ekonomİk deĞİŞkenler arasindakİ İlİŞkİlerİn tahmİnİnde bayes yaklaŞimi bayesyen...

1

EKONOMİK DEĞİŞKENLER ARASINDAKİ İLİŞKİLERİN

TAHMİNİNDE BAYES YAKLAŞIMIBAYESYEN REGRESYON

[1] Bu konu Griffiths ve diğerleri, Learning and Practicing Econometrics, Bölüm 25’den alınmıştır.

2

BÖLÜM 6. EKONOMİK DEĞİŞKENLER ARASINDAKİ İLİŞKİLERİN TAHMİNİNDE BAYES YAKLAŞIMI

1. Toplam Tüketim İçin Ekonomik Model 2. İstatistiksel Model Ve Veri3. Örnekleme Teorisi Yöntemine Dayalı Tahmin Ve Yorumlama

3. 1 İstatistiksel Model Ve Tahminler3.2 Örnekleme Teorisi Sonuçlarını Yorumlama

4. Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi

4.1 Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi 5. Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ön Bilgiyi Dahil Etme

5.1 Marjinal Tüketim Eğilimi İle İlgili Ön Bilgi5.2 2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu5.2.a Kesikli Normal Dağılımdan Elde Edilen Olasılık İfadeleri5.2.b 2’nin Nokta Tahmini5.2c Aralık Tahmini5.3 1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?5.4 Her İki Parametreye Ön Bilgiyi Dahil Etme

6. İleriye Yönelik Tahminleme

3

Bayesyen yaklaşımda, deneme yapılmadan önce parametreye

ilişkin sahip olunan ön bilgi, ön bilgiye dayalı olasılık yoğunluk

fonksiyonu ile analize dahil edilir.

Aslında ön bilgi her araştırmada mevcut olmayabilir veya farklı

seviyelerde ön bilgi olabilir.

Regresyonda önemli bir aşamayı teşkil eden ön bilgi dağılımın

oluşturulması bilgi veren ve bilgi vermeyen olasılık yoğunluk

fonksiyonu şeklinde iki başlıkta oluşturulmaktadır.

BAYESYEN REGRESYON…

4

değişken P(/) örnek sonrası yoğunluk fonksiyonudur:

…BAYESYEN REGRESYON…

Bayesyen yaklaşımda klasik regresyonun aksine bilinmeyen; bir sabit

tah min N , 2 değildir. Bayesyen regresyonda bir rastsal

P N tah min, 2

1, 2,……, k ve 2 parametreleri birer rastsal değişkendir ve

olasılık dağılımları vardır.

Bu bölümünde, Bayes kuralıyla değişkenler arasındaki ilişkide

bilinmeyen parametrelere ait ön eşitsizlik bilgisini içeren

yöntemler incelenecektir.

5


Ekonomik teoriden, ekonomik ilişkideki parametrelerin işaretleri

hakkında çoğu şey bilinir.

Bir malın fiyatı arttığı zaman, talep edilen miktarın düşeceğini;

Gelir arttığında tüketimin artacağını;

Üretim faktörlerinin fiyatları arttığında, çıktının azalacağı

bilinmektedir.

Örneğin aşağıdaki gibi iki ekonomik değişken arasındaki

ilişkide yer alan bir parametrenin işareti hakkında ön bilgi vardır:

6


X açıklayıcı değişkeni ile Y bağımlı değişkeni arasındaki ilişkiyi

açıklayan 1 ve 2 parametreleri aşağıdaki gibidir:

1 2 Y X e

X’deki artışın Y’de azalmaya sebep olduğunu, 2’nin negatif olduğu

bilindiği varsayılsın.

Bu bilgi, 2 < 0 olarak gösterilebildiği için, 2 ile ilgili eşitsizlik

bilgisi olarak da ifade edilebilir.

Ayrıca bu bilgi, örnekleme sürecinden önce bilindiği için “ön

bilgi” veya “örnek dışı eşitsizlik bilgisi” olarak adlandırılır.

7


Bu bölümün temel amacı, 2’nin büyüklüğü hakkında bilgi elde etmek

için kullanılan yöntemlere ön eşitsizlik bilgisini biçimsel olarak dahil

etmektir.

Diğer bir deyişle, 2<0 eşitsizliği bilindiğinde 2’nin büyüklüğü

hakkındaki bilginin elde edilişi ve ifade edilişi incelenecektir.

8


Toplam tüketim fonksiyonunun parametrelerinin tahmin problemi

ele alınsın:

1 2 DC Y

C: Tüketim,

YD:harcanabilir gelir

tüketim fonksiyonunun bilinmeyen parametreleridir. ve 1 2

parametresi, otonom tüketimdir, harcanabilir gelir sıfır1

2 marjinal tüketim eğilimidir

(1)

oldugunda tüketilen miktardır.

9


Bu bölümdeki amaç, bilinmeyen parametreler hakkında tahmin ve

yorum yapmaktır. Bu amaç için ilk adım,

(1) nolu denkleme ait gözlenmiş örnek verileriyle tutarlı istatistiksel

modeli tanımlamaktır.

Ekonomik teori tarafından önerilen eşitsizlik bilgisi

Buna göre, ön eşitsizlik bilgisini, tahmin ve yorum sürecine

sistematik bir şekilde eklemek gereklidir.

1 0

20 1 dir.

ve

10

Bayesyen ve Klasik Yaklaşım Arasındaki Farklar…2

İstatistiksel birçok yöntemin uygulanmasında Bayesyen yaklaşım ile

klasik yaklaşım arasında farklılıklar gözlenir.

İki yaklaşım arasında en önemli farklılık parametrelerin

tanımlanmasında ortaya çıkar:

Bayesyen yaklaşımda parametreler raslantı değişkenleri olarak

tanımlanırken, klasik yaklaşımda parametreler sabit ancak

bilinmeyen değerler olarak tanımlanır.

Klasik yaklaşımda yorumlamalar için sadece veriden elde edilen

bilgi (olabilirlik fonksiyonu) kullanılırken, Bayesyen yaklaşımda ön

bilgi ile veriden elde edilen bilginin birleştirilmesiyle elde edilen

örnek sonrası dağılım kullanılır.2 İki Düzeyli Logit ve Probit Modellerde Parametre Tahminlerine Bayesci Yaklaşım, Derya Tektaş, Hacettepe Üniversitesi

11

Başka bir farklılık nokta tahminlerinde ortaya çıkar.

Klasik yaklaşımda tahmin değerinin gerçek değerden farklılığı hatanın

doğrusal ya da karesel kayıp fonksiyonu ile ölçülürken, Bayesyen

yaklaşımda, her bir tahmin edici için beklenen riskler hesaplanır ve

beklenen riski en küçük olan tahmin edici en iyi tahmin edici olur. Örnek

sonrası dağılımın tepe değeri, Bayesyen yaklaşımda nokta tahminidir.

Klasik yaklaşımda aralık tahminleri aralığın parametreyi içermesi

olasılığı üzerinden yorumlanırken, Bayesyen yaklaşımda parametrenin

aralığa düşme olasılığı üzerinden yorumlanır.

Bayesyen istatistikte ön bilgiye ait dağılımların kullanılmasından dolayı

varyanslar klasik istatistikte elde edilen varyanslara göre daha küçüktür ve

aralık tahminleri daha dar elde edilir

…Bayesyen ve Klasik Yaklaşım Arasındaki Farklar2…

2 İki Düzeyli Logit ve Probit Modellerde Parametre Tahminlerine Bayesci Yaklaşım, Derya Tektaş, Hacettepe Üniversitesi

12

Bayesyen Yaklaşımın Zorlukları ve Üstünlükleri2...Bayesyen yaklaşımda en çok karşılaşılan zorluklar, Ön bilgiye ait dağılımın oluşturulması ve örnek sonrası dağılımın elde edilmesidir. Ön bilgiye ait dağılımın elde edilmesinde, parametre hakkında kesin olmayan bilgilerin önsel dağılıma dönüştürülmesinde ortaya çıkar. Çok değişkenli modeller söz konusu olduğunda, özellikle parametreler arasında ön bilgiye ait ilişkiler varsa, dağılımların belirlenmesi zor olur. Bayesyen yaklaşımın üstünlükleri Klasik istatistikte çözüm bulunamayan problemlere Bayesyen yaklaşım ile çözüm bulur. Bayesyen istatistiğin başka bir üstünlüğü, yorumlama yapmak için örneklem büyüklüğü için bir kısıt olmaması, küçük örneklemlerde de geçerli çıkarsamalar yapılabilmesidir. Ayrıca, Bayesyen yorumlama ile parametreler üzerindeki belirsizlik de azaltılır. Bu üstünlükler, temel olarak Bayesyen yorumlamanın ardışık yapısından kaynaklanır

2 İki Düzeyli Logit ve Probit Modellerde Parametre Tahminlerine Bayesci Yaklaşım, Derya Tektaş, Hacettepe Üniversitesi

13

İstatistiksel Model ve Veri…

(1) nolu eşitlikteki tüketim fonksiyonu için ekonomik model

istatistiksel modele dönüştürülürse;

1 2t t tY X e (2)

Burada

Yt dönemindeki toplam tüketimi;

Xt dönemindeki kullanılabilir geliri;

et sıfır ortalamalı ve 2 varyanslı normal dağılımlı T sayıda

gözlenemeyen eşitlik hatalarının bağımsız çekilişlerini

göstermektedir.

Çekilişlerin bağımsız olduğu varsayıldığı için hata çiftleri arasındaki

kovaryans sıfırdır. t s[ , ] 0t sE e e

14

… İstatistiksel Model ve Veri…Aşağıdaki tabloda 1969-1978 dönemine ait kişisel harcanabilir gelir ve kişisel tüketim harcamaları verileri verilmiştir.

Yıl Kişi Başına YıllıkKullanılabilir Gelir

Kişi başına Tüketim

1969 7891 71851970 8134 72751971 8322 74091972 8562 77261973 9042 79721974 8867 78261975 8944 79261976 9175 82721977 9381 85511978 9735 8808

15

İstatistiksel Model ve Tahminler …

1 ve 2 ye ait bilginin örnekleme teorisi sonuçları verilmeden önce,

istatistiksel modeli oluşturulsun:

1 1 2 2Y X X e X e (3)

2(0, )Te N I

ve

İlk örnekleme teorisi sonuçları, en küçük kareler yöntemi nokta tahminleri;

1

2

128.9411

0.91126

bb

b

(4)

16

2 ˆ ˆ( ) ' ( ) ' 87312.9310,914.12

2 2 8

Y Xb Y Xb e e

T T

b için tahmin edilen kovaryans matrisi

2 1 284020.3 32.132ˆ ˆ( ) ( ' )

32.132 0.0036491cov b X X

b1 ve b2’nin standart hataları ,bu matrisin köşegen elemanlarının

karekökleridir.

1( ) 284020.3 532.94 s b

2( ) 0.0036491 0.060408 s b

(5)

(6)

(7)

(8)

…İstatistiksel Model ve Tahminler …

17

Tahmin modeli

ˆ 128.94 0.9113 t tY X

s(bi ) (532.94) (0.0604)

(9)

(9) eşitliğindeki tahminler, her parametre için aralık tahmini oluşturmada standart hatalarıyla birlikte kullanılabilir.

1 için %95aralık tahmini;

1128.94 (2.306) (532.94) 128.94 (2.306) (532.94)

2.306ct n-k=10-8

11358 1100 (10)

1 için yapılan aralık tahmini, gelirden bağımsız olarak otonom

tüketimin en yüksek 1100$ olduğunu ifade etmektedir. En düşük

olarak ise -1358$ dır


18

2 için %95aralık tahmini;

20.9113 (2.306) (0.0604) 0.9113 (2.306) (0.0604)

20.772 1.051 (11)

Bu aralık, marjinal tüketim eğiliminin 0.772 ile 1.051 arasında

olduğunu gösterir.


19

Kamu harcama çarpanının 10’dan daha büyük olup olmadığını

öğrenmek isteyelim;

21/ (1 ) 10 2 0.9

Böylece, ilgili hipotez çifti;

0 2: 0.9H 1 2: 0.9H

(12)

0H ’nın doğru olduğu varsayılırsa t- istatistiği için hesaplanan değer

0.91126 0.90.186

0.060408t

(13)


çarpanı, marjinal tüketim eğilimi

olduğunda ortaya çıkar.

Slayt 17

20

%5 önem seviyesinde, tek taraflı test için kritik değer, dır.

1.860ct

0186 1.860 ct t

olduğu için hipotezi reddedilemez.0H


21

Otonom tüketim için;

Örnekleme Teorisi Sonuçlarını Yorumlama…

Örnekleme teorisi sonuçlarına dayanılarak elde edilen nokta ve

aralık tahminleri tekrar incelenirse;

1 128.94b

1( 1358 1100) aralık tahmini

nokta tahmini

Yaklaşık olarak -129 olan bu negatif değer anlamsızdır; çünkü

gelir sıfır olsa bile tüketim negatif olamaz

ˆ 128.94 0.9113 t tY X

22

…Örnekleme Teorisi Sonuçlarını Yorumlama…

Marjinal tüketim eğilimi 2;

aralık tahmini

nokta tahmini 2 0.91b

2(0.772 1.051)

Bulunan 0.91 nokta tahmini marjinal tüketim eğilimi için uygun bir

tahmindir.

Ancak elde edilen (0.772; 1.051) aralık tahmini bilgi verici değildir.

Aralığın alt limiti oldukça düşük olup, üst limit ise 1’den büyük

olduğundan mümkün bir sonuç değildir.

ˆ 128.94 0.9113 t tY X

23

Bu sonuçları analiz etmek için, Bölüm 5’de anlatılan Bayesyen yapısına

dönülmelidir.

İki ekonomik değişken arasındaki ilişki araştırıldığında ve

1 >0 ile 0<2 < 1 eşitsizlikleri hakkındaön bilgiye dayalı örnek dışı

bilgiye sahip olunduğunda, Bayesyen yapı kullanılan model için

genişletilebilir.

İlk olarak belirsizlik durumunda ön bilgi bir kenara bırakılarak, 1

ve 2 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonlarının yapısı

incelenecektir.

…Örnekleme Teorisi Sonuçlarını Yorumlama…

24

Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi…

1 >0 ile 0<2 < 1 ön bilgiye dayalı eşitsizlik bilgisi hesaba

katılmasın.

Belirsizlik altında 1 ve 2 için örnek alındıktan sonraki

yoğunluk fonksiyonlarını elde etmek yararlı olacaktır.

Bu durumda ön eşitsizlik bilgisinin örnek alındıktan sonraki

yoğunluk fonksiyonlarına nasıl uyarlandığı incelenecektir.

İlk olarak

25

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi…

Tüketim fonksiyonu parametreleri hakkında:

• bir belirsizliğin olduğu (1 >0 ile 0<2 < 1 ön eşitsizlikleri

kullanılmamaktadır) 2’nin bilindiği varsayımıyla çalışmaya başlansın.

1 ve 2 için aşağıdaki tanımlamalar elde edilir:

2 21 1

1 1

1

(0,1) var( )( )var( )

t

t

Xbz N b

T x xb

22 2

2 2 22

(0,1) var( )( )var( )

t

bz N b

x xb

(14)

(15)

b1 ve b2 normal şans değişkenleri olduğu için z1 ve z2 de standart normal şans değişkenleridir.

Örnek alınmadan önce

26


Örnek alınmadan önce 2’nin bilindiği durumda standart normal dağılım z1 ve z2 ile ilgili olasılık hesapları kullanılabilir.

0 2H : 0

1 2H : 0

Testi yapılırken; örnek alınmadan önce H0 doğru ise, b2 için

olma olasılığı %5’dir 2 2b var b 1.96

Örnekten önce z2 için normal dağılım kullanılırsa 0.95 olasılıkla 2

2 2 2 2b 1.96 var b ,b 1.96 var b aralığında olacaktır.

27


Örnek aldıktan sonra 1 ve 2 hakkındaki belirsizliği veya bilgiyi

ifade etmek amacıyla olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanılmaktadır.

Örnek gözlenmiş olsa bile standart normal şans değişkenleri olarak

z1 ve z2 ele alınır. Bu nedenle b1 ve b2 sabit rastsal olmayan sayılardır

(Örnek ile çalıştık b1 ve b2 yi bilyoruz). 2 için bu işlemler gerçekleştirilsin. 2 bilindiğinde Var(b2)’de bilinmektedir.

Bu nedenle sabit bir sayı olarak b2 ’yi ele almak, z2 için tek

rastgelelik kaynağının 2 parametresi hakkındaki belirsizlik olduğu

anlamına gelir.

28

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi…z2 değişkeni, örnek gözlendikten sonra standart normal dağılımlı

olmayı sürdürürse, 2 bir şans değişkeniymiş gibi ele alınır.

Aslında 2 bir şans değişkeni değil, yapılan deneyin bir sonucudur.

2’nin gerçek değeri hakkındaki belirsizliği tanımlayan subjektif

olasılık fonksiyonunun 2’ye atanabilmesiyle 2 rastsal değişken

olarak ele alınabilir. Bu subjektif olasılık fonksiyonunu bulmak

için, (15) eşitliğinden,

2 2 2 2var( )b z b (16)

22 2

2 2 22

(0,1) var( )( )var( )

t

bz N b

x xb

(15)

29


b2 ve sabitleri ve standart normal dağılış değişkeni z2

verildiğinde 2 ye göre olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için

(16) eşitliği nasıl kullanlır?

2var( )b

2 2 2 2var( )b z b (16)

’nin doğrusal bir fonksiyonu ve normal dağıldığı için, normal dağılır.

nin örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu da normal dağılmaktadır. 2

2 2, z2z 2

30


2 2 2 2var( )b z b (16)

Ortalaması

2 2 2 2 2var( )E b b E z b

Varyansı

2

22

2 2 2 2var( ) var( ) var( ) var( )b z b

(17)

(18)

(16) nolu eşitlikten

31


(18) Eşitliğinde örnek sonrası normal yoğunluk fonksiyonunun

varyans ifadesi, en küçük kareler tahmincisinin varyans ifadesinin

aynısıdır.

Örnek aldıktan sonraki yoğunluk fonksiyonunun varyansı için

notasyon olarak kullanılır,22

2

22

2 2var( )

( )

tx x

Tüm bu bilgileri kullanarak 2 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu

2

22 2( , )N b (20)

(19)

32


Benzer şekilde, 1 için

1 1 1 1b z Var b

1 1 1 1 1E b Var b .E z b

1

2 22t

1 1 2t

xVar Var b

T x x

1

21 1,( )N b (21)

Tüm bu bilgileri kullanarak 1 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu

1

2 22

2( )

t

t

x

T x x (22)

33


2

22 2( , )N b (20)

1

21 1,( )N b

(21)

(20) ve (21) eşitlikleri, örnek alındıktan sonra parametreler

hakkındaki bilgi ve belirsizlik durumunu ifade eden olasılık

dağılışlarıdır.

1 ve 2 için örnek alındıktan sonraki yoğunluk fonksiyonları-

nı gösterir.

34


Ancak örnek sonrası yoğunluk fonksiyonları anlamlı olmalıdır.

Bunun için, örnek alınmadan önce 1 ve 2’ye ilişkin bilgi durumunun

ne olduğu sorulmalıdır.

Örnek bilgisini kullanarak ön bilginin güncellenmesinin ardından,

örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu parametreler hakkındaki bilgiyi

tanımlar.

Ön bilgi x Veri Örnek alındıktan sonraki bilgi (23)

Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunun oluşumunda nasıl bir ön bilginin gerekli olduğu sorusunun yanıtı eşitlik (23) dür. Bu da Bayes kuralını ifade etmektedir.

35

Tüketim fonksiyonu örneği kapsamında (20) ve (21) eşitliklerinden

örnek alındıktan sonraki yoğunluk fonksiyonları incelensin.

2 =11000 olduğu varsayılsın. Tablo 1’deki verilerle


1 2128.94 0.9113b b

1

(11.000) (778,239,650)535.03

(10) (2,990,884) 2

11.0000.06065

2,990,884

1 ve 2 için örnek sonrası normal yoğunluk fonksiyonları2

1 128.94, (535.03)N

22 0.9113, (0.06065)N

(24)

36


1535.03

20.006065

1( ) 532.94s b

2( ) 0.006041s b

Beyesyen den gelen standart sapmalar

örneklem teorisindeki standart hatalara çok yakındır.

Bu yakınlığın nedeni, örneklem teorisindeki varyans tahmini

2ˆ 10914 değerinin 2 =11000 değerine yakın olmasıdır.

(25)

Örneklem teorisi

37


Sonuç olarak, 1 ve 2 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonları

şeklen en küçük kareler tahmincileri b1ve b2 için tahminlenen

olasılık yoğunluk fonksiyonlarına benzerdir.

Aynı ortalamalara ve hemen hemen aynı standart hatalara

sahiptir.

BU DURUM BAYESYEN YORUMLAMA İLE ÖRNEKLEME

YÖNTEMLERİNE DAYALI TAHMİN VE YORUMLAMALAR

AÇISINDAN KARŞILAŞTIRMA YAPMAYI SAĞLAR.

38

Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi …

Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonundan özet ölçüler hakkında bilgi

vermek, tüm örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunun kendisi

hakkında bilgi vermekten daha uygundur.

Üç yararlı özet ölçüsü:

1)Parametreler ,

2)aralık tahminleri ve

3)hipotezlerin karşılaştırılması ile ilgili olasılık hesaplarıdır

39

İki olasılık ifadesi ilgilenilsin.

1 2( 0) ( 1)P ve P

1

1 11 1

0 128.94( 0) ( 0.241) 0.595

535.03

bP P P z

2

2 22 2

1 0.9113( 1) ( 1.463) 0.072

0.06065

bP P P z

(26a)

(26b)

Böylece, verilen model ve tahminlerle marjinal tüketim eğiliminin birden büyük olması ihtimali vardır. (yaklaşık olarak %7). Benzer şekilde, otonom tüketimin negatif olma olasılığı 0.6’dır.

Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi …

Otonom tüketimin negatif olması ve marjinal tüketim eğiliminin birden büyük çıkması imkansızdır. Örnek sonrası yoğunluk fonksiyon bilgileri ile

1 1( 0) ( 0.241) 0.50 0.0948 0.59P P z

2 2( 1) ( 1.463) 0.50 0.4279 0.072P P z

Parametreler:

40

…Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi …

2 22 2 21.96 1.96 0.95P b b

20.9113 1.96 0.06065 0.9113 1.96 0.06065 0.95 P

2(0.792 1.030) 0.95P

1( 1178 920) 0.95P

Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonlarıyla yapılan 1 ve 2 için olasılık hesapları:

2 için,

1 için,

(27)

(28)

%95 aralık tahminlerini bulmak için 3. kısımdaki yöntemler kullanılsın.

2 bilinmektedir. Dağılım z ye daha uygundur.

2. Aralık tahminleri

41


En küçük kareler sonuçlarında olduğu gibi, bayesyen ile ilgili aralık

sonuçları da uygun olmayan alanlarda ortaya çıkmıştır.

( 1 <0 ve 2 >1).

Bu durumun ortaya çıkmasının nedeni, 1 ve 2 üzerine hiçbir

koşul konmadığı ve tamamıyla bilgi olmamasından

kaynaklanmaktadır.

42


Son olarak, fark oranı üzerine kurulan iki hipotez karşılaştırılsın. 2>0.9 olup olmadığıyla ilgilenilsin.

0 2

1 2

: 0.9

: 0.9

H

H

H1 hipotezi lehine fark oranı,

210

2

( 0.9) 0.5751.35

( 0.9) 0.4247

PK

P

2’nin 0.9 dan büyük olması, 2’nin 0.9’dan küçük olmasına göre 1.35

kat daha fazla olasılığa sahiptir.

3. Hipotezlerin karşılaştırılması

43


H0 hipotezi lehine fark oranı,

0110

1 10.74

1.35K

K

2 2 2

2 2

1

ˆ b 0.9 b 0.9 0.9113P P z P z 0.19 0.575

ˆ ˆ 0.06065s s

'in

=0.50+0.0753=0.575

H kabul edilme olasılığı

2

0

P z 0.19 P 0.9 0.50 0.0753 0.4247

'in

=H kabul edilme olasılığı

44

Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ön Bilgiyi Dahil Etme…

Tüketim fonksiyonu parametreleri için örnek alındıktan sonraki

yoğunluk fonksiyonunu incelerken sadece örnek bilgisi bu yoğunluk

fonksiyonuna dahil edilmiştir.

Ön ve örnek eşitsizlik bilgisinin her ikisinden de bilgi edinme süreci

içerisinde problem dâhilinde yararlanılmaktadır.

Bu kısımda ön ve örnek eşitsizlik bilgileri dahil edilecektir.

Otonom tüketim 1 ve marjinal tüketim eğilimi 2 aşağıdadır:

1 2t t tY X e (29)

Hata varyansı 2’nin bilindiği varsayılmaktadır.

45

…Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ön Bilgiyi Dahil Etme…

Kısım 5.1’den 5.3’e kadar ki bölümlerde, aşağıdaki sorular araştırılacaktır.

(1) Ön olasılık yoğunluk fonksiyonuna göre 0<2 <1 olan ön bilgi nasıl ifade edilir?

(2) Ön olasılık yoğunluk fonksiyonunu örnek bilgisiyle birleştirmek için Bayes kuralını kullandıktan sonra, 2 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunun niteliği nedir? Örnek gözlemlendikten sonra bilgi nasıl ifade edilir?

(3) Nokta ve aralık tahminlerini bulmak ve olasılık ifadelerini oluşturmak için, ön eşitsizlik bilgisini içeren 2’nin yeni örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu nasıl kullanılır?

(4) 2’nin ön eşitsizlik bilgisi, 2’in örnek alındıktan sonraki bilgisini etkiler mi?

46

Marjinal Tüketim Eğilimi ile İlgili Ön Bilgi…

İlk olarak birinci soru ele alınırsa;

0<2 <1 ön eşitsizlik bilgisi, ön olasılık yoğunluk fonksiyonu

yönünden nasıl ifade edilecektir.

Eğer 0<2 <1 olduğu bilinirse, fakat 2’nin (0,1) aralığında nerede

olduğu bilinmiyorsa, o zaman eşit olasılıkla 0 ile 1 arasındaki bütün

değerleri öneren bir olasılık yoğunluk fonksiyonu uygun bir fonksiyon

olacaktır.

Bu özellikteki bir olasılık yoğunluk fonksiyonu, uniform yoğunluk fonksiyonudur:

22

1 0 1( )

0

isef

diğerdurumlarda

(30)

47

…Marjinal Tüketim Eğilimi ile İlgili Ön Bilgi…

Bu fonksiyonla (0,1) aralığında bulunan bir aralıkta uzanan 2’nin olasılığı, sadece o aralığın uzunluğuna bağlıdır.

10

1

2

2f

2 2(0.9 1) 0.1 (0.8 0.9)P P

2 2(0 0.5) (0.5 1) 0.5P P

Şekil 2: (0,1) aralığındaki 2’nin ön uniform olasılık yoğunluk fonksiyonu

48

2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu…

2=11000 olduğu varsayıldığında ve tam olarak ön eşitsizlik durumuna

karşılık 2 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu incelediğinde

aşağıdaki sonuçlar bulunmuştu:

2

22 2( , )N b (31)

2 0.9113b 2

0.06065

%95 aralık tahmini,

2(0.792 1.030) 0.95P

(0,1) aralığı dışında olma olasılığı

(32)

(33)

(34)


2( 1) 0.50 0.4279 0.07P

(Bayes sonuçları)

(Bayes güven aralığı sonuçları)

49

…2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu…

1/22 22

2 2 22 1/2 2

( ) ( )( | ) exp ( )

(2 ) 2

t tN

x x x xf y b

(35)

’nin altında yer alan N, normal dağılım simgesini

göstermektedir.

Ayrıca, /y ise örnek bilgisi üzerindeki koşulu ifade etmektedir.

Örnek “y” gözlendikten sonra 2 hakkındaki bilgi veya belirsizliği

ifade eden normal bir dağılışı ifade etmektedir.

N 2f / y

50


0.072

2

2f | y

0.8 0.911 1.00

Şekil 3 Örnek sonrası normal yoğunluk fonksiyonu


2( 1) 0.50 0.4279 0.07P

51


Eğer (0,1) aralığı dışında değerleri için örnek öncesi yoğunluk

fonksiyonu sıfır olasılık veriyorsa, o zaman bu bilgiyi içeren

ve örnekle sağlanan ek bilgili örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu

(0,1) aralığı dışındaki değerlere sıfır olasılığını vermelidir.

2)( 2f

0)0()1( 22 PP olması için (35) eşitliğindeki

fonksiyonunun nasıl değiştirilebileceği araştırılsın. Şekil

3’deki tüm durumlar için olduğu açıkça

görülmektedir.

2( | )Nf y

2( 0) 0P

1/22 22

2 2 22 1/2 2

( ) ( )( | ) exp ( )

(2 ) 2

t tN

x x x xf y b

(35)

52


kısıtını incelemek için sadece fonksiyonunu

değiştirerek incelemek gerekir.

Böyle bir değişiklik örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunu 1’de

kesmektir.

Yoğunluk fonksiyonunu 1’de kesmek, olasılık yoğunluk

fonksiyonu altında 1’in sağındaki taralı bölgeyi çıkartıp,

yoğunluk fonksiyonun tamamı üzerine oransal olarak dağıtmak

anlamına gelir. Elde edilen olasılık yoğunluk fonksiyonu kesikli

normal dağılım dır.

2( 1)P 2( | )Nf y

2 2 22

2 2

2

( | ) ( | ) ( | )( | )

1 ( 1) ( 1) 0.928

Toplam alan =

( 1) olduğu alan

N N NTN

N N

f y f y f yf y

P P

2( | )Nf y

53

…2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu…Bu yoğunluk fonksiyonu 2( | )TNf y dur.

2f ( | y)

N 2f ( | y)

2TNf y

2

Şekil 4. için normal ve kesikli normal örnek sonrası yoğunluk fonksiyonları

Bu fonksiyon, Şekil 4’de normal dağılış boyunca çizilmiştir.

Yeni kesikli normal yoğunluk fonksiyonu (0,1) aralığı dışında bir

alana sahip değildir. Ayrıca daha önceki normal dağılıştan biraz

daha yüksektir.

N 2f ( | y)

1.00

54


Çünkü (0,1) aralığı dışındaki olasılıklar (0,1) aralığı içerine

aktarılmaktadır. Yani (0,1) dışındaki gölgeli alan,

2 2( | ) ( | )N TNAlan f y f y

Kesikli normal dağılım fonksiyonu örnek sonrası

yoğunluk fonksiyonudur.

(0,1) aralığında uniform bilgisi ve Bayes kuralının birleştirilmesi

ile elde edilmektedir.

2( | )TNf y=Toplam alan- kesikli alan

55


2( | )Nf y yoğunluk fonksiyonu eşitliğinden 2( | )TNf y

yoğunluk fonksiyonu eşitliği nasıl elde edilebilir?

Normal dağılımdan hesaplanan olasılıklar için NP

Kesikli normal dağılış olasılıkları için TNPkullanılsın .

2( 1) 0.072NP 2( 1) 0TNP ve olasılıkları bilinmektedir.

(0,1) aralığı içinde örnek sonrası kesikli normal dağılım için yoğunluk

fonksiyonu;

56


2 2 22

2 2

( | ) ( | ) ( | )( | )

1 ( 1) ( 1) 0.928N N N

TNN N

f y f y f yf y

P P

1/22

2 1/2

( )

0.928(2 )tx x

2

22 22

( )exp ( )

2tx x

b

(0,1) aralığında, ’nin bölünmesi

ile fonksiyonu elde edilir.

Bir başka ifadeyle aralık içerisinde normal dağılım eşitliğini,

olasılığı ile böleriz.

olasılığı (36 nolu ifadedeki payda), 1’den

küçük olduğu için yoğunluk fonksiyonunun yüksekliği artar.

)/( 2 yf N )1(1 2 NP

2( | )TNf y

2

2 21 ( 1) 1P P

(36)

57


Kesikli normal dağılım fonksiyonu örnek sonrası yoğunluk

fonksiyonudur ve ön eşitsizlik bilgisi ve 2 ye ilişkin örneklem

bilgisini birleştirmektedir.

Kesikli normal yoğunluk fonksiyonu örnek alındıktan sonra 2

hakkındaki bütün bilgiyi (önceki eşitsizlik ve örnek bilgisini)

temsil eder.

Bu durum 2 hakkındaki bilginin tam ifadesi olduğu için marjinal

tüketim eğilimi araştırma sonuçları hakkında bilgi vermenin uygun

bir yoludur. Bununla birlikte, olasılık ifadeleri ve nokta-aralık

tahminleri gibi (36) eşitliğinden türetilen bazı özet ölçüler verebilir.

Normal dağılımdan elde edilen aralık, bir yoğunluk fonksiyonundan başka bir yoğunluk fonksiyonuna dönüşümde kullanılan aynı olasılık sabitine karşılık gelen olasılığa bölünür. (0,1) aralığı dışındaki c ve d noktaları için olduğu bilinmektedir.

58

Kesikli normal dağılıştan elde edilen olasılık ifadelerini hesaplamak

için aşağıdaki ifade yazılır: Eğer c ve d noktaları (0,1) aralığındaysa,

22

2

( )( )

1 ( 1)N

TNN

P c dP c d

P

(37)

2( 0) 0TNP 2( 1) 0 TNP ve

…Kesikli Normal Dağılımdan Elde Edilen Olasılık İfadeleri…

59


2( 0.9)P 2( 0.9)P ve olsun.

Normal dağılımdan elde edilen sonuçlar:

2( 0.9) 0.426P 2( 0.9) 0.574NP ve

olasılıkları bulunmuştu.

2 nin 1’den daha büyük olamadığı bilindiğinde ve kesikli normal

dağılım kullanıldığında;

2 2( 0.9) (0 0.9)TN TNP P

2

2

(0 0.9)

1 ( 1)N

N

P

P

0.4260.459

0.928 olasılığı bulunur. (38)

22

2

( )( )

1 ( 1)N

TNN

P c dP c d

P

60


2( | )Nf y ’den ’ye giderken 0.9’un sol tarafındaki2( | )TNf y

yoğunluk fonksiyonu altında kalan alan 0.426’dan 0.459’a artar.

2 2( 0.9) (0.9 1)TN TNP P

2

2

(0.9 1)

1 ( 1)N

N

P

P

0.5020.541

0.928

(39)

(38) ve (39) denklemlerinin olasılıklarının toplamının bir olması beklenmektedir.

1

2

2

0.9 0.91130.18

0.06051 0.9113

1.460.0605

(0.9 1) 0.0714 0.4279 0.50N

z

z

P

61


0.9’un sağındaki bölgede, 2’nin 0.9 ve 1 arasında olma

olasılığı 0.502’den 0.541’e çıkmıştır.

fonksiyonunun sağ kuyruğundan gelen 0.072 olasılık

değerine dikkat etmek gerekir.

0.072’nin bir bölümü 0.9’un sol tarafında kalan alandan

(0.459-0.426=0.033)

ve diğer bir bölümü

0.9’un sağ tarafında kalan alandan

(0.541-0.502=0.039)

aktarılarak bulunmuştur.

2( | )Nf y

62


(38) ve (39) eşitliklerindeki gibi olasılıkları elde etmenin veya

“tahmin etmenin” başka yolu daha vardır. Bu yöntemi tanıtmak

için bir oranı tahmin etmenin problemi incelensin. 50.000$’dan

daha yüksek gelirli San Francisco hanehalkının oranı için bir

hanehalkı şans örneği alınıp ve 50.000$’dan daha fazla gelirli olan

hanehalkı sayısı bulunur. Oran tahmini, örnekteki 50.000$’dan

daha yüksek gelirli hanehalkı sayısının örnekteki toplam

hanehalkı sayısına bölümüyle verilir. Bu oranı tahmin etmek

ile bir olasılığı tahmin etmek aynıdır. Açık olarak, rastgele

seçilen bir San Francisco hanehalkının 50.000$’dan daha

yüksek gelire sahip olma olasılığı tahmin edilecektir.

63

…Kesikli Normal Dağılımdan Elde Edilen Olasılık İfadeleri…Benzer bir strateji, (38) ve (39) eşitliklerindeki olasılıkları tahmin

etmek için uygulanabilir.

(38) ve (39)’deki hesaplamaları yapmak olanaksız ise bilgisayar

kullanmak yararlı bir yöntemdir.

Bilgisayardan rastgele sayılar türeterek yapay bir şekilde ortalaması

b2=0.9113ve standart sapması 0.0605 olan normal bir dağılımdan

istenilen büyüklükte bir örnek oluşturulabilir. Daha sonra (0,1)

aralığı dışındaki gözlemler çıkarılır. Kalan gözlemler kesikli

normal dağılıştan gelen rastgele bir örneği oluşturur. 0.9’un

altında olan bu kalan gözlemlerin oranı, ’nın bir

tahminidir. (39) nolu ifade de bulunan gözlemlerin oranı ,

için bir tahmindir.

2( 0.9)TNP

2( 0.9)TNP

64


Atılan orijinal gözlemlerin oranının, için bir tahmin

olduğuna dikkat edilmelidir.

Bu yaklaşımı örneklemek için 0.9113 ortalamalı ve 0.06065 standart

sapmalı normal dağılıştan 5000 rastgele sayı türetilsin. Elde edilen

sonuçlar Tablo 2’de.

2( 1)NP

65


Tahmin edilen olasılıklar, normal dağılımdan doğrudan hesaplanan

olasılıklara çok yakındır.

5000’den daha fazla gözlem alınırsa daha yakın tahminler elde etme

şansı vardır.

Gözlem sayısı arttığında sonuçlar birbirine daha da yakınlaşacaktır.

66

N 2P ( 1) 385

0.0775000

TN 2P ( 0.9) 21630.469

4615

TN 2P ( 0.9) 24520.531

4615

Tablo2.Yapay olarak üretilen örneğe ilişkin gözlenen ve tahminlenen olasılıklar

Gerçek Olasılık

67

2’nin Nokta Tahmini…

Kayıp fonksiyonu karesel olduğunda, örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu ortalaması, beklenen kaybı minimize eden parametre tahminidir.

Karesel kayıp fonksiyonunun konuyla bağlantılı olduğunu ve bu nedenle 2 için bir nokta tahmini olarak kesikli normal dağılışın ortalamasına ihtiyaç olduğu varsayılsın.

Elde edilecek nokta tahmini ortalama, her zamanki normal dağılıştan elde edilen ortalama ile aynı olmayacaktır.

Nedenini anlamak için normal dağılım ortalamasının tanımını incelemek gerekmektedir.

2( | )Nf y

68

…2’nin Nokta Tahmini…

2 2 2 2( | )N NE f y d

(40)

Eşitlik (40), 2 için olasılık yoğunluk fonksiyonu ile verilen

ağırlıklarla, tüm değerlerinin ağırlıklı ortalaması alınır.

Birden büyük değerleri içeren değerleri ile

ağırlıklandırılır

Kesikli normal dağılış kullanıldığında , (0,1) aralığı

dışındaki ağırlıklar 0 ve (0,1) aralığı içindeki ağırlıklar da normal

dağılım ile sağlanan ağırlıklardan daha büyüktür.

2 < 0 olduğunda her iki dağılımdaki ağırlıklar 0’dır.

2( | )TNf y

2( | )Nf y

69


Sonuçta, ve ortalamalarını karşılaştırırken

sadece 2 , 0 ile 1 arasında ve 2’nın 1’den büyük olduğunda ortaya

çıkan ağırlıkları incelemek gerekir.

2( | )TNf y2( | )Nf y

(Kesikli normal dağılım) ortalaması için önemli farklılıklar

şunlardır,

1’den büyük 2 değerleri artık ortalamaya katılmaz

1’den küçük değerler daha fazla katkı yapmaktadır.

2( | )TNf y

Bu şartlar altında,.

2( | )Nf y2( | )TNf y ortalaması < ortalaması

70


1

2 2 2 20( | )TN TNE f y d (41)

Kesikli normal dağılımın ortalamasını ifade eden (41) eşitliğindeki

integral hesaplamak için

1.Bilgisayar tabanlı sayısal bir integrasyonu kullanmak veya

2.Yapay olarak oluşturulan örneği kullanarak ortalamayı tahmin

etmek gerekir.

71

olduğu fonksiyonundan

gözlemler üretmek için bilgisayar kullanıp birden büyük gözlemler

atılabilir.

22 (0.9113, (0.06065)N 2( | )Nf y


Kalan gözlemler kesikli normal dağılımdan bir şans örneği

oluşturur.

2( | )TNf y

Bu kalan gözlemlerden elde edilen örnek ortalaması, (41) eşitliğinde

verilen (kesikli normal dağılımın) ortalamasının bir

tahminidir.

2( | )TNf y

72


Yapay olarak üretilen örnekte, 2 < 1 olduğu 4615 gözlem alınıp 385

gözlem atılmıştır.

22

2

β ' 1'den küçük olduğu tüm gözlemlerin toplamıˆβ ' 1'den küçük olduğu özlemlerin ayısı TN

ninE

nin g s

4160.860.9016

4615 (42)

4160.8 değeri; 2 için 1’den küçük 4615 tane sayının sayısal değerlerin toplamıdır. Bütün 2’ lerin değeri 1den küçük olduğu için 4615 sayının toplamı da 4615den küçük olacaktır.

Beklendiği gibi marjinal tüketim eğilimi için 0.9016 tahmini, 0.9113

tahmininden daha düşüktür. 0.9113 değeri 2 için uygun alan üzerindeki

ön bilgiyi hesaba katmaz.

73

Kesikli normal dağılışın dağılım ölçüsü de elde edilebilir.

Kalan gözlemlerden elde edilen 2 ’nin örnek varyansı

varyansının bir tahminidir.

Tahmin edilen varyans için notasyonu kullanılarak, 4615

gözlemden,

2( | )TNf y

2ˆvar ( )TN


22

ˆvar ( ) (0.05283)TN (43)

Kesikli dağılışın standart sapması (0.05283), ön bilgi

kullanıldığında ve sadece 0 ile 1 arasındaki 2 değerleri mümkün

olduğunda oluşan dağılımdaki azalmayı yansıtarak, normal

dağılım standart sapmasından (0.06065) daha azdır.

74

…Aralık Tahmini…

Belirsizlik Altında

Ön Bilgi

Ön Eşitsizlik

Bilgisi

Ortalama 0.9113 0.9016

Standart Hata 0.06065 0.05283

Tablo 3: 2 için Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonunun Ortalamaları ve Standart Sapmaları

10 2

75

Aralık Tahmini…

Geriye kalan özet ölçü kesikli normal örnek sonrası yoğunluk

fonksiyonunda aralık tahminidir.

%95 olasılıkla bir aralık tahmini a1 ve a2 değerlerini bulma problemi

olmaktadır:

1 2 2( ) 0.95TNP a a (44)

Ön bilgi olmadığında aralık tahmini (0.792, 1.030) idi.( 33 eşitliğinde)

olarak verildiğinde ve ’den ortak olasılığın büyük kısmı

sadece 1’in altında toplandığında, aralığın üst limitini a2=1 almak

uygundur.

O zaman problem, a1 ’i elde etme problemi olur:

2( | )TNf y

76


1 2( 1) 0.95TNP a (45)

a1 değeri; kesikli normal dağılım olasılıkları ile normal dağılım

olasılıkları arasındaki ilişkiyi kullanarak bulunabilir:1 2

1 22

( 1)( 1) 0.95

1 ( 1)N

TNN

P aP a

P

veya

1 2( 1)0.95

0.928NP a

1 2( 1) 0.882NP a

Sonuçta kesikli normal dağılımdan %95 olasılıkla bir aralık tahmini bulma problemi, normal dağılımdan 0.882 olasılıkla bir aralık tahmini bulma açısından yazılabilir:

2

1 0.9113( 1) ( 1.46) 0.928

0.06065

NP P z

77


1 2 2 2 1

1

1

( 1) ( 1) ( ) 0.882

0.91131 0.9113 =P P 0.882

0.06065 0.06065

0.9113 =0.928 P 0.882

0.06065

N NP a P P a

az z

az

ve

Standart normal dağılım tablosundan z değeri kullanılarak a1 = 0.809 değeri elde edilir.

1

1

0.9113P 0.046

0.06065

( ?) 0.046

0.50 0.046 0.4545 1.69 z değerine karşılık gelir

P 1.69 0.046

0.91131.69

0.06065

az

P z

z

a

1 0.809a

78


2 ’nin aralığı hakkında ön bilgiyi vermeden önce, uygun

aralık tahmini

(0.793, 1.030)

Ön bilginin verilmesi

(0.809, 1)

Ön bilginin verilmesi ile daha dar, daha bilgilendirici aralık

tahmini elde edilmiştir.

79

1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?...

2 ye ilişkin ön eşitsizlik bilgisi, 1’e ilişkin örnek sonrası

bilgiyi değiştirir mi?

Bir başka ifadeyle, marjinal tüketim eğilimi hakkındaki ön

eşitsizlik bilgisi otonom tüketim hakkındaki örnek sonrası

bilgiyi değiştirebilir mi?

80

…1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?...

İlk olarak vektörü üzerinde ön bilgi olmadığı varsayılacaktır.

En küçük kareler tahmincisi

1( ' ) 'b X X X Y

2 1, ( ' )b N X X

için

(47)

Tüketim problemi için, b tahmincisi ortalama vektörü ve kovaryans

matrisi olan iki değişkenli normal dağılıma sahiptir.2 1( ' )X X

81


Örneği gözlemledikten sonra hakkındaki belirsizliği ifade etmek için

bir olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanılır:

2 1, ( ' )N b X X (48)

için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu, b ortalamalı ve

kovaryans matrisi olan iki değişkenli normal dağılımdır.

2 1( ' )X X

Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu, 2 bilindiği zaman uygun bir

fonksiyondur ve burada üzerinde ön bilgi bulunmamaktadır.

82


Araştırmayı ilerletmek için ifadesini tam olarak yazılırsa; 2 1( ' )X X

1 1 2

1 2 2

2

2 1

2( ) ( ' )Cov X X

2 2 2

2 2

2 2

2 2

( ) ( )

( ) ( )

t

t t

t t

x x

T x x x x

x

x x x x

(49)

1 ve 2 hakkındaki örnek sonrası bilgi:

1

21 1( , )N b

2

22 2( , )N b

83


1 2

2

2( )t

x

x x

(50)

Kovaryans terimi 1 ve 2 ye ilişkin bilginin nasıl ilişkili olduğunu

tanımlamaktadır

Bu değer sıfırdan farklı olduğu zaman, iki parametre arasında

ilişki söz konusu olup bir parametreye ilişkin bilinenler diğer

parametre ile ilgili ne bilindiğini de ortaya çıkarmaktadır.

Sadece 1 ile ilgileniliyorsa;

1

21 1( , )N b

Sadece 2 ile ilgileniliyorsa;

2

22 2( , )N b

olarak ayırmak yeterlidir.

84


1 ve 2 hakkındaki bütün bilgiyi özellikle de 1 ve 2 ’in ilişki olduğu

bilgisini elde etmek için, her iki parametre için ortak örnek sonrası

yoğunluk fonksiyonunu belirtmek gerekir.'

1 2( , )

vektörü için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonuna ihtiyaç vardır. Bu

ortak örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu (48) eşitliğinde verilen iki

değişkenli normal dağılımdır.

2 1, ( ' )N b X X (48)

85


0<2<1 bilgisi, 1 hakkındaki bilgiyi nasıl değiştirir?

0x olduğunda olur. 1 2

0

2 ’nin daha küçük değerleri karşısında, 1 ’in daha büyük değere sahip olması (veya tam tersi) beklenir. (Ek Bilgi)

1 ’e ait bilginin, 0<2 <1 ön eşitsizliğin verilmesi ile nasıl değiştiğini daha iyi belirlemek için bilgisayar kullanılabilir.

için iki değişkenli normal dağılımdan yapay olarak gözlemler türetilebilir.

İki değişkenli kesikli normal dağılıştan elde edilen bir şans örneği (0<2<1 dışında kalan) 2>1 veya 2<0 olduğu değerleri atarak elde edilir.

1 2

2

2( )t

x

x x

86


Kalan gözlemler 1 ’e ilişkin olasılık hesaplamalarının yanı sıra 1’in varyans ve ortalamasının tahmini için kullanılmaktadır.

5000 şans örneğini kullanarak aşağıdaki bilgi elde edilmiştir:

Kalan gözlemler: 4615

0 ve (varsayalım ki) 750 arasındaki 1 için kalan gözlemlerin

sayısı: 1832

1 ilişkin kalan gözlemlerin örneklem ortalaması: -46.17

1 ilişkin kalan gözlemlerin örneklem standart sapması: 467.26

87


Tablo 4. 1 üzerindeki örnek sonrası bilgi

Kesin olmayan

ön bilgi

Eşitsizlik ön

bilgisi

.355 1832/4615=.397

Ortalama -128.94 -44.17

Standart Sapma 535.03 467.26

1(0 750)P

20 1

Standart normal dağılımdan (z)

Bu durumda, iki değişkenli kesikli normal dağılıştan bir şans örneği elde etmek

için 1>0 veya 0<2 <1 veya her ikisi de kendi eşitsizliklerini yerine

getirmezse, o gözlem çifti atılır. Bu durumu sağlayan gözlem sayısı 1832 dir.

88


Pozitif değer aralığında (0,750) bulunan 1 ’in olasılığı az da

olsa artmıştır.

Örnek sonrası yoğunluk ortalaması (karesel kayıp altındaki 1

için bir nokta tahmini) hala negatif olduğu halde artmışdır

Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunun standart sapması, 2

aralığı sınırlı olduğunda oluşan dağılımdaki azalmayı yansıtarak

düşmektedir

89

Her İki Parametreye Ön Bilgiyi Dahil Etme…

Bu bölümden önce 1 ve 2 parametreleri için iki ön eşitsizlik

sınırlaması olduğu gösterilmiştir.

Birinci kısıtlama, marjinal tüketim eğiliminin 0 ile1 arasında olduğudur.

İkinci kısıtlama, otonom tüketim 1 pozitiftir, toplam tüketim

fonksiyonuyla, gelir asla sıfıra yakın değildir.

Bununla beraber iki kısıt üzerine 1>0 ön eşitsizliği de eklenir.

90

…Her İki Parametreye Ön Bilgiyi Dahil Etme…

Daha önceki bölümlerde olduğu gibi 1>0 ve 0<2<1 eşitsizlik

sınırları konduğunda ayrı ayrı parametreleri incelemek mümkün

değildir.

2 üzerindeki sınırın 1 hakkındaki bilgiyi nasıl değiştirdiğini

görmek için iki parametreyi birlikte incelemeye ihtiyaç vardır.

Her iki parametre üzerindeki kısıtların var olduğu yerde, 1

üzerindeki ön bilgi, 2 örnek sonrası bilgiyi karşılıklı olarak

etkileyecektir.

Bu nedenle, iki parametre ortak olarak incelenmelidir ve

için iki değişkenli normal dağılımdan yapay bir örnek çekmek

gerekmektedir

1 2( , )

91


Bu durumda, iki değişkenli kesikli normal dağılıştan bir şans örneği

elde etmek için 1 veya 2 veya her ikisi de kendi eşitsizliklerini

yerine getirmezse, o gözlem çifti atılır.

1 için ön olasılık yoğunluk fonksiyonu, 1’in pozitif değerleri için

1’e ve negatif değerleri için 0’a eşit olan uniform bir fonksiyondur.

92

Adımları aşağıdaki gibi özetlenebilir:


1. b ortalama ve kovaryans matrisi ile iki değişkenli

normal dağılımdan 5000 gözlem türetilir. Bu gözlemler ile

ilgili gözlemlerden oluşmakta ve rastgele örneği ifade etmektedir. Ön

eşitsizlik bilgisi olmadan örnek sonrası yoğunluk fonksiyonundan

elde edilmiştir.

1'2 )( XX'

21 ),(

93


1>0 , 2<0 veya 2>1 olan gözlemler çıkarılmıştır. ile

ilgili kalan gözlemler kesikli iki değişkenli normal dağılımdan

rastgele örneklemi oluşturmaktadır. Örnek sonrası yoğunluk

fonksiyonu ön eşitsizlik bilgisi içermektedir.

'21 ),(

3. Kesikli örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu ile ilgili standart

sapma, ortalama ve olasılıkları tahmin etmek için kalan gözlemler

kullanılmaktadır. Örneğin belli bir aralıktaki 2 gözlemlerinin oranı o

aralıktaki 2 olasılığının bir tahminidir. 1 ve 2’nin ortalama ve standart

sapma tahminleri kalan gözlemlerin örnek ortalamaları ve standart

sapmalarıyla verilir.

94

20 1 2

1

0 1

ve 0

1E

1P(0 750)

2E

2P(0.82 0.95)

2P(0.82 0.90)

2 0.9 2 0.9


Belirsizlik

95


Otonom tüketim için, her iki sınırlamanın da olduğu nokta tahmini

382.31$ ve marjinal tüketim eğilimi 0.85,

Sadece 0<2 <1 sınırlamasının olduğu durumda ise bu değer -44.17 ve

0.90 dır.

1 >0 eşitsizliği eklendiğinde sonuçların etkilendiği görülmektedir.

Çünkü bu sınırlama eklendiğinde, 5000 gözlem değerinden 2937 gözlem

çıkarılmıştır. Oysa, 0< 2 <1 sınırlaması olduğu durumda 385 gözlem

çıkarılmıştı.

2 >0.9’a karşılık 2 ≤ 0.9 fark oranı son derece büyük olup, bu değer

tüm ön bilgilerin dahil olduğu durumlara göre farklılık göstermektedir

96


Her iki kısıtla, 2 için hemen hemen tüm olasılık 0.9’un altında yer alır.

Aksi takdirde, 0.9’dan daha büyük olan fark oranı, 0.9’un altındaki fark

oranından daha az büyüktür.

Tablo 5’deki çeşitli olasılık ifadeleri aynı farklılıkları yansıtır.

Ön bilgi kullanımının kamu harcaması çarpanı üzerinde bir etkiye sahip

olduğuna dikkat edilmelidir.

Ön bilgi olmadan bu çarpan yaklaşık olarak 11 ve her iki kısıt kabul

edildiğinde, yaklaşık olarak 7 olmaktadır.

ekonomİk deĞİŞkenler arasindakİ İlİŞkİlerİn tahmİnİnde bayes yaklaŞimi bayesyen...

Documents