Elektrotechnik I Zusammenfassung &Formelsammlungfloba

1 Grundbegri!e

• Elementarladung: e = 1, 6022 · 10!9C

• el. Strom = geordnete Bewegung von Ladungen im Stromkreis, jede Bewegung vonel. Ladung ist mit Magnetfeld verbunden

Strom: I =!Q

!t=

!Qp !!Qn

!t

!Cs

= A"

• Stromdichte: !J =I!A

=!Q

!t · A

!Am2

"" I = !J · !A = J · A · cos "

• Spannung: U =W

Q

!JC

= V" #

analog:W

s=

F · ss

= F

$

# Spannung = el. Kraft, Ladung = el. Weg, Strom = el. Geschwindigkeit

• Leistung: P =W

t= U · I

!Js

= V A = W"

• linearer Leiter: A = const. & d$ l

# I ist gleichmaßig verteilt

# J hat uberall den selben Wert

# U fallt gleichmaßig uber l ab

• el. Feldstarke: E =U

l

!Vm

" %# Spannung auf Lange bezogen

&

2 Wirkwiderstand

• Ohmsches Gesetz: R =U

I

!VA

= ""

Leitwert: S =I

U= R!1

!AV

= "!1 = S"

• Wirkleistung: P(th) = R · I2 =U2

R

1

• spezifischer Widerstand: R = # · l

A" # = R · A

l=

U

I· A

l=

E

J[" m]

spezifischer Leitwert: $ = #!1

!Sm

"

• nichtlinearer/di#erenteller (= nichtohmscher) Widerstand: Rd =dU

dI

• Temp.abh. des Widerstands: R! = R20! C%1+"20! C(%!20" C)+&20! C(%!20" C)2

&

• Warmeenergie: Wth = c · m · !T

3 Quellen

• keine Leistungsabgabe bei Leerlauf und Kurzschlussmaximale Leistungsabgabe wenn Ri = RL (aber: ' = 0, 5)

• ideale Quellen: U ist unabhangig von I (Spannungsquelle) bzw. I ist unabhangigvon U (Stromquelle)

• lineare Quellen:'

U = Ri · I + Uq

I = Gi · U ! Iq

Achtung! Strome sind hier negativ, da Quelle negative Leistung abgibt!

Ri =Uq

IkURi = Ri · I(k)

Gi =Ik

U0IGi = Gi · U(0)

2

4 Netze an Gleichspannungen

• Arbeitspunktbestimmung:

UA = U1 = Uq + Ri · I1 = Uq !Ri · IA

UA = U2 = RV · I2 = RV · IA

# IA =Uq

Ri + RV

• Leistungsanpassung: Pmax, wenn Ri = RV (aber: ' = 0, 5)

• Knotensatz:(

I = 0 am KnotenMaschensatz:

(U = 0 in einem Maschenumlauf

• Potentialdi#erenz = Spannung, z.B. UAB = (A ! (B

0-Potential einer Schaltung:wenn 0-Potential geerdet ist:

3

• Parallelschaltung von Widerstanden:1Re

=( 1

Rkbzw. Ge =

(Gk

# Verhaltnisse:I1

I2=

G1

G2

#=

R2

R1

$und auch

I1

I=

G1

Ge

# Der Ersatzwiderstand ist immer kleiner als jeder Einzelwiderstand:

Re =1

1R1

+ 1R2

=R1 · R2

R1 + R2= R1 · R2

R1 + R2

• Reihenschaltung von Widerstanden: Re =(

Rk bzw.1

Ge=

( 1Gk

# Verhaltnisse:U1

U2=

R1

R2

#=

G2

G1

$und auch

U1

U=

R1

Re

• Ersatzquellen und Uberlagerungssatz: Jede lineare Schaltung kann durch eine Er-satzquelle (Spannungs- ODER Stromquelle) ersetzt werden.

– Bestimmung des Innenwiderstands Ri = G!1i :

Spannungsquellen durch Kurzschlusse, Stromquellen durch Unterbrechnungersetzen und an den Klemmen in die Schaltung “rechnerisch hineinmessen”

– Bestimmung der Quellenspannung Uqe:Uqe = Leerlaufspannung U0 an den Klemmen[oder]Bestimmung des Kurzschlussstroms Iqe:Iqe = Kurzschlussstrom Ik an den Klemmen

! Sind sowohl Spannungs- als auch Stromquellen vorhanden:

1. alle Spannungsquellen durch einen Kurzschluss ersetzen und die Ergeb-nisse fur die Stromquellen berechnen

2. alle Stromquellen durch eine Unterbrechnung ersetzen und die Ergebnissefur die Spannungsquellen berechnen

3. beide Ergebnisse addieren

4

5 Elektrisches Feld

entsteht bei el. Ladungen in einem Raumgebietnur durch auftretende Krafte (z.B. auf Probekorper) indirekt nachweisbar!speziell: el. Stromungsfeld: entsteht bei geordneter Bewegung el. Ladungen (= el. Strom)

5.1 Homogenes Stromungsfeld

• !E = const.

# im linearen Leiter (# !J = const.)

# in jedem Punkt haben !E & !J die gleiche Lange und Betrag

• Feldlinien:

# auf jede Ladung wirkt die Kraft !F = Q · !E (damit wirkt die Kraft bei pos.Ladungen in Feldrichtung, bei neg. Ladungen entgegengesetzt)

# Stromdichte ist damit auch proportional zur Feldstarke: !J =I!A

= $ · !E

• el. Feldstarke ist proportional zur Spannung:W = !F ·!l | : QW

Q=

!F

Q·!l # U = !E ·!l = E · l · cos "

# Spannungen = Aquipotentiallinien/-flachen (= “Hohenlinien”, stets senkrechtzu !E & !J !):

# keine Spannungsunterschiede auf Aquipotentialflachen/-linien!

5

5.2 Inhomogenes Stromungsfeld

• !E %= const. # !E = f(!s)

• Weg und Spannung werden in infinitisimal kleine Teilstrecken unterteilt und auf-summiert:

dU = !E(!s) · d!s # U12 ="P2)

"P1

!E(!s) · d!s

• ebenso bei dem Strom: dI = !J( !A) · d !A # I =)

"A

!J( !A) · d !A

5.3 Homogenes elektrostatisches Feld

• durch idealen Isolator unterbrochener Stromkreis im stationaren Zustand:

= Plattenkondensator mit der Ladung Q (eigentlich +Q1 = 0, 5Q und!Q2 = !0, 5Q)

# Aquipotentialflachen nur an Plattenoberflachen, solange kein el. LeitenderGegenstand in das el. Feld gebracht wird

• Feldlinien von pos. Ladung zu neg. Ladungen

# Quellenfeld, da Feldlinien 1 Anfang & 1 Ende haben(magnetisches Feld = Wirbelfeld; Feldlinien in sich geschlossen)

• Influenz = Ladungstrennung in einem el. Leiter im elektrost. Feld

# el. Flussdichte/Verschiebungsdichte !D =Q!A

= )0 · )r · !E

!Cm2

=A sm2

",

)0 = 8, 8542 · 10!12 A sV m

# Q!A

= )0 · )r · !E " !E =Q

)0 · )r · !A" Q = )0 · )r · !E* +, -

"D

· !A

6

5.4 Inhomogenes elektrostatisches Feld

• Influenz, el. Flussdichte/Verschiebungsdichte: !D(!s) = )0 · )r · !E(!s),Ladung: dQ = !D · d !A " Q =

)

"A

!D · d !A =)

"A

)0 · )r · !E · d !A

• Punktladungen

– Potential eines von dem Abstand r entf. Punktes zu einer Punktladung Q:

((r) =1

4* · )0 · )r· Q

r

– Potential eines von dem Abstand ri entf. Punktes zu den Punktladungen Qi:

((r1, r2, . . . ) =(

(i =1

4* · )0 · )r·#( Qi

ri

$

– Feldstarke eines von dem Abstand r entf. Punktes zu einer Punktladung Q:

!E =Q

)0 · )r · !A=

Q

4* · )0 · )r · r2

– Kraft die auf 2 Punktladungen wirkt:

!F = Q2 · !E1 = Q2 · Q1

4* · )0 · )r · r2(Coulomb-Gesetz)

5.5 Permittivitat

• zwischen Platten eines Kondensators ist statt Vakuum (0, )r = 1) ein anderer

Isolator: )r =D

D0=

Q

Q0()r!Permittivitatszahl)

# Permittivitat: ) = )0 · )r• unpolare Sto#e (Ladungsschwerpunkte fallen auf einen Punkt zusammen) im el.

Feld: Orientierungspolarisation

# Ausrichtung des Dipols

7

• polare Sto#e (permanente Dipole) im el. Feld: Polarisation1. homogenes Feld: 2. inhomogenes Feld:

# Krafte unterschiedlich, wodurchder Dipol in das Gebiet hohererFeldstarke gezogen wird

• )r ist stets großer oder gleich 1:

8

5.6 Kapazitive Eintore

• beim Einschalten der Spannung in einen Stromkreis mit einem Kondensator fließtStrom, bis der er auf die angelegte Spannung aufgeladen ist

# Kapazitat: C =Q

U

!A sV

=CV

= F"

• lineare kapazitive Eintore: Q(U) = C · U mit C = const.nichtlineare kapazitive Eintore: C = f(U) # Q(U) = C(U) · U

# di#erenzielle Kapazitat: Cd =dQ

dU

• Schaltungen:Reihenschaltung ParallelschaltungU =

(U U = const.

Q = const. Qe =(

Qk1Ce

=( 1

CkCe =

(Ck

# Reihenschaltung: Ce immer kleiner als Ck

• Kapazitat eines Plattenkondensators:

D =Q

A=

C · UA

, D = )0 · )r · E = )0 · )r · U

l

# C = )0 · )r · A

l

• Kapazitat eines Koaxkabels:

Q =)

"A

!D(!r)d !A = !D(!r) · 2*!r!l = )0 · )r · !E(!r) · 2*!r!l " !E(!r) =Q

)0 · )r · 2*!l· 1!r

U =Q

C=

"ra)

"ri

!E(!r)d!r =Q

)0 · )r · 2*!l· ln !ra

!ri

# C =)0 · )r · 2*!l

ln!ra

!ri

• Kapazitat zwischen 2 konzentrischen Metallkugeln:

C =4* · )0 · )r1!ri! 1

!ra

# !ra &': C = 4* · )0 · )r · !ri

9

6 Magnetisches Feld

= Wirbelfeld (Feldlinien in sich geschlossen)

• Ursache: Bewegung von Ladungen

# Elektromagnet: el. Strom in Leiter = bewegte Ladungen

# Dauermagnet: Bewegung von Elektronen um Atomkern

• Pole: Kraftwirkung am starkstenGebiet zwischen den Polen = indi#erente Zone: schwachere Kraftwirkung

• Feldlinien beim stromdurchflossenen Leiter: Rechte-Hand-RegelKein Magnetfeld im innern des Leiters durch Kompensation vorhanden (Untertei-lung in Einzelstrome)!

6.1 Magnetische Flussdichte

= Intensitat eines Magentfeldes

# !B =!F

I ·!l

!N

A m=

JA m2

=V AsA m2

=V sm2

= T"

• magnetischer Fluss bei homogenen Magnetfeldern: $ = !B · !A ( !B ( !A)!V sm2

· m2 = V s = Wb"

inhomogenes Magnetfeld: d$ = !B( !A) · d !A # $ =)

"A

!B( !A) · d !A

• magnetische Feldstarke: !B = µ0 · µr · !H

#weitere Analogie: !H =

Um

!l

$

# materialunabhangig (im Gegensatz zur Flussdichte)

# magnetische Feldkonstante: µ0 = 4* · 10!7 V sAm

10

• Durchflutung (= magnetische Spannung):% =

(Ik = N · I =

)

"A

!Jd !A

% = !H ·!l =)

"s

!Hd!s mit !l!Lange der Feldlinie

• Feldstarken wichtiger Bauteile:

– linearer stromdurchflossener Leiter: B = µ0 · µr · I

2*r, H =

I

2*r

– Kreisringspule: H =N · I* · D

– Mitte einer Zylinderspule: H ) N · Il

6.2 Materie im Magnetfeld – Ferromagnetismus

• Permeabilitat (Art magnetische Leitfahigkeit der Feldlinien): µ = µ0 · µr

relative Permeabilitat: µr =B

B0

# meisten Sto#e: µr ) 1µr < 1: diamagnetischµr > 1: paramagnetischµr * 1: ferromagnetisch (Eisen, Cobalt, Nickel)

• Ferromagnetismus nur bei Feststo#en mit bestimmten Kristallstrukturen

• ferromagnetische Sto#e bestehen aus Weißschen Bezirken (= “Elementarmagne-te”), die ausgerichtet werden konnen

# dauerhaftes Magnetfeld (Permanentmagnet)

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• Neukurve eines Ferromagnetischen Sto#es:

a)-c) Weißschen Bezirke wachsen

d) Sattigung, Steigung nur noch mit µ0 (wie im Vakuum)

• Hystereseschleife eines Ferromagnetischen Sto#es:

Br = Remanenzflussdichte, die bleibt, wenn H abgestellt wirdHc = Koerzitivfeldstarke, die fur die vollstandige Entmagnetisierung benotigt wird

• ferromagnetische Eigentschaft ist temp.abh.!

# therm. Energie erschwert Ausrichtung der Weißschen Bezirke

# Br wird mit steigender Temp. kleiner

# wenn T = Curie-Temperatur verschwindet Ferromagnetismus sprunghaft (770" Cbei Eisen)

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• Magnetostriktion = Anderung der geometrischen Abmessungen ferromagnetischerSto#e, die in ein Magnetfeld gebracht werden

# Ursache des Brummens bei Transformatoren im Wechselstrombetrieb

• magnetisch harte Sto#e: breite Hystereseschkurve (fur Dauermagneten, schwererentmagnetisierbar)magnetisch weiche Sto#e: enge Hystereseschkurve (fur Transformatoren)

# bei weichen Sto#en, keine Darstellung in Hysteresekurve, sondern eine mitt-lere Magnetisierungskurve

6.3 Magnetische Kreise

• magnetische Quellenspannung: % =(

I [A] (Durchflutung)

magnetischer Strom: $ = !B · !A [Wb] (magnetischer Fluss)

magnetischer Widerstand: Rm =%$

!A

Wb=

1H

"

magnetischer Leitwert: & =1

Rm=

$%

!WbA

= H"

bei ferromagnetischen Sto!en: & = f(H)!

• magnetischer Spannungsabfall bei Luftspalt: Vm = !H ·!l (analog: U = !E ·!l)

• Leitwert eines Magnetischen Kreises wird kleiner, wenn Eisenweg durch Luftspaltunterbrochen ist:

# Streufluss, $ges = $L + $#

# Streufaktor: + =$#

$L(von Geometrie und Sattigung des Eisens abh.)

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6.4 Kraft auf eine bewegte Ladung

• auf die Ladung Q, die sich mit der Geschwindigkeit !v durch ein Magnetfeld derFlussdichte !B bewegt, wird die Lorentz-Kraft !F ausgeubt:!F = Q ·

.!v + !B

/

• auf einen mit dem Strom I durchflossenen Leiter, der sich in einem Magnetfeld derFlussdichte !B mit der Lange !l (die Uberschneidung!) befindet, wird die Lorentz-Kraft !F ausgeubt:!F = I ·

.!l + !B

/

• Anwendung der Lorentz-Kraft: Hallelement

• Lorentz-Krafte auf 2 stromdurchflossene (unendlich lange, sich im Vakuum befin-dende) Leiter:

magn. Flussdichte eines Leiters im Abstand r: B1 =µ0 · I1

2* · r

mit B =F

I · l bzw. F2 = I2 ·.!l + !B1

/ergibt sich: F2 =

µ0 · I1 · I2 · l2* · r

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6.5 Energietransport

• durch el. und magn. Feld: Pointingvektor !S = !E + !H

!Vm

· Am

=Wm2

"

# P =)

"A

!Sd !A

• Nachweis an Koaxleitungsanordnung:

# bei Umpolung zeigt !S immernoch in die selbe Richtung,also wird auch bei Wechselstrom Energie nur in die eine Richtung transpor-tiert: von der Quelle weg

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7 Analogien zwischen Mechanik, el. und magn. Strom, Kreisenund Feldern

Mechanik El. Strom/Kreis/Feld Magn. Strom/Kreis/FeldWeg:

!s [m]

el. Ladung:

Q [C]

—

Geschwindigkeit:

!v =!shms

iel. Fluss:

I = QhCs = A

imagn. Strom:

$ = !B · !A [Wb]

— el. Stromdichte:

!J =I!A

hAm2

imagn. Flussdichte:

!B =$!A

[T] (s. unten)

mech. Kraft/Spannung:

!F =W

!s

»J

m= N

–el. Kraft/Spannung:

U =W

Q

»J

C= V

–

Spannungsabfall (an C):

U = !E ·!l

Durchflutung (Quellenspan-

nung):

% =(

I [A]

Spannungsabfall:

Vm = !H ·!lReibungskraft:

R =!F

!v# !FR = R · !v

el. Widerstand:

R =U

I[!]

el. Leitwert:

G =I

U[S]

magn. Widerstand:

Rm =%$

hA

Wb = 1H

i

magn. Leitwert:

& =$%

hWbA = H

i

mech. Leistung:

P = !F · !v = R · !v2 =!F 2

R[W]

el. Leistung:

P = U · I = R · I2 =U2

R[W]

magn. Leistung:

P = % · $ [W]

— el. Flussdichte:

!D =Q!A

= )0 · )r · !Eh

Cm2 = A s

m2

imagn. Flussdichte:

!B =$!A

= µ0 ·µr · !H =!F

I ·!l[T]

— el. Feldstarke:

!E =U!l

hCm2 = A s

m2

imagn. Feldstarke:

!H =Um

!l=

I · N!l

=%!l

hAm

i

— Permittivitat:

) = )0 · )rPermeabilitat:

µ = µ0 · µr

rel. Permittivitat/ Permitti-

vitatszahl:

)r =D

D0=

Q

Q0

rel. Permeabilitat/ Permeabi-

litatszahl:

µr =B

B0el. Feldkonstante:

)0 = 8, 8542 · 10!12 A sV m

magn. Feldkonstante:

µ0 = 4* · 10!7 V sAm

16

8 Zeitabhangige Großen

• Frequenz, Periodendauer, Kreisfrequenz: f =1T

, , = 2*f = 2*1T

• Spitze-Spitze-Wert: upp = umax ! umin

Scheitelwert u = großter Betrag einer periodischen Spannung

• Sinusspannung: u(t) = u cos(,t + (u)Sinusstrom: i(t) = i cos(,t + (i)Phasendi#erenz: ( = (u ! (i

# Wenn die Spannung dem Strom vorauseilt, ist ( positiv (per Definition).

• Gleichwert/arithmetischer Mittelwert: i =1T

T)

0idt (= 0 bei reinen Wechselspannungen)

• Gleichrichtwert/arithmetischer Mittelwert einer gleichgerichteten Spannung:

|i| =1T

T)

0|i|dt

• E#ektivwert/quadratischer Mittelwert: U(e!) =

01T

T)

0i2dt

Nur fur Strome und Spannungen definiert!Leistung: P = U(e!) · I(e!), wenn ( = 0

• Scheitelfaktor C =ScheitelwertE#ektivwert

Formfaktor F =E#ektivwert

Gleichrichtwert

# Verhaltniszahlen wichtiger Funktionen:Sinus Dreieck Rechteck

C,

2,

3 ...F 1, 155 1,1107 ...

# bei Sinus: U =u,2

und I =i,2

• Leistung (( = 0): P (t) = R.i cos(,t + (i)

/2

# Die (Momentan)leistung schwingt mit der doppelten Frequenz des Stromsbzw. der Spannung.

P = |P (t)| = 0, 5Pmax

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• komplexe Darstellung von Sinusspannungen/-stromen:u(t) = u · ej($t+%u)

u(t) = u · cos(,t + (u) + j · u · sin(,t + (u)

# Re(u(t)) = u(t) = u cos(,t + (u)

Vereinfachte komplexe Darstellug von Sinusspannungen/-stromen:

Spitzenwertzeiger u = u · ej%.= u(t)/ej$t

/

E#ektivwertzeiger U = U · ej% =u,2

· ej%.= u(t)/(ej$t ·

,2)

/

• Spannung und Strom an Grundelementen:zeitliche Darstellung komplexe Darstellung

R i(t) = i sin(,t + (i)uR(t) = R · i(t)

i(t) = i · ej$t · ej%i =,

2 · I · ej$t

uR(t) = R · i(t) = R · I ·,

2 · ej$t

uR(t) = u · ej$t · ej%u = U ·,

2 · ej$t

# U = R · I

L uL(t) = L · di

dt

uL(t) = L ·d

.i sin(,t + (i)

/

dtuL(t) = ,L · i · cos(,t + (i)

uL(t) = L · di

dt= L ·

d.i · ej$t · ej%i

/

dtuL(t) = j,L · i · ej$t ·ej%i = j,L ·

,2 · I ·ej$t

uL(t) = u · ej$t · ej%u = U ·,

2 · ej$t

# UL = j,L · I = XL · I

C uC(t) =1C

·)

idt

uC(t) =1C

·)

i sin(,t + (i)dt

uC(t) = ! 1,C

· i cos(,t + (i)

uC(t) =1C

)idt =

1C

)i · ej$t · ej%idt

uC(t) =1

j,C· i·ej$t ·ej%i =

1j,C

·,

2·I ·ej$t

uC(t) = u · ej$t · ej%u = U ·,

2 · ej$t

# UC =1

j,C· I = XC · I

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