concepto geometrico de derivada
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DERIVADA
DERIVADALa derivada es el resultado de un limite. Geométricamente la derivada se define como la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto establecido.
¿?Fácil¿?
h→0
La definición de una función derivada es:
Si el limite no existe la función no es derivable en el punto establecido.
h→0 A medida que h tiende a cero la
recta secante se aproxima a la recta tangente.
recuerda
CONCEPTOS RELACIONADOS (DERIVADA)
Recta tangente: es una recta que tiene un punto común con una curva o función.
En la grafica se muestra el
ejemplo de la recta tangente.
Se puede observar que solo existe un
punto de intersección
Pendiente de una recta: esta definida como el cambio o diferencia en el eje vertical dividido por el respectivo cambio o diferencia en el eje horizontal (relación de cambio)
Recuerda que
Recta secante: es una recta que interseca dos o más puntos de una curva o circunferencia.
Continuamos… con una demostración geométrica
1. a) Usando la definición, calcula la derivada de f(x)= en x =2.
b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)= en el punto de abscisa x =2,
Solución (a)
f’(2)= = x→2 x→2
= x→2
• (Se ha simplificado el factor x-2 que estaba en el numerador y el denominador)
a) Se verifica f(2)= 0 y por lo tanto:
Solución (b) b) La ecuación de la recta tangente a la
gráfica de f en el punto (a, f(a)) tiene la expresión:
(Ya que la derivada en el punto de abscisa x = a, es la pendiente de la recta tangente en el punto (a, f(a))
y- f(a)=f’(a)(x-a)
En este caso f(a)=f(2)=0 y f’(2)=1/4
• Con lo q sustituyendo en este caso te queda:
Despejando y = (1/4)x -2 (su ecuación explícita)
Y -0 = (1/4)(x-2)
(ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (2, 0)),
Ejercicio (Derivada)Calcular la derivada de la
siguiente función. f(x) = x+2
Solución
Reemplazamos la función en la ecuación
h→0
Asi… = h→0
h→0
Luego, cancelamos
=
h→0 = Lim 1 =
1h→0
f´(x) = 1
VELOCIDAD MEDIADada una función se llama
velocidad media.
En el intervalo al valor obtenido de la siguiente expresión
Por ejemploSi X entonces,
Donde:h= b-ab= a+h
EJERCICIOHallar la T.V (Tasa de Variación)
de la función en el intervalo
En forma de pregunta:¿Cómo cambia f(x) cuándo x cambia de -1 a 2?
a b
SOLUCIÓN
recuerda que : b= a+h entonces la ecuación quedaría
así…
1. se halla f(b), se reemplaza el valor de b en la ecuación dada en el ejercicio
Se resuelve
12-10+1 = 3
f(2) = 3
2. se halla f(a), se reemplaza el valor de a en la ecuación dada en el ejercicio
Se resuelve
3+5+1 = 9
f(-1) = 9
Luego, de haber hallado f(b) y f(a), se aplica la formula
Conclusión: Cuando x cambia de -1 a 2 la función decrece 6 unidades
GRACIAS POR
SU ATENCIÓN
POR:LINDA BUELVASLILIBETH CHAPARROANGIE GONZALEZ
GRADO 11GIMSABER