En la parte (b), las líneas con Z constante son paralelas a uno de los lados dela región factible. En este caso el valor más grande de Z ocurre cuando la línea conZ constante coincide con tallado. Sin embargo, observe que aún es cierto que el va-lor máximo de Z ocurre cuando la línea pasa por un vértice del polígono de factibi-lidad. En realidad pasa por dos vértices.

Esto sugiere que en lugar de usar una técnica gráfica de resolución de un pro-blema de programación lineal, todo lo que necesitamos hacer es calcular el valor de lafunción objetivo en cada uno de los vértices de la región factible. El más grande deestos valores en los extremos dará el valor máximo de la función objetivo y el máspequeño de ellos dará su valor mínimo. Este método de resolución de tales problemases muy fácil de aplicar cuando sólo hay dos variables, si bien no tiene una ventajacomputacional real sobre el método gráfico. Para más de dos variables, ninguno deestos métodos representa una herramienta práctica en optimización. Por fortuna,existe un método alterno denominado método símplex; dedicaremos el resto de es-te capítulo a su exposición.

_ EJERCICIOS 10-2

1-8)Calculeel valor máximo de la función objetivo Z sujeta are tricciones dadas.

11. Z = x - 2y; x 2= O, Y 2= O, x:S y + 1,x+y2=2

12. Z = x - 3y; O:s x :s 3, y 2= O, X + 2y:S 6,x+y2=5

I.Z= 3x + 2y; x 2= O, Y 2= O, x+y:S5

lZ=3x+4y; x 2= O, Y 2= O, 2x+y:S3

J.Z= 3x + 2y; x 2= O, Y 2= O, 2x + y:s 4,r t 2y :s 5

4.Z = 2(x + y); x 2= O, Y 2= O,6xt 5y:s 17, 4x + 9y:s 17

13. Z = x + 4y; O:s x :s 4, O:s y :s 4,5:Sx+y:S7

14. Z = x - y; X 2= O, Y 2= O, X + Y 2= 4,x+2y:S10

15. Z = x + 2y; x 2= O, Y 2= O, 2x + Y 2= 7,2y-x2=-I, 2x-y2=-3

16. Z = x + y; -t:s y - x :s 2, y + 2x :s 8,y + 4x 2= 7

5. Z = 5x + y; X 2= O, Y 2= O, 3x + y :s 7,r t y :s 3, x + 2y :s 5

6. Z = x + 3y; x 2= O, Y 2= O,2x t 3y :s 6, 2x + Y :s 5, x + 4y :s 6.

17. (Mezcla de whisky) Una compañía destiladora tiene dosgrados de whisky en bruto (sin mezclar), 1 y 1I, de los cua-les produce dos marcas diferentes. La marca regular con-tiene 50% de cada uno de los grados 1 y I1, mientras que lamarca super consta de dos terceras partes del grado 1y unatercera parte del grado Il. La compañía dispone de 3000galones del grado 1 y 2000 del grado II para mezcla. Cadagalón de la marca regular produce una utilidad de $5,mientras que cada galón del super produce una utilidad de$6. ¿Cuántos galones de cada marca debería producir lacompañía a fin de maximizar sus utilidades?

1.Z = 2x - y; X 2= O, Y 2= O, X + Y :s 4,y - X 2= 3, 3x + y 2= 6

~ Z = x + 3y; x 2= O, Y 2= O, y:s x + lr t y 2= 2, 2y 2= X - 1

1-16) Determine los valores mínimos de la función objetivo Z~taa las restricciones dadas.

l. Z = x + y; X 2= O, Y 2= O, X + 3y 2= 6,2xty2=7

10. Z = x + 2y; x 2= O, Y 2= O, X + Y 2= 5,r t 4y 2= 8

18. (Mezclas) Una compañía vende dos mezclas diferentes denueces. La mezcla más barata contiene 80% de cacahuates

SECCiÓN 10-2 OPTIMIZACIÓN LINEAL (ENFOQUE GEOMÉTRICO) 423

y 20% de nueces, mientras que la más cara contiene 50%de cada tipo. Cada semana la compañía puede obtenerhasta 1800 kilos de cacahuates y 1200 kilos de nueces desus fuentes de suministros. ¿Cuántos kilos de cada mezcladeberían producir a fin de maximizar las utilidades si lasganancias son de $10 por cada kilo de la mezcla más bara-ta y de $15 por cada kilo de la mezcla más cara?

19. (Decisiones sobre producción) Una compañía produce dosproductos, A y B. Cada unidad de A requiere 2 horas enuna máquina y 5 en una segunda máquina. Cada unidad deB demanda 4 horas en la primera máquina y 3 en la segun-da máquina. Se dispone de 100 a la semana en la primeramáquina y de 110 en la segunda. Si la compañia obtieneuna utilidad de $70 por cada unidad de A y $50 por cadaunidad de B, ¿cuánto deberá de producirse de cada unidadcon objeto de maximizar la utilidad total? -

20. (Decisiones sobre producción) En el ejercicio 19, supongaque se recibe una orden por 16 unidades de A a la semana.Si la orden debe cumplirse, determine el nuevo valor de lautilidad máxima.

21. (Decisiones sobre producción) Un fabricante produce dosproductos, A y B, cada uno de los cuales requiere tiempoen tres máquinas. Cada unidad de A demanda 2 horas en laprimera máquina, 4 en la segunda y tres horas en la terce-ra. Los números correspondientes a cada unidad de B son5, I Y 2, respectivamente. La compañía obtiene utilidadesde $250 y $300 por cada unidad de A y B, en ese orden. Silos números de horas disponibles en las máquinas al messon 200, 240 Y 190 en el caso de la primera, segunda ytercera máquinas, respectivamente, determine cuántas uni-dades de cada producto deben producirse a fin de maximi-zar la uti Iidad total.

22. (Decisiones sobre producción) En el ejercicio 21, supongaque una repentina baja en la demanda del mercado del pro-ducto A obliga a la compañía a incrementar su precio. Si lautilidad por cada unidad de A se incrementa a $600, deter-mine el nuevo programa de producción que maximiza lautilidad total.

*23. (Decisiones sobre producción) En el ejercicio 21, supongaque el fabricante es forzado por la competencia a reducir elmargen de utilidad del producto B. ¿Cuánto puede bajar lautilidad por unidad de B antes de que el fabricante debacambiar el programa de producción? (El programa de pro-ducción siempre debe elegirse de modo que maximice lautilidad total.)

24. (Decisiones sobre inversión) Un gerente de finanzas tiene$1 millón de un fondo de pensiones, todo o parte del cualdebe invertirse. El gerente tiene dos inversiones en mente,unos bonos conservadores que producen 6% anual y unos

424 CAPíTULO 10 PROGRAMACiÓN LINEAL

bonos hipotecarios más riesgoso que producen 10% anu~De acuerdo con las regulaciones del gobierno, no másil:25% de la cantidad invertida puede estar en bonos hi¡m.carios. Mas aún, lo mínimo que puede ponerse en bollO!

hipotecarios es de $100,000. Determine las cantidadesil:las dos inversiones que maximizarían la inversión total.

25. (Decisiones sobre plantación de cultivos) Un granjercjene 100 acres en los cuales sembrar dos cultivos. El costollplantar el primer cultivo es de $20 por acre y el del~·gundo es de $40 por acre y dispone de a lo más $3000afmde cubrir el costo del sembrado. La recolección decadaacre del primer cultivo demanda de 5 horas-hombre ya-da acre del segundo cultivo 20 horas-hombre. El granjpuede confiar en un total de 1350 horas-hombre destinada!a la recolección de los dos cultivos. Si la utilidad esiI:$100 por acre en el caso del primer cultivo y de $300¡nacre para el segundo, determine la porción del terrencqadeberá plantarse con cada cultivo a fin de maxirnizar lauIidad total.

26. (Decisiones sobre plantación de cultivos) En el ejerciCIO25, determine la porción del terreno que deberá plantaNcon cada cultivo si la utilidad por concepto del segulllkcultivo sube a $450 por acre.

27. (Planeación dietética) La dietista de un hospital debeerrcontrar la combinación más barata de dos productos,AyB, que contienen al menos 0.5 miligramos de tiaminaysmenos 600 calorías. Cada onza de A contiene 0.12 miligra-mos de tiamina y 100 calorías, mientras que cada onzaeB contiene 0.08 miligramos de tiamina y 150 calorías.Sel costo de cada alimento es de $10 por onza, ¿cuántaso~zas de cada uno deberán combinarse?

28. (Purificación del mineral) Una compañía posee dosminas.P y Q. Cada tonelada de mineral de la primera minaprodu·ce 50 libras de cobre, 4 de cinc y I de molibdeno. Cadannelada de mineral procedente de Q produce 25 librasiI:cobre, 8 de cinc y 3 de molibdeno. La compañía debepro-ducir al menos 87,500, 16,000 Y5000 libras a la sernanaeestos tres metales, respectivamente. Si tiene un costo!k$50 por tonelada obtener mineral de P y $60 por tonela¡\¡extraerlo de la mina Q, ¿cuánto mineral deberá obtenersede cada mina con objeto de cumplir los requerimientosil:producción a un costo minimo?

29. (Costos de distribución) Un fabricante de automóviles¡>.1-

see dos plantas localizadas en D y C con capacidadesiI:5000 Y4000 automóviles por día. Estas dos plantas sunena tres centros de distribución, 0, E YN, que requierende3000, 4000 Y 2000 automóviles por día, respectivamemLos costos de enviar cada automóvil desde cada planta!

o E N

cadacentro de distribución están dados en la tabla 4. Deno-temos con x y y los números de automóviles enviados al díadeladesde la planta D a O y E, respectivamente; determinelos valoresde x y y que minimizan el costo total de fletes.

TABLA 4

D 45e 60

1510

2550

110-3 TABLA SíMPlEX

El método geométrico y el método de inspección de vértices llegan a ser imprácticoscomo métodos de solución de problemas de programación lineal cuando el númerode variables es mayor de dos, y en especial cuando el número de desigualdades esgrande. En el caso de estos problemas más complejos, existe una alternativa, deno-minado el método símplex, que representa una manera natural y económica de calcu-lar los extremos. Describiremos el método símplex en la sección 10-4; en esta sección,esbozaremos ciertas construcciones y operaciones que son básicas en el método.

Suponga que tenemos la desigualdad x + 3y :5 2 que las dos variables x y ydeben satisfacer. Podemos escribir la desigualdad en la forma

2 - x - 3y :2: O.

Si definimos una nueva variable t mediante la ecuación

t = 2 - x - 3y

entonces la desigualdad adopta la forma t :2: O. De esta manera, la desigualdad ori-ginal x + 3y :5 2 es reemplazada por la ecuación y desigualdad siguientes:

x + 3y + t = 2, t :2: O

La variable t introducida en esta forma se denomina variable de holgura. Larazón de este nombre es que t es igual a la cantidad por la cual x + 3y es menor que2, esto es, t mide el grado de laxitud de la desigualdad dada x + 3y :5 2. Las varia-bles originales en un problema de programación lineal, tal como x, y se denominanvariables estructurales o variables de decisión.

La primera etapa al usar el método símplex es introducir variables de holgurade modo que cada desigualdad en el problema se cambie a una igualdad de tal ma-nera que todas las variables de holgura sean positivas.

EJEMPLO 1 Suponga que un problema de programación lineal conduce al sistemade desigualdades

X :2: O, 0:5 Y :5 1.5, 2x + 3y:5 6, x + y :5 2.5.

Introducimos las variables de holgura

t = 1.5 - y, u = 6 - 2x - 3y, v = 2.5 - x-y.

Se sigue que las cinco variables (x, y, t, u Y v) satisfacen las desigualdades

x :2: O, Y :2: O, t :2: O, u :2: O, v:2: O

SECCiÓN 10-3 LA TABLA SíMPLEX 425

REPASO DEL CAPíTULO 10

Términos, símbolos y conceptos importantes

10.1 Desigualdad lineal, gráfica de una desigualdad lineal.

10.2 Problema de programación lineal. Restricción, funciónobjetivo.Solución factible, región factible.Recta de indiferencia.

10.3 Método símplex. Variable de holgura, variable de deci-sión (o de estructura).Forma estándar de un problema de programación lineal.

Solución básica, solución básica factible (o vértice).Tabla símplex. Base.Pivoteo, variable que entra, variable que sale.

10.4 Indicadores. Elemento pivote.Procedimiento paso a paso del método símplex.Condiciones para seleccionar las variables que enll1lsalen.Condición de terminación,Variable artificial, método de penalización.

EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPíTULO 10

1. Establezca la veracidad o falsedad de cada una de las pro-posiciones siguientes. Reemplace cada enunciado falso poruna proposición verdadera.

3. La gráfica de una desigualdad lineal es una línea a tra-zos si la desigualdad es débil y una línea continua si ladesigualdad es estricta.

b. Si Y - 2x ~ 1, entonces 2x - Y ::5 l.

c. Si Y - 3x ::5 2, entonces 3x - y > 2.

d. Si Y > a y x > b, entonces y - x > a-b.

e. Si Y > a y x < b, entonces y - x > a-b.

f. Si Y - x > a - b, entonces y > a y x < b.

g. Si x < a y y < b, entonces x + y < a + b.

h. 4x - 2y> 6 es equivalente a -2x + Y > - 3.

(2-4) Dibuje las gráficas de los conjuntos de desigualdades si-guientes.

2. x ~ O, Y ~ O, x + y ::5 4, x + 2y ::5 6

3. l ::5 x ::5 5, 2::5 Y ::5 5, 2x + Y ~ 5, 3x + 2y ::5 20

4. O ::5 Y - X ::5 6, x + 2y ~ 4, x + y ::5 10, x ~ O

(5-12) Resuelva cada uno de los problemas siguientes de pro-gramación lineal:

a. Por medio del enfoque geométrico

b. Usando el método símplex

444 CAPíTULO 10 PROGRAMACIÓN LINEAL

5. Maxirrúce Z = 5x + 7y sujeta a las condiciones r ~y ~ O, 3x + 2y ::5 7 Y 2x + 5y ::5 12.

6. Maximice Z = 2y - x sujeta a las condiciones x;:O: O"O, x + y ::5 5 Y x + 2y ::5 6.

7. Determine el valor máximo y mínimo de Z = x - y su'a las condiciones del ejercicio 5.

8. Minimice Z = 4y - 3x sujeta a las condiciones x;:O: O.,O, 3x + 4y ::5 4 Y x + 6y ::5 8.

9. Maxirnice Z = 3x - y sujeta a las condiciones 2 :5 X S

Y ~ O Yx + y ::5 6. (Sugerencia: Sea x - 2 = z.)

10. Maximice Z = x + 2y sujeta a las condiciones z > O,yO, 2y - x ~ - 2 Y 4y + x ::5 9.

11. Minimice Z = 2y + x sujeta a las condiciones x ;:o: O.yO, -y + x ~ - 1 Y 3y - x ~ -2.

12. Maximice Z = 3y + x sujeta a las condiciones x;:O: O.)O, 5y - x ~ - 5, Y - x ::5 2 YY + 2x ::5 4.

(13-15) Resuelva cada uno de los problemas siguientes degramación lineal por el método símplex.

13. Maximice Z = x + 3y + 4z sujeta a las condicionesy, z ~ O, x + y + z ::5 4, 2x + y + 2z ::5 6 Y 3x + 2yz ::5 8.

14. Maximice Z = x - 2y + 2z sujeta a las condiciones r.z0,2::5 Y ::5 5, x + 2y + Z ::5 14 Y 2x + y + 3z -s 14. (Vla sugerencia del ejercicio 9).

15. Calcule los valores máximo y mínimo de Z = x + 2y-sujeta a las condiciones x + y + Z ::5 8, x - y + 2, s2x + y - 3z ::5 4 Yx, y, z ~ O.