el método newton

5/11/2018 El Método Newton - slidepdf.com

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El Método Newton-Raphson

Ya los babilonios sabían raíces cuadradas aproximadas. Consideremos el ejemplo

de cómo se encuentran las aproximaciones a .

Vamos a empezar con una buena aproximación, por ejemplo x 1 = 3 / 2 = 1.5. Si

elevamos al cuadrado x 1 = 3 / 2, obtenemos 04.09, que es mayor que 2. Por

consiguiente . Si consideramos ahora 2 / x 1 = 4 / 3, en la plaza 16 / 9

es, por supuesto, menor que 2, por lo que .

Lo haremos mejor si se toma su promedio:

Si elevamos al cuadrado x 2 = 17 / 12, se obtiene 289/144, que es mayor que

2. Por consiguiente . Si consideramos ahora 2 / x 2 = 24 / 17, en la

plaza 576/289, por supuesto, menor que 2, por lo que .

Tomemos una vez más su promedio:



x 3 es una aproximación racional bastante bien a la raíz cuadrada de 2:

pero si esto no es lo suficientemente bueno, sólo puede repetir el

procedimiento una y otra vez.

Newton Raphson y utilizar las ideas del cálculo de generalizar este método

antiguo para hallar los ceros de una ecuación arbitraria

La idea subyacente es la aproximación de la gráfica de la función f (x) por las

líneas tangentes, que hemos discutido en detalle en las páginas anteriores.

Sea r una raíz (también conocido como "cero") de f (x), es decir f (r) = 0. Asumir

que . Sea x un ser un número cercano a r (que se puede obtener

observando la gráfica de f (x)). La recta tangente a la gráfica de f (x) en (X 1, f

(x 1)) tiene x 2 como su intersección con x.



Desde la imagen de arriba, vemos que x 2 es cada vez más cerca de r. Un cálculo

simple da

Desde que asumió , No vamos a tener problemas con el

denominador es igual a 0. Continuamos este proceso y encontrar x 3 a través de

la ecuación

Este proceso va a generar una secuencia de números r que se aproxima.



Esta técnica de aproximaciones sucesivas de ceros reales se llama el método de

Newton, o el método de Newton-Raphson.

Ejemplo. Vamos a encontrar una aproximación a a diez decimales.

Tenga en cuenta que es un número irracional. Por lo tanto, la secuencia de

decimales que se define no se detiene. Claramente es el único cero

de f (x) = x 2 - 5 en el intervalo [1,3]. Vea la imagen.

Dejar ser obtenida a través de aproximaciones sucesivas el método de

Newton. Hemos

Vamos a empezar este proceso, tomando x 1 = 2.



para resolver la ecuación cuadrática se utilizan en la introducción, a

saber:

x2

- 4x - 7 = 0

a partir de una estimación inicial de x 0 = 4.

En este ejemplo, la función F (x) = x2

- 4x - 7, y lo primero que hacemoses distinguir lo siguiente:

dF / dx = f (x) = 2x - 4.

Para encontrar x 1, en primer lugar evaluar F (x) y F '(x) en el puntox 0, es decir, x = 4. Nos encontramos con:

F (4) = 42

- 4,4 - 7 = - 7 y F '(4) = 2,4 - 4 = 4

(Aquí usamos el. Para indicar la multiplicación). Ahora introducimos estos valores en la fórmula de Newton-Raphson parax 1:

x 1 = x 0 - F (x 0) / F '(x 0) = 4 - F (4) / F' (4) = 4 - (-7) / 4 = 4 + 7 / 4 = 4 + 1 ·75 = 5.75

Por lo tanto x 1 = 5,75. Ahora usamos este valor en la fórmulaiterativa para encontrar x 2.

En primer lugar, evaluar F (x) y F '(x) en el nuevo punto x 1:

F (5,75) = (5,75)2

- 4 (5,75) -. 7 = 33.0625 -23-7 = 3.0625



y F (5,75) = 2 (5,75) - 4. = 11,5 - 4 = 7,5

Ahora introducimos estos valores en la fórmula de Newton-Raphson parax 2:

x 2 = x 1 - F (x 1) / F (x 1) = 5.75 - F (5,75) / F (5,75) = 5,75 - (3.0625) / (7 ·5) = 5.34167

Por lo tanto x 2 = 5.34167, ahora evaluar F (x) y F '(x) en este momento,para el cálculo de x 3, y así sucesivamente.

No es necesario escribir todos los cálculos, pero debemos hacer unatabla con columnas para los valores de x k, F (x k), F (x k) y x k +1. Al final decada fila, se copia el valor de x k +1para el inicio de la siguiente fila parainiciar la siguiente iteración. La tabla se verá así:

k x k F (x k F '(x k x k +1 = x k - F (x k / F (x k

0 4.0 -7 ° 0 4.0 5.75

1 5.75 3,0625 7.5 5,34167

2 5,34167

3

Tenemos que f (x) = x3- X - 1 y f (x) = 3 x2

- 1. Puesto que f (1) = - 1 y f (2) = 5, el

la función tiene una raíz en el intervalo [1, 2], ya que los cambios de funciones

entre el signo [1, 2].

Vamos a hacer una estimación inicial x0= 1. 5



F(x) f``(x)

1,5

0.875

1,34782608696 .. 0,100682173091 ..1.32520039895 .. 0,002058361917 ..

1.32471817400 .. 0,000000924378 ..

1.32471795724 .. 0,000000000000 ..

1,32471795724 .

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