electricite hervé boeglen iut de colmar département t&r 2005
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ELECTRICITE
Hervé BOEGLEN
IUT de Colmar Département T&R 2005
Plan :• Généralités sur les circuits électriques. Théorèmes généraux en régime continu
• Les circuits en régime variable : Régime quelconque : équation différentielle
Régime sinusoïdal : transformation complexe
Régime quelconque : écriture symbolique
• Puissance et énergie électrique
Généralités• Courant électrique
• Différence de potentiel
• Notion de dipôle
Définition
Dipôle
I
U
Généralités Conventions :
ERU U
I I
Généralités
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10Caractéristiques (U,I) de deux dipoles
U (
V)
I (A)
Point defonctionnement
Notion de caractéristique courant-tension :
Généralités
• Les dipôles élémentaires :
u
i
e
u = e i
Source de tension
- Actifs :
Généralités Source de courant :
i = iou
u
ioi
- Passifs :
Résistance :
Ru = +Ri
i
u
Généralités
Inductance :
dt
tdiLtu
)()(
i(t)
u(t)
L
Condensateur :
dt
tduCti
)()(
i(t)
u(t)
C
Généralités
• Réponse d’un circuit• Définition• Nature de la réponse
V1
R11K
C1100n Vout
Lois générales des réseauxlinéaires• Définitions : Linéaire, branche, nœud, maille :
E
R1
R2 R3
R4 R5
A B
C D
E1
E2 E3
E4 E5
Lois générales des réseauxlinéaires• Lois de Kirchhoff :
Loi des mailles :
Loi des noeuds :
0V
0I
Lois générales des réseauxlinéaires• Théorèmes fondamentaux : Diviseur de tension
E
R1
R2 S
I
I' = 0
Lois générales des réseauxlinéaires
Diviseur de courant
R1 R2 U
I1 I2
I
Lois générales des réseauxlinéaires
Théorème de superposition
V1 V2
R1 R2
U
Lois générales des réseauxlinéaires
Théorème de Millman
E1
R1
E2
R2
En
Rn
N
I1
I2
In
U
Lois générales des réseauxlinéaires
Théorème de Thévenin
VTH = VAB et ZTH = ZAB
Dipôleactif
A
B
Z Z
B
AZTH
VTH=
Lois générales des réseauxlinéaires
Théorème de Thévenin : exemple
V
R1
R2 R3
A
B
I
Calculer I en appliquant le théorème de Thévenin
Lois générales des réseauxlinéaires
Théorème de Norton
R
B
IN
RN
A I
Lois générales des réseauxlinéaires
Théorème de Norton : exemple
V110V
V230V
V320V
R120
R210
R320
A
B
Calculer la tension VAB en utilisant le théorème de Norton
Lois générales des réseauxlinéaires
Théorèmes : exercice de synthèse :
Calculer I par deux méthodes différentes
V15V
V210V
V35V
R12
R25
R35
R410
I
C
B
A
Réseaux en régime variable• Ecriture temporelle :
- Les circuits du 1er ordre :
Etude de la réponse d ’un circuit RC à un échelon E :
E
K R
C vc(t)
ic(t)
Réseaux en régime variableMéthode de résolution d ’une équation différentielle linéaire à coefficients constants :
1. solution de l ’équation sans second membre(ESSM)
2. recherche d ’une solution particulière
3. solution générale = 1 + 2
Réseaux en régime variableAprès résolution de l ’équation différentielle onobtient la représentation graphique suivante :
Réseaux en régime variableEtude de la réponse d ’un circuit RL à un échelon E :
E
K L
R
vL(t)iL(t)
Réseaux en régime variableAprès résolution de l ’équation différentielle onobtient la représentation graphique suivante :
Réseaux en régime variable - Les circuits du 2ème ordre :
Etude de la réponse d ’un circuit RLC série à un échelon E :
E
K R L
C vc(t)
Si on pose :
LC
10 et
L
CRm
2
Réseaux en régime variable0 est appelée la pulsation propre du circuit et m son coefficient d ’amortissement.
L ’équation peut alors s’écrire :
)()(
2)( 2
002
2
0 tudt
tdum
dt
tudE
Résolution :
- Solution particulière (régime permanent) :
Etu p )(
Réseaux en régime variable- Solution générale :
L ’équation caractéristique s ’écrit :
200
2 2 rmr
Il faut distinguer deux cas :
* m > 1 :
On obtient les racines :
12001 mmr
12002 mmr
Réseaux en régime variable
On obtient la représentation graphique suivante :
D ’où :trtr eKeKEtu 21
21)(
Les conditions initiales u(0) = 0 et u ’(0) = 0 permettent de déterminer K1 et K2 :
12
21 rr
rEK
12
12 rr
rEK
Réseaux en régime variable
Réseaux en régime variable* m < 1 :
On obtient les racines :
12001 mjmr
12002 mjmr
Après quelques lignes de calcul on arrive à :
)cos(cos
)( 0
teE
Etu tm
Avec :2
0 1 m
21 m
marctget
Réseaux en régime variableReprésentation graphique :
Réseaux en régime variableExercice de synthèse :
R
R CVe(t)
i(t) i1(t) i2(t)
Vs(t)
Ve(t)
t0 t0
E
Déterminer Vs(t) sachant qu ’à t = 0 Vs(0) = 0
Réseaux en régime variable• Ecriture complexe : - La fonction sinusoïdale dans les circuits.
- Décomposition en série de Fourier d ’un signal carré :
Réseaux en régime variableComposante continue et harmoniques jusqu’à l ’ordre 7 :
Réseaux en régime variableReconstruction du signal carré par addition des différentes
composantes :
Réseaux en régime variable- Etude de la réponse d ’un circuit du 1er ordre à la fonction f(t) = Am.cost :
v(t)
R
L
i(t)
La loi de la maille permet d ’écrire :
dt
tdiLtiRtAm
)()()cos(
Réseaux en régime variableLa solution générale, qui exprime la réponse transitoire du circuit est donnée par :
t
tr eKti
)(R
Lavec
La solution particulière, qui exprime la réponse permanente du circuit est donnée par:
)cos(Im)( ttip
Im et sont inconnus. Finalement :
R
Larctgt
LR
Vmtip
cos)(
)(22
Réseaux en régime variableDéfinition de la transformation complexe :
Opération dérivation :
Fjdt
tdf )(
L’opération dérivation dans le domaine du temps se transforme en l’opération multiplication par j dans le plan complexe.
jeAFtAtf mm )cos()(
Réseaux en régime variableOpération intégration :
Fj
dxxft
1
)(0
L’opération intégration dans le domaine du temps se transforme en l’opération division par j dans le plan complexe.
Réseaux en régime variable
Résistance R :
R
U
I
L’équation u(t) = Ri(t) se traduit dans le plan complexe par :
IRU
I U = RI
- L’impédance complexe :
Réseaux en régime variableCI
U
L’équation se traduit dans le plan complexe par :dt
tduCti
)()(
UjCI I = jCU
U
Condensateur C :
Réseaux en régime variableInductance L :
LI
U
L’équation se traduit dans le plan complexe par :dt
tdiLtu
)()(
IjLU U = jLI
I
Réseaux en régime variableImpédance et admittance complexes :
I
UZ
De manière générale :
jXRZ Où R est la RESISTANCE et X la REACTANCE qui s’expriment
en .
ZY
1
Réseaux en régime variableDe manière générale :
jBGY Où G est la CONDUCTANCE et B la SUSCEPTANCE qui
s’expriment en Siemens.
- Notion de résonance :
Coefficient de qualité
pour X et R en série, R
XQ
pour X et R en parallèle, X
RQ
Réseaux en régime variable
R L
C
I
U
Résonance série : circuit RLC série :
L ’impédance Z du circuit s ’écrit :
jCjLRZ
1
Réseaux en régime variableTraçons la représentation de
ax
I
Im
2
0
0
21
1
Im
SQax
I
avec :
C
L
RQS
1 et Imax courant
maximum à = 0
Réseaux en régime variable|I|/Imax en fonction de pour quatre valeurs de Qs :
Réseaux en régime variableBande passante :
Résonance parallèle : circuit RLC parallèle :
QsBP 0
21
IC
L R U
Réseaux en régime variableL ’admittance Y du circuit s ’écrit :
jCjLR
Y 11
Le module du rapport U/I s ’écrit :
2
0
0
21
pQ
R
I
U
avec :
L
CRQP
Réseaux en régime variableStructure série ou parallèle d ’un même dipôle :
Rs jXs
Structure série
Rp
jXp
Structure parallèle
Passage du schéma série au schéma parallèle :
En écrivant l ’égalité des admittances et en posant QS=XS/RS on obtient :
)1( 2SSP QRR
2
11
SSP Q
XX
Passage du schéma parallèle au schéma série :
En écrivant l ’égalité des impédances et en posant QP=RP/XP on obtient :
21 P
PS Q
RR
2
11
P
PS
Q
XX
Réseaux en régime variable
- Réponse en fréquence :
Notion de fonction de transfert :
)(
)()(
jV
jVjT
E
S
Réseaux en régime variableNotion de filtre :
On distingue quatre types de filtres :
0
T(jw)
0
T(jw)
0
T(jw)
0
T(jw)
Passe-bas Passe-haut
Passe-bande Réjecteur de bande
Réseaux en régime variableExemple :
Représentation des fonctions de transfert, diagrammes de Bode
Calculer et étudier la fonction de transfert du circuit ci-dessus. Conclure sur ses propriétés fréquentielles.
)(
)()(
jV
jVjT
E
S
R
CVe Vs
Réseaux en régime variableDéfinitions :
Décibel :
0
log10P
PP
dB
Réponse en puissance :
E
S
dBV V
VA log20
Réponse en tension :
E
S
dBI I
IA log20
Réponse en courant :
Octave, décade :
Réseaux en régime variableDiagramme de Bode :
Frequency (rad/sec)
Pha
se (
deg)
; M
agni
tude
(dB
)
Bode Diagrams
-20
-15
-10
-5
0
10-1
100
101
-80
-60
-40
-20
Réseaux en régime variableIntérêt des diagrammes de Bode :
On suppose que :
nTTTT 21
On en déduit que :
nTTTT 21
Donc :
nTTTT log20log20log20log20 21
et :
nTTTT argargargarg 21
Réseaux en régime variable
Les fonctions de transfert élémentaires :
Les représentations du module et de l ’argument de T s ’obtiennent en faisant la somme des représentations correspondantes du module et de l ’argument des fonctions de transfert T1, T2, …, Tn. Il ne reste plus qu’à étudier les représentations de Bode des fonctions élémentaires composant toute fonction complexe T.
Réseaux en régime variableExercice :
R1
R2
C
VsVe R2=10R1
Calculer la fonction de transfert en tension du circuit suivant et tracer les diagrammes de Bode.