Ekonometrijska analiza vremenskih

serija– Deo IV

Osnovne studije

Predavač: Aleksandra Nojković

Analiza višedimenzionih vremenskih serija

Struktura predavanja:

- Alternativne strategije u makroekonometrijskommodeliranju

- Vektorska vremenska serija

- Kointergracija.

Alternativne strategije u makroekonometrijskom modeliranju

Tradicionalni pristup:

- Sistemi simultanih jednačina

Dva alternativna pristupa:

- Modeliranje prema vektorskom autoregresionommodelu

- Deduktivno modeliranje (modeliranje od „opšteg ka posebnom“).

Vektorska vremenska serija

Definiše se kao:

Komponente vektora (dimenzija mx1) su vremenske serije X1t, X2t,…, Xmt.

,...2,1t,

mtx

t2x

t1x

t X

Stacionarnost vektorske

vremenske serija

Vektorska vremenska serija Xt je slabo stacionarna ako:

2.

( ) ( ) ,...2,1s,m,...,2,1j,i,stgx,xcov jsit-

( )( )

( )

( )

,...2,1t,

xE

xE

xE

gde je,constE.1

m

2

1

mt

t2

t1

m

m

m

μμt

X

Kovarijaciona matrica vektorske

vremenske serija

Definiše se kao:

i

Elementi na glavnoj dijagonali su autokovarijacionikoeficijenti na docnji k za pojedinačne vremenske serije, dok elementi van glavne dijagonale označavaju unakrsne korelacione koeficijente na docnji k.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

) 3 . 3 (

k ... k k

... ... ... ...

k ... k k

k ... k k

' E

mm 2 m 1 m

m 2 22 21

m 1 12 11

k μ X μ X k t t

- - -

( )( )

( )( ) ,...2,1,0k,m,...,2,1j,i,jkjtxiitxE)k(ij

,...2,1,0k,m,...,2,1i,ikitxiitxE)k(ii

m--m-

m--m-

Uslov slabe stacionarnosti

vremenske serije

Vektorska vremenska serija Xt je slabo stacionarna ako svi elementi kovarijacionematrice Γk zavise samo od docnje (rastojanja) k.

Iz uslova slabe stacionarnosti pojedinačnih vremenskih serija u vektoru Xt ne proizilazi slaba stacionarnost vremenske serije Xt, budući da se uslov slabe stacionarnosti pojedinačnih vremenskih serija ne odnosi na ponašanje unakrsnih kovarijacionih koeficijenata.

Matrica autokorelacionih koeficijenata

vektorske vremenske serije

Definiše se na docnji (rastojanju) k kao:

pri čemu je D – dijagonalna matrica mxm, čiji su elementi varijansepojedinačnih članova vremenske serije Xt:

Član ove matrice na poziciji (i,j) je:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

ρ

ρ

--

kmm...k2mk1m

............

km2...k22k21

km1...k12k11

k

2/1Dk2/1D

k

( ) ( ) ( ) 0mm,...,022,011diagD

( ) ( )

( ) ( )0jj0ii

kij

ij k

Matrica autokorelacionih koeficijenata

vektorske vremenske serije

Definiše se na docnji (rastojanju) k kao:

pri čemu je D – dijagonalna matrica mxm, čiji su elementi varijansepojedinačnih članova vremenske serije Xt:

Član ove matrice na poziciji (i,j) je:

Pri tome: , dok važi: .

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

ρ

ρ

--

kmm...k2mk1m

............

km2...k22k21

km1...k12k11

k

2/1Dk2/1D

k

( ) ( ) ( ) 0mm,...,022,011diagD

( ) ( )

( ) ( )0jj0ii

kij

ij k

jiza),k()k( jiij '

kk - ρρ

Ocene kovarijacione matrice i

autokorelacionih koeficijenata

Na osnovu uzorka obima T koji se odnosi na komponente vektorske vremenske serije Xt moguće je oceniti kovarijacinumatricu kao:

Ocena matrice autokorelacionih koeficijenata dobija se kao:

pri čemu je matrica dimenzije mxm čiji su elementi na glavnoj dijagonali ocene varijansi pojedinih vremenskih serija u datoj vektorskoj vremenskoj seriji.

Ovako dobijena ocena autokorelacionih koeficijenata je pod dovoljno opštim uslovima pristrasna, ali konzistentna.

( )( )

-

--

T

1t

T

1kt

'

k

T

1

)5.3(,...2,1,0k,T

1ˆ

t

ktt

XX

XXXX

D̂

,...2,1,0k,D̂ˆD̂ˆ 2/1

k

2/1

kρ --

Primer 6.2. (deo IV) – ocene

autokorelacionih koeficijenata

-.3

-.2

-.1

.0

.1

.2

.3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Cor(RDK,RDK(-i))

-.3

-.2

-.1

.0

.1

.2

.3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Cor(RDK,RM3(-i))

-.3

-.2

-.1

.0

.1

.2

.3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Cor(RM3,RDK(-i))

-.3

-.2

-.1

.0

.1

.2

.3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Cor(RM3,RM3(-i))

Autocorrelations with 2 Std.Err. Bounds

Regresiona analiza vremenskih serija sa

jediničnim korenom i kointegracija

Objašnjavajuća promenljiva koja je nestacionarna (varijansa raste tokom vremena – nije nula) – ne ispunjava pretpostavke KLRM.

Ocene ONK nisu konzistentne, nemaju N raspodelu.

Statističko zaključivanje zasnovano na t-odnosu i F-testu nije tačno.

Problem „lažne“ korelacije i „besmislene“ regresije.

Prevazilaženje navedenih ograničenja

Transformacija diferenciranja:

Ovom transformaciom gubi se informacija o dugoročnoj ravnotežnoj vezi – zavisnosti između nivoa Yt i Xt .

U slučaju nestacionarnih vremenskih serija ocenjivanje dugoročne ravnotežne veze samo korišćenjem koncepta kointregracije.

greška.sltX*1

*0tY

Regresiona analiza vremenskih serija sa

jediničnim korenom i kointegracija

Objašnjavajuća promenljiva koja je nestacionarna (varijansa raste tokom vremena – nije nula) – ne ispunjava pretpostavke KLRM.

Ocene ONK nisu konzistentne, nemaju normalnu raspodelu.

Statističko zaključivanje zasnovano na t-odnosu i F-testu nije tačno.

Problem „lažne“ korelacije i „besmislene“ regresije.

Kointegracija

Neformalna definicija: Stacionarnost linearne kombinacije individualno nestacionarnihvremenskih serija.

Dve vremenske serije poseduju sopstveni stohastički trend, ali se njihovo kretanje odvija u određenim granicama – serije se ne udaljavaju mnogo jedna od druge.

Postoji „sila privlačenja“ koja posmatrane serije „vuče“ jednu ka drugoj, čiji je izvor u samom karakteru ekonomije (tržišni mehanizam, državne mere i sl.).

Primena koncepta kointegracije u

ekonomskim analizama Veza potrošnje i dohotka – obe serije poseduju jedinični

koren, ali su dugoročno posmatrano usklađene.

Analiza deviznog tržišta (važenje teorije o paritetu kupovne snage) - Serija realni devizni kurs treba da oscilira relativno pravilno tokom vremena da bi teorija o paritetu kupovne snage bila validna.

Analiza efikasnosti finansijskog tržišta - model slučajnog hoda relevantnim za opisivanje kretanja logaritma cena finansijskih instrumenata.

- Ukoliko logaritam cena prati putanju slučajnog hoda, tada je

odgovarajuća stopa prinosa (prva diferenca logaritma datih cena) jednaka procesu beli šum. To znači da do promene cena dolazi slučajno, i to isključivo kao rezultat nove informacije. Tada možemo smatrati da je finansijsko tržište efikasno

tt1ttt1tt ePlnPlnPlnePlnPln - --

Poređenje koncepata koitegracije i KLRM

U okviru standardne regresione analize neobjašnjeni deo varijacija zavisne promenljive je „nebitan“, odnosno proces beli šum.

Koncept kointegracije podrazumeva da se kretanje jedne vremenske serije sa jediničnim korenom može dobro objasniti kretanjem druge vremenske serije sa jediničnim korenom, tako da se neobjašnjeni deo može smatrati stacionarnim procesom.

Nešto blaži uslov od onog koji nameće klasična linearna regresija.

Model sa korekcijom ravnotežne greške

(engl. equilibrium correction model, ECM).

Model je oblika:

gde su parametri i važi

Ključna promenljiva modela je (Yt-1 -b0 - bXt-1), koja označava dugoročno odstupanje Yt od ravnotežnog nivoa do koga je došlo u periodu (t-1).

Parametar γ0 se naziva parametar (koeficijent) prilagođavanja –

pokazuje koliki deo promene Yt se usklađuje u svakom periodu prema putanji dugoročne ravnotežne veze.

Ostale promenljive u modelu koriste se za opisivanje kratkoročne dinamike (zavisi od korelacionih struktura polaznih vremenskih serja).

( )

greška.sl k-tX 2k... 1-tX 21 k-tY 1k... 1-tY 11

1-tX01-tY0 tY

--

k2,...,γ21, γk1γ , ...,11, γ0γ 0.0

Granger-Johansen-ova teorema reprezentacije

Ako su vremenske serije kointegrisane one se uvek mogu predstaviti u formi modela sa korekcijom ravnotežne greške.

Važi i obrnuto, ukoliko se jedna od vremenska serija može na adekvatan način opisati modelom sa korekcijom ravnotežne greške, tada su kointegrisane.

Modeliranje vremenskih serija: rezime

Prvi korak – ispitivanje stacionarnosti.

Ukoliko su vremenske serije stacionarne – uobičajena primena klasične regresione analize.

Za nestacionarne serije proverava se postojanje kointegracije.

Ukoliko su kointegrisane – adekvatna je primena modela sa korekcijom ravnotežne greške.

Nisu kointegrisane: ocenjuje se model prvih diferenci ili redefiniše skup ekonomskih vremenskih serije (uključivanjem ili isključivanjem prvobitno uključenih u model).

Test kointegracije

Ukoliko su vremenske serije Xt i Yt sa jediničnim korenom kointegrisane, one obrazuju dugoročnu vezu:

u kojoj je slučajna greška et stacionarna.

Prema datom uzorku oceni se relacija primenom metoda ONK i dobije se serija reziduala.

Test kointegracije se svodi na proveru prisustva jediničnog korena u seriji reziduala.

Yt=0+Xt +et

DFR test – test jediničnog korena serije reziduala

Postavljamo sledeće hipoteze:

H0: rt poseduje jedinični koren Xt i Yt nisu kointegrisane vremenske serije

H1: rt je stacionarno Xt i Yt su kointegrisane vremenske serije

Diskriminacija između hipoteza ostvaruje se primenom DF testa na seriju reziduala (oznaka DFR test).

Test se sprovodi na isti način, ali kako se sprovodi na izvedenoj seriji reziduala DFR test poseduju drugačiju asimptotsku raspodelu od DF testa.

Raspodela zavisi od uključenih determinističkih komponenti, kao i od broja serija koje formiraju polaznu relaciju.

Kritične vrednosti DFR testa kointegracije

(izvor: MacKinnon, 1991)

Ukupan brojpromenljivih

Determinističkekomponente

Nivo značajnosti 5% Nivo značajnosti 10%

2

Konstanta -3.3377-5.967/T-8.98/ T2

-3.0462-4.069/T-5.73/ T2

Konstanta, trend -3.7809-9.421/T-15.06/ T2

-3.4959-7.203/T-4.01/ T2

3

Konstanta -3.7429-8.352/T-13.41/ T2

-3.4518-6.241/T-2.79/ T2

Konstanta, trend -4.1193-12.024/T-13.13/ T2 -3.8344-9.188/T-4.85/ T2

4

Konstanta -4.100-10.745/T-21.57/ T2

-3.8110-8.317/T-5.19/ T2

Konstanta, trend -4.4294-14.501/T-19.54/ T2

-4.1474-11.165/T-9.88/ T2

Model sa korekcijom ravnotežne greške

Stacionarni reziduali predstavljaju ravnotežnu grešku:

Dati model se može oceniti primenom metoda ONK, jer su sve promenljive u modelu stacionarne.

Ovaj postupak testiranja kointergracije i ocenjivanja modela sa korekcijom ravnotežne greške poznat je kao Engle-Granger-ova dvostepena procedura.

Ova procedura podrazumeva postojanje samo jedne kointegracione ralacije.

greška.sl k-tX 2k... 1-tX 21 k-tY 1k... 1-tY 11 1-tr0 tY

Formalna definicija kointegracije

Ako posmatramo m-dimenzioni vektorski proces,

u kome su sve komponente reda integrisanosti 1.

U ovom modelu postoji potencijalno r stacionarnih linearnih kombinacija β’Xt (0<r<m), pri čemu je matrica β data kao:

]',...,,[ mtt2t1t xxxX

mr...2m1m

............

r2...2221

r1...1211

Formalna definicija kointegracije II

Tada se r-stacionarnih linearnih kombinacija može predstaviti kao:

Testiranje postojanja većeg broja koinegracionihvektora zasniva se na primeni Johansen-ovog postupka.

:relacija tar

:relacija II

: relacija I

mtxmr...t2xr2t1xr1

.........

mtx2m...t2x22t1x12

mtx1m...t2x21t1x11

-