desee a 19,0994.

Ejercicio N°3. En la figura se muestra una sucesión de círculos y cuadrados anidados al ternadamente. Cada círculo inscripto en el cuadrado anterior y cada

cuadrado (excepto el primera) está inscripto en el círculo anterior. Calcular el área sombreada. Solución: Sea: 5, : el área total de los cuadrados y

Acii J

S, .: el área total de los círculos. A n

Este problema, como los anteriores, resultan muy interesantes para el planteo de las se-ries geométricas. Recordemos que si a & 0 , tenemos la serie

S.. =a + ar + ar2 H f- arH—

i) La serie es convergente si \r\ < 1. Su suma es lim S„ =

ii) La serie es divergente si ¡r| > 1

l - i

Razón

l ado 1

S & i

r ad io 1

2V2 w 2U/2 W V i

Á r e a | | l2

í \

M ,

1 v

J2Í W

Á r e a O S l 2 2V2 ( 1 V

M V I

Per • 4 -1 4- 4-

W

1

LongQ 71-1 72 ¥ " W W

1

50 MARIO COZZANI

Cálculo del per ímetro total de los cuadrados:

S„ =Pl+P1+-.. + P =

4~2

Cálculo de la longitud total de las c i rcunferencias :

s, =/, + /, + ... + /„+••• = £/„ n=l

s, = a n n-

1 - r V 2 - 1 4i

Cálculo del área total de los cuadrados:

£ - = 71(2 + ^2)

•v - X ( 1 v

1 — 2

. = 1

- Cálculo del área total de los círculos:

. 2 7t 4 _ 71

1 ~ 2 1 -

Cálcu lo del área sombreada:

Área del cuadrado - Área del círculo = Área Sombreada

Área Sombreada = £ a -1

( V 1 11 Y ( \ 1

Área Sombreada = | 1 4" 'JJ, W

Área Sombreada = 2--

PROBLEMAS PARA 3o CICLO DE E.G.B. Y POLIMODAL 51

E j e r c i c i o N°4. Dado el t r iángulo rectángulo ABC, con el ángulo A = 60° y .4C = 1 , se traza CD perpendicular a AB y DE perpendicular a BC, EF perpen-

dicular a AB y este p roceso se cont inúa indef inidamente , como vemos en la f igura. Calcular la longitud total de las perpendiculares (|CD| + ¡D£| + |£/;1 + j/;'G¡ + ---) así como el área de la región sombreada .

\DE\

1

sen 60° = |de|/|cZ>|

CD¡ = sen 60°

Díj = jccj • sen 60°

DE\ = sen2 60°

Luego calculo |EF\ = sen3 6 .

El cálculo de ia longitud de todas las perpendiculares es:

SL = sen 60° + sen2 60° + sen3 60 + • • •

Nos encontramos con una serie geométrica de razón r = sen 60° = — < 1

Calculando la suma de la serie que es igual al límite de la sucesión de sumas parciales resulta:

S, = sen 60° s

1 - s e n 60° 2 - V 3

Calculamos el área de las regiones sombreadas:

CED Área,

EGF

GHK

3 + 2^3

| CD • DE\ • sen 30° =

\FG\ • sen 30° =

2 4

•sen760°

Área, =-\GH\-\HK\ • sen 30° = - sen560° • sen1660° = - sen "60° 21 1 1 1 4 4

Calculamos el Área total:

A = - [sen3 60° + sen7 60° + sen " 60° + • • •] 4

52 MARIO COZZANI

Es una serie geométrica de razón r = sen460° (r = 0,5625).

Por igual razón que la anterior tenemos:

sen"60° 6^3 4A„ = -1

A,. = 0,3712

1 - sen 4 60°

óV? _ 3V3

¿Cuál es el Área que queda sin sombrear?

V3 3V3 _ 7V3-3V3 __ 4V3 9

A sin .sombrear 14 14 7

A sin sombrear

2V3 0,4949

BIBLIOGRAFÍA - Polya, G.: C o m m e n t poser et resoudre un Probleme. Dunod , Paris, 1957. - Félix, L.: Exposé m o d e r n e d e s mathemat iques élémentaires . Dunod. Paris, 1966. - Courant , R y H. Robbins : What is Mathemat ics? An e lementary aproach to ideas

and methods . Oxford Universi ty Press, 1964.

M l f i l f e , Viene de la página 20

ut i l izar lo es la comprens ión de la matemát i ca invo lucrada. No se requiere n ingún t ipo de programación (como si se requiere para usar otros programas util i tarios matemát icos), despl iega gráf icos de ca l idad aceptab le ademas de cierta in formación cual i tat iva (campos de pendientes, puntos de equi l ibr io, l íneas de pendiente nula) y permite variar sin inconvenientes los parámetros y condic iones iniciales para problemas de valor inicial para ecuaciones y s istemas de ecuaciones d i fe renc ia les . Muy recomendab le para estud iantes de grado univers i tar io o de pro fesorado en cursos donde se p resen tan las ecuac iones d i ferenc ia les ord inar ias.

http://SunSlTE.UBC.CA/DigitallVlathArchive/ Digital Mathematics Archive

El Digital Mathematics Archive (archivo digital de la matemática) es una colección digital de recursos matemát icos, con especial interés en documentos del s ig lo 19 en ade lan te . Publ icaciones, ar t ículos, cartas, manuscr i -tos y ot ros, l ista de Usenet , y o t ros. Entre otros hay un documento muy ci tado en rela-ción con los E lementos de Eucl ides.

a i s i p i l

• .i iSp * , i • '