electricite hervé boeglen iut de colmar département r&t 2007
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ELECTRICITE
Hervé BOEGLEN
IUT de Colmar Département R&T 2007
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Plan :• Généralités sur les circuits électriques. Théorèmes généraux en régime continu
• Les circuits en régime variable : Régime quelconque : équation différentielle
Régime sinusoïdal : transformation complexe
Régime quelconque : écriture symbolique
• Puissance et énergie électrique
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Généralités• Courant électrique
• Différence de potentiel
• Notion de dipôle
DéfinitionDipôle
I
U
dt
dqti )(
B
A
BAAB dxEVVU
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Généralités Conventions :
ERU U
I I
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Généralités
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10Caractéristiques (U,I) de deux dipoles
U (
V)
I (A)
Point defonctionnement
Notion de caractéristique courant-tension :
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Généralités
• Les dipôles élémentaires :
u
i
e
u = e i
Source de tension
- Actifs :
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Généralités Source de courant :
i = iou
u
ioi
- Passifs :
Résistance :
Ru = +Ri
i
u
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Généralités
Inductance :
dt
tdiLtu
)()(
i(t)
u(t)
L
Condensateur :
dt
tduCti
)()(
i(t)
u(t)
C
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Généralités
• Réponse d’un circuit• Définition• Nature de la réponse
V1
R11K
C1100n Vout
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Lois générales des réseauxlinéaires• Définitions : Linéaire, branche, nœud, maille :
E
R1
R2 R3
R4 R5
A B
C D
E1
E2 E3
E4 E5
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Lois générales des réseauxlinéaires• Lois de Kirchhoff :
Loi des mailles :
Loi des noeuds :
0V
0I
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Lois générales des réseauxlinéaires• Théorèmes fondamentaux : Diviseur de tension
E
R1
R2 S
I
I' = 0
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Lois générales des réseauxlinéaires
Diviseur de courant
R1 R2 U
I1 I2
I
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Lois générales des réseauxlinéaires
Théorème de superposition
V1 V2
R1 R2
U
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Lois générales des réseauxlinéaires
Théorème de Millman
E1
R1
E2
R2
En
Rn
N
I1
I2
In
U
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Lois générales des réseauxlinéaires
Théorème de Thévenin
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Lois générales des réseauxlinéaires
Théorème de Thévenin : exemple
V
R1
R2 R3
A
B
I
Calculer I en appliquant le théorème de Thévenin
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Lois générales des réseauxlinéaires
Théorème de Norton
R
B
IN
RN
A I
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Lois générales des réseauxlinéaires
Théorème de Norton : exemple
V110V
V230V
V320V
R120
R210
R320
A
B
Calculer la tension VAB en utilisant le théorème de Norton
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Lois générales des réseauxlinéaires
Théorèmes : exercice de synthèse :
Calculer I par deux méthodes différentes
V15V
V210V
V35V
R12
R25
R35
R410
I
C
B
A
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Réseaux en régime variable• Ecriture temporelle :
- Les circuits du 1er ordre :
Etude de la réponse d ’un circuit RC à un échelon E :
E
K R
C vc(t)
ic(t)
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Réseaux en régime variableMéthode de résolution d ’une équation différentielle linéaire à coefficients constants :
1. solution de l ’équation sans second membre(ESSM)
2. recherche d ’une solution particulière
3. solution générale = 1 + 2
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Réseaux en régime variableAprès résolution de l ’équation différentielle onobtient la représentation graphique suivante :
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Réseaux en régime variableEtude de la réponse d ’un circuit RL à un échelon E :
E
K L
R
vL(t)iL(t)
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Réseaux en régime variableAprès résolution de l ’équation différentielle onobtient la représentation graphique suivante :
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Réseaux en régime variable - Les circuits du 2ème ordre :
Etude de la réponse d ’un circuit RLC série à un échelon E :
E
K R L
C vc(t)
Si on pose :
LC
10 et
L
CRm
2
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Réseaux en régime variable0 est appelée la pulsation propre du circuit et m son coefficient d ’amortissement.
L ’équation peut alors s’écrire :
)()(
2)( 2
002
220 tu
dt
tdum
dt
tudE
Résolution :
- Solution particulière (régime permanent) :
Etu p )(
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Réseaux en régime variable- Solution générale :
L ’équation caractéristique s ’écrit :
200
2 2 rmr
Il faut distinguer deux cas :
* m > 1 :
On obtient les racines :
12001 mmr
12002 mmr
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Réseaux en régime variable
On obtient la représentation graphique suivante :
D ’où :trtr eKeKEtu 21
21)(
Les conditions initiales u(0) = 0 et u ’(0) = 0 permettent de déterminer K1 et K2 :
12
21 rr
rEK
12
12 rr
rEK
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Réseaux en régime variable
![Page 32: ELECTRICITE Hervé BOEGLEN IUT de Colmar Département R&T 2007](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062622/551d9dd5497959293b8e6153/html5/thumbnails/32.jpg)
Réseaux en régime variable* m < 1 :
On obtient les racines :
12001 mjmr
12002 mjmr
Après quelques lignes de calcul on arrive à :
)cos(cos
)( 0
teE
Etu tm
Avec :2
0 1 m
21 m
marctget
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Réseaux en régime variableReprésentation graphique :
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Réseaux en régime variableExercice de synthèse :
R
R CVe(t)
i(t) i1(t) i2(t)
Vs(t)
Ve(t)
t0 t0
E
Déterminer Vs(t) sachant qu ’à t = 0 Vs(0) = 0
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Réseaux en régime variable• Ecriture complexe : - La fonction sinusoïdale dans les circuits.
- Décomposition en série de Fourier d ’un signal carré :
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Réseaux en régime variableComposante continue et harmoniques jusqu’à l ’ordre 7 :
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Réseaux en régime variableReconstruction du signal carré par addition des différentes
composantes :
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Réseaux en régime variable- Etude de la réponse d ’un circuit du 1er ordre à la fonction f(t) = Am.cost :
v(t)
R
L
i(t)
La loi de la maille permet d ’écrire :
dt
tdiLtiRtAm
)()()cos(
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Réseaux en régime variableLa solution générale, qui exprime la réponse transitoire du circuit est donnée par :
t
tr eKti
)(R
Lavec
La solution particulière, qui exprime la réponse permanente du circuit est donnée par:
)cos(Im)( ttip
Im et sont inconnus. Finalement :
R
Larctgt
LR
Vmtip
cos)(
)(22
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Réseaux en régime variableDéfinition de la transformation complexe :
Opération dérivation :
Fjdt
tdf )(
L’opération dérivation dans le domaine du temps se transforme en l’opération multiplication par j dans le plan complexe.
jeAFtAtf mm )cos()(
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Réseaux en régime variableOpération intégration :
Fj
dxxft
1
)(0
L’opération intégration dans le domaine du temps se transforme en l’opération division par j dans le plan complexe.
![Page 42: ELECTRICITE Hervé BOEGLEN IUT de Colmar Département R&T 2007](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062622/551d9dd5497959293b8e6153/html5/thumbnails/42.jpg)
Réseaux en régime variable
Résistance R :
R
U
I
L’équation u(t) = Ri(t) se traduit dans le plan complexe par :
IRU
I U = RI
- L’impédance complexe :
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Réseaux en régime variableCI
U
L’équation se traduit dans le plan complexe par :dt
tduCti
)()(
UjCI I = jCU
U
Condensateur C :
![Page 44: ELECTRICITE Hervé BOEGLEN IUT de Colmar Département R&T 2007](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062622/551d9dd5497959293b8e6153/html5/thumbnails/44.jpg)
Réseaux en régime variableInductance L :
LI
U
L’équation se traduit dans le plan complexe par :dt
tdiLtu
)()(
IjLU U = jLI
I
![Page 45: ELECTRICITE Hervé BOEGLEN IUT de Colmar Département R&T 2007](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062622/551d9dd5497959293b8e6153/html5/thumbnails/45.jpg)
Réseaux en régime variableImpédance et admittance complexes :
I
UZ
De manière générale :
jXRZ Où R est la RESISTANCE et X la REACTANCE qui s’expriment
en .
ZY
1
![Page 46: ELECTRICITE Hervé BOEGLEN IUT de Colmar Département R&T 2007](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022062622/551d9dd5497959293b8e6153/html5/thumbnails/46.jpg)
Réseaux en régime variableDe manière générale :
jBGY Où G est la CONDUCTANCE et B la SUSCEPTANCE qui
s’expriment en Siemens.
- Notion de résonance :
Coefficient de qualité
pour X et R en série, R
XQ
pour X et R en parallèle, X
RQ
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Réseaux en régime variable
R L
C
I
U
Résonance série : circuit RLC série :
L ’impédance Z du circuit s ’écrit :
jCjLRZ
1
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Réseaux en régime variableTraçons la représentation de
ax
I
Im
2
0
0
21
1
Im
SQax
I
avec :
C
L
RQS
1 et Imax courant
maximum à = 0
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Réseaux en régime variable|I|/Imax en fonction de pour quatre valeurs de Qs :
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Réseaux en régime variableBande passante :
Résonance parallèle : circuit RLC parallèle :
QsBP 0
21
IC
L R U
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Réseaux en régime variableL ’admittance Y du circuit s ’écrit :
jCjLR
Y 11
Le module du rapport U/I s ’écrit :
2
0
0
21
pQ
R
I
U
avec :
L
CRQP
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Réseaux en régime variableStructure série ou parallèle d ’un même dipôle :
Rs jXs
Structure série
Rp
jXp
Structure parallèle
Passage du schéma série au schéma parallèle :
En écrivant l ’égalité des admittances et en posant QS=XS/RS on obtient :
)1( 2SSP QRR
2
11
SSP Q
XX
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Passage du schéma parallèle au schéma série :
En écrivant l ’égalité des impédances et en posant QP=RP/XP on obtient :
21 P
PS Q
RR
2
11
P
PS
Q
XX
Réseaux en régime variable
- Réponse en fréquence :
Notion de fonction de transfert :
)(
)()(
jV
jVjT
E
S
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Réseaux en régime variableNotion de filtre :
On distingue quatre types de filtres :
0
T(jw)
0
T(jw)
0
T(jw)
0
T(jw)
Passe-bas Passe-haut
Passe-bande Réjecteur de bande
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Réseaux en régime variableExemple :
Représentation des fonctions de transfert, diagrammes de Bode
Calculer et étudier la fonction de transfert du circuit ci-dessus. Conclure sur ses propriétés fréquentielles.
)(
)()(
jV
jVjT
E
S
R
CVe Vs
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Réseaux en régime variableDéfinitions :
Décibel :
0
log10P
PP
dB
Réponse en puissance :
E
S
dBV V
VA log20
Réponse en tension :
E
S
dBI I
IA log20
Réponse en courant :
Octave, décade :
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Réseaux en régime variableDiagramme de Bode :
Frequency (rad/sec)
Pha
se (
deg)
; M
agni
tude
(dB
)
Bode Diagrams
-20
-15
-10
-5
0
10-1
100
101
-80
-60
-40
-20
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Réseaux en régime variableIntérêt des diagrammes de Bode :
On suppose que :
nTTTT 21
On en déduit que :
nTTTT 21
Donc :
nTTTT log20log20log20log20 21
et :
nTTTT argargargarg 21
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Réseaux en régime variable
Les fonctions de transfert élémentaires :
Les représentations du module et de l ’argument de T s ’obtiennent en faisant la somme des représentations correspondantes du module et de l ’argument des fonctions de transfert T1, T2, …, Tn. Il ne reste plus qu’à étudier les représentations de Bode des fonctions élémentaires composant toute fonction complexe T.
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Réseaux en régime variableExercice :
R1
R2
C
VsVe R2=10R1
Calculer la fonction de transfert en tension du circuit suivant et tracer les diagrammes de Bode.