aula 4 equações diferenciaishidrouff.sites.uff.br/wp-content/uploads/sites/205/2018/...=𝜇 2 2 +...
TRANSCRIPT
Universidade Federal Fluminense
Disciplina:
Aula 4 – Equações Diferenciais
FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Prof.: Gabriel Nascimento (Depto. de Eng. Agrícola e Meio Ambiente)Elson Nascimento (Depto. de Eng. Civil)
Escola de Engenharia
Aula 4 – Equações Diferenciais
Equação da continuidade
Cinemática
Equação da quantidade de movimento linear
Equação de Euler
Equação de Navier-Stokes
Métodos de solução de problemas com fluidos:
F
u(r)
Solução analítica ou numérica
(CFD – ComputationalFluid Dynamics)
VCGrandezas integrais (volume de controle – VC):
• Vazão• Força • Energia
EQUAÇÕES INTEGRAIS
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
MÉTODOS EXPERIMENTAIS
Grandezas infinitesimais (pontual):
• Velocidade: 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)• Tensão: 𝜎 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 , 𝜏 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
• Modelos reduzidos em laboratório, protótipos ou medições em campo
• Análise dimensional
Disponível em <http://www.canadianautoreview.ca/news/gm-reduced-scale-wind-tunnel.html>. Acesso em 27 mar. 2018.
Eq. da Continuidade
Volume de controle infinitesimal:Volume de controle finito:
Equação Integral: Equação Diferencial:
x
y
z
dz
dx
dy
Conservação da massa:
Eq. Integral:
Eq. Diferencial:
𝑑
𝑑𝑡 𝑉𝐶
𝜌 𝑑V + ∑ ± 𝑚𝑖 = 0
Volume de controle infinitesimal:
𝜕𝜌
𝜕𝑡𝑑V +
+ saída entrada
𝑚 = 𝜌𝑉𝑛𝑟𝐴
= 0
x
y
z
dz
dx
dy
𝑑 𝑚𝑥𝑠− 𝑑 𝑚𝑥
𝑒+
𝑑 𝑚𝑦𝑠− 𝑑 𝑚𝑦
𝑒+
𝑑 𝑚𝑧𝑠− 𝑑 𝑚𝑧
𝑒
Conservação da massa:
𝜕𝜌
𝜕𝑡𝑑V +
𝑑 𝑚𝑥𝑠− 𝑑 𝑚𝑥
𝑒+
𝑑 𝑚𝑦𝑠− 𝑑 𝑚𝑦
𝑒+
𝑑 𝑚𝑧𝑠− 𝑑 𝑚𝑧
𝑒
= 0 Eq. Diferencial:
Volume de controle infinitesimal:
x
y
z
dz
dx
dy
Conservação da massa:
𝜕𝜌
𝜕𝑡𝑑V +
𝑑 𝑚𝑥𝑠− 𝑑 𝑚𝑥
𝑒+
𝑑 𝑚𝑦𝑠− 𝑑 𝑚𝑦
𝑒+
𝑑 𝑚𝑧𝑠− 𝑑 𝑚𝑧
𝑒
= 0 Eq. Diferencial:
𝑑 𝑚𝑥𝑠− 𝑑 𝑚𝑥
𝑒= 𝑓 𝑥 + 𝑑𝑥 − 𝑓 𝑥
= lim𝛿𝑥→0
𝑓 𝑥 + 𝛿𝑥 − 𝑓 𝑥
𝛿𝑥𝑑𝑥
=𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑑𝑥
=𝑓 𝑥 + 𝑑𝑥 − 𝑓 𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑥
=𝜕 𝑑 𝑚𝑥
𝜕𝑥𝑑𝑥 =
𝜕 𝜌𝑉𝑛𝑟𝑑𝐴 𝑥
𝜕𝑥𝑑𝑥
=𝜕 𝜌 𝑢 𝑑𝑦𝑑𝑧
𝜕𝑥𝑑𝑥 =
𝜕 𝜌 𝑢
𝜕𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
Volume de controle infinitesimal:
𝑑V
=𝜕 𝜌 𝑢
𝜕𝑥𝑑V
x
y
z
dz
dx
dy
𝑓 𝑥
• Em x:
𝑢
𝑓′ 𝑥
Conservação da massa:
Volume de controle infinitesimal:
=𝜕 𝜌 𝑢
𝜕𝑥𝑑V
𝑑 𝑚𝑥𝑠− 𝑑 𝑚𝑥
𝑒• Em x:
𝜕𝜌
𝜕𝑡𝑑V +
𝑑 𝑚𝑥𝑠− 𝑑 𝑚𝑥
𝑒+
𝑑 𝑚𝑦𝑠− 𝑑 𝑚𝑦
𝑒+
𝑑 𝑚𝑧𝑠− 𝑑 𝑚𝑧
𝑒
= 0 Eq. Diferencial:
x
y
z
dz
dx
dy
Conservação da massa:
Volume de controle infinitesimal: • Em y: 𝑑 𝑚𝑦𝑠− 𝑑 𝑚𝑦
𝑒=
𝜕 𝜌 𝑣
𝜕𝑦𝑑V
=𝜕 𝜌 𝑢
𝜕𝑥𝑑V
• Em z: 𝑑 𝑚𝑧𝑠− 𝑑 𝑚𝑧
𝑒=
𝜕 𝜌 𝑤
𝜕𝑧𝑑V
𝜕 𝜌 𝑢
𝜕𝑥+
𝜕 𝜌 𝑣
𝜕𝑦+
𝜕 𝜌 𝑤
𝜕𝑧𝑑V
𝑑 𝑚𝑥𝑠− 𝑑 𝑚𝑥
𝑒• Em x:
𝜕𝜌
𝜕𝑡𝑑V +
𝑑 𝑚𝑥𝑠− 𝑑 𝑚𝑥
𝑒+
𝑑 𝑚𝑦𝑠− 𝑑 𝑚𝑦
𝑒+
𝑑 𝑚𝑧𝑠− 𝑑 𝑚𝑧
𝑒
= 0 Eq. Diferencial:
x
y
z
dz
dx
dy
Conservação da massa:
Volume de controle infinitesimal:
→𝜕𝜌
𝜕𝑡𝑑V +
𝜕 𝜌 𝑢
𝜕𝑥+
𝜕 𝜌 𝑣
𝜕𝑦+
𝜕 𝜌 𝑤
𝜕𝑧𝑑V
𝜕𝜌
𝜕𝑡𝑑V +
𝑑 𝑚𝑥𝑠− 𝑑 𝑚𝑥
𝑒+
𝑑 𝑚𝑦𝑠− 𝑑 𝑚𝑦
𝑒+
𝑑 𝑚𝑧𝑠− 𝑑 𝑚𝑧
𝑒
= 0 Eq. Diferencial:
x
y
z
dz
dx
dy
Conservação da massa:
→𝜕𝜌
𝜕𝑡𝑑V +
𝜕 𝜌 𝑢
𝜕𝑥+
𝜕 𝜌 𝑣
𝜕𝑦+
𝜕 𝜌 𝑤
𝜕𝑧𝑑V = 0
→𝜕𝜌
𝜕𝑡+
𝜕 𝜌 𝑢
𝜕𝑥+
𝜕 𝜌 𝑣
𝜕𝑦+
𝜕 𝜌 𝑤
𝜕𝑧= 0
divergente de 𝜌𝑉
𝜕𝜌
𝜕𝑡𝑑V +
𝑑 𝑚𝑥𝑠− 𝑑 𝑚𝑥
𝑒+
𝑑 𝑚𝑦𝑠− 𝑑 𝑚𝑦
𝑒+
𝑑 𝑚𝑧𝑠− 𝑑 𝑚𝑧
𝑒
= 0 Eq. Diferencial:
𝜕𝜌
𝜕𝑡+ 𝛻 ∙ 𝜌𝑉 = 0
Conservação da massa:
Fluido compressível:𝜕𝜌
𝜕𝑡+ 𝛻 ∙ 𝜌𝑉 = 0
Fluido incompressível:𝜕𝜌
𝜕𝑡+ 𝛻 ∙ 𝜌𝑉 = 0
0
→ 𝜌𝛻 ∙ 𝑉 = 0
→ 𝛻 ∙ 𝑉 = 0
divergente nulo(campo solenoidal)
Conservação da massa:
Exemplo:[PETROBRAS – ENG. EQP. JÚNIOR - 2008]
Considerando um escoamento permanente e incompressível, cuja
distribuição de velocidades seja dada pela função 𝑉 = 3𝑥 𝑖 + 𝐶𝑦 𝑗 + 2𝑥 𝑘,
calcule o valor da constante C para que seja atendido o princípio da
continuidade.
∇ ∙ V = 0
→∂𝑢∂x
+∂𝑣∂y
+∂𝑤∂z
= 0 V = u 𝑖 + v 𝑗 + w 𝑘
→ u = 3xv = Cyw = 2x
V = 3x i + Cy j + 2x k
→ 3 + C + 0 = 0 → C = −3
→∂ 3x∂x
+∂ Cy∂y
+∂ 2x∂z
= 0
Cinemática
x
y x
y translação
x
y rotação
x
ydeformação
angular (distorção)
x
y deformação linear
Partícula Pem (xp, yp, zp)
𝑉𝑝 𝑡
𝑎𝑝 𝑡Campo de velocidade:
𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑖 + 𝑣 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑗 + 𝑤 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑘
= 𝑉 𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝, 𝑡
𝑎𝑝 𝑡 =𝑑𝑉𝑝 𝑡
𝑑𝑡=
𝑑𝑉 𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝, 𝑡
𝑑𝑡
=𝑑𝑉𝑝 𝑡
𝑑𝑡
=𝜕𝑉
𝜕𝑥
𝜕𝑥𝑝
𝜕𝑡+
𝜕𝑉
𝜕𝑦
𝜕𝑦𝑝
𝜕𝑡+
𝜕𝑉
𝜕𝑧
𝜕𝑧𝑝
𝜕𝑡+
𝜕𝑉
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝑢 𝑥𝑝, 𝑦𝑝 , 𝑧𝑝, 𝑡
𝑣 𝑥𝑝, 𝑦𝑝 , 𝑧𝑝, 𝑡
𝑤 𝑥𝑝, 𝑦𝑝, 𝑧𝑝, 𝑡
1
= 𝑢𝜕𝑉
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧+
𝜕𝑉
𝜕𝑡 𝑎𝑝 =
𝐷𝑉
𝐷𝑡
aceleração convectiva aceleração localaceleração total
𝑉 = 𝐾𝑥 𝑖 − 𝐾𝑦 𝑗Ex. de campo de velocidade:
Linhas de corrente:
Partícula P
y
x
+1
+1 -1
-1
+2
+2 -2
-2
+3
C = +3 -3
C = -3
𝜕𝑉
𝜕𝑡= 0 → permanente 𝑎𝑝 ≠ 0
𝑎𝑝 =𝐷𝑉
𝐷𝑡= 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧+
𝜕𝑉
𝜕𝑡
0
Escoamento permanente não significa aceleração nula !
y
𝛿𝛼
𝛿𝛽𝛿𝜑
𝛿𝑥
𝛿𝑦
𝑢𝑥𝛿𝑡𝑢𝑥+𝛿𝑥𝛿𝑡
𝛿𝑥 + 𝑢𝑥+𝛿𝑥 − 𝑢𝑥
𝛿𝑢𝑥
𝛿𝑡 = 𝛿𝑥 +𝜕𝑢
𝜕𝑥𝛿𝑥𝛿𝑡
𝛿𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥𝛿𝑥
x
𝛿𝑡
Rotação: 𝛿𝜑𝑥𝑦 =𝛿𝛼 − 𝛿𝛽
2
y
𝛿𝛼
𝛿𝛽𝛿𝜑
𝛿𝑥
𝛿𝑦
x
𝛿𝑡
𝑣𝑥𝛿𝑡
𝑣𝑥+𝛿𝑥𝛿𝑡
𝑣𝑥+𝛿𝑥 − 𝑣𝑥
𝛿𝑣𝑥
𝛿𝑡 =
𝜕𝑣
𝜕𝑥𝛿𝑥
𝜕𝑣
𝜕𝑥𝛿𝑥𝛿𝑡
𝛿𝑥 +𝜕𝑢
𝜕𝑥𝛿𝑥𝛿𝑡
Rotação: 𝛿𝜑𝑥𝑦 =𝛿𝛼 − 𝛿𝛽
2
y
𝛿𝛼
𝛿𝛽𝛿𝜑
𝛿𝑥
𝛿𝑦
x
𝛿𝑡
𝛿𝑥 +𝜕𝑢
𝜕𝑥𝛿𝑥𝛿𝑡
𝜕𝑣
𝜕𝑥𝛿𝑥𝛿𝑡
𝛿𝑦 +𝜕𝑣
𝜕𝑦𝛿𝑦𝛿𝑡
𝜕𝑢
𝜕𝑦𝛿𝑦𝛿𝑡
𝛿𝛼 = atan
𝜕𝑣𝜕𝑥
𝛿𝑥𝛿𝑡
𝛿𝑥 +𝜕𝑢𝜕𝑥
𝛿𝑥𝛿𝑡 0
=𝜕𝑣
𝜕𝑥𝛿𝑡
𝑑𝛼
𝑑𝑡= lim
𝛿𝑡→0
𝛿𝛼
𝛿𝑡=
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝑑𝛽
𝑑𝑡= lim
𝛿𝑡→0
𝛿𝛽
𝛿𝑡=
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜔𝑧 =𝑑𝜑𝑥𝑦
𝑑𝑡=
1
2
𝑑𝛼
𝑑𝑡−
𝑑𝛽
𝑑𝑡=
1
2
𝜕𝑣
𝜕𝑥−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜔𝑥 =𝑑𝜑𝑦𝑧
𝑑𝑡=
1
2
𝜕𝑤
𝜕𝑦−
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜔𝑦 =𝑑𝜑𝑧𝑥
𝑑𝑡=
1
2
𝜕𝑢
𝜕𝑧−
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜔 = 𝜔𝑥 𝑖 + 𝜔𝑦 𝑗 + 𝜔𝑧 𝑘 =
1
2𝛻 × 𝑉
vorticidade
se escoamento irrotacional:
𝛻 × 𝑉 = 0
Rotação: 𝛿𝜑𝑥𝑦 =𝛿𝛼 − 𝛿𝛽
2
y
𝛿𝛼
𝛿𝛽𝛿𝜑
𝛿𝑥
𝛿𝑦
x
𝛿𝑡
𝛿𝑥 +𝜕𝑢
𝜕𝑥𝛿𝑥𝛿𝑡
𝜕𝑣
𝜕𝑥𝛿𝑥𝛿𝑡
𝛿𝑦 +𝜕𝑣
𝜕𝑦𝛿𝑦𝛿𝑡
𝜕𝑢
𝜕𝑦𝛿𝑦𝛿𝑡
𝛿𝛼 = atan
𝜕𝑣𝜕𝑥
𝛿𝑥𝛿𝑡
𝛿𝑥 +𝜕𝑢𝜕𝑥
𝛿𝑥𝛿𝑡 0
=𝜕𝑣
𝜕𝑥𝛿𝑡
𝑑𝛼
𝑑𝑡= lim
𝛿𝑡→0
𝛿𝛼
𝛿𝑡=
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝑑𝛽
𝑑𝑡= lim
𝛿𝑡→0
𝛿𝛽
𝛿𝑡=
𝜕𝑢
𝜕𝑦𝜃𝑡
𝜃𝑡+𝛿𝑡
Distorção: (deformação angular)
𝛿𝜃𝑥𝑦 = 𝛿𝛼 + 𝛿𝛽
휀𝑥𝑦 =𝑑𝜃𝑥𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝛼
𝑑𝑡+
𝑑𝛽
𝑑𝑡
=𝜕𝑣
𝜕𝑥+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
휀𝑦𝑧 =𝑑𝜃𝑦𝑧
𝑑𝑡=
𝜕𝑤
𝜕𝑦+
𝜕𝑣
𝜕𝑧
휀𝑧𝑥 =𝑑𝜃𝑧𝑥
𝑑𝑡=
𝜕𝑢
𝜕𝑧+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
taxa de cisalhamento
⇒𝑑𝜃𝑖𝑗
𝑑𝑡=
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖+
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
→𝑑𝜃𝑥𝑦
𝑑𝑡=
휀𝑥𝑦
y
𝛿𝑥
𝛿𝑦
x
𝛿𝑡
𝛿𝑥 +𝜕𝑢
𝜕𝑥𝛿𝑥𝛿𝑡
𝛿𝑥 𝛿𝑒𝑥
𝛿𝑒𝑥 =𝜕𝑢
𝜕𝑥𝛿𝑥𝛿𝑡
→ 휀𝑥𝑥 =𝑑𝑒𝑥
𝑑𝑥
휀𝑥𝑥 =𝜕𝑢
𝜕𝑥
=𝜕𝑢
𝜕𝑥𝛿𝑡
휀𝑦𝑦 =𝜕𝑣
𝜕𝑦
→ 휀𝑥𝑥 =𝑑휀𝑥
𝑑𝑡=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
휀𝑧𝑧 =𝜕𝑤
𝜕𝑧
Taxa de deformação linear:
Taxa de dilatação volumétrica :
𝛿𝑥 + 𝑑𝑒𝑥 ∙ 𝛿𝑦 + 𝑑𝑒𝑦 ∙ 𝛿𝑧 + 𝑑𝑒𝑧
1
𝛿𝑉
𝑑 𝛿𝑉
𝑑𝑡=
𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧 + 𝛿𝑥𝛿𝑦𝑑𝑒𝑧 + 𝛿𝑥𝛿𝑧𝑑𝑒𝑦 + 𝛿𝑦𝛿𝑧𝑑𝑒𝑥
𝑑𝑒𝑥𝑑𝑒𝑦
𝑑𝑒𝑥𝑑𝑒𝑧
𝑑𝑒𝑦𝑑𝑒𝑧
≅ 0
𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧1
𝛿𝑉lim𝛿𝑡→0
𝛿𝑉𝑡+𝛿𝑡 − 𝛿𝑉𝑡
𝛿𝑡=
= lim𝛿𝑡→0
𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑒𝑧 + 𝛿𝑥 𝛿𝑧 𝛿𝑒𝑦 + 𝛿𝑦 𝛿𝑧 𝛿𝑒𝑥
𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧 𝛿𝑡
= lim𝛿𝑡→0
𝛿𝑒𝑥
𝛿𝑥𝛿𝑡+
𝛿𝑒𝑦
𝛿𝑦𝛿𝑡+
𝛿𝑒𝑧
𝛿𝑧𝛿𝑡
⇒1
𝛿𝑉
𝑑 𝛿𝑉
𝑑𝑡=
𝜕𝑢
𝜕𝑥+
𝜕𝑣
𝜕𝑦+
𝜕𝑤
𝜕𝑧= 𝛻 ∙ 𝑉
se incompressível
→ 𝛻 ∙ 𝑉 = 0
= 휀𝑥𝑥 + 휀𝑦𝑦 + 휀𝑧𝑧
Exemplo:Dados o campos de velocidade abaixo (S.I.): a) classifique o respectivo escoamento quanto ao regime temporal e dimensionalidade; b) calcule a aceleração no ponto (1,1), quando t=0; c) verifique se são rotacionais; d) e se são incompressíveis (possivelmente).
𝑉 = 𝑥𝑡 + 2𝑦 𝑖 + 3𝑥 − 𝑦𝑡 𝑗
𝑢 𝑣
𝑤 = 0
𝜕𝑉
𝜕𝑡≠ 0
𝜕𝑉
𝜕𝑥≠ 0 𝑒
𝜕𝑉
𝜕𝑦≠ 0,
𝜕𝑉
𝜕𝑧= 0
2D transiente
𝑎 =𝐷𝑉
𝐷𝑡= 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧+
𝜕𝑉
𝜕𝑡
a)
𝑥𝑡 + 2𝑦 𝑡 𝑖 + 3 𝑗 + 3𝑥 − 𝑦𝑡 2 𝑖 − 𝑡 𝑗
𝑥 𝑖 − 𝑦 𝑗
= 6 𝑖 + 𝑗 m/s
b)
c) 𝜔 = 𝜔𝑥 𝑖 + 𝜔𝑦 𝑗 + 𝜔𝑧 𝑘
𝜔𝑧 =1
2
𝜕𝑣
𝜕𝑥−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
3 2
=1
2rad/s
d) 𝛻 ∙ 𝑉 =𝜕𝑢
𝜕𝑥+
𝜕𝑣
𝜕𝑦+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝑡 −𝑡
= 0
possivelmente incompressível
Resumo
Translação:
Rotação:
Deformação angular (distorção):
Deformação linear:
▪ Taxa de dilatação volumétrica:
𝑎 =𝐷𝑉
𝐷𝑡= 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧+
𝜕𝑉
𝜕𝑡
𝜔 =1
2𝛻 × 𝑉
𝑑𝜃𝑖𝑗
𝑑𝑡=
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖+
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
휀𝑖 =𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑖
1
𝛿𝑉
𝑑 𝛿𝑉
𝑑𝑡= 𝛻 ∙ 𝑉
Eq. do Momentum
= 𝑑𝑚𝐷𝑉
𝐷𝑡
Quantidade de movimento linear:
𝐹 =𝑑
𝑑𝑡𝑚 𝑉
Em uma partícula fluida:
𝑑 𝐹 =𝑑
𝑑𝑡𝑑𝑚 𝑉
𝜌 =𝑑𝑚
𝑑V→ 𝑑𝑚 = 𝜌 𝑑V
= 𝜌 𝑑V𝐷𝑉
𝐷𝑡
→ 𝑑 𝐹
𝑑V= 𝜌
𝐷𝑉
𝐷𝑡= 𝜌 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧+
𝜕𝑉
𝜕𝑡
aceleraçãototal
aceleraçãoconvectiva
aceleraçãolocal
𝑑 𝐹
𝑑V= 𝜌
𝜕𝑉
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
2ª Lei de Newton:
Quantidade de movimento linear: Em uma partícula
fluida:
𝑑 𝐹
𝑑V= 𝜌
𝜕𝑉
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
Forças de campo
Forças de contato
▪ Forças viscosas
▪ Forças de pressão
𝑑 𝐹𝑔 = 𝑑𝑚 𝑔 = 𝜌 𝑑V 𝑔 →𝑑 𝐹𝑔
𝑑V= 𝜌 𝑔
𝑒𝑚 𝑥: 𝜌𝑔𝑥
𝑒𝑚 𝑦: 𝜌𝑔𝑦
𝑒𝑚 𝑧: 𝜌𝑔𝑧𝜌 =
𝑑𝑚
𝑑V→ 𝑑𝑚 = 𝜌 𝑑V
Quantidade de movimento linear:
Forças de campo
Forças de contato
▪ Forças viscosas
▪ Forças de pressão
x
y
z
dz
dx
dy
𝜎𝑥𝑥
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑥
𝜎𝑦𝑦
𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥
𝜏𝑧𝑦
𝜎𝑧𝑧
𝜎𝑖𝑗
face direção
Em uma partícula fluida:
𝑑 𝐹
𝑑V= 𝜌
𝜕𝑉
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
𝑑 𝐹𝑔
𝑑V= 𝜌 𝑔
• em x:
𝜎𝑥𝑥𝑥
𝜏𝑦𝑥𝑦
𝜏𝑧𝑥𝑧
x
y
z
dz
dx
dy
Quantidade de movimento linear:
Forças de campo
Forças de contato
▪ Forças viscosas
▪ Forças de pressão
𝜎𝑥𝑥𝑥+𝑑𝑥
𝜏𝑦𝑥𝑦+𝑑𝑦
𝜏𝑧𝑥𝑧+𝑑𝑧
𝜎𝑥𝑥𝑥+𝑑𝑥
− 𝜎𝑥𝑥𝑥
𝑑𝑦𝑑𝑧
𝜏𝑧𝑥𝑧+𝑑𝑧
− 𝜏𝑧𝑥𝑧
𝑑𝑥𝑑𝑦
𝜏𝑦𝑥𝑦+𝑑𝑦
− 𝜏𝑦𝑥𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑧
Em uma partícula fluida:
𝑑 𝐹
𝑑V= 𝜌
𝜕𝑉
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
𝑑 𝐹𝑔
𝑑V= 𝜌 𝑔
Quantidade de movimento linear:
Forças de campo
Forças de contato
▪ Forças viscosas
▪ Forças de pressão
𝜎𝑥𝑥𝑥+𝑑𝑥
− 𝜎𝑥𝑥𝑥
𝑑𝑦𝑑𝑧
𝜏𝑧𝑥𝑧+𝑑𝑧
− 𝜎𝑧𝑥𝑧
𝑑𝑥𝑑𝑦
𝜏𝑦𝑥𝑦+𝑑𝑦
− 𝜏𝑦𝑥𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑧 = 𝜏𝑦𝑥 𝑦+𝑑𝑦
− 𝜏𝑦𝑥 𝑦
𝑑𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧
= 𝜎𝑥𝑥 𝑥+𝑑𝑥 − 𝜎𝑥𝑥 𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧
= 𝜏𝑧𝑥 𝑧+𝑑𝑧 − 𝜏𝑧𝑥 𝑧
𝑑𝑧𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦
Em uma partícula fluida:
𝑑 𝐹
𝑑V= 𝜌
𝜕𝑉
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
• em x:
𝑑 𝐹𝑔
𝑑V= 𝜌 𝑔
𝑑𝐹𝑥 =𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧𝑑V
𝑑𝐹𝑥
𝑑V=
𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
Quantidade de movimento linear:
Forças de campo
Forças de contato
▪ Forças viscosas
▪ Forças de pressão
= 𝜏𝑦𝑥 𝑦+𝑑𝑦
− 𝜏𝑦𝑥 𝑦
𝑑𝑦𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧
= 𝜎𝑥𝑥 𝑥+𝑑𝑥 − 𝜎𝑥𝑥 𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧
= 𝜏𝑧𝑥 𝑧+𝑑𝑧 − ߬𝑧𝑥 𝑧
𝑑𝑧𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦
= lim𝛿𝑦→0
𝜏𝑦𝑥 𝑦+𝛿𝑦− 𝜏𝑦𝑥 𝑦
𝛿𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧
= lim𝛿𝑥→0
𝜎𝑥𝑥 𝑥+𝛿𝑥 − 𝜎𝑥𝑥 𝑥
𝛿𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
= lim𝛿𝑧→0
𝜏𝑧𝑥 𝑧+𝛿𝑧 − ߬𝑧𝑥 𝑧
𝛿𝑧𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦
=𝜕𝜎𝑥𝑥
𝜕𝑥𝑑V
𝜕𝜎𝑥𝑥𝜕𝑥
𝑑V
=𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦𝑑V
=𝜕߬𝑧𝑥
𝜕𝑧𝑑V
Em uma partícula fluida:
𝑑 𝐹
𝑑V= 𝜌
𝜕𝑉
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
• em x:
𝑑 𝐹𝑔
𝑑V= 𝜌 𝑔
Quantidade de movimento linear:
Forças de campo
Forças de contato
▪ Forças viscosas
▪ Forças de pressão
𝑑𝐹𝑣𝑥
𝑑V=
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧𝑑𝐹𝑣𝑦
𝑑V=
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑧
𝑑𝐹𝑣𝑧
𝑑V=
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧
• em x:
• em y:
• em z:
𝑑 𝐹𝑔
𝑑V= 𝜌 𝑔
Em uma partícula fluida:
𝑑 𝐹
𝑑V= 𝜌
𝜕𝑉
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
Quantidade de movimento linear:
Forças de campo
Forças de contato
▪ Forças viscosas
▪ Forças de pressão
𝑑𝐹𝑣𝑥
𝑑V=
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧𝑑𝐹𝑣𝑦
𝑑V=
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑧
𝑑𝐹𝑣𝑧
𝑑V=
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧
• em x:
• em y:
• em z:
𝑑 𝐹𝑔
𝑑V= 𝜌 𝑔
Em uma partícula fluida:
𝑑 𝐹
𝑑V= 𝜌
𝜕𝑉
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
x
y
z
dz
dx
dy
𝑝𝑥
𝑝𝑥+𝑑𝑥
• em x:
𝑝𝑥
− 𝑝𝑥+𝑑𝑥
𝑑𝑦𝑑𝑧 = − 𝑝 𝑥+𝑑𝑥 − 𝑝 𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 =
= − lim𝛿𝑥→0
𝑝 𝑥+𝛿𝑥 − 𝑝 𝑥
𝛿𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑥𝑑V
𝑑𝐹𝑝𝑥=
𝜕𝑝𝜕𝑥
𝑑V
Quantidade de movimento linear:
Forças de campo
Forças de contato
▪ Forças viscosas
▪ Forças de pressão
𝑑𝐹𝑣𝑥
𝑑V=
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧𝑑𝐹𝑣𝑦
𝑑V=
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑧
𝑑𝐹𝑣𝑧
𝑑V=
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧
• em x:
• em y:
• em z:
𝑑 𝐹𝑔
𝑑V= 𝜌 𝑔
Em uma partícula fluida:
𝑑 𝐹
𝑑V= 𝜌
𝜕𝑉
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
• em x:𝑑𝐹𝑝𝑥
𝑑V= −
𝜕𝑝
𝜕𝑥𝑑𝐹𝑝𝑦
𝑑V= −
𝜕𝑝
𝜕𝑦• em y:
𝑑𝐹𝑝𝑧
𝑑V= −
𝜕𝑝
𝜕𝑧• em z:
Quantidade de movimento linear:
Forças de campo
Forças de contato
▪ Forças viscosas
▪ Forças de pressão
𝑑𝐹𝑣𝑥
𝑑V=
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧𝑑𝐹𝑣𝑦
𝑑V=
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑧
𝑑𝐹𝑣𝑧
𝑑V=
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧
• em x:
• em y:
• em z:
𝑑 𝐹𝑔
𝑑V= 𝜌 𝑔
Em uma partícula fluida:
𝑑 𝐹
𝑑V= 𝜌
𝜕𝑉
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
• em x:𝑑𝐹𝑝𝑥
𝑑V= −
𝜕𝑝
𝜕𝑥𝑑𝐹𝑝𝑦
𝑑V= −
𝜕𝑝
𝜕𝑦• em y:
𝑑𝐹𝑝𝑧
𝑑V= −
𝜕𝑝
𝜕𝑧• em z:
Quantidade de movimento linear:
−𝜕𝑝
𝜕𝑥
−𝜕𝑝
𝜕𝑦
−𝜕𝑝
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑥
𝜌𝑔𝑦
𝜌𝑔𝑧
+𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
+𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑧
+𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧
= 𝜌𝜕𝑢
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= 𝜌𝜕𝑣
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
= 𝜌𝜕𝑤
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
Em uma partícula fluida:
𝑑 𝐹
𝑑V= 𝜌
𝜕𝑉
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑉
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑉
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑉
𝜕𝑧
Quantidade de movimento linear:
−𝜕𝑝
𝜕𝑥
−𝜕𝑝
𝜕𝑦
−𝜕𝑝
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑥
𝜌𝑔𝑦
𝜌𝑔𝑧
+𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
+𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑧
+𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧
= 𝜌𝜕𝑢
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= 𝜌𝜕𝑣
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
= 𝜌𝜕𝑤
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
Equação de Euler
Equação de Euler:
Escoamento invíscido (sem “atrito”)
𝜌𝑔𝑥 −𝜕𝑝
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧= 𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑦 −𝜕𝑝
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑧= 𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑧 −𝜕𝑝
𝜕𝑧+
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧= 𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
→ 𝜏𝑖𝑗 = 0
Equação de Euler:
Escoamento invíscido (sem “atrito”)
𝜌𝑔𝑥 −𝜕𝑝
𝜕𝑥= 𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑦 −𝜕𝑝
𝜕𝑦= 𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑧 −𝜕𝑝
𝜕𝑧= 𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜌 𝑔 − 𝛻𝑝 = 𝜌𝑑𝑉
𝑑𝑡
→ 𝜏𝑖𝑗 = 0
Equação de Euler:
Exemplo: Um campo de escoamento permanente,
incompressível e sem atrito é dado por 𝑉 = 2𝑥𝑦 𝑖 + 𝑦2 𝑗 em
unidades arbitrárias. Seja a massa específica 0 = constante e
despreze a gravidade. Encontre uma expressão para o
gradiente de pressão na direção x.
ρgx−∂p∂x
=ρ∂u∂t+u
∂u∂x+v
∂u∂y
+w∂u∂z
ρgy−∂p∂y
=ρ∂v∂t+u
∂v∂x+v
∂v∂y
+w∂v∂z
ρgz−∂p∂z=ρ
∂w∂t
+u∂w∂x
+v∂w∂y
+w∂w∂z
ρg−∇p = ρdV
dt
Equação de Euler:
Exemplo: Um campo de escoamento permanente,
incompressível e sem atrito é dado por 𝑉 = 2𝑥𝑦 𝑖 − 𝑦2 𝑗 em
unidades arbitrárias. Seja a massa específica 0 = constante e
despreze a gravidade. Encontre uma expressão para o
gradiente de pressão na direção x.
ρgx−∂p∂x=ρ
∂u∂t+u
∂u∂x+v
∂u∂y
+w∂u∂zρg−∇p = ρ
dV
dt
𝑉 = u 𝑖 + 𝑣 𝑗 + 𝑤 𝑘0
0 0 0
→ −∂p∂x
= ρ0 2xy∂ 2xy∂x
−y2∂ 2xy∂y
2y 2x
= ρ04xy2−2xy2 = 2ρ
0xy2
→∂p∂x
= − 2ρ0xy2
Eq. de Navier-Stokes
Equação da quantidade de movimento linear
𝜌𝑔𝑥 −𝜕𝑝
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧= 𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑦 −𝜕𝑝
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑧= 𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑧 −𝜕𝑝
𝜕𝑧+
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧= 𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
Equação da quantidade de movimento linear
𝜏𝑥𝑦 = 𝜇𝜕𝑣
𝜕𝑥+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜏𝑥𝑧 = 𝜇𝜕𝑤
𝜕𝑥+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜏𝑦𝑧 = 𝜇𝜕𝑤
𝜕𝑦+
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜏𝑥𝑥 = 2𝜇𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜏𝑦𝑦 = 2𝜇𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜏𝑧𝑧 = 2𝜇𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑥 −𝜕𝑝
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧= 𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑦 −𝜕𝑝
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑧= 𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑧 −𝜕𝑝
𝜕𝑧+
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧= 𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜏 = 𝜇𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝑑𝜃
𝑑𝑡 Newton:
𝑑𝜃
𝑑𝑡
𝜏𝑖𝑗 = 𝜇𝑑𝜃𝑖𝑗
𝑑𝑡
𝑑𝜃𝑖𝑗
𝑑𝑡=
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖+
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
𝜏𝑖𝑗 = 𝜇𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖+
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
Equação da quantidade de movimento linear
𝜏𝑥𝑦 = 𝜇𝜕𝑣
𝜕𝑥+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜏𝑥𝑧 = 𝜇𝜕𝑤
𝜕𝑥+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜏𝑦𝑧 = 𝜇𝜕𝑤
𝜕𝑦+
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜏𝑥𝑥 = 2𝜇𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜏𝑦𝑦 = 2𝜇𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜏𝑧𝑧 = 2𝜇𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑥 −𝜕𝑝
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧= 𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑦 −𝜕𝑝
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑧= 𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑧 −𝜕𝑝
𝜕𝑧+
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧= 𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧=
𝜕
𝜕𝑥2𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑥+
• Considerando fluido newtoniano: constante
= 𝜇 2𝜕2𝑢
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦𝜕𝑥+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2+
𝜕2𝑤
𝜕𝑧𝜕𝑥+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
𝜕2𝑣
𝜕𝑦𝜕𝑥
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2
𝜕2𝑤
𝜕𝑧𝜕𝑥
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
= 𝜇𝜕2𝑢
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2+
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦𝜕𝑥+
𝜕2𝑤
𝜕𝑧𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑥+
𝜕𝑢
𝜕𝑦+
𝜕
𝜕𝑧𝜇
𝜕𝑤
𝜕𝑥+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
2𝜇𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜇𝜕𝑣
𝜕𝑥+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜇𝜕𝑤
𝜕𝑥+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
Equação da quantidade de movimento linear
𝜏𝑥𝑦 = 𝜇𝜕𝑣
𝜕𝑥+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜏𝑥𝑧 = 𝜇𝜕𝑤
𝜕𝑥+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜏𝑦𝑧 = 𝜇𝜕𝑤
𝜕𝑦+
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜏𝑥𝑥 = 2𝜇𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜏𝑦𝑦 = 2𝜇𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜏𝑧𝑧 = 2𝜇𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑥 −𝜕𝑝
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧= 𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑦 −𝜕𝑝
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑧= 𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑧 −𝜕𝑝
𝜕𝑧+
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧= 𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧=
𝜕
𝜕𝑥2𝜇
𝜕𝑢
𝜕𝑥+
𝜕
𝜕𝑦𝜇
𝜕𝑣
𝜕𝑥+
𝜕𝑢
𝜕𝑦+
𝜕
𝜕𝑧𝜇
𝜕𝑤
𝜕𝑥+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
= 𝜇𝜕2𝑢
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2+
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦𝜕𝑥+
𝜕2𝑤
𝜕𝑧𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥+
𝜕𝑣
𝜕𝑦+
𝜕𝑤
𝜕𝑧
• Considerando fluido incompressível: constante𝛻 ∙ 𝑉
→ 𝛻 ∙ 𝑉 = 0
• Considerando fluido newtoniano: constante
= 𝜇𝜕2𝑢
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
Equação da quantidade de movimento linear
𝜏𝑥𝑦 = 𝜇𝜕𝑣
𝜕𝑥+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜏𝑥𝑧 = 𝜇𝜕𝑤
𝜕𝑥+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜏𝑦𝑧 = 𝜇𝜕𝑤
𝜕𝑦+
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜏𝑥𝑥 = 2𝜇𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜏𝑦𝑦 = 2𝜇𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜏𝑧𝑧 = 2𝜇𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑥 −𝜕𝑝
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧= 𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑦 −𝜕𝑝
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑧= 𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑧 −𝜕𝑝
𝜕𝑧+
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧= 𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
• Considerando fluido incompressível: constante → 𝛻 ∙ 𝑉 = 0
= 𝜇𝜕2𝑢
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
• Considerando fluido newtoniano: constante
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧
= 𝜇𝜕2𝑣
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2+
𝜕2𝑣
𝜕𝑧2
= 𝜇𝜕2𝑤
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2+
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2
= 𝜇𝜕2𝑢
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
= 𝜇𝜕2𝑣
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2+
𝜕2𝑣
𝜕𝑧2
= 𝜇𝜕2𝑤
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2+
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2
Equação da quantidade de movimento linear
𝜏𝑥𝑦 = 𝜇𝜕𝑣
𝜕𝑥+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜏𝑥𝑧 = 𝜇𝜕𝑤
𝜕𝑥+
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜏𝑦𝑧 = 𝜇𝜕𝑤
𝜕𝑦+
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜏𝑥𝑥 = 2𝜇𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝜏𝑦𝑦 = 2𝜇𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜏𝑧𝑧 = 2𝜇𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑥 −𝜕𝑝
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧= 𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑦 −𝜕𝑝
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑧= 𝜌
𝜕𝑣
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑧 −𝜕𝑝
𝜕𝑧+
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧= 𝜌
𝜕𝑤
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝜕𝜏𝑥𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑥
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑥
𝜕𝑧
• Considerando fluido incompressível: constante → 𝛻 ∙ 𝑉 = 0
• Considerando fluido newtoniano: constante
𝜕𝜏𝑥𝑦
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑦
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝜏𝑥𝑧
𝜕𝑥+
𝜕𝜏𝑦𝑧
𝜕𝑦+
𝜕𝜏𝑧𝑧
𝜕𝑧
𝜇𝜕2𝑢
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2+
𝜕2𝑢
𝜕𝑧2
𝜇𝜕2𝑣
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑣
𝜕𝑦2+
𝜕2𝑣
𝜕𝑧2
𝜇𝜕2𝑤
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑤
𝜕𝑦2+
𝜕2𝑤
𝜕𝑧2
Equação de Navier-Stokes
𝜌𝑔𝑥 −𝜕𝑝
𝜕𝑥+ 𝜇
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2 +𝜕2𝑢
𝜕𝑦2 +𝜕2𝑢
𝜕𝑧2 = 𝜌𝜕𝑢
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑦 −𝜕𝑝
𝜕𝑦+ 𝜇
𝜕2𝑣
𝜕𝑥2 +𝜕2𝑣
𝜕𝑦2 +𝜕2𝑣
𝜕𝑧2 = 𝜌𝜕𝑣
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜌𝑔𝑧 −𝜕𝑝
𝜕𝑧+ 𝜇
𝜕2𝑤
𝜕𝑥2 +𝜕2𝑤
𝜕𝑦2 +𝜕2𝑤
𝜕𝑧2 = 𝜌𝜕𝑤
𝜕𝑡+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
• e incompressível: constante
• para fluido newtoniano: constante
𝜌 𝑔 − 𝛻𝑝 + 𝜇𝛻2𝑉 = 𝜌𝑑𝑉
𝑑𝑡
Incógnitas:
𝑝, 𝑢, 𝑣 𝑒 𝑤
𝛻2 =
𝜕2
𝜕𝑥2 +𝜕2
𝜕𝑦2 +𝜕2
𝜕𝑧2
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟𝑟
𝜕
𝜕𝑟+
1
𝑟2
𝜕2
𝜕𝜃2 +𝜕2
𝜕𝑥2
com a eq. da continuidade: sistema de 4 incógnitas e 4 equações
Equação de Navier-Stokes
Exemplo 1:
Um fluido viscoso de massa específica e
viscosidade dinâmica constantes escorre devido a
gravidade entre duas placas distantes 2h uma da
outra, conforme figura abaixo. O fluxo está totalmente
desenvolvido, com uma única componente de
velocidade w = w(x). Não há gradientes de pressão
aplicados, somente a gravidade. Resolva a equação
de Navier-Stokes para o perfil de velocidade entre as
placas.
z
x
h h
ρgx−∂p∂x
+μ∂2u
∂x2+∂2u
∂y2+∂2u
∂z2=ρ
∂u∂t+u
∂u∂x+v
∂u∂y
+w∂u∂z
ρgy−∂p∂y
+μ∂2v
∂x2+∂2v
∂y2+∂2v
∂z2=ρ
∂v∂t+u
∂v∂x+v
∂v∂y
+w∂v∂z
ρgz−∂p∂z+μ
∂2w
∂x2+∂2w
∂y2+∂2w
∂z2=ρ
∂w∂t
+u∂w∂x
+v∂w∂y
+w∂w∂z
Equação de Navier-Stokes
Exemplo 1:
Um fluido viscoso de massa específica e
viscosidade dinâmica constantes escorre devido a
gravidade entre duas placas distantes 2h uma da
outra, conforme figura abaixo. O fluxo está totalmente
desenvolvido, com uma única componente de
velocidade w = w(x). Não há gradientes de pressão
aplicados, somente a gravidade. Resolva a equação
de Navier-Stokes para o perfil de velocidade entre as
placas.
ρgz−∂p∂z+μ
∂2w
∂x2+∂2w
∂y2+∂2w
∂z2=ρ
∂w∂t
+u∂w∂x
+v∂w∂y
+w∂w∂z
0 0 0 0 0 0 0
ρg + μ∂2w
∂x2= 0 →
∂2w
∂x2= −
ρgμ
= −k →∂w∂x
= −kx + C1 → w x = −k2x2 + C1x + C2
w −h = 0w +h = 0
z
x
h h
→ w x =k2
h2 − x2 → w x =ρg2μ
h2 − x2→ C1= 0
C2= −kh2 2
Equação de Navier-Stokes Exemplo 2: Para um escoamento laminar e permanente de um fluido
incompressível e newtoniano de massa específica e viscosidade , no interior de uma tubulação horizontal de seção circular, com diâmetro D e comprimento L:
a) considerando um gradiente de pressão constante e 𝜕𝑝
𝜕𝑥=
∆𝑝
𝐿= 𝛾
ℎ𝑝
𝐿, calcule o perfil
de distribuição de velocidades;
b) calcule a vazão volumétrica;
c) calcule a velocidade média; e
d) expresse a perda de carga unitária ( ℎ𝑝 𝐿) em função dos demais parâmetros
xr
u(r)
Equação de Navier-Stokes Exemplo 2:
a) considerando um gradiente de pressão constante e 𝜕𝑝
𝜕𝑥=
∆𝑝
𝐿= 𝛾
ℎ𝑝
𝐿, calcule o perfil
de distribuição de velocidades;
𝜌 𝑔 − 𝛻𝑝 + 𝜇𝛻2𝑉 = 𝜌𝐷𝑉
𝐷𝑡
→ 𝜌𝑔𝑥 −𝜕𝑝
𝜕𝑥+ 𝜇
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟+
1
𝑟2
𝜕2𝑢
𝜕𝜃2 +𝜕2𝑢
𝜕𝑥2 = 𝜌 𝑢𝜕𝑢
𝜕𝑥+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑟+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝜃
→𝜇
𝑟
𝜕
𝜕𝑟𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟=
𝜕𝑝
𝜕𝑥=
∆𝑝
𝐿= 𝛾
ℎ𝑝
𝐿
→ 𝑢 𝑟 =ℎ𝑝ρ𝑔
4𝐿𝜇𝑅2 − 𝑟2
→𝜕
𝜕𝑟𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟= 𝑟
𝛾ℎ𝑝
𝜇𝐿
→ 0
𝑟 𝜕
𝜕𝑟𝑟
𝜕𝑢
𝜕𝑟𝑑𝑟 =
0
𝑟
𝑟𝛾ℎ𝑝
𝜇𝐿𝑑𝑟
→ 𝑟𝜕𝑢
𝜕𝑟=
𝑟2
2
𝛾ℎ𝑝
𝜇𝐿→
𝑟
𝑅 𝜕𝑢
𝜕𝑟𝑑𝑟 =
𝑟
𝑅 𝑟
2
𝛾ℎ𝑝
𝜇𝐿𝑑𝑟
xr
u(r)
Equação de Navier-Stokes Exemplo 2:
a) considerando um gradiente de pressão constante e 𝜕𝑝
𝜕𝑥=
∆𝑝
𝐿= 𝛾
ℎ𝑝
𝐿, calcule o perfil
de distribuição de velocidades;
b) calcule a vazão volumétrica;
c) calcule a velocidade média; e
𝑢 𝑟 =ℎ𝑝ρ𝑔
4𝐿𝜇𝑅2 − 𝑟2
xr
u(r)
𝑄 = 𝐴
𝑉𝑛𝑟 𝑑𝐴 = 𝐴
𝑢 𝑑𝐴 = 0
𝑅 ℎ𝑝ρ𝑔
4𝐿𝜇𝑅2 − 𝑟2 2𝜋𝑟𝑑 𝑟 =
𝜋ℎ𝑝ρ𝑔
2𝐿𝜇 0
𝑅
𝑅2 − 𝑟2 𝑟 𝑑𝑟
=𝜋ℎ𝑝ρ𝑔
2𝐿𝜇 𝑅2
𝑟2
2−
𝑟4
40
𝑅
=𝜋ℎ𝑝ρ𝑔
2𝐿𝜇𝑅2
𝑅2
2−
𝑅4
4=
𝜋ℎ𝑝ρ𝑔
2𝐿𝜇
𝑅4
4→ 𝑄 =
𝜋ℎ𝑝ρ𝑔𝐷4
128 𝐿𝜇
𝑄 = 𝑉𝑚 𝐴 → 𝑉𝑚 =𝑄
𝐴=
4𝑄
𝜋𝐷2
4
=
𝜋ℎ𝑝𝜌𝑔𝐷4
128 𝐿𝜇
𝜋𝐷2
4
→ 𝑉𝑚 =ℎ𝑝ρ𝑔𝐷2
32 𝐿𝜇
Equação de Navier-Stokes Exemplo 2:
a) considerando um gradiente de pressão constante e 𝜕𝑝
𝜕𝑥=
∆𝑝
𝐿= 𝛾
ℎ𝑝
𝐿, calcule o perfil
de distribuição de velocidades;
b) calcule a vazão volumétrica;
c) calcule a velocidade média; e
d) expresse a perda de carga unitária ( ℎ𝑝 𝐿) em função dos demais parâmetros
𝑢 𝑟 =ℎ𝑝ρ𝑔
4𝐿𝜇𝑅2 − 𝑟2
xr
u(r)
𝑄 =𝜋ℎ𝑝ρ𝑔𝐷4
128 𝐿𝜇
𝑉𝑚 =ℎ𝑝ρ𝑔𝐷2
32 𝐿𝜇→
ℎ𝑝
𝐿=
32 𝐿𝜇𝑉𝑚
ρ𝑔𝐷2
Equação da continuidade:
Equação de Euler: (escoamento invíscido)
Equação de Navier-Stokes: (fluido newtoniano e
incompressível)
𝜕𝜌
𝜕𝑡+ 𝛻 ∙ 𝜌𝑉 = 0
𝜌 𝑔 − 𝛻𝑝 = 𝜌𝑑𝑉
𝑑𝑡
𝜌 𝑔 − 𝛻𝑝 + 𝜇𝛻2𝑉 = 𝜌𝑑𝑉
𝑑𝑡
Aula 4 – Equações Diferenciais
Equação da continuidade
Cinemática
Equação da quantidade de movimento linear
Equação de Euler
Equação de Navier-Stokes
BIBLIOGRAFIA:
WHITE, Frank. M. Mecânica dos Fluidos. 6ª ed. McGraw-
Hill, 2010.
WHITE, Frank. M. Viscous Fluid Flow. 3ª ed. MacGraw-
Hill, 2006.
FOX Robert W.; MCDONALD Alan T. Introdução à
Mecânica dos Fluídos. 8ª ed. John Wiley and Sons, N.Y.,
Tradução: LTC, 2014.
www.HidroUff.uff.br