Elektronový obal

Kvantově mechanické představy

E = h . = hc

začátek 20. století - experimentální výsledky (Planck - záření těles) ukazovaly kvantování energie: E = n h

jedno kvantum energie dáno součinem frekvence záření a konstanty (Planckova konstanta, h = 6,626*10-34 J s):

světlo se chová jako proud částic (fotonů)

částice mají vlnový charakter

potvrzeno difrakcí záření:

difrakce - označuje jevy, které vznikají při průchodu vlnění otvorem nebo kolem překážky způsobující narušení vlnění.

k difrakci dochází, při roztylování elektromagnetického záření

na pravidelně uspořádaných objektech,

pokud jejich vzdálenost odpovídá řádově vlnové délce záření

př.1:

viditelné světlo prochází otvory CD, otvory mají velikost srovnatelnou s vlnovou délkou viditelného světla :

př.2:

krystalem NaCl prochází rtg záření - rtg záření má vlnovou délku srovnatelnou se vzdáleností atomů v krystalové mřížce krystalu

pozitivní

(konstruktivní)

interference:

negativní interference:

výsledkem je difrakční obrazec světlých a tmavých míst

(na fotografické desce, počítači):

1927 v Bellových laboratořích - experiment:

paprsek elektronů namířen na krystal Ni

vznikl stejný difrakční obrazec jako při difrakci rtg záření v krystalu

verifikace de Broglieho předpokladu, že částice (v tomto případě elektrony) mají vlnový charakter

z Einsteinovy rovnice

E = m c2

lze spočítat hmotnost částice pohybující se rychlostí c:

m =

hmotnost částice pohybující se rychlostí :

m =

světlo má částicový charakter, pro jakýkolipředmět můžeme spočítat vlnovou délku

c

h

v

h

Další důležité výsledky o kvantování energie

ze studií o emisi záření:

každý prvek vyzařuje jen určité záření (určité vlnové délky) tzv. čárové spektrumtoto spektrum je pro daný prvek vždy stejné

čárové spektrum vodíku: 4 čáry excitace molekul H2 elektrickým výbojem, při návratu do základní hladiny emise záření 4 vlnových délek

čáry odpovídají přeskokům mezi diskrétními energetickými

hladinami:

1913 - Bohrův model atomu

založený na teoriích klasické fyziky

povolené dráhy = orbity

1925 - Erwin Schrödinger vyvinul matematický model

pro chování elektronu v atomu vodíku

(model založen na vlnovém chování částice)

představa vlnového chování za pomoci stojatého vlnění:

základem Schrodingerova modelu- rovnice

= vlnová funkce - funkce souřadnic x, y, z

= Hamiltonův operátor

EH ˆ

2

2

2

2

2

2

zyx

2

2

2

2

2

2

zyx

H

- konstanta (číslo) reprezentuje energii atomu = suma E(pot) a E(kin)

vlnová funkce - nazývána orbital

význam slova orbital:

není totožný s Bohrovým orbitem

vlnová funkce pro nejnižší energii H atomu označována 1s orbital

jak se elektron v 1s orbitalu pohybuje? NEVÍME!vlnová funkce nedává informaci o pohybu elektronu

řešení Schrödingerovy rovnice je mnoho(mnoho funkcí vyhovuje rovnici)

v mikrosvětě: nelze, tuto nemožnost vysvětluje Heisenbergova relace neurčitosti (1927):

42.

hpx

v makrosvětě: u pohybující se částice můžeme předpovídat pro nejbližší okamžik dráhu částice

čím přesněji je určena poloha částice, tím větší je nejistota v určení směru a rychlosti pohybu v příštím okamžikuu elektronu tedy neznáme (a nemůžeme znát) přesnou dráhu pohybu kolem jádra

řešením Schrödingerovy rovnice pro atom H dostaneme

kvantová čísla

hlavní (principal quantum number) n, udává energii,

velikost orbitalu

vedlejší (angular quantum number) l, udává tvar orbitalu

(spherical, polar, cloverleaf)

magnetické (magnetic quantum number) m, udává orientaci

jednotlivých orbitalů v prostoru

model částice v jednorozměrné potenciálové jámě:

dosazením do Schrödingerovy rovnice:

operátor pro kinetickou energii (hmotnost částice m, jednorozměrný systém):

hledáme funkce, které vyhovují této rovnici (tj. po druhé derivaci dostaneme tu samou funkci jen vynásobenou konstantou; vyhovuje např.:

A sin (kx) kde A, k jsou konstanty

2

2

2 xm

E

xm 2

2

2

za vlnovou funkci dosadíme výraz: A sin (kx)pro levou stranu (po dvojí derivaci) dostaneme:

-k2 (A sin kx)

upravíme rovnici do tvaru:

pro E z rovnice dostaneme:

dosadíme za vlnovou funkci i na pravou stranu, napíšeme celou rovnici:

22

2 2

mE

x

)sin(2

)sin(2

2 kxAmE

kxAk

m

kE

2

22

naše okrajové podmínky:

1. částice se nemůže vyskytovat mimo jámu

2. celková pravděpodobnost nalezení částice v jámě je rovna jedné (tedy částice v jámě je)

3. vlnová funkce musí být spojitá (tedy v jámě nejsou místa, kde by se částice nesměla vyskytovat)

hledáme hodnoty konstant A a k tak, aby byly splněny okrajové podmínky

nyní musíme vložit na systém okrajové podmínky (tj. požadavek, že matematické řešení má mít fyzikální smysl)

protože částice musí být uvnitř jámy a protože vlnová funkce

musí být spojitá, musí hodnota (x) být u stěn rovna nule:

00 L

funkce sin x = 0 pro

radiánů,....3,2,,0,......360,180,0 000

pro x = 0 je sin x = 0 automatickyaby sin x = 0 u druhé stěny potenciálové jámy, musí platit:

A sin (kL) = 0toho dosáhneme tehdy, bude-li k nabývat hodnot , kde n = celé kladné číslo (1, 2, 3, ....)

L

n

zbývá určit hodnotu A

k tomu využijeme následující úvahu:

vlnová funkce (orbital) nemá fyzikální význam, ale

2 v určitém bodě = pravděpodobnost nalezení částice v blízkosti tohoto bodu

v modelu potenciálové jámy - pravděpodobnost nalezení částice v jámě = 1

1)(0

2 dxxL

dosadíme do výpočtu pravděpodobnosti:

xL

nAx

sin)(

vypočteme1sin)(

2

00

2

dxxL

nAdxx

LL

získáme konstantu A: L

A2

vlnová funkce jednorozměrné potenciálové jámy:

xL

n

Lx

sin

2)(

tabulka jednotlivých řešení (vlnových funkcí a energií) pro

jednotlivé hodnoty n:

jednorozměrný model nahradíme trojrozměrným - hraniční podmínky povedou ke 3 výsledným kvantovým číslům:

n - hlavní kvantové číslo

l - vedlejší kvantové číslo

m - magnetické kvantové číslo

dostali jsme kvantované energetické hladiny

n nazváno proto kvantové číslo

hodnoty, kterých mohou nabývat jednotlivá kvantová čísla,

počty orbitalů,

označení orbitalů:

pro každou vlnovou funkci vypočtena oblast, kde

pravděpodobnost výskytu je větší než 90%,

tak získány obalové plochy pro orbitaly s, p, d, f:

2

s orbitaly

u trojrozměrného modelu udává pravděpodobnost výskytu elektronu v prostoru

p orbitaly:

d orbitaly:

f orbitaly:

u orbitalů s vyššími kvantovými čísly - vnitřní rozdělení hustoty pravděpodobnosti:

2 p orbital:

1s, 2s a 3s orbital:

z experimentů:

elektron se někdy chová jako malý magnet

dvě orientace magnetického momentu ve vnějším magnetickém

poli

1925: Samuel Goudsmit + George Uhlenbeck - představa dvou rotačních stavů elektronů,tyto stavy popsány spinovým kvantovým číslem s,hodnoty: + 1/2, - 1/2

kvantově mechanický model H atomu:

souhlasí s experimentálními údaji,

dokáže vysvětlit to, co klasická fyzika nedokázala

složitější systémy:

ani výkonné počítače neumožňují řešit “ab initio” (pro všechny

částice a všechny interakce),

zavádějí se zjednodušení, s nimi model funguje

kvantový model = “human invention” k vysvětlení experimentálních výsledků

uspořádání elektronů :

rozhodující význam pro chemické vlastnosti daného atomu

(viz Mendělejevova periodická soustava)

proto elektronové struktuře věnována velká pozornost v kurzech

chemie

pro víceelektronové atomy:

Hundovo pravidlo (Aufbau Prinzip, Aufbau principle): elektrony zaplňují orbitaly od nejnižší dostupné energie k vyšším energiím

Pauliho princip (Pauli exclusion principle): žádné dva elektrony v jednom atomu nemohou mít všechna 4 kvantová čísla stejná