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1
ELEMENTI DI DINAMICA DELLE COSTRUZIONI
(con riferimento alle attività di controllo dei progetti strutturali
svolto dagli Uffici del Genio Civile della Regione Campania)
prof. ing. Giorgio SERINO
Dipartimento di Analisi e Progettazione StrutturaleUniversità degli studi di Napoli Federico II
CORSO DI AGGIORNAMENTO
SULLA NUOVA NORMATIVA SISMICA (OPCM 3274/2003 e 3431/2005)Napoli, 16 maggio 2005 – Dipartimento di Analisi e Progettazione Strutturale
Regione Campania Univ. di Napoli Federico II
2
SINTESI DELLA PRESENTAZIONE (1)
Parte I
Dinamica dei sistemi ad un solo grado di libertà
I.1 Descrizione del modello ed equazione del moto
I.2 Oscillazioni libere (periodo proprio e smorzamento)
I.3 Risposta a forzante armonica (concetto di risonanza)
I.4 Risposta al sisma (spettri di risposta elastici)
I.5 Comportamento non-lineare (duttilità, spettri di progetto)
3
SINTESI DELLA PRESENTAZIONE (2)
Parte II
Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà
I.1 Modellazione ed equazioni del moto
I.2 Oscillazioni libere (periodi e modi propri di vibrazione)
I.3 Risposta a forzante armonica (concetto di risonanza)
I.4 Analisi modale con spettro di risposta
I.5 Modellazione di dettaglio di edifici multipiano
4
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.1. Descrizione del modello ed equazione del moto
Sistema ad un g.d.l.: il più semplice modello dinamico
IMPALCATO RIGIDO
COLONNESENZA MASSA
5
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.1. Descrizione del modello ed equazione del moto
Sistema ad un g.d.l.: il più semplice modello dinamico
IMPALCATO RIGIDO
COLONNESENZA MASSA
6
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.1. Descrizione del modello ed equazione del moto
Sistema ad un g.d.l.: il più semplice modello dinamico
IMPALCATO RIGIDO
COLONNESENZA MASSA
7
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.1. Descrizione del modello ed equazione del moto
Sistema ad un g.d.l.: il più semplice modello dinamico
IMPALCATO RIGIDO
COLONNESENZA MASSA
8
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.1. Descrizione del modello ed equazione del moto
Oscillazioni libere al rilascioNella realtà le oscillazioni sono sempre smorzate (sono numerose le possibili fonti di
dissipazione di energia) ed è necessario introdurre nel modello un elemento smorzatore
IMPALCATO RIGIDO
COLONNESENZA MASSA
spos
tam
ento
tempo
9
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.1. Descrizione del modello ed equazione del moto
Parametri del modello
• massa m (inerzia)
• rigidezza k (elasticità)
• smorzamento c (dissipazione)
Il caso della forzante esterna agente
Equazione del moto
)()()()( tptftftf SDI =++
)()()()( tptkutuctum =++ &&&
massa, mforzanteesterna,
p (t )
rigidezza
laterale, k
coefficiente di smorzamento, c
(a) modello idealizzato della costruzione
(b) equilibrio delle forze
(c) colonne (d) smorzatore
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.1. Descrizione del modello ed equazione del moto
Spostamento totale (rispetto ad un sistema di riferimento inerziale):
Il caso del moto sismico alla base
)()()( tututu gt +=
Equazione del moto
0)()()( =++ tftftf SDI
0)()()]()([ =+++ tkutuctutum g &&&&&
)()()()( tumtkutuctum g&&&&& −=++
11
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.2. Oscillazioni libere (in assenza di smorzamento)
0)()( =+ tkutum &&
Spostamento a t = 0:
Velocità a t = 0: )0(u&)0(u
Equazione e condizioni iniziali del moto
0)()( 2 =ω+ tutu&&
propria pulsazione :cui in ==ωmk
tempo, t
spos
tam
ento
, u
Configurazioni deformate della struttura corrispondenti agli istanti 1, 2, 3, 4 e 5
ampiezza
12
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.2. Oscillazioni libere (in assenza di smorzamento)
)cos(cos)0(sen)0(
)( ψ−ω=ω+ωω
= tAtutu
tu&
Soluzione[ ] =+
ω= 2
2
)0()0(
uu
A&
nioscillazio delle ampiezza=
tempo, t
spos
tam
ento
, u
Configurazioni deformate della struttura corrispondenti agli istanti 1, 2, 3, 4 e 5
ampiezza
13
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.2. Oscillazioni libere (in assenza di smorzamento)
sistema del naturale) (o proprio periodo2 =ωπ=T
sistema del naturale) (o propria frequenza2
1 =π
ω==T
f
tempo, t
spos
tam
ento
, u
Configurazioni deformate della struttura corrispondenti agli istanti 1, 2, 3, 4 e 5
ampiezza
14
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.2. Oscillazioni libere (in presenza di smorzamento)
0)()()( =++ tkutuctum &&&
Spostamento a t = 0:
Velocità a t = 0: )0(u&)0(u
Equazione e condizioni iniziali del moto
0)()(2)( 2 =ω+ξω+ tututu &&&
osmorzament di rapporto2
:cui in ==ξkmc
tempo, t
spos
tam
ento
, u
Decadimento esponenziale STRUTTURA NON SMORZATA
STRUTTURASMORZATA
15
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.2. Oscillazioni libere (in presenza di smorzamento)
)cos(cos)0(sen)0()0(
)( ψ−ω=
ω+ω
ωξω+= ξω−ξω− tCetut
uuetu D
tDD
D
t &
Soluzione (per ξ<1)
smorzato sistema pulsazione1 :cui in 2 =ξ−ω=ωD
tempo, t
spos
tam
ento
, u
Decadimento esponenziale STRUTTURA NON SMORZATA
STRUTTURASMORZATA
16
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.2. Oscillazioni libere (in presenza di smorzamento)
smorzato sistema del periodo1
22
=ξ−
=ω
π= TT
DD
smorzato sistema del frequenza11 2 =ξ−== f
Tf
DD
tempo, t
spos
tam
ento
, u
Decadimento esponenziale STRUTTURA NON SMORZATA
STRUTTURASMORZATA
17
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.2. Oscillazioni libere (in presenza di smorzamento)
Influenza dello smorzamento sulla frequenza naturale
rapp
orto
di s
mor
zam
ento
, ξ
VALORI DI ξξASSUNTI NEICASI REALI
18
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.2. Oscillazioni libere (in presenza di smorzamento)
Oscillazioni libere per diversi valori dello smorzamento
1: ξ=0% 2: ξ=1% 3: ξ=2% 4: ξ=5%
19
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.2. Oscillazioni libere (in presenza di smorzamento)
πξ
+≈ 2
1
ei
i
uu
πξ≈=δ+
2log :ologaritmic decremento1i
i
uu πξ≈δ⋅=
+2jlog j
uu
ji
i
tempo, t
spos
tam
ento
, u
20
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.2. Oscillazioni libere (in presenza di smorzamento)
Prove di rilascio per la determinazione di T e ξξ
Procedura
1. Imporre u (0) e rilasciare la struttura
2. Registrazione della risposta al rilascio
3. Individuazione del periodo T(distanza fra due massimi successivi)
4. Misura ampiezza di due picchi: ui e ui+1
5. Calcolo diji
i
uu
j +
=δ log1
6. Calcolo di πδ=ξ 2
spos
tam
ento
, u
tempo, t
21
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.3. Risposta a forzante armonica
tptkutuctum o ω=++ sen)()()( &&&
Equazione del moto
( ) ( )θ−ω+ω+ω= ξω− tDutBtAetu stDDt sencossen)(Soluzione (per ξ<1):
44444 344444 21
e)rapidament esaurisce (sismorzata libera Risposta
444 3444 21
o)stazionari (statoregime a Risposta
tutututu st ωω=ω+ξω+ sen)()(2)( 22 &&&
:cui inkp
u ost =
massa, m
rigidezzalaterale, k
coefficiente di smorzamento, c
forzante
esterna,
p (t )
22
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.3. Risposta a forzante armonica
( )θ−ω= tDutu st sen)(444 3444 21
o)stazionari (statoregime a Risposta
( ) ( )222 21
1:ioneamplificaz di Fattore
ξβ+β−=D
β−
ξβ=θ 212
tanarc
:fase di Angolo
Concetto di risonanza
23
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.3. Risposta a forzante armonica
Valutazione dello smorzamento: metodo della larghezza di banda
21
:smorzato sistema Pulsazione
ξ−ω=ωD
221
:risonanza di Pulsazione
ξ−ω=ωR
24
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.3. Risposta a forzante armonica
Prove con vibrodina per la determinazione di T e ξξ
Procedura
1. Individuazione della frequenza propria come frequenza di risonanza
2. Misura della larghezza di banda ω∆
3. Valutazione di 2/ω∆=ξ
25
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.4. Risposta al sisma
)()()()( tumtkutuctum g&&&&& −=++
Equazione del moto
)()()(2)( 2 tutututu g&&&&& −=ω+ξω+
[ ] ττ−ω⋅τω
−= ∫ τ−ξω− dteutut
Dt
gD
)(sen)(1
)(0
)(&&
Soluzione (per ξ<1)
444444 3444444 21Duhamel di Integrale
26
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.4. Risposta al sisma (spettri di risposta)
)()()()(
: tempo al base alla Taglio
2 tumtkutftV
t
so ω===
)()()(
: tempo al ribaltante Momento
tVhtfhtM
t
oso ==
max, max,
max,max, )(max
:sisma il durante massimi alori
oo
dso
VhM
SktukfV
V
=
===
ospostament dello risposta di spettro)(max == tuSd
27
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.4. Risposta al sisma (spettri di risposta)
)(max
:ospostament dello risposta di pettro
tuS
S
d =
22
2max 2
121
21
:sisma il durante sistema nelmax nergia
vv
d mSS
kkSE
E
=
ω==
ddv ST
SS
Sπ=ω= 2
:velocità-pseudo della risposta di pettro
dva SSS
S
2
:oneaccelerazi-pseudo della risposta di pettro
ω=ω=
28
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.5. Comportamento non-lineare (concetti base)
Mensola in acciaio: comportamento oltre il limite elastico
29
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.5. Comportamento non-lineare (concetti base)
Oscillatore non-lineare: comportamento a spostamento controllato
30
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.5. Comportamento non-lineare (concetti base)
Oscillatore non-lineare: comportamento ciclico sotto sisma
31
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.5. Comportamento non-lineare (duttilità)
Individuazione modello elasto-plastico perfetto equivalente
32
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.5. Comportamento non-lineare (duttilità)
yuumax
:duttilità di Fattore
=µ
33
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.5. Comportamento non-lineare (duttilità)
Confronto risposta al sisma oscillatore elastico ed elasto-plastico
equivalenza in spostamento equivalenza energetica
34
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libertà
I.5. Comportamento non-lineare (duttilità)
Terremoto di Imperial Valley(18 maggio 1940)
registrazione di El Centro NS
Oscillatore elasto-plastico:
spettri a duttilità
controllata (ξξ = 10%)
35
LETTURE CONSIGLIATE
• Roberto Ramasco, “Dinamica delle strutture”, CUEN, Napoli, 1993.
• Carlo Gavarini, “Dinamica delle strutture”, ESA, Roma, 1978.
• Anil K. Chopra, “Dynamics of structures: a primer”, EERI, Berkeley, 1980.
• Anil K. Chopra, “Dynamics of structures: theory and applications to earthquakeengineering”, 2nd edition, Prentice Hall, New York, 2001.
• Ray W. Clough & Joseph Penzien, “Dynamics of structures, 2nd edition, McGraw-Hill International, 1993.
• Alberto Castellani ed Ezio Faccioli, “Costruzioni in zona sismica: metodi di analisi e criteri di progetto, applicazioni, aspetti normativi”, Hoepli, Milano 2000
• Miroru Wakabayashi, “Design of earthquake-resistant buildings”, McGraw-Hill International, 1986.
36
SISTEMA A 1 G.D.L.: EQUAZIONE DEL MOTO
CFxmxxFxcxm gR −+−=++ &&&&&& ...) ,,(
gtRt xxxFCxxFxcxm +==+++ :essendo ,...) ,,( &&&&
37
∫∫∫∫∫ =+++ttt
R
tt
t FdxCdxdxxxFdxxcdxxm00000
...) ,,( &&&&
gtgt dxdtxdxdxdx −=−= & :cuiin
∫∫∫∫∫∫ −=−=−=t
gtt
t
gt
t
tt
t
gt
t
tt
t
t dxxmtxmdxxmxdxmdxxmdtxxmdxxm0
2
00000)(
21
&&&&&&&&&&&&&&
{
∫∫∫∫∫ +=+++tt
gt
tt
R
t
t FdxdxxmCdxdxFdxxctxm00000
2 )(21
&&&&
[ ] )()()()()()()( tEtEtEtEtEtEtE FI
SI
CIHEK +=++++ ξ
SISTEMA A 1 G.D.L.: BILANCIO ENERGETICO
38
STRATEGIE DI PROGETTAZIONE
:azione)dell' termineal quiete di e(condizion Per qtt ≥
FI
SI
CIH EEEEE +=++ξ
• Ridurre l’energia di ingressoFI
SI EE +
• Incrementare l’energia viscosa dissipata ξE
• Incrementare l’energia dissipata per isteresi HE
• Incrementare l’energia dissipata dalla forza di controllo CIE
39
SINTESI DELLA PRESENTAZIONE (2)
Parte II
Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà
I.1 Modellazione ed equazioni del moto
I.2 Oscillazioni libere (periodi e modi propri di vibrazione)
I.3 Risposta a forzante armonica (concetto di risonanza)
I.4 Analisi modale con spettro di risposta
I.5 Modellazione di dettaglio di edifici multipiano
40
Parte II: Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà
II.1. Modellazione ed equazioni del moto
Edificio “shear type”
1. Masse concentrate ai piani (m1, ..., mN)
2. Colonne prive di massa (le loro masse sono riportate ai piani)
Ipotesi di comportamento
3. Impalcati e travi infinitamente rigidi
4. Colonne deformabili a flessione ma rigide assialmente
5. Terreno infinitamente rigido (si trascura
l’interazione suolo-struttura)
41
Parte II: Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà
II.1. Modellazione ed equazioni del moto (forze esterne)
)()()( :impalcato 2
)()()( :impalcato 1
222
111
tptftf
tptftf
SI
SI
=+°
=+°
[ ][ ] )()()( )(
)()()()()(
212222
12121111
tptutuktum
tptutuktuktum
=−+
=−++
&&
&&
=
−
−++
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
0
0
2
1
2
1
22
221
2
1
2
1
tp
tp
tu
tu
kk
kkk
tu
tu
m
m
&&
&&
)()()( ttt pkuum =+&&
Edificio di due piani
42
Parte II: Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà
II.1. Modellazione ed equazioni del moto (forze esterne)
=
N
j
m
m
m
m
00
000
00
00
2
1
O
Om
=
)(
)(
)(
)(
)(
2
1
tu
tu
tu
tu
t
N
j
M
Mu
)()()()( tttt pkuucum =++ &&&
Edificio multipiano
=
)(
)(
)(
)(
)(
2
1
tp
tp
tp
tp
t
N
j
M
Mp
−
−⋅⋅
⋅⋅⋅
−+−
−+−
−+
=
NN
N
kk
k
kkkk
kkkk
kkk
0000
000
000
00)(0
000)(
0000)(
4433
3322
221
k
43
Parte II: Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà
II.1. Modellazione ed equazioni del moto (moto sismico)
[ ] [ ]
[ ] [ ] 0)()( )()(
0)()()()()(
12222
2121111
=−++
=−+++
tutuktutum
tutuktuktutum
g
g
&&&&
&&&&
)()()( tutt g&&&& m1kuum −=+
Edificio di due piani
)()()(
)()()(
22
11
tututu
tututu
gt
gt
+=
+=
0)()(
0)()(
22
11
=+
=+
tftf
tftf
SI
SI
[ ]
[ ] )()()( )(
)()()()()(
212222
12121111
tumtutuktum
tumtutuktuktum
g
g
&&&&
&&&&
−=−+
−=−++
44
Parte II: Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà
II.1. Modellazione ed equazioni del moto (moto sismico)
)()()()( tuttt g&&&&& m1kuucum −=++
Edificio multipiano
Forze equivalenti al moto sismico(forze di trascinamento)
45
Parte II: Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà
II.2. Oscillazioni libere (in assenza di smorzamento)
Oscillazioni libere al rilascio (deformata iniziale generica)
46
Parte II: Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà
II.2. Oscillazioni libere (in assenza di smorzamento)
Oscillazioni libere al rilascio (deformata corrispondente al 1° modo)
47
Parte II: Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà
II.2. Oscillazioni libere (in assenza di smorzamento)
Oscillazioni libere al rilascio (deformata corrispondente al 2° modo)
48
Parte II: Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà
II.2. Oscillazioni libere (in assenza di smorzamento)
Oscillazioni libere al rilascio (deformata corrispondente al 3° modo)
49
Parte II: Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà
II.2. Frequenze e modi propri di vibrazione
Frequenze e dei modi propri di vibrazione (in assenza di smorzamento)
mÖkÖ 2 :autovalori degli problema del isoluzione ω=R
21
2 :smorzato) (sistema esimo modo del Periodo
iDiDi
TTi-
ξ−=
ωπ=
21 :smorzato) (sistema esimo modo del Pulsazione iiDii- ξ−ω=ω
Influenza dello smorzamento
50
Parte II: Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà
II.3. Risposta a forzante armonica
Una volta esaurito il transitorio iniziale:
tttt o ω=++ sen)()()( pkuucum &&&
Edificio multipiano
( )jjjstj tDutu θ−ω= sen)( ,
444 3444 21
o)stazionari (stato
regime a Risposta
51
Parte II: Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà
II.3. Risposta a forzante armonica
ist
ij u
uD
,
max,=
Fattore di amplificazione
(piano i -esimo):
52
Parte II: Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà
II.4. Risposta al sisma (analisi modale)
Edificio multipiano
)()()()( tuttt g&&&&& m1kuucum −=++
Disaccoppiamento delle equazioni del moto:
)()()(2)( 2 tuML
tYtYtY gn
nnnnnnn &&&&& −=ω+ωξ+
∑∑==
Φ=Φ=N
j
jnjn
N
j
jnjn mMmL1
2
1
e :cui in
[ ] ττ−ω⋅τω
−= ∫ τ−ωξ− dteuML
tYt
Dnt
gDnn
nn
nn )(sen)(1
)(0
)(&&
Soluzione (per ξ<1)
53
Parte II: Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà
II.4. Risposta al sisma (analisi modale)
La risposta si ottiene combinando i contributi dei singoli modi:
∑∑==
Φ==N
n
jnn
N
n
jnj tYtutu11
)()()( :piani ai oSpostament
∑=
==N
n
ttt1
)()()( :iequivalent statiche Forze nfkuf
∑=
=N
n
on tVtV1
o )()( :base alla Taglio
∑=
=N
n
on tMtM1
o )()( :ribaltante Momento
54
Parte II: Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà
II.4. Risposta al sisma (analisi modale)
55
Parte II: Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà
II.4. Risposta al sisma (utilizzo degli spettri di risposta)
I valori massimi relativi al singolo modo si ottengono con gli spettri di risposta:
),()(max :esima modale coordinata della massimo Valore max, nndn
nnn S
ML
tYYn- ξω⋅==
jnnndn
njnjn S
ML
tuunj Φ⋅ξω⋅== ),()(max :) modo o(contribut piano al oSpostament max,
La somma dei massimi è eccessivamente cautelativa∑=
≤N
n
jnj uu1
max,max,
Una buona stima è data da: (metodo SRSS)∑=
≈N
n
jnj uu1
2max,max, )(
Se periodi differiscono < 10%: ∑∑ ρ≈n jnjmmnmj uuu max,max,max,
2222
2/32
)1(4)1(
)1(8
mnmnmn
mnmnmn β+βξ+β−
ββ+ξ=ρin cui e (metodo CQC)
n
mmn ω
ω=β
56
Parte II: Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà
II.5. Modellazione di dettaglio di edifici multipiano
Effetto della rotazione dei nodi e
della deformazione assiale delle colonne
57
Parte II: Dinamica dei sistemi a più gradi di libertà
II.5. Modellazione di dettaglio di edifici multipiano
Modello spaziale dell’edificio
Necessario in presenza di:
1. significative eccentricità fra il centro di massa ed il centro delle rigidezze degli impalcati;
2. frequenze proprie traslazionali e rotazionali molto prossime fra loro;
3. eccentricità accidentali (inevitabili);