Elaborato di Teoria dello Sviluppo dei Processi Chimici

Elaborato di Teoria dello Sviluppo dei Processi Chimici

Algoritmo del simplessoAlgoritmo del simplesso

Studenti:

Amabile Roberto 564/18

Donatantonio Riccardo 564/19

Farace Antonio 564/28

Perfetto Alfonso 564/45

Studenti:

Amabile Roberto 564/18

Donatantonio Riccardo 564/19

Farace Antonio 564/28

Perfetto Alfonso 564/45

Docente:

Prof. Michele Miccio

Docente:

Prof. Michele Miccio

Struttura del lavoro

Il lavoro si compone delle seguenti fasi:

1. Realizzazione di un software in ambiente LabView 7.0™

2. Approfondimento di argomenti trattati durante il corso inerenti la programmazione lineare

3. Svolgimento di problemi di programmazione lineare risolti mediante l’algoritmo del simplesso al fine di verificare il corretto funzionamento del SimpLab 1.0

Problema generaleLa semplicità nel calcolo della soluzione di base per il caso di tutti vincoli ≤ è legata alla presenza di un minore unitario dei coefficienti delle variabili aggiunte.

1 2 3 4

1 2 3 5

2 5 6 8

2 5

x x x x

x x x x

Es.

Minore unitario

Nel caso generale la presenza di questo minore unitario dei coefficienti non è garantita e in verità quasi mai verificata.

Variabili artificialiVista la facilità di calcolo della b.a. nel caso in cui vi sia un minore unitario dei coefficienti si è arrivati all’idea di costruire quest’ultimo, nel caso generale, mediante l’aggiunta di altre variabili dette variabili artificiali.

Es. 1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 5 6 8

2 5

3 2 4 9

x x x

x x x

x x x

1 2 3 4

1 2 3 5

1 2 3 6 7

2 5 6 8

2 5

3 2 4 9

x x x x

x x x x

x x x x x

1 2 3 4

1 2 3

1 2 3 6

2 5 6 8

2 5

3 2 4 9

x x x x

x x x

x x x x

Forma canonica slack

surplus

artificiali

Minore unitario

Problema artificialeL’aggiunta delle variabili artificiali ovviamente non è cosa “lecita”; questo infatti trasforma il nostro problema in un nuovo problema che ha delle variabili in più rispetto a quello di partenza.Di contro però va detto che di questo nuovo problema noi riusciamo a conoscere banalmente la prima soluzione di base ammissibile, come fatto per il caso di vincoli tutti di tipo ≤, e per questo definendo opportunamente una nuova funzione obiettivo potremmo riuscire ad arrivare alla soluzione b.a. del problema originario ottimizzando questo nuovo obiettivo.

La nuova funzione obiettivo che si definisce prende il nome di Forma d’Inammissibilità.

La Forma d’Inammissibilità è definita come:

1

a

n jj

w X

n=numero di variabili del problema originario

a=numero di variabili artificiali

Xn+j=variabili artificiali

Questa funzione va minimizzata tenendo in conto che:

•Se min w=0: l’n-pla X0 in cui la w è minima è una soluzione basica ammissibile per la funzione obiettivo del problema originario. Questo perchè si possono escludere tutte le variabili artificiali poiché la loro somma è nulla

•Se min w>0: non esiste una soluzione basica ammissibile per il problema originario

Forma d’Inammissibilità

Il TableauLa procedura di calcolo che porta alla determinazione del valore di ottimo della funzione obiettivo si basa su un processo iterativo che parte con la costruzione di una matrice detta Tableau e di volta in volta continua con l’aggiornamento di quest’ultima fino al raggiungimento della soluzione ottima. La costruzione del Tableau parte dal problema in forma canonica con l’aggiunta di variabili artificiali.Riassumendo, quindi, in base al tipo di vincolo devo aggiungere al problema delle variabili:

•Slack: per vincoli di tipo

•Artificiali: per vincoli di tipo =

•Artificiali e Surplus: per vincoli di tipo

Costruzione del Tableau

a11 a12 a13 a1n

a21 a22 a23 a2n

am1 am2 am3 amn

(-z) c1 c2 c3 cn

X1 X2 X3 Xn

10

0

01

0

0 0

0

1

0

0 0-1

0

0

0

1

0

0

0

Xn+1 Xn+jXn+j+1

b1

b2

bm

0

Xa

Xb

Xq

Matrice dei tassi di assorbimentoCoefficienti di costo Risorse

Variabili decisionali

Minore unitario delle variabili slack

Variabili surplus

Variabili in base

Il Tableau assume la forma:

(-w) d1 d2 d3 dn 0 1 dj0

Coefficienti di costo modificati più quelle artificiali

Condizione di ottimalitàResta ora da stabilire quando il ciclo del simplesso deve arrestarsi, cioè come verificare il raggiungimento della soluzione ottima. A questo scopo notiamo che:

( ) j 1;mj

j

zc

X

( )

j 1;mjj

zc

X

Da questo è evidente che, durante le iterazioni del simplesso, nel caso in cui tutti i coefficienti di costo sono positivi/negativi siamo in una condizione di minimo/massimo della F.O.La condizione di ottimo quindi sarà, per il problema a minimizzare:

0 j 1;mjc 0 j 1;mjc

Con m = numero totale di variabili.

Metodo delle due fasi

Aggiungere variabili slack

Aggiungere variabili slack e

artificiali

Rendere i termini noti non negativi

Aggiungere variabili artificiali

Vincoli di tipo

Aggiungere forma di inammissibilità

Tutti i dj0

w=0

Scelta colonna pivot s: ds=min dj

Scelta riga pivot r: br/ars=min bi/ais

Pivoting sul perno ars

STOP: nessuna soluzione ammissibile

NO

Eliminare colonne con dj >0. Eliminare

la forma di inammissibilità

SÌ

Tutti i

cj0

cj>0

Tutti gli

ais=0

NO

Scelta colonna pivot s: cs=min cj

STOP: soluzione basica

ammissibile minima

STOP: infinite

soluzioni

STOP: soluzione

non limitata

NO

SÌ

START fase 1

START fase 2

SÌ

SÌ

NO

NO

, =,

=

Metodo dei grossi pesiSi procede aggiungendo le variabili slack, surplus o artificiali in base al tipo di vincoli.

Si introducono dei coefficienti di costo per le variabili artificiali detti penalità in modo da ottenere:

1

aT

n jj

z C X P X

Con o.d.g.(P)>>o.d.g.(ci)

•-P se il problema è a massimizzare

•+P se il problema è a minimizzare

Se il problema è a minimizzare le variabili artificiali saranno le prime ad uscire dalla base (per il “grosso peso” di P) e non vi rientreranno più.