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ContenidoNumeros Naturales

Objetivos

El Conjunto de los Numeros Naturales

Carlos A. Rivera-Morales

Algebra

Rivera-Morales, Carlos A. Los Numeros Reales

Objetivos

Tabla de Contenido

Objetivos

1 Numeros NaturalesNumeros PrimosReglas de DivisibilidadTeorema Fundamental de la AritmeticaMaximo Comun Divisor o FactorMınimo Comun MultiploPropiedades de los Numeros Naturales

Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:

el conjunto de los numeros naturales

numeros primosnumeros compuestosTeorema Fundamental del Algebra

maximo comun divisor (MCD)

mınimo comun multiplo (mcm)

Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:

numeros primos

numeros compuestosTeorema Fundamental del Algebra

Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:

numeros primosnumeros compuestos

Teorema Fundamental del Algebra

Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:

Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:

Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:

Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:

Numeros PrimosReglas de DivisibilidadTeorema Fundamental de la AritmeticaMaximo Comun Divisor o FactorMınimo Comun MultiploPropiedades de los Numeros Naturales

Introduccion:

Los numeros naturales surgen por la necesidad de nuestrosantepasados de contar los elementos de un conjunto (porejemplo: cantidad de ovejas en un rebano) y de asignar unsımbolo a una cantidad especıfica de objetos o cosas.

A lo largo de la historia, civilizaciones diferentes han utilizadosistemas de numeracion diferentes (sistema egipcio, sistemaromano, sistema decimal, sistema binario, entre otros).

El Conjunto de los Numeros Naturales:

El conjunto de los numeros naturales esta dado por

N = {1, 2, 3, ...}.

N = {1} ∪{numeros primos} ∪ {numeros compuestos}.

Nota: No hay un acuerdo general sobre si el numero cero (0) eso no un numero natural. En este curso, supondremos que no loes.

El Conjunto de los Numeros Naturales:

El conjunto de los numeros naturales esta dado por

N = {1, 2, 3, ...}.

N = {1} ∪{numeros primos} ∪ {numeros compuestos}.

Nota: No hay un acuerdo general sobre si el numero cero (0) eso no un numero natural. En este curso, supondremos que no loes.

Numeros Primos

Un numero natural distinto de 1 es un numero primo si solotiene dos factores o divisores naturales diferentes, el mismo y el1.

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}

Nota: Se puede demostrar que el conjunto P de numerosprimos es infinito.

Numeros Primos

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}

Numeros Primos

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}

Numeros Compuestos

Un numero natural distinto de 1 es un numero compuesto sitiene mas de dos factores o divisores naturales diferentes. Deotra forma, a los numeros naturales que son el producto de doso mas numeros primos se les llama compuestos.

Como determinar si un numero natural es primo ocompuesto

Para determinar si un numero natural es primo o compuesto, seva dividiento el numero por los numeros primos 2, 3, 5, 7, 11,..., en orden, hasta llegar a una division cuyo cociente sea igualo menor que el divisor. Si todas las divisiones tienen el residuodistinto de cero, el numero propuesto es un numero primo.

Ejercicio: Clasifique cada numero en primo o compuesto.

Criterios de divisibilidad: A continuacion damos algunoscriterios de divisibilidad que facilitan la busqueda de losfactores primos.

Divisibilidad por 2Un numero es divisible por 2 cuando termina en cero ocifra par.

Divisibilidad por 3Un numero es divisible por 3 si la suma de sus dıgitos es unmultiplo de 3. Por ejemplo: 168351 es divisible por 3 pues 1+ 6 + 8+ 3 + 5 + 1 = 24, el cual es multiplo de 3.

Divisibilidad por 5Un numero es divisible por 5 cuando termina en cero o encinco.

Criterios de divisibilidad:

Divisibilidad por 7Un numero es divisible por 7 cuando separando la primeracifra de la derecha, multiplicandola por 2, restando esteproducto de lo que queda a la izquierda yası sucesivamente, da cero o multiplo de 7.

Divisibilidad por 11Un numero es divisible por 11 cuando la diferencia entre lasuma de los dıgitos que ocupan un lugar impar, y la sumade los dıgitos de lugar par, (puede ser de derecha izquierdao inversamente es decir, que la diferencia pudiera darnegativa), es cero o multiplo de 11.

Divisibilidad por 7Un numero es divisible por 7 cuando separando la primeracifra de la derecha, multiplicandola por 2, restando esteproducto de lo que queda a la izquierda yası sucesivamente, da cero o multiplo de 7.

Divisibilidad por 11Un numero es divisible por 11 cuando la diferencia entre lasuma de los dıgitos que ocupan un lugar impar, y la sumade los dıgitos de lugar par, (puede ser de derecha izquierdao inversamente es decir, que la diferencia pudiera darnegativa), es cero o multiplo de 11.

Divisibilidad por 13, 17 y 19El metodo para investigar la divisibilidad por 13, 17 y 19 essimilar al de la divisibilidad por 7, solo que al separar laprimera cifra de la derecha, esta se multiplica por 9, 5 y 17respectivamente; siendo un numero divisible por 13, 17 y 19 sial final del proceso sobra un cero o un multiplo de 13, cero o unmultiplo de 17, cero o un multiplo de 19.

Ejemplo: Veamos si el numero 101 es un numero primo.

• 101 no es divisible por 2.• 101 no es divisible por 3.• 101 no es divisible por 5.• 101 no es divisible por 7.

Como 72 = 49 y 49 < 101, hay que seguir probando.

• 101 no es divisible por 11.

Como 112 = 121 y 121 > 101, el numero 101 es un numeroprimo.

• 101 no es divisible por 3.• 101 no es divisible por 5.• 101 no es divisible por 7.

• 101 no es divisible por 2.• 101 no es divisible por 3.

• 101 no es divisible por 5.• 101 no es divisible por 7.

• 101 no es divisible por 2.• 101 no es divisible por 3.• 101 no es divisible por 5.

Teorema Fundamental de la Aritmetica:

Teorma: Todo numero natural compuesto puede ser expresado,de manera unica, como un producto de numeros primos, sintener en cuenta el orden de los factores.

Ejercicios: Determine la factorizacion prima de cada uno delos siguientes numeros:

5 18000

6 60434

7 173512

Maximo Comun Divisor o Factor:

Definicion: El maximo comun divisor (MCD) de dos omas numeros naturales es el mayor de los numeros naturalesque es divisor comun de todos los numeros considerados.Tambien se le conoce como maximo comun factor (MCF).

De otra forma, el maximo comun divisor de dos o masnumero naturales es el numero natural mayor que los divide atodos.

Nota: Si el maximo comun divisor o factor de dos numeros esel 1, entonces se dice que los numeros son coprimos orelativamente primos.

Ejemplo 1: Sea a = 10 y b = 15.

Para a = 10 el conjunto de los factores o divisores enterospositivos es {1, 2, 5, 10}.

Para b = 15 el conjunto de los factores o divisores enterospositivos es {1, 3, 5, 15}.

El conjunto de los factores o divisores comunes de 10 y 15 es{1, 5}.

Por lo tanto, el maximo comun divisor de 10 y 15 es 5.

Para a = 20 el conjunto de los factores o divisores enterospositivos es {1, 2, 4, 5, 10, 20}.

Para b = 30 el conjunto de los factores o divisores enterospositivos es {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.

El conjunto de los factores o divisores comunes de 20 y 30 es{1, 2, 5, 10}.

Para hallar el maximo comun divisor de dos o mas numerosnaturales se siguen estos pasos:

1 Se descompone cada numero en un producto de potenciasde bases primas.

2 El producto de las bases primas comunes en las diferentesfactorizaciones elevadas al menor exponente que ocurre deellas es el maximo comun divisor de los numeros dados.

La factorizacion de a = 20 es 20 = 22 × 5La factorizacion de a = 24 es 24 = 23 × 3

Luego, nos fijamos en las bases primas comunes a ambasfactorizaciones; en este caso es 2 y consideramos la potenciamenor que ocurre de ella en las diferentes factorizaciones.

Por lo tanto, el maximo comun divisor (o factor) de 20 y 24 esMCD(20; 24) = 22 = 4.

La factorizacion de a = 20 es 20 = 22 × 5

Ejemplo 2: Sea a = 180 y b = 168.

La factorizacion de a = 180 es 180 = 22 × 32 × 5La factorizacion de a = 168 es 168 = 23 × 3× 7

Luego, nos fijamos en las bases primas comunes a ambasfactorizaciones; en este caso son 2 y 3 y consideramos lapotencia menor que ocurre de cada una de ellas en las diferentesfactorizaciones.

Por lo tanto, el maximo comun divisor (o factor) de 180 y 168es MCD(180; 168) = 22 × 3 = 12.

Ejemplo 2: Sea a = 180 y b = 168.

La factorizacion de a = 180 es 180 = 22 × 32 × 5

La factorizacion de a = 168 es 168 = 23 × 3× 7

Ejemplo 2: Sea a = 180 y b = 168.

Ejemplo 2: Sea a = 900 y b = 1080.

Luego, nos fijamos en las bases primas comunes a ambasfactorizaciones; en este caso son 2, 3 y 5 y consideramos lapotencia menor que ocurre de cada una de ellas en las diferentesfactorizaciones.

Por lo tanto, el maximo comun divisor (o factor) de 900 y 1080es MCD(900; 1080) = 22 × 32 × 5 = 180.

Ejemplo 2: Sea a = 900 y b = 1080.

Ejercicios: Determine el maximo comun divisor listando losfactores o divisores de cada numero:

Ejercicios: Determine el maximo comun divisordescomponiendo cada numero en factores primos:

Mınimo Comun Multiplo:

Definicion: El mınimo comun multiplo (mcm)de dos omas numeros naturales es el menor multiplo comun positivo detodos los numeros considerados.

De otra forma, el mınimo comun multiplo de dos masnumeros naturales es el numero natural menor que es divisibleentre cada uno de los numeros considerados.

Mınimo Comun Multiplo:

Definicion: El mınimo comun multiplo (mcm)de dos omas numeros naturales es el menor multiplo comun positivo detodos los numeros considerados.

De otra forma, el mınimo comun multiplo de dos masnumeros naturales es el numero natural menor que es divisibleentre cada uno de los numeros considerados.

Para a = 10 el conjunto de los multiplos enteros positivos de 10es {10, 20, 30, 40, 50, 60, ...}.

Para b = 15 el conjunto de los multiplos enteros positivos de 15es {15, 30, 45, 60, ...}.

El conjunto de los multiplos positivos comunes de 10 y 15 es{30, 60, ...}.

Por lo tanto, el mınimo comun multiplo de 10 y 15 es 30.

Para b = 30 el conjunto de los multiplos enteros positivos es{30, 60, 90, 120, 150, ...}.

El conjunto de los multiplos comunes de 20 y 30 es {60, 120, ...}.

Por lo tanto, el mınimo comum multiplo de 20 y 30 es 60.

Para hallar el mınimo comun multiplo de dos o mas numeros sesiguen estos pasos:

1 Se descompone cada numero en producto de potencias debases primas.

2 El producto de las diferentes potencias de bases primaselevadas al mayor exponente es el mınimo comun multiplode los numeros dados.

Luego, nos fijamos en las bases primas diferentes en ambasfactorizaciones; en este caso son 2, 3 y 5 y consideramos lapotencia mayor que ocurre de cada una de ellas.

Por lo tanto, el mınimo comun multiplo de 20 y 24 esmcm(20; 24) = 23 × 3× 5 = 120.

Ejemplo 2: Sea a = 180 y b = 168.

Luego, nos fijamos en las bases primas diferente en ambasfactorizaciones; en este caso son 2, 3, 5 y 7 y consideramos lapotencia mayor que ocurre de cada una de ellas.

Por lo tanto, el mınimo comun multiplo de 180 y 168 esmcm(20; 24) = 23 × 32 × 5× 7 = 2520.

Ejemplo 2: Sea a = 180 y b = 168.

La factorizacion de a = 168 es 168 = 23 × 3× 7

Ejemplo 2: Sea a = 180 y b = 168.

Ejemplo 3: Sea a = 900 y b = 1080.

Por lo tanto, el mınimo comun multiplo de 900 y 1080 esmcm(900; 1080) = 23 × 33 × 52 = 5400.

Ejemplo 3: Sea a = 900 y b = 1080.

Ejercicios: Determine el mınimo comun multiplo listando losmultiplos de cada numero:

Ejercicios: Determine el mınimo comun multiplodescomponiendo cada numero en factores primos:

Propiedades de los Numeros Naturales:

Nota: Las operaciones de suma y multiplicacion sonoperaciones internas; esto es, dados dos numeros naturales a y btanto su suma a + b como su producto a× b tambien sonnumeros naturales.

En N la operacion + cumple las siguientes propiedades:

1. Clausura o Cierre: ∀a, b ∈ N , a + b ∈ N .2. Conmutatividad: ∀a, b ∈ N , a + b = b + a.3. Asociatividad: ∀a, b ∈ N , (a + b) + c = a + (b + c).

1. Clausura o Cierre: ∀a, b ∈ N , a + b ∈ N .

2. Conmutatividad: ∀a, b ∈ N , a + b = b + a.3. Asociatividad: ∀a, b ∈ N , (a + b) + c = a + (b + c).

1. Clausura o Cierre: ∀a, b ∈ N , a + b ∈ N .2. Conmutatividad: ∀a, b ∈ N , a + b = b + a.

3. Asociatividad: ∀a, b ∈ N , (a + b) + c = a + (b + c).

1. Clausura o Cierre: ∀a, b ∈ N , a + b ∈ N .2. Conmutatividad: ∀a, b ∈ N , a + b = b + a.3. Asociatividad: ∀a, b ∈ N , (a + b) + c = a + (b + c).

En N la operacion × (multiplicacion) cumple las siguientespropiedades:

1. Clausura o Cierre: ∀a, b ∈ N , a× b ∈ N .2. Conmutatividad: ∀a, b ∈ N , a× b = b× a.3. Asociatividad: ∀a, b ∈ N , (a× b)× c = a× (b× c).4. Neutro o Identidad: ∃ un elemento en N (unico) que es el1, que verifica que ∀a ∈ N , a× 1 = a.

1. Clausura o Cierre: ∀a, b ∈ N , a× b ∈ N .

2. Conmutatividad: ∀a, b ∈ N , a× b = b× a.3. Asociatividad: ∀a, b ∈ N , (a× b)× c = a× (b× c).4. Neutro o Identidad: ∃ un elemento en N (unico) que es el1, que verifica que ∀a ∈ N , a× 1 = a.

1. Clausura o Cierre: ∀a, b ∈ N , a× b ∈ N .2. Conmutatividad: ∀a, b ∈ N , a× b = b× a.

3. Asociatividad: ∀a, b ∈ N , (a× b)× c = a× (b× c).4. Neutro o Identidad: ∃ un elemento en N (unico) que es el1, que verifica que ∀a ∈ N , a× 1 = a.

1. Clausura o Cierre: ∀a, b ∈ N , a× b ∈ N .2. Conmutatividad: ∀a, b ∈ N , a× b = b× a.3. Asociatividad: ∀a, b ∈ N , (a× b)× c = a× (b× c).

4. Neutro o Identidad: ∃ un elemento en N (unico) que es el1, que verifica que ∀a ∈ N , a× 1 = a.

1. Clausura o Cierre: ∀a, b ∈ N , a× b ∈ N .2. Conmutatividad: ∀a, b ∈ N , a× b = b× a.3. Asociatividad: ∀a, b ∈ N , (a× b)× c = a× (b× c).4. Neutro o Identidad: ∃ un elemento en N (unico) que es el1, que verifica que ∀a ∈ N , a× 1 = a.

En las propiedades distributivas, indicadas a continuacion, secombinan ambas operaciones:

∀a, b, c ∈ N ,1. Distributiva de Izquierda: a× (b + c) = a× b + a× c.2. Distributiva de Derecha: (b + c)× a = b× a + c× a.

∀a, b, c ∈ N ,1. Distributiva de Izquierda: a× (b + c) = a× b + a× c.

2. Distributiva de Derecha: (b + c)× a = b× a + c× a.

∀a, b, c ∈ N ,1. Distributiva de Izquierda: a× (b + c) = a× b + a× c.2. Distributiva de Derecha: (b + c)× a = b× a + c× a.

Nota: Las operaciones de resta y division no son operacionesinternas; esto es, dados dos numeros naturales a y b tanto sudiferencia a - b como su cociente a÷ b no son,necesariamente, numeros naturales.

Ejemplos:

1 5− 7 /∈ N2 3÷ 14 /∈ N

Ejemplos:

1 5− 7 /∈ N

2 3÷ 14 /∈ N

Ejemplos:

1 5− 7 /∈ N2 3÷ 14 /∈ N

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