einige grundlagen der magnetischen nahfeld -kopplung · magnetisches moment wir verändern ein...
TRANSCRIPT
Einige Grundlagen der magnetischen Einige Grundlagen der magnetischen NahfeldNahfeld--KopplungKopplung
Vorlesung RFID SystemsMichael GebhartTU Graz, Sommersemester 2011
Seite 2RFID Systems
InhaltInhalt
Überblick
Methode des Magnetischen Moments
Biot-Savart Gesetz zur Bestimmung der H-Feldstärke
Koppelsystem:Induzierte Spannung, Induktivität, Gegeninduktivität, Koppelfaktor
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Seite 3RFID Systems
ÜberblickÜberblick
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Seite 4RFID Systems
Energieübertragung im NahfeldEnergieübertragung im Nahfeld
Die Energieübertragung erfolgt bei induktiv gekoppelten Systemen im Nahfeld fast ausschließlich durch das H-Feld, welches stromdurchflossene Leiter umgibt, und Spannungen und Ströme in benachbarten Leitern induziert.
Die freie Ausbreitung einer elektromagnetische Welle ist im Nahfeld einer Schleifenantenne noch nicht gegeben, und das E-Feld ist im Vergleich zum H-Feld sehr schwach. Hinzu kommt eine Phasenverschiebung zwischen E- und H-Komponente, sodass sich eine komplexe Wellenimpedanz ausbildet und durch die EM Welle größtenteils Blindleistung übertragen wird.
Die H-Feld-Komponente nimmt zudem im Nahfeld mit 1/d3 (- 60 dB/Dek.) ab, während im Fernfeld bei freier Wellenausbreitung sowohl H-Feld-Komponente, als auch E-Feld-Komponente mit 1/d1 (-20 dB/Dek.) abnimmt.
Da die Grenzwerte für die zulässige Feldstärke der Abstrahlung bei konstanter Distanz gemessen werden, die bei 13,56 MHz bereits im Fernfeld liegt, hat die Verwendung des H-Feldes im Nahfeld den Vorteil, dass bei kleinen Abständen relativ hohe Leistung vom Reader an den Tranponder übertragen werden kann.
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Seite 5RFID Systems
Modelle für HModelle für H--FeldstärkeFeldstärke
Es gibt im Wesentlichen zwei Modelle, die zur analytischen Berechnung der H-Feldstärke verwendet werden können:
Magnetisches Moment
Diese Methode wurde von Heinrich Hertz als Analogie zum Dipolmoment für die Berechnung des E-Feldes entwickelt. Sie liefert gute Ergebnisse für das Fernfeld bzw. für eine ausreichend große Distanz zur Sendeantenne, deren genaue Geometrie nicht berücksichtigt wird.
Biot-Savart-Gesetz
Diese Methode berücksichtigt genau die Geometrie der stromdurchflossenen Sendeantenne und liefert gute Ergebnisse für die Abstrahlung im Nahfeld. In der originalen Formel wird die elektromagnetische Wellenausbreitung nicht berücksichtigt.
Die Formel lässt sich jedoch so erweitern, dass sie im Nahfeld und im Fernfeld gute Ergebnisse liefert.
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Seite 6RFID Systems
Methode des Magnetischen MomentsMethode des Magnetischen Moments
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Seite 7RFID Systems
Magnetisches MomentMagnetisches Moment
Wir verändern ein wenig die historische Reihenfolge, und beginnen mit der Methode des Magnetischen Momentes. Sie wurde von Heinrich Hertz eingeführt und erlaubt, die elektromagnetische Welle ausgehend von einer von Wechselstrom durchflossenen Schleifenantenne in Analogie zu einer elektrischen Dipol-Antenne zu beschreiben. Im Fernfeld sind die Eigenschaften einerelektromagnetischen Welle gleich, ob sie nun von einem Dipol, oder einer Schleife erzeugt wurde. Auch viele Eigenschaften des H-Feldes und des E-Feldes im Nahfeld-Bereich lassen sich mit diesem Modell gut herleiten und zeigen.
Insbesondere kann es für die RFID-Technik dann nützlich sein, wenn es darum geht, allgemeine Beziehungen unabhängig von einer speziellen Antennengeometrie aufzustellen (Kopplung, Rückwirkung zwischen Readern und Transpondern unterschiedlicher Bauformen...). Jedoch versagt das Modell des magnetischen Moments in unmittelbarer Nähe zum Antennenleiter, da eben kein Leiter vorhanden ist. Um hier die Eigenschaften richtiger zu betrachten, geht man besser wieder zurück zum Biot-Savart-Gesetz, das in seiner (später durch Wheeler u.A.) um das Retardationspotential erweiterten Form nicht nur im Nahbereich, sondern auch im Fernfeld richtig ist.
Gewinn einer kleinen Loop-Antenne in xy für das Fernfeld.
x
y
z
S c h le if e n -
a n te n n e
D ip o l-
a n te n n e
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Seite 8RFID Systems
Magnetisches MomentMagnetisches Moment
Das magnetische Moment ergibt sich aus Geometrie mal Strom.
Für eine geschlossene Leiterschleife beliebiger Form in der Ebene ergibt sich das Moment als Strom mal der vom Leiter umschlossenen Fläche.
Noch allgemeiner, für beliebige Stromverteilung im Raumvolumen, ergibt sich
bei rechteckiger Antenne
( ) IrNAINmd ⋅=⋅⋅= π2r ( ) IblNAINmd ⋅⋅=⋅⋅=r
∫⋅= AdImd
rr
dVJrmd
rrr×⋅= ∫2
1
Praktisch ergibt sich damit für den Betrag des Moments einer ebenen Antenne
bei kreisrunder Antenne
mit ( ) Φ= dddrrdV θθsin2
Vektor von Ursprung zum Volumselement
Raumvolumen-Element (Kugelkoordinaten)
rr
vJvr
ρ= Stomdichte (mal Geschwindigkeitsvektor)
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Seite 9RFID Systems
HH--Feld ausgedrückt durch magnet. MomentFeld ausgedrückt durch magnet. Moment
++−+Φ
+= θθθ
π
)DD)DD
D
rr
sin1cos24 2
2
2
2
2 rj
rrj
rr
mH d
Φ
−
⋅=
)D
D
rv
θπ
µsin1
4 2
0
rj
r
mcE d
H
EZ =
z
x
y
H
E
r
θ
Φ
I
Raumpunkt
Stromdurchflossene
Leiterschleife
0
Die H-Feld-Komponente und die E-Feld-Komponente ergeben sich aus dem magnetischen Moment (einer stromdurchflossenen Leiterschleife) für einen beliebigen Raumpunkt in Kugelkoordinaten zu
Das Verhältnis von E-Feld zu H-Feld ist die Feld- oder Wellen-Impedanz
mitπ
λ
2=D bezogene Wellenlänge
(radian wavelength)
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Seite 10RFID Systems
Besondere AntennenBesondere Antennen--OrientierungenOrientierungen
Koaxiale Orientierung:
Die Mittelpunkte beider Antennenleiter liegen auf der gleichen Achse normal auf die Leiterbahnebene
Koplanare Orientierung:
Beide Antennenleiter liegen in der selben Ebene.
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Seite 11RFID Systems
HH--Feld und EFeld und E--Feld bei koplanarer OrientierungFeld bei koplanarer Orientierung
++−=
rj
rr
mH d DD
D
rr
2
2
21
4π
( )( ) 1sin
0cos90
=⇒
=⇒≡
θ
θθ
−
⋅=
rj
r
mcE d D
D
rr
14 2
0
π
µ
Koplanare Orientierung:
Der Winkel zur Flächennormalen z ist Null.
Es entfällt somit der Kosinus-Anteil der H-Feld-Komponente und es bleibt eine vereinfachte Komponente für H- und für E-Feld.
Seite 12RFID Systems
Feldimpedanz bei koplanarer OrientierungFeldimpedanz bei koplanarer Orientierung
Da E und H ungleich Null sind, läßt sich die Feldimpedanz berechnen. Dazu nehmen wir einmal den Betrag des H-Vektors und des E-Vektors an:
4224
22
22
2
2
2
1
4
14
DDD
DD
D
rr
+−=
=
+
+−=
rrrr
m
rrr
mH
d
d
π
π
( )
22
2
0
2
2
2
0
1
4
14
DD
D
D
rr
+⋅
=
=
−+
⋅=
rrr
mc
rr
mcE
d
d
π
µ
π
µ
( )4224
34
0
2
20
2
2
2
2
0
1
1
14
14
rr
jrrZ
rj
r
rj
Z
rj
rr
m
rj
r
mc
H
EZ
d
d
+−
+=
==
++−
−
⋅=
=
++−
−
⋅
=
==
DD
D
KDD
D
DD
D
D
D
π
π
µ
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Seite 13RFID Systems
Feldimpedanz bei koplanarer OrientierungFeldimpedanz bei koplanarer Orientierung
Daraus kann man nun den Realteil und den Imaginärteil von Z bilden.
Der Betrag von Z ergibt sich wiederum aus beiden Anteilen durch
( )( )4224
4
0Rerr
rZZ
+−=
DD
( )( )4224
3
0Imrr
rZZ
+−=
DD
D
( ) ( )
( )4224
66
0
22 ImRe
rr
rrZ
H
EZZZ
+−
+=
==+=
DD
D
0.01 0.1 1 100.01
0.1
1
10
100
1 .103
Real & Imaginärteil der Wellenimpedanz
Distanz über bezogene Wellenlänge
Imped
anz
in O
hm
377 Ohm
ImaginärteilNahfeld-Impedanz
RealteilNahfeld-Impedanz
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Seite 14RFID Systems
Wellenimpedanz bei koplanarer OrientierungWellenimpedanz bei koplanarer Orientierung
Der Betrag von Z ergibt sich wiederum durch aus beiden Anteilen durch
( ) ( )
( )4224
66
0
22 ImRe
rr
rrZ
H
EZZZ
+−
+=
==+=
DD
D
0.01 0.1 1 1010
100
1 .103
Betrag der Feldimpedanz koplanar
Distanz über bezogener Wellenlänge
Imp
edan
z in
Oh
m
377 Ohm
Betrag Nahfeld-Impedanz
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Erst im Fernfeld konvergiert die Feldimpedanz zur bekannten Vakuum-Strahlungsimpedanz von
Ω≅Ω==⋅
=⋅= 3771201
0
0
00 πε
µ
εµ
ccZ
Seite 15RFID Systems
HH--Feld und EFeld und E--Feld bei koaxialer OrientierungFeld bei koaxialer Orientierung
( )( ) 0sin
1cos0
=⇒
=⇒≡
θ
θθ
Koaxiale Orientierung:
Der Winkel zur Flächennormalen z ist Null.
Die E-Feld-Komponente wird damit zu Null und es verbleibt nur ein Anteil für die H-Feld-Komponente.
( )
+==
rj
rr
mH d DD
D
rr
2
2
24
20
πθ ( ) 00 ≡=θE
r
Die Feldimpedanz Z wird damit bei dieser AntennnenDie Feldimpedanz Z wird damit bei dieser Antennnen--Orientierung zu Null!Orientierung zu Null!
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Seite 16RFID Systems
Vergleich der HVergleich der H--Feldstärke bei koaxialer und Feldstärke bei koaxialer und koplanarer Antennenkoplanarer Antennen--OrientierungOrientierung
Koaxiale Orientierung:
( )
+==
rj
rr
mH d DD
D
rr
2
2
24
20
πθ
224
32
22
2
2
2
22
1
2
4
2
ImRe
rr
m
rrr
m
H
d
d
DDD
KDD
D
r
+=
==
−+
=
=+=
π
π
Koplanare Orientierung:
( )
++−=°=
rj
rr
mH d DD
D
rr
2
2
21
490
πθ
4224
22
22
2
2
2
1
4
14
DDD
DD
D
rr
+−=
=
+
+−=
rrrr
m
rrr
mH
d
d
π
π
Komplexe DarstellungKomplexe Darstellung Komplexe DarstellungKomplexe Darstellung
Betragsmäßige DarstellungBetragsmäßige Darstellung Betragsmäßige DarstellungBetragsmäßige Darstellung
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Seite 17RFID Systems
Vergleich der HVergleich der H--Feldstärke bei koaxialer und Feldstärke bei koaxialer und koplanarer Antennenkoplanarer Antennen--OrientierungOrientierung
0.1 1 10 1001 .10
6
1 .105
1 .104
1 .103
0.01
0.1
1
10
koplanar
koaxial
Distanz in m
FernfeldFernfeldNahfeldNahfeld
Abnahme der H-Feldstärke mit der Distanz für koaxiale und koplanare Antennenorientierung.
Nahfeld:
koaxial & koplanar: H ~ 1/d3
Fernfeld:
koaxial: H ~ 1/d3
koplanar: H ~ 1/d1
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Seite 18RFID Systems
Phasenlage von HPhasenlage von H--Feld und EFeld und E--Feld über DistanzFeld über Distanz
Mit dem Verlauf der Feldimpedanz hat auch die Phasenlage von H-Feld und E-Feld bei der Abstrahlung vom Antennenleiter noch nicht den Verlauf der freien Wellenausbreitung.
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
0 2 4 6 8 10
150
100
50
0
50
100
150
Nahfeld Phasenlage über Distanz
Distanz über bezogener Wellenlänge
Win
kel i
n G
rad
0 2 4 6 8 10
150
100
50
0
50
100
150
Nahfeld Phasenlage über Distanz
Distanz zur Sendeantenne in Metern
Pha
senw
inke
l in
Gra
d
E-Feld Phasenverlauf
H-Feld Phasenverlauf H-Fernfeld
Phasenverlauf
13,56 MHz Darstellung bis λ/2.
Seite 19RFID Systems
Felder aus einer rechteckigen SchleifenFelder aus einer rechteckigen Schleifen--AntenneAntenne
Als anschauliches Beispiel wollen wir noch die H-Feld und die E-Feld-Komponenten im Nahbereich um eine rechteckige Schleifenantenne ansehen, wie sie ein Feldsimulator (Software) darstellt.
Antenne 88 x 55 mm, Leiterbahnbreite 0,5 mm und Leiterbahn-Stärke 20 µm.
Speisung an der linken kurzen Seitenkante, Antennenstrom 1 A(rms).
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Quelle: Prof. Dr. H. Wendel, FH Oldenburg
Seite 20RFID Systems
Absolutwerte HAbsolutwerte H--Feld und EFeld und E--FeldFeld
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Seite 21RFID Systems
Richtungsvektoren HRichtungsvektoren H--Feld und EFeld und E--FeldFeld
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Seite 22RFID Systems
Absolutwerte und DezibelAbsolutwerte und Dezibel--WerteWerteDezibel-Werte sind logarithmische Werte, bezogen auf einen Referenzwert. Leistungen skalieren mit 10-fachem Logarithmus, Felder wie H und E skalieren mit 20-fachem Logarithmus (wie Ströme und Spannungen), da sie quadratisch proportional der Leistung sind.
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
=
REF
ABS
dBH
HH log20 2010
dBH
REFABS HH ⋅=
( ) ( )Ω≅Ω≅ dBZ dB 5.51377log20,0
mVmAZHE LIMITLIMIT µµ 377000377/10000 =Ω⋅=⋅=
mmAmAmAHHdBH
REFLIMIT
dB
/1/100010/110 2060
20 ==⋅=⋅= µµ
Elektromagnetische Welle im Fernfeld.
( ) )/(5.111)(5.51)/(605.51,0 mVdBdBmAdBdBHZHE dBdBdBdB µµ =Ω+=+=+= Ω
Beispiel: H-Feld-Limit von 60 dB(µA/m) entspricht absolut
Im Fernfeld kann man daraus den Betrag von E berechnen
Das Gleiche gelingt mit Dezibel-Werten (für das Fernfeld)
Seite 23RFID Systems
LeistungLeistung
Die Leistungsdichte ergibt sich mit dem Poynting-Vektor aus E-Feld und H-Feld bekanntlich nach
Gewinn einer kleinen Loop-Antenne in xy für das Fernfeld.
x
y
z
S c h le ife n -a n te n n e
D ip o l-a n te n n e
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
2
0
0
2
HZZ
ES ⋅==
( ) 22422
0 /377.0/10377/1377 mmWmWmmAHZS =⋅=⋅Ω=⋅= −
HESrrr
×=
Für Betrags-Größen gilt auch
Mit dem H-Feld Limit 60 dB(µA/m) ergibt sich damit im Fernfeld die Leistungsdichte:
Die Richtcharakteristik (Direktivität) ergibt sich zu
ISOTROPHS
SD =
Für eine verlustlose Antenne ist die Direktivität gleich dem Gewinn.
Die Leistung ist 2
0
0
2
HAZZ
EAAdSP
A
⋅=== ∫r
or
Seite 24RFID Systems
Zusammenfassung Nahfeld / FernfeldZusammenfassung Nahfeld / Fernfeld
Distanz32
⋅≥π
λDistanz3.0
2⋅≤
π
λ
λ
2
02DistanzD
≥λ
2
02DistanzD
≤
Nahfeld Fernfeld
ElektromagnetischeElektromagnetischeWelleWelle
GrenzeGrenzeFeldbereichFeldbereich
HErr
⊥
( ) °≠∠ 0)(),( tHtE ( ) °=∠ 0)(),( tHtE
AntennenAntennen--durchmesser Ddurchmesser D00
(zeitliche)(zeitliche)PhasenverschiebungPhasenverschiebung
(räumliche)(räumliche)FeldvektorenFeldvektoren
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Seite 25RFID Systems
Anwendungsbeispiel: Anwendungsbeispiel: HH--Feld Emissionslimits über MessdistanzFeld Emissionslimits über Messdistanz
Man kann diese Zusammenhänge beispielsweise dazu nutzen, um die Grenzwerte für die Feldstärke auch in anderen Distanzen als der angegebenen Mess-Distanz messen und auf die Mess-Distanz umrechnen zu können. So kann man etwa zwischen unterschiedlichen Regulativen vergleichen (EU, USA,...).
Ebenso kann man mit E-Feld-Antenne gemessene Grenzwerte mit Hilfe der Formeln in H-Feld-Werte umrechen, oder umgekehrt.
Es ist dabei jedoch immer etwas Vorsicht auf Einflüsse geboten, zertifiziert wird jedenfalls nach Messvorschrift.
1 10 1001 .10
8
1 .107
1 .106
1 .105
1 .104
1 .103
H-Feldstärke der Limits über Distanz
Distanz in Metern
H-F
eldst
ärke
in A
/m(r
ms)
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Seite 26RFID Systems
BiotBiot--Savart Gesetz zur Bestimmung der Savart Gesetz zur Bestimmung der HH--FeldstärkeFeldstärke
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Seite 27RFID Systems
Gesetz von AmpéreGesetz von Ampére
In der Reihenfolge der Entwicklungsgeschichte hat zuerst Ampere (1820) sein Gesetz gefunden, dem zufolge ein Strom, der durch einen Leiter fließt, ein magnetisches Feld rund um den Leiter erzeugt. Mit der später eingeführten Notation der Einheiten (Definition von µ0) lautet sein Gesetz in heute üblicher Schreibweise
( )120 coscos
4αα
π
µ−⋅=Φ
r
IB
I.......Antennenstrom (effektiv)
r......Distanz von Leitermitte
µ0...Permeabilität (magnetische Feldkonstante) im freien Raum, 4π 10-7 Vs/Am
Für den Spezialfall eines unendlich langen, geraden Drahtstückes (=> α1 = -180°, α2 = 0°) ergibt sich der bekannte einfache Zusammenhang
r
IHbzw
r
IB
ππ
µ
2.
2
0 == ΦΦ
I
z
0
α1
r
Raum-
punkt
R
α2
Leiter-
stückα
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Seite 28RFID Systems
Gesetz von BiotGesetz von Biot--SavartSavart
I1
r→
ds→
dH
Messpunkt
→
Das Problem dabei ist das Umlaufintegral, das nur für einige Spezialfälle analytisch zu lösen ist. Es ergeben sich Näherungsformeln für wesentliche Fälle.
∫×
⋅=
Sr
rsdIH
34
1
rrr
π
Später haben in Paris der Physiker Jean-Baptiste Biot und sein Assistent Felix Savart das nach ihnen benannte Gesetz entwickelt, das es erlaubt, Richtung und Stärke des magnetischen Feldes aus beliebigen Geometrien und Strömen für jeden Raumpunkt zu berechnen. Das Gesetz lautet in integraler Form:
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Seite 29RFID Systems
Näherungsformeln für spezielle GeometrienNäherungsformeln für spezielle Geometrien
Für den Betrag des H-Feldes auf der Achse einer kreisrunden planaren Leiterschleifen (“kurze Zylinderspule”) ergibt sich die Näherungsformel 1:
Randbedingung ist eine plane oder kurze Spule (Länge << R) und der Nahfeldbereich (x << λ/2π).
( )322
2
2 xR
RNIH
+
⋅⋅=
H.....Feldstärke am Messpunkt
I......Antennenstrom (effektiv)
N.....Windungsanzahl
R.....(mittlerer) Radius der Spule
x......Distanz auf der Mittelachse
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Kreisrunde plane Leiterschleife
Für den Betrag des H-Feldes auf der Achse einer rechteckigen planen Leiterschleife mit den Kantenlängen a und b ergibt sich die Näherungsformel 2:
Rechteckige plane Leiterschleife
+
+
+
⋅
+
+
⋅
⋅⋅=
2
2
2
2
2
22
2
1
2
1
224 x
bx
ax
ba
abNIH
π
H.....Feldstärke am Messpunkt
I......Antennenstrom (effektiv)
N.....Windungsanzahl
R.....(mittlerer) Radius der Spule
x......Distanz auf der Mittelachse
Seite 30RFID Systems
Erweiterte BiotErweiterte Biot--SavartSavart--Formel für kreisrunde Formel für kreisrunde plane Leiterschleifenplane Leiterschleifen
Mit Hilfe mathematischer Software läßt sich die folgende Integralformel auswerten, um exakte Lösungen für kreisrunde Antennen zu erhalten. Man stellt dazu die kreisförmige Leiterschleife mit Zylinderkoordinaten dar. Der Vektor zwischen einem Punkt am Umfang der Leiterschleife (Index S für source) und dem Aufpunkt oder Empfangspunkt im Raum (Index R für receive) ergibt sich so:
Dabei ist der Mittelpunkt der kreisrunden Leiterschleife mit xS, yS und zS im Raum gegeben, der Aufpunkt mit xR, yR, zR.
Radius der kreisrunden Leiterschleife ist a und ein Punkt am Umfang wird über den Winkel φbeschrieben (0...360°).
Die Phasenkonstante beta ergibt sich wie üblich nach
( )( ) ( ) ( )222)sin(cos),,,( RSRSRSRRRSR zzyayxaxzyxr −+−Φ⋅++−Φ⋅+=Φ
c
fπβ
2=
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Seite 31RFID Systems
Erweiterte BiotErweiterte Biot--SavartSavart--Formel für kreisrunde Formel für kreisrunde plane Leiterschleifenplane Leiterschleifen
Die Beträge der drei Komponenten der H-Feldstärke ergeben sich im Aufpunkt damit zu
( ) ( ) ( )[ ] Φ
Φ⋅−+Φ⋅−+⋅
+⋅⋅⋅
⋅
⋅= ∫
⋅⋅−
dyyxxar
ir
eaIzyxH RSRS
SRSR
ri
ARRRz
SRπ β
βπ
2
0
2)sin()cos(
1
4,,
Besonders wesentlich für die üblicherweise koaxiale Anordnung von Reader und Transponder ist die Hz-Komponente (bei exakt koaxialer Anordnung wird Hx und Hy Null).
( ) ( ) ( ) Φ
+⋅⋅⋅Φ⋅
⋅
−⋅⋅= ∫
⋅⋅−
dr
ir
ezzaIzyxH
SRSR
ri
RSARRRx
SRπ β
βπ
2
0
2
1cos
4,,
( ) ( ) ( ) Φ
+⋅⋅⋅Φ⋅
⋅
−⋅⋅= ∫
⋅⋅−
dr
ir
ezzaIzyxH
SRSR
ri
RSARRRy
SRπ β
βπ
2
0
2
1sin
4,,
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Seite 32RFID Systems
Erweiterte BiotErweiterte Biot--SavartSavart--Formel für kreisrunde Formel für kreisrunde plane Leiterschleifenplane Leiterschleifen
Mit der um das Retardationspotential erweiterten Biot-Savart-Formel läßt sich ebenfalls der typische Verlauf der H-Feldstärke bei koaxialer und koplanarer Antennen-Orientierung für Nahfeld und Fernfeld zeigen:
Da mit dieser Formel das H-Feld auch sehr nahe am Leiter richtig bestimmt werden kann, ist für RFID-Anwendungen die Anmerkung wichtig, dass dies natürlich nur für den unbelasteten Fall (Freifeld-Ausbreitung) gilt. Metallteile oder Transponder erzeugen ein Sekundärfeld und wirken auf den Reader zurück. Dabei reduziert sich der Antennenstrom, und damit auch das emittierte H-Feld.
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Seite 33RFID Systems
Zwei Betrachtungen mit BiotZwei Betrachtungen mit Biot--SavartSavart
Das Biot-Savart-Gesetz liefert gute Ergebnisse im Nahfeld und bezieht die Antennengeometrie richtig mit ein.
Wir wollen daher mit Hilfe des Biot-Savart-Gesetzes zwei Betrachtungen anstellen, für die Größe und Form der Antenne entscheidend sind:
Homogenität des H-Feldes
Optimaler Antennenradius
Das H-Feld ist in jedem Punkt im Raum durch einen Vektor zu beschreiben, der die Stärke und die Richtung des Feldes angibt. Es gibt daher in kartesischen Koordinaten stets die drei Komponenten x, y, z. Entlang der Spulen-Achse ist insbesondere die z-Komponente wesentlich, die beiden anderen Richtungsbeiträge werden an dieser speziellen Achse zu Null.
Nahe der Leiterschleife entstehen zudem von beiden Leitern her entgegengesetzt gerichtete Beiträge, die sich aufheben. Betrachtet man also die Hz-Komponente über den Querschnitt der kreisrunden Leiterscheife, so findet man in geringer Distanz z daher über der Mitte eine „Delle“ in der Feldstärke, bei größerer Distanz z hingegen ein Maximum. Abhängig vom Durchmesser der Leiterscheife gibt es eine Distanz z, an der sich über eine gewisse Fläche eine ebene, homogene Feldstärkeverteilung ergibt.
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Seite 34RFID Systems
Optimaler AntennenradiusOptimaler Antennenradius
Wir haben zuvor gesehen, dass in geringem Abstand zu einer relativ großen, kreisrunden Sendeantenne auf der Mittelachse ein Minimum der Feldstärke besteht. Wenn man den gleichen Strom durch eine Antenne mit kleinerem Durchmesser fließen läßt, kann man in gleicher Distanz punktuell viel höhere Feldstärken erzeugen.
Verändert man bei konstantem Abstand x zur Sendeantenne den Antennen-Radius, so findet man (in koaxialer Orientierung) bei einem bestimmten Verhältnis zwischen Abstand und Radius ein Maximum der Feldstärke H. Dieses Maximum ist freilich nur für einen Abstand, beispielsweise die maximale Reichweite eines RFID-Systems, gegeben.
Um den optimalen Antennen-Radius zu finden, kann man die Näherungsformel ableiten:
( ) ( )( )( ) ( ) ( )32222
3
322
32
xRxR
INR
xR
INRRH
dR
dRH
+⋅+−
+==′
Die Nullstellen dieser Funktion liegen bei
Der energetisch günstigste Radius ergibt sich also zu mal der Distanz zum Antennen-Mittelpunkt.
Dabei wäre noch zu bedenken, dass die Näherung nicht die Inhomogenität des Feldes miteinbezieht, die Fläche der Transponderantenne also unberücksichtigt bleibt. Größenordnungsmäßig soll der maximale Abstand günstigerweise etwa gleich dem Radius der Sendeantenne sein.
2⋅± x
2
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
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Koppelsystem:Koppelsystem:Induzierte Spannung, Induktivität, Induzierte Spannung, Induktivität, Gegeninduktivität, KoppelfaktorGegeninduktivität, Koppelfaktor
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
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Induzierte Leerlaufspannung, offene SchleifeInduzierte Leerlaufspannung, offene SchleifeFür eine einzelne, offene Leiterschleife in einem zeitlich veränderlichen H-Feld (wir nehmen eine kontinuierliche Kosinus-Schwingung an) kann die induzierte Spannung nach dem Induktionsgesetzvon Michael Faraday berechnet werden:
Φ.......magnetischer Fluß
ω.......Kreisfrequenz
Φ0.....Amplitude des Flusses
Es ergibt sich eine harmonische Schwingung auch für den Zeitverlauf der induzierten Spannung. Diese ist gegenüber der Schwingung im Fluss um eine Viertel-Periodendauer zeitverschoben.
Wenn man die Zeitverschiebung außer Acht läßt, ergibt sich jedenfalls für die Amplitude der induzierten Spannung:
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
( ) ( ) ( )[ ] ( )( )
−⋅⋅Φ=−⋅⋅Φ−=
Φ−=
Φ−=
2cossin
cos00
0 πωωωω
ωtt
dt
td
dt
tdtui
AHAB R ⋅⋅=⋅=Φ 0000 µµ
HAfU RCi ⋅⋅⋅=⋅Φ= 02 µµπω
In einer idealen, offenen Leiterschleife fließt kein Strom, damit gibt es keine Rückwirkung auf das primäre H-Feld. In der Praxis werden bei hohen Frequenzen parasitäre Kapazitäten von wenigen pF bedeutend, sodass doch nennenswerte Blindströme fließen, und eine kleine Rückwirkung auftritt.
Seite 37RFID Systems
Strom in geschlossener LeiterschleifeStrom in geschlossener LeiterschleifeIn einer geschlossenen Schleife eines idealen Leiters ohne Wirkwiderstand, die in einem magnetischen Wechselfeld liegt, stellt sich (nach dem Durchflutungssatz) ein Strom so ein, dass ein magnetisches Wechselfeld erzeugt wird, welches dem Primärfeld entgegenwirkt und dieses genau aufhebt (Regel von Lenz).
Der Durchflutungssatz ist hier die erste Maxwell-Gleichung, bei der für zeitlich langsam veränderliches Magnetfeld (quasi-stationär) der Anteil der Verschiebungsstromstärke vernächlässigt ist:
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
∫ ∫∫ ≅AC
dAnJsdHr
orr
or
.......Berandungslinie (Randkurve C)
A.......(vom Leiter) umschlossene Fläche
.......Vektor normal zur Fläche A
......H-Feld
.......Leitungsstromdichte
Wechselstrom, der in einer geschlossenen Leiterschleife fließt, erzeugt ein H-Feld und hat damit eine Rückwirkung auf das primäre Feld, dem Energie entzogen wird.
An dieser Stelle endet normalerweise die klassische Theorie, für RFID-Anwendungen liegen die Verhältnisse aber noch interessanter, weil die Randbedingungen für Idealfälle nicht erfüllt sind. Leiter haben einen Wirkwiderstand, höhere Güten erlauben phasenverschobene Ströme, etc.
sr
nr
Hr
Jv
Seite 38RFID Systems
InduktivitätInduktivität
Betrachten wir zwei Leiterschleifen, die von zeitlich veränderlichem Strom durchflossen sind.
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Der Strom in der ersten Leiterschleife erzeugt ein Magnetfeld, das die Fläche der Leiterschleife durchsetzt und sich außerhalb der Schleifenfläche schließt. Ein Teil des magnetischen Feldes kann auch eine zweite Leiterschleife durchsetzen. Ändert sich der Strom in der ersten Leiterschleife mit der Zeit, dann ändert sich ebenfalls das Magnetfeld zeitlich und induziert eine Spannung in beide Leiterschleifen. Das hat einen Strom zur Folge, welcher der zeitlichen Änderung des Original-Stromes entgegenwirkt.
Der magnetische Fluß, der die 2. Leiterschleife durchsetzt, kann aus dem magnetischen Vektorpotential berechnet werden.
C1.....Randkurve der ersten Fläche
A1.....(vom Leiter) umschlossene Fläche
i1......Strom in ersten Leiter
.......Vektor normal zur Fläche A1
......magnetische Flußdichte
( ) ArotBmitsdPAdAnBA C
rrro
rro
r===Φ ∫ ∫ ∫
2 2
22222
1nr
Br
Ar
Seite 39RFID Systems
InduktivitätInduktivität
Alle Anteile, die zum Fluß durch eine Fläche beitragen, sind den Stromstärken in den einzelnen Leitern direkt proportional, somit gilt für den Fluß durch Fläche 2:
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Dabei ist L mit gleichen Indices die Selbstinduktivität (L), und L mit unterschiedlichen Indices wird als Gegeninduktivität (M) bezeichnet. Man kann diese Proportionalitätswerte auch allgemein auflösen:
2221212 LILI +=Φ
∫ ∫==
1 212
1202112
4C C
R
sdsdLL
ro
r
π
µEs gilt für die Gegeninduktivität:
Es gilt für die Selbstinduktivität: ( )
22
22
22
2
022
2 24
sddVR
PS
IL
C V
ro
r
∫ ∫∫∫′
′=
π
µ
Ist nur ein Leiter vorhanden, ist die wirksame Induktivität die Selbstinduktivität; sind zwei stromdurchflossene Leiter vorhanden, ist die wirksame Induktivität gleich Selbst- minus Gegeninduktivität.
Seite 40RFID Systems
(Selbst(Selbst--) Induktivität) Induktivität
Bildlich gesprochen läßt sich die Induktivität als die “Trägheit des Stromes” verstehen; sie ist der “Widerstand”, den der Leiter einer zeitlichen Änderung des Stromflusses entgegenstellt.
Die Induktivität ergibt sich aus dem Verhältnis des mit dem Leiter verbundenen magnetischen Flusses Φ und der Stromstärke I zu
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
dI
dL
Φ= Φ= Nψ
Der insgesamt vom Strom i erzeugte magnetische Fluß Φ ist direkt proportional dem Momentanwert der Stromstärke i. Der dabei auftretende Proportionalitätswert ist die Induktivität.
mit dem Spulenfluss
( ) ( )di
dN
di
dL
dt
diL
dt
di
di
dN
dt
tdtui
Φ−=−=→=⋅
Φ−=−=
ψψ
Für rein harmonische Schwingungen kann man wieder die Ableitung umwandeln, und damit gilt dann für die Netzwerk-Rechnung (ohne Betrachtung von Einschwingvorgängen)
LXmitjXIU LL ω=⋅= wobei j die Phasenverschiebung von 90 ° ausdrückt.
Seite 41RFID Systems
Einige Näherungsformeln für InduktivitätEinige Näherungsformeln für Induktivität
Induktivität eines geraden Leiterstückes mit kreisrundem Querschnitt: Hin
a
llL µ
−
⋅≅
4
32ln002,0
Induktivität einer einzelnen kreisrunden Windung (Leiter mit rundem Querschnitt)
Hina
RRL µ
−
≅ 2
8log303,201257,0
I.......Länge des geraden Leiters in cm
a......Radius des Leiterquerschnittes in cm
R......Radius der Windung in cm
a......Radius des Leiterquerschnittes in cm
Induktivität einer langen Spule mit einer Wicklung (Leiter mit rundem Querschnitt)
( )Hin
lR
RNL µ
4,259,22
2
+≅
R......Radius der Windungen in cm
l.......Länge der Spule in cm
N......Anzahl der Windungen
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
R
2a
R
l
2a
l
Seite 42RFID Systems
Einige Näherungsformeln für InduktivitätEinige Näherungsformeln für Induktivität
Induktivität einer rechteckigen Planar-Antenne mit einer Windung:
( )[ ] nHinbabawbaaw
Aa
babw
AbL
+−+++
++⋅+
++⋅≅ 22
22222
)(
2ln
)(
2ln4
a.......Länge einer Seite in cm
b.......Länge andere Seite in cm
w......halbe Leiterbahnbreite in cm
A......Antennenfläche (a b)
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
2w
a
b
Seite 43RFID Systems
GegeninduktivitätGegeninduktivitätEine exakte Berechnung der Gegeninduktivität zweier kreisrunder Leiterschleifen ist mit folgender Formel möglich:
MC.......Gegeninduktivität in H
µ0........Permeabilitätskonstante,
r1.........Radius der ersten Schleife in m,
r2.........Radius der zweiten Schleife in m,
x.........Abstand der beiden Spulenmitten in m,
α.........Winkel der beiden Spulenachsen
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
( )
( )α
α
αµπ
drrrrx
rrM C ∫
−++
⋅⋅=
2
0 21
2
2
2
1
2
210
cos2
sin
2
Für koaxiale Spulen, die auf einer gemeinsamen Achse liegen (koaxiale Orientierung), ergibt sich dafür folgende Näherungsformel
( )322
1
2
22
2
110
2 xr
rNrNM CA
+
=π
µ
Seite 44RFID Systems
KoppelfaktorKoppelfaktorDer Koppelfaktor (oder Koppelgrad) ergibt sich aus Induktivität und Gegeninduktivität einer Spulen-Anordnung, und gibt deren relative Verbindung an. Er ist eine reine Geometrie-Größe, da sich die anderen Parameter kürzen lassen.
M........Gegeninduktivität beider Spulen in H
L1........Induktivität 1. Spule in H,
L2........Induktivität 2. Spule in H
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Durch Auflösen der jeweiligen Induktivität bzw. Gegeninduktivität kommt man zu Geometrie-Gleichungen für Spulenanordnungen.
Für zwei kreisrunde Spulen ergibt sich so
MMMmitLL
Mk ==
⋅= 2112
21
( )322
121
2
2
2
1
xrrr
rrk
+⋅
⋅=
Seite 45RFID Systems
Messung von Gegeninduktivität und KoppelgradMessung von Gegeninduktivität und KoppelgradNicht immer ist eine exakte Berechnung aus der Spulengeometrie leicht möglich, manchmal ist eine Messung (auch zur Kontrolle der Rechnung) einfacher durchzuführen. Eine Möglichkeit dafür nützt ein LCR-Meter, und liefert eine Näherung für die Gegeninduktivität:
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
1. Leerlauf-Messung:
Die erste Spule wird ans Messgerät angschlossen, die zweite Spule bleibt offen. Ls wird an 13,56 MHz gemessen.
2. Kurzschluß-Messung:
Die erste Spule wird ans Messgerät angschlossen, die zweite Spule wird kurzgeschlossen. Ls wird an 13,56 MHz gemessen.
HHMESS LLLL ≈+= σ( ) σσσ LLLLL HMESS 2// ≈+=
Der Streufaktor istL
K
L
L=σ und der Koppelgrad
LK LLk −=−= 11 2σ
Die Gegeninduktivität M ergibt sich daraus zu21 LLkM ⋅⋅=
Lσ.......Streuinduktivität
LH.......Hauptinduktivität
Seite 46RFID Systems
Messung des KoppelgradesMessung des KoppelgradesEine andere, praktische Möglichkeit zur Messung des Koppelgrades folgt aus einer sehr einfachen Betrachtung, die man vom nicht idealen Transformator her kennt:
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Es ist nach diesem Prinzip natürlich auch möglich, Gegeninduktivität aus Schaltungssimulationen (Spice o.Ä.) zu gewinnen.
2
1
1
2
L
L
U
UKk F ⋅⋅≅
k..........Koppelgrad
KF........Korrekturfaktor (< 1)
U1.......Spannung Primärspule
Wesentliche Voraussetzungen dabei ist, dass in der Sekundärspule möglichst kein Strom fließen soll, um am Wirkwiderstand der Spule keinen Spannungsabfall zu verursachen, und um keine Rückwirkung auf die Primärspule zu verursachen. Die Messung erfolgt daher am besten mit einem aktiven Tastkopf, oder einem Spannungsfolger mit geringer Eingangskapazität. Die Wirkung der störenden Kapazität sollte dennoch durch einen Korrekturfaktor berücksichtigt werden:
U2........Spannung Sekundärspule
L1........Induktivität Primärspule
L2........Induktivität Sekundärspule
PROBEGES CCC += 2 ( )2
21
12
LCK
GES
F⋅⋅−
−=ω
Wird einer primären Spule eine Wechselspannung eingeprägt, und die induzierte Spannung an einer sekundären Spule gemessen, so ergibt sich der Koppelgrad nach
2
1
2
1
2 ~ NLmitN
Nk
U
U⋅≅
Seite 47RFID Systems
Impedanzen im ÜberblickImpedanzen im Überblick
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
sCZ
1=
sLZ =
Cj
CjZ
ωω
11−==
RZ =
LjZ ω=
RZ =
jBGYjXRZ +=+=
R
jX
R
R
jX
jωL
R
jX
-jωC
1
U
I
θθθθ
U
I
θθθθ
U
I
θθθθ
Impedanz ZeigerdiagrammSymbol
( ) ( )00 cos ϕω += tIti
( ) ( )00 cos ϕω += tUtu
( ) ( )00 cos ϕω += tIti
( ) ( )°++= 90cos 00 ϕω tUtu
( ) ( )00 cos ϕω += tIti
( ) ( )°−+= 90cos 00 ϕω tUtu
Zeitfunktion Signalverlaufu(t)
i(t) t
t
t
u(t)i(t)
i(t)
u(t)
Seite 48RFID Systems
SmithSmith--DiagrammDiagramm
http://www.sss-mag.com/pdf/smithchart.pdf
Das Smith-Diagramm wurde von Phillip Smith im Jahr 1939 entwickelt.
Hintergrund dafür ist, dass die Impedanz-Eigenschaften von Netzwerken bei hohen Frequenzen nur durch Reflexionsmessung an stehenden Wellen messtechnisch zugänglich werden. So arbeitet ein Netzwerk-analysator (Messgerät). Daher ist es naheliegend, die Darstellung des Reflexionsfaktors durch geeignete Skalen-Beschriftung als komplexe Impedanz ablesbar zu machen. Zugleich zeigt das Diagramm intuitiv die Genauigkeit des Messverfahrens (genau um den Anpasspunkt 50 Ohm).
Das Smith-Diagramm liegt also in der Ebene des Reflexionsfaktors ρ, und stellt eine Transformation der komplexen Impedanz Z auf ρ dar. Es erlaubt geometrische Netzwerk-Rechnungen, insbesondere Anpassung.
Seite 49RFID Systems
Einige wesentliche Konstanten der TheorieEinige wesentliche Konstanten der Theorie
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
............................Lichtgeschwindigkeit in Vakuum
mA
sV7
0 104 −⋅= πµ ........................... Permeabilitätskonstante, magnetische Feldkonstante
........................... Dielektrizitätskonstante, elektrische Feldkonstante
s
mc 99792458,2=
mV
sA12
0 108542,8 −⋅=ε
Seite 50RFID Systems
ReferenzenReferenzen
[1] Maxwellsche Theorie - Grundlagen und Anwendung, Ingo Wolf, Springer Verlag 1997, ISBN 3-540-63012-0
[2] An Introduction to Circuit Analysis, Donald E. Scott, McGraw-Hill 1987, ISBN 0-07-100309-6
[3] Vorlesung „Theorie der Elektrotechnik“ an der TU Graz
LV 440.417LV 440.417LV 440.417LV 440.417
Seite 51RFID Systems
Trainingsfragen zur VerständniskontrolleTrainingsfragen zur Verständniskontrolle
• Wie erfolgt bei induktiv gekoppelten RFID-Systeme die Energieübertragung von Reader zu Transponder? Welche Modelle kennen wir, um die H-Feld-Ausbreitung im Nahfeld zu beschreiben, und welches sind ihre Vorteile und Nachteile? Wie sieht im Vergleich zum H-Feld das E-Feld aus, und die Feldimpedanz Z?
• Welche beiden wichtigen Antennen-Orientierungen kann man unterscheiden? Wie nimmt die Amplitude des H-Feldes über der Distanz zum Antennenmittelpunkt ab (Nah- und Fernfeld)? Bis zu welcher Distanz reicht bei 13,56 MHz Trägerfrequenz etwa das Nahfeld?
• Wie, und in welcher Distanz werden meist die Emissionslimits bestimmt? Welches Modell eignet sich zur ersten Abschätzung für Reader und Antenne? Welchen Strom im Antennenleiter darf eine kreisrunde Reader-Antenne mit 10 cm Durchmesser und 2 Windungen nicht überschreiten, um das Emissionslimit 60 dB(µA/m) einzuhalten? Wie hoch ist die H-Feldstärke koaxial in 10 cm von der Antennenmitte gemessen? Wie hoch muß die Strombelastbarkeit des Leiters einer rechteckigen Antenne mit 2 x 3 cm Kantenlänge sein, um in 10 m Distanz die gleiche H-Feldstärke zu erzeugen?
• Wie kann man die induzierte Spannung in einer Leiterschleife herleiten, die durch ein magnetisches Wechselfeld erzeugt wird (Amplitude, Phasenlage)?
• Was versteht man unter Induktivität, Gegeninduktivität und Koppelgrad, und wie kann man diese Größe messen?
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