einflusslinien

Einusslinien und ihre Anwendung

Bachelor Projekteingereicht am

Institut fur Baustatik der Technischen Universitt Graz aim Mai 2009

Verfasser: Betreuer:

Christiana Kppl o Dipl. Ing. Klaus Thni o

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Inhaltsverzeichnis1 Einleitung 1.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Streifzug durch die Geschichte der Einusslinie 2.1 Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Entwicklung der Einusslinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Anwendungsbeispiele 3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Artikel in Zeitschriften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Diplomarbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Grundlagen zur Einusslinie 4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Bedeutung der Einusslinie . . . . . . . . . . 4.1.2 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Zustandslinie contra Einusslinie . . . . . . . 4.1.4 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Grundbegrie der Kinematik starrer Scheiben 4.2.2 Prinzip der virtuellen Verschiebung (PvV) . . 4.2.3 Weitere Energieaussagen . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Satz von Land (1882) - Herleitung . . . . . . 1 1 1 3 3 3 11 11 11 13 15 15 15 15 15 16 18 18 24 24 26 29 29 29 31 35 35 41 42 43 43

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5 Berechnung der Einusslinie 5.1 Einusslinien fr Kraftgren statisch bestimmter Systeme . . . . . . . . u o 5.1.1 Analytische Methode - Schnittprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Kinematische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Einusslinien fr Kraftgren statisch unbestimmter Systeme . . . . . . . u o 5.2.1 Verwendung eines statisch bestimmten Grundsystems . . . . . . . 5.2.2 Verwendung eines (n-1)-fach statisch unbestimmten Hauptsystems 5.3 Einusslinien fr Weggren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u o 5.3.1 Einusslinien fr Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 5.3.2 Einusslinien fr Verdrehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u

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6 Beispiel: Fachwerk 45 6.1 Kinematische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6.2 Laststellungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

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1 Einleitung1.1 AufgabenstellungIn der vorliegenden Bachelorarbeit soll den Studierenden das Prinzip der Einusslinie nhergebracht a werden. Hierfr erfolgt zunchst ein historischer Rckblick, zu den Wurzeln der Einusslinie. Anhand einer u a u Sammlung von Artikeln und Diplomarbeiten soll dann gezeigt werden, dass diese Methode nach wie vor Anwendung in der Praxis ndet. Weiters werden die erforderlichen, theoretischen Grundlagen zur Bestimmung der Einusslinie aufbereitet, und die Unterschiede bei deren Ermittlung bei statisch bestimmten und statisch unbestimmten Tragwerken aufgezeigt. Diese Arbeit wird zum Abschluss mit einem ausgearbeiteten Beispiel abgerundet.

1.2 MotivationDie Anwendungsmglichkeiten und der Nutzen der Einusslinie werden hug unterschtzt und folgo a a lich wird ihr oft nicht gengend Aufmerksamkeit geschenkt, wie es bereits zu ihren Anfngen gescheu a hen ist. Deswegen soll in der vorliegenden Arbeit ein vollstndiges Bild der Einusslinie gegeben werden, um a den Studierenden und allen Interessierten den Zugang zur notwendigen Theorie zu erleichtern und so das Interesse wieder zu wecken.

Abb. 1.1: Modellierung einer Eisenbahnbrcke [1] u

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1 Einleitung

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2 Streifzug durch die Geschichte der Einusslinie2.1 VorwortDas Wort Inuenzlinie, heute Einusslinie, ist auf das Jahr 1873 rckzudatieren und wird Weyrauch u zugesprochen. Johann Jakob Weyrauch (1845-1917) gab der Einusslinie zwar ihren Namen, doch kann er keinesfalls als ihr Schpfer angesehen werden. Vielmehr ist er einer von vielen, die sich im o Laufe der Zeit mit ihr beschftigt und versucht haben, ein allgemeines Prinzip zur Anwendung der a Einusslinie aufzustellen. Somit ist hier nicht nur eine Person zu erwhnen, die sie ins Leben gerufen a hat, sondern eine Vielzahl. So liegt mehr als ein Jahrhundert zwischen den ersten schriftlichen Aufzeichnungen und der Durchsetzung der Einusslinie in der Baustatik als anerkanntes Prinzip. Im Folgenden sollen auch ein paar Persnlichkeiten erwhnt werden, die mageblich zur ihrer Ento a wicklung beigetragen haben und das Prinzip der Einusslinie zu jener eleganten Methode werden lieen, die heutzutage noch an Universitten gelehrt wird. Dem ist weiters hinzuzufgen, dass die a u Einusslinie nicht nur ein Relikt aus frheren Zeiten, sondern sehrwohl ein aktuelles Thema ist und u Anwendung in der Praxis ndet, wie in Kap. 3 an einigen Beispielen gezeigt werden soll.

2.2 Entwicklung der Einusslinie Zunchst soll ein Uberblick der Entwicklung der Einusslinie anhand des Dreisprunges der Disziplina bildungsperiode der Baustatik gegeben werden [24, vgl. S.211]. Darunter versteht man den Zeitraum von 1825 bis 1900, wobei diese wiederum in drei Abschnitte eingeteilt wird: die Konstituierungsphase, die Etablierungsphase und die Vollendungsphase. Zur Konstituierungsphase (1825-1850) zhlt kein geringerer als Claude-Louis Naa vier (1785-1836), der als der Begrnder der Baustatik gilt und mit seiner Elastiu zittstheorie in die Geschichte einging. a Auch befasste er sich als einer der ersten mit der Einusslinie. Er behandelte in seiner Mechanik der Baukunst [Navier, 1833/1878] einen parabelfrmigen symo metrischen, einfach statisch unbestimmten Zweigelenkbogen, fr den er die Einu usslinie des Horizontalschubes H() bei vertikaler Wanderlast P ableitete.[24, S.61](Abb. 2.1) P f H() H()

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Abb. 2.1: Zur Berechnung der Einusslinie des Horizontalschubes H() nach Navier

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2 Streifzug durch die Geschichte der Einusslinie

In der zweiten Phase, der sogenannten Etablierungsphase (1850-1875), sind Karl Culmann (Abb. rechts) und die graphische Statik zu erwhnen. a Anfang des 19. Jahrhunderts entwickelte der Franzose Jean Victor Poncelet (1788-1867) die sogenannte projektive Geometrie, die von Karl Culmann (18211881) aufgegrien wurde. Er selbst, W. Ritter, O.C. Mohr, E. Winkler und L. Cremona sind als die Schpfer der graphischen Statik anzusehen, wobei Culo mann als ihr Begrnder gilt. u Er ist der Verfasser von Die graphische Statik [Culmann, 1864/1866]; sein Werk ist Ausgangspunkt sowohl der graphischen Statik als auch der Graphostatik. Letztere wurde von den Ingenieuren dieser Zeit bevorzugt; auch der Schler und Nachfolu ger Culmanns an der ETH Zrich, W. Ritter, schrieb in Folge ein Werk uber die u Graphostatik. In dieser Periode beschftigte man sich ebenfalls mit der Einusslinie: neben vielen anderen der a anfangs erwhnte Weyrauch und weiters Wilhelm Frnkel (1841-1895), der 1876 selbst eine zusama a menfassende Arbeit uber die Einusslinie schrieb, der allerdings nie grere Beachtung geschenkt o wurde. Die Graphostatik wurde auch in Laufe der Vollendungsphase (1875-1900) angewandt und ausgebaut und diente als Basis zur Ermittlung der Einusslinie. In dieser Phase wurde die Baustatik vor allem durch Persnlichkeiten wie Castigliano, Maxwell, o Winkler, Mohr, Mller-Breslau, Weyrauch und Land geprgt. Und auch auf die Einusslinie wirkten u a sie alle ein: denn in der Vollendungsphase der Baustatik wurde die allgemeine Theorie der Einusslinie ins Leben gerufen. Heinrich Mller-Breslau (1851-1925) meinte etwa zur Graphostatik : (...) die Aufu tragung der Verschiebungsplne und die Benutzung dieser Liniengebilde zur Hera leitung der Einusslinien und Einusszahlen, welche auf alle bei der Untersuchung eines gegebenen Fachwerks zu stellenden Fragen die bndigste Antwort geben. u [Mller-Breslau, 1903, S.VI] (Abb. 2.2, Abb. 2.3) u Nun noch einmal ein Schritt zurck in der Geschichte: u Die Industrielle Revolution brachte die Lokomotive und das Eisenbahnnetz mit sich. Um neue Gebiete erschlieen zu knnen, mussten tiefe Gelndeeinschnitte uberwunden werden. Die Notwendigkeit von o a Brcken und besonders das Aufkommen von eisernen Fachwerkbrcken brachte auch die Frage u u mit sich, wie sich die Schnittkrfte in der Konstruktion mit der Lage der Lokomotive andern und bei a welcher Position die Brcke den grten Belastungen ausgesetzt sei. u o Zuerst setzte man die grtmgliche Last als verschmierte Gleichstreckenlast uber das gesamte Feld o o an und verwendete das resultierende maximale Moment zur Dimensionierung des gesamten Brckenu querschnitts. Aufgrund der daraus resultierenden Materialverschwendung und dieser recht trivialen Lsung beschftigten sich Brckenbauer wie Schwedler 1 , Busel, Laissle 2 und Schbler 3 seit den o a u a u 1850er Jahren mit bewegten Lastmodellen. [24, vgl. S.61] Allerdings wurde die Einusslinie in dieser Zeit nur fr Einzelflle uberlegt. Ein einheitliches Konu a zept zur Ermittlung der maximalen Schnittkrfte aufgrund von Wanderlasten wurde daher nicht a entwickelt. Mitte des 19. Jahrhunderts besuchte Emil Winkler das Dresdener Polytechnikum, wo er die Vortrge a von J.A. Schubert hrte. o Johann Andreas Schubert (1808-1870) war einer der letzten Polytechniker. Er war unter anderem1 2

Schwedler, Johann Wilhelm (1823-1894) Laissle, Franz: Der Bau der Brckentrger (1864) u a 3 Schbler, Adolf: Der Bau der Brckentrger (1864) u u a

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2.2 Entwicklung der Einusslinie

Abb. 2.2: Verschiebungsplan eines Fachwerktrgers nach Mller-Breslau [Mller-Breslau, 1903, Tafel 2] a u u


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Abb. 2.3: Mller-Breslaus graphische Bestimmung des Einusses wandernder Lasten auf Stabkrfte in statisch u a bestimmten Fachwerken mit Hilfe kinematischer Methoden [Mller-Breslau, 1887/1, Tafel 6, Fig. u 398]

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Abb. 2.4: Schuberts Ansatz zur Berechnung des Horizontalschubes von Gewlben infolge einer Wanderlast o

sowohl im Maschinen- als auch im Bauwesen sehr bewandert. So entwickelte er die erste deutsche Dampokomotive Saxonia und konstruierte die 1851 ernete Gltzschtalbrcke. o o u 1845 verentlichte er seine Sttzlinientheorie, die auf einem Starrkrpersystem basiert und Elastizio u o tten auer Acht lsst. Auch wenn seine Vorstellungen uber die von ihm eingefhrte vorgeschriebene a a u Sttzlinie die Gewlbetheorie nicht voranbrachte, erahnte er als Brckenbauer schon in Anstzen das u o u a Wesen der Einusslinie. [24, S.50] In Abb. 2.4 ist ein Gewlbe als gelenkig gelagerte starre Bogeno scheibe nach Schubert dargestellt. Nun aber zurck zu Emil Winkler (1835-1888). Schubert hatte in ihm u groes Interesse an der Gewlbestatik und der Elastizittstheorie geweckt. o a Ab 1865 wirkte er selbst am Polytechnikum in Prag als Professor fr Inu genieurbaukunde. Whrend dieser Zeit befasste er sich eingehend mit der a mathematisch-naturwissenschaftlich orientierten Elastizittstheorie und gemeina sam mit F. Grashof wandelte er diese in eine Technische Elastizittstheorie um. a 1868 wird er Professor fr Eisenbahn- und Brckenbau am Wiener Polytechniu u kum. Aufgrund der Mglichkeit, sich mit der Baustatik, besonders der Elastizittstheorie und der Facho a werktheorie, einerseits und dem Eisenbahn- und Brckenbau andererseits so ausfhrlich beschftigen u u a zu knnen und aufgrund des Zusammenspiels dieser Gebiete war es ihm mglich, das Konzept der o o Einusslinie zu entwickeln: 1867 publiziert Winkler sein Hauptwerk, die Lehre von der Elasticitt und a Festigkeit [Winkler, 1867]. Neben der allgemeinen Theorie des ebenen elastischen Bogens enthlt es a neuartige Anstze und Lsungen die Berechnung von Einusslinien fr innere Krfte unter vertikaler a o u a Wanderlast beim freiauiegenden Trger auf zwei Sttzen, beim Dreigelenk- und Zweigelenkbogen a u sowie bei eingespannten Bogen.[24, S.235] Mit der Zeit entfalteten sich zwei Theorien in der Baustatik: der energetische Imperativ, vertreten durch Castigliano und Maxwell sowie in Folge auch durch Mller-Breslau, und der kinematische Impeu rativ geprgt von Mohr, die beide in der Theorie der Einusslinie Eingang fanden. In den 1880er kam a es auch zu einem Streit zwischen Mller-Breslau und Mohr, ob die von ihnen vertretenen Theorien u als Basis der Baustatik gleichwertig wren.[24, vgl. S.250] a Zunchst wird auf den energetischen Imperativ eingegangen: a James Clerk Maxwell (1831-1879) fhrte 1864 das energetische Maschinenmodell u der Fachwerktheorie ein. Er betrachtet das Fachwerk als Maschine mit dem Wirkungsgrad 1, an welcher die Kraft 1 einen elastischen Widerstand Si uber windet. (. . . ) Das als energetische Maschine modellierte Fachwerk verwandelt die uere Arbeit Aa gem dem Energieerhaltungssatz verlustfrei in die a a Formnderungsenergie . [24, S.250] a Maxwells Theorie wird in Abb. 2.5(a) anhand eines statisch bestimmten Fachwerks veranschaulicht. Um die Verschiebung F eines bestimmten Knotens des gegebenen Systems bestimmen zu knnen, o


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lsst er am selben Knoten die virtuelle Kraft 1v unendlich langsam in die gleiche Richtung wirken, a v woraus sich die Stabkraft Si berechnen lsst und daraus - nach dem Satz von Clapeyron 4 - wiederum a die gesuchte Knotenverschiebung: 1 v v 1 v v 1 F,i = Si li 2 2 oderv v v F,i = Si li

(2.1)

(2.2)

Wie aus Abb. 2.5(a) ersichtlich wird, nimmt er dazu bis auf den beobachteten Stab alle anderen Stbe als starr an. Mchte man nun die Verschiebung unter realer Belastung berechnen, muss man a o in die Kalkulation alle elastischen Stbe miteinbeziehen und erhlt mit a av li = li =

Si li E Aiv Si

(2.3)

die Arbeitsgleichungs s

F =i=1

F,i =i=1

Si li . E Ai

(2.4)

Weiters schliet er aus Glg. (2.4) das Vertauschungsgesetz ik = ki , bekannt unter dem Satz von Maxwell (Abs. 4.2.3). Danach lst er auch statisch unbestimmte Fachwerke auf der von ihm auf diesem Wege geschaenen o Basis des Kraftgrenverfahrens [24, vgl. S. 241.]. o

(a) Av + Av = 0 a i

(b) Av = 0 a

Abb. 2.5: Fachwerkanalyse nach (a) Maxwell und (b) Mohr4

Clapeyron, Beno t-Pierre-Emile (1799-1864), Eisenbahningenieur

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Dem gegenber steht der kinematische Imperativ: u Otto Mohr (1835-1918) entwickelt 1874/1875 eine Theorie zur Lsung statisch o unbestimmter Fachwerke, analog zu Maxwell, aber unabhngig von dessen Ara beit, bringt er ebenfalls eine Kraft am Ort der gesuchten Knotenverschiebung auf (Abb. 2.5(b)).

Der Unterschied zwischen den energetischen und dem kinematischen Maschinenmodell des Fachwerks liegt lediglich darin, dass Maxwell von der inneren virtuellen Arbeit und dem Energiesatz und Mohr von der ueren virtuellen Arbeit und dem allgemeinen Arbeitssatz ausgeht. [24, S.250] a Das kinematische Maschinenmodell des Fachwerks nach Mohr geht auf Franz Reuleaux 1875 vero entlichte (aber bereits 1871 vorabgedruckte) Theoretische Kinematik und dem darin durch ein Gelenkviereck veranschaulichten Maschinenbegri zurck (Abb. 2.6). u

Abb. 2.6: Fest montiertes Gelenkviereck [Reuleaux, 1875, S.51]

Abb. 2.7: Polplan des Gelenkvierecks nach Land [Land, 1887/1, S.367]

Franz Reuleaux (1829-1905), der eigentlich Maschinenbauer war, konnte sich mit seinen Theorien im Maschinenwesen nicht durchsetzen, erarbeitete aber zugleich fr den Bauingenieur, und zu Beginn u besonders fr Otto Mohr sehr wertvolle Grundlagen. u Reuleaux geht es um die Transmission der Bewegung, welche zwischen der Kraftquelle der Bewegung und dem Ort der Einwirkung des Werkzeuges auf den Arbeitsgegenstand liegt. Auch die Fachwerkbrcke ist ein Transmissionsmechanismus. Ihre Stbe und Knoten verndern die Lage auf Grund von u a a Lastursachen und ubertragen sie als Auagerkrfte in die Erde. Von dieser Transmission aus gesehen, a kann das Fachwerk als Werkzeugmaschine deren Arbeitsorgane auf die Erde einwirken, begrien werden; wie umgekehrt das Fachwerk durch die Brille des Transmissionsmechanismus als Kraftmaschine wahrgenommen werden kann, die uere Arbeit verrichtet. [24, S.252] a Dies bildet also die Grundlage fr Mohrs Fachwerktheorie und schlielich fr den kinematischen u u Imperativ. Robert Land (1857-1899), der ein Schler Mohrs war, publizierte 1887 den Artikel Die Gegenseitigu keit elastischer Formnderungen als Grundlage einer allgemeinen Darstellung der Einusslinien aller a


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Trgerarten, sowie einer allgemeinen Theorie der Trger uberhaupt [Land, 1887/2]. Darin entwickela a te er die kinematische Fachwerktheorie zur kinematischen Theorie der Stabwerke. Weiters enthlt es a auch einen Beweis fr die Zwangslugkeit der Beweglichkeit des Kurbelvierecks nach Reuleaux in u a geometrischer Form der Polplan war geboren (Abb. 2.7). Anfang des 20. Jahrhunderts geriet Lands Arbeit in Vergessenheit, da diese von den Werken Mohrs und Mller-Breslaus in den Schatten gestellt wurde. u Erst in den 1930ern nherte man sich wieder der kinematischen Perspektive der Baustatik, und zwar a im Zuge der Entwicklung des Weggrenverfahrens. o In Folge wurde Lands Verfahren zur Bestimmung der Einusslinie Satz von Land getauft ein Verfahren, dass uns bis heute erhalten geblieben ist. Unter Abs. 4.2.4 soll es genauer erlutert werden. a

Abb. 2.8: Graphische Ermittlung der Einusslinien von Kraftgren des Dreigelenksbogens [Land, 1888, S.172] o

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3 Anwendungsbeispiele3.1 AllgemeinesWandernde Lasten treten zum Beispiel bei Kranbahnen, befahrbaren Decken, Straen und aller Arten von Brcken (Eisenbahn-, Straen-, Weg-, Fugngerbrcken usw.) auf. Fr all dies Bauwerke ist die u a u u Einusslinie somit ein geeignetes Hilfsmittel zur Ermittlung der grten inneren Krfte im Tragwerk o a aufgrund ortvariabler Lasten. Im Folgenden werden einige ausgewhlte Artikel von 1971 bis 2004 in chronologischer Reihenfolge a und einige Diplomarbeiten der letzten Jahre vorgestellt, die vor allem die praktische Anwenung der Einusslinie und zum Teil auch ihren theoretischen Hintergrund zum Inhalt haben.

3.2 Artikel in ZeitschriftenBebr, A. Einulinien torsionssteifer Trgerroste a In diesem Artikel beschreibt A. Bebr eine Methode die Knickmethode mit der die Einusslinien aller Trgerrostsysteme ezient ermittelt werden knnen. Im Vergleich zu anderen Verfahren ist der a o Zeitaufwand geringer und diese Methode setzt keine Vereinfachungen voraus, wodurch die Berechnung der Einusslinien torsionssteifer Trgerroste relativ genau wird. [15] a Tschemmernegg, F. Zur Berechnung der Pylonen der Rheinbrucke Duisburg - Neu enkamp F. Tschemmernegg berichtet in diesem Artikel uber die Ausfhrungs- und Montageberechnung der u vollstndig geschweiten Pylone der Rheinbrcke Duisburg-Neuenkamp. a u Fr die Berechnung des Schrgseilbrckensystems nach Theorie I. Ordnung wurde ein Programm u a u nach dem Reduktionsverfahren aufgestellt. Dieses Programm rechnet Lastflle und Einusslinien a sowie beliebige Kombinationen von Einusslinien aller Schnitt- und Verformungsgren. o Mit Hilfe der von den Querschnitten der Pylonen und von den statischen Systemen abhngigen a Faktoren und konnte in diesem speziellen Fall unter Verwendung der Einusschen fr die a u Kernpunktsmomente nach Theorie I. Ordnung der Zuwachs der Momente nach Theorie II. Ordnung eingefangen werden. [30] Rudolph, C. L. Die Fuldatalbrucke Bergshausen C.L. Rudolph behandelt hier die statische Berechnung der Fuldatalbrcke Bergshausen. u Zur Berechnung der Schnittkrfte des Haupttragsystems wurde die Belastung in einen symmetrischen a und einen antimetrischen Teil aufgespalten. Die Berechnung der Einusslinie des symmetrischen Belastungszustandes erfolgte mit einem eigenen Fachwerktrgerprogramm auf einer IBM 650, whrend a a die Auswertung der Einusslinien manuell vorgenommen wurde. Desgleichen wurden die Schnittkrfa te infolge antimetrsicher Belastung manuell berechnet. [27], [28]

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3 Anwendungsbeispiele

Krzizek, H. Zur direkten Bestimmung extremaler Schnittgren bei Durchlauftrgern o a und eingeschossigen Rahmen mit unverschieblichen Knotenpunkten Die hier von H. Krzizek dargestellte Bedeutung der Festpunkte in Bezug auf die Eigenschaften der Einusslinien fr verschiedene Aufpunkte waren bereits zu jener Zeit, als die Festpunktmethode u entwickelt wurde, bekannt. Dienten die Festpunkte seinerzeit dazu, die Ausung von Gleichungssyso temen zu umgehen, knnen sie nun zur schnelleren Ermittlung von Extremalschnittgren verwendet o o werden. Vor allem aber gestatten sie, jene Bereiche anzugeben, fr die die bei feldweise Belastung u erhaltenen Werte dem exakten Extremwert entsprechen. [21] Krzizek, H. Zur direkten Bestimmung extremaler Schnittgren bei Durchlauftrgern o a und eingeschossigen Rahmen mit unverschieblichen Knotenpunkten Hier wird ebenfalls versucht, eine Alternative zu der sonst ublichen Aufstellung und Auswertung von Einusslinien zu entwickeln. Es werden sogenannte Lastenzug-Einusslinien verwendet, welche fr u einen festen Ort die von der ortsvernderlichen Lastgruppe bewirkte Schnittgre zeigen. Die grte a o o oder die kleinste Ordinate liefert dann unmittelbar den Extremwert, wodurch sich vor allem bei komplizierten Belastungen erhebliche Vorteile gegenber der herkmmlichen Ermittlung der Einusslinie u o ergeben. [22] Ebel, H. Zur Berucksichtigung von Verformungslastfllen in den Reziprozittsstzen a a a von Betti, Maxwell und Krohn-Land Dieser Artikel stellt einen Beitrag zu theoretischen Fundierung des Prinzips der Einusslinie dar. H. Ebel behandelt die Stze von Betti und Maxwell als Grundlage fr die Ermittlung der Einusslinie a u fr Weggren infolge Wanderlast mit dem Betrag 1 und den Satz von Krohn-Land als Basis fr u o u die Berechnung der Einusslinie fr Schnittgren oder Lagerreaktionen. [19] u o Brancaleoni, F. Verformungen von Hngebrucken unter Eisenbahnlasten a In dieser Arbeit untersucht f. Brancaleoni die Verwendungsmglichkeiten von Hngebrcken fr den o a u u Eisenbahnverkehr. Wegen der groen Verformbarkeit der Hngebrcke einerseits und der kleinen, auf a u wichtigen Eisenbahnstrecken zulssigen Steigung andererseits war diese parametrische Untersuchung a erforderlich. Als Ergebnis werden einige Beispiele von Einusslinien der Durchschnittssteigung und die Kurven der maximalen Steigung in Abhngigkeit von der Spannweite fr alle Belastungszustnde dargestellt. a u a Diese Kurven ermglichen eine generelle Beurteilung der Einwirkung der verschiedenen untersucho ten Parameter sowie auch der Verformbarkeit und der Anwendungsgrenzen von Hngebrcken, was a u letztlich das Ziel der Untersuchung war. [18] Schade, D. Einulinien fur Ausnutzungsgrade in Stabwerken Wenn in Querschnittsnachweisen von Stabwerken Kombinationen von Schnittgren eingehen und o Einusslinien zur ungnstigen Anordnung von Verkehrslasten benutzt werden, sind Einusslinien u fr Ausnutzungsgrade wie die bisher in einfachen Fllen benutzten Einusslinien fr Kernmomente u a u ntzlich. [29] u

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3.3 Diplomarbeiten

Unterweger, H.; Kaim, P. Zur Ezienz von Queraussteifungen und unteren Verbnden a bei breiten Straendeckbrucken H. Unterweger und P. Kaim betrachten Alternativen zum bestehenden Tragsystem einer mehrfeldrigen Straendeckbrcke in Verbundbauweise. Sie untersuchen unter anderem die Variation von Steigu keit und Anzahl der Verbnde fr alle Systeme, wobei die Ergebnisse in Form von vertikalen Durcha u biegungen sowie Einusslinien und Beanspruchungen in reprsentativen Haupttrger- und Verbandsa a querschnitten vergleichend dargestellt werden, wodurch die Ezienz der Modikationen am System direkt ablesbar wird. [32] Unterweger, H. Zur magebenden Verkehrslaststellung bei Schrgseilbrucken a In diesem Artikel geht H. Unterweger auf die Ermittlung der ungnstigsten Verkehrslaststellungen u fr zwei reprsentative Fahrbahnquerschnitte einer Schrgseilbrcke mit Verbundquerschnitt unter u a a u anderem unter Zuhilfenahme der Einusslinie ein. [31]

3.3 DiplomarbeitenKress, Sigurd (FH Nordostniedersachsen) Entwicklung eines webbasierten Lehrmoduls uber Einusslinien fur beliebige Biegetrger a Im Zuge seiner Diplomarbeit entwickelt Sigurd Kress ein webbasiertes Lehrmodul uber Einusslinien fr beliebige Biegetrger. Hierbei geht er zunchst auf theoretsiche Grundlagen und die Verfahren zur u a a Berechnung der Einusslinien fr statisch bestimmte und unbestimmte Systeme ein und untermauert u diese in Folge mit Ubungen und Aufgaben mit Lsungen. [5] o Materna, Daniel (Universitt Kassel) Finite Elemente und Einussfunktionen a Darin behandelt Daniel Materna die Berechnung von Einussfunktionen mithilfe niter Elemente. Dazu beschreibt er zuerst die ntigen Grundlagen (Einussfunktion am einfachen Balken, Satz von o Betti, Greensche Funktion), und geht danach auf die Lsung mit niten Elemten und die Berechnung o von Einussfunktionen zur anschlieenden Implementierung in ein FE-Programm ein. [14] Panke, Thorsten (Universitt Kassel) Berechnung von Einussfunktionen mit der a Methode der niten Elemente In dieser Diplomarbeit werden zunchst die Grundlagen der klassischen Statik, wie z.B. das Prinzip a der virtuellen Arbeiten und der Satz von Betti hergeleitet. Mithilfe des Projektionsatzes knnen diese o auf die Methode der niten Elemente umgelegt werden, was durch einige Beispiele gezeigt wird. [13] Carl, Oliver (Universitt Kassel) Sensitivittsanalyse mit Einussfunktionen a a In seiner Diplomarbeit fhrt Oliver Carl eine Sensitivittsanalyse mit Einussfunktionen durch. Dabei u a geht er stark auf Einussfunktionen in Abhngigkeit von Steigkeitsnderungen ein und stellt dann a a eine Vielzahl von numerischen Ergebnissen dar. [2]


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3 Anwendungsbeispiele

Wang, Yidong (Universitt Stuttgart) Statische Untersuchung einer Netzwerk - Boa genbrucke Am Beispiel der Brcke uber den Luznice bei Bechyne in der tschechischen Republik werden die u statischen Eigenschaften dieser Konstruktionen untersucht. Ziel der Arbeit ist es, das prinzipielle Tragverhalten des Systems zu untersuchen, sowie die wesentlichen Unterschiede zu konventionellen Bauweisen aufzuzeigen.[7] [6]

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4 Grundlagen zur Einusslinie4.1 Allgemeines4.1.1 Bedeutung der EinusslinieDie Einusslinie dient zur Festlegung von maximalen und minimalen Grenzwerten der Belastung von Tragwerken, die durch ortsvariable Lasten beansprucht werden. Dabei beobachtet man einen bestimmten Querschnitt des Tragwerks und lsst die Last uber dasselbe wandern. Es ergeben sich a daraus je nach Laststellung unterschiedliche innere Krfte, aus denen man die Extremwerte herausa ltern muss. Dazu bedient man sich der Einusslinien, durch deren Auswertung die Grenzwerte der grten und kleinsten Belastung festgelegt werden knnen. Somit knnen die einzelnen Tragwerkso o o elemente ezient bemessen werden.

4.1.2 DenitionDie Einusslinie Mi (x) bzw. Mi (x) beschreibt den Einuss einer wandernden Einheitslast auf eine Auagerreaktion, auf eine Schnittgre (M , N , Q, MT ), sowie Formnderungen und Spannungen in o a einer bestimmten Schnittstelle des Systems. 1 i

Mi (x) = Mi (x)

Abb. 4.1: Denition der Einusslinie fr das Moment Mi im Aufpunkt i u

4.1.3 Zustandslinie contra EinusslinieIm Folgenden sollen die Zustandslinie und die Einusslinie zum besseren Verstndnis anhand der a Momentenlinien gegenbergestellt werden. u

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4 Grundlagen zur Einusslinie

x

P x

i

x

P =1 x

M (x)(a) Schnittkraftzustandslinie

Mi (x)(b) Einusslinie

Abb. 4.2: Gegenberstellung von Zustandslinie und Einusslinie u

Die Schnittkraft-Zustandslinie beschreibt die Schnittgren, die aufgrund einer gegebenen, ortsfesten o Belastung in jedem Punkt des Systems entstehen. Dabei werden die Schnittkrfte direkt unter den a jeweiligen Schnittstellen aufgetragen (Abb. 4.2(a)). Die Einusslinie hingegen stellt die Schnittgren nur in einem bestimmten Punkt i des Systems o aufgrund einer ortsvariablen Einheitslast dar. Dabei werden die Schnittkrfte in i direkt unter dem a Ort ihrer Verursachung aufgetragen, und nicht unter dem Wirkungsort (Abb. 4.2(b)). Die Einussordinate Mi (x) an der Stelle x stellt demnach das Moment im Punkt i aus der Wanderlast mit dem Betrag 1 in x dar. Die Angrisstelle x der Einzellast wird in Folge auch als Lastort bezeichnet, der beobachtete Systempunkt i als Aufpunkt. Unter Lastgurt ist der Weg der Wanderlast zu verstehen.

4.1.4 AuswertungAuswertung fr Einusslinien aus Einzellasten u

Wenn man die tatschliche Belastung an der Stelle x mit der zugehrigen Einussordinate resultiea o rend aus der Einheitslast multipliziert, so erhlt man das Moment Mi (x) an der Stelle i es gilt das a Superpositionsprinzip. Hat die tatschlichen Belastung den Wert 1, so entspricht der Verlauf der a Einussordinate dem des Moments in i. P =1 P =1 Z(x) = i (x) Z(x) = P i (x) (4.1) (4.2)

Bei mehreren Einzellasten Pj mit j = 1, 2, . . . , n wird jede einzelne Last mit ihrer jeweiligen Einussordinate multipliziert und danach werden die Produkte aufsummiert.n

Zi =j=1

Pj i (xj )

(4.3)

Fr die Auswertung des Moments an der Stelle i aus zwei Einzellasten folgt beispielsweise: u Mi = P1 i (x1 ) + P2 i (x2 ) (4.4)

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4.1 Allgemeines

x2 x1 i P1 P2

i (x2 ) i (x1 ) i (x)

Abb. 4.3: Auswertung einer Einusslinie fr zwei Einzellasten u

Auswertung fr Einusslinien aus Streckenlasten u

Bei Streckenlasten wird uber das Produkt aus Belastung q(x) und Einussordinate integriert: x2

dP = q(x) dx

dP (x) = q(x) i (x) dx

x1

q(x) i (x) dx

(4.5)

dP

q(x)

x1 x2 dx

Abb. 4.4: Balkenelement mit Streckenlast

Fr die Zustandsgre Zi ergibt sich also u o Zi = bzw. fr q(x) = konstant u Zi = q i (x) dx = q AqAq

q(x) i (x) dx

(4.6)

(4.7)

wobei Aq die Flche der Einusslinie im Bereich der Last ist. a


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4 Grundlagen zur Einusslinie

x2 x1 i q

Aq

i (x)

Abb. 4.5: Auswertung einer Einusslinie fr Streckenlasten u

Allgemein gilt gem Superpositionsprinzip a Zi = bzw. fr q(x) = konstant u Zi = Pj j + q i (x) dx (4.9) Pj j + q(x) i (x) dx (4.8)

4.2 Theoretische Grundlagen4.2.1 Grundbegrie der Kinematik starrer ScheibenScheibe Darunter versteht man eine ebene Teilstruktur des Gesamtsystems, deren Knotenpunkte und Tragelemente sich relativ zueinander kinematisch starr verhalten, daher ist sie hchstens elastisch deforo mierbar. III IV I I II V VI II

(a) Stabwerkscheiben

(b) Fachwerkscheiben

I

II

(c) Bogenscheiben

Abb. 4.6: Tragstrukturen und Tragwerkscheiben

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4.2 Theoretische Grundlagen

Virtuelle Verschiebung Eine virtuelle Verschiebung ist ein virtueller, also nicht wirklich existierender, innitesimal kleiner, kinematisch vertrglicher, also mit den geometrischen Bindungen des Systems kompatibler, a vom einwirkenden Krftezustand unabhngiger, sonst jedoch willkrlicher Verschiebungszua a u stand. Da eine virtuelle Verschiebung innitesimal klein ist, ergeben sich in ihrer zeichnerischen, endlichen Darstellung oft Widersprche. Dieses Problem wird gelst, indem man den Kreisbogen, der bei der u o Deformation durch Verdrehung ensteht, durch seine Tangente im Deformationsbeginn ersetzt. Somit kann die Rotation durch eine Translation ausgedrckt und die virtuelle Verschiebungsgur in einer u beliebigen Vergrerung gezeichnet werden. o Denn es gilt fr

einflusslinien

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