electrostática en el vacío - academia madrid ingeniería ... 3... · conductores (metales, el...
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Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 0
El campo electrostático en el vacío
Con este tema comenzamos a estudiar los efectos que produce, y cómo medirlos, la otra propiedad
de la materia: la carga eléctrica. Con él iniciamos la parte de la Física dedicada a estudiar una de las
fuerzas fundamentales de la Naturaleza: la interacción electromagnética. Lo iniciamos en la situación
más sencilla: las cargas están estáticas, no se mueven; de ahí el nombre de “electrostático”.
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Introducción
Sabemos que la materia está constituida por átomos y estos por cargas. Si no fuese por el hecho de
que se encuentra generalmente en estado neutro, todos los fenómenos macroscópicos observables
estarían dominados por las fuerzas electromagnéticas, que son mucho más intensas que las fuerzas
gravitatorias a las que estamos familiarizados.
El conocimiento de que la materia poseía “algo” diferente que no tenía que ver con la gravedad ya
fue conocido en la época de los griegos: al frotar un trozo de ámbar, o de vidrio, con lana, éste atraía
pequeños trocitos de papel. A esta propiedad se llamó “electricidad”, que proviene de la palabra
griega “elektron” que significa “ámbar”. Posteriormente, Franklin, en 1750, introdujo el convenio de
llamar “carga negativa” a la propiedad que presentaba el ámbar y “carga positiva” a la que
presentaba el vidrio.
Hoy ya sabemos dar respuesta a eso: en el frotamiento de ambos cuerpos, ámbar-lana o vidrio-
lana, inicialmente descargados ambos, tiene lugar una transferencia de carga ambos cuerpos se
cargan de tal manera que la suma de sus cargas después del frotamiento es la misma que la suma de sus
cargas antes de frotarlos. Además, quedan cargados con la misma cantidad de carga pero de distinto
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signo; lo que ha pasado es simplemente que uno se ha quedado con exceso de carga, la misma que el
otro cuerpo se ha quedado con defecto.
Qneta antes del frotamiento = Qlana antes del frotamiento+ Qvidrio (ámbar) antes del frotamiento= 0 + 0 =
= Qneta después del frotamiento = Qlana después del frotamiento(0) + Qvidrio (ámbar) después del frotamiento(0)
¿Qué tipo de carga se ha transferido? Sabemos que los átomos que componen la materia están
constituidos por: electrones (con propiedades análogas a las del ámbar cuando se frota), protones
(propiedades análogas a las del vidrio cuando se frota) y neutrones (no presentan comportamiento
eléctrico). En general, el átomo está en estado neutro (igualdad del número de protones y electrones)
por lo que, a escala macroscópica, también la materia, compuesta por átomos, se encuentra en estado
neutro. Por ello, a escala macroscópica, la materia no presenta efectos eléctricos salvo cuando se actúa
externamente sobre ella. Cuando se frotan los dos cuerpos se está interviniendo externamente; la carga
susceptible de ser transferida son los electrones que son los más externos y los que menos energía
necesitan para ser “arrancados” de su átomo (protones y neutrones están en el núcleo ligados por la
fuerza nuclear fuerte y es necesaria muchísima más energía para separarlos del núcleo). Por eso, cuando
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se dice que un cuerpo está cargado positivamente significa que tiene un defecto de electrones, y
negativamente cuando tiene exceso de electrones.
A finales del siglo XVIII se clasificó a los cuerpos en dos grandes categorías:
Aislantes o dieléctricos (vidrio, ámbar, plástico, etc.) las cargas no pueden moverse
libremente. Si el cuerpo se carga por electrización (frotamiento), las cargas transferidas se quedan
allí donde se las colocó el fenómeno de electrización es observable.
Conductores (metales, el cuerpo humano, la Tierra, etc.) las cargas pueden moverse
libremente (los electrones se mueven formando una “nube electrónica”) el fenómeno de
electrización es difícil de observar. ¿Por qué?: supongamos que cogemos con la mano un conductor a cargar por
frotamiento; como nuestro cuerpo es así mismo conductor, la carga que se transfiere al conductor por el frotamiento pasa, a
través de nuestro cuerpo, a tierra; esto hace que se descargue se pierde la carga que hace que podamos observar el efecto.
En la actualidad habría 4 grupos: se añadirían semiconductores y superconductores.
La pertenencia a un grupo u otro no es cerrada, depende también de factores externos como
temperatura, presión, campo E externo, campo B externo, impurezas, etc. Por ejemplo, el aire es aislante pero
sometido a campos E externos muy intensos se convierte en conductor.
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Propiedades de la carga eléctrica
1.- Existencia de dos clases de carga (+ y - )
Carga + defecto de electrones
Carga - exceso de electrones
Cargas de igual signo se repelen, y de signo contrario se atraen.
2.- Principio de conservación de la carga en sistemas aislados: la carga no se crea ni se destruye
Cargar (“crear carga”) o descargar (“destruir carga”) proceso de transferencia de carga, donde
Qantes del contacto = Qdespués del contacto
3.- La carga neta de un cuerpo está cuantizada (su valor aumenta o disminuye a “saltos” de e)
Qneta = Ne / e = unidad fundamental de carga =1.6 10-19
C
La existencia de los quarks, partículas elementales con carga fraccionaria de e, no lo contradice.
4.- La carga es un invariante: vale lo mismo en cualquier sistema de referencia, incluso para
velocidades próximas a la de la luz (v c)!
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¿Cómo describir los efectos de las cargas?: con el campo eléctrico
La idea subyacente es:
Carga efectos eléctricos todo cuerpo cargado perturba la región de alrededor en la que
se encuentra a todo punto de esa región perturbada se le asigna una magnitud vectorial
módulo
dirección un campo vectorial E sentido
la carga eléctrica crea campo E
¿Cómo se miden los efectos que E
produce sobre otras cargas que
están en esa región perturbada?
¡midiendo la fuerza que la carga
que crea E ejerce sobre esas
cargas que se encuentran en la
región perturbada!
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Definición de campo eléctrico: 0q 0
0
F(r)E(r) lim
q
q crea rE
q0 carga “test” positiva que va a “soportar” el
efecto eléctrico de q, es decir, va a soportar la fuerza
F(r) ejercida por q sobre ella
q0 0 para que no modifique el campo a medir
al E , como campo vectorial que es, se le puede aplicar todo lo estudiado en el Tema 1 sobre campos
vectoriales. Una de las cosas estudiadas era que es representable por líneas de campo, que por
convenio, nacen en cargas + y mueren en cargas - son líneas de campo abiertas
Los efectos de E sobre cualquier otra carga Q que esté dentro de la región perturbada por q se
medirían a partir de la fuerza que actúa sobre Q: F QE el campo E es el medio de
comunicación!!
interacción carga-campo (Q, E) interacción carga-carga (Q, q)
q0
q Región perturbada por
los efectos de q
¿Cuánto valen los
efectos de q en este
punto?
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Pero para medir E en un punto de la región hay que medir F en dicho punto (ver def.)
¿Cómo lo hacemos?: con la Ley de Coulomb
q crea E 0
0
sobre q
q 00
FE(r) lim
q
Ley de Coulomb (es una ley experimental, como lo es la Ley de Gravitación universal).
Experimentalmente se encuentra que la fuerza que soporta q2 debido a los
efectos que produce q1 es:
12
1 1 12 1 2 1
de 1 sobre 2 12 r2 2 3
1212 12
2 2
2 1
2q q r q (r r )
F F =K u = K q q q
K rr r r r
tal que
si signo (q1) signo (q2) fuerza atractiva
si signo (q1) = signo (q2) fuerza repulsiva
q1
q2
12 2 1r r r
2r
1r
q
E(r) ?
q0
Colocamos la “carga test” positiva en el punto
donde queremos medir el campo eléctrico y
allí, medimos la fuerza que aparece sobre q0
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donde 2 2
9 12
02 2
0
1 Nm CK 9 10 8,85 10
4 C Nm
, y 0 = permitividad eléctrica del vacío.
De igual forma, la fuerza que soporta q1 debida a los efectos que produce q2 será 21
F . Puesto
que las cargas están en reposo, se verifica la ley de acción y reacción 21
F =12
F
Validez de la ley
1.- Para cargas puntuales (o dimensiones << distancia). Caso especial: carga distribuida en esferas.
2.- Cargas en reposo: si existe movimiento 21
F 12
F
3.- La ley del inverso del cuadrado de la distancia funciona a distancias tanto macroscópicas como
submicroscópicas ¿qué ocurre a distancias d 0? No hay problema: en el átomo, para d < 10-14
m
(tamaño típico del núcleo atómico) predominan las fuerza nucleares en lugar de la electromagnética.
4.- El exponente “2” en la ley 2
1
r, tiene una precisión de 10-15!!!
q1
q2 12F
21F signo(q1) signo(q2)
q1
q2
12F
21F
signo(q1) = signo(q2)
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5.- Es aplicable el principio de superposición la ley sigue siendo válida para conjuntos de
cargas puntuales (se llaman también distribuciones discretas) y para distribuciones continuas de carga.
El efecto total en un punto = suma de efectos de todas las cargas en ese punto
A partir de la ley de Coulomb es fácil obtener la expresión del campo eléctrico E que está
creando la carga puntual q1 en el punto donde está colocada la carga q2 ya que como
2de 1 sobre 2 12 creado por q1 2F F E (rq ) 1 2 1 1
1 2 r3 2
2 1 2 1
q (r r ) qE (r ) K K u
r r r r
Generalizando: el campo eléctrico E , que crea una carga puntual
q en un punto cualquiera del espacio r , es:
r2 3
0 0
1 q q (r r )E(r) u
4 4r r r r
Si q está colocada en el origen del sistema de coordenadas (r´ 0 )
r2 3
0 0
1 q q rE(r) u
4 4r r
q
ru r r
r
E(r)?r´
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Campo eléctrico E(r) creado por un conjunto de cargas puntuales
Sean q1, q2, q3,…. qN cargas puntuales colocadas en
puntos con vectores de posición 1 2 3 N
r , r , r ,...,r .
Para calcular el campo eléctrico creado por todas
ellas en un punto arbitrario dado por el vector de
posición r , basta colocar la “carga test” positiva
allí, medir la fuerza que ejerce cada qi sobre ella,
y aplicar el principio de superposición.
Cada qi ejerce sobre q0 una fuerza i 0
i i3
0 i
q q1F (r r )
4 r r
. Por el principio de superposición
0
N
i 0
sobre q i3i 10 i
q q1F (r r )
4 r r
N
i
i3i 10 i
q1E(r) (r r )
4 r r
q1
E(r) ?
q0
q2
qN
2
r
1
r
N
r
2
r
r
1
r r
2
r r
Nr r
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Líneas de campo de dos cargas puntuales de igual carga y
distinto signo (un dipolo si su separación es pequeña
comparada con la distancia a la que se miden sus efectos).
Distribución de líneas de campo Epara algunos ejemplos de cargas puntuales
total
E
totalE
Líneas de campo de dos cargas puntuales de distinto
signo, con doble de carga la positiva que la negativa.
Líneas de campo de una carga puntual positiva. Para carga
negativa, bastaría cambiar el sentido de las líneas de campo.
Líneas de campo de dos cargas iguales y de igual signo
totalE
2E
1E
q1 q2
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Campo eléctrico E(r) creado por distribuciones continuas de carga
Acercándonos más a la realidad, la carga neta que posee un cuerpo puede estar colocada a lo largo
de líneas, o en superficies, o en volúmenes. Para cada situación se define una magnitud macroscópica,
la densidad de carga (lineal, superficial, o volúmica, según el caso), que es función del punto,
continua y derivable.
l 0
q dqlir ) m
l d(
l
dq (r )dl
s 0
q dqlir ) m
s d(
s
dq (r )ds
0
q dql)
dr im(
dq (r )d
neta en L
L LQ dq (r )dl
neta en SS S
Q dq (r )ds neta en
Q dq (r )d
L
r
l q
q
S
r
s
q
q
r
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Para determinar el campo eléctrico creado por una distribución continua de carga, volúmica, por
ejemplo, el planteamiento sería el habitual: colocamos la “carga test” en el punto donde queremos calcular el campo,
medimos allí la fuerza que cada dq ejerce sobre esta carga q0 y aplicamos el principio de superposición; en este caso la suma se
convierte en una integral.
La carga existente en el elemento de volumen es:
dq (r )d . Dicha carga dq ejerce una fuerza
dFsobre q0 en ese punto r del espacio
La fuerza total, la que ejercen todos los dq que están en el volumen total total, será:
0
0
sobre q 3
0
q (r )dF (r r )
4 r r
0
0
sobre q
q 03
00
1 (r )dE(r) (r r )
4
Fim
rl
q r
0
0 0
sobre q 3 3
0 0
dqq (r )d q1 1dF (r r ) (r r )
4 4r r r r
q
r
E( )?r
r
q0 r r
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De forma análoga, trabajaríamos para calcular el campo eléctrico creado por un cuerpo cargado cuya carga
estuviera repartida de forma continua en una superficie, o repartida en una línea. Las expresiones quedarían:
0
0
sobre q
q3S
00
0
1 (r )dsE(r) (r r )
4
Flim
q r r
0
0
sobre q
q3L
00
0
1 (r )dlE(r) (r r )
4
Flim
q r r
El caso más general sería tener de todo: cargas puntuales y distribuciones continuas lineales, superficiales y
volúmicas. Por el principio de superposición, el campo eléctrico en un punto r del espacio vendrá dado por:
N
i
i3 3 3 3L Si 10 0i
q1 1 (r )dl (r )ds (r )dE(r) (r r ) (r r ) (r r ) (r r )
4 4 r r r r r rr r
Cualquier otra carga q colocada en ese punto r experimentará una fuerza sobre qF qE(r)
S
r
s
q E( )?r
r
r r
q0
E( )?r
L
r
l q
q
r
r r
q0
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Propiedades del campo electrostático
Carácter conservativo del campo electrostático potencial electrostático
Ley de Gauss
1) Carácter conservativo del campo electrostático. Potencial electrostático
La fuerza eléctrica es del tipo de fuerzas que son conservativas, es decir, el trabajo que realiza,
2
1F dl , no depende de la trayectoria que se siga para llegar desde el punto 1 al punto 2. Esto era
equivalente a decir que C
F dl 0 . La consecuencia importante era que esto es así una función
U(r) (campo escalar) tal que F U .
Comprobemos que la fuerza eléctrica es conservativa. Supongamos una carga q colocada, por
simplificar, en el origen de coordenadas. Imaginemos una carga q0 que sigue una trayectoria cerrada C.
q crea E 3
0
q rE
4 r
(q centrada en el origen de coordenadas)
q0 es la “carga test” sobre la que se realiza trabajo, donde la fuerza que ejerce el campo es 0
F q E
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Cuánto vale C
F dl
0 0 0 3C C C0
A
0 0 0
3 2C
dr
CA0 0 0
0
0 A A
C
q rq E dl q E dl q dl
4 r
q q q q q qrdlcos dr 1
4 r 4 r 4 r
q q 1 1
W F dl
0!! 4 r
!!r
Por tanto, la fuerza eléctrica es conservativa
F U , donde U representa la energía
potencial electrostática que tiene la carga q0 por encontrarse en el campo E creado por q.
0
0
UF q E U E=
q
Se define el concepto de potencial electrostático en un punto del espacio r como:
q
dl
dl
dl
dl
E
E
E
E
q0
q0
C
0q 00
y U(r)
V(r) lim q
E(r) V
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Volvamos de nuevo al trabajo realizado por el campo eléctrico
sobre una carga cualquiera q que sigue una trayectoria desde el punto 1
al punto 2. 2 2 2
1 21 1 1
W F dl qE dl q E dl
Como E(r) V 2 2
1 2 2 1 1
d
21 1
V
W q V dl q dV q(V V ) q(V V )
2
1 2
1 21
WV V E dl
q
ó 2
2 11
V V E dl
Además, como 1 2 2 1 1 2
W U (U U ) U U
1 2 1 2
U U q(V V )
Al igual que pasaba con la energía potencial gravitatoria, necesidad de definir una referencia de
energía potencial nula, con el potencial electrostático pasa lo mismo (lógico, ya que el potencial es
energía potencial por unidad de carga). Así, eligiendo: punto 10
r ( en muchos casos) / 0
V(r ) 0 y
punto 2r cualquiera 0
r
r (ó )V(r) 0 E dl
0
r
r (ó )V(r) E dl
1
2
E
Propiedad vista en Tema 1: d dr
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Comentarios a la relación obtenida:
Allí donde haya campo electrostático, existe un valor del potencial electrostático tal que E en ese
punto es igual al vector (gradiente del potencial) en dicho punto.
Las líneas del campo electrostático E apuntan siempre hacia potenciales decrecientes (el signo
menos delante del gradiente).
V(r) es una magnitud escalar más fácil trabajar con el escalar V(r) que con el vector E . Una vez
que se tiene V(r) , es fácil calcular E sin más que obtener el gradiente de V(r) ya que E(r) V .
Puesto que V(r) es un campo escalar es representable mediante superficies equiescalares, que en
este caso se llaman equipotenciales.
Como cte E(r) V V cte las líneas de E siempre son
perpendiculares a las superficies equipotenciales en todo punto.
La función V(r) está definida salvo constantes.
De todo lo anterior, el carácter conservativo del campo electrostático se expresa como:
C
E dl 0 con E(r) V (añadiremos otra forma más al final del tema)
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Potencial creado por los distintos tipos de distribuciones de carga
Para una carga puntual
De la expresión del campo creado por una carga puntual r
2
0
uqE(r)
4 r r
Teniendo en cuenta que r
2
u1
r r
, que en este caso se traduce en:
r
2
u1
r r r r
r
2
0
0
uqE(r)
4 r r
q 1 V
4 r r
0
q 1V(r)
4 r r
Para una distribución discreta de cargas
Por el principio de superposición, N
i
i 10 i
q1V(r)
4 r r
r r
r
r
q
V(r)?
ru
q1
q2
qN
1r
N
r
2
r
r
1
r r
2
r r
Nr r
1
r
V(r) ?
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Para distribuciones continuas de carga (, , )
0
1 (r )dV(r)
4 r r
S
0
1 (r )dsV(r)
4 r r
L
0
1 (r )dlV(r)
4 r r
Antes de pasar a estudiar la otra propiedad del campo electrostático, la ley de Gauss, veamos
algunos conceptos que necesitamos:
a) Flujo de un campo vectorial. Divergencia de un campo vectorial; y relación entre ambos a través del teorema de la divergencia
b) Rotacional de un campo vectorial; y la relación con la circulación de un campo vectorial a través del teorema de Stokes
S
r
dq
r
r r
dq
r
r
r r
r
r r´
L
r
dq
q r
Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 21
Flujo de un campo vectorial F(r). Se define flujo elemental, d, del campo vectorial F(r) a través
de una superficie elemental ds (la enmarcada en rojo, según la figura)
a la intensidad del campo F
d F ds a la superficie ds
a la orientacion de F y ds
el flujo total del campo F(r) a través de la superficie finita S
SF ds ó
SF ds
(nos da idea del número de líneas de campo que atraviesan a la
superficie S (recordar que la intensidad del campo era N/S ))
Criterio para el sentido del vector superficie ds :
Si S es cerrada apunta siempre hacia fuera del volumen
Si S es convexa
Si S es plana es indiferente la elección
F ds
ds F
r
S
ds
S líneas de campo F
ds
ds
ds
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Divergencia de un campo vectorial F(r) en un punto del espacio. Proporciona información acerca
de las fuentes o sumideros existentes en ese punto.
Sea un campo vectorial F(r) y un punto P en esa región
Sea d un volumen elemental al cual el punto P pertenece
Ese elemento de volumen d está delimitado por la superficie cerrada S
Se define divergencia del campo vectorial en un punto del espacio como:
elemental
S
0
F dsd
div F(r) = limd
significado físico: div F es el flujo (el que pasa a través de la superficie cerrada S que delimita
al volumen elemental del entorno del punto) por unidad de volumen
Si div F> 0 flujo neto saliente de S existen fuentes en ese punto
Si div F< 0 flujo neto entrante en S existen sumideros en ese punto
Si div F= 0 flujo neto a través de S no existen fuentes ni sumideros en ese punto
P
F S
d
r
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Relación entre flujo y divergencia: a través del Teorema de la divergencia
Como d
div Fd
el flujo a través de la superficie cerrada que delimita al elemento de volumen que
contiene al punto P será: d div F d el flujo total a través de la superficie finita S, que es la
superficie cerrada externa que limita al volumen finito (ver figura) será la suma de flujos a través de
todas las superficies cerradas elementales con las que vamos reconstruyendo la superficie S finita
Al hacer la suma de todos los flujos, queda como flujo neto
el flujo a través de la superficie cerrada finita S que limita al
volumen finito ya que en los volúmenes elementales (cubos de
la figura) contiguos, el flujo que es saliente para uno de ellos, es
entrante para el contiguo. El único flujo que no se cancela es el
que atraviesa a la superficie cerrada exterior, S.
S Sd div F d F ds
j
S
Teorema de la divergencia
Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 24
Si se aplica la definición de elementalS
0
F ds
div F(r) = lim
a un volumen elemental como el de la figura, un cubo
de dimensiones x, y y z, en cuyo centro estaría el punto P, que es donde queremos conocer el valor de la
divergencia, habría que calcular el flujo a través de las 6 caras del cubo (el conjunto de las 6 caras hacen la superficie
cerrada que encierra el volumen interior del cubo).
Si se trabaja en cartesianas, se obtiene la expresión siguiente:
Si x x y y z z
F(r) F u F u F u y x y z
0 0 0
yx z
(x ,y z
S
)0
,
F dslim .......
FF Fdiv F
x y zx y z
Y esto resulta ser igual, matemáticamente, a:
x y z x x y
y
y z z
x zFF
u u u (F u F u F u )x y y zz
FF
x
!!! div F F
x
y
z
X
Y
Z
P(x0,y0,z0)
Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 25
2) Ley de Gauss. La ley de Gauss, además, de ser una de las 4 ecuaciones fundamentales del
electromagnetismo, las llamadas ecs de J.C. Maxwell, va a ser una herramienta muy potente para
resolver problemas electrostáticos cuando exista simetría.
Sea una carga puntual q que suponemos, por ejemplo, positiva, y
colocada en el origen de coordenadas. Sea una superficie cerrada S, la
esfera roja de la figura, y la carga colocada en el centro de dicha esfera.
La superficie cerrada S de la esfera encierra un volumen, .
Sabemos que la expresión del campo que crea la carga q colocada en el
origen de coordenadas es
Calculemos el flujo de E(r) a través de la esfera de superficie S.
22
r r
r r2 2 2S S S0 0 0 0 0 00 0
S
u r sen d d u1 q q 1 q q qu ds u ds sen d d 4
4 r 4 r 4
qE ds !! !
4!
r 4!
E
S
r
E
E
q
E
X
Y
Z
3 3
0 0
1 q 1 qE(r) r r
4 4 rr
Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 26
¿El resultado hubiera sido distinto si la carga q no hubiera estado
colocada el centro de la esfera? Pensad qué significa el flujo de un
campo vectorial a través de una superficie.
¿El resultado hubiera sido distinto si, en lugar de una
esfera, hubiéramos escogido una superficie cerrada S
que tuviera forma totalmente arbitraria? (Pensad en una
patata: S sería la piel marrón de la patata y sería su
interior, lo blanco de la patata).
La respuesta a todas las preguntas es ¡NO!
el flujo de campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta
encerrada/0 (¡y no depende de dónde esté colocada!, ¡ni de la forma de la superficie cerrada!)
S
r
EE
ds
q
X
Z
Y
S
q
E
X
Y
Z
Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 27
¿Y si la carga q está fuera de la superficie cerrada S?
El flujo neto a través de la superficie cerrada S es cero puesto
que a través de ella salen tantas líneas de campo como entran.
¿Y si la superficie cerrada S encierra varias cargas puntuales?
Por el principio de superposición:
i 0
N N N
itotal i i
Si
q1 i
/1 i 1 0
qE ds
neta encerrada por S
S0
QE ds
Si Qneta encerrada = 0 SE ds 0 E 0 !!
q1
q2
q3
qN
S
S
E
E
q
E
Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 28
Si la superficie cerrada S encierra distribución de carga, por ejemplo, volúmica, de densidad
La clave para resolverlo está en:
1) suponer que el elemento de carga dq es equivalente a la carga puntual de
los casos anteriores
2) aplicar el principio de superposición
dq
elcr
S
eadopordq
3
0 0
dq r dqdE r d = dE ds
4 r
Como cada dq contribuye al flujo neto con 0
dq
S
carga n
t
eta encerradapor la
o
superfic
tal
ie S
0
0
dq 1E ds (r )d
Si S encierra carga que está repartida en una superficie S’ S
carga n
tS' S'
eta encerradapor la superfici
ota
0
e S
l
0
dq 1E ds (r )ds
Si S encierra carga que está repartida en una línea L S
carga neta encerradapor la superficie
total
0 0
S
L L
dq 1E ds (r )dl
S
dq
´
Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 29
Resumen y consecuencias al aplicar la ley de Gauss
S es una superficie cerrada cualquiera, real o imaginaria.
Si neta enc. por S
SE 0 punto de S E ds 0 Q 0 !!
Si neta enc
S. por S
E ds 0 Q 0 E 0 !!
Aunque el flujo de E a través de S dependa únicamente de la carga encerrada, el campo que
aparece en la expresión del flujo,S
E ds , es el campo eléctrico total (el debido a la carga
exterior a S y la interior a S).
La ley de Gauss, como vemos, nos permite calcular el flujo a través de una superficie
cerrada. Pero, además, es útil en problemas con simetría, pues en esos casos permite
obtener el valor del módulo del campo eléctrico, E (como se irá viendo en clase de
problemas).
neta enc. por S
S0
QE ds
Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 30
Una vez vistas las dos propiedades del campo electrostático, pero expresadas de forma integral,
su carácter conservativo: C
E dl 0
la ley de Gauss: neta enc. por S
S0
QE ds
queremos expresarlas de otra forma, en forma diferencial.
Para la primera de ellas, necesitamos otro concepto que no hemos estudiado todavía: el rotacional
de un campo vectorial y su relación con la circulación del campo. Veámoslo.
Rotacional de un campo vectorial F(r) en un punto del espacio. Proporciona información de la
tendencia de un campo vectorial a introducir rotación alrededor de un
punto.
Sea s un elemento de superficie de una superf S ¡abierta!!
La superficie s está limitada por el contorno elemental
cerrado l. El sentido de recorrido del contorno l es el que
corresponde al ds (giro del sacacorchos).
S
F ds
ds F
r
l
l
C
ds
l
Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 31
Se define rotacional de F(r) en un punto del espacio, como un vector cuya proyección en la
dirección perpendicular a la superficie, dada por el vector unitario n , se define como:
elementals 0 s
1 1rot F n lim F dl F dl
ds
elemental
rot F dsrot F nds F d F dl l
lo que significa que: el flujo elemental del campo vectorial rot F a través de la superficie abierta s
(elemental), es decir, rot F ds , es igual a la circulación del campo F(r) a lo largo del contorno cerrado
l (elemental) que rodea a la superficie s (elemental).
Relación entre rotacional de un campo y circulación del campo: a través del teorema de Stokes
Como rot F ds es el flujo elemental que pasa a través de la superficie abierta elemental s y vale
elementalF dl el flujo total a través de la superficie finita abierta S será la suma de los flujos a
través de todos los s que forman S S
rotF ds . Al hacer la suma (la integral) se obtiene:
S Crot F ds F dl Teorema de Stokes
Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 32
Si nos fijamos en la expresión anterior, vemos que como circulación total
(parte derecha de la ecuación) queda la que se calcula a lo largo del contorno
finito exterior, C, es decir, el que limita a la superficie finita abierta S. Esto es
así porque, al ir sumando las circulaciones a lo largo de los contornos
elementales l, en los contornos
elementales contiguos cada tramo es
recorrido en un sentido para uno y en sentido contrario para el
contiguo. La única circulación del campo que no se cancela es
la que corresponde a los tramos de contorno exterior, que todos
juntos conforman la curva cerrada C, la que limita, o en la que
se apoya, la superficie abierta S.
C
S
ds
l
S C
Ejemplo de campo con rotacional no nulo
Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 33
Si se aplica la definición de elemental
1rot F n F dl
ds a contornos l como los de la figura, se obtendrían, trabajando
en cartesianas, las componentes x
rot F , y
rot F , z
rot F del
rot F en el punto genérico P(x0,y0,z0), donde:
x x y y z z
F(r) F u F u F u
s=zy; s=zx; y s=yx para las componentes x,
y, y z, respectivamente.
Nota: en las tres figuras P representa al punto de coordenadas (x0,y0,z0)
Uniendo todos los resultados parciales,
x y
y yzz
x z xx y z
x y z
F FF F F Frot F u u u
y z z x x yrot F u rot F u rot F u
, y esto resulta ser igual a:
x y z
y y y yz x x z z x z xx y z z x y x y z
x y z
u u u
F F F FF F F F F F F FF u u u u u u u u u
x y z y z x y z x y z z x x y
F F F
rot F F
y
z
xds ds u
P(x0,y0,z0)
2
3
4
1
X Y
Z
1
4 yds dsu
2
3
z
x
P
1
zds dsu
P 2 3 4
y
x
Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 34
Ya estamos en condiciones de expresar las dos propiedades del campo electrostático en forma
diferencial:
1) Carácter conservativo: C
E dl 0 .
Por el teorema de Stokes C S
E dl ( E) ds 0 E 0 r
2) Ley de Gauss: neta enc. por S
S0
QE ds
neta enc. por S
S0 0 ´
Q 1E ds d ´
Por el teorema de la divergencia S ´
0
1E ds E d d ´
0
E d 0
tanto si > ´como si < ´, siendo el volumen encerrado por la superficie gaussiana y ´ el volumen
que ocupa la distribución de carga (cuerpo cargado)
0
E
Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 35
Notas importantes:
Si F 0 punto campo conservativo o irrotacional
Consecuencia líneas de campo abiertas
Ejemplo: el campo electrostático: las líneas nacen en las cargas positivas y mueren en las
negativas
Recordemos lo que poníamos en el Tema 1 acerca de:
Condiciones equivalentes de decir que un campo vectorial es conservativo:
1) la circulación2
1F dl no depende de la trayectoria seguida, sólo de los puntos inicial y final entre los que se calcula.
2) C
F dl 0 C
3) F es conservativo (r) (campo escalar) / F
4) F es conservativo F 0 r (se verá más adelante). Ahora ya lo hemos justificado
Como el campo electrostático lo es, en las expresiones anteriores sólo hay que cambiar la letra del
campo vectorial F por la letra E
Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 36
Si F 0 punto campo solenoidal
Consecuencia líneas de campo cerradas
Ejemplo: el campo magnético
Otras identidades importantes:
( F) 0
( ) 0
Otras cosas que saldrán en Fundamentos II:
Operador Laplaciana: 2
operador Laplaciana
2 2 2
2
2 2 2x y z
en cartesianas, y donde es un campo escalar
2F ( F) ( F) , donde F(r) es un campo vectorial
Ecuaciones diferenciales para el potencial eléctrico
Como 2
0 0
E y E V V V
2
0
V
2
0
V
2V 0 (si 0)
Ecuación de Poisson Ecuación de Laplace
Las usaréis en 2ºcurso en Propagación de ondas
Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 37
Aplicación del teorema de Gauss para determinar el E de distribuciones simétricas de carga
Antes habíamos escrito: La ley de Gauss permite calcular el flujo a través de una superficie cerrada. Pero, además, es
útil en problemas con simetría, pues en esos casos permite obtener el valor del módulo del campo eléctrico, E .
¿Qué implica que el problema tiene simetría?: que el campo eléctrico no depende de alguna de las
coordenadas espaciales eso hace que, a priori, podamos saber cómo son las líneas de campo que crea
el cuerpo cargado, aunque desconozcamos su valor (su módulo). El módulo es el que vamos a poder
obtener aplicando la ley de Gauss a ese problema que tiene simetría.
Pasos imprescindibles a dar para aplicarlo correctamente y entender lo que, y por qué, se hace
1.- Imaginar cómo son las líneas de campo E . Pintarlas.
2.- Diferenciar las regiones donde se va a calcular E .
3.- En cada región, elegir una superficie cerrada S (eso implica que la superficie debe encerrar un volumen; paralelepípedos,
esferas y cilindros son ejemplos de superficies cerradas). Debe elegirse la adecuada en función de cómo son las líneas de campo que
se han dibujado antes.
4.- Calcular el flujo de campo eléctrico a través de la superficie cerrada elegida en cada región.
5.- Calcular la carga neta que la superficie elegida encierra. Esta carga neta se calculará como: una integral de volumen de la
densidad volúmica de carga libre, o como una integral de superficie de la densidad superficial de carga libre, o como una integral de
longitud de la densidad lineal de carga libre, o simplemente sumando las posibles cargas puntuales que estén encerradas, dependiendo
del problema que tengamos entre manos.
6.- Igualar lo obtenido al trabajar la parte izquierda de la ley con lo obtenido de la parte derecha de la ley. Se añade a la
expresión del campo la dirección y sentido que tiene, y las unidades correspondientes.