elementi matemati•cke logike - gf.unsa.ba · pdf fileglava 1 elementi matemati•cke...
TRANSCRIPT
Glava 1
Elementi matematickelogike
1.1 Pojam iskaza
Neka je zadan neprazan skup I takav da se za svaki element skupa I mozeutvrditi da li posjeduje odredeno svojstvo ili ga ne posjeduje. Elementi skupaI nazivaju se iskazi i obicno se oznacavaju malim slovima latinice p, q, r, . . .Cinjenica da iskaz p I posjeduje uoceno svojstvo oznacava se sa (p) = >, dokse cinjenica da iskaz q I ne posjeduje uoceno svojstvo oznacava sa (q) = .
Tipican primjer skupa I je skup svih izjavnih recenica (izjavnih u uzemsmislu) nekog govornog (npr. bosanskog) jezika. Uoceno svojstvo, koju pos-jeduje svaka izjavna recenica, je njena istinitost. Drugim rijecima svaka iz-javna recenica je tacna (istinita) ili netacna (lazna). U ovom primjeru iskazi surecenice:
Sarajevo je glavni grad Bosne i Hercegovine. Bihac je najveci grad u Bosni i Hercegovini. U svakom trouglu moze se upisati krug. Oko svakog cetverougla moze se opisati krug.
Pri tome su prvi i treci iskaz tacni, dok su drugi i cetvrti netacni. Ranijeupotrebljeni termin izjavna recenica u uzem smislu zahtijeva ipak dodatnoobjasnjenje. Naime, postoje izjavne recenice cija se istinitost ne moze utvrditi.Takve su npr. recenice:
Mozda cu doci, a mozda ne. Zedan sam.
i one nisu iskazi. Upitne i uzvicne recenice, npr.:
1
2 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATICKE LOGIKE
Koliko je sati? ili Ustani!
takode nisu iskazi. Upravo ovaj primjer opravdava opsteprihvacenu terminologijukojom se umjesto fraze posjedovanje odredenog svojstva koristi fraza istini-tosna vrijednost. I u ovom tekstu ce uglavnom biti zastupljena upravo ovaterminologija.
Sljedeci primjer skupa I ima izuzetno vaznu prakticnu realizaciju. Sada suelementi skupa I prekidaci koji mogu biti u jednom od dva moguca polozaja.Prekidac moze biti ukljucen (posjeduje uoceno svojstvo, tacan je) ili iskljucen(ne posjeduje uoceno svojstvo, netacan je).
Naravno, svaka matematicka formula takode predstavlja (tacan ili netacan)iskaz. Npr.:
3 9 (netacan iskaz), 4 + 8 = 12 (tacan iskaz), itd.
1.2 Logicke operacije i iskazne formule
Slobodno govoreci, logicka operacija je postupak kojim se iskaz-u/ima pridruzujeiskaz. Unarne opeacije djeluju na jedan iskaz, dok binarne opeacije djeluju nadva iskaza. Na skupu iskaza moguce je definisati cetiri unarne i sesnaest bina-rnih operacija. Medu njima se isticu jedna unarna (negacija) i cetiri binarneopeacije (konjunkcija, disjunkcija, implikacija i ekvivalencija). Slijede definicijeovih logickih operacija.
Definicija 1 Neka je zadan iskaz p. Negacija iskaza p, u oznaci p, je iskazkoji ima suprotnu istinitosnu vrijednost od iskaza p.
Oznaka p cita se na jedan od sljedecih nacina: ne p, nije p, negacija iskaza p.Definicija 2 Neka su zadani iskaz p i iskaz q. Konjunkcija iskaza p i iskazaq, u oznaci p q, je iskaz koji je tacan kada su tacni i iskaz p i iskaz q. U svimpreostalim slucajevima konjunkcija iskaza p i iskaza q je netacna.
Oznaka p q cita se kao p i q.Definicija 3 Neka su zadani iskaz p i iskaz q. Disjunkcija iskaza p i iskazaq, u oznaci p q, je iskaz koji je netacan kada su netacni i iskaz p i iskaz q. Usvim preostalim slucajevima disjunkcija iskaza p i iskaza q je tacna.
Oznaka p q cita se kao p ili q.Definicija 4 Neka su zadani iskaz p i iskaz q. Implikacija iskaza p i iskaza q,u oznaci p q, je iskaz koji je netacan kada je iskaz p tacan, a iskaz q netacan.U svim preostalim slucajevima implikacija iskaza p i iskaza q je tacna.
1.2. LOGICKE OPERACIJE I ISKAZNE FORMULE 3
Oznaka p q cita se na jedan od sljedecih nacina: p implicira q, iz p slijedi q,ako p onda q, uslov p je dovoljan za uslov q, uslov q je potreban za uslov p.
Definicija 5 Neka su zadani iskaz p i iskaz q. Ekvivalencija iskaza p i iskazaq, u oznaci p q, je iskaz koji je tacan kada iskazi p i q imaju jednake istinitosnevrijednosti, a netacan kada iskazi p i q imaju razlicite istinitosne vrijednosti.
Oznaka p q cita se na jedan od sljedecih nacina: p je ekvivalentno sa q, vazip ako i samo ako vazi q, uslov p je potreban i dovoljan uslov za q
Navedene operacije mogu se definisati i pomocu sljedece tabele:
p q p p q p q p q p q> > > > > >> > > > > > > > >
Koristeci definiciju, trivijalno je dokazati osnovne osobine logickih operacija.Osobine negacije
1. (p) = pOsobine konjunkcije
1. p p = ,2. p > = p i3. p = .Osobine disjunkcije
1. p p = >,2. p > = > i3. p = p.Osobine implikacije
1. p p = p,2. p > = >,3. p = p,4. > p = p i5. p = >.Osobine ekvivalencije
1. p p = ,
4 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATICKE LOGIKE
2. p > = p i3. p = p.Djelovanjem logickih operacija na vise od dva iskaza dobijaju se tzv. iskazne
formule.
Definicija 6 Iskazna slova su simboli kojima se oznacavaju iskazi.
Iskazna slova su iskazne formule. Ako su P i Q iskazne formule, onda su i P, PQ,PQ,P Q i P Q
takode iskazne formule.
Iskazne formule mogu se dobiti samo primjenom prethodna dva pravila.Prilikom djelovanja, dogovorom se usvaja da najvisi prioritet ima negacija,
zatim konjunkcija, disjunkcija i implikacija, dok najnizi prioritet ima ekvivalen-cija. Ukoliko se zeli promjeniti redosljed izvrsavanja logickih operacija koristese zagrade. Tako je npr. > > = > = >, dok je (> >) = > = .
1.3 Zadaci
Zadatak 1 Odrediti istinitosne vrijednosti sljedecih iskaza:
1. 5 je prirodan broj,
2.13
je iracionalan broj,
3. NZD(12, 24) = 8,
4. 13 je prost broj,
5. 5 (8) = 5 8,
6.38 11
6=
3324
=118
,
7. 0.2 0.3 = 0.6,8.
9 = 3,
9.15
>13,
10.67
>78,
11. | 1| 1,12. |3 2| = |3| |2| i13. | 5 2| = | 2|+ 5.
1.3. ZADACI 5
Zadatak 2 Na odgovarajucem mjestu napisati broj, tako da dobijeni iskaz budetacan:
1. . . . je najmanji prirodan broj.
2. . . . je najveci negativni cijeli broj.
3. . . . nije ni pozitivan, ni negativan broj.
4. . . . je najveci element skupa{
12,13,14,25
}.
5. . . . je najmanji element skupa{
12,13,14,25
}.
6. . . . je najveci prirodan broj ciji je kvadrat manji od 100.
7. . . . je jedini prost broj u skupu {8, 9, 10, 11}.8. . . . je jedini slozen broj u skupu {5, 7, 9, 11, 13}.
Zadatak 3 Odrediti istinitosne vrijednosti sljedecih iskaza:
1.23 N 2 > 0.
2.125
> 0.4 ( 125
)2> 0.004.
3.
[(12 1
3
):(
14 1
5
)=
103
]
[(12 1
3
):
14 1
5= 7
]
Zadatak 4 Simbolicki napisati sljedece recenice:
1. Oba prirodna broja a i b su parna.
2. Barem jedan od prirodnih brojeva a i b je neparan.
3. Oba prirodna broja a i b su neparna.
4. Barem jedan od prirodnih brojeva a i b je paran.
Zadatak 5 Zadani su iskazi p : 23 1, q : Godina ima 8 mjeseci. i
r : Dijagonale romba su medusobno normalne. Odrediti istinitosnu vrijednostsljedecih formula:
1. p (q r).
2.{
q [p (q r)]} [p (q r)].
Zadatak 6 Nacrtati elektricna kola koja odgovaraju iskaznim formulama:
6 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATICKE LOGIKE
1. (p q) (r s).2.
[(p q) r] s.
3. (p q) r.
Zadatak 7 Sastaviti istinitosne tablice sljedecih iskaznih formula:
1. (p q) r.2. p (q r).
3.{
q [p (q r)]} [p (q r)].
Zadatak 8 Odrediti istinitosne vrijednosti sljedecih iskaza:
1. 2 + 2 = 4 2 + 3 = 4.2. 3 = 7 5 = 4.3. (2 > 1) Glavni grad Spanije je Torino..
Zadatak 9 Odrediti vrijednosti promjenjljive x {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} takoda zadana iskazna formula bude tacna:
1. x > 7 x + 2 < 5.2. x 6= 7 x 2 > 4.3. x 6= 1 x 6= 2 x 6= 3.4. x 2 < 2 x + 1 = 2.
Zadatak 10 Odrediti vrijednosti promjenjljive x R tako da zadana iskaznaformula bude tacna:
1. x 2 > 0 2x 10 < 0.2. x 3 > 0 x2 3x + 2 < 0.
3.x 1x 4 0 3x 15 > 0.
4. |x| < 4 x 68 x > 0.
Zadatak 11 Sastaviti istinitosne tablice sljedecih iskaznih formula:
1. (p q) (q p).
2.[(p q) p
] p.
3. (p q) (p q).
1.4. TAUTOLOGIJE 7
4. (p q) (q p).Zadatak 12 Ako je (p q) = > i (p q) = odrediti (q p).
Zadatak 13 Ako je (p q) = > odrediti (p q), (p q) i (q p).Zadatak 14 Sastaviti istinitosne tablice sljedecih iskaznih formula:
1. (p q) r.2. (p r) q.
3.[(p q) (r p)
] (q r).
4.{[p (q r)
] (p r) (q r)
} r.
5. (p q) {[
p (q r)] (p r)
}.
Zadatak 15 Rijesiti po p, q, r {>,} jednacine:1. [(p q) r] = .2. [(p r) q] = >.
1.4 Tautologije
Definicija 7 Iskazna formula koja je tacna za sve vrijednosti svojih iskaznihslova naziva se tautologija.
Teorema 1 Sljedece iskazne formule su tautologije
1. p q q p,p q q p.
2. (p q) r p (q r),(p q) r p (q r).
3. p (q r) (p q) (p r),p (q r) (p q) (p r).
4. (p q) p q,(p q) p q.
5. (p q) (q p).6. p q p q.7. (p q) [(p q) (q p)],
(p q) [(p q) (q p)].
8 GLAVA 1. ELEMENTI MATEMATICKE LOGIKE
Dokaz:Tabela istinitosti za sestu formulu glasi
p q p p q p q F> > > > >> >> > > > > >> > > > >
odakle se zakljucuje da posljednja formula zaista jeste tautologija. Na isti nacinse dokazuje da su i ostale formule tautologije.
Treba primjetiti da tautologija 6. omogucava elektricnu realizaciju imp-likacije.
1.5 Zadaci
Zadatak 16 Ne koristeci is