el lemma diagonal no se cumple en la lógica aristotélica

7/24/2019 El Lemma Diagonal No se Cumple en la Lgica Aristotlica

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2015-10-25

El Lemma Diagonal No se Cumple en la LgicaAristotlica

X.Y. Newberry

El teorema de Gdel no necesita introduccin. Sin embargo, no suele

reconocerse que todas las instancias de la sentencia de Gdel son vacuas

(ver debao!. "or el contrario, la lgica aristot#lica $ermite %nicamente

oraciones que noson vacuas. &as consecuencias de estas observaciones son

sor$rendentes.

' qu# se re)iere el t*tulo de este art*culo+ nte todo, entendemos $or

lgica aristot#lica la lgica del silogismo tradicional. &lamamos lgica

clsica a la lgica simblica moderna. Es bien sabido que las le/es de la

lgica aristot#lica son vlidas slo si todos los t#rminos se re)ieren a

conuntos no vac*os.

&a lgica aristot#lica tradicional reconoce cuatro ti$os de oraciones

odo es GE 3ing%n es G4 lgunos son G lgunos no son G

Se dice que se dan ciertas relaciones en entre estos ti$os. "or eem$lo, / E

son contrarios. Esto signi)ica que ambos no $ueden ser verdaderos $ero s*

$ueden ser )alsos. &os lgicos modernos vieron aqu* un $roblema.

Su$ongamos que inter$retamos los cuatro ti$os como se indica en la abla 1

~(6x)(Fx & ~Gx)

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E ~(6x)(Fx & Gx)4 (6x)(Fx & Gx) (6x)(Fx & ~Gx)

abla 1

Su$ongamos adems queFes vac*o, es decir, que ~(6x)Fx. &uego, seg%n la

lgica clsica, tanto como E sern verdaderos. &a inter$retacin anterior

7abla 18 no se cum$le. Este $roblema )ue anali9ado $or ". . Stra:son.

(Stra:son, 1;52, $$. 1;!. ?l demostr que dada la siguiente

inter$retacin

@(6x)(Fx & ~Gx) & (x)Fx & (x)~Gx

E @(6x)(Fx & Gx) & (x)Fx & (x)Gx4 (6x)(Fx & Gx) v ~(x)Fx v ~(x)Gx (6x)(Fx & Gx) v ~(x)Fx v ~(x~)Gx

abla 2

todas las le/es del silogismo tradicional se cum$len (Stra:son, 1;52, $. 1>=!.

&a lgica tradicional asume que el t#rmino del sueto se re)iere a algo que

eAiste. Sin embargo, las )rmulas de la abla 2 son traducciones inveros*miles

de las oraciones en lenguae natural (Stra:son, 1;52, $. 1>=!. "or lo tanto,

Stra:son $ro$uso considerar el t#rmino (6x)Fxcomo una presuposicin. Esto

signi)ica que ~(6x)Fxno im$lica que es )also, sino que (6x)Fxes una

$recondicin necesaria no slo de la verdad de lo dicBo, sino de que sea o

verdadero o)also 7cursiva del original8 (Stra:son, $. 1>C!. "ero Bagamos

algo meor / consideremos la eA$resin (6x)Fx & (6x)~Gxentera como

$resu$osicin. &uego, no es ni verdadero ni falsosi (6x)Fx & (6x)~Gxno es

verdadero. "ara nuestros $ro$sitos, es im$ortante advertir que no eAiste tal

cosa como una $ro$osicin verdadera $or vacuidad. &as $ro$osiciones vacuas

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son $or de)inicin ni verdaderas ni )alsas.

DicBa lgica puedeser )ormali9ada. Esto se $uede lograr generali9ando la

lgica relevante a la verdad (Dia9, 1;1! al clculo de $redicados. En esta

lgica, las oraciones

(" F @"! H@(" F @"! v H@((" F @"! F @H!

no son tautologas relevantes a la verdad(Dia9, 1;1, $. !. De manerasimilar, en la lgica de Stra:son, las oraciones

(x)(Fx Gx)

(x)(~Fx v Gx)~(6x)(Fx & ~Gx)

no son verdaderas si @(6x)Fx($ero tam$oco son )alsas!.

IEl autor de la lgica relevante a la verdad $robablemente nunca se dio

cuenta de que su sistema era una contra$artida $ro$osicional de la lgica

aristot#lica tradicionalJ &leg a ella desde otro ngulo, el ngulo de la

relevancia. "ero la lgica relevante a la verdad $uede ser eAtendida no slo al

clculo de $redicados mondicos sino tambi#n a la lgica de relaciones

(3e:berr/, 201C!.

K K K K K

En)oqu#monos aBora en el lema diagonal / en $articular en el teorema de

Gdel. En la aritm#tica de "eano eAiste una relacin decidibleDiag(y,z)tal que

siyes el n%mero de Gdel de una )rmula con una variable libre entonceszes

el n%mero de Gdel de la )rmula obtenida deyal sustituir (el numeral del!

n%mero de Gdel dey$or la variable libre dey. dems, searf(x,z)un

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$redicado tal que xes el n%mero de Gdel de una secuencia que es una

$rueba de la oracin con n%mero de Gdelz. &uego, consid#rese la )rmula

~(6A)(69)(rf(x,z) & Diag(y,z)) (L!

con una variable librey. Sea la constante !el n%mero de Gdel de L.

Sustiumos !$or la variable libreyen L. btenemos

~(6A)(6z)(rf(x,z) & Diag(!,z)) (G!

Momo resultado de esta construccin,Diag(!,z)se veri)ica slo $ara el n%mero

de Gdel de G. Denotaremos el n%mero de Gdel de G como N"G#N. &uego, de

acuerdo a la lgica clsica, G es equivalente a

~(6x)rf(x, "G#) (O!

/ $or lo tanto

~(6A)(69)(rf(x,z) & Diag(!,z)) $ ~(6x)rf(x,"G#) (P!

&a oracin anterior (P! es una instancia del lema diagonal, tambi#n conocido

como teorema del $unto )io. Oemos reem$la9ado la variable librezen

~(6x)rf(x,z)con el n%mero de Gdel de una oracin %tal que % $

~(6x)rf(x,"Q#). En este caso %resulta ser G.

Bora llegamos al quid de la cuestin. Desarrollemos G

~(6x)(rf(x,) & Diag(!, ))

~(6x)(rf(x,') & Diag(!, '))~(6x)(rf(x,) & Diag(!, ))

. . .

"ara cualquier n, se tiene que o ~(x)(rf(x,n)o ~(x)Diag(!, n). Dadas las

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siguientes desigualdades

~(6x)(rf(x,n) & Diag(!,n)) RT

(x)(rf(x,n) *# ~Diag(!,n)) RT

(x)(Diag(!,n) *# ~rf(x,n))

observamos que si n + "G#entonces

(x)(rf(x,n) *# ~Diag(!,n))

es vacuo, sino si ~(n + "G#)entonces

(x)(Diag(!,n) *# ~rf(x,n))

es vacuo. &uego, sea n + "G#

~(6x)(Prf(x,)& Diag(!,"G#)) (U!

Seg%n la lgica de $resu$osiciones, ambos t#rminos de U deben re)erirse a

conuntos no vac*os. En $articular, se debe cum$lir (x)rf(x,"G#), que es una

presuposicinde U. Es decir, si ~(x)rf(x,"G#) entonces - no puede ser

verdadero.&a equivalencia P /a no se cum$le. l cortar el nudo gordiano,

$odemos decir que G no es verdadero aunque G no $ueda decirlo de s* mismo.

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Bibliografa

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