ejercicios ma 1003

Ejercicios para el curso MA–1003: Calculo III

Tomados de los examenes de la Catedra∗

1 Superficies en el espacio R3

1.1. Hallar la ecuacion del cilindro cuya directriz es la curva de interseccion de las superficiesx2 + y2 = 1 y z = x y cuyas generatrices son paralelas al vector (9,1,−15).

1.2. Obtener la ecuacion de un cilindro cuya directriz esta dada por la curva

x2 + y2 +2z2 = 8,

x− y+2z = 0,

y cuyas generatrices son paralelas a la recta (x,y,z) = (−3,1,5)+ t(2,1,−4), t ∈ R.

1.3. Calcular la ecuacion del cilindro elıptico que tiene por directriz la elipse

x2

9+

y2

4= 1, z = 0

y por generatrices rectas paralelas a la recta de interseccion de los planos 9x + y+4z = 14 yx+ y+ z = 3.

1.4. Encontrar la ecuacion del cilindro cuyas generatrices son paralelas a la recta

2x+ y+ z−6 = 0, x+ y = 0,

y cuya directriz es la interseccion de la esfera de radio 1 centrada en el punto (1,0,1) con elplano x− y = 2.

1.5. Hallar la ecuacion del cilindro cuya directriz es la elipse de ecuaciones parametricas

x = cosθ , y = senθ , z = cosθ + senθ

y cuyas generatrices son perpendiculares al plano que contiene dicha elipse.

1.6. Calcular la ecuacion de la superficie conica que tiene por vertice el punto (0,2,3) y cuyadirectriz es la elipse x2 + y2 = 16, x+ y+ z = 0.

1.7. Calcular la ecuacion del cono que tiene por vertice el punto (−4,2,3) y cuya directriz esla curva de interseccion de las superficies

x2

9+

y2

16= 1, 3x+2y− z = 0.

∗Distribuido por el Prof. Luis Pacheco G. y reeditado por Joseph C. Varilly en el II Ciclo del 2009

1

Ejercicios para MA–1003: Calculo III 2

1.8. Calcular la ecuacion de la superficie conica que tiene por vertice el punto (0,2,3) y cuyadirectriz es la curva de interseccion del hiperboloide de una hoja x2 + y2− 4z2 = 16 con elplano x− y+ z = 0.

1.9. Encontrar la ecuacion del cono cuyo vertice se encuentra en el centro del elipsoide

x2

9+

y2

3+

z2

4= 1

y cuya directriz es la elipse

x2

9+

y2

3+

z2

4= 1, x+ y+ z = 1.

1.10. Hallar la ecuacion del cono cuyo vertice es el centro de la superficie 2x2 +y2 + z2 = 12y que tiene por directriz la curva de interseccion de esta superficie con el plano x+y+ z = 3.

1.11. Encontrar la ecuacion del cono que cuyo vertice es el centro de la superficie cuadraticax2− y2 +4x+6y+ z2 = 10 y cuya directriz es el cırculo x2 + y2 + z2 = 9, x+ y+ z = 0.

1.12. Calcular la ecuacion de la superficie conica que tiene por vertice el punto (0,0,0) ycuya directriz es la curva alabeada

~r(t) = 3cos t i+4sen t j+ tg t k(−π

2< t <

π

2

).

1.13. (a) Identificar la cuadrica x2 +4z2−2x−4y+25 = 0 como elipsoide, hiperboloide,paraboloide o cono.

(b) Especificar las intersecciones de esa cuadrica con los planos y = 2, y = 7 y x = 5.

(c) Dibujar un grafico aproximado de esta superficie.

1.14. Encontrar la ecuacion de la superficie de revolucion que se genera al girar la recta

x− z = 1, x− y+ z = 0

alrededor del eje x = y = z.

1.15. Encontrar la ecuacion de la superficie de revolucion que se genera al girar la recta

2x−3y+ z = 0, 3x−2y−4z = 1

alrededor del ejex−1

1=

y−32

=z−6

3.

Edicion del 2009


1.16. Encontrar la ecuacion de la superficie de revolucion formada por la rotacion de la recta2x = 3y, z = 3 alrededor del eje

x−12

=y−3

5=

z−63

.

1.17. Calcular la ecuacion de la superficie de revolucion que resulta al girar la recta

x+ y+ z = 0, y− z = 0

alrededor del eje que es la interseccion de los planos x+ y = 1, z = 0.

1.18. Determinar la ecuacion de la superficie de revolucion que se obtiene al rodar la recta

x− y+ z = 1, x+ y+2z = 0

alrededor del eje x+ y+ z = 1, x− y = 0.

1.19. La rectax+1

4=

y−13

=z−2

2gira alrededor del eje

x−25

=y−4

6= z+3.

Encontrar la ecuacion de la superficie que engendra.

1.20. Encontrar la ecuacion de la superficie de revolucion que se genera al girar la curva planaxy = 10, z = 0 alrededor del eje y = x, z = 0. Hacer un grafico de esta superficie.

1.21. Hallar la ecuacion de la superficie de revolucion que se obtiene al girar la curva

x = cosθ , y = senθ , z = senθ (0≤ θ ≤ 2π)

alrededor de la recta y = z, x = 0.

1.22. La hiperbola x2− z2 = 1, y = 0 gira alrededor de su asıntota z = x, y = 0. Hallar laecuacion de la superficie que engendra.

1.23. La curva de interseccion de la esfera x2 + y2 + z2 + x = 0 con el plano x− y + z = 0gira alrededor de la recta x = y, z = 0. Calcular la ecuacion de la superficie de revolucion queengendra.

Edicion del 2009


2 Curvas en el espacio R3

2.1. Un punto se mueve en el espacio segun la ecuacion vectorial

~r(t) = 4cos t i+4sen t j+4cos t k.

(a) Probar que la trayectoria es una elipse y encontrar la ecuacion del plano que la incluye.

(b) Calcular el radio de curvatura en el punto~r(π/2) = (0,4,0).

2.2. Determinar la longitud de arco de las siguientes curvas:

(a) x = 3sen2t, y = 3cos2t, z = 8t; desde (0,3,0) hasta (0,3,8π). [[ R/: 10π . ]]

(b) x = t, y = t2/√

2, z = t3/3; para 0≤ t ≤ 1.

(c) x = 6et cos t, y = 6et sen t, z = 17et ; para 0≤ t ≤ 1. [[ R/: 19(e−1). ]]

(d) x = t2/2, y = log t, z =√

2 t; desde (12 ,0,√

2) hasta (2, log2,2√

2).∗

(e) x = 3t sen t, y = 3t cos t, z = 2t2; para 0≤ t ≤ 45 . [[ R/: 2+ 9

10 log3. ]]

(f) x = 2et , y = e−t , z = 2t; para 0≤ t ≤ 1.

2.3. Determinar la parametrizacion por longitud de arco de la helice~r(t) = (3cos t,3sen t,4t)en terminos de la longitud de arco s medida desde el punto inicial (3,0,0).

[[ R/: x(s) = 3coss5

, y(s) = 3sens5

, z(s) =4s5

. ]]

2.4. Determinar la curvatura κ de estas curvas planas en los puntos indicados del plano R2:

(a) y = cosx; en (0,1). [[ R/: 1. ]]

(b) x = t−1, y = t2 +3t +2; en (1,12).

(c) x = 5cos t, y = 4sen t; en (52

√2,2√

2). [[ R/:40√

241√

41. ]]

(d) x = 5cosh t, y = 3senh t; en (5,0).

2.5. Determinar los puntos de estas curvas planas en los cuales la curvatura κ alcanza sumayor valor:

(a) y = logx; con 0 < x < ∞.

(b) x = 5cos t, y = 3sen t; con −∞ < t < ∞. [[ R/: κ = 59 en (±5,0). ]]

∗Aquı ‘log’ denota el logaritmo natural; en los libros de calculo se ve todavıa la notacion obsoleta ‘ln’.

Edicion del 2009


2.6. Determinar la curvatura κ(t) de las curvas siguientes:

(a) ~r(t) = t i+(2t−1) j+(3t +5)k.

(b) ~r(t) = t i+ sen t j+ cos t k. [[ R/: κ(t) = 12 . ]]

(c) ~r(t) = (t, t2, t3).

(d) ~r(t) = (et cos t,et sen t,et). [[ R/: κ(t) =√

23 e−t . ]]

2.7. Determinar el vector tangente unitario ~T y el vector normal unitario ~N para estas curvasplanas en los puntos indicados:

(a) x = t3, y = t2; en (−1,1).

(b) x = 3sen2t, y = 4cos2t; para t = π/6.

[[ R/: ~T =√

5757 (3,−4

√3), ~N =

√57

57 (4√

3,3). ]]

(c) x = t− sen t, y = 1− cos t; para t = π/2.

2.8. Una curva plana se parametriza por x(t) = 4cos3 t, y(t) = 4sen3 t.

(a) Calcular su longitud de arco, para 0≤ t ≤ π/2.

(b) Hallar los vectores unitarios tangente ~T(t) y normal ~N(t) en el punto (x(t),y(t)), si0 < t < π/2.

(c) Calcular los componentes tangencial y normal de la acelaracion en el punto (√

2,√

2).

2.9. Determinar las componentes tangencial y normal de la aceleracion, aT y aN , para lascurvas planas siguientes:

(a) ~r(t) = 3senπt i+3cosπt j.

(b) ~r(t) = (2t +1) i+(3t2−1) j. [[ R/: aT = 18t/√

9t2 +1, aN = 6/√

9t2 +1. ]]

(c) ~r(t) = cosh3t i+ senh3t j.

(d) ~r(t) = (t cos t, t sen t). [[ R/: aT = t/√

1+ t2, aN = (2+ t2)/√

1+ t2. ]]

2.10. La trayectoria de una partıcula, que se mueve en el plano R2, se describe por las ecua-ciones parametricas x = t2, y = t4.

(a) Calcular la velocidad y la aceleracion en el instante t = 1.

(b) Calcular los vectores unitarios ~T y ~N y la ecuacion del cırculo osculador.

(c) Calcular la aceleracion en terminos de los vectores unitarios ~T y ~N.

Edicion del 2009


2.11. Determinar los vectores unitarios ~T, ~N y ~B (el triedro movil) para cada una de estascurvas, en los puntos indicados:

(a) ~r(t) = (t, t2, t3); en (1,1,1).

(b) ~r(t) = t i+ sen t j+ cos t k; en (0,0,1).

[[ R/: ~T =√

22 (1,cos t,−sen t), ~N = (0,−sen t,−cos t). ]]

(c) ~r(t) = (6et cos t,6et sen t,17et); en (6,0,17).

(d) ~r(t) = (et cos t,et sen t,et); en (1,0,1). [[ R/: ~T =√

33 (1,1,1), ~N =

√2

2 (−1,1,0). ]]

2.12. Para la curva alabeada ~r(t) = (2cosh3t,−2senh3t,6t), determinar el triedro movil~T(t), ~N(t) y ~B(t). Mediante las formulas de Frenet y Serret:

d~Tds

= κ~T,d~Bds

=−τ~N,

hallar la curvatura κ y la torsion τ en cualquier punto de esta curva.[[ R/: κ(t) = 1

4 sech2 3t, τ(t) =−14 sech2 3t. ]]

3 Lımites y continuidad

3.1. Considerese la funcion

f (x,y) :=

x2y3

x4 + y6 , si (x,y) 6= (0,0),

0, si (x,y) = (0,0).

(a) Mostrar que lim(x,y)→(0,0)

f (x,y) = 0 a lo largo de cualquier recta y = mx. Encontrar la

ecuacion de una curva para la cual lim(x,y)→(0,0)

f (x,y) 6= 0 a lo largo de esta curva.

(b) Mostrar que∂ f∂x

(0,0) y∂ f∂y

(0,0) existen y calcular sus valores.

3.2. Mostrar que la funcion definida por

f (x,y) :=

xy

x2 + y2 , si (x,y) 6= (0,0),

0, si (x,y) = (0,0),

es discontinua en (0,0).

Edicion del 2009


3.3. Demostrar que los siguientes lımites existen y valen 0, usando las coordenadas polaresx = r cosθ , y = r senθ . Es decir, si g(r,θ) := f (r cosθ ,r senθ), reescribir los lımites y con-cluir que lim

r→0g(r,θ) = 0.

(a) lim(x,y)→(0,0)

y3

x2 + y2 , (c) lim(x,y)→(0,0)

3x3y2

x2 + y2 ,

(b) lim(x,y)→(0,0)

7x2y2

2x2 +2y2 , (d) lim(x,y)→(0,0)

x3y4

x4 + y4 .

3.4. Demostrar que los siguientes lımites no existen:

(a) lim(x,y)→(0,0)

x2− y2

x2 + y2 , (c) lim(x,y)→(0,0)

8x3y2

x9 + y3 , (e) lim(x,y)→(0,0)

2xy4

x5 +6y5 ,

(b) lim(x,y)→(0,0)

xy2

x2 + y4 , (d) lim(x,y)→(0,0)

x2yx3 + y3 , (f) lim

(x,y)→(0,0)

y3xy6 + x2 .

3.5. Dada la funcion f tal que f (x,y) =x3y

x6 + y2 si (x,y) 6= (0,0) y f (0,0) = 0,

(a) calcular limx→0

f (x,mx) para cada m ∈ R;

(b) calcular limx→0

f (x,x3).

(c) ¿Que puede concluirse acerca de lim(x,y)→(0,0)

f (x,y)? Justificar su respuesta.

(d) Mostrar que∂ f∂x

(0,0) y∂ f∂y

(0,0) existen y calcular sus valores.

3.6. Considerese la funcionf (x,y,z) :=

x+ y+ zx+ y− z

.

¿Donde esta definida? Demostrar que lim(x,y,z)→(0,0,0)

f (x,y,z) no existe.

[[ Indicacion: Hacer que (x,y,z)→ (0,0,0) por los ejes coordenados. ]]

3.7. Considerese la funcionf (x,y,z) :=

xyzx3 + y3 + z3 .

¿Donde esta definida esta funcion? Demostrar que lim(x,y,z)→(0,0,0)

f (x,y,z) no existe.

[[ Indicacion: Dejar (x,y,z)→ (0,0,0) por los ejes coordenados y por la recta x = y = z. ]]

Edicion del 2009


4 Derivadas direccionales y planos tangentes

4.1. Considerese la superficie representada por la ecuacion z = xy+ x3− y.

(a) Calcular la derivada direccional de z en el punto (0,1) en la direccion paralela al vector~r =− i+2 j.

(b) Calcular los planos tangentes a esta superficie en los puntos (1,1,1) y (0,2,−4).

(c) Encontrar el angulo que forman dichos planos tangentes.

4.2. Encontrar la ecuacion de la recta tangente y la ecuacion del plano normal a la curvax2− y2 +2z2 = 2, x+ y+ z = 3, en el punto (1,1,1).

4.3. Demostrar que la ecuacion del plano tangente a la superficie cuadratica

Ax2 +By2 +Cz2 = D, con A2 +B2 +C2 > 0,

en el punto P = (x0,y0,z0) de la superficie, es: A(x0)x+B(y0)y+C(z0)z = D.

4.4. La altura h de un monte se describe aproximadamente mediante la funcion

h(x,y) = 2√

2−0,0002√

2y2−0,0004√

2x2,

donde h es la altura en kilometros sobre el nivel del mar mientras x e y miden las coordenadaseste-oeste y norte-sur respectivamente. Para el punto (x,y) = (−2,−4), encontrar:

(a) ¿Con que rapidez se incrementa la altura en la direccion noreste?

(b) ¿En que direccion va la trayectoria mas empinada hacia arriba?

(c) Si T (x,y,z) = 2√

2− 0,0002√

2y2− 0,0004√

2x2− z representa la temperatura en lamontana, calcular en el punto (−2,−4,1,9952

√2) el cambio maximo de temperatura.

¿En que direccion ocurre?

4.5. Hallar la derivada direccional de la funcion z = x3−2x2y + xy2 +1 en el punto (1,2,2)y en la direccion del vector 3 i + 4 j. Calcular tambien el vector tangente a la curva de inter-seccion de esa superficie con el plano 3y−4x = 0.

4.6. (a) Calcular la derivada direccional de la funcion f (x,y) = x2 + xy + y2 en el punto(1,1) y en la direccion de la recta x−y = 0, z = 0, avanzando en el sentido positivo deleje x.

(b) Calcular las ecuaciones de la recta tangente a la curva z = x2 + xy+ y2, x− y = 0 en elpunto (1,1,3).

(c) Si w = x2 + xy + y2− z, calcular en el punto (1,1,3) la derivada direccional maximade w y el vector a lo largo del cual ocurre.

Edicion del 2009


4.7. El punto P = (2,1,5) pertenece al paraboloide z = x2 + y2 y al plano z = 3x+ y−2.

(a) Calcular la ecuacion del plano tangente al paraboloide en el punto P.

(b) Hallar un vector tangente en P a la curva de interseccion de estas dos superficies.

(c) En el mismo punto P, encontrar la derivada direccional de la funcion w = x3 + y3 + z3

a lo largo de ese vector tangente.

4.8. Sea f (x,y,z) := x2 +y2− z2. Calcular en el punto (3,4,5) la derivada direccional de estafuncion f , a lo largo de la curva de interseccion de las superficies

2x2 +2y2− z2 = 25, x2 + y2 = z2.

4.9. Calcular la derivada direccional de la funcion f (x,y,z) = x3+y3−z3, en el punto (1,1,1),a lo largo de la curva de interseccion de las superficies: 2x2 +2y2− z2 = 3, x2 + y2 = 2z2.

4.10. Una superficie tiene por ecuacion z = x2y2 + xy+ x2 + y2.

(a) Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva z = x2y2 + xy+ x2 + y2, y = 2x enel punto P = (1,2,11).

(b) Si en cada punto (x,y,z) de la superficie la temperatura es w = x2y2 + xy+ x2 + y2− z,encontrar la ecuacion del plano tangente a la superficie de nivel w = 30 en el punto P.

(c) Calcular la derivada direccional de w en el punto P, a lo largo del vector~v = (1,1,1).

(d) Calcular la derivada direccional maxima y el vector unitario a lo largo del cual ocurre.

4.11. Encontrar la ecuacion del cilindro cuyas generatrices son paralelas a la recta de inter-seccion de los planos x+2y− z = 2, 3x+2y+2z = 7, y cuya directriz es la interseccion delplano x = z con la superficie S : x2 + y2− z2 = 5. En el punto (2,2,

√3), calcular tambien la

pendiente vertical de la curva de interseccion de S con el plano x = y y la ecuacion del planotangente a la superficie S en ese punto.

4.12. Denotese por D~u f (x0,y0) la derivada direccional de f en la direccion del vector unitario~u evaluada en el punto (x0,y0). Si D~u f (3,2) = 4 y D~v f (3,2) = 5, calcular D~w f (3,2), donde

~u =1√2

i+1√2

j, ~v =− 2√5

i+1√5

j, ~w =2√13

i− 3√13

j.

4.13. Las tres ecuaciones

F(u,v) = 0, u = xy, v =√

x2 + y2,

donde F es diferenciable, definen una superficie en R3. Determinar un vector normal a esta

superficie en el punto (1,1,√

3), si se sabe que∂F∂u

(1,2) = 1 y∂F∂v

(1,2) = 2.

Edicion del 2009


5 Regla de la cadena y derivacion implıcita

5.1. La funcion z = f (x,y) es dos veces derivable. Si x = u2 + v2, y = u/v, calcular∂ 2z

∂u∂ven terminos de u y v y de las derivadas parciales fx, fy, fxx, fxy, fyy.

5.2. Sea z := F(u,v) = f (x,y) donde x = y, y = uv, para u > 0. Calcular la segunda derivadaparcial Fuu en terminos de las derivadas parciales fx, fy, fxx, fxy, fyy.

5.3. Si z = f (u,v) donde f es una funcion dos veces derivable y si u = x3y2, v = x2y3;

calcular∂ 2z∂x2 en terminos de x, y y las derivadas parciales fu, fv, fuu, fuv, fvv.

5.4. Dada la ecuacion exz + log(y + z) = 0 que define implıcitamente z = f (x,y), calcular∂ 2 f

∂x∂yen terminos de x, y, z.

5.5. Si w = f (x,y), donde x = er cosθ , y = er senθ , demostrar que se verifica la identidad

∂ 2w∂x2 +

∂ 2w∂y2 = e−2r

(∂ 2w∂ r2 +

∂ 2w∂θ 2

).

5.6. Sean r = r(t), θ = θ(t) una parametrizacion en coordenadas polares de una curva trazadapor una partıcula que se mueve en el plano R2. Si el vector posicion de la partıcula es~r = r~ur,donde~ur = icosθ + jsenθ , calcular~uθ := d~ur/dθ . Enseguida verificar:

(a) que~ur y~uθ son vectores unitarios ortogonales entre sı;

(b) qued~uθ

dθ=−~ur; y

(c) qued2~rdt2 =

[d2rdt2 − r

(dθ

dt

)2]~ur +

[1r

ddt

(r2 dθ

dt

)]~uθ .

[[ Indicacion: Recordar que d~ur/dt = (d~ur/dθ)(dθ/dt). ]]

5.7. Hallar la nueva forma que toma la ecuacion diferencial

y2 ∂ 2z∂x2 −2xy

∂ 2z∂x∂y

− x2 ∂ 2z∂y2 − x

∂ z∂x− y

∂ z∂y

= 0

despues del cambio de variable z = f (φ) —al ser f una funcion dos veces diferenciable—donde φ := arctg(y/x).

5.8. Si z = f (r) con r =√

x2 + y2, expresar∂ 2z∂x2 y

∂ 2z∂x∂y

en terminos de x, y, f ′(r) y f ′′(r).

5.9. Si z = F(u,v,w) y w = g(u,v) donde F y g son dos veces derivables, obtener una formula

para∂ 2z∂u2 en terminos de las derivadas parciales de F y g.

Edicion del 2009


5.10. Al suponer que zuv = zvu, transformar la ecuacion diferencial

(x− y)(

x2 ∂ 2z∂x2 −2xy

∂ 2z∂x∂y

+ y2 ∂ 2z∂y2

)= 2xy

(∂ z∂x− ∂ z

∂y

),

si se hacen los cambios de variable u = x+ y, v = xy.

5.11. Si u = f (xy)+√

xyg(y/x), donde xy > 0, al ser f y g funciones dos veces diferencia-bles, probar que se cumple la ecuacion diferencial

x2 ∂ 2u∂x2 − y2 ∂ 2u

∂y2 = 0.

5.12. Si z = f (x,y), donde x = r cosθ , y = r senθ , mostrar que(∂ z∂ r

)2

+1r2

(∂ z∂θ

)2

=(

∂ z∂x

)2

+(

∂ z∂y

)2

.

5.13. Sea W =f (t− r)

r, donde f es dos veces diferenciable, r =

√x2 + y2 + z2 y la variable t

no depende de las variables x, y, z. Mostrar que

∂ 2W∂ t2 =

∂ 2W∂x2 +

∂ 2W∂y2 +

∂ 2W∂ z2 .

5.14. La funcion y = f (x) esta determinada por la ecuacion

log√

x2 + y2 = aarctgyx,

donde a 6= 0 es constante. Hallardydx

yd2ydx2 .

5.15. La funcion z = h(x,y) queda determinada por la ecuacion

x3 +2y3 + z3−3xyz−2y+3 = 0.

Hallar∂ z∂x

y∂ z∂y

.

5.16. Sea z una funcion determinada por la ecuacion

x2 + y2 + z2 = F(ax+by+ cz),

donde F es una funcion diferenciable y a,b,c son constantes. Demostrar que

(cy−bz)∂ z∂x

+(az− cx)∂ z∂y

= bx−ay.

Edicion del 2009


5.17. La relacion F(x−y,x−z) = 0 define implıcitamente una funcion f dada por z = f (x,y).Comprobar que z satisface la ecuacion diferencial

∂ z∂x

+∂ z∂y

= 1.

5.18. Si h(x/z,y/z) = 0 para alguna funcion diferenciable h, demostrar que

x∂ z∂x

+ y∂ z∂y

= z.

5.19. En cada uno de los casos siguientes, resolver la ecuacion diferencial en derivadas par-ciales, mediante los cambios de variable indicados:

(a) Resolver∂ z∂x

=∂ z∂y

, si u = x+ y, v = x− y.

(b) Resolver y∂ z∂x− x

∂ z∂y

= 0, si u = x, v = x2 + y2.

(c) Resolver x∂ z∂x

+ y∂ z∂y

= z, si u = x, v = y/x.

5.20. En cada caso que sigue, transformar la ecuacion diferencial dada en otra ecuaciondiferencial en terminos de las derivadas parciales de z con respecto a las variables u, v:†

(a)∂ 2z∂ t2 = c2 ∂ 2z

∂x2 (c constante, c 6= 0); si u = x− ct, v = x+ ct.

(b) x2 ∂ 2z∂x2 +2xy

∂ 2z∂x∂y

+ y2 ∂ 2z∂y2 = 0; si x = u, y = uv.

(c) x2 ∂ 2z∂x2 − y2 ∂ 2z

∂y2 = 0; si u = xy, v = x/y.

5.21. Determinar la solucion de la ecuacion diferencial

4∂ f∂x

(x,y)+3∂ f∂y

(x,y) = 0,

que satisfaga la condicion f (x,0) = senx para todo x.

5.22. Si f es una funcion diferenciable de una variable, verificar que la funcion u definidapor h(x,y) := f (xy) satisface la ecuacion en derivadas parciales

x∂h∂x− y

∂h∂y

= 0.

Hallar una solucion tal que h(x,x) = x4 ex2para todo x.

†Se puede asumir la igualdad de derivadas parciales mixtas; por ejemplo, zuv = zvu.

Edicion del 2009


6 Maximos y mınimos relativos, puntos crıticos

6.1. Obtener y clasificar los puntos crıticos de las siguientes funciones de dos variables eidentificar los extremos de cada funcion.

(a) f (x,y) = x2 +(y−1)2. [[ R/: Mınimo en (0,1). ]]

(b) f (x,y) = 1+ x2− y2. [[ R/: Punto de ensilladura (0,0). ]]

(c) f (x,y) = (x−1)2−2y2. [[ R/: Punto de ensilladura (1,0). ]]

(d) f (x,y) = (x− y+1)2. [[ R/: Mınimo sobre la recta y = x+1. ]]

(e) f (x,y) = x2 + xy+ y2−2x− y. [[ R/: Mınimo en (1,0). ]]

(f) f (x,y) = 2x2− xy−3y2−3x+7y. [[ R/: Punto de ensilladura (1,1). ]]

(g) f (x,y) = x2− xy+ y2−2x+ y. [[ R/: Mınimo en (1,0). ]]

(h) f (x,y) = x3 + y3−3xy. [[ R/: Puntos crıticos: (0,0), (1,1). ]]

(i) f (x,y) = x3y2(6− x− y) para x > 0,y > 0. [[ R/: Maximo en (3,2). ]]

(j) f (x,y) = e2x+3y(8x2−6xy+3y2). [[ R/: Puntos crıticos: (0,0), (−14 ,−1

2). ]]

(k) f (x,y) = xy

√1− x2

3− y2

3. [[ R/: Puntos crıticos: (0,0), (±1,±1), (±1,∓1). ]]

(l) f (x,y) = ex−y(x2−2y2). [[ R/: Puntos crıticos: (0,0), (−4,−2). ]]

(m) f (x,y) = (x2 + y2)e−(x2+y2). [[ R/: Mınimo en (0,0), maximo sobre x2 + y2 = 1. ]]

(n) f (x,y) =1+ x− y√1+ x2 + y2

. [[ R/: Maximo en (1,−1). ]]

(o) f (x,y) = x3−3xy2 + y3. [[ R/: Punto de ensilladura (0,0). ]]

(p) f (x,y) = x4 + y4−2x2 +4xy−2y2. [[ R/: Puntos crıticos: (0,0), (±√

2,∓√

2). ]]

(q) f (x,y) = 1− (x2 + y2)2/3. [[ R/: Maximo en (0,0). ]]

6.2. Determinar y clasificar los extremos de la funcion f (x,y) = x2− xy + y2 + 3x− 2y + 1,definida en el rectangulo −2≤ x≤ 0, 0≤ y≤ 1.

6.3. Considerese la funcion

f (x,y) = (x− y)2 +(√

2− x2− 9y

)2

= 2+ y2−2xy+81y2 −

18y

√2− x2.

(a) Identificar los cuatro puntos crıticos de la funcion f .

(b) Clasificar los puntos crıticos (1,3) y (1,−3).

Edicion del 2009


7 Multiplicadores de Lagrange, extremos con ligaduras

7.1. Usando multiplicadores de Lagrange, encontrar los extremos de la funcion f (x,y) =6− 4x− 3y con la condicion de que las variables x, y satisfagan la ecuacion x2 + y2 = 1.Clasificar los extremos obtenidos.

7.2. Encontrar el valor mınimo de la funcion f (x,y) = x4 + 3y4/3 a lo largo de la hiperbolaxy = c, donde c > 0. Enseguida, demostrar que la desigualdad

4ab≤ a4 +3b4/3

es valida para a > 0, b > 0 cualesquiera.

7.3. Dada la funcion f (x,y,z) = x2− y2 + z2 sujeta a la restriccion x+2y+3z = 1:

(a) utilizar el metodo de los multiplicadores de Lagrange para obtener los puntos crıticos;

(b) si (16 ,−1

3 , 12) es un punto crıtico para el multiplicador λ = 1

3 , determinar, usando hes-sianos o mediante el desarrollo de Taylor, si se trata de un maximo, un mınimo, o unpunto de ensilladura.

7.4. La suma de tres numeros positivos es 120.

(a) ¿Cual es el mayor valor posible de su producto?

(b) Verificar por el metodo de la segunda derivada que este producto es efectivamente unmaximo.

7.5. Usted debe construir una caja rectangular sin tapa con materiales que cuestan /c 50000el metro cuadrado para el fondo y /c 75000 el metro cuadrado para los otros cuatro lados. Lacaja debe tener un volumen de 1500 metros cubicos. ¿Cuales deben ser las dimensiones de lacaja para que su costo sea mınimo?

7.6. Utilizando el metodo de los multiplicadores de Lagrange, determinar los puntos crıticosde la funcion f (x,y,z)= 2x+3y+z, sujeta a la restriccion 4x2+3y2+z2−20 = 0; e identificarsu naturaleza.

7.7. Para la funcion f (x,y,z) = xyz restringida al plano x + y + z = 9, encontrar sus puntoscrıticos y clasificarlos en maximos y mınimos relativos o puntos de ensilladura.

7.8. Usando el metodo de los multiplicadores de Lagrange, determinar los puntos crıticosde f (x,y,z) = −x4− y4− z4 sujeta a la restriccion x− y + z− 6 = 0. Clasificar estos puntoscrıticos ligados como maximos relativos, mınimos relativos o puntos de ensilladura.

7.9. Si la funcion u = (x+ y)z se restringe a la superficie

1x2 +

1y2 +

1z2 = 4 en el octante x > 0, y > 0, z > 0,

encontrar y clasificar todos los valores extremos de u, mediante el metodo de los multipli-cadores de Lagrange.

Edicion del 2009


7.10. Calcular, usando el metodo de los multiplicadores de Lagrange, los puntos crıticos def (x,y,z) = xyz en la superficie de la esfera x2 + y2 + z2 = 1. Escoger dos de estos puntos ydescribir su naturaleza.

7.11. Usando multiplicadores de Lagrange, calcular y clasificar los extremos de la funcionf (x,y,z) = x2 + y2 + z2 sujeta a la condicion 1

4x2 + 19y2 + z2−1 = 0.

7.12. Determinar los puntos crıticos de la funcion f (x,y,z) = xy+ xz+ yz bajo la restriccionx2 + y2− z2−1 = 0; e identificar su naturaleza (maximos, mınimos o puntos de ensilladura).

7.13. Encontrar los puntos crıticos de la funcion f (x,y,z) = xy + 3xz + 3yz, restringida a lasuperficie 2x2 +2y2−3z2−4 = 0. Indicar la naturaleza de esos puntos crıticos.

7.14. La funcion f (x,y,z) = 4xy + 4xz + 4yz, con la restriccion 4x2 + 4y2− z2 = 1, poseeexactamente dos puntos crıticos ligados. Encontrar y clasificar esos puntos.

7.15. La interseccion de la esfera x2 + y2 + z2 = 81 con el plano x+ y+ z = 15 es un cırculo.Encontrar el maximo y el mınimo valor de la funcion f (x,y,z) = xyz en este cırculo, identifi-cando todos los puntos en donde xyz alcanza uno de esos extremos.

7.16. Demostrar, usando el metodo de los multiplicadores de Lagrange, que f (1,1,−1) yf (−1,−1,1) son valores extremos de la funcion f (x,y,z) = x2 + y2 + z2 sujeta a las condi-ciones z(x+ y) =−2, xy = 1. Determinar la naturaleza de estos extremos.

7.17. Encontrar los valores maximo y mınimo absolutos de la funcion f (x,y,z) = x + y + zsujeta a las restricciones x2 + y2 = 2, x+ z = 1.

7.18. La interseccion del cono z2 = x2 +y2 y el plano 3x+4y+6z = 11 es una elipse. Usar elmetodo de los multiplicadores de Lagrange para hallar los puntos de esta elipse mas cercanosy mas lejanos al origen.

8 Integrales dobles

8.1. Calcular la integral∫∫

R(x+y)dydx donde R es la region limitada por las curvas y2 = 2x,

x+ y = 4, x+ y = 12.

8.2. Expresar como integral doble y luego calcular el volumen del solido T limitado por losparaboloides z = x2 + y2, z = 4x2 +4y2, el cilindro y = x2, y el plano y = 3x.

8.3. Calcular I :=∫

π/2

−π/2

∫π/2

−π/2sen |x+ y|dydx.

8.4. Calcular el valor de I :=∫

π

0

∫π

0|cos(x+ y)|dydx.

8.5. Evaluar la integral doble I =∫ √

π

0

∫ √π

xsen(y2)dydx.

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8.6. Con x > 0, evaluar la integral doble

I =∫ 2

1

∫ logx

0(x−1)

√1+ e2y dydx.

8.7. Dada la expresion integral

I =∫∫

R

√1+ e2y dydx =

∫ 1

0

∫ 4

0

√1+ e2y dydx+

∫ e4

1

∫ 4

logx

√1+ e2y dydx,

(a) dibujar la region R de integracion;

(b) cambiar el orden de integracion a dxdy, luego calcular el valor de I. [[ Indicacion:recordar que

∫ √1+u2 du = log(u+

√1+u2)+C. ]]

8.8. Dada la integral doble I :=∫ a

c

∫ b

ba

√a2−x2

f (x,y)dydx donde c < a, dibujar la region de

integracion y expresar el resultado que se obtiene al cambiar el orden de integracion.

8.9. Para la integral doble∫ 2a

0

∫ √4ax√

2ax−x2f (x,y)dydx, donde a > 0,

(a) dibujar la region de integracion;

(b) expresar el resultado obtenido al cambiar el orden de integracion.

8.10. Dada la suma de integrales dobles:

∫ 3

0

∫ 5+ 53

√9−y2

5− 53

√9−y2

f (x,y)dxdy+∫ 0

−6

∫ 5+ 25√6(y+6)

5− 25√6(y+6)

f (x,y)dxdy,

dibujar la region de integracion y luego escribir la nueva expresion que resulta de cambiar elorden de integracion dxdy en el orden dydx.

8.11. Dada la siguiente suma de integrales dobles:∫ 0

−1

∫π

arccosyf (x,y)dxdy+

∫ 0

−1

∫ 2π−arccosy

π

f (x,y)dxdy+∫

π

0

∫ 3π/2

y+π/2f (x,y)dxdy,

dibujar la region de integracion y mostrar la expresion que resulta de cambiar el orden deintegracion.

8.12. Dada la integral doble

I =∫

π

0

∫ 4+senx

3− 12π2 (x− π

2 )2f (x,y)dydx,

(a) dibujar la region de integracion;

Edicion del 2009


(b) escribir la suma de integrales que resulta al cambiar el orden de integracion.

8.13. Para la integral doble

I :=∫

π/2

0

∫ sen2x

x2− π

2 x+π−4f (x,y)dydx,

dibujar la region de integracion y expresar el resultado que se obtiene al cambiar el orden deintegracion.

8.14. En la integral doble

I :=∫ 2π

0

∫ 3+cos2x

cosxf (x,y)dydx,

dibujar el area de integracion y luego expresar el resultado de las integrales que resultan alcambiar el orden de integracion.

8.15. Evaluar la integral doble ∫ a

0

∫ √ax−x2

0

adydx√a2− x2− y2

,

donde a > 0, con un cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas polares.

8.16. Calcular el area encerrada por la curva (que se llama cardioide) cuya ecuacion en coor-denadas polares es r = 1+ cosθ .

8.17. Usando coordenadas polares e integrales dobles, calcular el volumen del “cono dehelado” limitado superiormente por la semiesfera x2 + y2 + z2 = 96, z ≥ 0 e inferiormentepor el semicono 5x2 +5y2− z2 = 0, z≥ 0.

8.18. Con el uso de coordenadas elıpticas x = ar cosθ , y = br senθ , calcular la integral

I =∫∫

R

(x2

a2 +y2

b2

)3/2

dxdy,

donde R es el interior de la elipsex2

a2 +y2

b2 = 1.

8.19. Calcular I =∫∫

R(x+y)ex−y dxdy, donde R es el rectangulo acotada por las cuatro rectas

x+ y = 1, x+ y = 4, x− y =−1, x− y = 1.

8.20. Calcular la integral doble∫∫

R2ydxdy, si R es la region del primer cuadrante limitada

por las rectas y = 12x, y = 2x, y por las hiperbolas xy = 2, xy = 8, mediante el cambio de

variable u = xy, v = y/x.

Edicion del 2009


8.21. Determinar el area de la region en el primer cuadrante acotada por las curvas

y = x2, y = 2x2, x = y2, x = 4y2,

mediante el cambio de variables u = y/x2, v = x/y2.

8.22. Sea R la region limitada por las cuatro hiperbolas xy = 2, xy = 5, 4x2 − y2 = 2,4x2− y2 = 6. Mediante la transformacion de coordenadas u = xy, v = 4x2− y2, calcular

I =∫∫

R(4x2 + y2)3 dxdy.

8.23. Usar el cambio de variables u = x2 + y2, v = x2− y2 para calcular la integral doble

I :=∫∫

S(x5y− xy5)dxdy,

donde S es la region determinada por 25 ≤ x2 + y2 ≤ 36, 4 ≤ x2 − y2 ≤ 9 en el primercuadrante x≥ 0, y≥ 0.

8.24. Mediante una transformacion conveniente de coordenadas, encontrar el area de laregion limitada por las curvas

xy = 4, xy = 8, xy3 = 5, xy3 = 15,

en el primer cuadrante del plano xy.

8.25. Calcular el area de la region en el primer cuadrante del plano xy, limitada por las dosrectas y =

√3

3 x, y =√

3x y por las dos hiperbolas xy = 1, xy = 2.

8.26. Utilizando un cambio de variables adecuado, calcular la integral∫∫R

xy(y+2x2)dxdy

donde R es la region encerrada por las curvas y = x2 +1, y = x2 +3, xy = 1, xy = 3.

8.27. Sea R la region dentro del cırculo x2 + y2 = 1, pero fuera del cırculo x2 + y2 = 2y, conx≥ 0, y≥ 0.

(a) Dibujar esa region.

(b) Sean u := x2 +y2, v := x2 +y2−2y. Dibujar la region S en el plano uv que correspondea R bajo ese cambio de coordenadas.

(c) Calcular∫∫

Rxey dxdy usando ese cambio de coordenadas.

8.28. Sea R la region en el primer cuadrante acotada por los cırculos

x2 + y2 = 2x, x2 + y2 = 6x, x2 + y2 = 2y, x2 + y2 = 8y.

Usar la transformacion u =2x

x2 + y2 , v =2y

x2 + y2 para evaluar la integral∫∫

R

dxdy(x2 + y2)2 .

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9 Integrales triples

9.1. Expresar mediante una integral triple en coordenadas cartesianas el volumen del solidolimitado por las superficies x2 + y2 + z2 = 20, z = 0, x− y2 = 0; con z≥ 0, x≥ y2.

9.2. Calcular la integral∫∫∫

Tdzdydx, donde T es el solido limitado por los paraboloides

z = x2 + y2, z =−5x2−5y2, los cilindros y = 3x2, y =−3x2 y el plano y = x.

9.3. Calcular el volumen∫∫∫

Tdxdydz del solido T limitado por el par de paraboloides

z = x2 + y2, z = 4x2 +4y2, el cilindro y = x2 y el plano y = 3x.

9.4. Calcular la masa del solido T cuya densidad es ρ(x,y,z) = x2y2z2, si T es limitado porel cilindro parabolico x = y2 y los planos x = z, z = 0, x = 1.

9.5. Plantear como suma de integrales iteradas, en cualquier orden de integracion, la integral

triple I =∫∫∫

Tx2 dV , donde T es la piramide limitada por la superficie |x|+ |y|+ z = 4 y por

el plano z = 0.

9.6. Obtener una integral triple, en el orden dzdxdy, que representa el volumen del poliedroen el primer octante limitado por los planos coordenados x = 0, y = 0, z = 0 y por los planosx+ y+ z = 11, 2x+4y+3z = 36, 2x+3z = 24. (No es necesario evaluar la integral.)

9.7. Calcular, usando coordenadas cilındricas, el volumen del cuerpo limitado por la partesuperior de la esfera x2 + y2 + z2 = 2 y el paraboloide x2 + y2 = z.

9.8. Encontrar el volumen del solido de revolucion z2 ≥ x2 + y2 encerrado por la esfera uni-taria x2 + y2 + z2 = 1. [[ Indicacion: Usar coordenadas esfericas. ]]

9.9. Usando coordenadas esfericas, calcular

I :=∫ 3

0

∫ √9−x2

0

∫ √9−x2−y2

0

dzdydx√9− x2− y2− z2

.

9.10. Calcular la integral triple

I :=∫ 3

−3

∫ √9−x2

−√

9−x2

∫ √9−x2−y2

0z√

x2 + y2 + z2 dzdydx,

mediante un cambio de variables a coordenadas cilındricas o esfericas.

9.11. La integral

I =∫

π

0

∫ 4

2

∫ √16−r2

0(16− r2− z2)r dzdr dθ

esta dada en coordenadas cilındricas. Expresarla en coordenadas esfericas.

Edicion del 2009


9.12. Usando coordenadas esfericas, calcular la integral∫∫∫

T

√x2 + y2 dxdydz, donde T es

la bola solida x2 + y2 + z2 ≤ 16.

9.13. Usar coordenadas esfericas para evaluar

I :=∫∫∫

T

dxdydz(x2 + y2 + z2)3/2 ,

donde T es el solido acotado por las dos esferas x2 + y2 + z2 = 4, x2 + y2 + z2 = 9 y elsemicono x2 + y2− z2 = 0, z≥ 0.

9.14. Si el solido T limitado por el paraboloide z = x2 + y2, el cilindro x2 + y2 = 25 y losplanos z = 0 y z = 25 tiene densidad constante ρ , encontrar el momento de inercia de Talrededor del eje z.

9.15. Calcular mediante una integral triple el volumen del solido limitado por las superficiesx2 + y2 = 4, z = 0, z = x− y, con z≥ 0.

9.16. Usar coordenadas cilındricas o esfericas para evaluar la integral

I :=∫∫∫

T(x2 + y2 + z2)dxdydz,

donde T es la region determinada por las condiciones 12 ≤ z≤ 1, x2 + y2 + z2 ≤ 1.

9.17. Considerese la integral triple I :=∫∫∫

T(x2 + y2 + z2)dzdydx, donde T es la region

determinada por las condiciones 1≤ z≤ 2, x2 + y2 + z2 ≤ 4.

(a) Expresar la integral I en coordenadas cilındricas.

(b) Expresar la integral I en coordenadas esfericas.

(c) Evaluar I por cualquiera de las expresiones (a) o (b).

9.18. Hallar el volumen del solido limitado inferiormente por el paraboloide 2az = x2 + y2,con a > 0; y limitado superiormente por la esfera x2 + y2 + z2 = 3a2.

9.19. Encontrar el volumen de la porcion de la bola x2 + y2 + z2 ≤ a2 que queda dentro delcilindro r = asenθ , usando coordenadas cilındricas.

9.20. Calcular el volumen del solido encerrado por la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y envuelto porel cilindro x2 + y2 = 2x.

9.21. Calcular la masa del solido acotado por el cilindro x2 + y2 = 2x y por el semiconoz2 = x2 + y2, z ≥ 0, cuya densidad es dada por ρ(x,y,z) =

√x2 + y2. Obtener tambien las

coordenadas de su centro de masa. [[ Indicacion: Usar coordenadas cilındricas. ]]

Edicion del 2009


9.22. Encontrar el volumen del solido formado por la interseccion de los tubos cilındricosx2 + y2 ≤ 36, x2 + z2 ≤ 36.

9.23. Calcular mediante una integral triple el volumen del solido limitado por las superficiesx2 +2y2 = 2, z = 0, x+ y+2z = 0.

9.24. Usar el cambio de variables x = vcosw, y = vsenw, z =√

u− v2 para calcular la

integral triple I =∫∫∫

Tzdxdydz, donde el solido T es la interseccion del casco esferico

9≤ x2 + y2 + z2 ≤ 16 con el casco cilındrico 1≤ x2 + y2 ≤ 4, con z≥ 0.

9.25. En la integral triple

I =∫ a

0

∫ y

0

∫ z

0e(a−x)3

dxdzdy,

con a > 0, cambiar el orden de integracion dxdzdy al orden dzdydx. Luego evaluar I,usando este ultimo orden.

9.26. Calcular la integral triple

I :=∫∫∫

T

dxdydzx2 + y2 +(z− 1

2)2,

donde el solido T es la bola unitaria x2 + y2 + z2 ≤ 1.

10 Integrales de lınea y de superficie

10.1. Un alambre tiene la forma de un segmento de recta que une los puntos A = (0,1) conB = (1,1), seguido de otro segmento que une B con C = (1,2) y finalmente el segmento deparabola y = x2 + 1 que va del punto C al punto A. Si la densidad del alambre esta dada porρ(x,y) = x, calcular su masa.

10.2. Calcular∫

Cxyds, donde s es la longitud de arco y C es el contorno del rectangulo

|3x|+ |2y|= 12, recorrido una vez en el sentido contrario al reloj.

10.3. Encontrar la masa de un alambre que tiene la forma de la helice x = t, y = cos t, z =sen t, para 0≤ t ≤ 2π , si la densidad en cualquier punto del alambre esta dada por ρ(x,y,z) =|z|.

10.4. Un alambre tiene la forma de la curva x2 + y2 = 1, z = x + y + 6. Calcular la masa deeste alambre, si su densidad esta dada por ρ(x,y) =

√2(1− xy).

10.5. Un alambre tiene la forma de la curva x2 + y2 + z2 = 16, x = y. Calcular la masa delalambre, si su densidad esta dada por ρ(x,y,z) =

√2y2 + z2.

10.6. Hallar la masa de un alambre que sigue la interseccion de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 yel plano x+ y+ z = 0, si su densidad esta dada por ρ(x,y,z) = x2.

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10.7. Calcular∫

Cyzdx + zxdy + xydz, donde C es la porcion de la curva dada por las ecua-

cionesx2 + y2 + z2−2(x+ y+ z) = 26,

xy+ xz− x+ y−3z = 13,

que une el punto A = (−1,−2,−3) con el punto B = (3,4,5).

10.8. Calcular la integral de lınea del campo vectorial ~F(x,y,z) = 2xyz i + x2z j + x2yk a lolargo de la curva

(x−4)2 + y2 + z2 = 16, x+ y− 5√

33

z = 0,

desde el punto O = (0,0,0) al punto A = (2,3,√

3).

10.9. Calcular∫

C~F · d~r, donde ~F(x,y,z) = (3y2z + yex) i + (6xyz + ex) j + 3xy2 k, si C es la

curva~r(t) = (sen t

2 + cos2t−1) i+ t cos t j+ t2 sen t k

que une los puntos A = (0,0,0) y B = (1,−π,0).

10.10. Calcular la integral ∮C

y3− z

dx+x

3− zdy+

xy(3− z)2 dz,

donde C es la curva cerrada 4x2 +5y2 = 7, 3x+2y−9z = 5.

10.11. Calcular la integral de lınea del campo vectorial

~F(x,y,z) = (2xcosy+ zseny) i+(xzcosy− x2 seny) j+ xsenyk

a lo largo de la lınea poligonal que une los cuatro puntos A = (−1− 3,5), B = (−1,4,5),C = (−1,4,8) y D = (2,6,−3), en ese orden.

10.12. Calcular el trabajo ejercido por un campo vectorial de fuerzas

~F := 2xy3z4 i+3x2y2z4 j+4x2y3z3 k,

al mover una partıcula del punto A = (0,0,0) al punto B = (1,1,1), a lo largo de la curva deinterseccion de las superficies

2z3 = x3 + y3, z =x4

2+

x2

4+

y2

4.

10.13. Calcular el trabajo ejercido por el campo vectorial de fuerzas

~F(x,y,z) = 2xyz i+ x2z j+ x2yk

sobre una partıcula que se mueve desde A = (1,−2,3) al punto B = (2,4,−5), a lo largo dela interseccion de la superficie xy+2x−2y = 4 con la superficie 9x2 +4z2− x2z2 = 36.

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10.14. Un campo de fuerzas~F viene dado por la formula

~F(x,y,z) := (x− y) i+(y− z) j+(x− z)k.

Calcular el trabajo realizado al recorrer una vez, en sentido contrario al reloj, el contorno|x|+ |y|= 1, z = y.

10.15. Calcular el area de la elipse recortada del plano 2x + 3y + z = 6 por el cilindrox2 + y2 = 2, z≥ 0.

10.16. Calcular el area de la superficie dada por la ecuacion z = xy que se encuentra dentrodel cilindro x2 + y2 = 8.

10.17. Calcular el area de la porcion del cono z2 = x2 + y2 que se encuentra encima delplano xy y dentro de la esfera x2 + y2 + z2−4y = 0.

10.18. (a) Calcular el area de la porcion del cilindro x2 + y2 = 4y que queda entre los dosembudos del cono x2 + y2 = z2.

(b) Calcular el area de la parte de la superficie conica anterior encerrada por ese cilindro.

10.19. Expresar mediante una integral doble (sin evaluarla), el area superficial de la inter-seccion de un tubo solido de 4 cm de radio que se introduce en angulo recto en otro de 10 cmde radio. Considerese que x2 +z2 = 100 y y2 +z2 = 16 son las ecuaciones de los respectivostubos.

10.20. Obtener la integral doble (con su integrando y sus cotas de integracion, pero sin eva-luarla) que representa el area de la superficie del cilindro y2 + z2 = 4 que queda dentro delcilindro x2 + y2 = 4, con z≥ 0.

10.21. Si la superficie simple S queda parametrizada por~r(u,v) ∈ R3, con (u,v) ∈ R ⊂ R2,comprobar que el area superficial de S puede calcularse por la formula

Area(S) =∫∫

R

√EG−F2 dudv,

en donde E = ‖~ru‖2, F =~ru ·~rv, G = ‖~rv‖2.

11 Los teoremas de Green, Gauss y Stokes

11.1. Usar el teorema de Green para calcular∮

C(x+y)dx+(y−x)dy, donde C es el cırculo

x2 + y2−6x = 0.

11.2. Usar el teorema de Green para calcular∮

C(x2 + y2)dx + xydy, donde C consiste del

arco de la parabola y = x2 desde O = (0,0) a A = (2,4), el segmentos rectilıneo desde A aB = (0,4) y el segmento rectilıneo desde B a O.

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11.3. Por medio del teorema de Green, calcular∮C

y1+ x2 dx+ log(1+ x2)dy

en donde C es el borde del cuadrado de vertices (0,0), (1,0), (1,1) y (0,1), recorrido en elsentido antihorario.

11.4. Usando el teorema de la divergencia (teorema de Gauss), evaluar

I =∫∫

S~F ·~ndS, donde ~F(x,y,z) := x3 i+ y3 j+ zk

y S es la esfera unitaria x2 +y2 +z2 = 1 con sus vectores normales apuntando hacia el exterior.

11.5. Evaluar la integral de superficie∫∫

S~F ·~ndS, si~F es el campo vectorial

~F := xz2 i+(x2y− z3) j+(2xy+ y2z)k,

donde S es la superficie total del solido hemisferico acotado por z =√

25− x2− y2 junto conel plano z = 0.

11.6. Usar el teorema de la divergencia para calcular

I =∫∫

S~F ·~ndS, donde ~F(x,y,z) := x3 i+ y3 j+ z3 k

y~n es un vector normal unitario exterior a la esfera S : x2 + y2 + z2 = 1.

11.7. Verificar el teorema de la divergencia para el campo vectorial

~F(x,y,z) = 2x2y i− y2 j+4xz2 k

definido en el solido del primer octante limitado por y2 + z2 = 9 y x = 2.

11.8. Aplicando el teorema de la divergencia, calcular

I =∫∫

S~F ·~ndS, donde ~F(x,y,z) := x3 i+ y3 j+ z3 k

y S es la superficie total del solido conico x2 + y2 ≤ z2, 0≤ z≤ H, con H > 0.


I =∫∫

S~F ·~ndS, donde ~F(x,y,z) := xz i+ yz j+ z2 k

y ~n es el vector unitario exterior a la superficie que limita al recinto comprendido entre elhemisferio superior de la esfera x2 + y2 + z2 = 2z y la superficie conica x2 + y2 = z2.

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11.10. Usar el teorema de la divergencia para evaluar la integral

I =∫∫

S~F ·~ndS, donde ~F = x3 i+ x2y j+ x2zk,

si S es la superficie cerrada que se obtiene al unir la porcion del cono x2 + y2 = z2 que quedadentro de la esfera x2 + y2 + z2 = 2z, con la porcion de la esfera x2 + y2 + z2 = 2z que quedadentro del semicono z =

√x2 + y2.

11.11. Verificar el teorema de la divergencia para el campo vectorial

~F(x,y,z) := xy2 i+ y3 j+ x2zk,

definido en el solido T determinado por las condiciones 0≤ z≤√

x2 + y2 ≤ 1.[[ Indicacion: Calcular las integrales de superficie con coordenadas cilındricas y la integral devolumen con coordenadas esfericas. ]]


I =∫∫

S~F ·~ndS, donde ~F(x,y,z) := xz2 i+ yz2 j+ z3 k

y ~n es un vector unitario exterior a la superficie que limita al recinto comprendido entre elhemisferio x2 + y2 + z2 = 2x, z≥ 0 y la superficie conica x2 + y2 = z2.

11.13. Aplicando el teorema de Stokes (unicamente), calcular

I =∫∫

Srot~F ·~ndS, donde ~F(x,y,z) := y i+ x j+(y+ z)k,

S es la porcion de la superficie 2x + y + z = 2 situada en el primer octante y ~n es el vectornormal unitaria a la superficie, con componente z no negativa.

11.14. Considerese el campo vectorial~F(x,y,z) = x2 i+ xy j+ z2 k. La curva de intersecciondel cilindro x2 +y2 = 1 con el plano x+y+ z = 1 es el borde de una superficie S. Verificar elteorema de Stokes para el campo vectorial~F sobre esta superficie S.

11.15. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial~F(x,y,z) =−y3 i+ x3 j− z3 k yla curva C formada por la interseccion del cilindro x2 + y2 = 1 y el plano x + y + z = 1. Laorientacion de C corresponde al movimiento antihorario, visto por un observador colocadoen el punto (5,0,0).

11.16. Calcular, por medio del teorema de Stokes, la integral de superficie

I =∫∫

Srot~F ·~ndS, donde ~F(x,y,z) := 2yz i− (x+3y−2) j+(x2 + z)k,

la superficie S es la porcion del cilindro x2 + z2 = 9 dentro del tubo cilındrico x2 + y2 ≤ 9e incluida en el primer octante x≥ 0, y≥ 0, z≥ 0; y~n es el vector unitario normal a S tal que~n · k≥ 0.

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11.17. Usar el teorema de Stokes para calcular∮C

xdx+(x+ y)dy+(x+ y+ z)dz,

donde C es la curva:

x = 4sen t, y = 4cos t, z = 4(sen t + cos t), con 0≤ t < 2π.

11.18. Usando el teorema de Stokes (unicamente), calcular la integral∮

C~F · d~r, donde ~F es

el campo vectorial~F(x,y,z) =−y3 i+ x3 j− z3 k

y C es la interseccion del cilindro x2 + y2 = 1 con el plano x + y+ z = 1, recorrido del modoantihorario, visto desde el punto (0,0,8).

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ejercicios ma 1003

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