TEMA 6 – LÍMITES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS – MATE CCSS I – 1º Bach 1

TEMA 6 – LÍMITES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS Cálculo de límites sobre la gráfica EJERCICIO 1 : Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f(x):

4

6

8

2

−26 82 4−4 −2−8 −6

−4

−6

Y

X

( )xflim x

a)+∞→

( )xflim x

b)−∞→

( )xflim 3x

c)−→

( )xflim 3x

d)+→

( )xflim 0x

e)→

EJERCICIO 2 : Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican:

4

6

8

2

6 82−4 −2−8 −6−2

−4

−6

4

Y

X

( )xflim x

a)+∞→

( )xflim x

b)−∞→

( )xflim 2x

c)−→

( )xflim 2x

d)+→

( )xflim 0x

e)→

EJERCICIO 3 : La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). Sobre ella, calcula los límites:

4

6

8

2

6 82 4−4 −2−8 −6−2

−4

−6

Y

X

( )xflim x

a)+∞→

( )xflim x

b)−∞→

( )xflim 3x

c)−→

( )xflim 3x

d)+→

( )xflim 0x

e)→

Cálculo de límites inmediatos EJERCICIO 4 : Calcula los siguientes límites:

3x2x

4lima)

21x ++−→ 9xlimb) 2

2x−

→ xcoslimc)

2/x π→

1xx

3xlimd)

21x ++

−→

x36lime)2x

−→

xloglimf)1x→

+−

→ 4

x

2

xlimg)

32

2x 1x

2x3limh) +

−→

xtglimi)

4

πx→

( )2

2xx3limj) −

−→ ( )x21limk)

8x−+

−→ xsenliml)

2

πx→

TEMA 6 – LÍMITES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS – MATE CCSS I – 1º Bach 2 Cálculo de límites e interpretación geométrica EJERCICIO 5 : Calcula los siguientes límites e interpreta geométricamente el resultado.

( )3

2

x x2

1x3lim)1

−

++∞→

1x

x2lim)2

2

3

x −

−−∞→

x35

x3lim)3

x ++∞→

x35

x3lim)4

x +−∞→

( )3x x1

1lim)5

−+∞→

2

3

x x

x3lim)6

−−∞→

xx

1lim) 7

20x −→

1x2x

2xxlim) 8

2

2

1x +−

−+→

2

0xx4lim) 9 −

→

6x2

1lim)10

3x −−

→

1x

1lim)11

21x +→

3x

5xlim)12

3x ++

−→

1x

3x2xlim)13

2

2

1x −

−+→

( )3

xx3x2lim)14 +−

+∞→

1x

x3x3lim)15

2

2

x −

++∞→

−+∞→

2

xx

2

xlim)16

2

4

x x1

xlim)17

++∞→ 18)

5x3

x4lim

2

2

2x +−

−→

19)2x

x 1lim

x 4→−∞

+−

4

4x

2x 3x20) lim

x 1→+∞

−+

EJERCICIO 6 : Calcular los siguientes límites:

a) 49x

3x2lim

27x −

−−→

b)

−−∞→

xx3xlim 2

x c)

7x2

1x2x3lim

2

x +++

∞→ d)

4x

2

4x 1x

xlim −→

−

e) 1x

11x2lim

21x −−−

→ f)

1x

x 1x2

1x2lim

+

∞→

−+

g) 2x

1

2x x2

2xlim

−

→

+ h)

4x4xx

8x4x2xlim

23

23

2x −−+−−+

→

i) 1xxx

1xlim

231x +−−−

→ j)

2x

1xlim

2x −+

→ k)

21x )1x(

4xlim

++

−→ l) x27x3x4lim 2

x−+−

+∞→

EJERCICIO 7 : Calcular los siguientes límites:

a) limx x

xx→

− +−4

23 24 48

4 b) lim

x x x

x x xx→

− +− + −1

3 2

3 2

2 14 12

10 27 18 c) lim

x a

x bx

x c

→∞

+++

d) lim

x

x xx→

−− −4 2

4

12

e) limx

xx→

−

− +2

2

2

4

3 5 f) lim

x x

x xx→

−− +2

3

2

4

3 2 g)

xx

1x5x2lim

3

2

x +−+

∞→ h)

3x

1x3lim

2

x ++

∞→

i)1x

3x2lim

3x −−

∞→ j)

34x

5xlimx −+

−∞→

k)x2

x 3x2

2xlim

++

∞→ l)

2

x

2

2

x 1x

1xlim

−+

∞→

m) xlim

→∞ x x x

2+ − n)

9x

27x9x3xlim

2

23

3x −−+−

→

EJERCICIO 8 : Calcula el límite cuando x → 3 de cada una de las siguientes funciones y representa los resultados obtenidos en cada caso:

( ) x23

xxfa)

3

−= ( )3x

xxfb)

2

−= ( )

9x

9x6xxfc)

2

2

−+−=

TEMA 6 – LÍMITES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS – MATE CCSS I – 1º Bach 3 Estudio de la continuidad a partir de una gráfica EJERCICIO 9 : Dadas las funciones:

a) Di si son continuas o no. b) Halla la imagen de x = 1 para cada una de las cuatro funciones. EJERCICIO 10 : Dada la gráfica:

a) Di si f (x) es continua o no. Razona tu respuesta. b) Halla f (−1), f (0), f (2) y f (3). EJERCICIO 11 : ¿Son continuas las siguientes funciones en x = 2? a) b)

4

6

8

2

6 82 4−4 −2−8 −6−2

−4

−6

Y

X

4

6

8

2

6 82 4−4 −2−8 −6−2

−4

−6

Y

X

Si alguna de ellas no lo es, indica la razón de la discontinuidad. EJERCICIO 12 : ( ):xfón e la funci gráfica dEsta es la

4

6

8

2

6 82 4−4 −2−8 −6−2

−4

−6

Y

X

a) ¿Es continua en x = −2? b) ¿Y en x = 0? Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.

TEMA 6 – LÍMITES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS – MATE CCSS I – 1º Bach 4 Estudio de la continuidad a partir de su expresión analítica EJERCICIO 13 : Averiguar los puntos e intervalos de discontinuidad de las siguientes funciones:

a) y = x

x x

+− +

5

5 62 b) y =

x

x x

+− +

5

5 62 c) y = x x2 5 6− +

EJERCICIO 14 : Estudia la continuidad de las funciones siguientes y represéntalas gráficamente:

a) ( )

>−

≤−=

4xsi15x

4xsi3

1x

xf2

b) ( )

>−≤<−=

1xsi1x3

1x0six2xxf

2

c) ( )

>−<

=1xsi

2

1x3

1xsixxf

2

d) ( )

>≤−=

2xsi1

2xsi3xxf

2

e) ( )

=≠−=

0xsi1

0xsix2xf

2

f) ( )

≠−

==

0xsix1

0xsi1xf

2

EJERCICIO 15 : Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a) f(x) =

≤

≤≤+

5> xsi 3

5<x3 si 13+2x-

3<x<1 si 1+2x

1x<2- si 1

-2<x6- si 3x

b) f(x) =

><≤+

<

1 x si 2

1x0 si xx

0 x si x

1

2 c) f(x) =

>+

<+

0 x si 3x

3

0 x si 2x

2

EJERCICIO 16 : Hallar lim f x

x→ +2( ) y lim f x

x→ −2( ) siendo

f(x)= ≥−

2< xsi 0

2 xsi x3

a) ¿ Existe lim f xx→2

( ) ?

b) Estudia su continuidad en el punto x = 2 EJERCICIO 17 : ( ) :1en x continua sea xf que parak de valor el Halla =

( )

=≠+

=1xsik

1xsi1x2xf

EJERCICIO 18 : Halla el valor de m para que f(x) =

>+≤−+1 x si 32x

1 x si 1mxx3 2

sea continua en todo R.

Asíntotas y ramas infinitas EJERCICIO 19 :Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la curva respecto a ellas:

a) ( )2x4

1xf

−= b) ( )

2xx

3xxf

2 −−+= c) ( )

( )2

2

2x

x2xf

+= d) ( )

2

xxxf

3 +−=

e) ( )3x

1xxf

3

+−= f) ( )

9x

xxf

2 −= g) ( )

1x2

x2xxf

23

+−= h) ( )

1x

2xxf

2

++=

i) ( )1x

x2xxf

2

4

++= j) ( )

x2

x31xf

−−= k) ( )

3

2

x

x1xf

+= l) ( )2x

xxf

+=

m) ( )x

3x4xf

2 −= n) ( ) xxxf 2 −=