Ejercicios: Grfico de Control por Variables 2008 Ejercicio 1 Un proceso se controla con un grfico de control x, R, con lmites 3 . Se toman subgrupos racionales de 4 piezas cada 100 piezas. El proceso tiene una distribucin normal y una desviacin estndar = 0.16 y su valor medio es ajustable. Las especificaciones del producto son: LSE = 10.5 y LIE = 9.5. a) Calcular los lmites de control del grfico x . b) Cul es la probabilidad de detectar un corrimiento en la media del proceso de 1.2 en el primer subgrupo racional luego del corrimiento. c) Cul ser el nmero de piezas producidas antes de que se detecte una salida de control (corrimiento en la media de 1.2 ). d) Cul ser el nmero promedio de piezas defectuosas producido antes de detectar una salida de control (corrimiento de 1.2 ). Resultados: a) LSC = 10.24, LC = 10, LIC = 9.76; b) Pdet = 0.27425; c) En promedio 315 unidades; d) 8.54 defectuosos en promedio. Ejercicio 2 Un proceso de compresin se controla mediante un grfico x , R. Se desea tener una probabilidad = 0.01 de que el cambio no sea detectado cuando la media pasa de 100 a 110. 1) Calcular el tamao del subgrupo racional necesario si la desviacin estndar del proceso es igual a 5. 2) Para detectar cambios en la media se ha propuesto : a) hacer un grfico de control de valores individuales tomados cada 15minutos. b) Hacer un grfico de control de promedios con muestras de n = 4 tomados cada 1hora. Si se produce un cambio en la media de 100 a 105 cul de los dos mtodos tiene mayor probabilidad de detectarlo en la primera hora? Resultados: a) n=8, b) Pdetectar en 1h (n=1)= 0.088 y Pdetectar en 1h (n=4)=0.159. Ejercicio 3 Para controlar la resistencia a la traccin de un alambre metlico, cuya especificacin es 200 10, se utilizan grficos de control x , R con lmites de control 3 y n=6. El grfico de control de x tiene una lnea central de 200 y el ndice de capacidad del proceso potencial es de 1.1. a) Calcular los lmites de control para x y para R. b) Si la media del proceso sufre un cambio a 202 cul es la probabilidad de detectar el cambio en el 3er. subgrupo racional luego de ocurrido? c) Si la capacidad real del proceso no puede ser inferior a 0.88, en qu rango se debe mantener el valor de la media del proceso?

Resultados: a) LSC x =203.7, LC x = 200, LIC x =196.3; LSCR=15.4, LCR=7.7, LICR=0; b) Prob de detectar en 3er. Subgrupo racional = 0.071; c) 202 = = 198. Ejercicio 4 Para controlar un proceso de envasado se lleva un grfico de control del peso con los siguientes lmites: LSC x = 1020g ; LIC x = 980g Se sabe adems que el error tipo I es del 0.6% y el intervalo de especificacin es 1000 50g. a) Si Cpk = 1.14 determinar el tamao de los subgrupos racionales. Calcular los lmites de control del grfico de rangos. b) En determinado momento opera una causa asignable de variabilidad que provoca un corrimiento en el promedio del proceso a 1018g. Determinar la probabilidad de cometer error tipo II y cuantos subgrupos racionales es en promedio necesario extraer para detectar dicho corrimiento. c) Los subgrupos racionales se extraen cada 400 unidades. cul es el costo promedio en que se incurre desde que ocurre la causa asignable hasta que se detecta la misma si se sabe: Costo de inspeccionar una pieza = I =U$5 Costo de producir una pieza defectuosa = A = U$20. Resultados: a) n=4; LSCR = 65.5, LCR = 30.1, LICR = 0; b) =0.608, ARL=2.55; c) Costo promedio =279U$ Ejercicio 5 Se quiere utilizar un grfico de control para controlar un proceso. Se tomaron muestras de n = 9 para la construccin del mismo obtenindose: x =610 y R medio = 17.8 a) Calcular los lmites de control 3 para los grficos x , R. b) Construir dos puntos de la curva operativa para el grfico x , asumiendo s constante para corrimientos de la media en +1 y +2 . c) Si aumenta en un 20 % calcular la probabilidad de que el grfico de x no detecte ese cambio. Resultados: a) LSC x =616.0, LC x = 610.0, LIC x =604.0; LSCR=32.3, LCR=17.8, LICR=3.3; b) 1= 0.50, 2= 0.00135; c) 0.98758 Ejercicio 6 Un proceso tiene una distribucin normal y una desviacin estndar = 0.2 y su valor medio es ajustable. Las especificaciones del producto son: LSE = 7.6 y LIE = 6.4. El proceso se controla con un grfico de control x , R , con lmites 3s. Se toman subgrupos racionales de 4 piezas cada 50 piezas. a) Calcular los lmites de control del grfico x . b) Cul es la probabilidad de detectar un corrimiento en la media del proceso de 1s en el primer subgrupo racional luego del corrimiento. c) Cul ser el nmero de piezas producidas antes de que se detecte una salida de control (corrimiento en la media de 1 ).

d) Cul ser el nmero promedio de piezas defectuosas producido antes de detectar una salida de control (corrimiento de 1 ). Resultados: a) LSC = 7.3, LC = 7.0, LIC = 6.7; b) Pdet = 0.159; c) En promedio 290 piezas; d) 6.6 defectuosos en promedio Ejercicio 7 Para controlar un proceso se dise un grfico de control por variables con lmites de control 3 y tamao de subgrupo racional de 4 unidades. Para establecer si el proceso est fuera de control estadstico se decidi utilizar dos reglas: 1) un punto fuera de los lmites de control, 2) dos de tres puntos consecutivos entre + 2 y + 3 , o entre - 2 y - 3 a) Calcular el error . b) Calcular el error para un corrimiento de de +1.5 . c) Calcular el nmero promedio de unidades fabricadas desde que se produce el cambio hasta que se detecta, si se sacan los subgrupos racionales cada 1000 unidades fabricadas. Considerar que el cambio se produce en la mitad entre dos subgrupos racionales. Resultados: a) =0.0054: b) =0.445; c) 1300 Unidades fabricadas en promedio