codist11/08ComplementidiDinamicaStrutturaleCostantino CarmignaniIndice0.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Simboli principali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Variabilidistato 51.1 Richiami sulle equazioni dierenziali ordinarie a coecienti costanti 51.2 Sistema ad un grado di libert`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Risposta al gradino unitario e allimpulso unitario . . . . 91.2.2 Risposta ad una forzante qualunque . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Analisi dinamica nel dominio della frequenza . . . . . . . 111.3 Sistema a molti gradi di libert`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1 Matrice di smorzamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.2 Equazioni del moto in termini di variabili di stato . . . . 151.3.3 Vibrazioni libere di un sistema classicamente smorzato. . 151.3.4 Vibrazioni libere di un sistema non classicamente smorzato 161.3.5 Vibrazioni forzate di un sistema classicamente smorzato . 191.4 Metodi di correzione modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Dinamicaaleatoria 232.1 Variabili aleatorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.1 Frattili di una variabile aleatoria . . . . . . . . . . . . . . 232.1.2 Funzione caratteristica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.3 Cumulanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.4 Indici sintetici di una variabile aleatoria . . . . . . . . . . 252.1.5 Variabili aleatorie gaussiane. . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.6 Cambiamento di variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.7 Media e varianza di combinazioni di variabili aleatorie . . 282.2 Processi aleatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.1 Descrizione probabilistica dei processi aleatori . . . . . . . 292.2.2 Medie a tempi multipli e correlazioni . . . . . . . . . . . . 302.3 Processi aleatori gaussiani stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1 Funzioni di autocorrelazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.2 Densit`a spettrale di potenza o autospettro . . . . . . . . . 332.3.3 Interpretazione energetica della densit`a spettrale di potenza 342.3.4 Classicazione dei processi gaussiani stazionari attraversola forma della densit`a spettrale di potenza . . . . . . . . . 372.3.5 Particolari processi aleatori stazionari a media nulla . . . 382.3.6 Ergodicit`a di processi aleatori stazionari . . . . . . . . . . 40II INDICE3 Adabilit`a strutturale di un sistema eccitato in modo aleatorio 413.1 Introduzione alladabilt`a strutturale . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.1 Azioni statiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.2 Azioni dinamiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Numero medio di attraversamenti di una data barriera da partedi un processo aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2.1 Formulazione teorica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2.2 Numeromediodiattraversamentiperprocessigaussiania media nulla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3 Istante di primo passaggio di una data barriera bilaterale da partedi un processo aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3.1 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3.2 Ipotesi di attraversamenti indipendenti della soglia . . . . 463.3.3 Ipotesi di attraversamenti a grappoli della soglia nel casodi processi gaussiani a media nulla . . . . . . . . . . . . . 483.4 Funzione distribuzione di probabilit`a del picco massimo assolutodi processi aleatori gaussiani stazionari a media nulla . . . . . . . 483.5 Fattori di picco di processi aleatori gaussiani stazionari a medianulla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5.1 Formulazione teorica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5.2 Ipotesi di attraversamenti indipendenti . . . . . . . . . . . 503.5.3 Ipotesi di attraversamenti a grappoli . . . . . . . . . . . . 513.6 Simulazione Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.7 Cenni sui metodi di valutazione della sicurezza strutturale. . . . 523.7.1 Metodo delle tensioni ammissibili. . . . . . . . . . . . . . 523.7.2 Metodo semi-probabilistico agli stati limite . . . . . . . . 533.7.3 Metodi probabilistici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564 Analisisismica 594.1 Cenni sulla natura e propriet`a dei terremoti . . . . . . . . . . . . 594.2 Equazionidelmotodiunoscillatoreelementaresoggettoadunmoto sismico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3 Spettri di un accelerogramma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3.1 Spettro di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3.2 Spettro di risposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4 Spettro di progetto elastico e spettro di potenza spettrocompatibile 654.4.1 Spettro di progetto elastico . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4.2 Funzione di Husid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4.3 Spettro di potenza di progetto . . . . . . . . . . . . . . . 674.4.4 Storie temporali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.5 Equazionidelmotodistruttureclassicamentesmorzateamoltigradi di libert`a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.6 Analisi modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.6.1 Calcolo delle sollecitazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.7 Risposta aleatoria stazionaria nel dominio della frequenza . . . . 714.7.1 Processo forzante multivariato-monocorrelato . . . . . . . 714.7.2 Processo forzante multivariato-multicorrelato . . . . . . . 734.8 Combinazione dei picchi massimi assoluti modali valutati attra-verso lo spettro di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.9 Forze statiche equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76INDICE III4.10Direzione epicentrale di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.11Considerazioni sui metodi di calcolo usati nellanalisi sismica . . 794.12Altri argomenti di interesse per lanalisi sismica. . . . . . . . . . 81IV INDICEElencodelletabelle1 Simboli principali - prima parte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Simboli principali - seconda parte. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.1Premessa 10.1 PremessaLe note che seguono illustrano alcuni argomenti importanti di dinamica strut-turalenonsucientementetrattati in[4]. Limportanza`elegataal fattocherecenti normativesuvarieapplicazioni di dinamicastrutturalefannocennoatali aspetti. Linsieme di tali argomenti `e qui indicato col termine Complementidi dinamica strutturale. Nella loro presentazione si adottano, per quanto possi-bile, i simboli e le varie gure illustrative di [4].Per evitare numerosi riferimenti bibliograci, che possono talvolta indurre unacerta confusione, dovuta anche alla diversa denizione dei simboli, si `e deciso diindicare un solo testo [1], scritto in italiano ad uso didattico universitario.Eventuali approfondimenti particolari, sualcuni argomenti specici, possonoessere cercati nei testi ed articoli richiamati nella bibliograa di [4] e [1].0.2Simboliprincipali 30.2 SimboliprincipaliNelle tabelle seguenti si adottano i seguenti acronomi:GdL = grado di libert`a1GdL = sistema ad un grado di libert`aMGdL = sistema a molti gradi di libert`aMP = modo proprio di vibrareVS = variabili di statoSimbolo Signicatoajcoeciente di partecipazione del MPj-esimo == coordinata modalej-esima nello spazio modalefjeccitazione del GdLj-esimo == forza o momento eccitatorej-esimopjeccitazione modale relativa al MPj-esimo (YTj P)massa modale per eccit. sismica del MPj-esimo (-YTj M)xjgrado di libert`aj-esimo nello spazio nodaleAjvariabile aleatoria associata adajABS somma dei valori assoluti dei massimiCQC combinazione quadratica completaE[] operatore media di una variabile aleatoriaG funzione di trasferimentoPcprobabilit`a di crisiPsprobabilit`a di successo (adabilit`a) = 1 PcSaspettro di risposta di accelerazione di 1GdLSpaspettro di risposta di pseudo-accelerazione di 1GdLSpvspettro di risposta di pseudo-velocit`a di 1GdLSsspettro di risposta di spostamento di 1GdLSvspettro di risposta di velocit`a di 1GdLRX() funzione di autocorrelazione del processoXSX() densit`a spettrale di potenza del processoXS

X() densit`a spettrale di potenza unilaterale del processoXSRSS radice quadrata della somma dei quadratiT periodoTnperiodo proprio di un 1GdLTjperiodo del MPj-esimo di un MGdLXjvariabile aleatoria associata adxjTabella 1: Simboli principali - prima parte4 ELENCODELLETABELLESimbolo Signicatoa vettore dei coecienti di partecipazione modalifstvettore delle forze statiche equivalentiw vettore delle VS modali o normalix vettore delle incognite nodaliz vettore delle VS nodali o geometricheC matrice di smorzamento o di dissipazioneG matrice di trasferimentoGzmatrice di trasferimento nello spazio delle VSK matrice di rigidezzaM matrice di massaP vettore delleccitazioni nodaliX vettore delle incognite nodaliY matrice modale realeY matrice modale complessaYjMPj-esimo realeYjMPj-esimo complessoAindice di adabilit`a coeciente di sicurezzaX() fattore di picco del processo aleatorioXi,Xmomento spettrale di potenza di ordinei del processoX media di una variabile aleatoria frequenzanfrequenza propria di un sistema a 1GdLjfrequenza propriaj-esima di un MGdL coeciente di accoppiamentoX() funzione di autocorrelazione normalizzata del processoX deviazione standard di una variabile aleatoria gaussiana rapporto di smorzamento per un 1GdLjrapporto di smorzamento del MPj-esimo di un MGdL pulsazionenpulsazione propria di un 1GdLjpulsazione propriaj-esima di un MGdL

pulsazione propria ridotta di un 1GdL smorzato vettore incidenze o inuenza in unanalisi sismica Matrice di transizioneMMatrice di transizione nello spazio modaleNMatrice di transizione nello spazio nodaleTabella 2: Simboli principali - seconda parteCapitolo1Variabilidistato1.1 Richiami sulle equazioni dierenziali ordina-rieacoecienticostantiSi indichi simbolicamente conDn [x(t)] = f (t) (1.1)unequazione dierenziale ordinaria a coecienti costanti di ordine n nellin-cognitax, funzione reale o complessa della variabilet (tempo).La 1.1 pu`o essere posta anche nella forman

i=0aix(i)(t) = f (t) (1.2)dove il numero posto in apice tra parentesi indica lordine della derivata ri-spetto at.Nella soluzione della 1.1, per la presentazione della quale si rimanda a [4], sifa ricorso alla funzione esponenziale di argomento reale o complesso.Ogni equazione dierenziale di ordinen della variabilex(t) pu`o essere tra-sformatainunsistemadi nequazioni dierenziali del primoordinenelle nvariabili z0, z1...zn1. Taleoperazionepu`oessereeseguitaintantimodimailpi` u semplice consiste nel denire la generica variabilezjcomezj (t) = x(j)(t) =djx(t)dtj=dzj1(t)dt(j = 1...n 1)z0 (t) = x(t)(1.3)Intal modolequazione 1.2diventaunequazione dierenziale del primoordine nella variabilezn1n1

i=0aizj (t) +andzn1dt= f (t) (1.4)6 VariabilidistatoLe altre n1 equazioni sono date dalle prime n1 relazioni tra zje la deri-vataj.ima dix rispetto al tempo. Laj.ma relazione rappresenta unequazionedierenziale del primo ordine nella variabilezj1.Raccogliendo tutte le variabili zj in un vettore z il sistema di n equazioni linearipu`o essere scritto nella forma z = Dz +vf (t) (1.5)dovez =x x...x(n2)x(n1); z = x x...x(n1)x(n)D =0 1 0 ... 00 0 1 ... 0... ... ... ... ...0 0 0 ... 1a0ana1ana2an... an1an; v =00001an(1.6)Per risolvere la 1.1 o la 1.5 occorre conoscere le condizioni iniziali del sistema,che, nel seguito, si far`a lipotesi che si verichino al tempo t = t0. Tali condizioniiniziali sonorappresentatedagli nvalori di xedellesuederivaterispettoaltempo no allordinen 1, cio`e dallen variabilizjsopra denitex(t)t=t0 ,_dxdt_t=t0,_d2xdt2_t=t0..._dn1xdtn1_t=t0(1.7)Glin valori indicati in 1.7 rappresentano lo stato inizialedel sistema.Durante levoluzione del sistema, se, ad un generico istantet, sono noti i valo-ri di xedellesueprimen 1derivaterispettoal tempo, poich`ef(t) `enotoa tale istante,imponendo il soddisfacimento dellequazione dierenziale 1.1,sipu`oprevedereil comportamentofuturodel sistema. Inaltreparole, adogniistante,gli n valori sopra indicati rappresentano lo statocorrentedel sistema.A tali valori si d`a il nome di variabilidistato. Il vettore z, le cui componentirappresentano le variabili di stato, viene detto vettore delle variabili di stato.Nella soluzione di un sistema di equazioni lineari del tipo 1.5, in analogia aquanto fatto per la soluzione della 1.1, si fa uso della funzione esponenzialedimatrice [2], che ha propriet`a molto simili alla funzione esponenziale di argomentoreale o complesso. Ad esempio, indicate con D e G due matrici, i cui elementisono indipendenti dal tempo, valgono le seguenti relazionia)ddt exp (Dt) = Dexp (Dt) = exp (Dt) Db) exp (Dt +Gt) = exp (Dt) exp (Gt)(1.8)Anche per il sistema 1.5 la soluzione `e data dalla somma della soluzione ge-nerale del sistema omogeneo associato e di una soluzione particolare del sistemacompleto1.2Sistemaadungradodilibert`a 7z = zg +zp(1.9)Sipu`odimostrare[2]chelasoluzionegeneraledelsistemaomogeneoasso-ciato zg (t) Dzg (t) = 0 (1.10)pu`o essere espressa dazg (t) = exp (Dt) c ; c = z (t0) zp (t0) = z0zp0(1.11)Pertanto la soluzione della 1.5 `e data daz (t) = exp (Dt) (zozp0) +zp (t) (1.12)1.2 Sistemaadungradodilibert`aUn sistema ad un grado di libert`a, nellambito della dinamica strutturale (vedig. 4.1di [4]), vienetalvoltachiamatooscillatoresemplice. Lequazionedelmoto di tale sistema `e data dam x(t) +c x(t) +kx(t) = f (t) (1.13)Dividendo ambo i membri della 1.13 perm si ottiene x(t) + 2 x(t) +2x(t) =f (t)m(1.14)che viene talvolta detta equazione del moto in forma canonica.Lasoluzionex(t)della1.13o1.14 `edatadallasommadellasoluzionege-neraledellequazioneomogeneaassociataxg(t)edi unasoluzioneparticolaredellequazione non omogeneaxp(t)x(t) = xg (t) +xp (t) (1.15)Lapartexgdellasoluzionecontieneduecostanti di integrazione, chenelseguitosarannoraccolteinunvettorecechesarannodeterminateunavoltache si conosca lo stato iniziale del sistema.Nel seguito si indicher`a con z(t) il vettore delle variabili di statox(t), x(t)Rappresentando in termini di variabili di stato sia la soluzione generale chela soluzione particolare si pu`o scrivere (indicando le costanti in modo analogo aquanto fatto nel cap. 4 di [4])z (t) = zg (t) +zp (t) = E(t) c +zp (t)zg (t) =xg xg; zp (t) =xp xp; c =C3C4(1.16)Se < 1 (sistema in condizioni sottocritiche; ipotesi che, salvo diversa indica-zione, sar`a considerata valida nel seguito), `e immediato determinare la matriceE(t) (ved. cap. 4 di [4])8 VariabilidistatoE(t) = entsin (

t) cos (

t)n sin (

t) +

cos (

t) n cos (

t)

sin (

t)n =_km;

= n_1 2(1.17)Assumendoquestaformaperpresentarelasoluzioneadogni istante, perimporre le condizioni iniziali (al tempot = t0) basta scriverez (t0) = z0 = zg0 +zp0 = E(t0) c +zp0(1.18)dalla quale si pu`o ricavare il vettore cc = E1(t0) (z0zp0) (1.19)Se si sostituisce la 1.19 nella prima delle 1.16 e se si indica cont

= t t0 iltempo contato a partire dalle condizioni iniziali, si ottienez (t

) = (t

) (z0zp0) +zp(t

) (1.20)nella quale la matrice (t

) `e detta matrice di transizione delloscillatore ele-mentare, in quanto governa la fase transitoria della risposta. A regime, se > 0,si avr`a z(t) = zp(t). Si noti che, se lo stato iniziale del sistema coincide con lostato iniziale della soluzione particolare z0= z(p0), si ha semprez(t) = zp(t),cio`e la fase transitoria iniziale `e annullata (anche se = 0).La matrice di transizione pu`o essere posta nella forma(t

) = E(t

) E1(t0) =2ng (t

) h(t

)2nh(t

)h(t

)(1.21)cong (t) = 12nexp (nt)_cos (

t) +n

sin (

t)_h(t) = g (t) =1

exp (nt) sin (

t)h(t) = exp (nt)_cos (

t) n

sin (

t)_(1.22)Per lunicit`a della soluzione del problema dinamico, la 1.20 `e anche soluzionedellequazione del moto 1.13 o 1.14, scritta in termini di variabili di stato, cio`enella forma 1.5 nella quale si pongaD =0 12n2n; v =01m(1.23)La soluzione della 1.5 `e espressa dalla 1.12. Dal confronto della 1.12 con la1.20 si deduce che deve essere(t) = exp (Dt) (1.24)Utilizzandoquestarelazione, insiemealla1.21, `epossibiledenirelepro-priet`a fondamentali della matrice di transizione1.2Sistemaadungradodilibert`a 9a) (0) = I ; (+) = 0b) (t2t1) (t1t0) = (t2t0)c) (kt) = k(t)d) 1(t1t2) = (t2t1)e)(t) = D(t) = (t) Df)(t) = D(t) = (t) Dg)_ (t) dt = D1(t) = (t) D1(1.25)1.2.1 RispostaalgradinounitarioeallimpulsounitarioLefunzioni gradinounitarioeimpulsounitarioappartengonoallaclassedel-lecosiddettedistribuzioni ofunzioni improprieofunzioni generalizzate. Talifunzioni si deniscono come segueU (t t0) = U (t

) =___0 t < t012t = t01 t > t0; (t t0) = (t

) =_0 t = t0+ t = t0(1.26)Si citano alcune propriet`a di queste funzionia) (t

) =ddtU (t

) ; U (t

) = _t (t

) dtb)_+ (t) dt = 1c)_+ (t

) f (t) dt = f (t0)(1.27)La risposta al gradino unitario, con condizioni iniziali nulle, `e data daxg1 (t

) =1m_12n+g (t

)_(1.28)doveg(t) ha lespressione riportata in 1.22.Inmodoanalogosi pu`omostrarechelarispostaallimpulsounitario, concondizioni iniziali nulle, `e data da (ved. equazione (6.3) di [4])xi1 (t

) =1mh(t

) U (t

) =1m g (t

) U (t

) (1.29)doveh(t), g(t) sono date nella 1.22.Si noti che traxg1exi1sussiste la relazionexi1 (t

) =ddtxg1 (t

) (1.30)Nello spazio delle variabili di stato la risposta al gradino unitario e allimpulsounitario, se le condizioni iniziali sono nulle, per 1.20 si pu`o scriverez (t

) = (t

) zp0 +zp (t

) (1.31)10 VariabilidistatoNel caso di risposta al gradino unitario il vettore zp si pu`o trovare come unasoluzione della seguente equazione dierenziale z (t

) = Dz (t

) +v ; z_t+0_ = 0 (1.32)dovet+0rappresenta listante appena successivo allapplicazione delleccita-zione, che `e considerato come condizione iniziale dellequazione dierenziale.La soluzione particolare pu`o essere posta nella formazg1p (t

) = D1vU (t

) (1.33)e quindi la soluzione completa valezg1 (t

) = [(t

) I] D1vU (t

) (1.34)La suddetta relazione pu`o essere anche posta nella formazg1 (t

) =xg1 (t

) xg1 (t

) =1mg (t

) +12nh(t

)U (t

) (1.35)Lasoluzioneallimpulsounitario, intermini di variabili di stato, pu`oot-tenersi perderivazionedellazg. Doposemplici passaggi, tenendocontodellepropriet`a della matrice di transizione, si ottienezi1 (t

) = (t

) vU (t

) (1.36)Questa relazione pu`o essere posta nella formazi1 (t

) =xi1 (t

) xi1 (t

) =1mh(t

)h(t

)U (t

) (1.37)1.2.2 RispostaadunaforzantequalunqueUnasoluzioneparticolareadunaforzantequalunque, chehainizioal tempot =t0,pu`o essere espressa dallintegralediDuhamel odisovrapposizioneodiconvoluzione(ved. par. 6.3 di [4])xp (t

) =1m_tt0h(t )f () d t t0(1.38)doveh(t) `e espresso dalla seconda delle 1.22.Nello spazio delle variabili di stato lintegrale di Duhamel assume la formazp (t

) =_tt0(t )vf () d t t0(1.39)Si noti che le relazioni 1.38 e 1.39 non includono gli eetti delle condizioniiniziali. Inoltre i valori iniziali della soluzione particolare nella forma dellinte-grale di Duhamel sono identicamente nulli (xp0 = 0; xp0 = 0; zp0 = 0).Pertanto, se le condizioni iniziali non sono nulle, alla soluzione particolare, nel-laformadellintegraledi Duhamel, occorreaggiungerelasoluzionegeneraledellequazione omogenea. La soluzione totale `e quindi espressa da1.2Sistemaadungradodilibert`a 11x(t

) =1m_2g (t

) x(t0) +h(t

) x(t0) ++_tt0 h(t )f () d_t t0(1.40)z (t

) = (t

) z (t0) +_tt0(t )vf () d t t0(1.41)1.2.3 AnalisidinamicaneldominiodellafrequenzaApplicandolatrasformataintegraledi Fourieralla1.13si ottiene(ved. par.14.2 di [4])_2m+ic +k_X () = F () (1.42)dalla quale si ricava che la funzione di trasferimento del sistema,associataalla trasformata integrale di Fourier, `e data daG() =X()F()=1k2m+ic==1m(2n2+i2n)= |G()| eiG()(1.43)dove|G()| =1m_(2n2)2+ 422n2; tan [G ()] = 2n2n2(1.44)Linversadellafunzioneditrasferimento `edettarigidezzadinamicadello-scillatore elementare.Se si adotta per la trasformata integrale di Fourier la denizione n. 1 di tab.14.1 di [4] la trasformata delleccitazioneF() `e data daF () =_+f (t) eitdt (1.45)Poich`e la trasformata di Fourier dellimpulso unitario agente at0 = 0 `e unacostante, indipendentedaepari aduno, lafunzionedi trasferimentopu`oessere considerata come la trasformata di Fourier della risposta delloscillatoreelementare sottoposto a tale impulso unitario.Se la trasformata di Fourier delleccitazione `e posta nella formaF () = |F ()| eiF()(1.46)la risposta del sistema pu`o esprimersiX () = G() F () = |G()| |F ()| ei[G()+F()](1.47)Una volta valutata la risposta nel dominio della frequenza, si pu`o determi-nare la relativa risposta nel dominio del tempo eseguendo la trasformata inversa12 Variabilidistatoo antitrasformata.Lantitrasformata integrale di Fourier diX() e diX() `e data dax(t) =12_+X ()eitd =12_+G()F () eitd x(t) =12_+iX ()eitd =12_+iG()F () eitd(1.48)La formulazione nel dominio della frequenza pu`o essere fatta usando le va-riabili di stato. Basta applicare la trasformata integrale di Fourier alla relazione1.5 con matrice D e vettore v deniti dalla 1.23 per ottenereiZ() = DZ() +vF () (1.49)da cui si ricavaZ() = (iI D)1vF () = Gz () F () (1.50)doveGz () = (iI D)1v =G()iG()(1.51)Il vettore Gz`e talvolta chiamato vettore di trasferimento nello spazio dellevariabili di stato. Questovettorecoincideconlatrasformatadi Fourierdellarisposta allimpulso unitario zi1(t) nelle variabili di stato.Si noti che la 1.50 rappresenta la trasformata di Fourier della soluzione ge-nerale della 1.5 per condizioni iniziali nulle. Sele condizioni iniziale sono nonnulleallistantet =t0,incui `eapplicatalaforzante,lafunzionerisposta,neldominiodellafrequenzavadeterminataapplicandoloperatoretrasformatadiFourier alla 1.41 ottenendoZ() = () z0 +Gz () F () (1.52)dove () `e la trasformata di Fourier della matrice di transizione (t).1.3 Sistemaamoltigradidilibert`aLequazionedelmotodiunsistemaamoltigradidilibert`aconsmorzamentoviscoso pu`o essere scritta nella forma ( ved. eq. (18.2) di [4])M x(t) +C x(t) +Kx(t) = P(t) (1.53)Il problema dinamico `e correttamente denito quando si conoscono i valoriiniziali dei vettori spostamento e velocit`a, che saranno indicati con bfx0 = x(t0)ebfv0 = x(t0).Se il sistema`e lineare, lasoluzione della1.53pu`oessere eseguitaconiseguenti metodi1. metodo della sovrapposizione modale1.3Sistemaamoltigradidilibert`a 132. metodo di integrazione diretta dellequazione del moto3. metodo della trasformazione integraleSe il sistema `e non lineare, la soluzione della 1.53 pu`o essere eseguita quasiesclusivamente con il metodo di integrazione diretta dellequazione del moto.Per questo metodo e per quello della trasformazione integrale si rimanda com-pletamente a [4].Per i sistemi lineari il metodo pi` u usato e pi` u citato nelle normative `e quel-lodellasovrapposizionemodale, perilqualesivuolaggiungerealcunenoteaquanto gi`a esposto nel par. 18.1 di [4].Il metodo della sovrapposizione modale consiste nel trovare la soluzione x(t)come combinazione lineare degli autovettori del sistemax(t) =n

i=1ai (t)Yi = Ya(t) (1.54)dove Y`e la matrice degli autovettori o matrice modale, la cui i-esima colonnaYirappresenta lautovettrei-esimo. Len quantit`a reali ai(t) sono dette coef-cienti di partecipazione modali. Talvolta vengono chiamate anche spostamentimodalionormali per distinguerlidagli elementi delvettorex(t),che vengonodetti spostamenti generalizzati nodali o geometrici.La relazione 1.54 rappresenta il legame tra le variabili nodali o geometrichee levariabili modali o normali.Un legame simile pu`o essere espresso tra le variabili di stato nodali o geome-trichez(t) e le variabili di stato modali o normali w(t)z (t) = w(t) (1.55)dovez (t) =x(t) x(t); w(t) =a(t) a(t); =Y 00 Y(1.56)SelamatriceY`eortonormalerispettoallamatricedimassa `eimmediatoricavare la relazione inversa della 1.54a(t) = YTMx(t) ; YTM = Y1(1.57)che permette di esprimere il vettore x(t), denito nella base cartesiana no-dale, nelle nuova base denita dagli autovettori.Quindi il vettorea(t)`elimmaginenellospaziomodaledel vettoreincognitox(t) nello spazio nodale.Analogamente il vettore x(t) `e limmaginenello spazio nodaledel vettore a(t)denito nello spazio modale.La corrispondenza tra i due spazi `e biunivoca.14 Variabilidistato1.3.1 MatricedismorzamentoPer unapplicazione razionale del metodo della sovrapposizione modale si richie-dechelamatricedismorzamentosiaortogonaleaimodiproprioautovettoridel sistema non smorzato (eq. 18.4 di [4])YTiCYk = iki; YTCY = (1.58)doveik`e la funzione delta di Kronecker, Y `e la matrice degli autovettori,YieYksono, rispettivamente, li.esimo e ilk.esimo autovettore, `e una matri-ce diagonale detta matrice di smorzamento o di dissipazione modale, che haicome terminei.esimo disposto sulla sua diagonale.Se gli autovettori sono stati normalizzati rispetto alla matrice di massa, la gene-rica equazione relativa al coeciente generico di partecipazione modaleaipu`oessere scritta ai (t) + 2ii ai (t) +2iai (t) = pi (t)2ii = i; pi (t) = YTiP(t)(1.59)che ha la stessa forma dellequazione dinamica di un oscillatore elementaredi massaunitaria. Essarisultadisaccoppiatadallequazioni relativeagli altricoecienti di partecipazione modali.Quando la matrice di smorzamento possiede la propriet`a 1.58 si dice che ilsistema `e classicamente smorzato.E stato dimostrato che condizione necessaria e suciente anch`e un sistemasia classicamente smorzato `e che sia vericata la seguente relazioneCM1K = KM1C (1.60)Condizioni sucienti anche un sistema sia classicamente smorzato sono:C = M+K (1.61)notacomematricedismorzamentodiRayleighomatricedismorzamentoproporzionale;C = M+K+M_n1

i=2i_M1K_i_(1.62)notacomematricedi smorzamentodi Caughey. nsonoi gradi di libert`adella sistema.Si pu`o dimostrare che le suddette matrici 1.61 e 1.62 soddisfano la condizio-ne 1.60.Se il sistema non `e classicamente smorzato la matrice di smorzamento modalenon `e diagonale. I termini fuori diagonale di tale matrice possono essere consi-derati come misura del grado di non classicit`a del sistema. Un modo per deniretalegrado`equellodi introdurreil cosiddettocoecientedi accoppiamentocos` denito1.3Sistemaamoltigradidilibert`a 15 = max_2ijiijj_; (i, j = 1, 2...n) i = j ; 0 < 1 (1.63)1.3.2 EquazionidelmotointerminidivariabilidistatoIl sistema di n equazioni dierenziali del secondo ordine 1.53 pu`o essere sosti-tuito da un sistema di 2n equazioni dierenziali del primo ordine introducendoil vettore delle variabili di stato, denito dalla prima relazione della 1.56.Possonoesserescelti diversi modi perottenerele2nequazioni del primoordine: uno `equelloriportatonelpar. 18.1di[4],laltro `equellodescrittoin[1], checonduceamatrici simmetriche. Seguendoquestosecondometodosiassocia alla 1.53 lidentit`aM x(t) M x(t) = 0 (1.64)e si ottieneA z (t) +Bz (t) = P

(t) ; z0 = z (t0) =x0v0(1.65)doveA =C MM 0; B =K 00 M; P

=P0(1.66)1.3.3 Vibrazioniliberediunsistemaclassicamentesmor-zatoLe vibrazioni libere di un sistema classicamente smorzato possono essere espressedalla relazione (ved. eq. (4.27) di [4])x(t) =n

i=1eiit_ai0 cos_

it_+1

i( ai0 +iiai0) sin_

it__Yi

i = i_1 2i; ai0 = YTiMx0; ai0 = YTiMv0(1.67)Normalmente, nellaDinamicadelleStrutture, si falipotesi cheil rappor-todismorzamentosiacostantepertuttiimodi. Intalcasoilcontributoallevibrazioni libereeallafasetransientedellarisposta, fornitodai modi adaltafrequenza, si attenua pi` u velocemente di quello dei modi a bassa frequenza.Pertanto, tenendo anche conto del fatto che le forzanti hanno generalmente con-tenuto in energia pi` u elevato alle basse frequenze, vengono considerati pi` u im-portanti nellanalisi dinamica i primi modi di vibrare, cio`e quelli corrispondentialle frequenze pi` u basse.16 Variabilidistato1.3.4 Vibrazioni libere di unsistema nonclassicamentesmorzatoSe un sistema non `e classicamente smorzato si pu`o eseguire lanalisi strutturaleconmetodidiversidallasovrapposizionemodale, qualiimetodiditrasforma-zione integrale o i metodi di integrazione diretta delle equazioni del moto (ved.[4]).Si pu`o comunque usare il metodo della sovrapposizione modale se, al posto deimodi propri naturali del sistema non smorzato, si prendono a riferimento i modipropri (ei relativi autovalori)complessi del sistemasmorzato. Perfarci`osipossono seguire diverse vie alternative (ved. par. 18.1 di [4] e [1]).E stato dimostrato che, per determinare gli autovalori del sistema smorzato,conviene far riferimento alle variabili di stato, usate nellequazione 1.65. Per ilcalcolo degli autovalori occorre porre in tale equazione P

(t) = 0. La soluzionedi tale equazione si pu`o esprimere nel modo seguentez (t) = re tY ;Y =Y Y(1.68)nella qualeY `e lautovettore complesso nello spazio a 2n dimensioni.Si noti che i secondin elementi di questo vettore sono le derivate temporali deiprimin, e quindi non sono indipendenti dai primi.Sostituendo la 1.68 nella 1.65 (con P

(t) = 0) si ottiene( A+B) Y = 0 (1.69)Poiche A e B sono simmetriche le soluzioni della 1.69 sono complesse e co-niugate a coppie.Gli autovettoriYj, determinati amenodi unacostantearbitraria, sonoor-togonali rispettoallematrici AeB. Lacostantearbitrariavienedenita,normalmente, imponendo la condizione di normalit`a rispetto alla matrice AYTs AYj = sjYTAY = I2n(1.70)Si deduce cheYTs BYj = jsjYTBY = (1.71)La matriceY `e data daY = Y1Y2...YnY1Y2...Yn(1.72)mentre la matrice diagonale vale = diag_ 1, 2, ... n, 1, 2, ... n_(1.73)Lasterisco * indica la quantit`a complessa coniugata.La matriceY, in analogia al caso reale, `e detta matrice modale complessa.La condizione di normalit`a 1.70, tenendo conto delle relazioni 1.66 pu`o esseremessa nella seguente forma1.3Sistemaamoltigradidilibert`a 17YTs CYj + sYTs MYj + j YTs MYj = sj(1.74)Tale condizione, coinvolgendo anche la matrice di smorzamento, risulta com-pletamentediversadallacondizionedi ortonormalit`arispettoallamatricedimassa degli autovettori del sistema non smorzato.La condizione 1.71,usando ancora le relazioni 1.66,pu`o essere messa nellaformaYTs KYj j sYTs MYj = jsj(1.75)Nel caso di sistema libero, la soluzione della 1.53, dovendo essere reale, avr`ala forma seguentex(t) =2n

j=1 rje jtYj = 2n

j=1Re_ rje jtYj_(1.76)dove rj =YTj( jM+C) x0 +YTj Mv0(1.77)Imponendo le condizioni iniziali allistantet = 0 si ottienex(t) = 2n

j=1ejt{bj [cos (it) j sin (it) j] dj [cos (it) j + sin (it) j]}(1.78)dove j = j +ij;Yj = j +ij(1.79)bjedj, che dipendono dalle condizioni iniziali, sono la parte reale e imma-ginaria di rj.bj = Re [ rj] = Tj(jM+C) x0jTj Mx0 +Tj Mv0dj = Im[ rj] = Tj(jM+C) x0 +jTj Mx0 +Tj Mv0(1.80)La 1.78 descrive le vibrazioni libere di strutture non classicamente smorzate.Perinterpretareilsignicatosicodegliautovalorieautovettoricomplessiconviene applicare ai sistemi classicamente smorzati la soluzione generale 1.78e confrontarla con la soluzione 1.67, valida per questi particolari sistemi.Poiche, per lunicit`a della soluzione, la 1.78 deve coincidere con la 1.67, quandoil sistema `e classicamente smorzato, si deduce che deve esserej = jjj = j_1 2j j =_2j+2jj = jj(1.81)per cui `e possibile esprimere lautovalore complesso nella forma seguente18 Variabilidistato j = j +ij = jj +ij_1 2j(1.82)Le precedenti relazioni consentono di aermare che:il modulo dellautovalore complesso j, autosoluzione della 1.69, ha ledimensioni di una pulsazione naturale;la parte immaginaria dellautovalore complessoj, argomento dellefunzioni circolari nella rappresentazione di Eulero dei numeri complessi,ha lo stesso ruolo della pulsazione naturale ridotta nel caso di sistemiclassicamente smorzati;la parte dellautovalore complessoj, che `e sempre negativa, nel caso disistemi dinamici stabili, divisa per il modulo e cambiata di segno, ha lostesso ruolo del rapporto di smorzamento nei sistemi classicamentesmorzati.Da quanto sopra si deduce che, nel caso di strutture non smorzate, si haj = 0 ; j = j(1.83)dalla quale si ricava che le strutture non smorzate hanno, nello spazio dellevariabili di stato, autovalori puramente immaginari.Nel caso di strutture non smorzate, tenendo presente che2i = 1+i; 1/(1+i) = (1 i)/2, `e immediato vericare le seguenti relazioni j = ij j = i jYj =(1i)2jYj Yj = _i2j Yj(1.84)dove Yj`e il generico autovettore reale eYj`e il corrispondente autovettorecomplesso.Nel casodi struttureclassicamentesmorzate, gli autovalori eautovettoricomplessi si calcolano una volta assegnato, ai vari modi, il rapporto di smorza-mento viscosoje risolto il problema degli autovalori naturali (modi propri divibrare del sistema non smorzato). Lautovalore complesso j`e dato da j = jj +i

j;

j = j_1 2i(1.85)La relazione tra il generico autovettore reale Yjed il corrispondente auto-vettore complessoYj`e espressa daYj =(1 i)2_

jYj Yj =_i2

jYj(1.86)In questo caso, oltre alla ortonormalit`a rispetto alla matrice di massa e allor-togonalit`a rispetto alla matrice di rigidezza, gli autovettori reali sono ortogonalirispetto alla matrice di smorzamento1.3Sistemaamoltigradidilibert`a 19YTs CYj = 2jjsj(1.87)Levibrazioni liberedi unsistemanonclassicamentesmorzato, interminidivariabilidistato, possonoesseredeterminateoutilizzandola1.78elasuaderivataperdeterminareil vettoredellevariabili di statoz(t)ocercandolesoluzioni dellequazionez (t) = N (t

) zo(1.88)formalmente identica alla 1.10.Ricercandolasoluzioneintermini di variabili di statosi pervienealladeni-zione di una matrice N(t) di transizione del sistema dinamico, funzione delleautosoluzioni complesse del problema 1.69.Peridettaglisuquestultimomododivalutarelasoluzione, sirimandaa[1].Preme solo far presente che, per lunicit`a della soluzione, i due metodi devonofornire la stessa soluzione.1.3.5 Vibrazioni forzate di un sistema classicamente smor-zatoPerimotivisopraindicati, siadottailmetododellasovrapposizionemodale,secondo il quale la soluzione `e espressa dalla relazione 1.54.La soluzione di un sistema classicamente smorzato, relativa al modo proprioi-esimo, `e data dalla somma della soluzione del sistema libero (equazione die-renziale omogenea), data dalla 1.67, e di una soluzione particolare del sistemacompleto (con termine noto pari api).La soluzione particolare pu`o essere rappresentata dallintegrale di Duhamel datadalla 1.38.La soluzione completa in termini di variabili di stato `e data dalla 1.41, dove sipongapi() al posto dif() e si ponga il pedicei alle variabili z(t) e .Una volta denita la rispostaai(t) del generico oscillatore elementare, rela-tivo al modo proprioi-esimo, si pu`o risalire alla risposta globale del sistema, intermini di variabili di stato, introducendo il vettore w(t) denito dalla secondarelazione di 1.56, che pu`o essere posto nella formaw(t) = M (t

) z (t0) +_t0M (t )VMf () d (1.89)dove Mrappresenta la matrice di transizione nello spazio modale.Questa equazione rappresenta la soluzione, in forma integrale, delle equazionidelmotonellospaziodellevariabilidistatomodali.//Lasoluzione, informaintegrale,delle equazioni del moto nello spazio delle variabili di stato nodali `edata da questa relazione, analoga alla precedente,z (t) = N (t

) z (t0) +_t0N (t )VNf () d (1.90)20 Variabilidistatodove Nrappresenta la matrice di transizione nello spazio nodale.Si noti che la 1.90 `e anche formalmente analoga alla 1.37.Per le espressioni di Me di Ndi sistemi classicamente smorzati si rimandaa [1].Per sistemi non classicamente smorzati occorre applicare la cosiddetta analisimodale non classicabasata sulluso degli autovalori e autovettori complessi. Inquestaanalisi, nellospaziodellevariabili di statomodali, si introducequestatrasformazione di coordinatew(t) =YMa(t) (1.91)dove a(t) `e il vettore delle coordinate modali complesse, di ordine 2n, eYM`e la matrice modale complessa.La soluzione del problema `e ancora data, nello spazio delle variabili di statomodali,dalla 1.89 ma lamatrice di transizionenellospazio modale `e espressadaM (t) =YM exp ( Mt) YTMAM(1.92)1.4 MetodidicorrezionemodaleNella pratica il metodo della sovrapposizione modale viene applicato in formaridotta, cio`e utilizzando un numero q di autovalori e autovettori inferiore al nu-meron dei gradi di libert`a del sistema (ved. par. 19.1 di [4]).Tale riduzione viene talvolta indicata col nome di troncamento modale.Il numeroq `e determinato dal contenuto in frequenza delleccitazione. Il massi-mo autovalore ridotto deve avere pulsazione maggiore della massima pulsazionedello spettro in frequenza delleccitazione.Pi` u precisamente la pulsazione massima del sistema ridottomax Rdeve soddi-sfare questa condizionemax R>max f0.6(1.93)dovemax frappresenta la massima pulsazione delleccitazione.I metodi di correzione modale sommano alla risposta dinamica valutata colmetodo della sovrapposizione modale ridotta (MDM) un termine correttivo chetiene conto in forma pseudo-statica dei modi ad alta frequenza.Tra questi metodi il pi` u celebre `e il metododelleaccelerazionimodali (MAM)secondoo il quale la soluzione `e espressa daxMAM (t) = YRaR (t) +_K1YRRYTR_(1.94)dove il pediceR sta per matrice o vettore ridotto ai primiq autovalori.Il secondotermineasecondomembrorappresentail terminecorrettivo. Ta-leterminedenisceilcontributopseudo-staticoallarispostadeimodiadaltafrequenza, che `e pari alla dierenza tra la risposta pseudo-statica K1f (t), otte-nuta dallequazione del moto annullando le forze dinerzia e viscose,e limmagine1.4Metodidicorrezionemodale 21nellospazionodaledellarispostapseudo-staticavalutatanellospaziomodaleridotto.Quando gli elementi del vettore forzante sono derivabili no allordineNsipu`o applicare il metodo delle forze derivate (FDM) secondo il quale la soluzione`e espressa da questa relazionexFDM (t) = xMAM (t) +N

r=2_ArYRBrYTR_ dr1dtr1f (t) (1.95)doveAr = K1(CAr1 +MAr2) ; Br = 2R(RBr1 +Br2)A0 = 0 ; A1 = K1; B0 = 0 ; B1 = 2R(1.96)IlnumeroNdeniscelordinedelmetododelleforzederivate. Dallesamedella1.95sideducecheilmetododelleaccelerazionimodalipu`oessereinter-pretato come il metodo delle forze dxerivate di ordine 1.Alternativo allMAM e allFDM`e il metodo della correzione dinamica (DCM)secondo il quale la risposta nodale corretta pu`o essre messa nella formaxDCM (t) = YRaR (t) + [xp (t) YRap (t)] (1.97)nella quale xp(t) e ap(t) sono le soluzioni particolari dellequazione del motonello spazio nodale e in quello modale ridotto.Si pu`o dimostrare che sia lMAM, sia lFDM sono casi particolari dellFDM, chepu`oessereconsideratocomeilpi` ugeneraleedilpi` uaccuratotraimetodidicorrezione modale attualmente proposti in letteratura.Capitolo2DinamicaaleatoriaLe note che seguono rappresentano dei complementi degli argomenti trattati neicap. 41, 42, 43, 44enellapp. Bdel testo[4], chesi intendonogi`aacquisiti.Pertanto non si far`a riferimento a concetti gi`a illustrati in tale testo, salvo pocheeccezioni.2.1 Variabilialeatorie2.1.1 FrattilidiunavariabilealeatoriaSi consideri una variabie aleatoria continua i cui valori costituiscono un insieme,dettospaziocampione, indicatoconX. x`eunelementodi talespazio. Lafunzione distribuzione di probabilit`aFX(x) `e denita daFX (x) = P [X x] (2.1)La funzione densit`a di probabilit`a `e espressa dapX (x) =dFX (x)dx(2.2)TraFep sussiste quindi la relazioneFX (x) =_xpX ()d (2.3)Fissatounnumerorealekcompresotra0e1, `epossibileavereuno ed unsol valorex(i)ked uno ed un sol valorex(s)kdello spazio campione diXtale cheP_X x(i)k_ = FX_x(i)k_ = k ; P_X x(s)k_ = 1 FX_x(s)k_ = k(2.4)I valorix(i)kex(s)ksi deniscono, rispettivamente, frattile inferioree frattilesuperioredi ordinek, oppure frattile inferiore alk per cento e frattile superiorealk per cento; in particolare sek = 1/2 si ha la mediana.24 Dinamicaaleatoria2.1.2 FunzionecaratteristicaLa funzione caratteristicadi una variabile aleatoria `e la media stocastica dellafunzione exp(iX) dovei `e lunit`a immaginaria e `e un parametro reale. Lafunzione caratteristica `e data quindi dalla relazioneMX () = E_eix =_+eixpX (x)dx (2.5)Si pu`o dimostrare [1] il seguente legame tra i momenti e la funzione carat-teristicaMX () = 1 + (i) m1 [X] + (i)22!m2 [X] 2+... =

j=0(i)jj!mj [X] j(2.6)che mostra il fatto che i momenti, a meno del coeciente (i)j, rappresen-tano i coecienti dello sviluppo in serie di Taylor della funzione caratteristica.Neconsegueche, noti i momenti, si pu`ocalcolarelafunzionecaratteristicaeda questultima si pu`o risalire alla funzione densit`a di probabilit`a mediante latrasformata inversa di FourierpX (x) =12_+eixMX ()d (2.7)Tutti i momenti sino allordine innito deniscono, quindi, in modo comple-to, da un puno di vista probabilistico, la variabile aleatoriaX.2.1.3 CumulantiLog-funzionecaratteristicaecumulantiLa log-funzione caratteristica ln MX() `e denita come il logartimo naturale diMX().Sesi eseguelosviluppoinseriedi Taylordellalog-funzionecaratteristicasiottiene [1]ln MX () =

j=1(i)jj!kj [X] j(2.8)dovekj [X] =1(1)j_djln MX ()dj_=0(2.9)I coecienti kj[X] sonodetti cumulanti osemi-invarianti dellavariabilealeatoriaX.Conoscendo i cumulanti si pu`o determinare la funzione caratteristica valu-tando lesponenziale di ambo i membri della 2.82.1Variabilialeatorie 25MX () = exp__

j=1(i)jj!kj [X] j__(2.10)Sesononoti i cumulanti di qualunqueordinedellavariabilealeatoriaX,dalle 2.10 e 2.7 si pu`o ricavare la sua densit`a di probabilit`a. E quindi possibilecaratterizzare la variabile aleatoriaXuna volta noti tutti i suoi cumulanti.RelazionitramomentiecumulantiSi pu`o dimostrare che valgono le seguenti relazioni tra momenti e cumulantimr = kr +r1

j=1(r 1)!j! (r 1 j)!krjmj(2.11)Le prime 3 relazioni sono quindim1 = k1m2 = 2X= k2 +k1m1m3 = k3 + 2k2m1 +k1m2(2.12)Dalle relazioni precedenti si possono ricavare le relazioni inverse tra cumu-lanti e momenti.A titolo di esempio si riportano le prime 3 relazioni inversek1 = m1 = Xk2 = m2m1k1 = m2m21 = 2Xk3 = m32m1k2m2k1 = m33m1m2 + 2m31(2.13)Il primo cumulante coincide con la media; il secondo con la varianza. Il terzoe gli altri cumulanti danno informazioni sulla forma della densit`a di probabilit`a:in particolare sulla simmetria o meno della stessa e sul grado di appiattimentorispetto ad una particolare densit`a di probabilit`a detta normale. La densit`a diprobabilit`a normale ha tutti i cumulanti, maggiori del secondo, nulli.2.1.4 IndicisinteticidiunavariabilealeatoriaUna variabile aleatoria `e completamente denita se si conoscono la funzione den-sit`a di probabilit`a o la funzione distribuzione di probabilit`a. Tuttavia, quandoqueste funzioni non sono note, `e possibile avere delle informazioni sulla formadellafunzionedensit`adiprobabilit` aattraversoalcuneqauntit`adeniteindicisintetici della variabile aleatoria.Si riportano di seguito alcuni indici sintetici:mediadeviazione standardfrattilimodaLa moda rappresenta il valore a cui compete il massimo della densit`a diprobabilit`a; se la densit`a di probabilit`a ha pi` u massimi, la moda non `eunica e la variabile aleatoria si dice multimodale26 Dinamicaaleatoriacoecente di asimmetria denito dalla relazionea =k3k3/22coeciente di eccesso denito dalla relazionee =k4k22Ladensit`adi probabilit`anormale `eunadensit`adi probabilit`aunimodale,chepossiedecoecienti di asimmetriaedi eccessonulli. Pertaledensit`a, lamoda, la media e la mediana coincdono.2.1.5 VariabilialeatoriegaussianeLa distribuzione normale o gaussiana `e considerata la pi` u importante tra quelleimpiegate nella teoria della probabilit`a. Tale importanza `e attribuita ai risultatienunciati nel Teoremadel LimiteCentralecheaermaSeunavariabilealea-toriaX `egeneratadaunasommadiungrannumerodivariabilialeatorietraloro indipendenti, allora la variabile aleatoria X avr`a una distribuzione gaussia-na, qualunque siano le distribuzioni delle variabili aleatorie che compaiono nellasomma.Spesso, nellesame delle variabili aleatorie, `e conveniente ricondursi alla co-siddetta variabile aleatoria ridotta o standardizzata; tale variabile Z si denisceattraverso la trasformazione lineareZ =X XX(2.14)Nel casodi variabilealeatoriagaussianalafunzionedensit`adi probabilit`adella variabile aleatoria standardizzata assume la seguente espressionepZ (z) =12ez2/2(2.15)La 2.15 rappresenta una densit`a gaussiana a media nulla e varianza unita-ria, che viene denominata funzione densit`a di probabilit` a della variabile aleatorianormale standardizzata.Nei manuali vengonotabellatalafunzione pZ(z), lacorrispondentefunzionedistribuzione di probabilit`a FZ(z) e laseguente funzione degli errori (errorfunction) denita daerf (z) =12_z0exp_2_d = FZ (z) 12(2.16)Poiche la probabilit`a che la variabile aleatoria normale standardizzata Zsiacompresanegli intervalli [-1,1], [-2,2]e[-3,3] `epari, rispettivamentea0,6827,0,9545 e 0,9973, segue cheP [X X< X X +X] = 0.6827P [X 2X< X X + 2X] = 0.9545P [X 3X< X X + 3X] = 0.9973(2.17)2.1Variabilialeatorie 27Laprobabilit`ache lavariabile aleatoria Xsiacontenutanegli intervalli[X kX, X +kX] aumenta allaumentare dik.Perk = 1.645 tale probabilit`a `e pari a 0.9.2.1.6 CambiamentodivariabiliSi considerino due variabili aleatorie bidimensionali X1 e X2, legate alle variabilialeatorieY1eY2attraverso le seguenti funzioniy1 = g1 (x1, x2) ; y2 = g2 (x1, x2) (2.18)Se le funzioni g1(x1, x2) e g2(x1, x2) sono dierenziabili e tali che sussista unarelazione biunivoca tray1, y2ex1, x2si dimostra che la densit`a di probabilit`abidimensionaletraY1e Y2`eesprimibileinfunzionedi quellatraX1e X2attraverso la seguente relazionepY1Y2 (y1, y2) =1JpX1X2 [h1 (y1, y2) , h2 (y1, y2)] (2.19)nella quale J rappresenta il valore assoluto del determinante (o Jacobiano)della seguente matrice Jacobiana della trasformazioneJ =g1x1g1x2g2x1g2x2x1=h1(y1,y2)x2=h2(y1,y2)(2.20)eh1eh2sonoduefunzioni chedenisconoil legameinversotray1, y2ex1, x2x1 = h1 (y1, y2) ; x2 = h2 (y1, y2) (2.21)Il cambiamentodi variabili multidimensionali pertrasformazioni lineari siesegue nel modo seguente.Si considerino due variabili aleatorie a n dimensioni X e Y legate tra loro dallaseguente trsaformazione lineare (nel seguito si omette lindicen)Y = AX X = A1Y (2.22)nella quale A `e una matrice quadrata di ordinen non singolare.Assegnata la densit`a di probabilit`a congiuntapX(x) `e possibile determinareladensit`adi probabilit`acongiuntadellavariabilealeatoriamultidimensionaleY attraverso la seguente relazionepY (y) =1ApX_A1y_(2.23)La matrice A coincide con la matrice Jacobiana della trasformazione.Il vettore del valor medioe lamatrice di covarianzadelle due variabilialeatorie sono legate tra loro dalle seguenti relazioni28 DinamicaaleatoriaY = E[Y] = E[AX] = AYY = E_(YY) (YY)T_ = AXAT(2.24)2.1.7 Mediaevarianzadi combinazioni di variabili alea-torieSiconsideriunavariabilealeatoriamonodimensionaleY combinazionelinearedin variabili aleatorieXi(i = 1, 2...n)Y=n

i=1aiXi(2.25)Si pu`o dimostrare che la mediaYe la varianza2YdiYsono date daY=n

i=1aiXi; 2Y=n

i=1n

j=1aiajXiXj(2.26)doveXeXiXjsono,rispettivamente,la media e la covarianza tra le va-riabili aleatorieXieXj.Selevariabili aleatoriesonoincorrelate(XiXj=0, i =j; XiXi=2Xi)allora la seconda delle 2.26 assume la forma seguente2Y=n

i=1a2i2Xi(2.27)nella quale2Xi`e la varianza della variabile aleatoriaXi.Si consideri una variabile aleatoria descritta da una generica funzione scalaredellen variabili aleatorieXiY= f (X1, X2...Xn) (2.28)La media stocastica di tale variabile `e data daE[f (X1, X2...Xn)] = _+_+..._+f (x1, x2...xn) pX1X2...Xn (x1, x2...xn) dx1dx2...dxn(2.29)dovepX1X2...Xn (x1, x2...xn)`elafunzionedensit`adi probabilit`acongiuntadelle variabiliXi.Per la valutazione della varianza occorre calcolare il seguente integrale mul-tiploE[f (X1, X2...Xn)] = _+_+..._+f (x1, x2...xn) pX1X2...Xn (x1, x2...xn) dx1dx2...dxn(2.30)2.2Processialeatori 29Le relazioni 2.29 e 2.30 sono di dicile applicabilit`a in quanto richiedono laconoscenzadellafunzionedensit`adiprobabilit`acongiuntadellevariabilialea-torieXioltre che la valutazione di integrali multipli.Alle relazioni sopra riportate possono sostituirsi delle espressioni approssimateottenibiliespandendoinserielafunzionef (X1, X2...Xn). Pertaliespressionisi rimanda a [1].2.2 Processialeatori2.2.1 DescrizioneprobabilisticadeiprocessialeatoriLa variabile aleatoria, introdotta nel paragrafo precedente, descrive, secondo leleggi della probabilit`a, un evento aleatorio non dipendente dal tempo. In moltiproblemi ingegneristici si `e in presenza di eventi aleatori dipendenti dal tempo,quali le forze indotte dal vento, laccelerazione del terreno dovuta ad un terre-moto, ecc.In questi casi la variabile aleatoria dipende dallistante di osservazione e costi-tuisceunavariabilealeatoriadipendentedal tempo. Talefunzione`enotainletteratura col nome di processo aleatorio.Pi` u in generale si denisce processo aleatorio o stocastico monodimensionale unafunzione aleatoria dipendente da un parametro deterministico. Nella Dinamicastrutturale tale parametro si identica col tempo.Talvolta la variabile aleatoria dipende da pi` u parametri deterministici, in questocasoilprocessoaleatorio `edettomultidimensionale. Nelseguitosifar`aquasiesclusivo riferimento a processi aleatori monodimensionali.Inletteraturaunprocessoaleatoriovieneindicatooconunaletterarac-chiusa tra parentesi grae (ad esempio {x(t)}) o con una lettera maiuscola (adesempioX (t)). Nel seguito si adotta questultima convenzione.Levarieregistrazioni, dettecampioni del processoaleatoriovengonoindicateconX(r)(t)(r = 1, 2...).Linsiemedellecoordinatedei campioni del processoaunistantessatot1,X(r)(t1)(r =1, 2...) costituisconole realizzazioni dellavariabile aleatoriaX(t1) alla quale pu`o esere applicata la teoria probabilistica delle variabili alea-torie.Un processo aleatorioX(t) `e detto a parametro discreto o continuo a secondacheil parametrotappartengaadundominiodiscretoocontinuo. Leazionidel vento o del terremoto sulle strutture sono di solito rappresentate medianteprocessi aleatori continui.Fissato un tempo t1, `e possibile estrarre dal processo una variabile aleatoriaX(t1)=X1. Aciascunadellevariabili aleatorieestraibili dal processosonoassociate una funzione distribuzione cumulativa di probabilit`a ed una funzioendensit`a di probabilit`a cos` deniteFX1 (x1) = P [X1 x1] = P [X (t1) x1]pX1 (x1) =x1FX1 (x1)(2.31)30 DinamicaaleatoriaPer una caratterizzazione probabilistica pi` u completa del processo aleatoriooccorre estrarre dal processo continuoX(t) variabili aleatorie in diversi istantidi tempot1, t2...ts. Collezionando tali variabili in un vettore Xsdi ordines siperviene alla variabile aleatoria multidimensionaleXs = [X (t1) X (t2) ... X (ts)]T= [X1X2... Xs]T(2.32)La descrizione probabilistica di tale vettore segue le regole gi`a descritte nelparagrafo precedente.Nel casodi processi aleatori continui, poicheinnitesonoleposssibili va-riabili estraibili dal processoX(t), ladescrizioneprobabilisticarisultaesserecompleta solo quandos tende allinnito.2.2.2 MedieatempimultipliecorrelazioniLa caratterizzazione di un processo aleatorio risulta completa se `e nota la fun-zione densit`a di probabilit`apXs(xs) o la funzione caratteristicaMXs(s) consche tende allinnito.Lostessoprocessopu`oesseredenitocompletamentesesononoti i vettorimj [Xs] e kj [Xs] cons che tende allinnito.Questi ultimi vettori, di ordinesj, hanno per elementi i momenti e i cumulan-ti di ordinej dellevariabili aleatorieX1=X(t1), X2=X(t2)...Xs=X(ts)estratte dal processo.Per comprendere appieno il signicato delle quantit`a introdotte, si conside-rinoleduevariabilialeatorieX1=X(t1)eX2=X(t2)estrattedalprocessoX(t) agli istantit1et2.Il vettoredeimomentidelsecondoordinedelle due variabili aleatorieX1, X2:m2 [X2] = m2 [X1, X2] `e esprimibile in forma esplicita come seguem2 [X2] = E_X[2]2_ = _E_X21E[X1X2] E[X2X1] E_X22_T(2.33)Gli elementi di m2 [X2] sonoricavabili dallafunzione E[X(tk)X(tl)] =E[XkXl] conk, l =1, 2cherappresentalamediastocasticatraduevariabilialeatorie estratte dal medesimo processo e valutate agli istantitketl. Quantotk = tlla funzione E[XkXl] `e detta media a tempi multipli del secondo ordine.Nel caso bidimensionale tale media pu`o essere denita come segueE[XkXl] = limN1NN

i=1_X(i)(tk) X(i)(tl) == _+_+xkxlpxkxl (xk, xl) dxkdxlk = 1, 2; l = 1, 2; k = l(2.34)nella qualeX(i)(tk) eX(i)(tl) sono, rispettivamente, lei-esime realizzazionidelle variabili aleatorieX(tk) eX(tl).In modo analogo `e possibile denire il vettore dei momenti del terzo ordine dellavariabile aleatoria bidimensionale X2. Tale vettore nella forma seguentem3 [X2] = E_X[3]2_(2.35)2.3Processialeatorigaussianistazionari 31Unavoltavalutatelemedieatempimultipli `epossibiledenireilvettorek2 [X2] che, nel caso in esame, assume la forma seguentek2 [X2] = k2 [X1, X2] =E_X21(E[X1])2E[X1X2] E[X1] E[X2]E[X2X1] E[X2] E[X1]E_X22(E[X2])2(2.36)Si denisconocorrelazioni del secondoordinedel processoaleatorioX(t)iseguenti elementi del vettore k2 [X2]k2 [Xk, Xl] = R(2)X(tk, tl) = limN_1NN

i=1X(i)(tk) X(i)(tl) XN (tk)XN (tl)_ == E[X (tk) X (tl)] X (tk) X (tl)k = 1, 2; l = 1, 2; k = l(2.37)nella quale si `e indicato conXN(tj), j = k, l la seguente media aritmeticaXN (tk) =1NN

i=1X(i)(tk) (2.38)Sesi ponek=l nella2.37si ottienelavarianzamarginaledel processoaleatorioX(t).Nel caso pi` u generale i momenti di ordine j della variabile aleatoria multidi-mensionale Xs, estratta dal processo X(t), costituiscono gli elementi del vettoremj [Xs]. Tali elementi possono essere derivati dalla funzione caratteristica.In modo analogo gli elementi del vettore kj [Xs] rappresentano i cumulanti mar-ginali o le correlazioni di ordine j della variabile aleatoria multidimensionale Xs.Tali elementi possono essere derivati dalla log-funzione caratteristica.Per i dettagli su queste relazioni si rimanda a [1].2.3 ProcessialeatorigaussianistazionariUnprocessoaleatorio`edettogaussianoonormale setutti i cumulanti elecorrelazioni di ordine superiore al secondo sono nulli. In tal caso il processo `epienamente individuato qualora si conoscano, per ogni coppia di istantitketl,le seguenti funzioni deterministicheX (tk) = E[Xk] ; (2)X(tk, tl) = E[XkXl]R(2)X(tk, tl) = E[XkXl] E[Xk] E[Xl](2.39)Poich`e, per i processi aleatori gaussiani stazionari, sono nulle tutte le corre-lazioni di ordine superiore al secondo e le medie a tempi multipli di qualunqueordine dipendono dalle prime due, per un processo aleatorio gaussiano la debolestazionariet`a coincide con la forte stazionariet`a. Tale processo `e quindi denitoin modo completo dalle seguenti quantit`a32 DinamicaaleatoriaE[X (ti)] = X= costanteR2X (tk, tl) = R2X (tltk) = R2X ()(2.40)Ne segue che, per una completa descrizione probabilistica del processo alea-torio gussiano, occorre conoscere un numero (la media) e una funzione determi-nistica di una sola variabile (la correlazione del secondo ordine).2.3.1 FunzionidiautocorrelazioneSi vuol dare uninterpretazione sica alle due funzioni denite nella 2.40.La costanza della media esprime il fatto che ai vari istanti di tempot1, t2... lamedia delle variabili aleatorie estratte dai vari campioni `e sempre la stessa.La dipendenza della correlazione del secondo ordine dal solo parametro, qua-lunquesialistanteti, esprimelasimilarit`atrail processoX(t)edil medesi-moprocessotraslatodi . Lacorrelazionedel secondoordinedi unprocessoaleatorio gaussiano stazionario `e una funzione pari, per cui si haR(2)X() = R(2)X() (2.41)In generale al crescere di la correlazione tra X(t) e X(t +) decresce. Ci`o`e attribuibile al fatto che il processo aleatorio allistantet +tende a dimenti-care il valore assunto allistante t, per cui la correlazione del secondo ordine pi`oessere interpretata come una misura della memoria del processo aleatorio.Tranne in casi particolari, come quelli di processi aleatori a correlazione cosinu-soidale, la funzione di correlazione tende a zero per || e assume in= 0il suo valore massimo, che `e pari alla varianzaR(2)X(0) = E_X2(t)(E[X (t)])2= 2X(2.42)Nel seguito, per processi aleatori gaussiani stazionari, si indicher`a con Xlamedia e conRX() la funzione di correlazione del secondo ordine, meglio notacome funzionediautocorrelazionedel processoX(t). Ne segue che `e possibilescrivere le seguenti relazioniX= E[X (t)]RX () = R(2)X() = E[X (t) X (t +)] E[X (t)] E[X (t +)] = (2)X() 2X(2.43)nella seconda delle quali si `e indicata con(2)X() la media a tempi multiplidel secondo ordine.Dalle denizioni precedenti si ricava che la funzione densit`a di probabilit`a con-giunta tra due istanti tk e tl del processo aleatorio stazionario, tali che tltk = ,`e data dapXkXl (xk, xl; tk, tl) = pXkXl (xk, xl; ) =122X12X()exp_(xkX)2+(xlX)22X()(xkX)(xlX)22X(12X())_(2.44)2.3Processialeatorigaussianistazionari 33dove la funzioneX () =RX ()2X(2.45)prende il nome di funzione di autocorrelazione normalizzata.Si noti che per= 0 la media a tempi multipli del secondo ordine coincideconil valorquadraticomedio(2)X(0)=2X. Inoltre, poichein =0si haRX(0) = 2X, ne segue che, per= 0, la funzione di autocorrelazione normaliz-zata assume il valore unitario,X(0) = 1.2.3.2 Densit`aspettraledipotenzaoautospettroSi denisce densit`a spettarle di potenzao anche autospettro di un processogaus-siano stazionarioX(t) la seguente funzioneSX () =12_+RX ()eid (2.46)cherappresentalatrasformatadiFourierdi RX(), qualorasiadotti, perquesta tasformata, la denizione n. 2 di tab. 14.1 di [4].In questo caso lantitrasformata di Fourier assume la formaRX () =_+SX ()eid (2.47)Lesistenza della 2.46 `e garantita dal soddisfacimento di questa relazione_+|RX ()|d< (2.48)Tenendo presente la relazioneei= cos () i sin ()la relazione 2.46 pu`o essere scritta nella formaSX () =12_+RX () cos () d i2_+RX () sin () d (2.49)Poiche RX() `e una funzione pari, come cos(), mentre sin() `e una fun-zione dispari, il secondo integrale della 2.49 `e nullo. Pertanto la funzione den-sit`a spettrale risulta una funzione pari e pu`o valutarsi attraverso la cosiddettatrasformata-cosenodella funzione di autocorrelazioneSX () =12_+RX () cos () d ; SX () = SX () (2.50)in modo analogo si pu`o dimostrare che la funzione di autocorrelazione pu`ovalutarsi con la relazione34 DinamicaaleatoriaRX () =_+SX () cos () d (2.51)nella quale, ponendo= 0, `e possibile determinare la varianza2X2X= RX (0) =_+SX ()d (2.52)Nel dominio del tempo le uniche quantit`a utili a caratterizzare da un puntodi vistaprobabilisticounprocessoaleatoriogaussianosonolamediaXelafunzione di autocorrelazioneRX().Tenendo conto del legame tra la funzione di auocorrelazione e la funzione densit`aspettrale di potenza si deduce che un processo aleatorio gaussiano stazionario `epienamente caratterizzato,nel dominio della frequenza,dalla conoscenza dellamediaXe dalla funzione densit`a spettrale di potenza, o autospettro,SX().2.3.3 Interpretazioneenergeticadelladensit`aspettraledipotenzaAl ne di fornire uninterpretazione energetica della funzione densit`a spettraledi potenza, si ricorda che se x(t) indica la registrazione di una funzione determi-nistica reale di durata tf(che potrebbe essere, per esempio, un accelerogramma.la risposta di un oscillatore elementare, ecc.)si denisce energia della funzionex(t) la seguente grandezzaEx (tf) = _tf0x2(t)dt (2.53)nella quale la costante di proporzionalit`a `e di dimensioni tali che il secondomembro della 2.53 abbia eettivamente le dimensioni di unenergia.Si ricorda,inoltre,che una funzione `e detta periodica se si ripete identica-mente dopo un determinato intervallo temporale Tp, detto periodo della funzio-ne.Unafunzioneperiodicapu`oessererappresentatadallaserietrigonometicadiFourierx(t) =12a0 +

k=1[ak cos (kpt) +bk sin (kpt)] (2.54)doveak =2Tp_+Tp/2Tp/2x(t) cos (kpt) dt ; bk =2Tp_+Tp/2Tp/2x(t) sin (kpt) dt(2.55)Nelle precedenti relazionip = 2/Tp `e la cosiddetta pulsazione fondamen-taleofrequenzacircolarefondamentaledellafunzioneperiodicax(t); lealtrepulsazioni (o frequenze circolari) sono multiple della fondamentale.Il generico termine della sommatoria viene detto armonica k-madella funzioneperiodidax(t); icoecienti akebksonodettelelecomponentidellarmonica2.3Processialeatorigaussianistazionari 35k-maelapulsazione(ofrequenzacircolare)kprappresentalapulsazione(ofrequenza circolare) di tale armonica.Il terminea0 `e detto componente continua o costante.Sostituendo la 2.54 nella 2.53 `e possibile, a meno della costante, determi-nare lenergia della funzione periodica, nel periodoTp,Ex (Tp) = Tp_a204+

k=1a2k +b2k2_(2.56)Dalla2.56si deducechelenergiadi unafunzioneperiodicanellintervallo[nTp, (n +1)Tp] `e somma delle energie associate alal componente continua (ter-mine Tpa20/4) e alle frequenze delle varie armoniche (termini Tp(a2k+b2k)/2perk 1). Ne segue che lenergia di una funzione periodica `e una quantit`a nita in unperiodo ,a risulta innita nellintervallo temporale (, +).Per rappresentare gracamente lenergia associata alle varie frequenze, mul-tiplediquellafondamentale, si introduce, inanalogiaallOttica, loSpettrodienergia della funzione periodica. In Fisica, per spettro si intende ogni suddivi-sione di una radiazione elletromagnetica nelle varie componenti.Le ordinate dello spettro di energia di una funzione periodica sono date dalle-nergia, nel periodoTp, associata alle varie frequenze in cui `e stata decomposta,con la serie di Fourier, la funzione periodica.In alternativa si preferisce talvolta rappresentare lenergia della funzione nellu-nit`a di tempo. Tale quantit`a, pari dimensionalmente al rapporto tra unenergiae un tempo, `e nota in Fisica col nome di PotenzaSx (Tp) =Ex (Tp)Tp=a204+

k=1a2k +b2k2(2.57)Ciascun termine della 2.57 rappresenta quindi il contributo alla potenza to-tale della funzione periodica da parte del corrispondente termine dello sviluppoin serie di Fourier.La rappresentazione graca di tali termini, in funzione delle frequenze delle va-rie armoniche, costituisce lo spettro di potenzadella funzione periodicax(t).Selafunzione x(t) `eunafunzionenonperiodica, sesonosoddisfattelecondizioni di Dirichlet, `e possibile esguirne la trasformata (integrale) di FourierX () =_+x(t)eitdt =_+x(t) [cos (t) i sin (t)] dt (2.58)Il modulo della trasformata di Fourier dix(t) `e dato daCx () = |X ()| = _X () X() =_(Re {X ()})2+ (Im{X ()})2(2.59)Unavoltadenitalatrsaformatadi Fourier, si pu`odimostrarechelener-giadellafunzione, nellintervallodi tempoindenito(, +), `e datada(uguaglianza di Parseval )36 DinamicaaleatoriaEx =2_+C2x ()d (2.60)Dalla2.60 sideduceche,se esiste latrasformtadiFourierdi unafunzionecontinua, questultima risulta avere energia nita.Inoltre, C2x()drappresenta, amenodi /2, il contributodatoallenergiatotaledellafunzionedapartedellarmonicadellatrs`asformatadi Fourierdix(t) la cui pulsazione `e contenuta tra e + d; ne segue che, a meno di unacostante dimensionale, C2x() rappresenta lo spettro dellenergia specica, dettoanche densit`a spettrale di energiadella funzionex(t).La densit`a spettrale di energia descrive quindi il contenuto in energia specicadella funzione x(t) alle varie frequenze. Il diagramma della radice quadrata del-lenergiaspecica |X()| =Cx()caratterizzailcosiddettospettrodiFourierdi una funzione continua.Lordinatadellospettrodi Fourierdi unafunzionecontinuaaunacertafre-quenza `e legata al contenuto di energia che la stessa funzione possiede a quellafrequenza.Esistonoquindi leseguenti dierenzetralarappresentazionespettralediunafunzione(deterministica)periodicaenonperiodica, denitenel dominio(, +)1. le funzioni periodiche, al contrario di quelle non periodiche, possiedonouno spettro discontinuo;2. per la funzioni periodiche lenergia totale `e nita in un periodoTp,mentre `e innita nellintevallo di tempo (, +); conseguentemente `epi` u opportuno rappresentare le propriet`a spettrali di tali funzioniattraverso lo spettro di potenza denito dalla 2.57;3. per le funzioni continue non periodiche, che possiedono trasformata diFourier, lenergia totale `e nita, per cui `e possibile rappresentare lepropriet`a spettrali di tali funzioni o medinate la densit`a spettrale dienergiaC2x() o attraverso lo spettro di Fourier |X()| = Cx().Si consideri adessounprocessoaleatoriostazionarioamedianullaX(t).Taleprocessopu`oconsiderarsicomelinsiemediinniticampioniaventivalormedio e valor quadratico medio costanti (indipendenti dat).Lenergia di un processo stazionario, pari alla media stocastica delle energie deisingoli campioni, pu`o valutarsi, in accordo con la 2.60, come segueEX= E__+x2(t) dt_ = _+2X (t) dt =2E__+|X ()|2d_ = +(2.61)Dalla 2.61 si evince che, essendo costante il valor quadratico medio2Xdelprocesso stazionario, un processo stazionario possiede energia innita.Nella relazione 2.61 la quantit`aE_|X()|2_/2rappresenta lenergiaspeci-ca(o densit`aspettraledienergia) del processo aleatorioX(); E_|X()|2_drappresenta, amenodi /2, ilcontributoallenergiatotalefornitodaquelel2.3Processialeatorigaussianistazionari 37componenti del processo aleatorio con pulsazione compresa tra e + d.Nella Dinamica Aleatoria si preferisce rappresentare gracamente la potenzaspecicaodensit`aspettraledi potenzadi unprocessoaleatoriopiuttostochelenergia specica. Pertanto, introdotta la trasformata nita di Fourierdi X(t)nellintervallo (T, +T)X (, T) =_+TTX (t) eitdt (2.62)ladensit`aspettraledipotenza, dimensionalmenteparialrapportotrale-nergia specica e un tempo, si denisce come segueSX () =limT12T_2E[|X (, T)|]2_ =2limT12T E[|X (, T)|]2(2.63)2Trappresenta lintervallo temporale in cui sono deniti i campioni del pro-cesso aleatorio stazionerioX(t).Si pu`odimostrarechelafunzioneSX()`esemprepositivaecoincideconlatrasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione del processo aleatoriostazionario, denita nella 2.46.Una volta introdotta la densit`a spettrale di potenza SX(), `e possibile valutarela potenza totale del processo aleatorio stazionario sommando tutti i contributiSX()d.In accordo con la 2.52 la potenza totale di un processo aleatorio stazionario hapotenza totale nita quando tale processo possiede varianza nita.La densit`a spettrale di potenzaSX() `e una funzione continua che caratte-rizza i processi aleatori stazionari, i quali posseggono, come i segnali periodici,energia totale innita. Pertanto,in analogia ai segnali periodici,alla funzioneSX()vienespessodatoilnomedispettrodipotenza. Taledenominazione `eimpropria poiche lo spettro di potenza rappresenta la potenza nita (e non quel-laspecica)cheposseggonoi segnali periodici allevariefrequenze. Tuttavia,poich`e tale denominazione `e largamente impiegata nelle normative nazionali edinternazionali, nel seguitoi termini spettrodi potenzaedensit`aspettraledipotenza saranno spesso impiegati come sinonimi.2.3.4 Classicazionedei processi gaussiani stazionari at-traversolaformadelladensit`aspettraledipotenzaSidenisce densit`aspettraledipotenzaunilaterale(oanchespettrodipotenzaunilateralela seguente funzioneS

X () =_2SX () 0 < 0 < 0(2.64)Sidenisconomomentispettrali (denizionediVanmarke)i,Ximomentidella densit`a spettrale di potenza unilaterale rispetto allasse = 0i,X=_+0iS

X ()d i = 0, 1... (2.65)38 Dinamicaaleatoria0,X= 2X(2.66)Il parametro adimensionaleqXdenito daqX=1 21,X0,X1,X(2.67)`e compreso tra 0 e 1 e cresce al crescere della banda della densit`a spettraledi potenza.Un valore piccolo di qXcaratterizza una densit`a spettrale di potenza a bandastretta; unvaloregrandestaadindicareunadensit`aspettraledi potenzaabanda larga.In letteraturaqX`e chiamato parametro della larghezza di banda dello spettro dipotenza unilaterale.2.3.5 Particolariprocessialeatoristazionariamedianullaa)ProcessoaleatoriosinusoidaleX(k)(t) = Asin_0t +(k)_(2.68)Si fa lipotesi che la variabile aleatoria abbia densit`a uniforme nellinter-vallo [0, 2]p () =120 2 (2.69)Valgono le seguenti relazioniRX () =A22cos (0) (2.70)SX () =A24[ ( +0) + ( 0)] (2.71)S

X () =A22[ ( 0)] ; i,X= i00,Xi (2.72)Per le 2.67 e 2.72,qX= 0.b)ProcessoaleatorioabandastrettaLa densit`a spettrale `e diversa da zero soltanto in un campo limitato di frequenzadi ampiezzaB = |21| con pulsazione centralec = (1 +2)/2.Si parladi processo aleatorio ideale a banda stretta se vale laseguenterelazioneSX () =_S01 || 20 altrove(2.73)Valgono le seguenti relazioni2.3Processialeatorigaussianistazionari 39RX () =2S0[sin (2) sin (1)] (2.74)2X= 2S0 (21) (2.75)qX=B_122c +B2(2.76)c)ProcessoaleatorioabandalargaSe la densit`a spettrale `e denita dalla seguente relazioneSX () =_S0|| B0 || > B(2.77)il processo `e detto processo aleatorio ideale a banda larga.Valgono le seguenti relazioniRX () = 2S0B_sin (B)B_(2.78)qX=12(2.79)d)ProcessoaleatoriobiancoLa densit`a spettrale `e costante a tutte le frequenze e pari aSW.Valgono le seguenti relazioniRX () = 2SW () (2.80)Ovviamenteper taleprocessoil parametroqXassumeil seguentevaloreqX= 1.e)ProcessialeatorisinusoidalididuratanitaUn processo aleatorio stazionario `e, per denizione, di durata innita. Ognunodei campioni estratti dal processohaquindi duratainnita. Tuttavia, nellapratica, si esguono registrazioni in un intervallo di tempo nito [0, tf].Se il processo aleatorio `e di tipo sinusoidale, il generico campione `e dato dallarelazioneX(k)(t) =_Asin_0t +(k)_0 t tf0 t < 0 e t > tf(2.81)Valgono le seguenti relazioniRX () =A22cos (0) || tf(2.82)SX () =A24_+tftfcos (0) cos () d A24_sin((0)tf)0+sin((+0)tf)+0_(2.83)40 Dinamicaaleatoria2.3.6 Ergodicit`adiprocessialeatoristazionariNellambitodellattivit`asperimentalesuiprocessialeatori `eimportanteveri-care se `e possibile estrarre le quantit`a statistiche di un processo aleatorio ana-lizzando una singola registrazione. Se ci`o `e vericato il processo aleatorio si diceergodico. Un processo aleatorio ergodico `e anche stazionario.Dato un campioneX(j)(t) del processo aleatorio ergodicoX(t), si deniscemedia stocastica nel tempodel processo la seguente quantit`af_X(j)(t) =limT12T_+TTf_X(j)(t)_dt (2.84)Un processo aleatorio `e detto ergodico di qualunque ordinese `e soddisfatta,con prabilit`a uno, la seguente relazionef_X(j)(t) = E_f_X(j)(t)__(2.85)Un processo aleatorio X(t) `e ergodico in media se `e vericata, con probabilit`auno, la seguente relazioneE_X(j)(t)_ =limT12T_+TTX(j)(t) dt = X(2.86)UnprocessoaleatoriostazionarioX(t)`edettoergodiconellafunzionediautocorrelazionese `e soddisfatta, con probabilit`a uno, questa relazioneE_X(j)(t) X(j)(t +) =limT12T_+TTX(j)(t) X(j)(t +) dt == E[X (t) X (t +)] = RX () +2X(2.87)Capitolo3Adabilit`astrutturalediunsistemaeccitatoinmodoaleatorio3.1 Introduzionealladabilt`astrutturale3.1.1 AzionistaticheNellavisioneprobabilisticadel progettostrutturaleoccorremodicareletec-niche di verica tradizionali introducendo, in alternativa al coeciente di sicu-rezza, il livello di adabilit`adella struttura, che consiste nel denire un valoreaccettabile della probabilit`a che la resistenzaR di un qualsiasi elemento costi-tuente la struttura sia maggiore della corrispondente sollecitazioneSagente sudi esso.E noto, infatti, cheil dimensionamentodi unastrutturanascedal confrontotra la sollecitazioneSlegata alle azioni esterne agenti su un generico elementostrutturale e la resistenzaR del materiale utilizzato per costruirlo.Nel caso in cui le azioni incerte sono ipotizzate indipendenti dal tempo e alme-nounadellevariabili SedR`eunavariabilealeatoria, `epossibiledenirelaprobabilit`a di successoPS(o adabilit`aA) e la probabilit`a di crisi Pc mediantele seguenti relazioniPs = A = P [S R] ; Pc = 1 Ps = P [S> R] (3.1)Si osservi che seSedR sono delle variabili aleatorie denite dalle funzionidensit`a di probabilit`a pS(s) e pR(r) accade in generale che queste presentino unazonaincomunepercuiesisteunaprobabilit`anonnullachesiabbianovaloridella sollecitazione superiori a quelli della resistenza.Nel casodi statodi sollecitazionemonodimensionaleunmodosemplicepervalutare il livello di adabilit`a strutturale `e quello di introdurre una variabilealeatoriaE, cherappresenti lesitodellavericadi sicurezza; peresempiosipu`o utilizzare il margine di sicurezza, denito come la dierenza tra resistenzae sollecitazione42 Adabilit`astrutturalediunsistemaeccitatoinmodoaleatorioE = R S (3.2)Ne segue che `e possibile caratterizzare la probabilit`a di successo nella formaseguentePs = P [E 0] = A (3.3)Se`enotalafunzionedensit`adi probabilit`adellavariabilealeatoriaE, laprobabilit`a di successo `e pari allarea sottesa da tale densit`a per valori positividiEPs = A =_+0pE (e) de = 1_0pE (e) de = 1 FE (0) (3.4)nella qualeFE(e) `e la funzione distribuzione di probabilit`a diE.Dalla 3.2 si deduce che la variabile aleatoriaE`e una combinazione linearedelle variabili aleatorieR edS; ne segue che, in accordo alle leggi di trasforma-zione di variabili aleatorie, la densit`a di probabilit`a di E, nel caso pi` u frequentein cui R ed S sono statisticamente indipendenti, si pu`o determinare come seguepE (e) =_+pRS (s +e, s) ds =_+pR (s +e) pS (s) ds (3.5)in cuipRS(r, s) `e la densit`a di probabilit`a congiunta diR edS.Se le variabili aleatorieR edS, oltre ad essere indipendenti, sono gaussiane, ladensit`a di probabilit`a della variabile aleatoriaEsar`a anchessa gaussiana, convalor medioE = RSe varianza2E = 2R +2S. In questo caso, poicheE`e gaussiana, si pu`o determinareFE(0) in forma chiusaFE (0) =12E_0exp_12_EE_2_d ==12_0exp_12_

EE_2_d

(3.6)Dallesame della 3.6 si deduce che la probabilit`a di successo `e funzione delrapportoA = E/E, che `e noto in letteratura come indice di adabilit`a.Considerazioni analoghe possono farsi per stati di sollecitazioni multidimensio-nali.Se una delle due variabiliR oS `e deterministica e quindi caratterizzata daun corrispondente valore nominaleRNoSN(che deniscono, rispettivamente,valori prevedibili minimi perlaresistenzaemassimi perlasollecitazione), laprobabilit`a di successo si pu`o porre rispettivamente in una delle forme seguentiPS = P [S RN] ; PS = P [R SN] (3.7)Tenendo presente le denizioni delle funzioni densit`a e distribuzione di pro-babilit`aevalutandotalifunzioniperlavariabilealeatoriaSnelprimocasoeper la variabile aleatoriaR nel secondo caso, si perviene a3.1Introduzionealladabilt`astrutturale 43PS =_RNpS (s)ds = FS (RN) ; PS =_+SNpR (r)dr = 1 FR (SN)(3.8)Se ambedue le variabili R ed S sono deterministiche, deniti i valori nominaliRNedSN, si ha la certezza del successo quandoRN SNe la certezza dellacrisi seSN> RN.3.1.2 AzionidinamicheNel casodi azioni dinamiche`enecessarioinnanzi tuttodenireunintervallotemporale [0, T] nel quale interessa conoscere la probabilit`a di successo. In taleintervallo, che potrebbe anche essere illimitato, la crisi della struttura pu`o aversi,per esempio:per il raggiungimento di una sollecitazione corrispondente valore limitein un dato elemento strutturale;per accumulo di danno (nel caso di carichi ciclici di intensit`a tale daprodurre la rottura per faticadi uno o pi` u elementi strutturali);per la progressiva degradazione delle propriet`a meccaniche dei materialistrutturali (in particolare nel caso di ambienti particolarmenteaggressivi);per collasso incrementale, con la trasformazione della struttura, o di unasua parte, in un cinematismo.Per semplicit`a si limiter`a lanalisi al criterio di verica basato sul confronto,per un generico elemento strutturale, tra sollecitazione massima e resistenza li-mite.Per applicare tale criterio, tra laltro il pi` u frequente nella pratica ingegneristica,`e necessario confrontare il generico processo risposta strutturaleX(t) (che po-trebbe essere il processo di spostamento U(t) di un certo nodo della struttura, ilgenerico processo sollecitazioneS(t) in un assegnato elemento strutturale, ecc.)con la corrispondente reisistenza limite B> 0 (la quale pu`o essere una variabileo aleatoria o deterministica) nellintervallo temporale di osservazione [0, T].Pertanto, nel caso di processi aleatori di risposta strutturale monodimensionali,laprobabilit`adisuccesso(oadabilit`a)dellelementostrutturalesottoesamesi denisce come seguePS (T, B) = A(T, B) = P [|X (t)| B; 0 t T] = P [Xmax (t) B] (3.9)Xmax(t), chesar`aindicatonel seguitocomepiccomassimoassolutodellarisposta, `e cos` denitoXmax (T) =max0tT{|X (t)|} (3.10)Si noti che, nel casodi processi aleatori monodimensionali, il dominiodisicurezza `e compreso tra le due barriere B e +B; nel seguito tale dominio sar`a44 Adabilit`astrutturalediunsistemaeccitatoinmodoaleatorioindicato come barriera bilaterale B.Nel caso di processi aleatori multivariati X(t) il dominio di successo `e denitodauninsiemeDcontenutonellospaziorealeaventelestessedimensioni delvettore X(t). In questo caso la probabilit`a di successo, nellintervallo temporale[0, T], va denita, in forma simbolica, come seguePS (T, D) = P [X(t) D; 0 t T] (3.11)Nella trattazione seguente si valuter`a la probabilit`a di successo nel caso diprocessi rispostaaleatori monodimensionali. Atalescopo`enecessariodeter-minare le funzioni densit`a e distribuzione di probabilit`a del processo aleatorioXmax(T) che pu`o essere pensato come una funzione aleatoria continua del parta-metro deterministicoT. La drivata rispetto aTdel processoXmax(T) `e inveceun processo aleatorio discontinuo ([1]).3.2 Numero medio di attraversamenti di una da-ta barriera da parte di un processo aleatorio3.2.1 FormulazioneteoricaIl numeromediodi attraversamenti di unadatabarrierabilateralepmbdter-ministicadapertedi unprocessoaleatoriorispostaX(T)staallabasedelleformulazioni semi-analitiche per il calcolo della funzione distribuzione di proba-bilit`a del picco massimo assoluto di tale processo aleatorio.Si osservi, innanzi tutto, che un attraversamento con pendenza positiva dellabarriera positiva unilaterale deterministica di livello b avviene in un certo istantet se si ha contemporaneamenteX(t) = b eX(t) > 0.Si pu`o dimostrare che,pertali processi,lespressionedel numeromediodiat-traversamenti con pendenza positiva della soglia b nellunit`a di tempo N+X(b; t),dimensionalmente pari allinverso di un tempo, `e dato dalla seguente espressioneN+X (b; t) =_0 xpXX (b, x; t)d x (3.12)Nel caso di processi stazionari,tenendo conto che la densit`a di probabilit`acongiunta non dipende dat, si haN+X (b; t) = N+X (b) =_0 xpXX (b, x)d x (3.13)Se i processiX(t) eX(t) sono indipendenti le 3.12 e 3.13 assumono, rispet-tivamente, le forme seguentiN+X (b; t) = _0 xpX (b; t)pX ( x; t) d x = pX (b; t)_0 xpX ( x; t) d xN+X (b) = pX (b)_0 xpX ( x)d x(3.14)Una volta determinato N+X(b; t) `e possibile denire la quantit`a adimenionaleN+X(b; t)numeromediodiattraversamenticonpendenzapositivanellinterval-3.2Numeromediodiattraversamentidiunadatabarrieradapartediunprocessoaleatorio 45lotemporale[0,T] dellabarrieraunilateraleb. Talequantit`asi ricavainte-grando le 3.12 - 3.14 nellintervallo [0, T] ottenendo le seguenti relazioni, validerispettivamente per processi non stazionari e stazionariN+X (b; T) =_T0N+X (b; T) dt ;N+X (b; T) = N+X (b) T (3.15)Si pu`odimostrarecheil numeromediodi attraversamenti conpendenzanegativa della barriera unilaterale -b nellunit`a di tempo `e pari aNX (b; t) = _0 xpXX (b, x; t)d x (3.16)Il numeromediodi attraversamenti totali conpendenzasiapositivachenegativa della barriera unilaterale b nellunit`a di tempo `e dato daNX (b; t) = N+X (b; t) +NX (b; t) =_+| x| pXX (b, x; t)d x (3.17)Nel caso di barriera bilaterale b deterministica, il numero medio nellunit`adi tempoNX(b; t) di escursioni del processo aleatorioX(t) dal dominio di sicu-rezza b X(t) b `e pari alla somma del numero medio nellunit`a di tempoN+X(b; t)diattraversamentidellabarrieraunilaterale+bconpendenzapositi-va pi` u il numero medio nellunit`a di tempoNX(b; t) di attraversamenti dellabarriera unilaterale b con pendenza negativa e coincide con il numero medionellunit`adi tempoN+|X|(b; t)di attraversamenti dellabarrieraunilaterale+bda parte del processo aleatorio |X(t)|NX (b; t) = N+X (b; t) +NX (b; t) = N+|X|(b; t) (3.18)3.2.2 Numero medio di attraversamenti per processi gaus-sianiamedianullaSi pu`o dimostrare che, per processi gaussiani a media nulla, il numero medio diattraversamenti nellunit`a di tempo con pendenza positiva di una data barrierab `e dato, nei casi stazionario e non stazionario, rispettivamente, dalle seguentirelazioniN+X (b) =12XXexp_b222X_N+X (b; t) =12X(t)X(t)_1 2XX (t) exp_b222X(t)__exp_12_12XX(t)__XX(t)bX(t)__ ++_2_12XX(t)_XX(t)bX(t)__1 + erf__1_2_12XX(t)_XX(t)bX(t)_______(3.19)46 Adabilit`astrutturalediunsistemaeccitatoinmodoaleatorioPonendob =0nelle3.19si ottieneil numeromediodi attraversamenti,nellunit`adi tempo, dellassetemporaleconpendenzapositiva, che, nei casistazionario e non stazionario, valgono rispettivamenteN+X (0) = +X=12XX; N+X (0; t) = +X (t) =X (t)_1 2XX (t)2X (t)(3.20)Il numero medio di attraversamenti del processo aleatorio X(t) della barrierabilaterale b nellunit`a di tempo `e dato daNX (b; t) = N+|X|(b; t) = 2N+X (b; t) (3.21)Nel caso stazionario, il numero medio di attraversamenti dellasse dei tempicon pendenza positiva `e dimensionalmente pari ad una frequenza e pu`o essereinterpretato comela frequenza mediadel processo aleatorioX(t). Il suo inversopu`o essere denominato periodo medio o equivalentedel prcessoX(t).Tali considerazioni valgono anche per il caso non stazionario ma, in questo caso,la frequanza media varia con il tempo.Se il processo aleatorio X(t) coincide con la risposta di un oscillatore elementaredi pulsazionenaturale 0(frequenza 0=0/(2); periodoT =1/0) lafrequenza media ed il periodo medio coincidono con la frequenza ed il periododelloscillatore elementare.3.3 Istantediprimopassaggiodiunadatabar-riera bilaterale da parte di un processo alea-torio3.3.1 ConsiderazionigeneraliSi denisceistantedi primopassaggio T1(b) di unadatabarrierabilateraledeterministica b, dapartedel processoaleatorioX(t), quellistanteincui ilprocesso |X(t)| per laprimavoltasuperail livellob. T1(b)`eunavariabilealeatoria associata aX(t).Il problema del primo passaggio `e di estrema importanza per denire il livellodi adabilit`a di una struttura o di un elemento strutturale. Infatti `e possibiledenirelaprobabilit`adi successocomelaprobabilit`achelistantedi primopassaggioT1(b) sia successivo al tempo di osservazioneTdel processo aleatorioPs (T, b) = A = P [T1 (b) T] (3.22)Allo stato attuale non esistono soluzioni in forma esatta di questo problemamasolosoluzioni approssimatechesi basanosualcuneipotesi semplicative.Nel seguito saranno descritte le due formulazioni pi` u utilizzate.3.3.2 IpotesidiattraversamentiindipendentidellasogliaSi prenda come riferimento un processo aleatorio stazionario a media nulla eduna soglia sucientemente alta in modo che lattraversamento sia un evento ra-ro. In questo caso si pu`o ragionevolmente aermare che le escursioni dal dominio3.3Istantediprimopassaggiodiunadatabarrierabilateraledapartediunprocessoaleatorio 47di sicurezza (b, +b) da parte del processoX(t) sono tra loro indipendenti.In tal caso si pu`o usare il processo aleatorio contatore di Poisson XN(t) in cui glieventi da contare sono gli attraversamenti della barriera bilaterale b, che si ipo-tizzano tra loro indipendenti. La probabilit`a che si abbianoNattraversamentiindipendenti nellintervallo temporale [0, T] `e dato daP [XN (T) = N] =E[XN (T)]NN!exp {E[XN (T)]} (3.23)dove E[XN(T)] `e il valor medio del processoXN(T), che `e pari, nel caso inesame, al numero medio di attraversamenti con pendenza positiva da parte delprocesso aleatorio |X(t)| nellintervallo [0, T].Utilizzando i risultati del paragrafo precedente si pu`o ricavare ([1]) le equazionichefornisconoleprobabilit`adi Nattraversamenti, siaperprocessistazionariche non stazionari. Se in tali equazioni si poneN= 0 si ottiene la probabilit`ache non vi siano attraversamenti della barrierab nellintervallo di tempo [0, T].Taleprobabilit`a`edatadalleseguenti espressioni valide, rispettivamente, perprocessi staionari e non stazionariPs (T, b) = P [T1 (b) T] = P [XN= 0] = exp_N+|X|(b) T_Ps (T, b) = P [T1 (b) T] = P [XN= 0] = exp__T0N+|X|(b; t)dt_(3.24)Le relazioni precedenti valgono nellipotesi che il processo |X(t)| non superila sogliab allistante inizialet = 0.Una forma pi` u generale delle 3.24, che incorpora tale condizione, `e la seguentePs (T, b) = P [T1 (b) 0] P [T1 (b) T| |X (0)| b] == Ps (0, b) exp [X (b) T]Ps (T, b) = P [T1 (b) T] P [T1 (b) T| |X (0)| b] == Ps (0, b) exp__T0X (b; t)dt_(3.25)La funzionePs(T, b) `e nota in letteratura come probabilit`a di sopravvivenzae la funzioneX(b; t) = N+|X|(b; t) `e detta funzione di rischioper un assegnatodominio di sicurezza [b, +b].Nota la probabilit`a di successa, che coincide con la probabilit`a che listantedi primopassaggiosiasuccessivoallestremosuperioredellintervallo[0, T], `eimmediato valutare la probabilit`a che vi sia almeno un attraversamento. Que-stultima, checoincideconlaprobabilit`adi crisi Pc(T, b),`eil complementoauno della prima per cui si pu`o scriverePc (T, b) = P [T1 (b) < T] = 1 Ps (T, b) = 1 P [T1 (b) T] = FT1 (T; b)(3.26)La funzioneFT1(T; b) `e la funzione distribuzione di probabilit`a della varia-bile aleatoria T1(b) e coincide con la probabilit`a che listante di primo passaggioT1(b)dapartedelprocesso |X(t)|dellabarrierabsiacompresonellintervallo48 Adabilit`astrutturalediunsistemaeccitatoinmodoaleatorio[0, T].Derivando tale funzione rispetto aTsi pu`o determinare la funzione densit`a diprobabilit`a della variabile aleatoriaT1(b).Perprocessi gaussiani stazionari amedianulla, utilizzandoleprimedelle3.19 e 3.20, si pu`o scriverePs (T, b) = Ps (0, b) exp_N+|X|(b) T_ == Ps (0, b) exp_2+XT exp_b222X__(3.27)3.3.3 IpotesidiattraversamentiagrappolidellasoglianelcasodiprocessigaussianiamedianullaLipotesi di attraversamenti indipendenti cadeindifettoperprocessi aleatoriabandastretta. Inquestocaso, poichei campioni del processosonoabba-stanza regolari, un attraversamento della barrierab al tempoT`e strettamentecorrelato allattraversamento che si avr`a approssimativamente dopo un periodoTc = 2/c, concpulsazione centrale del processo a banda stretta.Lapprossimazione di Poisson sugli attraversamenti della barriera pu`o conside-rarsi accurata per processi stazionari a banda larga e/o barriere sucientementeelevate.Si rimanda a [1] dove sono riportate le formule approssimate proposte da Van-marcke (1975) per trattare questo tipo di attraversamenti.3.4 Funzione distribuzione di probabilit`a del pic-co massimo assoluto di processi aleatori gaus-sianistazionariamedianullaNel paragrafo precedente `e stato stabilito il legame tra probabilit`a di successoPs(T, b) di un processo aleatorio X(t) nellintervallo [0, T] con la probabilit`a chelistantediprimopassaggioT1(b)dapartedelprocessoaleatoriodiunadatabarriera bilaterale b sia successivo al tempo di osservazioneTdel processo inesame sotto la condizione che il processo |X(t)| non superi la soglia b allistanteinizialet = 0.La probabilit`a di successo pu`o anche essere denita come la probabilit`a che ilprocesso aleatorio picco massimo assoluto diX(t) non superi la soglia di livellob in tutto lintervallo di osservazione [0, T].Le due probabilit`a sono quindi legate dalla seguente relazionePs (T, b) = Ps (0, b) P [T1 (b) T| |X (0)| b] == P [Xmax (T) b] = FXmax (b; T)(3.28)nella quale si `e indicato con FXmax(T)(b; T) la funzione distribuzione di pro-babilit`adi Xmax, laquale, perdejnizione, coincideconlaprobabilit`acheilmassimo in valore assoluto diX(t) sia non superiore ab in [0, T].La3.28`eunespressionefondamentalenellambitodelladabilit`adi struttu-resoggetteaforzanti aleatorie. Essalegalaprobabilit`adi successoconla3.5Fattoridipiccodiprocessialeatorigaussianistazionariamedianulla 49probabilit`adiprimopassaggio. Questultima, nelcasodiprocessigaussianieattraversamenti indipendenti, pu`o essere determinata in forma esplicita in fun-zione della varianza del processo aleatorio X(t) e di quello del processo derivatoX(t); nelcasodiattraversamentiagrappolilaprobabilit`adiprimopassaggiosi calcola in funzione dei momenti spettarli del processo aleatorioX(t).Nel caso di processi gaussiani stazionari a media nulla nellipotesi di attra-versamenti indipendenti della barrierab da parte del processo aleatorio |X(t)|,tenendo presente la 3.27, si pu`o scrivereFXmax (b; T) = P [Xmax (T) b] = Ps (0, b) exp_N+|X|(b) T_(3.29)La funzione densit`a di probabilit` a si ottiene dalla precedente per derivazioneparziale rispetto ab (ved. [1]).Espressioni analoghe possono scriversi nel caso di processi aleatori non stazio-nari.Nel casodi attraversamenti agrappolosi dimostrache vale laseguenterelazioneFXmax (b; T) =_1 exp_b20,X__exp [ X (b) T] (3.30)dalla quale, per derivazione parziale rispetto ab, si pu`o ricavare la funzionedensit` a di probabilit`a (ved. [1]).3.5 Fattori di picco di processi aleatori gaussianistazionariamedianulla3.5.1 FormulazioneteoricaNotalafunzionedensit`adiprobabilit`adelprocessoaleatorioXmax(T)(piccomassimo assoluto di un processo aleatorio stazionario gaussiano a media nulla),`e possibile valutarne il frattile inferiore XT,p, che denisce la probabilit`a p che ilmassimo del processo aleatorio |X(t)| sia inferiore o uguale a XT,p nellintervallo[0, T].Tale frattile, una volta posto nella 3.28b =XT,pe assunto chePS(T, XT,p) =FXmax(X[T, p; T) = p, si determina risolvendo la seguente equazione non linearecon incognitaXT,pFXmax (XT,p; T) = P [Xmax (T) XT,p] = p (3.31)Al nedi determinare XT,p`eopportunointrodurrelaseguentequantit`aadimensionaleX (T, p) =XT,pX(3.32)cherappresentail frattileinferioredi probabilit`apdel processoaleatorioadimensionalizzatoY (T) =Xmax(T)/X. Inletteraturalasuddettaquantit`a50 Adabilit`astrutturalediunsistemaeccitatoinmodoaleatorioviene spesso indicata come fattore di piccodel processo aleatorioX(t).Si osservi che nella 3.32 la deviazione standardX= 1/20,X`e costante poiche si`e supposto che il processo aleatorioX(t) sia stazionario.Il fattore di picco va determinato risolvendo la seguente equazione non lineare,del tutto analog