SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA

SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA Y CULTURA

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL

UNIDAD 25 A

SUBSEDE: GUAMÚCHIL, SALVADOR ALVARADO

"EL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO EN PREESCOLAR"

TESINA

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE LICENCIADO

EN EDUCACIÓN PRIMARIA

PRESENTA:

ENEDINA MAZO GAXIOLA

GUAMÚCHIL, SALV; ALV; SINALOA, MARZO DE 2005

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN

CAPÍTULO I PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1 .1 Antecedentes.

1.2 Justificación

1.3 Delimitación del objeto de estudio.

1.4 Objetivos

CAPÍTULO II MARCO TEÓRICO

2.1 Generalidades sobre el conocimiento matemático

2.2 ¿Qué es el preescolar?

2.3 Los contenidos escolares en el nivel preescolar

2.4 Etapas de desarrollo en el niño

2.5 Características del niño en edad preescolar.

2.6 La formación de conceptos matemáticos

2.7 Aspectos del desarrollo integral del niño.

2.8 Relaciones entre aprendizaje y desarrollo.

2.9 Conceptos, relaciones y niveles que ayudan al niño en su aprendizaje matemático.

2.9.1 ¿Qué es el número?

2.9.2 La clasificación

2.9.3 La seriación

2.9.4 Conteo

2.9.5 Serie numérica.

2.9.6 La correspondencia...

2.9.7 La conservación de la cantidad.

2.9.8 Representación simbólica de cantidades

2.10 Relación entre los procesos psicológicos a través del cual el niño construye el

concepto de número.

2.10.1 Psicogénesis de la clasificación

2.10.2 Psicogénesis de la seriación.

2.10.3 Psicogénesis de la correspondencia y la conservación de la cantidad.

CONCLUSIONES

BIBLIOGRAFÍA.

INTRODUCCIÓN

La educación, como todo proceso, se inicia desde la familia, ya que es en ella donde

se dan las condiciones necesarias para que el niño desarrolle y practique sus

potencialidades que habrán de serle de gran utilidad en su vida cotidiana; en su hogar es

donde da inicio a los primeros acercamientos a los conocimientos matemáticos.

Es por ello, que antes de iniciar el preescolar ya tienen ciertas experiencias

matemáticas: cuentan pequeñas colecciones de objetos, usan los primeros números en sus

juegos; en consecuencia, difícilmente han estado ausentes las nociones matemáticas en las

aulas de jardines de niños, porque nacen y conviven en un mundo en el que el número es

una forma de expresión y comunicación con sentido; la compra, la venta, por ejemplo, esto

ocurre más allá de la enseñanza prevista de manera sistemática.

Por ello, en este trabajo se darán a conocer operaciones en la que los niños tengan que

seriar, clasificar, comparar e igualar cantidades, comunicar la cantidad de elementos de una

colección y aquellas en las que tendrá que prever, anticipar en resultados de

transformaciones aplicadas a colecciones, como en el agregar, o quitar elementos.

Dicho trabajo consta de 2 capítulos, conclusiones y bibliografía. En el primer capítulo

se presenta el planteamiento del problema iniciando con los antecedentes: aquí se habla

acerca de la temática que realizan los docentes en el nivel preescolar para trabajar el área de

matemáticas; describiendo tanto el sistema tradicional como el modelo constructivista

donde el primero de ellos la función del alumno es solo receptor y el maestro es el poseedor

de la sabiduría, en cambio, en el segundo modelo el alumno es quien construye su propio

conocimiento y el maestro actúa como orientador o guía

El motivo por desarrollar esto se da a conocer en la justificación y es por los

problemas que hay que enfrentar diariamente con los niños, ya que su aprendizaje debe ser

dirigido con objetivos específicos, además que de ahí parte la importancia de buscar la

manera más apropiada para la presentación del objeto de conocimiento.

En la delimitación se dice que el contenido a tratar será presentado desde una

perspectiva gen ética para comprender mejor el proceso cognitivo que sigue el niño para

llegar al aprendizaje. Es por ello, que el material que se presenta pretende dar a conocer

aspectos teóricos acerca del desarrollo del niño y de la construcción del conocimiento

matemático a nivel preescolar.

Pasando al segundo capítulo se presenta la fundamentación teórica referida a los

conceptos matemáticos, la explicación que dicha teoría aporta es respecto al proceso que

sigue el niño para la construcción de dichos conceptos.

Para aclarar esto, se hablará acerca del nivel preescolar; donde éste tiene la función de

socialización; o sea, que no todas las actividades que en él se realicen tienen que ser

explicadas en función de aprendizajes formales, debido a las características propias de los

niños, que llevan a privilegiar y apoyar otros procesos de desarrollo.

Piaget distingue cuatro periodos en el desarrollo de las estructuras cognitivas unidas

al desarrollo de la afectividad y socialización del niño, desde el momento en que nace,

hasta la adolescencia; de igual manera se presentaran algunas de las características del niño

en edad preescolar y aspectos del desarrollo integral del niño, o sea las potencialidades que

tiene y que en el transcurso de su vida se irán adaptando al medio en que se desenvuelva,

como el afectivo-social, la psicomotricidad y noción del esquema corporal.

Se hace alusión a los conceptos que ayudan al niño en su aprendizaje matemático,

considerando que el número es el resultado de la síntesis de las operaciones de clasificación

y seriación; en éste análisis permitirá comprender el proceso, a través del cual los niños

construyen el concepto de número

En el apartado de conclusiones da cuenta de que el aprendizaje del niño se ve

favorecido al interactuar con los objetos concretos ya que es mediante esta interacción la

que facilita al niño construirlo y se finaliza con la fuente bibliográfica en la que fue basada

para la elaboración del mismo.

CAPITULO I

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1.1 Antecedentes

El niño preescolar es un ser en desarrollo que presenta características físicas,

psicológicas y sociales propias, su personalidad se encuentra en proceso de construcción,

posee una historia individual y social, producto de las relaciones que establece con su

familia y miembros de la comunidad en que vive, por lo que un niño.

-Es un ser único.

-Tiene formas propias de aprender y expresarse.

-Piensa y siente de manera particular.

-Gusta de conocer y descubrir el mundo que le rodea.

En el programa de educación preescolar 1992 se distinguen cuatro dimensiones del

desarrollo en niños de este nivel que son afectiva, social, intelectual y físico; estás son

expuestas en forma separada, pero el desarrollo es un proceso integral.

La principal función de la matemática en preescolar es desarrollar el pensamiento

lógico, interpretar la realidad y la comprensión de una forma de lenguaje.

El acceso al conocimiento matemático requiere de un largo proceso de abstracción,

del cual en el jardín de niños se da inicio a la construcción de nociones básicas.

Es por ello, que en el nivel preescolar se concede especial importancia a las primeras

estructuras conceptuales que son: la clasificación y la seriación, las que al sintetizarse

consolidan el concepto de número.

El carácter intelectual del conocimiento matemático ha pasado por diferentes formas

de enseñanza, las cuales se han centrado en la mecanización como el medio ideal para

acceder a dicho conocimiento (sistema tradicional).

Cuando oímos hablar de educación tradicional nuestra referencia inmediata es la

imagen de un maestro que habla y unos alumnos que escuchan; pero pocas veces nos

detenemos a pensar sobre las características y las implicaciones de este tipo de enseñanza.

La noción de lo tradicional no se puede manejar como un modelo puro, sino que

existen distintas versiones e interpretaciones al respecto: pone en marcha la formación del

hombre que el sistema social requiere, el maestro, consciente o no de ello, ha venido siendo

factor determinante en la tarea de fomentar entre otras cosas el conformismo a través de la

imposición del orden y la disciplina vigentes, que tiene su origen en la propia familia.

La escuela tradicional, según Justa Ezpeleta, es la escuela de los modelos

intelectuales y morales; para alcanzarlos, hay que regular la inteligencia y encarnar la

disciplina, la memoria, la repetición y el ejercicio; son mecanismos que lo posibilitan.

En este tipo de educación, se maneja un concepto receptivita de aprendizaje, por que

se le concibe como la capacidad para retener y repetir información. En dicho modelo los

educandos no son llamados a conocer sino a memorizar y, el papel del profesor es un

transmisor; se tiene la nula consideración del grupo como constructor de aprendizajes.

Actualmente, se ha descubierto que la construcción de conocimientos matemáticos es

un proceso completo, en el que el niño juega un papel principal, no como simple

depositario del saber, sino como constructor de su propio conocimiento.

En este nuevo modelo, (constructivista) el alumno es el responsable último de su

propio proceso de aprendizaje, él es el que construye el conocimiento y nadie puede

sustituirle; en esta tarea, la enseñanza está totalmente mediatizada por la actitud mental

constructiva del alumno y ésta se aplica a contenidos que poseen ya un grado considerable

de elaboración, es decir, que son el resultado de un cierto proceso de construcción a nivel

social.

De hecho, que la función del profesor no es de limitarse únicamente a crear las

condiciones óptimas para que el alumno despliegue una actividad mental constructiva, rica

y diversa, sino que ha de orientar y guiar esta actividad, con el fin de que la construcción

del alumno se acerque, de forma progresiva, a lo que significan y representan los

contenidos.

De este modo, la consideración de la actividad constructiva del alumno, obliga a

sustituir la imagen clásica del maestro como transmisor de conocimiento por la del maestro

como orientador o guía.

Haciendo una revisión sobre el trabajo que realiza el maestro de educación

preescolar, se pueden encontrar una serie de problemas que se presentan durante el proceso

de enseñanza-aprendizaje, uno de los mayores problemas en el sistema educativo, es el alto

índice de alumnos que presentan problemas con respecto a aprendizajes matemáticos.

Una de las causas fundamentales es que, por un lado, la forma de enseñar no coincide

con la forma en que el niño aprende; y por otro, que a estos aprendizajes se accede

mediante la repetición mecanizada de las formas de representación (numerales).

En este nivel educativo, el eje de matemáticas en ocasiones se tiene olvidado, ya que

es mínima la realización de actividades sobre las nociones matemáticas de clasificación,

seriación y conservación de número, por que suponemos que existe deficiencia en la

calidad de la educación; por falta de información sobre este tema en el programa de

educación preescolar, se desconoce qué actividades realizar para favorecer las operaciones

lógico-matemáticas, o bien, no se tiene comprendido el enfoque del programa que se lleva,

principalmente en la manera de cómo el niño construye el conocimiento.

Si bien es cierto que se realizan diversas actividades en el grupo que favorecen los

aspectos matemáticos, pero en ocasiones sucede que no se ha podido desechar los

elementos de la escuela tradicional en la que el maestro es poseedor de la sabiduría y el

alumno el receptor, pasivo; quizá porque se tienen años trabajando así y parece más

sencillo proporcionar al alumno el conocimiento elaborado, en lugar de hacerlo reflexionar

sobre los diferentes fenómenos o sucesos para que observe, critique, haga hipótesis o bien

establezca conclusiones.

Como toca al jardín favorecer y proteger la evolución normal del alumno, para ello

debemos tener conocimiento del desarrollo del niño, ya que las dificultades que se

presentan son producto de la lógica infantil y en otras ocasiones de formas didácticas

inapropiadas utilizadas por las educadoras.

Los factores del conocimiento matemático en la mayoría de los casos no se llevan a la

práctica, se puede decir que por falta de información ya que las orientaciones contenidas en

el programa de preescolar son mínimas, por lo que se cometen errores por ejemplo de

decirle al niño "pon junto todo lo de color rojo"; y aquí el niño no está clasificando solo

podemos decir que conoce el color rojo porque la maestra le elige el criterio yeso no se

debe hacer, porque estamos quitando la libertad de acción y clasificación ya que el niño

podría utilizar otros criterios, como utilidad o tamaño por mencionar algunos, es por ello

que es necesario conocer aspectos teóricos sobre el desarrollo del niño y la construcción del

conocimiento.

Los problemas que se presentan en la seriación, pueden ser debido a que el maestro

no toma en cuenta el nivel de desarrollo del niño, porque al momento de pedirle, por

ejemplo, que ordene una serie de palillos del más grande al más chico, el niño lo que hace

es presentarle parejas como un palillo grande y un palillo chico porque solamente está

considerando los elementos en términos absolutos (grande y chico).

Habrá otros niños que puedan formar tríos considerando palillos chico, mediano y

grande, también habrá quienes presenten los palillos en forma de escalera, pero aún no se

establece una relación ya que en este caso no consideran dicho palillo como más largo que,

o más corto que.

Esto se puede evidenciar cuando le proponemos al niño agregar más palillos a su

serie, porque quizá sí pueda agregar dos o tres palillos por tanteo, pero ante dicha dificultad

prefiere desbaratar su serie y construirla de nuevo.

En relación a la serie numérica oral, se pueden encontrar niños que a muy corta edad

empiezan a contar oralmente de uno en uno, pero luego empiezan a omitir términos, o sea

que al principio, pueden aprender partes de la serie numérica hasta el número diez.

Este conteo realizado suele tomarse como contar de memoria. Dicho conteo es una

descripción de las primeras técnicas orales que emplea el niño para contar, la manera de

hacerlo es simplemente una cantaleta verbal sin sentido. En este caso la serie numérica

inicial no es más que una cadena de asociaciones aprendidas de memoria que podrá enlazar

gradualmente

El contar de manera oral, no garantiza una capacidad para contar con exactitud

conjuntos de objetos; sin embargo, para niños hacia los cinco años de edad no solo pueden

contar de palabra los primeros números de la serie numérica, sino que, al mostrarle dos

conjuntos de cuatro elementos en un orden distinto, luego determinarán que son cuatro.

Sucede que también existen niños que parece que dominan la serie numérica, porque

pueden contar hasta diez de uno en uno, pero al momento en que se le pide contar objetos,

no puede hacerlo debido a que no dice los números en orden coherente o no empieza a

contar desde el número uno, o sea, que si pueden generar la serie numérica oral hasta diez

correctamente, pero no enumerar un conjunto con esta cantidad o quizá hasta de menos,

porque todavía no han aprendido que debe aplicarse una y solo una etiqueta a cada

elemento del conjunto.

Con la experiencia los niños aprenden a usar su representación mental de la serie

numérica ya medida que se van familiarizando más y más con ella, pueden citar el número

siguiente a un número dado sin necesidad de contar nuevamente desde uno, eso sí, uno de

los desarrollos que pueden producirse un poco más tarde, es la capacidad de citar el número

anterior, porque deberán operar sobre la serie numérica en dirección opuesta a la seguida

durante el aprendizaje.

Tradicionalmente se dice que un niño que sabe contar puede manejar bien los

números, pero sucede que la forma de conteo observada en los niños, a pesar de que pueden

recitar varias palabras en una secuencia, aún no pueden emplear estas palabras para contar

objetos o eventos.

El discurso cantado de los niños, indica que ésta aislada secuencia de conteo verbal,

no representa más que una memorización de una serie de palabras. Puede argumentarse aún

más, que cuando el niño está recitando nombres numéricos aisladamente no está contando,

sino que estos nombres numéricos deben ubicarse en correspondencia con objetos o

eventos, antes de que tengan lugar en el acto de contar ya que llega a cometer errores como:

-Cuatro objetos son contados como cinco.

-Puede saltarse algunos de los objetos.

-Da dos nombres numéricos al mismo objeto.

-Da un nombre numérico a dos objetos diferentes.

-Recita los números más allá del último objeto como si fuera llevado por el ritmo de

la secuencia sonora.

-Inventa términos.

Por ejemplo. Un niño de cinco años puede ser capaz de recitar números hasta 20 ó 30,

aunque solo sea capaz de contar ocho objetos. Los arreglos espaciales de colecciones de

objetos al ser contados también pueden provocar dificultad en dicho conteo, porque niños

que tienen éxito al contar un arreglo lineal fijo, pueden cometer errores cuando el mismo

número de objetos son presentados en un arreglo circular o movible dispuesto al azar.

Para los adultos los nombres numéricos representan significados específicos y lo

vemos como algo muy obvio; en cambio, para los niños pequeños no es fácil, ya que

presentan dificultades, por ejemplo, al momento de que el maestro da tres dulces a un niño

y pregunta ¿cuántos dulces tienes? , el niño cuenta uno, dos, tres y si el maestro le indica

que coma uno, ya que lo hace el maestro puede preguntar nuevamente ¿cuántos hay ahora?,

la respuesta del niño será tres diciendo que esos son los números que quedan, porque lo que

hace es dar nombre a cada objeto.

Otro ejemplo de errores que se cometen frecuentemente es en la correspondencia,

cuando el maestro le indica al niño: tráeme 6 tasas para las personas que están en la mesa,

sin darnos cuenta que en este momento le estamos diciendo exactamente lo que tiene que

hacer sin hacerlo que piense; en cambio si le decimos solo las tasas que hacen falta para las

personas de la mesa ya es un lenguaje que indica una cuantificación lógica y una petición

más adecuada porque deja al niño elegir la manera que cree mejor para realizar la tarea, ya

que si nosotros no lo hacemos de esta manera, el niño se acostumbrará a depender de los

demás para poder hacer algo, en igual de darse la oportunidad de desarrollar su autonomía

intelectual y la confianza en sí mismo.

De igual manera se presentarán dificultades al momento en que queramos que el niño

llegue a la conservación de número, debido a que, si ponemos en una mesa una fila de ocho

fichas de color azul con un espacio entre ellas de uno a tres centímetros y damos una caja

con fichas de color rojo al niño, pidiéndole que saque el mismo número de fichas rojas que

las azules que están en la mesa para tener igual, sucede que el niño presentará una fila de

fichas rojas igual a la línea de fichas azules, pero pondrá la línea de sus fichas juntas,

porque cree que el número de fichas será el mismo si el largo de la línea es igual.

También habrá niños que pondrán una ficha roja puesta a una ficha azul obteniendo

de esta manera un número igual de fichas, pero no quiere decir que hayan adquirido la

conservación en sí, puesto que si aumentamos el espacio entre las fichas azules y

preguntamos ¿hay el mismo número en los dos conjuntos? O ¿hay más en alguno de ellos?

el niño responderá que hay más elementos en el conjunto que ocupe mayor espacio porque

pensará, que al ser más larga la fila, ésta tiene más fichas aunque el número no haya sido

variado.

Otros de los problemas que se tienen y difíciles de resolver es el de la deserción y los

factores determinantes pueden ser.

-Preparación deficiente de los maestros.

-Métodos de enseñanza inadecuados

-Escasa operatividad de los procedimientos de evaluación.

-Fallas en la organización de grupo.

A pesar de los factores identificados como problemas, lo más común es decir que el

alumno es el que no aprende y atribuirle a él las causas del fracaso, por considerar que es

distraído o por- falta de interés, mala alimentación, por inasistencia, etc. Pero ¿por qué no

cuestionarse acerca de los contenidos, el tiempo, la forma de abordarlos y si la actitud del

maestro está de acuerdo al interés del niño al igual que el grado de desarrollo cognoscitivo?

Por otro lado se olvida que el aprendizaje es un proceso en el que cada niño avanza

aun ritmo propio y cuando exigimos un avance uniforme, los alumnos que necesitan de más

apoyo se sienten relegados, inseguros y piensan que son menos inteligentes que los demás

compañeros.

Es necesario reconceptualizar el papel del maestro, cambiando sus estilos de

enseñanza como lo es el transmitir, ya que esto no requiere que el alumno realice esfuerzos

de comprensión e interpretación, sino solo de memorización y repetición.

Esto, porque los contenidos son considerados como algo acabado con pocas

posibilidades de análisis y discusión, además de que los recursos empleados en este modelo

de enseñanza son escasos, no porque se usen todos ala vez sino por ser frecuente el uso de

notas, textos, láminas y pizarrón, empleados las más de las veces sin criterios teóricos

claros que permitan seleccionarlos, organizarlos y aplicarlos adecuadamente a cada

situación de aprendizaje, además de ser un aprendizaje a corto plazo.

Los estilos de enseñanza que se deben emplear son los de orientar y guiar para que

propicien y estimulen el aprendizaje, lo cual no significa transmitir información sino que en

base a la observación y al conocimiento de las características del niño en la etapa donde se

encuentra, crear condiciones que le ayuden para que pueda aprender, además hay que

valorar su proceso, ya que se pueden presentar errores aparentes, que no lo son, porque en

base a ellos el construirá su conocimiento.

Dicho estilo de enseñanza alcanza su máximo interés cuando se utiliza como

herramienta de reflexión y análisis al igual que cuando se convierte en instrumento de

indagación teórica y práctica, o sea, que el problema con el que nos enfrentamos no es solo

comprender ¿cómo los alumnos construyen el conocimiento? Sino, comprender mejor

¿cómo los maestros pueden influir sobre este proceso de construcción para facilitarlo y

encausarlo hacia el aprendizaje?

1.2 Justificación

El motivo que me llevó a desarrollar el presente trabajo es debido a los problemas que

hay que enfrentar cotidianamente en el interior de las aulas con respecto al área de las

matemáticas y además porque espero dar a conocer a educadoras y educadores de que

manera las interacciones espontáneas que niñas y niños establecen con los objetos del

medio físico y social, desde las etapas tempranas de su desarrollo constituye la base del

conocimiento lógico-matemático. Una vez conociendo esta idea podrán diseñar estrategias

en las que puedan hacer uso de las nociones ya adquiridas y de ésta manera pueden

evolucionarlas.

Se debe tener presente que la vida cotidiana de los niños está llena de problemas de

naturaleza matemática como: la cantidad de su comida, duración de tiempo en que

descansa, tamaño de alguna de sus prendas; en sus juegos (tamaño de una torre que

construye, las piezas que utilizó, los escalones que sube y baja en las escaleras), su

encuentro con pesos, volúmenes o dimensiones (cuándo va hacer la compra de productos

con la mamá, cuándo recorre una superficie grande, cuándo lanza objetos a distancia).

Estos ejemplos son solo demostraciones de cuántas acciones, observaciones,

relaciones, conceptos, símbolos de tipo matemático se encuentran en la experiencia del

niño. Si como docente le prestamos atención con interés se podrá entender el empeño

constante del niño en intentar encontrar solución a los problemas con que se enfrenta, es

por ello que debemos considerarlo como el protagonista interesado en su propio

crecimiento y en la creación de los conocimientos que utiliza para ordenar la realidad y

para establecer relaciones por ejemplo: de similitud, diferencia o inclusión. Saber reconocer

estos conceptos informales de los niños sobre el mundo ayuda a identificar situaciones que

permitan contrastarlos, cuestionarlos y trasformarlos.

Es importante señalar que la aplicación que se de en matemáticas no implique

enfrentarse solo a situaciones que invente el maestro, sino darle la oportunidad a los niños

después de haber adquirido cierta destreza en el trabajo de resolución de problemas, o sea

que invente sus propios problemas matemáticos.

Tal vez a algunos docentes les parezca llena de rodeos y prolongada esta manera de

enseñar matemáticas, pero creo que vale el esfuerzo, pues si un niño aprende de memoria

los conocimientos y se olvida de ellos, no tendrá manera de repasar su olvido, en cambio,

cuando un niño descubre que inventa el camino para obtenerlos (conocimientos) pues

tendrá algo más importante que la memoria de unas recetas, el método para conseguirlas,

método que además le proporcionará una rica formación intelectual.

Si queremos lograr todo lo que aquí se propone es necesario dar la palabra a los niños

ya los maestros, además de entrar y salir en los recintos sociales como: la casa y la escuela.

Es necesario que el programa escolar surja de los intereses y necesidades expresados

por los propios niños, discutidos y sistematizados por los maestros, así como también

investigar, valorar y profesionalizar todo lo que se refiere en cuanto a enseñanza, para

construir a partir de una nueva realidad, un modelo pedagógico que responda a los intereses

vitales de la mayoría de los individuos

Los beneficiados en ésta manera de enseñar serán los alumnos, una vez que dejemos

que ejerciten su forma de pensar en lugar de exigirles que memoricen reglas que para ellos

carecen de sentido, ya que desarrollarán una base cognitiva más sólida y una mayor

seguridad, porque los niños que se sienten seguros, aprenden más a largo plazo que

aquellos que han sido instruidos de un modo que les hace dudar de sus propios

razonamientos.

En sí, para elevar la calidad del aprendizaje, es indispensable que los alumnos se

interesen y encuentren significado y funcionalidad en el conocimiento matemático, que lo

valoren y hagan de él un instrumento que les ayude a reconocer, plantear y resolver

problemas presentados en diversos contextos de su interés.

1.3 Delimitación del objeto de estudio

El contenido que se abordará en este tema parte de la idea de que construcción de los

conceptos matemáticos en los niños de preescolar se comprende mejor si se analiza desde

una perspectiva genética, ya que el hecho de partir de aquí nos ayudará a respetar y

promover el desarrollo cognitivo de los niños en cada uno de los niveles por los que el tiene

que pasar, porque a través de ello lo estaremos llevando más allá de lo que es su capacidad

real.

Este tipo de desarrollo es tratado por Vigotsky, se presenta cuando el niño por si solo

puede resolver algún problema, es por ello que al plantearles algo debemos ver el alcance

de su desarrollo mental tomando en cuenta de que manera resuelve esa actividad ya que

nivel de dificultad lo hace.

Por lo tanto este trabajo estará sustentado en el constructivismo, ya que en él dará

cuenta que el niño es quien construye su propio conocimiento al momento de interactuar

con los objetos, al reflexionar sobre las acciones y las relaciones que establece con ellos.

1.4 Objetivos

Conocer aspectos teóricos acerca del desarrollo del niño y de la construcción del

conocimiento matemático para llevarlo más allá de su capacidad real.

Identificar los estadios de desarrollo en el niño para tener un mejor conocimiento

en ellos y ver que no solo hay que respetarlos sino promoverlos.

Saber por qué ciertas operaciones son difíciles para los niños en determinados

niveles y en qué momento éstas dificultades deben ser superadas al pasar de un

nivel a otro, así como los cambios que tienen en ellos, o bien por qué tardan tanto.

CAPITULO II

MARCO TEÓRICO

2.1 Generalidades sobre el conocimiento matemático

Tradicionalmente se ha considerado que la construcción de las nociones matemáticas,

así corno las operaciones elementales, están íntimamente ligadas a su representación

gráfica, así se hace hincapié en que los niños memoricen los signos gráficos aritméticos,

considerando que al memorizarlos y reproducirlos adquirirán el concepto de número y otras

nociones de la matemática.

Esto ha conducido de manera equivocada a la identificación de la representación

gráfica de la cantidad con las operaciones aritméticas y los conceptos matemáticos. Ante

esto podemos preguntarnos ¿qué sucede cuando los niños y adultos no escolarizados, que

desconocen los signos convencionales, son capaces de resolver problemas en que se

implican algunas nociones aritméticas?

La razón de que esto sea posible, es que el concepto de número y las nociones

aritméticas elementales en general, son construidos por los niños al relacionar los objetos y

reflexionar sobre dichas relaciones, mientras que las representaciones gráficas

convencionales son aprendidas por transmisión social.

Al representar, el objeto al cuál se hace referencia, no está presente, por ello se puede

decir que la representación gráfica es un objeto sustitutivo que cumple las funciones de

memoria y de comunicación, sirviendo de índice para recordar datos, hechos, conceptos,

etc.

Para ello el alumno debe conocer y memorizar las grafías, signos o símbolos, que lo

llevan a la interpretación de lo escrito; así mismo es necesaria la convención social para que

se pueda dar la comunicación.

Las representaciones gráficas convencionales pueden darse a través de símbolos o de

signos. Los primeros, tienen cierta semejanza figural con lo que representan por ejemplo: la

silueta de un hombre o de una mujer que se coloca en la puerta de los baños públicos. Los

signos, por el contrario, no guardan ninguna semejanza figural con lo que representan, así

el signo "-" no guarda ninguna relación de semejanza con el concepto de menos, por lo

tanto, dicha representación es, además, arbitraria ya que el concepto -menos- pudo haberse

representado con otro grafismo.

Si bien es cierto que el alumno puede conocer y manejar conceptos y operaciones

matemáticas, aun cuando desconocen totalmente el lenguaje matemático gráfico que los

representa, cuando se pretende avanzar en el conocimiento matemático, se requiere de un

lenguaje gráfico para las operaciones así como para los conceptos; por lo cual resulta

conveniente que los alumnos se vayan introduciendo en el conocimiento de la

representación de los mismos, de manera paralela al de su construcción.

Generalmente la preocupación del maestro se encamina hacia la enseñanza de los

aspectos convencionales de la matemática, como el dibujar los números o el aprender el

algoritmo de la suma o la resta; por lo tanto, en muchas ocasiones, las actividades escolares

principales son las planas de numeraciones, ya que se piensa que tarde o temprano, por

medio de la repetición, el niño aprenderá los números y podrá resolver problemas que se le

presenten.

Esto deriva de una concepción equivocada que se tiene sobre lo que es la matemática

y la forma en como el niño la construye; de ahí que se de prioridad en el contexto escolar,

al conocimiento social de algunas de sus características, más que a su construcción como

un objeto de conocimiento psicogenético y cultural.

En general, la escuela pone en práctica una metodología encaminada principalmente a

memorizar o repetir y una vez dominado esto, se supone que su aplicación en diversas

situaciones será algo sencillo. De esta manera la matemática se vuelve aburrida y sin

sentido, en la que hay que resolver en general, matemáticamente, operaciones o problemas

como los enseñó el maestro, convirtiéndose el alumno en un ser receptor y pasivo que

repite sin pensar respuestas correctas que no lo conducen a la plena utilización de su

conocimiento lógico-matemático.

A nuestro juicio el planteamiento debe ser inverso, pues la necesidad de resolver

situaciones problema conducirá a los niños a buscar formas de solución.

En los programas de educación preescolar se reconoce la importancia del juego, sin

embargo, la escuela primaria, en general rompe con esta concepción, porque considera que

ya ha llegado la hora de que los niños dejen de jugar y se pongan de una vez a aprender.

Probablemente esta concepción que desecha el juego de la escuela, proviene de no

haber analizado con profundidad lo provechoso que resulta éste al aprendizaje en general,

ya la construcción de conocimientos lógicos-matemáticos en particular

Es importante señalar que, el juego por sí mismo, no reporta necesariamente

conocimiento matemático; para que esto suceda, el juego debe reestructurarse, es decir, es

necesario hacerle modificaciones definiendo un propósito que propicie en el niño la

reflexión sobre las acciones que ha realizado a lo largo del juego, a fin de que éste deje en

el niño algo más que el placer de jugar.

Además que, con la experiencia que tienen los niños, desde muy pequeños al

momento de presenciar actos de lectura, observaciones, hojear libros, periódicos, revistas,

clasificar y contar objetos, les permite tener ciertas nociones con respecto a la lengua

escrita y la matemática.

Lo anterior, es la idea del constructivismo la cuál reconoce al niño como quién

construye su conocimiento al interactuar con los objetos y reflexionar sobre las acciones y

relaciones que establecen con ellos. Estas acciones le permiten poner a prueba las hipótesis

que formula, confirmarlas o rechazarlas elaborando de esta manera hipótesis cada vez más

avanzadas en función del objeto de conocimiento a construir.

Desde la perspectiva de una didáctica constructiva se considera que el papel del

maestro debe consistir en propiciar el aprendizaje además, debe tener presente que ante una

misma situación, los niños pueden llegar a una solución por diferentes caminos, éstos

podrán ser diversos y en su búsqueda, los niños podrán equivocarse, dando pasos

innecesarios desde la formación y lógica del adulto.

Estas respuestas erróneas dadas ante un problema o situación, deberán aceptarse,

principalmente porque representa lo que el niño está conceptualizando; por lo cual se

deberá crear un clima en el que el error esté permitido.

Así como también debe ayudar a los alumnos a construir los conocimientos, tomando

como punto de partida los conocimientos ya construidos por los niños, planteando

problemas que los conduzcan a enfrentarse a conflictos: propiciando confrontación con los

hechos de la realidad y con los diversos puntos de vista que surjan; estimulándolos para que

piensen y traten de encontrar respuestas por sí mismo, en lugar de ser sólo receptores

pasivos; brindándoles la información que requieran cuando, después de haber buscado

soluciones para algún problema, no sean capaces para resolverlo; estando atento a sus

intereses, siendo lo suficientemente flexible para abordar una actividad que se tenía

programada cuando surja en el aula un tema a tratar o un problema a resolver; no

interrumpiendo una actividad, cuando los alumnos muestren interés en ella; organizando el

trabajo de manera que se puedan atender las necesidades individuales de los niños;

abandonando la idea tradicional de que el lugar del maestro es estar frente al grupo y en

cambio, recorra las diferentes mesas para observar el trabajo de los alumnos para

confrontarlos y apoyarlos.

2.2. Qué es el preescolar

Debe reconocerse especialmente su carácter esencialmente formativo en tanto que

significa la primera experiencia escolar institucionalizada. Es por ello que adquiere gran

importancia el estudio de la matemática ya que éste sienta las bases para los aprendizajes

escolares posteriores del niño.

El programa vigente de educación preescolar utiliza el método de proyectos. El

proyecto es una organización de juegos y actividades que surgen del interés de los niños

por resolver alguna duda o conocer una actividad concreta o tema en especial; para lograrlo

se organizan y planean una serie de juegos y actividades acordes con la edad e interés de

los alumnos. Durante el desarrollo de éstos los niños se organizan en equipos,

individualmente o en forma grupal, dependiendo de las actividades que vayan a realizar;

esto permite un ambiente lleno de diversas oportunidades para interactuar con todos los

miembros del grupo.

2.3 Los contenidos escolares en el nivel preescolar

La escuela por definición tiene la función de transmitir conocimientos socialmente

valorados a través de los contenidos escolares, la naturaleza de la experiencia escolar, no

puede apuntar solamente a la transmisión formal de los mismos.

Esto toma especial relevancia en el jardín de niños, al que tiene que reconocérsele

como una función de socialización.

No todas las actividades que se desarrollan tienen que ser

explicadas en función de aprendizajes formales debidas a las

características propias de los niños pequeños, que llevan a

privilegiar y apoyar otros procesos de desarrollo.1

Los contenidos en el jardín de niños comprenden todos los aprendizajes que los niños

deben alcanzar para progresar en las direcciones que marcan los fines de la educación.

1 ARROYO, Margarita "Los contenidos escolares en el nivel preescolar" En Antología básica. Desarrollo de la lengua oral y escrita en el preescolar. SEP-UPN México p. 53.

Se puede decir que los contenidos en el actual programa de preescolar implican, entre

otros, el aprendizaje de valores, conocimientos, actitudes y el desarrollo de habilidades y

funciones de distinta naturaleza. Dichos contenidos aluden a las ideas y representaciones

que los niños tienen sobre el mundo a partir de procesos de carácter intrasubjetivo,

inconscientes y cognitivos y de procesos ínter subjetivos que provienen de la sociedad y la

cultura en que viven, existiendo un lugar importante para los contenidos del saber humano

en el campo de la ciencia y de las artes.

En este nivel educativo es una edad en la que para privilegio de muchos niños se

puede hablar jugando, se elaboran estados afectivos hablando, es decir jugando con las

ideas, los deseos, los sentimientos, lo que se saber lo que se puede, edad en la que los

procesos afectivos son los que dominan. Que las educadoras reconozcan esto implica

concebir la importancia que tiene el jugar como lenguaje del niño y abrir espacios para que

esto suceda.

Esto debido a que el juego es el medio privilegiado a través del cual el niño interactúa

sobre el mundo que le rodea, descarga su energía, expresa sus deseos, sus conflictos, lo

hace voluntaria y espontáneamente, le resulta placentero y al mismo tiempo en el juego

crea y recrea las situaciones que ha vivido.

En el niño la importancia del juego radica en el hecho de que a través de él reproduce

las acciones que vive diariamente, por lo cual constituye una de sus actividades

primordiales. Ocupar largos periodos en el juego permite al niño elaborar internamente las

emociones y experiencias que despierta su interacción con el medio exterior.

El juego en la etapa preescolar no solo es un entretenimiento sino también una forma

de expresión mediante la cual el niño desarrolla sus potencialidades y provoca cambios

cualitativos en las relaciones que establece con otras personas, en el conocimiento de su

cuerpo, en su lenguaje y en general en la estructuración de su pensamiento.

El juego es una especie de escuela de relaciones sociales, ya que disciplina aquellos

que lo comparten, los hace aprender a tomar acuerdos, a relacionarse a integrarse al grupo,

a compartir sentimientos, ideas, es decir, forma el sentido social.

Es por ello que las actividades que la maestra sugiera a los niños deben ser con una

tendencia lúdica, ya que por este medio el niño se interesa más y se involucra, tanto física,

como emocional mente en los diversos juegos y actividades propuestas. Por lo tanto, la

educadora debe recordar que el objetivo del juego es producir una sensación de bienestar

que el niño busca constantemente en su actuar espontáneo, lo cual, afortunadamente, le

lleva al desarrollo en las cuatro dimensiones: afectiva, social, intelectual y física.

Los contenidos comprenden todos los aprendizajes que los

alumnos deben alcanzar para progresar en las direcciones que

marcan los fines de la educación, en una etapa de escolarización, en

cualquier área o fuera de ellas, para lo que es preciso estimular

comportamientos, adquirir valores, actitudes y habilidades del

pensamiento, además de conocimientos. Por ello, hay que referirse

no sólo a informaciones que adquirir, sino también a los efectos

que se derivan de determinadas actividades que es necesario

practicar para adquirir aprendizajes tan variados como los

mencionados.2

Es por ello que ahora es tiempo de repensar la legitimidad y la importancia del nivel

preescolar por sí mismo y no por lo que ha venido arrastrando el significado que le da el

prefijo "pre" que define su nombre ¿Podría hablarse ahora de un nivel preescolar, cuando

hay niños casi desde que nacen ya están en un sistema escolarizado? los mismos jardines de

niños ¿No son la escuela de los más pequeños? ¿Qué define lo escolar? ¿No sea que se

trata, más bien, de un espacio social y educativo que debe repensarse a la vez de las

actuales demandas sociales de atención a los niños pequeños, así como de los avances de

conocimiento pertinentes para este campo?

2 Ibíd. P. 54.

La idea de que se atienda a una de las etapas de la vida más cruciales para la

formación de un sujeto se diluye y subordina a los objetivos de la siguiente, sin acabar de

reconocer su función trascendente como parte fundamental de un proceso que se ha

iniciado años atrás y se continúa hacia delante, o sea que, en su desarrollo atraviesan

diferentes etapas, es decir conforme van creciendo, tanto en su organismo como en su

pensamiento,

2.4 Etapas de desarrollo en el niño

Freud en la estructura de la personalidad creía que los hombres existen en tres niveles'

un nivel animal, otro lógico y racional y un tercero moral, llamando al nivel animal el

"ello", éste representa el entendimiento del niño que está presente al nacer. La función del

"ello" solamente conoce una regla, el principio del placer.

La segunda estructura es el "yo", que tiene su origen en el "ello", y su misión es

limitar impulsos básicos con la realidad ambiental. El "yo" está fuertemente ligado con el

principio de la realidad y ayuda a los individuos a alcanzar las metas y deseos sin causar

conflictos en el mundo externo, así como también controla las ideas que surgen del "ello".

La tercera estructura es el "súper yo", que se desarrolla a partir del "yo" y ayuda a los

individuos a vincularse con los problemas morales. El "súper yo", puede ser considerado

como una conciencia y se desarrolla a través de vínculos estrechos con padres, maestros,

hermanos, y otras personas significativas en la vida del niño. En sí, representa los valores

de otras personas, así como los propios del individuo.

Afortunadamente estas tres estructuras están equilibradas. El "yo", puesto que

funciona con la realidad, está sujeto a la responsabilidad de mediar entre el impulsivo

"ello", el estricto "súper yo" y la situación real en sí misma. El "yo" puede no siempre

presentarse en forma realista pero puede elaborar mecanismos de defensa inconscientes.

Freud, consideraba que era necesaria cierta cantidad de frustración con el fin de que

los niños desarrollen las características del "yo". Así como también pensaba que un niño

puede encontrarse satisfecho con una estimulación limitada en una cierta etapa psicosexual

y permanecer entonces en esta etapa construyendo un juego de hábitos permanentes

relacionados con la actividad de estimularse

La primera etapa psicosexual, abarca desde el nacimiento al primer año. El niño

obtiene placer en actividades relacionadas con la boca, es en ésta etapa oral donde el niño

explora activamente con la boca, chupa y muerde no solo para comer, sino también para su

propio placer.

La segunda etapa de este desarrollo es la anal, tiene lugar entre uno y tres años, en

dicha etapa hay un cambio de interés desde la oral a la anal. En la primera fase de esta etapa

llamada anal expulsiva, los niños obtienen buena parte de satisfacción de actividades

relacionadas con la expulsión de las heces, además de que realizan actividades sucias.

Mientras que ellos disfrutan, obviamente, con éstas actividades los padres por muchas

razones no están nada de contentos e intentan enseñar a sus hijos a controlar los intereses.

En la segunda parte de la etapa anal, llamada anal repentina, los niños disfrutan de su

recién adquirido dominio de sus músculos del esfínter y contienen o retienen las heces.

La etapa fálica se presenta entre los tres y siete años aproximadamente. Durante esta

etapa, los niños se interesan por las diferencias anatómicas entre los sexos, pueden

presentar celos extremados, éstos se deben al amor mutuo entre los padres o la rivalidad

entre hermanos. Al final de esta etapa fálica el niño ha debido identificarse ya con el padre

del mismo sexo y habrá desarrollado un temor, un afecto hacia el progenitor del sexo

contrario.

La etapa de latencia tiene lugar durante los años de la escuela elemental (de 7 a 12

años) Freud veía la etapa de latencia como un período en que se adquieren conocimientos y

habilidades sociales y culturales, éstas consolidan el "súper yo" del niño.

La etapa genital, que es la última tiene lugar en la adolescencia. La persona retorna de

nuevo al interés sexual, pero este interés es localizado ahora sobre personas fuera de la

familia.

Para muchos adolescentes, el inicio de la pubertad es altamente traumático. En dicha

etapa la persona se va introduciendo en la vida adulta y se hace menos egocéntrico, busca el

placer no solo para el, sino para otros, felizmente, los adolescentes integran las enseñanzas

de la familia, sus propias necesidades personales y las demandas de la cultura en un estilo

de vida.

La teoría del desarrollo de Erikson tiene muchas de las características del

psicoanálisis Freudiano, pero también diferencias importantes. Erikson prefiere hablar de

etapa psicosociales mejor que las etapas psicosexuales, porque considera que el cometido

mayor del desarrollo se relaciona con la formación de uno mismo en un contexto social.

Aunque las primeras cinco etapas de Erikson equivalen estrechamente a las etapas

psicosexuales de Freud, este autor incorporó tres etapas de la madurez que no fueron

tratadas en la teoría Freudiana.

Por lo tanto, la teoría de Erikson cubre un curso de la vida más amplia que la de

Freud, y su enfoque del desarrollo psicosocial enfatiza el medio ambiente y las influencias

interpersonales. La teoría de Erikson puede ser considerada como una teoría de la crisis, ya

que cada etapa enfrenta a la persona con una nueva crisis de crecimiento.

En la primera etapa de las ocho de Erikson, los niños enfrentaban la crisis de la

confianza, desconfianza. De experiencias como mamar, ver a la mamá ir y venir, esperar

para recibir la comida, el niño elabora las nociones básicas de la confianza en otras

personas. Algunos niños, que sienten, o que en realidad experimentan de privaciones

elaboran patrones duraderos de desconfianza hacia otros. Dicha etapa corresponde a la fase

oral Freudiana, pero va más allá del solo hecho de conseguir o no estimulación oral.

La segunda etapa llamada de la autonomía de vergüenza o duda, corresponde a la

etapa anal Freudiana, en dicho período los niños experimentan conflictos entre sus propios

deseos y los de sus padres porque se interesan en hacer cosas por sí mismo, aunque sean

ineficaces y obstaculizan el avance de actividades, al suceder esto muchos niños se sienten

avergonzados.

La tercera etapa que abarca de los tres a los seis años se denomina de la iniciativa

culpa y se corresponde con la etapa fálica de Freud. En éste período los niños toman una

iniciativa para comenzar muchas cosas, se mueven activamente, descubren

entretenimientos o juegos que implican triunfos y llegan a ser más imaginativos, con este

incremento en su actividad y desplegando la imaginación el niño puede llegar en ocasiones

a experimentar culpa.

La cuarta etapa, laboriosidad/inferioridad, tienen lugar entre los seis y doce años se

corresponde con la etapa de latencia Freudiana y es el período en el que se encuentran la

mayoría de los niños en la escuela elemental. Durante este tiempo, los niños son laboriosos

trabajan duramente en la escuela y en el campo de deportes.

Los niños también pueden experimentar un sentido de insuficiencia o inferioridad ya

que los éxitos conducen a sentimientos de que yo puedo hacer las cosas bien, mientras que

los fracasos llevan a sentimientos de decir, yo no puedo aprender estas cosas correctamente.

La quinta etapa, identidad/dispersión de roles, muestra al adolescente haciéndose

preguntas de este tipo ¿Quién soy?, ¿Quién he sido?, ¿Dónde voy? Como en la etapa

genital Freudiana, muchos intereses giran alrededor de algunos sucesos de la maduración

sexual, sin embargo, ésta etapa cubre mucho más que esto. En esencia, el adolescente debe

elaborar un sentido sólido de identidad, o de otra forma experimentará algo como una serie

de roles divididos, desconectados e inconsistentes.

Encontrar un sentido de identidad perdurable no es fácil. Y por ello, el adolescente

intenta encontrarlo en actividades muy diversas, en algunos esta tarea implica escapes y

aventuras diferentes a los que había guiado con anterioridad, otros pueden incurrir o

experimentar una fase de desplazamiento en la que rehacen sus vidas y formulan nuevos

planes y metas.

En la sexta etapa intimidad/aislamiento, no tiene equivalente a la teoría Freudiana,

abarca al joven adulto entre los veinte y los primeros años de la treintena; en este período,

los jóvenes viven relaciones de intimidad con otros. También es posible que los fracasos

conduzcan al aislamiento y la soledad, prefiriendo evitar encuentros interpersonales

llegando a encerrarse a sí mismo.

En la séptima etapa que se da entre los treinta y los últimos años de los cincuenta la

persona se enfrenta a la crisis de la generatividad-estancamiento; ésta se refiere a la ayuda o

fomento de la siguiente generación. Las personas están ocupadas con las tareas de la

paternidad, sin embargo, también se enfrentan con la perspectiva del estancamiento sin ir a

ninguna parte puesto que ve acabada su vida y esto conduce a desviaciones radicales en su

profesión y en los planes familiares.

En la última etapa, que abarca desde la década de los sesenta en adelante la persona

experimenta la crisis de la inteligencia-desesperación desesperación, para muchos la vejez

es un tiempo para pasar, revisar a las siete etapas anteriores para ver un motivo de vida y

recordar hechos pasados, más sin embargo, haya quienes los hunde la desesperación a

medida que sienten que queda poco tiempo para comenzar algo.

De forma distinta a Freud, Erikson estaba muy interesado en el papel de la sociedad

para ayudar al progreso de la persona a través de cada etapa. Citando a Erikson se sugiere:

Que para comprender tanto la niñez como ala sociedad,

debemos extender nuestros propósitos para incluir el estudio de las

maneras, en que las sociedades alivian los conflictos ineludibles de

la niñez con el ofrecimiento de cierta seguridad, identidad e

integración. Es gracias al esfuerzo de estos valores, por los que el

yo existe; las sociedades crean la única condición bajo la cual es

posible el crecimiento humano.3

Por consiguiente, para Erikson el crecimiento es el resultado de interacción del

desarrollo individual y biológico, y de las fuerzas sociales.

El enfoque cognoscitivo del desarrollo es tratado por Piaget. Para los psicólogos

cognoscitivos, los procesos importantes y más comunes que deberían investigarse son: el

lenguaje, el pensamiento, la memoria, las tácticas de resolución de problemas y la

creatividad.

Para saber cómo pasa un sujeto de un estado menor de conocimiento aun estado

mayor, convienen señalar que es un proceso que requiere de la acción del sujeto sobre las

cosas. Es decir, el niño tiende a interactuar con los objetos para conocerlos y formar sus

propias estructuras. Para explicar de manera más detallada el proceso del desarrollo del

pensamiento del niño, Piaget señala etapas o períodos en los cuales se tienen rasgos

diferentes.

La primera etapa de desarrollo es el estadio sensoriomotor, que abarca desde el

nacimiento hasta los dos años aproximadamente. La inteligencia en este período descansa

sobre las acciones, los movimientos y las percepciones sin lenguaje, mientras ve un objeto

existe para él, pero si el objeto desaparece deja de existir.

En la segunda etapa es el estadio preoperacional, abarca de los dos a los siete años

aproximadamente. El niño desarrolla el lenguaje, imágenes y juegos imaginativos, así como

muchas habilidades preceptúales y motoras, sin embargo el pensamiento y el lenguaje están

reducidos por lo general al momento presente, a sucesos concretos, su pensamiento es

egocéntrico, irreversible y carece del concepto de conservación, tiene dificultades para

organizar las cosas en clases o secuencias lógicas y no es capaz de entender que las cosas

pueden cambiar de forma y sin embargo seguir teniendo el mismo peso o volumen que

3 ALEXANDER, "La construcción de una teoría" En: Antología complementaria. El niño: desarrollo y

antes.

El estadio de las operaciones concretas abarca desde los siete a doce años. En este

período el niño comprende que, características como la longitud, el peso, el número y el

volumen, permanecen igual a pesar de pequeños en apariencia; es capaz de colocar sucesos

y cosas en un orden y usualmente entiende con claridad las relaciones de parte a todo.

En sí, realiza tareas lógicas simples que incluyen la conservación, reversibilidad y

ordenamientos, sin embargo, el pensamiento está aún limitado a lo concreto, a las

características tangibles del medio ambiente. En el estadio de las operaciones formales que

se extiende entre los doce años en adelante las personas pueden manejar problemas lógicos

que contengan abstracciones, pueden utilizar elaboraciones hipotéticas y por consiguiente,

hacer extensibles estos pensamientos más allá de la situación presente.

El avance en las habilidades de razonamiento conduce a progresos en los juicios

morales y en las relaciones sociales. Los adolescentes presentan más atención a los valores

y se preocupan a menudo, conscientemente de sí mismos en relación con otros.

Las ideas de Piaget han proporcionado una fundamentación valiosa para nuevas

indicaciones en el desarrollo cognoscitivo. A diferencia de los conductistas, los Piagetianos

conciben al niño como una persona no solo influida por el medio ambiente, sino alguien

que se aproxima de forma activa a su entorno con una capacidad o impulso para conocer,

además sostienen que, cuando los niños exploran su mundo, participan activamente en su

propio desarrollo.

2.5. Características del niño en edad preescolar

Toda actividad que el niño realiza implica pensamientos y afectos, siendo

particularmente notable su necesidad de desplazamientos tísicos.

proceso de construcción del conocimiento. SEP-UPN México 1994 p. 30.

Sus relaciones más significativas se dan con las personas que lo rodean, de

quienes demanda un constante reconocimiento, apoyo y cariño.

A no ser que esté enfermo es alegre y manifiesta siempre un profundo interés

y curiosidad por saber, conocer, indagar, explicar tanto con el cuerpo como a

través de la lengua que habla.

El niño no sólo es gracioso y tierno, también tiene impulsos agresivos y

violentos. Se enfrenta, reta, necesita pelear y medir su fuerza; es competitivo.

Negar éstos rasgos implica el riesgo de que se expresen en formas

incontrolables.

Estos y otros rasgos se manifiestan a través del juego, el lenguaje, la

creatividad, es así como el niño expresa, plena y sensiblemente sus ideas,

pensamientos, impulsos y emociones.

Las etapas donde se ubica el niño de preescolar desde la clasificación de Freud,

Erikson y Piaget son: Etapa fálica en cuanto al psicoanálisis freudiano y se encuentra entre

los 3 y 7 años de edad, durante dicha etapa los niños se interesan por las diferencias

anatómicas entre los sexos. Etapa de la iniciativa culpa de acuerdo a la teoría psicosocial de

Erikson y abarca de los 3 a los 6 años de edad y se corresponde con la etapa fálica de

Freud, en ésta etapa los niños se mueven activamente, descubren juegos y llegan a ser más

imaginativos y en ocasiones puede llegar a experimentar culpas.

Estadio preoperacional en cuanto al desarrollo cognoscitivo tratado por Piaget, se

presenta de los 2 a 7 años de edad, aquí el niño desarrolla el lenguaje, juegos imaginativos

y habilidades motoras, su pensamiento es egocéntrico, irreversible y carece del concepto de

conservación.

2.6 La formación de conceptos matemáticos.

Es un error suponer que un niño adquiere la noción de número y otros conceptos

matemáticos exclusivamente a través de la enseñanza, ya que de una manera espontánea y

hasta un grado excepcional los desarrolla independientemente él mismo.

Cuando una persona adulta quiere imponer los conceptos matemáticos a un niño antes

del tiempo debido, el aprendizaje es únicamente verbal, puesto que el verdadero

entendimiento viene solamente .con el desarrollo mental. La teoría de Piaget llamada

constructivismo, ha demostrado que "los niños adquieren los conceptos y las operaciones

numéricas construyéndolos internamente, no interiorizándolos a partir del ambiente",4 es

por ello que da a conocer tres tipos de conocimiento.

1.- Conocimiento físico, es el conocimiento de los objetos de la realidad externa. El

color de una canica puede ser ejemplo de una propiedad física que pertenece al objeto de la

realidad externa y que puede conocerse empíricamente mediante la observación.

2.- Conocimiento lógico-matemático, consiste en la relación creada por cada

individuo. Por ejemplo al mostrarnos una canica azul y una roja y pensamos que son

diferentes, ésta diferencia es un ejemplo de conocimiento lógico-matemático. Las canicas

serán un objeto observable pero la diferencia entre ellas no lo es, la diferencia es una

relación que cada individuo crea mentalmente al colocar los objetos en una relación.

Si la persona piensa en el peso del objeto puede decir que es igual en cambio, si

piensa en los objetos numéricamente dirá que son dos, aquí los dos objetos serán

observables pero el número dos no, ya que éste es una relación creada mentalmente por

cada persona.

Por lo tanto el conocimiento físico es un conocimiento empírico que tiene su fuente

en los objetos; por otro lado, el conocimiento lógico-matemático no es un conocimiento

empírico, ya que sus fuentes están en la mente del individuo, cada uno debe crear la

relación.

4 CONSTANCE KAMII "¿Por qué recomendamos que los niños reinventen la aritmética?" En Antología básica. Construcción del conocimiento matemático en la escuela SEP-UPN México p 7.

3.- Conocimiento social, las fuentes últimas de éste conocimiento son las

convenciones establecidas por las personas. Aquí no existe una relación física ni lógica

entre el objeto y su nombre. Por consiguiente para que el niño adquiera este conocimiento

es indispensable que reciba información de los demás.

Tradicionalmente los maestros de matemáticas no han establecido las diferencias

entre los tipos de conocimiento y han creído que la aritmética debe interiorizarse a partir de

los objetos, como si fuera conocimiento físico, y de las personas. Como si fuera social, o

sea que pasan por alto la parte más importante de la aritmética que es el conocimiento

lógico-matemático.

Tampoco diferencian lo que es la abstracción y representación, por un lado, y entre

representación con símbolos personales y con signos convencionales por otro. De acuerdo a

Piaget, hay dos tipos de abstracción: la empírica o simple y la reflexionante o constructiva.

En la abstracción empírica el niño lo que hace es concentrarse en alguna propiedad

del objeto e ignorar las demás. Por el contrario la abstracción reflexionante o constructiva,

implica la construcción por parte del alumno de relaciones entre los objetos. "La

abstracción empírica está implicada en la adquisición del conocimiento físico por parte del

niño, mientras que la abstracción constructiva está implicada en la adquisición del

conocimiento lógico-matemático".5 Los niños construyen conceptos numéricos sintetizando

dos tipos de relaciones que crean: orden e inclusión jerárquica.

En la relación de orden todos los maestros de niños pequeños han observado su

tendencia natural a contar objetos saltándose algunos y contando otros más de una vez, y

cuando se les pregunta ¿cuántos objetos hay? Creen que se espera que digan la última

palabra de la serle.

Para cuantificar la colección de objetos numéricamente, tienen que colocarlos en una

relación de inclusión jerárquica. Esta relación, quiere decir que los niños deben incluir

5 Ibíd. p10

mentalmente uno en dos, dos en tres, tres en cuatro, etc.

Ahora en la representación, la primera puntualización que se debe hacer es que, según

Piaget, la palabra ocho o un dibujo de ocho objetos no representa la idea de ocho, sino que

la representación es lo que el niño hace, no lo que la palabra o el dibujo le dicen. Si los

niños han construido la idea de ocho, mediante la abstracción constructiva, representará

ésta idea para sí mismo con un dibujo de ocho objetos o símbolos de su creación

2.7 Aspectos del desarrollo integral del niño.

Hablar de desarrollo integral del niño preescolar es hacer alusión a todas las

potencialidades que tienen y que en el transcurso de su vida se van adaptando al medio en

que se desenvuelve. Por lo tanto corresponde a las educadoras de este nivel, desarrollar las

estrategias metodológicas necesarias que propicien en los alumnos el desarrollo de cada una

de sus potencialidades.

En el nivel preescolar se distinguen cuatro dimensiones del desarrollo integral del

niño. La "dimensión" se puede definir como la extensión comprendida por un aspecto de

desarrollo, en la cual se encuentran las características de la personalidad del sujeto, dichas

dimensiones son:

1.- Dimensión afectiva, ésta dimensión está referida alas relaciones de afecto que se

dan entre el niño, sus padres, hermanos y familiares con quienes establece sus primeras

formas de relación, más adelante se amplía su mundo al ingresar al jardín de niños, al

interactuar con otros niños, maestros y adultos de la comunidad.

La afectividad en el niño implica emociones, sensaciones y sentimientos; su auto

concepto es determinado por la calidad de las relaciones que establece con las personas que

constituyen su medio social. Los aspectos de desarrollo que están contenidos en ésta

dimensión son identidad personal, cooperación, participación y expresión de afectos.

2.- Dimensión social, ésta dimensión se refiere a la transmisión, adquisición y

acrecentamiento de la cultura del grupo al que pertenece, a través de las interrelaciones con

los distintos integrantes del mismo, que permiten al individuo convertirse en un miembro

activo de su grupo.

En las interrelaciones con las personas, se produce el aprendizaje de valores y

prácticas aprobadas por la sociedad, así como la adquisición y consolidación de hábitos

encaminados a la preservación de la salud física y mental. Estos aprendizajes se obtienen

por medio de vivencias, cuando se observa el comportamiento ajeno y cuando se participa e

interactúa con los otros en los diversos encuentros sociales.

Durante el proceso de socialización, gracias a la interacción con los otros, el niño

aprende normas, hábitos, habilidades y actitudes para convivir y formar parte del grupo a

que pertenece.

Después de que el niño adquiere la identidad personal, al estar inmerso en la cultura

de su localidad, región y país, va logrando construir la identidad cultural, gracias al

conocimiento y apropiación de la riqueza de costumbres y tradiciones de cada estado de la

república, de cada región y de cada comunidad a la cual pertenece, en donde existen

diversas manifestaciones culturales como: lengua, baile, vestimenta artesanías, juegos y

juguetes tradicionales.

En el nivel preescolar, se propicia el conocimiento y aprecio por los símbolos patrios

y por los momentos significativos de la historia local y regional. Los aspectos de desarrollo

que contiene ésta dimensión son' pertenencia al grupo, costumbres y tradiciones familiares

y de la comunidad, así como también valores.

3.- Dimensión física, a través del movimiento del cuerpo, el niño va adquiriendo

nuevas experiencias que le permiten tener mayor dominio y control sobre sí mismos y

descubre las posibilidades de desplazamiento con lo cual paulatinamente, va integrando el

esquema corporal, también estructura la orientación espacial al utilizar su cuerpo como

punto de referencia y relacionar los objetos con el mismo.

En la realización de actividades diarias del hogar y Jardín de niños, el niño va

estableciendo relaciones de tiempo, de acuerdo con la duración y sucesión de los eventos y

sucesos de la vida cotidiana. Los aspectos de desarrollo que constituyen ésta dimensión

son: integración del esquema corporal, relaciones espaciales y relaciones temporales.

4.- Dimensión intelectual, la construcción de conocimiento en el niño se da a través

de las actividades que realiza con los objetos, ya sean concretos, afectivos y sociales, que

constituyen su medio natural y social. La interacción del niño con los objetos, personas y

situaciones de su entorno, le permiten descubrir cualidades y propiedades físicas de los

objetos que, en un segundo momento, pueden presentar con símbolos; el lenguaje en sus

diversas manifestaciones, el juego y el dibujo, serán las herramientas para expresar la

adquisición de nociones y conceptos.

El conocimiento que el niño adquiere, parte siempre de aprendizajes anteriores, de las

experiencias previas que ha tenido y de su competencia conceptual para asimilar nuevas

informaciones. Por lo tanto, el aprendizaje es un proceso continuo donde cada nueva

adquisición tiene su base en esquemas anteriores ya la vez, sirve de sustento a

conocimientos futuros.

La construcción de relaciones lógicas está vinculada a la psicomotricidad, al lenguaje,

a la afectividad y sociabilidad del niño, lo que permite resolver pequeños problemas de

acuerdo a su edad. Los aspectos de desarrollo que constituyen ésta dimensión son.

Función simbólica, que consiste en la posibilidad de representar objetos,

conocimientos, personas, etc., en ausencia de ellos. Esta capacidad

representativa, se manifiesta en diferentes expresiones de su conducta.

Construcción de relaciones lógicas, es el proceso a través del cual a nivel

intelectual se establecen las relaciones que facilitan al acceso a

representaciones objetivas, ordenadas y coordinadas con la realidad del niño;

lo que permitirá la construcción progresiva de estructuras lógico-matemáticas

básicas y de la lengua oral y escrita.

En cuanto a nociones matemáticas, por mencionar algunas, se tienen la clasificación,

ya que es una actividad mental mediante la cual se analizan las propiedades de los objetos,

estableciendo relaciones de semejanza y diferencia entre los elementos, delimitando así sus

clases y subclases.

Otra noción es la seriación, que consiste en la posibilidad de establecer diferencias

entre objetos, situaciones; estableciendo relaciones de orden en forma creciente o

decreciente de acuerdo con un criterio establecido.

Así como también se tiene la conservación, ya que es la noción o resultado de la

abstracción de las relaciones de cantidad que el niño realiza a través de acciones de

comparación y establecimiento de equivalencias entre conjuntos de objetos, para llegar a

una conclusión de más que, menos que o igual que.

En relación al lenguaje se tiene el oral y el escrito. El lenguaje oral es un aspecto de la

función simbólica. Responde a la necesidad de comunicación; el niño utiliza gradualmente

palabras que representan cosas y acontecimientos ausentes. Por medio del lenguaje se

puede organizar y desarrollar el pensamiento y comunicarlo a los demás, también permite

expresar sentimientos y emociones.

Este tipo de lenguaje no es dado solo por imitación de palabras, sino porque el niño

ha creado su propia explicación, ha buscado regularidades coherentes, ha puesto a prueba

anticipaciones creando su propia gramática y tomando la información que le brinda el

medio.

En cambio en el lenguaje escrito, ya es la representación gráfica del leguaje oral; para

la reconstrucción del sistema de escritura el niño elabora hipótesis, las ensaya, las pone a

prueba y comete errores, ya que para explicarse lo que es escribir pasa por distintas etapas

las cuales son: la presilabica, silábica, transición silábico-alfabético y alfabética.

Otro aspecto de desarrollo en dicha dimensión (intelectual), es la creatividad, .ya que

es la forma nueva y original de resolver problemas y situaciones que se presentan, así como

expresar en un estilo personal, las impresiones sobre el medio natural y social.

En el desarrollo del niño, es usual analizar los procesos de cambio psicológico en

función de estadios o niveles. Los estadios representan características cualitativas que

hacen referencia a lo que el niño es capaz de hacer por sí solo (Piaget).Decir por ejemplo,

que el niño conserva la cantidad lo ubica en un nivel cualitativamente diferente a otro niño,

que aún no ha podido construir la correspondencia.

Citando a Vigotsky, es necesario determinar dos niveles de desarrollo en el niño, el

primero es el nivel alcanzado por él en el transcurso de su desarrollo (capacidad real) que le

permite resolver por sí solo un problema o una tarea. El segundo nivel es la capacidad

potencial, se trata de un nivel de desarrollo aún no alcanzado, pero que se puede acceder a

él con la ayuda de un adulto o un niño más desarrollado.

De acuerdo con Vigotsky, lo que el niño es capaz de hacer con la ayuda .de los

adultos o con los niños más capaces para favorecer sus futuras potencialidades, se le llama

zona de desarrollo próximo.

Al respecto, lo que el niño puede hacer hoy con la ayuda de los adultos, lo podrá

hacer mañana por sí solo.

El área de desarrollo potencial (zona de desarrollo próximo)

nos permite, pues, determinar los futuros pasos del niño y la

dinámica de su desarrollo y examinar no solo lo que ya ha

producido el desarrollo, sino lo que producirá en el proceso de

maduración"6

Ante esto, es necesario tener presente el desarrollo potencial al momento de diseñar

acciones que coadyuven a su aprendizaje.

2.8 Relaciones entre aprendizaje y desarrollo

El punto de partida de los análisis sobre ésta temática por parte de Vigotsky, consiste

en la constatación de que el aprendizaje del niño comienza mucho antes que el aprendizaje

escolar, o sea que, el aprendizaje escolar nunca parte de cero, todo el aprendizaje del niño

en la escuela tiene una prehistoria.

Cuando el niño comienza a estudiar aritmética en la escuela,

tiene tras de sí, una cierta experiencia de la cantidad de las

operaciones de adición y sustracción; el niño ha tenido ya una pre-

escuela de aritmética y el psicólogo que los ignorase estaría ciego"7

El error que con más frecuencia se comete, es cuando se analizan las relaciones entre

aprendizaje y desarrollo, es al momento de prestar atención sólo a uno de los niveles de

desarrollo que el niño posee. Es aquí donde hay que distinguir entre el nivel de desarrollo

real o actual, que el niño presenta, y el nivel de desarrollo potencial al que puede alcanzar.

El nivel de desarrollo real o actual se refiere al nivel de desarrollo que el niño ya ha

conseguido como resultado de su desarrollo y experiencias previas y el nivel de desarrollo

potencial se refiere a los procesos de desarrollo que están ocurriendo y progresando o bien

los que están apunto de ocurrir y progresar.

6 BUSTOS, Vianey y BOLLAS P "la metáfora del andamiaje" En Antología básica. Génesis del pensamiento matemático en el niño preescolar. SEP-UPN p 146. 7 PALACIOS, Jesús "Reflexiones entorno alas Implicaciones educativas de la obra de Vigotsky" En Antología básica Génesis del pensamiento matemático del niño en edad preescolar SEP-UPN México p 141.

Para. Vigotsky el nivel de desarrollo de un niño solo puede determinarse, refiriéndose

como mínimo a esos dos niveles: el nivel de desarrollo real y el nivel de desarrollo posible,

por así decirlo, lo que se conoce como zona de desarrollo próximo.

Una enseñanza orientada hacia la etapa de desarrollo ya realizado, es ineficaz desde

el punto de vista del desarrollo general del niño; no es capaz de dirigir el proceso de

desarrollo. Por el contrario la teoría de la zona de desarrollo potencial sostiene que la única

buena enseñanza es la que se adelanta al desarrollo. Para Vigotsky, el aprendizaje, es un

aspecto universal y necesario del proceso de desarrollo culturalmente organizado y

específica mente humano de las funciones psicológicas. Es cierto que de acuerdo a

Vigotsky, el proceso de desarrollo va seguido del proceso de aprendizaje a condición de

que ese aprendizaje actúe sobre la zona de desarrollo próximo.

El aprendizaje no produce desarrollo en cualquier circunstancia sino sólo en aquellas

en las que el niño ha alcanzado ya un determinado nivel de desarrollo potencial. Según la

metáfora de Vigotsky, las posibilidades contenidas en la zona de desarrollo próximo son los

capullos o las flores de las que han de salir los frutos del desarrollo, es sobre esos capullos

y sobre esas flores sobre las que incidirían las actividades de aprendizaje que son útiles para

acabar de madurar el fruto.

En sí, el punto de vista de Vigotsky, es interaccionista, el niño tiene ya un nivel de

desarrollo y posee también un nivel de desarrollo que está al alcance de sus posibilidades a

condición de que se le ayude; La enseñanza consistirá justamente en aportar esa asistencia

que permite actualizar los contenidos incluidos en la zona de desarrollo potencial.

Pero también el punto de vista de Piaget es interaccionista. El desarrollo es una

consecuencia de la acción mancomunada de la maduración biológica, de la experiencia del

niño en su contacto con las cosas porque se insiste sobre todo en la interacción del sujeto

con el objeto, y porque desde el punto de vista de la educación es un factor más que ayuda

al desarrollo.

Por su parte, Vigotsky da una extraordinaria importancia ala interacción social y

además entiende que el aprendizaje es un momento intrínsecamente necesario para que el

desarrollo se produzca: el aprendizaje no es en sí mismo desarrollo, pero una correcta

organización del aprendizaje del niño lleva al desarrollo mental, activa todo un grupo de

procesos de desarrollo y dicha activación no podría producirse sin aprendizaje.

Por ello el aprendizaje es un momento intrínsecamente necesario y universal para que

se desarrollen en el niño esas características humanas, no naturales, sino formadas

históricamente.

Aquí las ideas de Piaget al respecto son con una actitud espontánea, en la que se

confía que el aprendizaje y desarrollo tienden a producirse espontáneamente como

consecuencia de las actividades y experiencias personales sobre los objetos o la realidad en

general.

Por su parte la posición Vygotskyana encaja mejor en una actitud culturalista, en el

sentido de que la asistencia al aprendizaje y el desarrollo, culturalmente organizada, se

convierte en el elemento clave y necesario que posibilita y garantiza que tanto el

aprendizaje como el desarrollo se produzcan.

Por lo tanto lo que determina el futuro intelectual del niño no son los estímulos que le

rodean, sino el papel mediador de los adultos, es decir, las actividades en las que el adulto y

niño se embarcan en una actividad conjunta alrededor de un objeto, a propósito de él.

2.9 Conceptos, relaciones y niveles que ayudan al niño en su aprendizaje

matemático.

2.9.1 ¿Qué es número?

Ante esta pregunta es frecuente obtener respuesta del tipo "es un concepto", "es una

abstracción" de acuerdo, pero ¿es una abstracción del mismo tipo por ejemplo que el

concepto de "azul" o de "cuadrado"?, para responder a esta pregunta, supongamos que

alguien nos solicita que le demos un objeto que sea azul, o bien un cuadrado, sin duda

podremos dárselo.

Supongamos ahora que nos piden un objeto que sea siete. ¿Podremos encontrarlo?,

seguramente no, la única manera de dar algo que sea siete, será juntar siete elementos, es

decir formar un conjunto, en este caso de siete elementos. Por supuesto también podríamos

formar conjuntos de objetos azules o cuadrados, pero también podremos encontrar un solo

objeto que sea azul o cuadrado.

Esto significa que las propiedades cualitativas (forma, color, tamaño, etc.) son

propiedades de los objetos en tanto que la propiedad numérica no es nunca propiedad de un

objeto, es siempre propiedad de un conjunto (o clase) de objetos, o sea, que cuando

pensamos en un número, no pensamos en un solo conjunto que tienen determinada cantidad

de elementos, sino que pensamos en muchos conjuntos, en infinitos conjuntos, es decir que:

"el número es el resultado de la síntesis de la operación de la

clasificación y de la operación de la seriación' un número es la

clase formada por todos los conjuntos que tienen la misma

propiedad numérica y que ocupa un rango en una serie, serie

considerada a partir también de la propiedad numéricas.8

De ahí que la clasificación y la seriación se encuentran en el concepto de número.

Este análisis permite comprender el proceso a través del cual los niños construyen el

concepto de número.

8 M NEMIROVSK y CARVAJAL "Qué es el número y construcción del concepto de número en el niño". En antología básica Génesis del pensamiento matemático en el niño en edad preescolar. SFP-LIPN México 1979 p. 11.

2.9.2 La clasificación

En efecto, la clasificación "interviene en la construcción de todos los conceptos que

constituyen nuestra estructura intelectual".9 En términos generales podríamos decir que

clasificar es juntar por semejanzas y separar por diferencias, aunque éste no siempre lo

podamos presentar de manera concreta.

Por ejemplo al decir que plantas nos gustan, estamos juntando las plantas que por

tener cierta cualidad tienen la propiedad común que nos gustan y la separación serían las

plantas que no reúnen cierta cualidad y por lo tanto constituyen las plantas que no nos

gustan.

Este tipo de clasificación es presentado de manera interiorizada, o sea, que lo

hacemos pensando, porque no podemos tomar las plantas que existen en el mundo para

juntarlas y separarlas concretamente.

Otro, ejemplo de clasificación puede ser al momento de acomodar los libros o la ropa,

aquí nos podemos dar cuenta que el acto clasificatorio no se realiza solamente en forma

interiorizada o pensada, sino además en forma afectiva, ya que juntamos y separamos los

objetos en forma concreta; mientras que en el ejemplo de las plantas el acto clasificatorio se

realiza solamente a través de acciones interiorizadas.

En la clasificación, además de las semejanzas y diferencias se toman en cuenta las

relaciones de pertenencia e inclusión.

La pertenencia: es la relación que se establece entre cada elemento y la clase de la

que forma parte. Está fundada en la semejanza, ya que decimos que un elemento pertenece

a una clase cuando se parece a los otros elementos de esa misma clase, en función del

criterio de la clasificación que se está tomando en cuenta.

9 Ibíd. p 12.

Por ejemplo, si llamamos cinco a la clase de conjuntos que tienen cinco elementos,

pertenecerá a ella cualquier conjunto que tenga la misma cantidad de elementos, en tanto

que no pertenecerá a ella los conjuntos que no tengan esa cantidad de elementos

La inclusión es la relación que se establece entre cada subclase y la clase de la que

forma parte de tal modo que nos permite determinar que clase es mayor. La relación de

inclusión juega un papel importante en el concepto de número. En efecto, las clases de

cuatro, cinco, etc., que podemos formar estableciendo relaciones de semejanza cuantitativa

entre conjuntos, no son clases aisladas, sino que constituyen una jerarquía en la que cada

clase incluye las que son inferiores y está incluida en todas las superiores. De este modo la

clase cinco, incluye a la subclase cuatro, tres, dos y uno, y está incluida a su vez en las

clases seis, siete, etc.

2.9.3 La seriación

Al igual que la clasificación la seriación es una operación que además de intervenir

en la formación de concepto de número constituye uno de los aspectos fundamentales del

pensamiento lógico. "Seriar es establecer relaciones entre elementos que son diferentes en

algún aspecto y ordenar esas diferencias"10

Es una operación lógica que nos permite establecer relaciones comparativas -respecto

aun sistema de referencia- entre los elementos de un conjunto, y ordenarlos sobre su

diferencia, ya sea en forma creciente o decreciente y cuenta con dos propiedades

fundamentales que son transitividad y reciprocidad.

La transitividad. Al establecer una relación entre un elemento de una serie y el

siguiente y de éste con el posterior, podemos deducir cual es la relación que hay entre el

primero y el último.

10 Ibíd. p 15.

Por ejemplo, si dos es mayor que uno y tres es mayor que dos, podemos decir que tres

es mayor que uno sin necesidad de comprobarlo de manera efectiva.

La reciprocidad. Cada elemento de una serie tiene una relación tal con el elemento

inmediato que al invertir el orden de la comparación, dicha relación también se invierte. Si

comparamos en número dos con el tres, la relación es menor, que si invertimos el orden de

la comparación, tres con dos, la relación se invierte y será mayor, o sea que el dos es al

mismo tiempo mayor que uno pero menor que tres.

Es importante aclarar que la clasificación y la seriación se presentan en el caso del

concepto de número, pero no cuando se clasifica o se sería con base a las propiedades

cualitativas. Porque al estar clasificando con base en cualidades se centra en semejanza, los

elementos se consideran equivalentes independientemente de sus diferencias, mientras que

al estar seriando con base a criterios cualitativos uno se centra en las diferencias, ya que

seriar es ordenar esas diferencias. En el terreno de lo cualitativo, clasificación y seriación,

por lo tanto, se mantienen separados.

La clasificación por lo tanto, determina la cardinalidad del número y la seriación su

ordenalidad (000=cardinal 3). La cardinalidad se refiere a reconocer la cantidad de objetos

que hay en cada colección y la ordenalidad es la posición relativa de un elemento en un

conjunto ordenado en el que se ha tomado uno de los elementos como inicial (1, 2, 3, 4...).

Al igual que la clasificación, la seriación es una condición necesaria para establecer

relaciones de orden más abstracto, es decir la conceptualización de la serie numérica, pero

antes de tratarla se hablará acerca de conteo y cuantificación.

2.9.4. El conteo

"Es un proceso que el niño va construyendo gradualmente en estrecha relación con el

lenguaje cultural de su entorno"11 Labinowicz considera los siguientes niveles:

1. El conteo de rutina, es caracterizado por la recitación oral de serie de palabras.

Los niños pequeños recitan oralmente la serie numérica la cual puede ser un conteo

convencional y estable, un conteo no convencional pero estable o bien un conteo al azar y

no estable.

A pesar de que pueden recitar varias palabras en una secuencia estándar, aun no

pueden emplear estas palabras para contar objetos o eventos. Este discurso cantado indica

que dicho conteo no representa más que una memorización de palabras.

2. El conteo de objetos y eventos, se refiere al hecho de asignar una etiqueta verbal a

cada uno de los objetos contados. El niño puede ser capaz de contar oralmente hasta el

número 30, sin embargo solo podrá contar objetos hasta ocho o nueve elementos, inclusive

resulta que puede contar esos objetos en arreglo lineal pero si se presentan en otro tipo de

arreglo puede presentar errores. Este nivel es superior al de conteo de rutina.

Hasta aquí se han observado dos niveles de conteo aunque los niños continúan

ampliando su secuencia de conteo verbal en tanto que gradualmente dominan el conteo de

números crecientes de objetos. En este apartado se observa un tercer nivel de conteo y es el

más lento de desarrollar: la construcción de significados numéricos a asignar a las palabras

de conteo dentro de una estructura relacional. Esta adquisición lenta de significados

numéricos presenta limitaciones en las habilidades de conteo infantiles y en la confiabilidad

de conteo como una herramienta de resolución de problemas para los niños y nos referimos

a la cuantificación.

3. Cuantificación, para los adultos los nombres numéricos representan significados

específicos en diferentes contextos. Estos nombres pueden representar el número de objetos

en una colección, ó un número de unidades de medida, es por ello, que esta construcción de

significados de asignar a las palabras de conteo se aleja bastante de los otros aspectos del

11 LABINOWICZ "El conteo en los niños de los primeros años capacidades y limitaciones" En Antología básica Génesis del pensamiento matemático en el niño en edad preescolar. SEP-UPN México 1979 p 73.

conteo ya tratados anteriormente.

2.9.5. Serie numérica

Es el resultado de una seriación, pero no de elementos sino de clases de conjuntos y

debido a que resulta de una seriación, la serie numérica reúne las propiedades de toda serie,

que son la transitividad y la reciprocidad.

Aquí lo primero que hacen los niños es generar sistemáticamente los nombres de los

números en el orden adecuado y lo pueden hacer hasta el diez, sin embargo al momento de

pedirles que cuenten objetos no pueden decir los números en orden correcto y de manera

coherente.

O sea, que aquí las palabras de la secuencia numérica deben aplicarse una por una a

cada objeto del conjunto y se les hace complicada porque el niño debe coordinar la

verbalización de la serie numérica con el señalamiento de cada elemento de una colección

para crear una correspondencia biunívoca entre las etiquetas y los objetos.

2.9.6. La correspondencia

Comparar dos cantidades es efectivamente poner sus elementos en correspondencia

término a término. La correspondencia término a término o correspondencia biunívoca "es

la operación a través de la cual se establece una relación de uno a uno entre los elementos

de dos o más conjuntos a fin de compararlos cuantitativamente".12

El papel que juega la correspondencia en el concepto de número es que para

determinar con base en la propiedad numérica que un conjunto pertenece a una clase se

hace uso de la correspondencia biunívoca, o sea, que se pone en relación cualquier

12 NEMEROVSKY Op Cit p18

elemento de un conjunto con cualquier elemento de otro hasta que ya no puede establecerse

esa relación uno a uno y si no sobran elementos en ninguno de los conjuntos significa que

son equivalentes, mientras que si sobran elementos en alguno de ellos no son equivalentes.

2.9.7. La conservación de la cantidad

Con el tiempo, las reglas numéricas para evaluar la equivalencia, la no equivalencia y

la magnitud permiten a los niños poder conservar.

Estos criterios numéricos precisos liberan a los niños de tener que depender de

indicios perceptivos como la longitud cuando hacen comparaciones cuantitativas.

La numeración verbal no implica la noción de conservación dado que para el niño

puede haber sietes que tengan más y sietes que tengan menos. Puede decir que un siete es

más que otro siete porque para ella palabra siete es solamente la etiqueta que le corresponde

al séptimo elemento y no considera que el siete incluya los seis elementos que están antes.

En cambio cuando el niño tenga que contar los elementos de conjuntos equivalentes

que presenten distinta distribución espacial lo llevará a entrar en contradicción con lo que el

puede afirmar a partir de la longitud, ya que se preguntará ¿cómo habiendo siete?, puede

haber más elementos en un conjunto que otro. La toma de conciencia de este conflicto

contribuirá al avance hacia la conservación de número.

Por ejemplo al solicitar al niño que tome tantos elementos como los de una hilera

modelo, puede hacerlo estableciendo correspondencia de término a término en forma

visible, pero también, en algunos casos, escogiendo tantos elementos como los que se le

presentaron sin hacer la colocación de término a término.

Ante cualquier transformación que se efectué en la disposición de los elementos de

uno de los conjuntos sostiene la equivalencia numérica de los mismos.

Aun con esto pueden afirmar la conservación, pero a veces no la argumentan aunque

después puedan llegar a fundamentar porque la cantidad se conserva, dando algunos de

estos argumentos.

-hay lo mismo porque no se puso y se quitó nada.

-Sigue habiendo igual, ésta hilera es más larga porque los elementos están separados

y ésta es más cortita porque los elementos están juntitos.

-Hay lo mismo porque se pueden volver a acomodar a como estaban antes (término a

término).

Con esto el niño ya sabe que las dos únicas formas de alterar una cantidad son

agregar o quitar elementos. Llegado a este momento podemos afirmar que el niño ha

llegado a conocer la correspondencia y conservación de la cantidad.

Es fundamental que el niño llegue a la correspondencia y conservación de la cantidad

respecto al número, porque el niño podrá considerar que un conjunto de nueve elementos

será equivalente a todos los conjuntos de nueve elementos, así como no equivalentes a

todos los conjuntos mayores o menores que nueve independientemente de la disposición

espacial de sus elementos.

2.9.8. Representación simbólica de cantidades.

La función simbólica "es una capacidad que permite representar un objeto a través de

otro"13, así por ejemplo, el dibujo de una casa no es la casa en sí, sino un objeto que lo

sustituye.

Así mismo el dibujo permite evocar una realidad que no está presente. En este sentido

sustitución y evocación son características de la función simbólica, dicha función permite

13 PBOLLAS "Representación gráfica" En Antología básica Génesis del pensamiento matemático en el niño en edad preescolar SEP-UPN México 1979 p 144

que un objeto ausente se puede hacer presente mediante la sustitución de otro.

Tomando el ejemplo anterior el dibujo de una casa es un significante gráfico que nos

remite a una realidad a la que se le atribuye un significado. De esta manera las marcas

trazadas sobre un papel que evocan y sustituyen objetos reciben el nombre de significantes

gráficos.

Por ejemplo el significante gráfico cuatro es una forma convencional de representar

gráficamente al concepto de número. Dicho significante (al igual que el 1, 2, 3, etc.),

reciben el nombre de numeral.

El numeral dos, es una forma convencional de representar gráficamente el concepto

de dos, es decir, de cualquier conjunto de dos elementos.

De acuerdo a esto el numeral (significante gráfico) no es concepto numérico en sí,

sino una forma convencional de representarlo. Numeral y concepto no son idénticos, por lo

que es erróneo pensar que, por el hecho de enseñar el numeral al niño, se está enseñando el

concepto de número.

En la representación gráfica se habla de significante gráfico arbitrario cuando el

significante utilizado no tiene una relación de semejanza figurativa con aquello que

representa, ejemplo de ello puede ser los signos gráficos de +,=,6 porque requieren de la

convención social para ser comprendidos.

Son arbitrarios porque no guardan relación de semejanza figurativa con aquello que

representan y convencionales porque son producto cultural de la vida social.

En efecto los significantes gráficos se refieren a las marcas trazadas sobre un papel y

aunque son objetos sustitutos, permiten dar significados o interpretación a aquello que

sustituyen. Esto es que en la representación gráfica está presente un significante y un

significado.

El significado se refiere al concepto o idea que el sujeto ha elaborado sobre algo y

existe en él sin necesidad de que lo exprese gráficamente, por su parte el significante

gráfico es un objeto sustituto a través del cual puede ser expresado (gráficamente) dicho

significado.

En el caso de concepto de número, la convención social determinó que la

representación gráfica del concepto "dos" sea 2 y el numeral no se parece desde ningún

punto de vista, al concepto que representa, es una representación arbitraria.

De esta manera, el numeral no es el concepto sino una manera de representación

convencional. Esto es importante subrayarlo porque frecuentemente se enseña el numeral

como si fuera el concepto de número, del mismo modo se piensa que si el niño sabe escribir

los numerales es que ya conoce el concepto de número. Esto es un error puesto que una

cosa es repetir una palabra, o bien copiar una grafía y otra comprender un concepto.

Dentro de las representaciones infantiles de cantidad podemos encontrar la

idiosincrásica, pictográfica, icónica y simbólica. Representación idiosincrásica, son

representaciones hechas por los niños donde no se puede descubrir algún tipo de

regularidad que esté relacionado con la cantidad de objetos que representan. Tal

representación tiene significado para el niño pero carece de significado para nosotros, aquí

lo más común que hace es cubrir el papel de garabatos.

La representación pictográfica, consiste en representar algo parecido a lo que tienen

dejando constancia de la cantidad existente, aquí el niño coloca alguna indicación

correspondiente a la forma, o posición del bloque que sea presentado.

La representación icónica, al igual que la pictográfica, se basa en la correspondencia

estricta con los bloques, pero aquí el niño utiliza un sistema mediante el cual cada símbolo

diseñado por él representa un bloque distinto, dichos símbolos pueden ser círculos, rayitas o

cualquier dibujo.

El término icono se ajusta a la noción de icono como signo no arbitrario. Los

elementos individuales pueden ser arbitrarios pero la respuesta en conjunto no lo es,

satisface el requisito esencial que consiste en expresar la cantidad de objetos que hay en el

grupo.

La representación simbólica, en éste caso los niños ya emplean los símbolos

convencionales para representar- una cantidad. De hecho que los niños de nivel preescolar

hacen uso de representaciones icónicas e idiosincrásicas mientras que los niños de más

edad crean con frecuencia este tipo de representación (simbólica).

Cualquier modalidad de representación puede aceptarse como representación escrita

de número, incluso como ya se mencionó es posible que un niño construya un sistema

idiosincrásico que solo tenga significado para él.

2.10 Relación entre los procesos psicológicos a través del cual el niño construye

el concepto de número

Los procesos de construcción, clasificación, seriación y correspondencia son

simultáneos, o sea que el niño no los construye en forma sucesiva sino simultáneamente. El

niño atraviesa por etapas o estadios en el proceso de construcción de cada una de éstas

operaciones. Al encontrarse en determinado estadio de una de las operaciones no

necesariamente está en el mismo estadio respecto alas otras dos operaciones. Por ejemplo,

puede estar al final del estadio de la clasificación, y al mismo tiempo estar en el segundo

estadio de la seriación, la secuencia de los estadios es la misma en todos los niños, las

edades son las que varían.

2.10.1Psicogénesis de la clasificación

Primer estadio: hasta los 5 o 6 años aproximadamente. Cuando al niño se le da la

consigna pon junto lo que va junto lo hace sobre la marcha: toma un elemento cualquiera,

luego otro que se parezca en algo al anterior, después un tercero que se parezca al segundo

y así continúa, o sea que observa el último objeto para colocar el siguiente.

Éste es denominado colección figural. En dicho estadio el niño todavía no toma en

cuenta las diferencias para hacer la separación, no cualquier figura es una colección figural,

la colección figural resulta de conducta clasificatoria (semejanzas).

Segundo estadio: desde los 5-6 hasta los 7-8 años aproximadamente. Aquí ya hay una

evolución, pasa de la colección figural a la clase lógica. El logro inicial es que comienza a

tomar en cuenta las diferencias entre los elementos, por lo tanto forma colecciones

separadas y se le denomina colección no figural. Hace varios grupos porque busca que las

semejanzas sean máximas y no deja ningún objeto sin agrupar, al final de éste estadio

todavía no construye la cuantificación de la inclusión.

Tercer estadio: a partir de los 7-8 años. El logro fundamental de éste estadio

operatorio es que establece relaciones de inclusión, y hasta aquí el niño podrá darse cuenta,

por ejemplo que en el número 5 están incluidos el 4, 3, 2, y 1.

2.10.2Psicogénesis de la seriación

Primer estadio: hasta los 5-6 años aproximadamente. Inicia este estadio formando

parejas cuando se le está dando la consigna ordena del más chico al más grande, él piensa

que sólo existen éstos dos elementos en términos absolutos (chico, grande). Su conducta es

pseudo clasificadora, sólo considera lo largo y lo corto, luego pasa hacer tríos, usando

largo, mediano y corto, posteriormente ya trata de formar escaleritas en un solo sentido, ya

sea creciente o decreciente.

Segundo estadio: desde los 5-6 hasta los 7-8 años aproximadamente. Relaciona cada

elemento con el anterior y posterior de la serie pero lo hace en forma sucesiva, puesto que

no puede considerar que un elemento sea más grande que otro y que al mismo tiempo sea

más pequeño que otro elemento.

Tercer estadio: desde los 7 -8 años el método que utiliza el niño es sistemático. Si va

a seriar de manera creciente toma del conjunto el objeto más pequeño, luego el más

pequeño de los que quedan y así sucesivamente y si es decreciente el proceso es inverso, o

sea que aquí el niño puede anticipar la serie completa antes de hacerla porque ha construido

la transitividad y la reciprocidad.

2.10.3 Psicogénesis de la correspondencia y la conservación de la cantidad

Primer estadio: hasta los 5-6 años aproximadamente. Al darle al niño la consigna de

poner igual que el conjunto que está hecho, el niño coloca tantos objetos como sea

necesario para igualar la longitud de la hilera modelo, de manera que el primer y último

objeto de ambas hileras coincidan independientemente de la cantidad que necesite para

hacerlo, lo hace así porque se centra en el espacio ocupado por los conjuntos y no en la

cantidad de los elementos; por lo tanto no hay correspondencia.

Segundo estadio: desde los 5-6 a los 7 -8 años aproximadamente. Aquí ya establece

la correspondencia biunívoca, al realizar su hilera de elementos que sea equivalente a la que

tiene presentada, lo hace colocando un elemento justo del que tiene como modelo, esto le

permite afirmar que los conjuntos tiene la misma cantidad de elemento

Si se altera algunos de los conjuntos, dirá que no hay igual porque una hilera aumenta

y otra disminuye en cantidad, pero si esto deja de ser percibido se apoya de nuevo en la

longitud de las hileras.

Tercer estadio (operatorio): a partir de los 7-8 años. Al pedirle al niño que tome

tantos elementos como los de la hilera modelo, puede hacerlo como un niño que está en el

segundo estadio, estableciendo la correspondencia término a término, pero también en

algunos casos lo puede hacer tomando el número de elementos que contenga el conjunto

que está como modelo, sin necesidad de colocarlos uno pegado al otro.

Al llegar a éste estadio los niños afirman la conservación, pero a veces no la

argumentan, aunque después puedan llegar a fundamentar por qué la cantidad se conservan.

Ejemplo: mencionan sigue igualo bien no pusiste ninguno. Además ya saben que las dos

formas de alterar una cantidad es poner o quitar elementos.

CONCLUSIONES

Con el desarrollo de éste trabajo se ha llegado a la conclusión de que las educadoras

(es), deben reconocer que el niño al ingresar a la educación preescolar, ya cuenta con

nociones matemáticas, debido a que los números forman parte de la vida cotidiana, además

de que ellos nacen y se desarrollan en un mundo en el que el número es una forma de

expresión y comunicación con sentido.

Es necesario comprender que las interacciones espontáneas, que los niños y niñas

establecen con los objetos del medio físico y social, desde las etapas tempranas de su

desarrollo constituyen la base del conocimiento lógico-matemático, porque una vez

conociendo esto el docente se verá en la necesidad de buscar las situaciones didácticas en la

que los niños utilicen las nociones adquiridas y las hagan evolucionar.

También es importante que antes de trabajar con los alumnos las diferentes nociones

matemáticas conozcan el desarrollo cognitivo de los niños, así como las estructuras lógicas-

matemáticas, porque esto es lo que permitirá saber en que nivel se encuentra cada uno, en

las cuales están implícitas las nociones tales como: seriación, clasificación, correspondencia

y conservación de la cantidad, ya que éstas son la base para que el niño logre en un

momento determinado la noción de número.

De igual manera, las actividades que sean propuestas para lograr la construcción de

conocimientos matemáticos que deberán ser adecuadas al nivel y características del

desarrollo en que se encuentre el niño, así como las propias características, y niveles que

contienen los conceptos matemáticos, ya que esto determina la posibilidad del niño para el

manejo de las nociones matemáticas. Es por ello que, en éste sentido se considera necesario

que las actividades respondan a los intereses del niño, de tal manera que le permitan la

construcción.

Cabe señalar que el niño no aprende conocimientos, si no es a través de la interacción

que haga con los objetos concretos, ya que por sí solos no le van a dar el conocimiento, sino

que es con la reflexión que realice sobre ellos, esto debe ser partiendo de la manipulación

concreta, tocando observando, comparando, separando, y que el material a usar sea

llamativo para él.

Por lo tanto, la idea de la construcción de los conceptos matemáticos por parte del

niño, debe tratarse desde lo gen ético, ya que podremos darnos cuenta de acuerdo al nivel

en que se encuentren qué es lo que puede lograr y de que manera lo podemos ayudar para

que llegue a la capacidad potencial.

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