el teorema integral de cauchy

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA FACULTAD DE INFORMATICA UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID

EL TEOREMA INTEGRAL DE CAUCHY Y ALGUNAS DE SUS CONSECUENCIAS

Contenidos1 Introduccin o 2 Gnesis histrica e o 3 Preliminares 3.1 3.2 Integrales sobre intervalos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El concepto de integral y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curvas y contornos en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Equivalencia de curvas y contornos orientados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Longitud de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 6 6 7 9 9 9 11 11 11 11 12 12 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 21 23 23 25 26 29

4 Integrales de contorno en C 4.1 El concepto de integral de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Independencia de la parametrizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Relacin con la integral curvil o nea real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 4.3 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Independencia del camino de la integral. Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . .

5 El teorema integral de Cauchy 5.1 5.2 El teorema integral de Cauchy-Goursat El teorema de Cauchy-Goursat y dominios mltiplemente conexos . . . . . . . u

6 Consecuencias del teorema integral de Cauchy 6.1 6.2 6.3 La frmula integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Teorema de Liouville y el teorema fundamental del Algebra . . . . . . . . . . . El teorema del valor medio de Gauss y el principio del mdulo mximo . . . . . o a

7 Bibliograf a

1

1 Introduccin oEn esta leccin se tratan los fundamentos de la integracin en el campo complejo, y es el o o objetivo principal del tema la presentacin y deduccin del teorema integral de Cauchy, as o o como el anlisis de algunas de sus principales consecuencias. a El teorema de Cauchy es uno de los resultados principales en la teor de las funciones a anal ticas. Sin precedentes en el campo real, establece que la integral, sobre un contorno cerrado, de una funcin holomorfa sobre la trayectoria de dicho contorno y su componente o interior, es nula. Las consecuencias que de l se derivan son sorprendentes y marcan denie tivas distancias con el anlisis real. En el anlisis real, si se considera la teor de campos a a a vectoriales, que es donde se enmarcan las integrales de funciones sobre curvas, este resultado no tiene contrapartida pues, en general, la integral sobre contornos cerrados de campos diferenciales no es nula; slo una clase de funciones especiales lo verican: las que admiten o funcin potencial. La diferencia entre ambos casos, real y complejo, sin duda hay que buscarla o en las ecuaciones de Cauchy-Riemann, no en vano, una funcin holomorfa en un dominio no o slo verica que sus partes real e imaginaria son diferenciables, sino que tambin verica las o e mencionadas ecuaciones. Este hecho queda patente si se utiliza el teorema de Green-Riemann en la demostracin del teorema integral de Cauchy. o No obstante, s se puede establecer una analog entre el comportamiento de las funciones a holomorfas y campos gradientes, los que admiten funcin potencial, respecto a la integracin, o o como se recoge en los siguientes cuadros. Teor de funciones complejas a C dominio simplemente conexo, contorno cerrado en f : C holomorfa

f (z) dz = 0

Teor de campos vectoriales a R2 dominio simplemente conexo, contorno cerrado en f : R2 campo gradiente

f (s) ds = 0 2

Introduccin o

3

Otro enfoque que tambin permite establecer cierta analog con el caso real es el propore a cionado por el teorema fundamental del Clculo. En efecto, el teorema de Cauchy establece a tambin un teorema fundamental para el clculo complejo, pero hay que exigir una hiptesis e a o ms fuerte que en el caso real, se pide holomorf frente a la continuidad para las funciones a a reales. Esta relacin se recoge en los siguientes cuadros. o Teor de funciones complejas a f : C holomorfa, C dominio simplemente conexo F : C primitiva de f

Teor de funciones reales a f : I R continua, I R intervalo F : I R primitiva de f

2 Gnesis histrica e oLas primeras integraciones en las regiones imaginarias fueron publicadas en 1813 por S. D. Poisson (matemtico francs, profesor en la Ecole Polytchnique). Sin embargo las primeras a e investigaciones sistemticas de clculo integral en el plano complejo fueron hechas por Cauchy a a en los dos tratados Mmoire sur les intgrales dnies y Mmoire sur les intgrales dnies, e e e e e e prises entre des limites imaginaire. El primer trabajo fue presentado a la Academia de Par el s 22 de Agosto de 1814 pero pasado para impresin en Mmoires prsent par divers Savants ` o e e e a lAcadmie royale des Sciences de lInstitut de France el 14 de septiembre de 1825 y publicado e en 1827. El segundo, trabajo ms corto, apareci como un documento especial (magistral a o mmoire) en Par en 1825. Este documento ya contiene el teorema de la integral de Cauchy e s y est considerado como la primera exposicin de teor de funciones clsica. La publicacin a o a a o de este trabajo clsico ocurri de una manera muy extraa. Sali pronto de imprenta pero no a o n o fue reimpreso hasta 1874/75, mucho tiempo despus de que Riemann y Weierstrass hubieran e creado sus propias teor de funciones, y lo hizo como Mlanges en Bull. Sci. Math. Astron as e 7 (1874), 265-304, junto con dos continuaciones en el volumen 8(1875), 43-55 y 148-159. En su libro La vie et les travaux du baron Cauchy (Par 1868 en 2 volmenes; reimpreso: Par s, u s, Blanchard, 1970) Valson, el alumno y bigrafo de Cauchy, alaba su trabajo, que de hecho para o 1869 ya marcaba poca: Esta memoria se puede considerar el trabajo ms importante de e a Cauchy y la gente con reconocimiento no duda en compararla a cualquiera de los logros ms a hermosos de la mente humana en el dominio de las ciencias1 . Por otra parte, sorprende que en los 27 volmenes de uvres compl`tes dAugustin Cauchy u e que la Academia Francesa de Ciencias public entre 1882 y 1974 (primeras series con 12 o volmenes, segundas series con 15 volmenes) este trabajo particular de Cauchy no apareciera u u hasta 1958 y en forma abreviada (pp. 57-65, Vol. 2 de segundas series), apareciendo completo en 1974 en el ultimo volumen de las segundas series (pp. 41-89). Cauchy formul su teorema para los bordes de un rectngulo: o a Pensamos ahora en la funcin f (x + iy) como nita y continua siempre que x o permanezca entre los l mites x0 y X e y entre los l mites y0 e Y . Entonces se1

Traducido del francs e

4

Gnesis histrica e o prueba fcilmente que el valor de la integral aX+iY T

5

f (z)dz =x0 +iyo t0

[ (t) + i (t)]f [(t) + i(t)]dt

es independiente de la naturaleza de las funciones x = (t), y = (t). Es sorprendente que Cauchy slo supon que la funcin f era nita y continua pero en o a o la prueba use, sin ms consideraciones, la existencia de la continuidad de f . Esto reeja la a conviccin, volviendo a la tradicin de Euler y tambin mantenida por Cauchy - al menos en o o e los primeros d de su trabajo - que las funciones continuas son ineludiblemente dadas por as expresiones anal ticas y son por eso diferenciables de acuerdo a las reglas del clculo diferencial. a Cauchy prueba el Teorema Integral mediante mtodos del clculo de variaciones: reemplaza e a las funciones (t), (t) por funciones vecinas (t) + u(t), (t) + v(t) donde u(t0 ) = v(t0 ) = u(T ) = v(T ) = 0, y determina la variacin de la integral desarrollando mediante potencias o ascendentes de Edouard Goursat (1858-1936, matemtico francs, miembro de la Academia de las Ciena e cias) comunic su prueba a Hermite en una carta en 1883 (publicada como Dmonstration o e du Thor`me de Cauchy, Acta Math. 4(1884), 197-200). En ella emplea rectngulos en vez e e a de tringulos y expresamente usa la continuidad de la derivada. Aunque pronto reconoci que a o esta hiptesis era superua en su demostracin. Goursat consider regiones G con fronteras o o o bastante generales y aplic su mtodo de biseccin tambin a rectngulos que en parte soo e o e a bresal de G. Las dicultades tcnicas que esto ocasionaba fueron comentadas en 1901 por an e Alfred Pringsheim (1850-1941), que demostr utilizando tringulos. Por medio de su prueba o a del tringulo Pringsheim esencialmente simplic el mtodo de prueba de Goursat y le dio a o e la elegante forma nal que ha tenido hasta hoy en d La variante tringulo tambin tiene a. a e la ventaja econmica que produce la teor integral para regiones estrella inmediatamente, o a mientras que la versin rectngulo no puede hacer esto. o a

3 PreliminaresPara poder introducir la teor de integracin de funciones complejas de variable compleja ser a o a necesario referirnos a conjuntos unidimensionales del plano complejo, esto es, a curvas, y se denir la integral de una funcin denida sobre curvas de C. Por lo tanto, antes de introducir a o el concepto de integral, comentaremos someramente algunas puntos de inters sobre curvas en e el plano complejo. Por otra parte, tambin ser necesario introducir, previamente, la integracin de funciones e a o complejas de variable real, que es un primer paso en la generalizacin del concepto de integral o al campo complejo. Ambas cuestiones sern tratadas en esta primera seccin preliminar. a o

3.1

Integrales sobre intervalos reales

La primera extensin del concepto de integral en el campo complejo se hace de forma natural o para funciones complejas de variable real. Despus ya se podr extender la denicin a intee a o grales de funciones complejas de variable compleja sobre caminos o contornos, que incorpora la anterior denicin en su clculo nal. o a Comenzamos, por tanto, introduciendo las funciones complejas de variable real y algunas deniciones y propiedades bsicas. a Denicin 3.1. Sea : I C una funcin con valores complejos denida sobre un intervalo o o I R. Se dice que es continua si lo son su parte real () y su parte imaginaria () y (). Anlogamente, es derivable, o diferenciable, en t0 I si lo son a (), siendo su

derivada (t0 ) = ( ()) (t0 ) + i( ()) (t0 ). Si es diferenciable con continuidad en I y adems (t) = 0 para todo t I, entonces se dice que la funcin es suave en I. a o Muchas de las propiedades de las funciones reales se trasladan sin dicultad a este tipo de funciones complejas. As las reglas de derivacin (suma, producto y cociente) tienen idntica , o e formulacin que en el caso real. Tambin se puede establecer una regla de la cadena como sigue o e e ilustra la siguiente gura: Si : I D C es derivable en t0 y f : D C es holomorfa en (t0 ), entonces f es derivable en t0 y (f ) (t0 ) = f ((t0 )) (t0 )

6

Preliminares

7

w I a t b W w(t)

f f(w(t))

Sin embargo, no todas las propiedades de las funciones reales se mantienen. As por , ejemplo, no es aplicable el teorema del valor medio. En efecto, basta considerar la funcin o (t) = eit denida en el intervalo [0, 2], ya que (2) (0) = 0 y (t) = 0 para cualquier valor de t. Denicin 3.2. Se dice que : I C es continua a trozos en el intervalo I R si existe una o particin t0 < t1 < . . . < tn de I de manera que |(ti ,ti+1 ) es continua para cada i = 0, . . . , n1, o y adems existen los l a mites laterales de en los extremos de los intervalos de la particin. De o forma anloga, es diferenciable (respectivamente, suave) a trozos si existe una particin del a o intervalo I de manera que es diferenciable (respectivamente, suave) en los intervalos abiertos determinados por la particin, y existen los l o mites laterales de en los extremos de dichos intervalos.

El concepto de integral y propiedadesDenicin 3.3. Dada : [a, b] C continua a trozos sobre el intervalo [a, b], se dene la o integral de en [a, b] comob b b

(t) dt =a a

((t)) dt + ia

((t)) dt.

Reglas de clculo a Si y son funciones complejas continuas a trozos sobre [a, b], y z0 C, se comprueban fcilmente las siguientes propiedades: ab b b b b

Linealidad:a

( + )(t) dt =a b

(t) dt +a c

(t) dtb

ea

z0 (t) dt = z0

(t) dt.a

Aditividad: Si c [a, b],a b

(t) dt =a a

(t) dt +c

(t) dt.

Cambio de sentido:a b b

(t) dt = b

(t) dt.b b

a

(t) dt

=a

((t)) dt

ya

(t) dt

=a

((t)) dt.

Preliminares Acotacin ob b

8

Si : [a, b] C es continua a trozos, entoncesa

(t) dt a

|(t)| dt.

Demostracin: Si o con |z0 | = 1 tal queb

b z0 a (t) dt

b a (t) dt

= 0 la desigualdad es evidente. En otro caso, existe z0 C

R, entoncesb b b

(t) dta

=

z0b

(t) dt =a

z0b

(t) dta

=a b

(z0 (t)) dt

a

| (z0 (t))| dt

a

|z0 (t)|dt =

|(t)|dta

Denicin 3.4. Una funcim W : I C, con I R intervalo, es una primitiva de : I C o o si es diferenciable y W (t) = (t) para todo t I. Si W y W son primitivas de en I, entonces W W es constante en I. Teorema 3.5. (Teorema fundamental del clculo para integrales sobre intervalos) a (a) Si la funcin : [a, b] C es continua en I, entonces o en I. (b) Si W (t) es una primitiva de : [a, b] C y es continua a trozos, entoncesb x a (t) dt

es una primitiva de

(t) dt = W (b) W (a).a

Demostracin: Se sigue de forma trivial considerando las partes real e imaginaria y o aplicando el resultado correspondiente de las funciones reales. Proposicin 3.6. (Cambio de variable) Sea : [c, d] [a, b] una biyeccin continuamente o o diferenciable, entonces si : [a, b] C es una funcin continua, se verica: ob 1 (b)

(t) dt =a 1 (a)

((t)) (t) dt

Demostracin: Se obtiene trivialmente considerando parte real e imaginaria y aplicando o el correspondiente resultado para funciones reales de variable real. O bien se puede deducir del teorema fundamental. Proposicin 3.7. (Integracin por partes) Si y son funciones complejas diferenciables o o con continuidad en [a, b], entonces:b b

(t) (t) dt = (b)(b) (a)(a) a a

(t)(t) dt

Demostracin: Se obtiene trivialmente por ser es una primitiva de + . o

Preliminares

9

3.2

Curvas y contornos en C

Denicin 3.8. Llamaremos curva en C a toda funcin : [a, b] C continua. Al cono o junto {(t); t [a, b]} se le suele llamar trayectoria o recorrido de la curva, que notaremos abreviadamente por T r(); a se le denomina parametrizacin de la curva. o Si (a) = (b) entonces la curva es cerrada. Si es inyectiva en (a, b), entonces se dice que es simple. Una curva de Jordan es una curva simple y cerrada. A continuacin enunciamos, sin demostracin, el teorema de la curva de Jordan que si o o bien es un resultado intuitivamente evidente su prueba es bastante complicada (remitimos a [5] para su demostracin). o Teorema 3.9. (Teorema de la curva de Jordan) Sea : [a, b] C una curva simple y cerrada (curva de Jordan). Entonces el conjunto C\T r() consta de dos componentes conexas; una de ellas es acotada y est encerrada por la trayectoria de , que notaremos por Cint (), y a la otra no acotada, exterior a la trayectoria de , que notaremos Cext ().

Equivalencia de curvas y contornos orientadosDenicin 3.10. Dos curva suaves a trozos : [a, b] C y : [a, b] C son equivalentes si o existe una biyeccin diferenciable : [a, b] [a, b] tal que (a) = a, (b) = b y = . o La anterior denicin de curvas equivalentes establece realmente una relacin de equivao o lencia (su comprobacin es trivial). Por tanto, las clases de equivalencia son las curvas que o denen la misma trayectoria coincidiendo sus puntos nales e iniciales, en otras palabras, que determinan el mismo sentido del recorrido en la curva. A estas clases de equivalencia de curvas suaves a trozos se les suele llamar caminos o contornos orientados, y denominaremos parametrizacin del contorno a cada uno de los elementos de la clase de equivalencia. o Si : [a, b] C es un contorno, entonces (t) = (a + b t) es una curva que determina un contorno (su clase de equivalencia) opuesto al de , es decir, tiene una orientacin contraria o y sus trayectorias coinciden.

Longitud de contornoPuede calcularse la longitud de una curva suave a trozos como el paso al l mite de las longitudes de poligonales. En efecto, si suponemos, en primer lugar, que : [a, b] C es una curva suave y consideremos a = t0 < t1 < < tn = b una particin arbitraria del intervalo [a, b], entonces o la longitud de la poligonal Pn cuyos vrtices consecutivos son (t0 ), (t1 ), . . . , (tn ) es en

L(Pn ) =i=1

|(ti ) (ti1 )|

Preliminares Si (t) = x(t) + iy(t) para cada t [a, b], entonces |(ti ) (ti1 )| = [x(ti ) x(ti1 )]2 + [y(ti ) y(ti1 )]2 1in

10

Por tanto, aplicando el teorema del valor medio a cada componente x, y de en cada intervalo [ti1 , ti ], con i {1, . . . , n}, se obtienen

L(Pn ) =i=1

x (t1 ) i

2

+ y (t2 ) (ti ti1 ) i

2

con t1 , t2 (ti1 , ti ) i i

En el segundo miembro de esta igualdad aparecen las sumas de Riemann de la funcin o | (t)| asociadas a la particin prejada de [a, b], y dado que x e y son continuas, pues o es diferenciable con continuidad, entonces la funcin | (t)| es integrable por lo que tomando o l mite en la sucesin de sumas de Riemann L(Pn ) se obtiene ob n

lim L(Pn ) =

| (t)|dt := L()a

Se puede extender al caso en que la curva sea suave a trozos sumando las longitudes de cada trozo suave. Notemos que la longitud de una curva suave a trozos es siempre nita, pues est formada por la unin de una cantidad nita de curvas suaves. Las curvas suaves a o a trozos son un caso particular de una clase ms amplia de curvas denominadas recticables, a cuya caracter stica es que su longitud, obtenida por aproximacin de longitudes de poligonales, o es nita. Se puede demostrar, sin mucha dicultad, que la longitud no depende de la parametrizacin o de la curva, no slo considerando parametrizaciones equivalentes, sino que tambin es L() = o e L(), esto es, tampoco va a depender de la orientacin. As se puede denir longitud para o , contornos, es decir, para las clases de equivalencia de curvas suaves a trozos. Obsrvese que si la curva es simple esta denicin de longitud proporciona un modelo para e o medir la trayectoria de la curva.

4 Integrales de contorno en C4.1 El concepto de integral de contorno

Denicin 4.1. Si f es una funcin continua en un abierto C y : [a, b] curva o o suave a trozos. Entonces se dene la integral de f sobre como f (z)dz =

f ((t)) (t)dt

Observacin: Tambin se pueden considerar funciones f continuas a trozos sobre el contorno. o e

Independencia de la parametrizacin oEl valor de la integral es independiente para curvas equivalentes. En efecto, si : [a, b] C y [a, b] C son dos curvas equivalentes, existe una biyeccin [a, b] [a, b] diferenciable con o continuidad tal que (a) = a, (b) = b y = , entoncesb

f (z)dz = a

f ((t))) (t)dt

y, efectuando el cambio de variable s = (t), se vericab

f (z)dz = a

f ((s)) (s)ds

En consecuencia, se puede denir la integral sobre un camino orientado como la integral sobre cualquier curva suave a trozos que sea un representante de la clase de equivalencia. No obstante, no introduciremos ninguna notacin nueva para indicar la clase de equivalencia y la o integral de contorno, pues esto slo supondr un cambio notacional sin variar los resultados. o a

Relacin con la integral curvil o nea realSi (f (z)) = u(x, y) y (f (z)) = v(x, y), siendo z = x + iy, y : [a, b] C representa un ((t)) = y(t), entonces se puede escribirb

contorno siendo f (z)dz =

((t)) = x(t) yb

f ((t)) (t)dt =a b a

(u(x(t), y(t))x (t) y(x(t), y(t))y (t))dt udx vdy + i

+a

(v(x(t), y(t))x (t) + u(x(t), y(t))y (t))dt = 11

vdx + udy

Integrales de contorno en C

12

4.2

Propiedades

Las siguientes propiedades se comprueban fcilmente atendiendo a las propiedades anlogas a a para integrales de sobre intervalos: Linealidad

(f (z) + g(z))dz =

f (z)dz +

g(z)dz.

o Aditividad Sea el contorno adicin de los contornos 1 , . . . , n , esto es, existe una particin del intervalo de denicin de en subintervalos Ii de forma |Ii es una o o parametrizacin equivalente a i , y adems el punto nal de i coincide con el punto o a inicial de i+1 , para i = 1, . . . , n 1. Se verican

f (z)dz = i=1 i

f (z)dz.

Regla de inversin o

f (z)dz =

f (z)dz.

Acotacin o

f (z)dz max |f (z)| L()zT r()

4.3

Independencia del camino de la integral. Primitivas

En esta seccin se establece la independencia del contorno cuando se integran funciones que o admiten primitiva, en este caso la integral slo depende del valor de la primitiva en los puntos o inicial y nal. Por tanto, este resultado es el anlogo a al regla de Barrow para integrales a reales. Ser el teorema integral de Cauchy el que determine condiciones para la existencia de a primitivas. Por otra parte, la nocin de primitiva es idntica al caso real y al de las funciones o e denidas sobre intervalos. o Teorema 4.2. Sea f una funcin continua en un dominio (abierto y conexo por caminos) C. Son equivalentes las siguientes armaciones: (i) f admite primitiva en . (ii) La integral de contorno de f es independiente del contorno en . Demostracin: (i) (ii) Sea F una primitiva de f en y sea : [a, b] un contorno o suave que une los puntos z1 , z2 , siendo (a) = z1 y (b) = z2 . As por la regla de la , cadena, se obtiene (F ) (t) = F ((t)) (t) = f ((t)) (t) en consecuencia,b

f (z)dz = a

f ((t)) (t)dt = (F )(b) (F )(a) = F (z2 ) F (z1 )

Integrales de contorno en C

13

Si : [a, b] es un contorno cualquiera que une los puntos z0 , zn , entonces se puede obtener como adicin de una cantidad nita de contornos suaves 1 , . . . , n de forma que o cada i une zii con zi . Por lo tanto, teniendo en cuenta lo demostrado para caminos suaves, es f (z)dz = i=1 i n n

f (z)dz =i=1

(F (zi ) F (zi1 )) = F (zn ) F (z0 )

(ii) (i) Supongamos ahora que la integral de f es independiente del contorno en , veamos que entonces admite primitiva. Como es conexo por caminos, jado un punto z0 , para cualquier z siempre existe un camino que une z0 con z en ; por otra parte, como la integral no depende del camino, se puede denirz

F (z) =z0

f (z)dz

donde la anterior integral se calcula considerando cualquier contorno contenido en (obsrvese e que la notacin no ofrece equ o vocos debido a la independencia del camino). Veamos que para cada z existe F (z) y coincide con f (z). Como es abierto, dado z , se puede encontrar un disco D(z, ) , y sea h D(z, ), entonces F (z + h) F (z) 1 = h h Por consiguiente,z+h z

f (w)dw z0 z0

f (w)dw =

1 h

f (w)dw[z,z+h]

donde [z, z + h] indica el segmento que une z con z + h, que est contenido en D(z, ) . a

F (z + h) F (z) f (z) h

=

1 h 1 |h|

f (w)dw [z,z+h]

1 f (z) h

dw[z,z+h]

=

(f (w) f (z))dw[z,z+h]

w[z,z+h]

max

|f (w) f (z)|

Finalmente, como f es continua , cuando h 0 se verica que f (w) tiende a f (z) sobre el F (z + h) F (z) segmento [z, z + h], por tanto, f (z) 0 cuando h 0. h

5 El teorema integral de Cauchy5.1 El teorema integral de Cauchy-Goursat

El teorema de Cauchy-Goursat establece, como ya se ha comentado con anterioridad, que si C es un abierto simplemente conexo y f es holomorfa en , lo que notaremos por f H(), entonces f posee primitiva en y, en particular, su integral a lo largo de cualquier contorno cerrado es nula. El teorema establecido por Cauchy exig la hiptesis adicional de continuidad para f . a o Goursat fue el primero en dar una demostracin del teorema sin utilizar esta hiptesis. Este o o hecho es ms relevante de lo que parece dado que a partir del teorema integral se establece a la frmula de Cauchy, de la que se deduce que si f H() entonces existen las derivadas de o todos los rdenes de f en . o Por otra parte, con la hiptesis adicional de la continuidad de f se puede demostrar el o teorema de forma muy sencilla apoyndose en el teorema de Green-Riemann para funciones a vectoriales. En efecto, este teorema arma:

Teorema de Green-Riemann: Si F = (P, Q) : R2 es campo continuamente diferenciable y es un dominio simplemente conexo, entonces para toda curva simple, cerrada, suave a trozos y positivamente orientada en , se verica P (x, y)dx + Q(x, y)dy = D

Q P x y

dxdy

donde D es el conjunto formado por T r() y junto con su componente conexa interior.

As si f (z) = u(x, y) + iv(x, y), por ser f H() y f continua en entonces, teniendo , en cuenta la relacin entre la integral compleja y la integral curvil o nea, se obtiene f (z)dz =

udx vdy + i

vdx + udy =D

(vx uy )dxdy

D

(ux vy )dxdy = 0

dado que se verican las ecuaciones de Cauchy-Riemann, ux = vy y uy = vx , en . 14

El teorema integral de Cauchy

15

No obstante, nuestro objetivo es hacer la prueba en el caso general, sin considerar la continuidad de f . Para ello, en primer lugar, consideraremos el lema integral de Goursat, con la demostracin sobre tringulos, y despus estableceremos el resultado en el caso general. o a e Lema 5.1. (Lema integral de Goursat) Si f H(), siendo un abierto de C, para todo tringulo T se verica que a f (z) dz = 0,T

donde T es la frontera de T . Demostracin: Dado el tringulo T , se considera una particin del mismo en cuatro o a o tringulos Ti , i {1, 2, 3, 4} construidos trazando los segmentos que unen los puntos medios a de cada lado de T . Consideraremos la frontera de T , T , con una orientacin determinada, e o indicaremos por L(T ) su longitud. Se tendrn en cuenta dos hechos elementales: a 1 L(Ti ) = L(T ) para cada i. 2 max |z w| L(T ), para cualquier tringulo T . az,wT

(1) (2)

T T3 T4 T1

T2

W

Figura 5.1: Particin de T en T1 , T2 , T3 y T4 . o

Considerando para cada tringulo Ti de la particin la misma orientacin que tiene T y, a o o atendiendo a la propiedad aditiva de la integral, se verica4

f (z)dz =T i=1 Ti

f (z)dz,

dado que los lados de los tringulos Ti interiores T son recorridos dos veces, una en sentido a contrario a la otra. Para simplicar notacin escribiremos I(T ) = o las integrales de f sobre la frontera de cualquier otro tringulo. aT

f (z)dz, y lo mismo para


16

Ahora se considera de entre los cuatro anteriores tringulos Ti aquel tringulo, que notarea a mos T 1 , vericando |I(Ti )| |I(T 1 )|, i {1, 2, 3, 4}, por tanto,4

|I(T )| i=1

|I(Ti )| 4|I(T 1 )|

(3)

Partiendo de T 1 se repite el proceso y se construye T 2 ; y as sucesivamente. Se consigue de esta manera una sucesin de tringulos T 1 , T 2 , . . . , T n , . . . encajados, esto es T n+1 T n , o a para todo n N. Atendiendo a (1) y (3), estos tringulos verican a 1 L(T n ) = n L(T ) para todo n N. 2 |I(T )| 4n |I(T n )| para todo n N.

(4) (5)

Figura 5.2: Construccin de la sucesin {T n }nN . o o Por la propia construccin de la sucesin de los tringulos {T n }nN , la sucesin de sus o o a o dimetros tiende a 0, adems, aplicando el principio de los intervalos encajados, se verica que a a

T n = {z0 }. Como f H(), existe f (z0 ) y, por tanto, la funcin oi=1

f (z) f (z0 ) f (z ) si z = z 0 0 z z0 g(z) = 0 si z = z0

es continua en y permite escribir f (z) = f (z0 ) + f (z0 )(z z0 ) + g(z)(z z0 ) z

Integrando sobre T n miembro a miembro en esta ultima igualdad, se obtiene I(T n ) =T n

f (z0 )dz +

T n

f (z0 )(z z0 )dz +

T n

g(z)(z z0 )dz =

T

T

T

T n

g(z)(z z0 )dz


17

ya que las funcione f (z0 ) y f (z0 )(z z0 ) admiten primitiva en todo C, por lo que su integral a lo largo de cualquier contorno cerrado es nula. Por tanto, teniendo en cuenta (5), la propiedad de acotacin de la integral, (2) y (1) (en o este orden), para todo n, se sigue |I(T )| 4n |I(T n )| = 4nT n

g(z)(z z0 )dz 4n max |g(z)(z z0 )|L(T n ) nzT

4n max |g(z)|L(T n )2 4n max |g(z)| n nzT zT

L(T ) 2n

2

= L(T )2 max |g(z)| nzT

Por ultimo, dado > 0 arbitrario, teniendo en cuenta la continuidad de g en z0 , existe un > 0 vericando que g(D(z0 , )) D(0, ). Por otra parte, como el dimetro de los tringulos a a T n tiende a 0 y z0 T n para cualquier n, existe un n0 de tal manera que T n D(z0 , ) para todo n n0 . En consecuencia, |g(z)| < z T n y n n0 luego, |I(T )| < L(T )2 lo que prueba que I(T ) =T

> 0

f (z)dz = 0

Teorema 5.2. (Teorema integral de Cauchy-Goursat) Sea un dominio simplemente conexo y sea f H(), entonces para todo contorno cerrado en se verica f (z) dz = 0 .

Demostracin: Se har la demostracin en cuatro partes; en primer lugar, considerando o a o contornos poligonales que son frontera de pol gonos convexos; en segundo lugar, los contornos de integracin sern poligonales cerradas y simples; a continuacin consideraremos poligoo a o nales cerradas que pueden ser no simples; por ultimo, se considerarn contornos cerrados a cualesquiera. (i) Sea la frontera de de un pol gono convexo P de n lados determinados por la sucesin o ordenada de vrtices v1 , v2 , . . . , vn , entonces el teorema se demuestra fcilmente considerando la e a particin en tringulos siguiente (como muestra la gura 5.3): sea T1 el tringulo determinado o a a por los vrtices v1 , v2 , v3 , v1 , T2 el tringulo determinado por v1 , v3 , v4 , v1 , y as sucesivamente, e a siendo el ultimo tringulo Tn2 el determinado por v1 , vn1 , vn , v1 . Considerando la orientacin a o


18

de y de las fronteras de los tringulos inducida por el anterior orden de los vrtices y, teniendo a e en cuenta la propiedad aditiva de las integrales, se obtienen2

f (z)dz = i=1 Ti

f (z)dz = 0

ya que se integra dos veces sobre los lados interiores al pol gono y con orientaciones contrarias, por lo que basta aplicar el teorema en el caso particular de tringulos para obtener que la a integral sobre es nula.V 4 V n-1 V 3

V n

V 2

V 1

Figura 5.3: Particin de un pol o gono convexo en tringulos. a

(ii) Consideremos ahora el caso particular en que es una poligonal cerrada que no se corta consigo misma y recorrida una sola vez. Comprobemos que se puede realizar una particin de o la componente conexa interior a en pol gonos convexos, de esta manera se obtendr que la a integral de f sobre es cero aplicando el apartado (i) en cada componente convexa. Los pol gonos convexos se caracterizan por la propiedad geomtrica que asegura que si se e prolonga cualquiera de sus lados en l nea recta por cualquiera de los vrtices, esta prolongacin e o cae fuera del pol gono. Por tanto, un pol gono no convexo tiene algn lado cuya prolongacin u o por alguno de sus extremos cae dentro del pol gono. Haremos el siguiente proceso, que se ilustra en la gura 5.4; recorriendo todos los lados de segn una orientacin determinada vamos u o prolongando cada lado por el extremo cuya prolongacin se hace segn la orientacin dada; se o u o aadirn al pol n a gono los segmentos de las prolongaciones que se hallen entre el vrtice del que e parten y el primer punto (eventualmente el unico) que es interseccin con T r(), siempre que o dicho segmento se encuentre en la componente conexa interior de . Estos segmentos producen una particin del pol o gono de forma que cada componente de la particin es convexa, y se puede o aplicar el apartado anterior.


19

Figura 5.4: Particin de un pol o gono no convexo en regiones convexas. (iii) En el caso en que la poligonal no sea simple se puede descomponer en una cantidad nita de poligonales simples cerradas a las que se aplica el apartado anterior. No seremos rigurosos en este proceso, tan slo lo comentaremos sobre la gura 5.5. o

v5

v1 v3a b

v2 v4Figura 5.5: Poligonal no simple.

v0

Comenzaremos recorriendo los lados de la poligonal y cuando detectemos la interseccin de o un lado con otro ya recorrido, marcamos dicha interseccin y comprobamos que se ha formado o una poligonal cerrada simple, un ciclo (contorno cerrado simple), que podemos eliminar. Se recorre la gura empezando por el vrtice v0 y continuando por los vrtices de sub e e ndice consecutivo. As se recorrer el lado v0 v1 , el lado v1 v2 y al recorrer v2 v3 , comprobamos que , a hay una interseccin con un lado ya recorrido, sea sta a. Entonces se observa que se ha o e recorrido el ciclo av1 v2 , que podemos eliminar dado que la integral sobre este ciclo se anula. As sucesivamente se sigue el proceso recorriendo todos los vrtices uno a uno y eliminando , e ciclos. Slo resta considerar una ultima observacin: si hay alguna interseccin de la poligonal o o o


20

consigo misma que sea todo un segmento, ste tambin se puede eliminar puesto que se recorre e e dos veces y en sentido contrario. (iv) Si es un contorno cerrado cualquiera en se puede construir un conjunto cerrado C de manera que T r() zT r()

D(z, ) C

para un > 0 adecuado, esto es, debe cumplir la condicin < < d(T r(), ) donde o d(T r(), ) = inf {|z w|; z T r() y w } y se considera < para asegurar que el cerrado C est totalmente contenido en . e

Wd(Tr(g),c-W)

r

g

Figura 5.6: Construccin de un cerrado conteniendo a y contenido en . o Sea ahora > 0 arbitrario, como f H(), en particular, es continua y adems uniformea mente continua en C, pues C es compacto; por tanto, se puede determinar 0 > 0 tal que si |z z | < 0 entonces |f (z) f (z )| < . 2L()W

gP zi+1 zi C

Figura 5.7: Poligonal P aproximando a


21

Sea < min{0 , } y considrese una particin de en arcos 1 , . . . n , siendo L(i ) < , e o para cada i {1, . . . , n}, y notemos por zi , zi+1 a los extremos de i . Considrese tambin e e la poligonal P formada por los segmentos Pi = [zi , zi+1 ]. Entonces, como sobre cada i y Pi esi

f (zi )dz =

Pi

f (zi )dz = f (zi )(zi+1 zi ) pues la funcin constante admite primitivas, se o

verica

f (z)dz i Pi

f (z)dz

=i

(f (z) f (zi ))dz

Pi

(f (z) f (zi ))dz

=i

(f (z) f (zi ))dz +

Pi

(f (z) f (zi ))dz

zT r(i )

max |f (z) f (zi )|L(i ) + max |f (z) f (zi )|L(Pi )zPi

0 arbitrario, entonces existe o un > 0 de manera que si |z z0 | < , es |f (z) f (z0 )| < . Sea < y de forma que D(z0 , ) Cint (), como muestra la gura 6.1. Notemos 0 al camino simple positivamente orientado cuya trayectoria es D(z0 , ).

gz0r d

Figura 6.1: Situacin de y 0 . o 23

Consecuencias del teorema integral de Cauchy La funcin integrando of (z) zz0

24

es holomorfa en (T r() Cint ()) \ {z0 }, entonces, aplicando

el teorema de Cauchy para mltiplemente conexos, se verica que u f (z) dz = z z0 f (z) dz = z z0 f (z) f (z0 ) dz + z z0 f (z0 ) dz. z z0

0

0

0

Podemos calcular la ultima de estas integrales parametrizando el contorno 0 , 0 (t) = z0 + eit con t [0, 2], entonces f (z0 ) dz = f (z0 ) z z02 0

0

1 ieit dt = f (z0 )2 eit

En consecuencia,

f (z) dz f (z0 )2i = z z0

0

f (z) f (z0 ) |f (z) f (z0 )| dz max L(0 ) < 2 z z0 |z z0 | zT r(0 )

ya que |z z0 | = < . Como > 0 es arbitrario, las anteriores desigualdades prueban el teorema. La frmula integral de Cauchy puede generalizarse. La generalizacin permite calcular el o o valor de cualquier derivada de una funcin holomorfa en los puntos interiores a un contorno o simple y cerrado si se conocen los valores de la funcin en el contorno. o o Teorema 6.2. (Frmula integral de Cauchy generalizada) Sea f H(T r() Cint ()), siendo un contorno simple, cerrado y positivamente orientado. Entonces, para cualquier punto z0 Cint (), se verica f (n) (z0 ) = n! 2i

f (z) dz (z z0 )n+1

Demostracin: Vamos a demostrarlo para n = 1, se repetir las mismas tcnicas para o an e n mayor. En virtud de la frmula integral de Cauchy, se verica o f (z0 + h) f (z0 ) 1 1 = lim h0 h 2i h0 h lim 1 lim 2i h0 f (z) dz (z z0 h)(z z0 ) f (z) dz cuando (z z0 )2 f (z) f (z) z z0 h z z0

f (z0 ) =

dz

=

Por tanto, se trata de comprobar que esta ultima integral tiende a h 0. Veamos que as es: f (z) dz (z z0 h)(z z0 ) f (z) dz (z z0 )2

=

f (z)h dz (z z0 h)(z z0 )

|f (z)||h| L() zT r() |z z0 h||z z0 | max

Consecuencias del teorema integral de Cauchy

25

Ahora bien, como f es holomorfa sobre T r(), tambin es continua, luego, por ser T r() e compacto es |f (z)| M para todo z . Adems, como es cerrado y z0 T r() tambin a e es d = min{|z z0 |; z } > 0, y as |z z0 h| |z z0 | |h| d |h|. En consecuencia, si |h| < d se verica |f (z)||h| M |h| L() L() 0 d(d |h|) zT r() |z z0 h||z z0 | max lo que concluye la prueba del teorema. Corolario 6.3. Si f es holomorfa en un dominio, entonces posee derivada de todos los rdenes o en dicho dominio, y estas derivadas son a su vez holomorfas en el dominio. Corolario 6.4. (Teorema de Morera) Si f es una funcin continua en un dominio y o f (z)dz = 0 para todo contorno cerrado en , entonces f H().

si h 0

Demostracin: Como la integral de f sobre cualquier contorno cerrado del dominio se o anula, entonces admite primitiva F en . Al ser F H() entonces es F = f H().

6.2

Teorema de Liouville y el teorema fundamental del Algebra

De la frmula integral de Cauchy se obtienen interesantes consecuencias, algunas realmente o sorprendentes, dedicaremos esta seccin a algunas de ellas. o Teorema 6.5. (Teorema de Liouville) Si f H(C) (se dice entera) y acotada en C, entonces f es constante. Demostracin: Como f es entera, para cualesquiera > 0 y z C se verica o f (z) = 1 2i f (w) dw (w z)2

donde es la circunferencia centrada en z y de radio positivamente orientada. Si M es una cota para el mdulo de f , de la anterior frmula se obtiene o o |f (z)| 1 2 |f (w)| M L() 0 2 wT r() |w z| max si

De donde se sigue que f (z) = 0 para todo z C, luego f es constante. Como corolario del teorema de Liouville se obtiene fcilmente el teorema fundamental del a Algebra que asegura que todo polinomio no constante tiene al menos un ra Probaremos una z. versin ms fuerte de este teorema. o a


26

Teorema 6.6. (Teorema fundamental del Algebra) Todo polinomio no constante de grado n tiene exactamente n ra ces. Demostracin: Sea o P (z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + + an z n (an = 0)

Por reduccin al absurdo, supongamos que P (z) = 0 para todo z C. Entonces consideo 1 ramos la funcin f (z) = o que est denida en todo z C y es entera (f H(C)) por a P (z) serlo P y no anularse nunca. Adems esta funcin f est acotada. En efecto, observemos en a o a primer lugar que, debido a que limz P (z) = , es limz f (z) = 0; entonces dado > 0 1 < para todo z con |z| > M , luego f est acotada en a existe M > 0 de manera que |P (z)| C \ D(0, M ). Por otra parte, por la continuidad de f podemos asegurar que tambin est e a acotada en el disco cerrado D(0, M ), ya que es un compacto. Por tanto, f es entera y est acotada en todo C, del teorema de Liouville se deduce que a f es constante, en contra de la hiptesis, en consecuencia, debe existir algn z C de forma o u que P (z) = 0. P (z) , que es de z z1 grado n 1, debe tener una ra z2 . Reiterando el proceso se llega al polinomio de grado uno z b ces. Pn1 (z) = az + b que tiene una ra zn = , con lo que en total se han obtenido n ra z a Sea z1 ra de P (z), entonces aplicando lo anterior al polinomio P1 (z) = z

6.3

El teorema del valor medio de Gauss y el principio del mdulo mximo o a

El teorema del valor medio de Gauss dice que si una funcin es holomorfa en un punto, y por o tanto en un entorno de dicho punto, el valor de la funcin en el mismo es la media aritmtica o e de los valores que toma sobre cualquier circunferencia que est dentro del mencionado entorno. e Teorema 6.7. (Teorema del valor medio de Gauss) Sea f H(D(z0 , )) entonces f (z0 ) = 1 22 0

f (z0 + eit )dt

Demostracin: Sea (t) = z0 + eit , con t [0, 2], el contorno frontera del disco o D(z0 , ), entonces, segn la frmula integral de Cauchy, es u o f (z0 ) = 1 2

f (z) 1 dz = z z0 2

2 0

f (z0 + eit )dt

El siguiente resultado, de utilidad para probar el principio del mdulo mximo, establece o a que el mdulo de una funcin holomorfa no constante en un dominio no puede tener mximos o o a locales.


27

Lema 6.8. Sea f H(D(z0 , )), si |f (z)| |f (z0 )| para todo punto z D(z0 , ), entonces f es constante igual f (z0 ) en todo el disco D(z0 , ). Demostracin: Sea z D(z0 , ), vamos a ver que f (z) = f (z0 ). Si = |z0 z|, o consideramos la circunferencia centrada en z0 y de radio , que pasa por z. Segn el resultado u anterior f (z0 ) =1 2 2 0

f (z0 + eit )dt, por lo tanto, 1 22 0

|f (z0 )| de donde se obtiene que

f (z0 + eit ) dt 2 0

1 2

2 0

|f (z0 )| dt = |f (z0 )|

|f (z0 )| = y as es 0 2

1 2

f (z0 + eit ) dt

|f (z0 )| f (z0 + eit ) dt = 0

de donde, al ser |f (z0 )| f (z0 + eit ) para todo valor de t [0, 2], entonces necesariamente es |f (z0 )| = f (z0 + eit ) , y en particular |f (z)| = |f (z0 )|. As se deduce que el mdulo de la , o funcin f es constante en todo el abierto D(z0 , ), y al tratarse de una funcin holomorfa en o o dicho abierto se deduce que la propia funcin es constante. o Teorema 6.9. Si f H() y no constante en el dominio , entonces |f | no alcanza el valor mximo en ningn punto de . Si f es continua en entonces |f | alcanza su valor mximo a u a en algn punto de . u Demostracin: Demostraremos el teorema por reduccin al absurdo, supondremos que o o |f | alcanza el valor mximo en un punto z0 y llegaremos a que, de esta hiptesis, necea o sariamente se deduce que |f | ha de ser constante en todo .

Wr z

g

z0

Figura 6.2: Recubrimiento de por discos. Sea z , como es un dominio, entonces es conexo por caminos, y se puede encontrar un camino que une z0 con z. Por otra parte, como T r() es cerrado, entonces


28

d(T r(), ) > 0 y podemos considerar el recubrimiento de T r() por discos D(z, ) siendo 0 < < d(T r(), ) y z T r(). Como adems T r() es compacto, se puede extraer a un subcubrimiento nito, es decir, podemos encontrar D(z0 , ), D(z1 , ), . . . D(zn , ) de forma que T r() n

miento estn ordenados de forma que z0 , z1 , . . . , zn son consecutivos sobre T r(), as se tendr a a que D(zi , ) D(zi+1 , ) = . Aplicando el lema anterior, se obtiene que f (w) = f (z0 ) para todo z D(z0 , ), en particular, f (z0 ) = f (w1 ) siendo w1 D(z0 , ) D(z1 , ). De nuevo, aplicando el lema se obtiene que f (w) = f (z0 ) en todo w D(z1 , ). Repitiendo el proceso, se llega a que f es constante sobre todos los discos de este subcubrimiento y, en particular, f (z0 ) = f (z). Finalmente, si f es continua en , entonces |f | tambin lo es y, por tanto, alcanza el valor e mximo en algn punto de que, segn lo anterior, estar necesariamente en la frontera. a u u a

i=0

D(zi , ) . Consideraremos tambin que los elementos de este subcubrie

7 Bibliograf a[1] Ablowitz, M. J., y A. S. Fokas. Complex variables: Introduction and applications. Cambridge University Press, Cambridge, 1997. [2] Ahlfors, L. V. Complex Analysis. McGraw-Hill, 1979 [3] Churchill, R. V., y J. W. Brown. Variable compleja y aplicaciones. McGrawHill/Interamerica de Espaa, Madrid, 1991. n [4] Lpez-Gmez, J. Ecuaciones diferenciales y variable compleja. Prentice Hall (Pearson o o Educacin), Madrid, 2001. o a, [5] Margalef, J., E. Outerelo, y J. L. Pinilla. Topolog Tomo V. Alhambra, Madrid, 1982. [6] Markushevich, A. Teor de las funciones anal a ticas, Tomos I y II. Mir, Moscu, 1978. [7] Needham, T. Visual complex analysis. Oxford University Press, Oxford, 2000. [8] Remmert, R. Theory of complex functions. Springer-Verlag, U.S.A., 1991. [9] Sa, E. B., y A. D. Snider. Fundamentals of complex analysis for mathematics, science and engineering. Prentice Hall, New Jersey, 1993. [10] Wunsch, A. D. Variable compleja con aplicaciones. Addison-Wesley Iberoamerica, Wilmington, 1997.

29

el teorema integral de cauchy

Documents