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Einfรผhrung in DSGE-Modelle und deren
Lรถsung mit Hilfe von Dynare
Prof. Dr. Jochen Michaelis
Wintersemester 2015/2016
MAGKS - Makroรถkonomik Prof. Dr. Jochen Michaelis
Kapitel 2: log-Linearisierung
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2. Methodischer Exkurs: Log-Linearisieren
Zietz, Joachim (2008): โA Clarifying Note on Converting to Log-Deviations from the
Steady Stateโ, Economics Bulletin 3: 1-15.
Uhlig, Harald (1999): A Toolkit for Analyzing Nonlinear Dynamic Stochastic Models
Easilyโ, in: R. Marimon und A. Scott (Eds.); Computational Methods for the Study
of Dynamic Economics, Oxford University Press, S. 30-61.
oder: Homepage von Harald Uhlig
Ausgangspunkt:
Die meisten Makro-Modelle sind nicht-linear und haben keine exakte Lรถsung.
Beispiel: ๐ = ๐ถ + ๐ผ mit Konsumfunktion ๐ถ = ๐๐ผ
๐ โ ๐๐ผ = ๐ผ
Nur Nรคherungslรถsungen fรผr Y mรถglich!
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Kapitel 2: log-Linearisierung
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Log-Linearisierung ist eine Methode fรผr Bestimmung solcher Nรคherungslรถsungen
Kernidee (bzw. Annahme):
In der Nรคhe des Steady States ist das Modell nรคherungsweise linear in
logarithmierten Grรถรen
Vorgehensweise:
Formuliere das Modell in (prozentualen) Abweichungen vom Gleichgewicht
Abweichungen sind lineare Funktionen der Modellparameter (first order
approximation)
Umwandlung eines nicht-linearen Modells in ein lineares System
Komplexitรคtsreduktion, Nutzung von Standardsoftware
Achtung:
Lineare Approximation nur in der Nรคhe des Gleichgewichts eine gute Approximation
Weiterentwicklung: second-order approximation
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Taylor-Approximation:
Taylor-Approximation n-ter Ordnung der Funktion ๐(๐ฅ) um einen Wert ๐ฅ0:
(2.1) ๐๐,๐ฅ0 ๐ฅ โก๐(๐ฅ0)
0!+๐โฒ ๐ฅ0
1!๐ฅ โ ๐ฅ0 +
๐โฒโฒ ๐ฅ0
2!๐ฅ โ ๐ฅ0
2 +โฏ+๐(๐) ๐ฅ0
๐!(๐ฅ โ ๐ฅ0)
๐
First-order approximation: ๐1,๐ฅ0 ๐ฅ = ๐(๐ฅ0) + ๐โฒ(๐ฅ0) ๐ฅ โ ๐ฅ0
Second-order approximation: ๐2,๐ฅ0 ๐ฅ = ๐(๐ฅ0) + ๐โฒ(๐ฅ0) ๐ฅ โ ๐ฅ0 +๐โฒโฒ(๐ฅ0)
2๐ฅ โ ๐ฅ0
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Es gilt:
(2.2) ๐ ๐ฅ = ๐๐,๐ฅ0 ๐ฅ + ๐ ๐ mit ๐ ๐ als Restgrรถรe (remainder)
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)(xf
x
โข
โขโข
0x x
)(xf
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Mehrere Variablen
Approximation der Funktion ๐(๐ฅ, ๐ฆ) um den Wert (๐ฅ0, ๐ฆ0)
First order TA:
(2.3) ๐1,๐ฅ0,๐ฆ0 ๐ฅ, ๐ฆ โก ๐(๐ฅ0, ๐ฆ0) + ๐๐ฅ ๐ฅ0, ๐ฆ0 โ ๐ฅ โ ๐ฅ0 + ๐๐ฆ ๐ฅ0, ๐ฆ0 โ ๐ฆ โ ๐ฆ0
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Definitionen
๐๐ก = Variable (z.B. Output, Arbeitszeit)
๐ = Gleichgewichtswert (Steady State-Wert) der Variablen ๐๐ก
๐ฅ๐ก = ln๐๐ก = Logarithmus dieser Variable
๐ฅ = ๐๐๐ = Logarithmus des Steady State
(2.4) ๐ฅ ๐ก โก ๐ฅ๐ก โ ๐ฅ = ๐๐๐๐ก โ ๐๐๐ log deviation of ๐๐ก from its steady state ๐
๐ฅ ๐ก ist (ungefรคhr) gleich der prozentualen Abweichung von ๐๐ก vom Steady state ๐
Beispiel: Steady State = 100 aktueller Wert = 101
Prozentabweichung exakt: 101โ100
100= 0.01 = 1%
Log-Differenz: ln 101 โ ln 100 = 0.00995 = 0.995%
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First order TA der Variablen ๐ฟ๐ um den Steady State-Wert ๐ฟ :
1. Formuliere ๐๐ก um zu:
๐๐ก = ๐ โ๐๐ก
๐ = ๐ โ ๐
๐๐๐๐ก๐ = ๐ โ ๐๐๐ ๐๐กโ๐๐๐ = ๐ โ ๐๐ฅ ๐ก
mit ๐ฅ ๐ก โก ๐๐๐๐ก โ ๐๐๐ als prozentuale Abweichung von ๐๐ก von seinem
Gleichgewichtswert ๐ .
2. FOTA fรผr die Funktion ๐๐ฅ ๐ก um den Gleichgewichtswert ๐ฅ ๐ก = 0 ( ๐๐ก = ๐ )
(2.5) ๐๐ฅ ๐ก ๐(๐ฅ)
โ ๐0 ๐(๐)
+ ๐0 ๐โฒ(๐)
(๐ฅ ๐ก โ 0)๐ฅโ๐
= 1 + ๐ฅ ๐ก
(2.6) ๐๐ก โ ๐ โ (1 + ๐ฅ ๐ก)
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Second order TA der Variablen ๐ฟ๐ um den Steady State-Wert ๐ฟ :
1. ๐๐ก = ๐ โ ๐๐ฅ ๐ก
2. SOTA fรผr die Funktion ๐๐ฅ ๐ก um den Gleichgewichtswert ๐ฅ ๐ก = 0 ( ๐๐ก = ๐ )
(2.7) ๐๐ฅ ๐ก ๐(๐ฅ)
โ ๐0 ๐ ๐ฅ0
+ ๐0 ๐โฒ ๐ฅ0
(๐ฅ ๐ก โ 0)๐ฅโ๐ฅ0
+1
2๐0 ๐โฒโฒ ๐ฅ0
๐ฅ ๐ก โ 02
๐ฅโ๐ฅ02
= 1 + ๐ฅ ๐ก +1
2๐ฅ ๐ก2
(2.8) ๐๐ก = ๐ โ 1 + ๐ฅ ๐ก +1
2๐ฅ ๐ก2
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Log-Linearisierung einer linearen Gleichung: ๐๐ = ๐ช๐ + ๐ฎ๐
Im Steady State gilt: ๐ = ๐ถ + ๐บ
Umformulierung der Gleichung in prozentualen Abweichungen vom StSt mittels FOTA
๐ โ 1 + ๐ฆ ๐ก = ๐ถ โ 1 + ๐ ๐ก + ๐บ โ (1 + ๐ ๐ก)
๐ + ๐ ๐ฆ ๐ก = ๐ถ + ๐ถ ๐ ๐ก + ๐บ + ๐บ ๐ ๐ก
Beachtung der Steady-State Bedingung ๐ = ๐ถ + ๐บ und Division durch ๐ fรผhrt zu
(2.9) ๐ฆ ๐ก = ๐๐๐ ๐ก + ๐๐๐ ๐ก
mit Konsumquote ๐๐ =๐ถ
๐ und Staatsquote ๐๐ =
๐บ
๐ im Steady State
Ergebnis immer noch linear, aber jetzt formuliert in prozentualen Abweichungen vom StSt
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Log-Linearisierung einer nicht-linearen Gleichung: ๐๐ = ๐จ๐ โ ๐ต๐๐ท
Steady State: ๐ = ๐ด โ ๐ ๐ฝ bzw. ln ๐ = ๐๐ ๐ด + ๐ฝ ๐๐ ๐
Logarithmiere die Ausgangsgleichung:
๐๐ ๐๐ก = ๐๐ ๐ด๐ก + ๐ฝ ๐๐๐๐ก
๐๐(๐ ๐๐ก
๐ ) = ๐๐(๐ด
๐ด๐ก
๐ด ) + ๐ฝ ๐๐(๐
๐๐ก
๐ )
๐๐(๐ ๐๐ฆ ๐ก) = ๐๐(๐ด ๐๐ ๐ก) + ๐ฝ ๐๐(๐ ๐๐ ๐ก)
๐๐ ๐ + ๐ฆ ๐ก = ๐๐ ๐ด + ๐ ๐ก + ๐ฝ ๐๐๐ + ๐ฝ๐ ๐ก
(2.10) ๐ฆ ๐ก = ๐ ๐ก + ๐ฝ๐ ๐ก
log-linearisierte Form ist jetzt linear
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Ein โschnellererโ Weg:
Logarithmiere Ausgangsgleichung:
๐๐ ๐๐ก = ๐๐ ๐ด๐ก + ๐ฝ ๐๐๐๐ก
Subtrahiere logarithmierte Steady-State Relation
๐๐ ๐๐ก โ ๐๐๐ = ๐๐ ๐ด๐ก โ ๐๐๐ด + ๐ฝ ๐๐ ๐๐ก โ ๐ฝ ๐๐๐
(2.10) ๐ฆ ๐ก = ๐ ๐ก + ๐ฝ๐ ๐ก
Aber:
Dieser Weg ist fรผr first-order TA mรถglich, nicht aber fรผr second-order TA!
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Problemfall: Gleichung mit Erwartungswerten
Euler-Gleichung fรผr optimalen intertemporalen Konsum
(2.11) ๐ธ๐ก(๐ถ๐ก+1)๐= ๐ฝ(1 + ๐๐ก)
๐๐ก
๐ธ๐ก๐๐ก+1(๐ถ๐ก)๐
Logarithmieren:
(2.12) ln ๐ธ๐ก(๐ถ๐ก+1)๐ = ln๐ฝ + ln 1 + ๐๐ก + ln๐๐ก โ ln๐ธ๐ก๐๐ก+1 + ln(๐ถ๐ก)
๐
Achtung: ln ๐ธ๐ก๐ฅ๐ก+1 โ ๐ธ๐ก(ln ๐ฅ๐ก+1)
Hier: ln{๐ธ๐ก[ ๐ถ๐ก+1๐]} โ ๐ธ๐ก[๐๐ ๐ถ๐ก+1
๐] und ๐๐๐ธ๐ก๐๐ก+1 โ ๐ธ๐ก(๐๐๐๐ก+1)
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Jensenโsche Ungleichung: ๐๐๐ธ๐ก๐ฅ๐ก+1 > ๐ธ๐ก(๐๐๐ฅ๐ก+1)
1ln tx
1tx
โข
โขโข
1tt xE
)ln( 1tt xE
1
โข
)(ln 1tt xE
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Annahme:
๐ฅ๐ก+1 sei lognormal-verteilt, also ๐ฅ๐ก+1~ ln๐๐(๐, ๐2)
dann ist ln ๐ฅ๐ก+1 normal-verteilt mit Erwartungswert ๐; ln ๐ฅ๐ก+1~๐๐(๐, ๐2)
Erwartungswert einer lognormal-verteilten Variable: ๐ธ๐ก๐ฅ๐ก+1 = ๐๐+0,5๐2
Logarithmus der lognormal-verteilten Variable:
ln(๐ธ๐ก๐ฅ๐ก+1) = ln ๐๐+0,5๐2 = ๐ + 0,5๐2
Erwartungswert der normal-verteilten Variable ln ๐ฅ๐ก+1: ๐ธ๐ก ln ๐ฅ๐ก+1 = ๐
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Es resultiert:
ln ๐ธ๐ก๐ฅ๐ก+1 โ ๐ธ๐ก ln ๐ฅ๐ก+1 = ๐ + 0,5๐2 = ๐๐๐๐ ๐ก.
Varianzen sind zeitinvariant; sie fallen also weg, wenn Abweichungen von einem
Steady State betrachtet werden. Daher werden die Konstanten von vornherein
weggelassen, d.h. log-Linearisierung โim Erwartungswertโ ist zulรคssig!!
Anwendung bei Euler-Gleichung:
ln{๐ธ๐ก[ ๐ถ๐ก+1๐]} = ๐ธ๐ก[๐๐ ๐ถ๐ก+1
๐] und ๐๐(๐ธ๐ก๐๐ก+1) = ๐ธ๐ก๐๐๐๐ก+1
Einsetzen in (2.12):
(2.13) ๐๐ธ๐กln๐ถ๐ก+1 = ๐๐๐ฝ + l๐ 1 + ๐๐ก + ๐๐๐๐ก + ๐๐๐๐ถ๐ก โ ๐ธ๐ก๐๐๐๐ก+1
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Fรผr Nominalzins gilt: ln(1 + ๐๐ก) โ ๐๐ก
Fรผr erwartete Inflationsrate gilt: ๐ธ๐ก๐๐ก+1 = ๐ธ๐ก ๐๐ก+1โ ๐๐ก
๐๐ก= ๐ธ๐ก ๐๐ก+1
๐๐กโ 1
1 + ๐ธ๐ก๐๐ก+1 = ๐ธ๐ก ๐๐ก+1 ๐๐ก
ln( 1 + ๐ธ๐ก๐๐ก+1) = ln ๐ธ๐ก ๐๐ก+1โ ln ๐๐ก โ ๐ธ๐ก๐๐ก+1
Einsetzen in (2.13):
๐๐ธ๐กln๐ถ๐ก+1 = ๐๐๐ฝ + ๐๐ก โ (๐ธ๐ก๐๐๐๐ก+1 โ ๐๐๐๐ก) + ๐๐๐๐ถ๐ก
๐๐ธ๐กln๐ถ๐ก+1 = ๐๐๐ฝ + ๐๐ก โ ๐ธ๐ก๐๐ก+1 + ๐๐๐๐ถ๐ก
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Im Steady State gilt:
๐๐ธ๐กln๐ถ = ๐๐๐ฝ + ๐ โ ๐ธ๐ก๐ =0
+ ๐๐๐๐ถ
Fรผr die Abweichung vom Steady State resultiert die
Log-linearisierte Euler-Gleichung
(2.14) ๐ ๐ก = ๐ธ๐ก๐ ๐ก+1 โ1
๐(๐ ๐ก โ ๐ธ๐ก๐๐ก+1)
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Schwachpunkte der Technik der log-Linearisierung
Approximation gilt nur fรผr kleine Abweichungen vom Steady State, d.h. groรe
Schocks werden nicht adรคquat abgebildet
(Problem: kann Finanzkrise 2007ff. mit DSGE diskutiert werden??!)
Es werden nur Erwartungswerte einer Zufallsvariablen betrachtet, spielt die
Varianz eine Rolle wie bei Risikoรผberlegungen, ist log-Lin. nicht geeignet
Ausweg in Neu-Keynesianischer Makro: Second-order Taylor-Approximation, vgl.
Benigno und Woodford, Journal of Economic Theory (2012)