El concepto de DerivadaHistoria de la derivadaLos problemas tpicos que dieron origen al clculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la poca clsica de la antigua Grecia (siglo III a. C.), pero no se encontraron mtodos sistemticos de resolucin hasta veinte siglos despus (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).En lo que atae a las derivadas existen dos conceptos de tipo geomtrico que le dieron origen: El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge) El Teorema de los extremos: mximos y mnimos (Pierre de Fermat)En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como clculo diferencial.Siglo XVIILos matemticos perdieron el miedo que los griegos le haban tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevara en medio siglo al descubrimiento del clculo infinitesimal.A mediados del siglo XVII las cantidades infinitesimales fueron cada vez ms usadas para resolver problemas de clculos de tangentes, reas, volmenes; los primeros daran origen al clculo diferencial, los otros al integral.Newton y LeibnizA finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, mtodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos derivadas e integrales. Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivacin) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del clculo).Isaac Newton desarroll en Cambridge su propio mtodo para el clculo de tangentes. En 1665 encontr un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincida con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedic a reestructurar las bases de su clculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxin, que para l era la velocidad con la que una variable fluye (vara) con el tiempo.Gottfried Leibniz, por su parte, formul y desarroll el clculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton descubriera 10 aos antes. En su investigacin conserv un carcter geomtrico y trat a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.Fue quizs el mayor inventor de smbolos matemticos. A l se deben los nombres de:Clculo diferencial y Clculo integral, as como los smbolos de derivaday elsmbolo de la integral.Conceptos y AplicacionesEl concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales delclculo infinitesimal. El otro concepto es la antiderivada ointegral; ambos estn relacionados por el teorema fundamental del clculo. A su vez, los dos conceptos centrales del clculo estn basados en el concepto delmite, el cual separa lasmatemticasprevias, como el lgebra, laTrigonometrao laGeometra Analtica, delClculo. Quiz la derivada es el concepto ms importante delClculo Infinitesimal. La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de unamagnitudo situacin. Es una herramienta de clculo fundamental en los estudios deFsica,QumicayBiologa, o en ciencias sociales como laEconomay laSociologa. Por ejemplo, cuando se refiere a lagrficade dos dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente de la rectatangentedel grfico en el punto . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como ellmitecuando la distancia entre los dos puntos que determinan una rectasecantetiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretacin, pueden determinarse muchas propiedades geomtricas de los grficos de funciones, tales comoconcavidadoconvexidad. Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una funcin no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidado unpunto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su grfica es unacurva suave, por lo que es susceptible de derivacin.Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), sonaproximables linealmente.Definiciones de derivadaEn terminologa clsica, ladiferenciacinmanifiesta el coeficiente en que una cantidadcambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad . En matemticas,coeficientees un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vector unitario, una funcin base, etc. En fsica,coeficientees una expresin numrica que mediante alguna frmula determina las caractersticas o propiedades de un cuerpo.Esquema que muestra los incrementos de la funcin enxy eny.

En nuestro caso, observando lagrficade la derecha, el coeficiente del que hablamos vendra representado en el puntode lafuncinpor el resultado de la divisin representada por la relacin, que como puede comprobarse en la grfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la lnea recta azul que representa la tangente en el puntode la funcin. Esto es fcil de entender puesto que eltringulo rectnguloformado en la grfica con vrtice en el punto, por mucho que lo dibujemos ms grande, al ser una figura proporcional el resultado dees siempre el mismo. Esta nocin constituye la aproximacin ms veloz a la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultnea.

Definicin como cociente de diferenciasLa derivada de una funcines lapendiente geomtricade larecta tangentedel grfico deen. Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la lnea tangente a una funcin dada, porque solamente se conoce un punto en la lnea tangente:. La idea es aproximar la lnea tangente con mltipleslneas secantesque tienen distancias progresivamente ms pequeas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma ellmitede las pendientes de las lneas secantes de esta progresin, se consigue la pendiente de la lnea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el lmite de la pendiente de las lneas secantes, al acercarlas a la lnea tangente. Para encontrar las pendientes de las lneas secantes prximas, se elige un nmerorelativamente pequeo.representa un cambio relativamente pequeo en, el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la recta que pasa por los dos puntosyes:Recta secante entref(x) yf(x+h).

, Expresin denominada cociente deNewton.La derivada deenes entonces el lmite del valor del cociente diferencial, conforme las lneas secantes se aproximan a la lnea tangente:.Si la derivada deexiste en todos los puntos, se puede definir la derivada decomo la funcin cuyo valor en cada puntoes la derivada deen. Puesto que sustituirpor 0 produce unadivisin por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una tcnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar ladel denominador. Y eso es posible fcilmente en lospolinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hayreglas generalesque facilitan diferenciar la mayora de lasfunciones simples.Continuidad y DiferenciabilidadUna condicin necesaria pero no suficiente para que una funcin sea derivable en un punto es que esta sea continua. Intuitivamente, una funcin continua es aquella en la cual pequeos incrementos en los elementos del dominio de la variable dependiente produce pequeos incrementos en el valor de dicha funcin, de manera que.Haciendo estos incrementos cada vez ms pequeos, las variaciones se hacen ms pequeas; cuando estos se aproximan a cero, en ellmite,, con lo que se obtiene,f(x)=y. Para un punto particulara, quiere decir que, y si este ltimo lmite existe significa en consecuencia por un teorema de lmites (un lmite existe si y slo si los dos lmites laterales existen y son iguales) que toda funcinf(x) que cumpla con, es continua en el puntoa. Como consecuencia lgica, toda funcin derivable en el intervalo abiertoI, es continua enI.Condicin no recprocaLa relacin no funciona a la inversa: el que una funcin sea continua no garantiza su derivabilidad. Es posible que los lmites laterales sean iguales pero las derivadas laterales no; en este caso concreto, la funcin presenta unpunto angulosoen dicho punto.La funcinvalor absolutono tiene derivada en el punto (0,0).

Un ejemplo: recurrente en la literatura usual, puede ser la funcinvalor absoluto(tambin llamada mdulo) en el punto. Dicha funcin se expresa:

Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el resultado en el punto 0 es tambin 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las derivadas resultan:

Cuandovale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no existe derivada en el punto, a pesar de que sea continuo.De manera informal, si el grfico de la funcin tiene puntas agudas, se interrumpe o tiene saltos, no es derivable. Sin embargo, la funcin y=x|x|es diferenciable para todo x. Hllese su funcin derivada. En otros trminos, que una funcin sea continua es una condicin necesaria para que dicha funcin sea diferenciable. (Ver "Anlisis matemtico" de Apstol.)Derivada de una funcinConsiderando lafuncinfdefinida en elintervaloabiertoIy un puntoafijo enI, se tiene que laderivada de la funcin f en el puntose define como sigue:, si estelmiteexiste, de lo contrario,, la derivada, no est definida. Esta ltima expresin coincide con la velocidad instantnea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemtica. Aunque podran calcularse todas las derivadas empleando la definicin de derivada como un lmite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el clculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el lmite. Tales reglas son consecuencia directa de la definicin de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de clculo infinitesimal. Tambin puede definirse alternativamente la derivada de una funcin en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la tangente ya sea por la derecha o por la izquierda segn el signo de. El aspecto de este lmite est relacionado ms con la velocidad instantnea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.No obstante su aparente diferencia, el clculo de la derivada por definicin con cualquiera de los lmites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado. Ejemplo:Sea lafuncin cuadrticaf(x)=x2definida para todoxperteneciente a los reales. Se trata de calcular la derivada de esta funcin para todo puntoxR, puesto que es continua en todos los puntos de su dominio , mediante el lmite de su cociente de diferencias de Newton. As,

NotacinExisten diversas formas para nombrar a la derivada. Siendofuna funcin, se escribe la derivada de la funcinrespecto al valoren varios modos.Notacin de NewtonLa notacin deNewtonpara la diferenciacin respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la funcin:

, y as sucesivamente.Se lee punto o punto. Actualmente est en desuso en Matemticas puras, sin embargo se sigue usando en reas de la fsica como la mecnica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notacin de velocidad relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una variable. Esta notacin de Newton se usa principalmente en mecnica, normalmente para derivadas que involucran la variable tiempo, como variable independiente; tales comovelocidad yaceleracin, y en teora deecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solo se emplea para las primeras y segundas derivadas.Notacin de LeibnizOtra notacin comn para la diferenciacin es debida aLeibniz. Para la funcin derivada de, se escribe:

Tambin puede encontrarse como,o. Se lee derivada de(ode) con respecto a. Esta notacin tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una funcin con respecto a otra como un cociente dediferenciales. Con esta notacin, se puede escribir la derivada deen el puntode dos modos diferentes:

Si, se puede escribir la derivada como , Las derivadas sucesivas se expresan como o ,para la ensima derivada deo de respectivamente. Histricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es

La cual se puede escribir como

La notacin de Leibniz es muy til, por cuanto permite especificar la variable de diferenciacin (en el denominador); lo cual es pertinente en caso dediferenciacin parcial. Tambin facilita recordar laregla de la cadena, porque los trminos d parecen cancelarse simblicamente:

En la formulacin popular del clculo mediante lmites, los trminos dno puedencancelarse literalmente, porque por s mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. Enanlisis no estndar, no obstante, se puede ver como nmerosinfinitesimalesque se cancelan. Ciertamente, Leibnitz (s) consider la derivadady/dxcomo el cociente de dos infinitsimosdyydx, llamados diferenciales. Estos infinitsimos no eran nmeros sino cantidades ms pequeos que cualquier nmero positivo.Notacin de LagrangeLa notacin ms simple para diferenciacin, en uso actual, es debida aLagrange. Para identificar las derivadas deen el punto, se escribe:para la primera derivada,para la segunda derivada,para la tercera derivada,para la ensima derivada (). (Tambin se pueden usar nmeros romanos).Se lee efe prima de equis para la primera derivada, efe dos prima de equis para la segunda derivada, etc. Para la funcin derivada deen, se escribe. De modo parecido, para la segunda derivada deen, se escribe, y as sucesivamente.Notacin de Eulero(Notaciones deEuleryJacobi, respectivamente) se lee subde, y los smbolos D y deben entenderse comooperadores diferenciales.Clculo de la derivadaLa derivada de una funcin, en principio, puede ser calculada de la definicin, mediante el cociente de diferencias, y despus calcular su lmite. En la prctica, nicamente las derivadas de unas pocas funciones son conocidas, las derivadas de otras funciones son fciles de calcular utilizandoreglaspara obtener derivadasde funciones ms complicadas de otras ms simples.Derivadas de funciones elementalesLa mayor parte de los clculos de derivadas requieren tomar eventualmente la derivada de algunas funciones comunes. La siguiente lista incompleta proporciona algunas de las ms frecuentes funciones de una variable real usadas y sus derivadas. Derivada de potencias: si donderes cualquiernmero real, entonces donde quiera que esta funcin sea definida. Por ejemplo, si, entonces la funcin derivada es definida slo para nmeros positivosx, no parax= 0. Cuandor= 0, esta regla implica quef(x) es cero parax 0, lo que la convierte en la regla de la constante (expuesta abajo).

Funcionesexponencialesylogartmicas:

funciones trigonomtricas:

Funciones trigonomtricas inversas:

Reglas prcticas de derivacinEn muchos casos, el clculo de lmites complicados mediante la aplicacin directa del cociente de diferencias de Newton puede ser anulado mediante la aplicacin de reglas de diferenciacin. Algunas de las reglas ms bsicas son las siguientes:

Regla de la constante: sif(x) es constante, entonces

Regla de la suma:para toda funcinfygy todo nmero realy. Regla del producto:para toda funcinfyg. Por extensin, esto significa que la derivada de una constante multiplicada por una funcin es la constante multiplicada por la derivada de la funcin. Por ejemplo, Regla del cociente:para toda funcinfygpara todos aquellos valores tales queg0. Regla de la cadena: Si , siendo g derivable en x, y h derivable en g(x), entonces

Ejemplo de clculoLa derivada de, es

Aqu, el segundo trmino se calcul usando laregla de la cadenay el tercero usando laregla del producto. La derivadas conocidas de funciones elementalesx2,x4, sin(x), ln(x) y exp(x) =ex, as como la constante 7, tambin fueron usadas.