ejercicios de primaria
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4.t-ü" üeometría
(ireuin
Unión epara{stas
Rectángul*sn* reetángul*s
Ta*,.JoLl TlrnÁ¿ffi.
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Minister io e Educacion CulturaConsejoNacional e Educación
Consejo e Educación r imaria
MATEMATICA
GEOMETRIA
TEXTOPARA50AÑODE EDUCACIÓN RIMARIA
--- ' '1: : : -4
-=:------ fi : :.:tet{ , , ' . . ?, ",.*nr
-s 't
=_-. l
1980
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PERIMETROE¡.CIRCULO
Si quieres onocer a longitud ue recorre narueda l dar unavuelta ompleta, ebescalculara medida e la circunferencia
o seael perímetro elcírculo.
Para al lar ichamedida uedes roceder sí:
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1) Trazagncartón nacircunferqnciae2 cm de radio.
.2) Recortaea gura uequedódeterrhinada.
3) Conslderasn puntoD de acircunferencia.
4) EnunahoJa e papel razas nasemirrectaeorigenA.
5) Colocasa gura ecortadae modoquecoincidanospuntosAvD.
6) Haces odar a gura obre asemirrectaasta ueel puntoDcolnclda uevamenteon un puntode dichasemirrecta,neste aso .Obtlenes bfel segmento E Aq.
7) Sobre stesegmento a part i r e lpuntoA, ut i l i zando l com-pás, ransportasl diámetro.
Al segmentoAE lo l lama-mos ongitud e la circun-
ferencia ada.
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Observa ue el ÁE contiene vecesmenor uedichodiárnetro.
el diámetro sooraF_l
BEN
Esdecir ue:
Lamedida e ra ongi tud e racircunferencia,omando rdiáme_trocomounidad, sunrrúmero ayor ue3 y menor ue4.
o Traza l¡ora nacircunferenciae 6 cmlasact iv idadesndicadasnter iormente.
Compruebasuevamenteue ella longi tud e la circunferenciaqueesmenor ueeldiámetro.
de diámetroy realiza
diámetro stávecesy sobra
contenido nun segmento
Esdecirquesi establecemosacircunferencia su diámetro:
obtenemos n númeroDicha azón s
siemprerencia uese considere.
. razón ntre a longi tud e laLongi tudde circünfeienóia
diámetro---'
mayorque 3 y menorque 4.
la mismacualquieraea a circunfe_
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Esa azón s iguar un número ueaproximadamenteare ,14queserepresentaor a etra r iega t .
E;;;;IL:A::::ii_Por o antopodemos scribir:
Longtuddeci cunferenciadiámetro - =Jf
¡t
i d representa
I . l diámetroI
' otraact iv idad uepuedesearizars rasiguiente:
Traza nacircunferenciae 10cm dediámetro.Determinaa ongitud e tacircunferencia.
Mide a longitud e racircunferenciade su diámetro,o-mando omounidad l mi l ímetro.Establecea razón ntredichasmedidas.
1)
2)3)
4)
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ACTIVIDADESARAREALIZAR NTUCI.JADERNO
1. Halla oselementos ue altan nel siguiente uadro:
DIAM TRO MEDIDA ELACIRCUN ERENCIA
9cm
21,98 m
12,50 m
14,13 m
2. La rueda de una bicic leta iene 0,40 m de diámetro.¿Quédistancia ecorre n 350vuel tas?
3. ¿Cuántosnetros e alambre e necesitarán aracer-carunpotrero e orma ircular e6 m de radio?
4. Sequiere ibetear nmantel e orma ircular e1,Sm, dediámetro 4 servil letase amisma ormade0.12m, d. radio.
i óCuántos etros epunti l la edeben dquir ir?
:5. ' Hal la l número evuel tas uedauna ueda e0,50m
I dediámetro ara ecorrer nadistancia e94,20m.I
I
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-
.
0€
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AREADELC|NCULO
consideremosstospolígonosegularesnscriptos n6 círcu-
los guales.
h-l radiot-t apotema *1
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Al aumentar l número e ladosdelmosque:
pol ígononscr ipto, bserva-
1) Lasmedidas e lasapotemas e los pol ígonos e aproximan
a la medida el radio.Tú puedes omprobarlo.
2) También os perímetros e los polÍgonos e aproximan lalongi tud e aci rcunferencia.
3) Lasáreasde los polígonosnscr iptos e aproximanndefni -damente l áreadelcírculo.
Sabemos ue:
Áreadelpol ígonoegular Perímetro apotema2
Dedonde dmit imos ue:
Areadelcírcu,o_ circunlerenciaradio2
Áreadetcírcuto f!II!2
Simpl i fcandoenemos:
12
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ACTIVIDADESARAREALIZAR NTUCUADERNO
I
3.
4.
l^-^- l ia
Halla l área euncírculo e4,5cmderadio'
;.cuálesel áreadeun círculo uyodiámetromide1m?
Calcula l áreade un círculo abiendo uesu contor '
nomide43,96 m.tadoendrr 2Y n2'Expresa el resulraoo erI ur ir y rrr
.l
En una plazahay un canterode formasemicircular
cuyo adiomide1,75m.
rdedichocantero '
verigua el areaqe
olul luudrrtnr\
U. CumPleassiguientes rdenes:
a) lrazauna ircunferenciae2'5 mde radio'
nl lnscr ibe nel laun pentágonoegular '
c) RaYa ichoPolígono'd) Halta l áreáoe la partedel círculoquequedÓ in
rayar.
Paraesteejercic io a aPo-tema del Pentágonomide
2 cm.
.¡ . : r .$ l 'É r ' J : !a ! ¡
13
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6.r*' Calculael áreade la siguiente gura.
! Expresa l resultado ndm2y cm2.
Hallael áreade laspartes oloreadase lassiguien-tes guras.
7.
al
D}
radio: 4,5cm
diámetro: 10cm
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FIGURAS EOMÉTRICAS
Observa stas gurasgeométricas:
s i los puntospertenecen un mismoplano, eterminan
geométr icaslanas.5i tospuntospertenecendist intos lanos, eterminanen el espacio.
f guras
figuras
.15-
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Consideraremos.algunas gu ascgn el"tp"ó¡o' ói,.r", cuboy cif nJde¿Tétricas
ueocupan n ugar
;[::,:::€uerposo sóridosseométricos ue presentantresdí_
Secfasificanenpofiedros cuerpos edondos.
POLIEDROS
Fíjate nestas epresentacionesdesólidosgeométricos.
6
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Todosestoscuerpos stán imitados orsuperfciesplanas.
ELEMENTOSELPOLIEDRO
Recuerda:
- -cara
vert¡ce
Caras:
Aristas:
son assuperf ic ies lanas ue imitanal pol iedro.
son los segmentos e rectadeterminadosor ta
tersección e dos caras.son los puntosdeterminadosor la inteiseccióntresaristas.
tn-
dB,i,
17 ,
Vért ices:
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De ospol iedros studiaremosl prisma el cubo.
Observa stas guras, l las epresentanrismas'
-t---
Prismarecto Prisma bl icuo
Elprisma Suncuerpo imitado orsuperfciesplanas, Or o tan-to esunpol iedro.
PRISMAS
Prisma ecto:
Prisma bl icuo:
18
las aristas aterales on perpendiculares las
bases.
las aristas aterales o son perpendiculareslas bases.
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Veamos al caracter ist icas el pr ismarecto:
a) Dosde sus carassituadasen*'
óránotParalelos'on lasbases'
Dichasbasesson iguates'
b) Las caras ateralesso.n ec-
tángulos' 'T iene tantas caras aterales
.oto lados ieneel Polígono
de la base'
Las aristas aterales on Per'pendiculares lasbases'
d) La altura es la distanciaen'
tre los Planosde las bases'
c)
1)
2)
Larectaa es Perpendicutar
a losPlanos VF
A y B son osPuntos e nter-
sócciónde la recta a con
ambosPlanos'
3) Elsegmento Bes a
cia entre os Planos
distan'
<v?19
Distancia ntre los
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observaenestospr ismas,Iospo|ígonosqueconst i tuyenlasbases.El pr isma e l lama r iangur lar ,uadrangular,ectangular ,enta-
gona| ,segúnqueIospo| ígonosdesusbasesseantr iángulosóuadactoi,ectánu oso pentágonos'espectivamente'
2A
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a) Unrectángulouecorrespondela superfcie ateral elpr is '
ma.El rectánguloiene por largoel perímetro e la base del
pr ismalenestecasoe|perímetrodelcuadrado)yporanchia medida e la al tura el Pr isma'
b) Dospol igonos uecorrespondenlasbases elpr isma'
AREADELPRISMA ECTO
AREALATERAL ELPRISMA
Traba.iemosonunprismariangular '
Superf ic ie ateral
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como observasasuperfcie ateral elpr isma s asuperfciede
un rectángulo.
Por o tantoel área ateral el prisma s igualal áreadel rectán-
gulo.
Este ectánguloienepor argo l perímetroe abase elprisma
y porancho amedida e aaltura elpr isma'
Áreadel rectángulo largoxancho
AREATOTALDELPRISMA
Obtienes l área otaldel prisma, dicionando l la terale l
área e asdosbases.
área
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. Ejemplo
se recubre on papelun prisma ectode base ectangulare12cm de argo, cm deancho 22cm dealtura.¿Cuántosmzdepapel enecesitarán?
Alat.pr isma= pbxh
Pb-(t+a)2
Pb-(12+8)2-40cm
A fat.prisma= 40x 22 = ggO m z
At prisma= Á lat. + ll,Zn
Ab - lxa
Ab - 12xB = 96cmz
Aza = gG 2 - 1g2cmz
12cm
At prisma=BB0+ 1g2= I OZZ Ñ
ENc\l
4
/.c$"
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. Ejemplo
En un prismade base ectangularonocemosos s iguientes
datos:
base
Parahal lar a al turadel
Arealateral 1056cm z
9cm
15cm
ancho
largo -
prisma ebesProcedersí:
A lat .pr isma Pbx h
h-A lat .pr isma
Pb
Pb = ( l + a)2
Pb=(15+9)2=48cm
h= 1056=Wn'l48
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. Ejemplo3
¿cuánto mide el ancho de la basede este pr isma ectangular?
Datos:
Area otal- 86cmzArea ateral 70 cmzLargode abase 4 crn
Azo
Azo
Ab-
Ab-t
ancho
At-A
86- 70 cm2
lat .
=16
' t6--
XA
=AbI
I
= Scmz
ancho =*=lzñl
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. Veamos troejemploÍ
Consideremos n prismacuyabasees un triángulo ectángulo
escaleno.Para allar l área otalde dichoprisma ebes roceder sí:
A lat.pr isma= Pbx h
Pb = 8 + 6 + 10 = 24cm
A lat.pr isma= 24x 6 = 144cmz
At pr isma= Á lat . + AZO
Ab - bxh2
6x8Ab- 24 cmz2
A2b= 24x2 = 48cme
E
Át prisma 144+ 48= lTffil
27
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CONSTRUCCIONEPRISMAS ECTOS
Para onstruir r ismas ebes roceder sí:
Dibujas n cartur ina t desarrorfoercuerpo eométr ico.Recortasaf gura.Doblas i pr isma or as íneas unteadas.
Engomasasaletas unes omo e ndica l esquema.
1)2)3)
4)
* Ejemplo
Construcciónelpr isma ectanguar
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. Eiemplo
ConstrucciÓnelprisma exagonal
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CUBO
Veamosascaracterísticasel'cubo:
a) Es un prisma ecto.de asecuadrada'
b) Lasaristas aterales on igualesa las aristasde lasbases'
c) Tiene eiscaras uadradas iguales'
.r*30
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LATERAL TOTALELCUBO
Comoobservasa superfcie ateral
f c iede4 cuadradosguales '
Por o tanto:Area ateral elcubo= Area uadrado 4
delcuboes iguala la suPer-
El adodelcua'
drado s aaris-ta delcubo'
superf cie ateral
Area ateral elcubo = (ar istax r ista) - azx4
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t-a superficieotardercuboes iguara rasuperfciede 6 cuadrdos guales.
CONSTRUCCIONELCUBO
Debes eneren cuenta as ndicaciones adaspara aconstruccióndel prisma.
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ACTIVIDADES
1 ConstruYehal lael área otalde:
a) Un prismade basecuadradae 5 cm de lar}o
v 20cmde" ' lT: ' " rectangulare 6 cm de argo'
' ' :::': ';i l;", bcm e rtura IIiIIi11IIi
2.
;xagonal egular e
Construyen prismade bas^e
5":T" 'rdr
rvv" '"
I"*
.ol 'uoo'" 'Yualtura idei ot
' n tesPrismasectos'
Hal lael área atei 'a l e ossigute
;;t los esultadosnmz'dm2Ycrrr '
ALTURA
LADO1,50m
ÁáóóJAÑóHó
z,sdm\75 m_t__--,-
CUERPO
PRISMA EBASE
CUADRADA
PRISMA EBASE
RECTANGULAR
PRISMADE BASE
TRIANGULAR
REGULAH
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4...-*--"-.-
......"-.
..--...***.- "*-.-",..-Halla l área otalde ossiguientes rismasectos. I
, ii
i
;
LADCI APOTEMA
PRISMA EBASEHEXAGONAL
REGULAR4dm 3,48dm 1,80m
PRISMA EBASEPENTAGONAL
REGULAR5cm 3,45 m 1,2 m
5. Sedesean evocarasparedes el techode unaha-bi tación e 4 m de largo, m de ancho 2,5m dealtura.¿Cuántos 2 se deben evocar i la puerta la ven-tanaocupan ,30m e?
6. I Hal lael área otal de una planchade mármolque mi-i Oe 1.75m de largo,60cm de anchoy 3 cm de altura.
.7.Averiguaiaa|turadeunprismacuadrangu|arcuya
i áreaateral s de 304cmz y ei ladode la base'mide cm. Ii_.._-__._.* "_.-. ..*i
J4
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8.
L
10.
12.
11.un cubosi la sumade sus
¡
15 cm
35
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CUERPOSEDONDOS
Observa stossÓlidos eométricos:
Todos stos uerpos stán imitados orsuperfciescurvas'
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CILINDROl rectángulo F G H quegiraalredt9.911t].1:9"^:I
El ladoFG al girarunivuelta completa' doptadiferentes osl '
ciones.
Cada una de estas
posicioneses una
generatdz el cilindro'El lado FG al girar
unavueltacomPleta,
determina na super'
ficiecurvaque se de-
nomina superf cie
cilíndrica.
AsuvezlosladosEFyHGdeterrninandoscírculossi tuadoseplanos aralelos,u" áon asbases elsÓlido ngendrado'
Lasbasesson igualespor ser guales os segm"nt* EF y HG
. t(radios e oscírculos) '37
_._,
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Laalturadelcil indroes ladistgncia ntre osplanos e las bases.
Por o tanto:
Observa stas .guras:
Cil indro ecto Ci l indroobl i0uo
Cilindro ecto: lasgeneratriceson perpendiculareslas bases.
Cilindro blicuo: las generatrices o son perpendicula-
3gres a las bases.
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DESARROLLOEL
CILINDRO
Consideremosn ci l indro ectoreal izadc n cartul ina
( f gura 1) ' , -^ rao haeoq v cortamos la superf c ie la-Lñ ¿rseparamosasbases coteral oruna e u' gtntttatr icesf gura )'
tr in 2
39
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si extendemosobre rpranoasuperf ic ieerci f indroobtenemostdesarrol loefmismo.
Fíjate n ta igura.
Enel ladist ingues:
a) un. ectángulo uecorresponde lasuperf icieateraldelci l indro.El rectánguroienepor rargo arongitud e racircun-ferencia e rabasedercir indro. or ancho amedidade aaltura elci l indro.
Superf icie lateral
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AREADELCILINDRO
AREALATERAL ELCILINDRO
Comoobservasasuperfcie ateral elci l indro s la su-perfciedeun rectángulo.Por o tantoel área ateral el ci l indroes igualal áreadel rectángulo.
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Este ectánguloienepor argo ala base elc i l indro porancho a
Iongitud e la circunferenciaemedida e laaltura elmismo.
Area ectángulo lx a
Area ateral i l indro= longitud ecircunferenciah
. Ejemplo:
diámetro 7 cm
altura '18cm
Alat.c i l indro jrxdxh
A lat.ci l indro= 3,14 T x 1g =f3g5$r--;m7j
42
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AREATOTALDELCILINDRO
obtienesel área otal del cilindroadicionando l área ateralel
áreade lasdos bases.
Área otáldelci l indro= Área ateral+ Área2 bases
Áreabase= Íxr l
Área2 bases= 2x If xr2
. Ejemplo:
Atci l indro= Álat. + Ázv
Átci l indro= l( xdxh + 2x Txrz
Álat ,= l(xdxh
Á tat.= 3,14 2,50 o,8o= 6,28m2
Áb = lfxr2
Áb = 3,14x1,252 4,90625 z
Azo- 4,906252 - 9,8125mz
E
-;
43Át ci l indrs= 6,2g+ 9,8125 16,0925 z
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CONSTRUCCIONELCILINDRO
Para onstruir i l indros ebes eneren cuenta as ndicacionesdadaspara aconstrucción e prismas.
14
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AC
Halla lárea ateral e ossiguientesi l indros.
Expresaos resultados nm2,drT'ly cmz.
2. Hal la l área otalde lossiguientesi l indros.
DIAMETRO RADIO CIRCUNFERENCIA ALTURA
a 20mm 18cm
b 1,75m 1,75m
c 251,20m 2,75m
TIV¡DADES
1.
I
3. :r Para intar napared euti l iza n rodi l lo e2bcm de
" largo 3,5cmde radio.i Calcula a superf ic ie e paredque se pintaen cadavuel ta.
45
DIAMETRO RADIO CIRCUN-FERENCIA
a 1,80m*m
b 5cm 1,25 m
9,42 m 6cm
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5.
4.,Consideraossiguientesi l ndros:
diámetro: 8 cm altura: 5 cm
¿Cuáldeosdos ienemayoráreaateral?
La superf ic ie ateralde esteci l indro e de-coracon 6 cuadradosde 1,5cm de lado.Calcula a superf ic ietotal del c i l indroquequeda ibre.
dlán
al t .
-=3cm
CM
E
7 crn