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El ABC de las inecuaciones
El ABC de las inecuaciones26
Elmer Llun Cumpa
MATEMATICA EL ABC DE LAS INECUACIONES
CONTENIDO
Pg.
Presentacin...21. Inecuaciones Lineales1.1 Ejemplos....31.2 Ejercicios Propuestos.91.3 Aplicaciones101.4 Problemas propuestos..12
2. El mtodo de los puntos crticos2.1 Procedimiento.14 3. Inecuaciones Cuadrticas3.1 Ejemplos.153.2 Ejercicios propuestos..17
4. Inecuaciones racionales4.1 Ejemplos.194.2 Ejercicios propuestos..21
5. Inecuaciones con valor absoluto5.1 Ejemplos.225.2 Ejercicios propuestos..25
6. Inecuaciones exponenciales6.1 Ejemplos276.2 Ejercicios propuestos.31
7. Inecuaciones logartmicas7.1 Ejemplos327.2 Ejercicios propuestos.34
Respuestas a ejercicios propuestos..35
PRESENTACIN
Las inecuaciones las estudiamos en el sistema de los nmeros reales y, desde luego llevan consigo muchas propiedades. Las inecuaciones se encuentran dentro de un tema ms amplio como son las desigualdades.En este sentido, consideramos el siguiente diagrama:
DESIGUALDAD
Es una relacin que establece el orden entre dos cantidades TIPOS
DESIGUALDAD RELATIVA O INECUACIONDESIGUALDAD ABSOLUTA Aquellas que se Aquellas que se verifican solo para verifican siempre para algunos valores reales todos los valores reales de la variable de la variable
1.
INECUACIONES LINEALES
Son expresiones de la forma:
EJEMPLOS
Resuelve en el conjunto de los nmeros reales, las inecuaciones enteras lineales.
1.
>
2.
>
3. 4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Si el intervalo es solucin de . Halla
SOLUCIN
1.
Eliminamos los parntesis, aplicando la propiedad distributiva
En forma grafica se tiene:
3 +
Rpta:
2.
Extraemos el M.C.M
En forma de intervalo:
-7 +
Rpta:
3.
Aqu resolvemos dos inecuaciones:
i.
yii.
i.ii.
Multiplicando por
El trmino y significa el mismo tiempo, en trminos de conjuntos, es la interseccin de las dos soluciones
5 8 +
De donde se observa que la interseccin es
Rpta:
4.
Extraemos el M.C.M
Divisin Inexacta
-
Rpta:
5.
M.C.M
-1
Rpta:
6.
Sacamos M.C.M
Los nmeros reales mayores que dos estn ubicados aqu:
2 +
Rpta:
7.
Resolvemos dos inecuaciones:
i) ii)Luego, tenemos que interceptar ambas soluciones.
En i), el M.C.M.
Observa que el coeficiente de es y cuando se trata de una inecuacin, este coeficiente negativo no puede pasar a dividir directamente, para ello multiplicamos toda la ecuacin por
2 +
En ii), el M.C.M.
-
Finalmente la solucin de i) y ii) se interceptan:
2 8 +
Rpta:
8.
Resolvemos dos inecuaciones
i)ii)
M.C.M: MCM:
]
Interceptamos ambas soluciones:
- -2 0 +
De donde se observa que la interseccin de las dos soluciones es
Rpta:
9. y 10. Vamos, resulvelos!
Puedes comprobar que las respuestas son x>1/14 y a+b=30 respectivamente.
Lo importante es no dejar de hacerse preguntas (A. Einstein)
LISTA DE EJERCICIOS N 01
Resuelve en el conjunto de los nmeros reales las siguientes inecuaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9)
10)
APLICACIONES
En pleno siglo XXI, es muy notorio la utilidad de la matemtica en las diferentes reas del saber humano. La matemtica se puede concebir desde dos concepciones: La Pura y Aplicada. Es en esta ltima, que vemos su accionar en la vida diaria y ms especficamente en reas como la economa (economa matemtica), biologa (biomatemtica), finanzas (matemtica financiera), programacin y computacin (lgica matemtica), ingeniera (mtodos numricos), etc, etc.Veamos algunos ejemplos. 1. Una compaa produce un determinado nmero de microscopios; Si duplica su produccin y vende 60 le quedan ms de 26 pero si bajara su produccin a la tercera parte y vendiera 5, entonces tendra menos de 10 microscopios. Cuntos microscopios se fabricaron?
Solucin
Nmero de microscopios fabricados : xLa compaa duplica su produccin : 2xVende 60 : 2x-60Le quedan ms de 26 : 2x-60 > 26 (I)Baja su produccin a la tercera parte : x/3Vende 5 microscopios : x/3 5Tendra menos de 10 : x/3 5 < 10..... (II)Resolviendo las inecuaciones I y II, tenemos:
mcm:3
Es decir, el numero de microscopios fabricados debe ser mayor que 43 pero menor que 45, resultando x=44.
Rpta. Se fabricaron 44 microscopios.
2. Las lecturas de temperatura en las escalas Fahrenheit (F) y Celsius (C) se relacionan mediante la formula Que valores de F corresponden a los valores de C, de tal manera que ?3. Un fabricante vende su producto estrella a S/ 5 la unidad. Los costos fijos son constantes y ascienden a S/ 3000, independientemente del nmero de artculos producidos; los costos variables se estiman en 40 % del ingreso total.Cul es el costo total cuando se venden 5000 unidades del producto?
T puedes pronunciar un mejor discurso con tu vida, que con tus labios (Golsmith)
LISTA DE EJERCICIOS N 02
Resuelve los siguientes problemas sobre aplicaciones de inecuaciones lineales.
1. Lupita prepara marcianos de fruta para vender en su barrio. Gasta S/ 0,20 en fruta y S/ 0,20 en otros insumos (como azcar, bolsitas de marcianos, etc) por unidad. Adems, debe aportar S/ 20 mensuales por consumo de luz, agua y gas que utiliza para la preparacin de los mismos. Si los vende a S/ 0,50 cada uno, Cuntos marcianos debe vender para empezar a obtener utilidades?
2. Un carpintero fabrico cierto nmero de mesas, vende 70 y le quedan por vender ms de la mitad. Fabrica despus 6 mesas y vende 36 quedndole menos de 42 mesas por vender. Cuntas mesas ha fabricado?
3. Un productor vende su producto estrella a S/ 5 la unidad. Los costos fijos son constantes y ascienden a S/ 3000, independientemente del nmero de artculos producidos; los costos variables se estiman en 40 % del ingreso total.Cul es el costo total cuando se venden 6000 unidades del producto?
4. Un propietario vendi el primer ao la tercera parte de sus casas, al ao siguiente vendi la quinta parte de las casas que inicialmente tena y 5 mas, al siguiente ao vendi la cuarta parte de lo que inicialmente tena y 3 ms. El primer ao vendi menos casas que el segundo y ms que el tercero. Cuntas casas tena el dueo antes de empezar a vender?5. Tres amigos cuentan el nmero de piezas que fabrica una maquina por minuto. El primero conto la mitad menos 3, el segundo conto la sexta parte y 12 piezas, el tercero conto la cuarta parte y 10 piezas. Si el primer conto mas piezas que el segundo pero menos que el tercero, Qu cantidad de piezas arroja la maquina 2.
EL MTODO DE LOS PUNTOS CRTICOS
En el presente trabajo, hallaremos el conjunto solucin de las inecuaciones mediante un mtodo muy efectivo y prctico, denominado el mtodo de los puntos crticos o de variacin de signos. Este mtodo tiene mucha utilidad en la matemtica y sus aplicaciones, se utiliza en temas como nmeros reales, relaciones binarias, funciones, programacin matemtica, etc.
Cul es el proceso?
El proceso es el siguiente:1) Traslada al primer miembro de la desigualdad todos los trminos y deja cero en el segundo miembro.2) Factoriza las expresiones algebraicas, verificando que el coeficiente principal de cada factor primo sea positivo.3) Halla los valores de la variable igualando a cero cada factor, estos valores son llamados puntos crticos (PC). Los PC los ubican en la recta real ampliada
4) Asigna a la recta, los signos alternados +, -, +, ,empezando desde + hasta -
-+-+
PCPCPC - +
5) Finalmente, si la desigualdad de donde obtuvimos los PC es 0 entonces la solucin esta dada por los intervalos se digno negativo; pero si la desigualdad es 0, la solucin estar dada por los intervalos de signo positivo.
Ten en cuenta:
Cuando un punto crtico se repite UN NMERO PAR de veces, los signos laterales de dicho punto crtico tambin se repiten.
3.
INECUACIONES CUADRATICAS
Son de la forma:
(0)
Ejemplos
Resuelve en el conjunto de los nmeros reales las inecuaciones enteras cuadrticas:
1. >02. 3.
4.
0 por ello, tomamos los intervalos positivos.
Rpta:
2)
Puntos Crticos: -3 y
+ -+
- -3 +
Rpta:
3)
0 < 0
> 0 Puntos crticos: 1 y 2 Puntos crticos: 1 y 4
+ - + + - +
1 2 + 1 4
La respuesta ser la interseccin de ambas soluciones.
Rpta:
4)
Resolvemos dos inecuaciones:
i. y ii.
Cambiando el orden,
P.C: y P.C:;
+ - +
-
][
La respuesta es la interseccin de ambas soluciones
Rpta: ][
5)
Factor izamos:
P.C.: + - +
-3 -2
Luego,
Los nmeros enteros pertenecientes al intervalo cerrado son y y su suma es
Rpta:
6)
Es conveniente hacer un cambio de variable.
Hacemos:
Los puntos crticos son: y
Reemplazando, ;
;
+ - +
-
Como la desigualdad es , daremos como solucin al intervalo
Rpta:
7)
Eliminamos los parntesis desarrollando convenientemente.
Simplificamos los nmeros, dividiendo toda la inecuacin entre 4
Puntos Crticos: y
+ - +
-
Elegimos los intervalos con signo positivo como respuesta
][
Rpta: -][
Si deseas que tus sueos se hagan realidadDespierta!
LISTA DE EJERCICIOS N 3
Resuelve las inecuaciones cuadrticas en el conjunto de los nmeros reales
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10)
4. INECUACIONES RACIONALES
Son expresiones que tienen la forma siguiente:
Donde es un polinomio y es un polinomio no nulo.
Las inecuaciones racionales tambin se resuelven usando el mtodo de los puntos crticos.
Ejemplos
Resuelve en el conjunto R las inecuaciones siguientes:
1.
2.
3.
4.
5.
6. 7. 8.
9. -1<
10.
Solucin
1. Mcm:
Obteniendo los siguientes factores,
Con puntos crticos: -2,1/4;1 y 4
Al dibujar estos puntos en R, escogemos los intervalos positivos cerrados en el numerador.Rpta.
2.
LISTA DE EJERCICIOS N 4
Resuelve en el conjunto de los nmeros reales
1.
2.
3.
4. 5.
5.
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
El mtodo estudiado en el capitulo previo, tambin es aplicable para resolver inecuaciones con valor absoluto.En primer lugar, definimos el valor absoluto y sus propiedades
Se define as:
si
; si
Ejm:
porque
porque
Propiedades
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Ejemplos
Resuelve en el conjunto R.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Solucin
1) Usamos la propiedad 9.
Pero tiene valor de verdad verdadero;
Solo falta resolver para encontrar x.
(+1)
.(/5)
Luego:
Rpta:
2) Empleamos la propiedad 10
3
][
Rpta: ][
3)Aplicamos la propiedad 9
[Este intervalo es llamado universo.
Adems,
Resolvemos las dos inecuaciones e interceptamos sus soluciones:
y
5
La interseccin de estas dos soluciones es [, que finalmente se intercepta con el universo.
Rpta: [
No hay dao tan grande como el del tiempo perdido
LISTA DE EJERCICIOS N 5
Resuelve las siguientes inecuaciones
1.2. 3.4.5.
6. 7. El conjunto solucin de es de la forma . Halla a.b
8.9.
10.
11.
12.
13.
Sugerencias
Espero tus sugerencias en este email y mil disculpas por los errores que involuntariamente pude cometer. [email protected]
Elmer Llun Cumpa