Eindhoven University of Technology

MASTER

Niet-lineaire berekeningen en programmatuuraspecten voor kunststof afdichtingen

Leijsen, J.W.L.

Award date:1984

Link to publication

DisclaimerThis document contains a student thesis (bachelor's or master's), as authored by a student at Eindhoven University of Technology. Studenttheses are made available in the TU/e repository upon obtaining the required degree. The grade received is not published on the documentas presented in the repository. The required complexity or quality of research of student theses may vary by program, and the requiredminimum study period may vary in duration.

General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.

• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

https://research.tue.nl/nl/studentTheses/cd807a05-1f0b-4e1c-acb2-fc1c6c11e5d7

Niet-lineaire berekeningen en programmatuuraspecten voor kunststof

afdichtingen.

Hans Leijsen

AfStUdeeKVeKSlag voor de studie van werktuigbouwkundig ingenieur.

Juni 1984.

Vakgroep Fundamentele Werktuigbouwkunde

Technische Hogeschool Eindhoven Hoogleraar: Prof. dr. ir. J. D. Janssen Coach : Dr.Ir. L.H. Braak WFW-nr : 84.028

vakgroep : Fundamentrle W ~ r k ~ ~ i g b o i ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ afstudeerdocent: Fr~2.di.i~. 2.D. Jansseil coach : Br.ir. L.H. Braák student : J.W.L. Leyscsn; 249645

AfdizhtTngen, zoal^ Siarnesringen, z i j n een ereel gebruikt ~ u ~ ~ m ~ ~ ~ ~ l om kost- bare constLuctie-onderdelen af te schermen van een agressief milieu. Hoewel e x talloze u i t V ~ ~ r i ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ r m ~ ~ ~ op de m r k t verkrxggbaar zi-jr,, bli jkt &it h e t m e ~ h a ~ ~ ~ m e van het afctichteil n i e t op giioni! van deugdelijke theorieen is CE- derbouwd. Dit komt vooral t o t uiting bij afdichtlngsprobfemen d i e zich bij- voorbeeld voosdoen ia swivels VOST aanlandingcterminals, wiiar tankers ruue olie innemen. De hoge ~ e r ~ d i u ~ ~ e n , grote ~ ~ ~ e ~ i n g e n en het ~ij~~afhankelijk ~ ~ t ~ r i ~ ~ l ~ ~ d r ~ ~ leiden lielatief vaak tot bezwijken van afdicht in ge:^. In het kader van een researchcontract met S.B.E. te Mofiaco, ~ a ~ g e ~ a a ~ door de vakgroep BOC, wordt een onderzoek ingesteld :ZEGT h e t -jedrag van kunst- stofafdichtingei,. Deze a ~ s ~ ~ ~ d e ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ vorzk 6az.x een deel vafi ' Boelstel-- l i n g e n zijn onde- ,me%r : - pogen een model tr maken voor het afdichtfenomeen,

* .

- inzicht h i j g e n in de invloed vai, i62 diveise conctructkeparametess OF k e t a fd icht fenomeen i

< . - i n z i c h % verkrijcjen i n de spanningen en vervormingen t e n gevolge van ?aflrj- du:cif;e belas t ing . Niet-lineaire berekeningen met behulp van een eindige elementen progràrnma zzi13en noodzakelijk zijn.

- de noodzakelijke p r o g r a ~ m ~ t ~ u r ~ ~ l ~ ~ ontwikkelen opdat ~ x ~ g r c r l ~ n a . ' ~ van vex- schillende fabrikanten tegelijkertijd ge5rs;ikt kunnen worden.

Inhoud

Samenvatting

Literatuur

Hoofdstuk 1: Inleiding 2: Een eerste fysisch model

2 . 1 : Het afdichten 2 . 2 : Sterkte-aspecten

3: Het materiaalgeärag 3 . 1 : Ret model 3 . 2 : Uitwerking van het model van de trekproef 3 . 3 : Experimenten

4: Programmatuuraspecten 4 . 1 : Gebruikte software 4 . 2 : Beschrijving van de interfaces 4 . 3 : Fortran aspecten van de interfaces

5: Resultaten van de analyses 5 . 1 : Lineaire berekeningen 5 . 2 : Niet-lineaire berekeningen 5 . 3 : Rekentijden 5 . 4 : Conclusies

1 . 1

2 . 1

2 . 1

2 . 6

3 . 1

3 . 1

3 . 4

3 . 6

4 . 1

4 . 1

4 . 6

4 . 0

5 . 1

5 . 1

5 . 3

5 . 9

5 . 1 0

Bijlagen. 1 . Definitie van effectieve grootheden. CI m n n n - - E ___-_ L . 3unL su l twcr i t : als pre- eii pöstpröcëssör in combi-

natie met het PIARC-pakket. Een eenvoudig voorbeeld.

3 . Enige achtergronden van VMiY. 4 . Gebruikte elementen.

Zienkiewicz o . c . { 13-77 The finite element method, 3rd ed. NlcGr.W-XilP

Schouten E-.%.*:. (1983) Fiizal report OE phase I : Theoretical t r i b o l o g y research study

Ei3dhoven

'Eremblay J.P., Sorenson P.G. ( 7 9 8 4 : An introduction to datastructures with applications F4cGraw-Hill

Sedyewirk R. { 1983 f Algor i t as

AildPsoa Wesley

Samenvatting

Berekeningen aan kunststofafdichtingen blijken noodzakelijk omdat er geen (eenvoudige) theorieen bestaan die het a~dichtingsfenomeen beschrijven. Een eerste aanzet om de contactspanning tussen afdichting en as te verklaren op qrond van een zgn. druktransformator blijkt redelijk, maar dit model is niet in staat de hoge pieks~anning~n in het contactvlak te verklaren. Dientengevolge zijn berekeningen met behulp van de eindige eleme~t€n~~tho~e uitgevoerd. Daartoe werd eerst een niet-lineair materiaalgedrag opgesteld, gebaseerd op een aantal experimentele gegevens. Ten tweede werd programma- tuur ontwikkeld die een snelle en gebruikersvriendelijke c o m m ~ n ~ ~ a ~ i e tussen twee grote scftware pakketten van ~ e s l ; . MAR13 en SDRC mogelijk maakte. et M~RC-~akket is nodig voor het doen van niet-lineaire berekeningen, het SBRC- pakkst is vooral dienstig VOOK in- en uitvoerfaciliteiten. De niet-lineaire berekeningen aan afdicht in gen^ die gebruikt worden in aan- landingsterminals voor olietankers o- z w . , vragen zeer veel g e h e u ~ e ~ ~ e ~ ~ ~ ~ ~ . Optimale strategie& voor bandbreedtereductie, aantal elemrrzten en lokale aech-verfijning blijken exg noodzakelijk. Uit de resultaten blijkt dat lineaire berekeningen resultaten geven die goed vergelijkbaar zijn met die in het b~i9i1-1 van een niet-lineaire berekening. Als voor optimalisatie van een afdichting het effect van v o r m p a r ~ ~ ~ t ~ r ~ moet warden nagegaan, dan kan dat waarschijnlijk het voordeligst met behulp van lineaire berekeningen. Bij de niet-lineaire berekeningen blijkt dat, na kruip, er toch nog hoge p i e ~ ~ ~ a n ~ i n ~ e n in het contactvlak overblijven. Git ondanks het feit dat, in de meeste elementen, de von Mises-spanning de grenswaarde keeft aangenomen äie het materiaalmooel voorschrijft. Rader on- derzoek naar dit fenomeen lijkt noodzakelijk, zowel experimenteel als nume- riek.

- ? . 3

Fig. I.?. Swivel.

- 1 . 4

- ? .5

e

I

2 . Ern em-s te fysisch model

2.1. Het afdichten.

Uit literatuuronderzoek k ~ m t een model vot>r h e t afdHchtingcmechanisme naar voren, dat stelt , dak de contactErrzk 3 op een aEdich"Lend vlak tenminste ho- g e r moet zijn C l a i l de vlubistofdruk p $ w i l d e afdichting " d i c h t " z i j n .

= c.p met c > I

* . vu3r kunststoffen ligt de waarde vas v de waarde van de fac to r voor p list tussen 0 . 6 7 em 7 . Mliet deze me@k.,odr

l.n.a. +Xsren 9.4 eri 0.5, zodat

p=o d=O

iiq. 2.3. Contactdruk t . g . v . vaorcompiessie.

Bij ces voorcomprssie ter grootte u zal de contactdruk als v o l g t lui- dei1 :

waarin E: elasticiteitsmodulus van het nateriaal h: hoogte van de afdichting

In combinatie met de compressibiliteit van h e t materiaal kan dan eea rontactdr~k be ie ik t woidea, die groter ia dan de vloeistofdruk:

v U G z - .( p i - E

i - V h

ûpgenerkt dient t e ~o l -den , dat dit effect ook n.b.v. uitwendig aange- brachte veren kan worden bereikt.

? \ 3;. Gebruik van de geometrie als "drilktransformator":

Fig. 2 . 4 . De druktrafo.

als gevolg v2n hek evem*icht van kl-achten, za7 de contactdruk Oil.dC,L de de-- len van de afdichting, d i e aanliggen, hoger zijn dan di; v l s ~ i s t o 2 U r u k .

Hiervoor is een simpel model te formUl2ren dat het effect in kwalikatleve z i n beschrijft:

- 2 . 4 -

I

~ i g . 2 . 5 . Een model voor de druktiafc.

Indien a a ~ g ~ n o ~ e n i ~ o r d t , dat de contactdruk gelijkzakiig ovex de eonkact-

slakken verdeeld is geldt, bij een constante A, voor deze contactdruk:

. p (Eiriet A, > A: p.0 E i - - - - A v

Grafisch weexgegeven ziet dit ex a l s v ~ l g t uit:

~~ ~

Fig. 2.6. TransformetbeZartoz a l s fcnetie van de druk.

-2.5-

De bovenstaande vergelijking kan als volgi geintegneerd woKdeli:

B ie rb i j is a genomen op het oppervlak w {dz t ook b i j p = 0 al bectmd] . :%a- LitELtief z iek dit verbacd er als vcbgt u i t :

den van de insnijding e.

- 2 . 5 -

Alle besproken effecten kunnen ais volgt in een grafiek verwerk% worden:

-P

bes gegeven i s de druk waarbij juist lekkage optreedt; hij deze druk gelde

is de afdichting "dicht". Ge zojuist besprokeil mogelijkheden SI;?, d i t be:.~r;piiiit te verhogen zijn i n de grafie-, weergegeven:

dat de contactdruk precies gelijk is zzn hek bekcxiterlum, brnedea deze druk

a0 groter : voorspanning verhogen f punk 2 v g t c r t e r : i n c ~ ~ p r e ~ ~ i b d e ~ ate er ia ai (punt 1)

Br&er: gesa&-rie ,-?.-.&-i-*-A * - - . . - - - * -- dichting "aanligt" ( p u n t 3 ) .

Guidct=tilg alyen yen Uat hek langer duurt voor de a f -

2 . 2 . Sterkteaspecten

De betere xubber~, die 09 dit m n ì r n t Sekeiid zijn, kunnen geen grotere

vloeistofdruk hier miYiimaal 80 ~/mrn' bedraagt. ~ e z c hoge drulil kan alleei, i n een alzijdige druktoestand opcjenomen worden, zodat hek aankal mogelijke geo- metrieen sterk wcrdt beperkt. Als voorbeeld waarde de Jayco-seal geyevea, wasr.bij in ieder geval twee kritische plaatsen z i j n aan t.e wi jzen :

schuifspanningen dan 2 23 ~/rm 2 gedurende langere tijd ~ ~ x d r i 1 ~ p 1 , terwijl de

-2.1-

Fig. 2 . 9 . Kritieke belastingzones.

Plaats A is kritiek vanwege het vrije e p p ~ r v ~ ~ ~ i n de spleet. Doordat hier geen noEmaalspanningscoKiponent heersk, kan er geen sprake zijn viin een al - zijdige drukisiestand. In de prakkijk is oj&lek.an, d a t zich hier nogal eens extrusieverscfi,ijnselen voordoen. Pl-%-t.- CLCL il B is kritiek vaiiwege de ~ ~ ~ ~ i ~ ~ ~ ~ ~ n i n g e ~ j die gelntmduceerd wcrdr?n

Een globale schatki2g is: t . g . v . de wrijving in tangenti@le r i ~ h t ~ n ~ , in he% contactvlak bij r~ tê i t ie van de as.

2 . 3 . Voortzetting

-2 . E-

3 . Net materiaalqedraq

3 . : . Eet model.

Qm eez eerste idee %e %;rijgen hoe dit mat.eriaal zich gedraagt is een osi&n- terende kruipproef uitgevoerd (fig. 3.1).

spanning ~ ~ I r n r n ~ ] r 12

I x 1 0-1 mrn 0 I I I 1 I 0 1 2 3 4 5 6 7

x104 5

F i g . 3 . 1 . Recxltaten vart ren kraipproef .

Een trekstaaf werd hiarbif met constante snelheid aitgerekt tot een bepaalde rek, wazrna relaxatie plzatsvond. Vervolgens werd de staaf o n t l u s t . Bit de

-3 .2

resultaten kont een aantal karakteristieke eigenschappen naar voren zoals: - zagenoeg lineair gedrag bij kleine rekker, ( x 2 % ) ; - bij relaxatie t m 2 z e ï t de spanning naar eelt grenswaarde. Es+ aees t simpele model I dat deze eigenschappen zou %.an-r:rn beschi-i jvm is he% vclgende, fysische mode::

Fig. 3.2. Eer: ~ ~ g ~ ~ i ~ ~ materiaalmodel.

Cie betekenis van de symbolen is als volgt: k : een lineaire veer b : een lineaire demper c : Coulombs wrijvings-element e : elf;stlszih d e c l VÜZ de risk 2 E : plastisch deel van de rek P 0 : d2 aangelegde spanning

De literatsur spreekt ilt d i t verband over een elasto-viszoplastisch mate-. riaalmodel flit. 1, p 9233. Voor het ~ r l ~ ~ ~ l n ~ s e ~ ~ ~ e n t c geldt de volgende constitutieve vergelijking:

e = o voor o < G ep C Y e onbepaald voor oc = 5 P Y

Bet constitutieve gedrag van het model als geheel, kan als volgt in een gra- fiek w o ~ d e n weergegeven:

- 3 . 3

Fig. 3.3. Constitutief gedrag van het m d e l .

E ’ € C E e P

elasticiteitstensor (wet va2 Hocke). ren spannsngstenuor (nog t e kiezen) en

SE een plasticcfi deel f r J .

effectieve plastische reks;zelheid

een constante effectieve sp-inning I die aoie’cu als de ”sterkte” van

een bijbehorende rektensor, te s p l i t s r n in een elastisch U c d ( s e 1

L”

effectieve (von Nises) spanning

he% naterical karakteriseert. konstante factor

-3.4

iT$iarin zijn de functies f I g r h etc., door de gebruiker t e delhni’hren stuks- g e w i j s lineaire functies. Zoals u i t het bovenstaande volgt, ligt hek bespro- Ben m ~ t ~ ~ i a a ~ m o d e l besloten in de rer:stitutieve v~rgeli~king van MARC. VGOX het elastische deel van de constitutieve vergelijking kan in principe e l k in ARC aanwezig model gebruikt woiden (Hooke, ~ o ~ n e ~ - ~ i v l ~ ~ ~ Pnerrmanr?_). OSZP constitutieve vergelijking biedt ditarnaast nog de mogdi jkhe id mrezderr pa-- rametaru in rekening te brengen, c .8 . begaalde invloeden nau~dm.xiger t e specificeren, zodat dit model, althans voorlopig, een goede keuze lijkt.

3.2. Uitwerking van het model voor een trekprod.

De algemene modelverg~lij~in~en kunnen als volgt uitgewerkt worden voor een ~ ~ n - ~ i ~ ~ n s i o ~ a ~ ~ probleem (trekproef)

dE = - waarin E de elasticiteitsm~aulus van h e t materiaal voorstelt. E E Voor de spannings- en rektensor xorden de normale ~ n ~ ~ n i ~ u r ~ s ~ a n ~ i n g ~ n en - rekken gekozen.

8 - - - o u i t E = k:a - a v i k = o voor o I u

- 3 . 5

d i t laatste wordt gerechtvaardigd door de rechte rekweg b i j een l i j n s p m - n i n g s toe stand. Vour de totale X E k geldt:

Als gesteld wordt:

ge difEerentizalvergeli jking tot de integraal:

dl = vdt (rekken met c ~ n s t ~ ~ n t e : snelheid) leidt de vori-

i

-3.6

In de kruipproeven, die verricht zijn, zijn met dit materiaalmodel 5 gebie- den te onderscheiden, te weten:

1 - $, - tl: rekken met constante snelheid v1 terwijl a < a. 2 - tl - 3: rekken met constante snelheid v1 terwijl a > a. 3 - 3 - t3: relaxeren bij constante lengte en a > u. 4 - t3 - t4: ontlasten met constante snelheid v2 terwijl a > a. 5 - t4 - t5: ontlasten met constante snelheid v2 terwijl a < aQ

De oplossing van de genoemde integraal in deze gebieden is als volgt

vl cEt aolo I O

en tl = - t o A t I t l a = - E

-Ek( t-tl ) 1

V tl A t l t2 a = a. i- -(1 - e kb

-Ek(t-tl ) t2 A t t3 a = a. + ( a 2 - aofe 1 met a2 = a(t2)

V 2 -Ek( t-t3) -+ -)e 2

V -

- '0 klo t3 t I t4 o = a. - t ( a 3 kb

u3- "O kf o) 1 en t4 = t3 t -m(l t - v2

met a3 = a(t3).

\rF, t4 3 t 3 t5 a = a. - -(t-t4) lo

3.3. Experimenten.

Uit een serie experimenten (zie fig. 3.5), waarbij een trekstaaf met con- stante snelheid uitgerekt werd, en vervolgens ontlast werd met dezelfde snelheid, volgen de tamelijk reproduceerbare waarden voor de elasticiteits- modulus. Deze elasticiteitsmodulus (960 H/mm ) is ingezet in de eindige ele- menten berekeningen m.b.v. MARC.

2

- 3 . 1

16C

12(

80

40

O

Y i

! I i I

Fig. 3.5. Resultaten van een a a n t a l trek-roeveri.

De waarde v m de dwarscantractieco~ff~ci~nt heef t nen pruberen te meten docr een trekproef i n een met vloeistof gevuld vat uit t e voereni waarbij d s vs-

lu~.everandering rjemctrn werd d.m.v. een capillair. Dit bleek zeer onbetrouw- bare resultate;? op t e leveren. Ook m.b.v. trekproeven, waarhij de d ~ a ~ s r e k

afzonderlijk gemcten wer5!, blsek de dw~rscontractiecoeffi~~~~t n i r k nauwkeu- t e bepálen. Dit allez leidde ertoe, bij gebrek aan bilter, een tieschatte

waarde van de dwarcco3traitie t e gebiuiken mor de bereken icg~n . gok VOQZ de waarden van Q en k z i j n schattingen op basis van o r i k : t ~ r c r d c trekprocven o

IE het kader tra~ h e t researchcontract net SER i~ naaer~and E O ~ een . ~ a n t i ~ . , meer narrwkeuiige, kruipproeven uitgevoerd. Teneinde een wat beter inzicht te verkrijgen in de kwal.iteit van het m d e l en de waarden van de parameters is getracht de e ~ ~ e r i ~ e n t ~ l e reszltaten te "fitten" m.b.v. de exacte oplossing

uit par. 3.2. neze fit werd uitgevoesd rc~iddels een speciaal vocn- d a t doel geschreven ~ ~ ~ p ~ ~ € ~ ~ ~ o g r ~ m m a ~ waarbij de volgende ~ ~ a ~ r a ~ e n ZXXI werd gemini-

maliseerd:

: gemeten waarde van a voor ren bepaalde tijd t . i S g r t wasrin : ~ e ~ e ~ e n d € wasrde volgens de exacte oplossing. %,t

A ~ n ~ e ~ i e n e r eei? continue grafiek van meetwaarden van o beschikbaaz was heb ik een, overigens azbitraire, keuze moeten maken uit de beschikbare ssaanden.

De resultaten van de f i k waren als volgt:

10-

I

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 x 1 0-1 mm

21 T i J d 0 I t I I I I I

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7 x104 s

Fig. 3 .61 . Een fit van Se meetresultaten.

De wcrarden van de ~ i ~ b ~ h ~ ~ e n ~ ~ paramtaters zijn a l s v o l g t : 2 E = 6 7 2 N/mm

k = 0.45. mm / I E cr = 6.35 H/mm

2 2

cf

nit deze resultaten karm getoncludeerd worden, dat de overeenstemning tussen het gekozen RtaterFaalmodel en de realiteit nogal wat t e wensen overlaat. U i t d2 verschillen valt op te maken dat h e t materiaal meexdere t i jdconstanten bevat: het oprekken en relaxeren kunnen niet met eenzel%de cowt .mte be- schreven worden, tefv?i j l het gekszen model er maar berm bevzt. Verder ~ z l t QB te merkt.cn, dat bij het experiment aan het einde vân de prcef de spanning

http://merkt.cn

- 3 . 1 0

toeneemt terwijl de rek constant blijft. Dit is t y p i s c h een effect, dat be- schreven kan wcrden met een veer en eea demper parallel, waarbij de volgende vergelijking geldt:

Aangezien met het geSruikte materiaalmodel alleen produkten van (functies van1 variabelen gev~trmd kunnen worden (dit is analoog net ~ ~ r i ~ ~ c ~ a k ~ ~ ~ n ~ ~ ~ ~

kan dit model de genoemde effecten (die van parallelle aard z i j n : niet be- schrijven.

- 4 . 1 -

4 . Prosrammatuuraspecten

4 . 1 . Gebruikte software

Gezien de diverse niet-lineariteiten in het model zoals bijv. het contact- probleem, lag het gebruik van het MARC-pakket voor de hand. Na een aantal oriënterende berekeningen bleek echter al snel, dat de bijbehorende pre- en postprocessor i.e. Mentat, op een aantal punten niet voldeed. De volgende gebreken kwamen hierbij aan het licht: - Omdat al snel duidelijk werd, dat ik zuinig moest zijn met het aantal ele- menten (i.v.m. de rekentijd) was het noodzakelijk, in die gebieden van de seal waarin grote gradienten voorkomen, over te gaan op een fijner ele- mentennetwerk. Een van die gebieden is bijv. de plaats waar de seal en dt- spleet tussen as en huis samenkomen. Aangezien de meshgenerator van Mentat berust op het onderverdelen van een met de hand gedefinieerd macro-element (een zgn. patch), volgens een vast patroon (te vergelijken met een schaak- bord), kan een geleidelijke transitie van de elementgrootte alleen bereikt worden door deze elementen met de hand op te geven. Het mag duidelijk zijn dat dat een tijdrovende bezigheid is.

- De contactelementen uit MARC, bezitten de vervelende eigenschap, dat de middelste twee knopen (van de vier in totaaff geen "echte" knopen zijn, maar slechts een rol spelen bij het specificeren van additionele element- eigenschappen, zoals de richtingsnormaal van het contactvlak, en bij het oplosproces. Dit houdt in dat deze twee knopen, geometrisch gezien, hele- maal niet in de buurt hoeven te liggen van de buitenste twee {topologisch gezien liggen ze daar wel). De bandbreedte hernummering gebeurt in Mentat op een geometrische basis (met bijv. lijn- en bolvormige fronten), waar- door deze methode niet geschikt is voor deze cantactelementen. Een kleine bandbreedte is zeer gewenst in verband met het incrementele ep- losproces, waarbij het vergelijkingenstelspl dikwijls opgelost moet wor- den. In dit verband valt ook nog te noemen dat knopen met dezelfde coördi- naten (bijv. verschillende contactelementen met dezelfde richtingsnormaal) in het hernummeringsproces samengevoegd worden, zodat de hele mesh waarde- loos wordt.

- Teneinde de contactelementen te kunnen verbinden met de rest van de mesh (de continufimselementen) moeten koppelingen (zgn. tyings) gedefinieerd worden. Het aantal koppelingen kan, in voorkomende gevallen, genlakkelijk

-4 .2 -

boven de honderd liggen. Hier biedt Mentat geen of weinig mogelijkheden, zodat de koppelingen met de hand ingevuld moeten worden in de MAAC-invoer- file. Dit leidt gemakkelijk tot fouten, die erg lastig te traceren zijn. Als bijv. een zo'n koppeling vergeten wordt, of verkeerd geplaatst, ontstaat een niet-positief definiete stijfheidsmatrix (er zijn dan te wei- nig vrijheidsgraden onderdrukt), die echter ook door vergeten randvoor- waarden veroorzaakt zou kunnen zijn. Opsporen van deze fout houdt dan in dat alle randvoorwaarden en koppelingen &&n voor ken gecontroleerd moeten worden en wel zonder grafische hulpmiddelen.

- Ook bij het definieren van de randvoo~waarden (voorgeschreven krachten en verplaatsingen) laat Mentat veel te wensen over. Alle randvoorwaarden, en dat kunnen er nogal wat zijn bij een incrementeel oplosproces waarbij per stap de ~~lastin~toename gespecificeerd moet worden, moeten met de hand ingevuld worden.

- In de postprocessor, is het niet mogelijk een plaatje van de werkelijke, gedeformeerde structuur te laten verschijnen. Alle verplaatsingen worden hier nl. automatisch geschaald, waarbij de schaalfactor slechts in geringe mate door de gebruiker beknvloed kan worden. Dit gebrek maakt het moeilijk om bijv. te zien of bepaalite contactelementen open c.q. dicht zijn.

- Bij het weergeven van contourplots van variabelen, die met elementen sa- menhangen (bijv. spanningen) moet altijd een zekere middeling toegepast worden i.vmm. de discontinukteit van deze variabelen. Met zou erg handig zijn als eenvoudig gekozen kan worden welke elementen wel en en welke niet meedoen in de middeling. Dit om bijv. een indruk te kunnen krijgen van de mate van discontinulteit van de variabelen, waaruit een indicatie volgt over de kwaliteit van de berekening. Als er meerdere elementtypen door el- kaar gebruikt worden, zoals contact- en continuümselementen, is het dik- wijls zeer noodzakelijk! bepaalde elementen van de middeling u i t te kunnen zonderen. Mentat biedt deze mogelijkheden slechts in geringe mate. In fig. 4 . 2 is een voorbeeld weergegeven om het voorgaande enigszins te adstrueren. Hierin is een aantal contourlijnen van gelijke buigspanning opgenomen, die horen bij een elementenmodel, dat op buiging wordt belast. De elementen hebben een lineair veuplaatsingsveld, waardoor de spanningen per element constant zijn. Het spanningsveld is dus zeer discontinu, ter- wijl de contourplot, vanwege de knooppuntsmiddeling, verdacht veel lijkt op de exacte oplossing, waarhij de buigspanning ongevee1 bilineair is in de hoogte en de lengte.

-4.3-

SDRC/OUTPUT DISPLAY 86/ 1 6/84 16 : 68: 82 TEST BUfí3fNB HIN:-6.66E+01 MAX:+5.66E+Bl MAX PRIN STRESS TOP SURFACE

1

Y X

Fig. 4.1. Een buigprobleem.

- Bovendien wil ik nog noemen de onduidelijke documentatie en het, naar miin smaak, gebrek aan gebruikersvriendelijkheid.

Gezien deze nadelen, die de beschikbare mogelijkheden nogal beperken, heb ik gezocht naar een alternatief. Dit alternatief bleek beschikbaar i n de vorm van h e t SDRC-pzkket, dat juist in die tijd op ons compbtersysteem gelnstalleerd werd. Dit pakket {i.e. Cupertab) bezit de genoemde nadelen niet of nauwelijks en biedt daarenboven o.a. de volgende belangrijke voorde- len: - Er bestaan uitgebreide mogelijkheden om grafieken te tekenen. Hier valt bijv. te denken aan een grafiek van de contactspanning.

-4 .4-

- Veel grafische mogelijkheden zoals detailvergrotingen, roteren, txans- leren, verkleinen etc. van wat op het scherm staat. Bijna alle data-invoer bestaat uit het aanwijzen !m.h.s . dia cursor), op het scherm, van bepaalde entiteiten (zoals bijv. knopen om een element te definiëren). Dek wat er precies op het scherm verschijnt, kan eenvoudig ingesteld worden.

- Interessant is het gebruik van kleur. Dit blijkt bijv. bij de interpreta- tie van contourplots, voor mij althans, een openbaring. Jammer genoeg heb ik maar heel even over een kleurenterminal kunnem; beschikken.

Om echter over te kunnen schakelen op dit pakket moesten er twee interfaces geschreven worden. Hun functie is het koppelen van de Cupertab in- en uit- voer aan de MARC uit- respectievelijk invoer. Vanwege het feit, dat de eer- der beschreven gebreken van Mentat zeer waarschijnlijk ook voox andere gebruikers golden en omdat, in het begin, niet goed te bepalen was wat de eisen waren, die aan deze interfaces gesteld moesten worden, heb ik gekozen voor een algemene opzet hiervan. Achteraf bekeken, kan ik constateren dat dit zinvol was, hoewel het nogal veel tijd gekost heeft. Ter informatie, tussen januari 1983 en maart 1984 hebben, buiten het gebruik door mezelf, zo'n 1 8 5 0 sessies met N A ~ ~ / C ~ E , de interface van %ARC naar Supertab's pcst- processor Output Display, plaatsgevonden. Het geheel aan software, dat aldus nodig Hs om een eindige e1~me~tenbere~~- ning te kunnen uitvoereso, is schematisch weergegeven in fig. 4 . 2 . Hierin is links de SDRC-lijn aangegeven (gestippeld is het lineaire rekengakket Model Colutian), terwijl rechts de MARC-lijn is opgenomen. Nidden daartussen staan de interfaces M A ~ C / ~ T ~ en STB/MARC, die de conversie tussen het SDRC Univer- sal formaat er, de in- en uitvoerfiles van MWRC verzorgen. Bijlage 2 bevat een eenvoudig voorbeeld vay? de te volgen werkwijze, bij berekeningen met MARC en Supertab.

-4.5-

Fig. 4 . 2 . De software.

-4.6-

4.2. Beschrijving van de interfaces.

De beide interfaces zijn in Fortran geschreven. Samen beslaan ze, om een in- druk te geven, ongeveer 10.000 regels programmatekst (inclusief commentaar). Ik zal proberen in het kort enige karakteristieken van deze programmatuur aan te geven.

MARCfSTB: conversie van MARC-postfile formaat naar universal formaat. Dit programma biedt de volgende functies: - lezen, converteren en schrijven van de topologie voor nagenoeg alle MARC- elementen t+ 1 O Q f . Dit converteren is nodig vanwege de verschillende num- meringsvolgorde van de knopen, die hef: element vormen. Ook zijn er in MARC een aantal elementen, die mogen ontaarden d.m.v. herhaling van knopen (bijv. mogen 3-D "bricks" gebruikt worden als tetra8der). In Supertab zijn deze elementen afzonderlijk gedefinieërd.

- Lezen en schrijven van de knooppuntscoördinaten met eventuele conversie van cilindrisch naar cartesisch stelsel.

- Lezen en uitvoeren van richtia?gstransformataes. - Lezen, selecteren en schrijven van knooppuntsdata in de vorm van scalairen

(bijv. een kn~0ppunf:stemperatuur~ en vectoren (zoals een verplaatsings- vector).

- Lezen, selecteren, extrapoleren en schrijven van de data die samenhangt met de elementen. Deze extrapolatie is nodig vanwege ket feit, dat de MARC-file alleen data in integratiepunten bevat, terwijl in het universal formaat alleen data op knooppunten bestaat (data at nodes en data at nodes on elements). Er bestaat wel zoiets als data on elements, maar hierbij wordt Verondersteld dat de waarde van de variabelen constant is over het element. Een tamelijk groot probleem bij deze data is de beslissing hoe de data gegraepeerd moet gaan worden. MARC kent hier nl. alleen een aantal zgn. posities, die m.b.v. codes aangegeven worden; terwijl Supertab de data in de vorm van scalairen, vectoren en tensoren aangeleverd moet krijgen. Als voorbeeld: de codes 14 tfm 16 staan voor de afzonderlijke componenten van de spanningstensor. De codes hoeven echter niet allemaal voor te komen, bij bijv. vlakspanningselementen bestaan alleen 14, 12 en 43 (resp. o o en B ) . Een gevolg hiervan is dat, afhankelijk van het soort element (en ook het soort berekening), code 13 zowel u als (izz (in een volledig drie-dimensionale spanningstoestand) kan betekenen. Met is

xx' YY XY XY

- 4 . 1 -

gelukt dit selectieproces geheel te automatiseren, waarbij de mogelijkheid om dit met de hand te doen, blijft bestaan.

- Er kan een verplaatsingsvector (eventueel na conversie van een cilindrisch naar een cartesisch assenstelsel) bij de knooppuntscoardinaten worden op- geteld. De data, die betrokken is op de huidige geometrie (bijv. de Cauchy-spanningstensor in een updated formulering), kan hierdoor ook in deze geometrie worden weergegeven (bijvoorbeeld contourplots).

- De gebruiker kan op eenvoudige wijze inforaneren naar de waarde van een be- paalde variabele na een bepaalde belastingstap, c.q. een lijstje krijgen van de waarde van deze variabele (maar ook van meerdere variabelen tege- lijk) voor een aantal belastingstappen. Dit lijstje kan ook weggeschreven worden (om er bijv. grafieken van te tekenen). Deze mogelijkheid maakt het tijdrovende zoeken in grote hoeveelheden print-uitvoer overbodig. Verder kan het heel handig zijn bij grote en complexe runs hiermee tussentijds, terwijl gerekend wordt, bepaalde variabelen in de gaten te houden. Op grond van deze informatie kan dan eventueel nog bijgestuurd worden.

- Er zijn speciale conversie-mogelijkheden voor contactelementen ingebouwd, waardoor ze beter gevisualiseerd kunnen worden.

STE/MARC: van Universaf-farmaat naar MARC-invoer. Be volgende items kunnen hiermee in de MARC-invoerfile geschreven worden: - RnooppuntscoBrdinaten en tcpclogie. Hierbij moeten dezelfde transforma- ties, maar d ~ n inversi als b i j de andere interface plaatsvinden.

- Meerdere sets voorgeschreven verplaatsingen. - Meerdere sets Voorgeschreven krachten. - Elementeigenschappen, die in Supertab d.m.v. tabellen opgegeven zijn. - HQppelingen (tyingsf tussen diverse vsijheidsgraden. Deze koppelingen wor- den in Cupertab met behulp van staafelementen opgegeven.

De genoemde items, die in Supertab allemaal gemakkelijk gemanipuleerd kunnen worden, zijn voldoende voor een lineair-elastische berekening. Hierbij hoeft dus niets met de hand toegevoegd t e worden aan de invoerfile, zodat de bere- kening meteen gestart kan worden. Voor de niet-lineaire berekeningen moeten nog een aantal specifieke opties toegevoegd worden, voordat het rekenpro- gramma opgestart kan worden. Bij het concept van dit programma is met de mo- gelijkheid rekening gehouden, in een later stadium, deze opties op interac- tieve wijze in te kunnen vullen. Dit zou het MARC-pakket een stuk toeganke- lijkes Baken.

-4 .8 -

4.3. Fortran aspecten van de interfaces

Bij de conceptie van de programmatuur is veel aandacht besteed aan een zo breed mogelijke opzet. Dit niet alleen vanwege hei explorerende karakter van de berekeningen, waardoor steeds nieuwe eisen gesteld werden, maar ook omdat het, bij een zo grote verscheidenheid aan beschikbare software, om een vrij algemeen en waarschijnlijk blijvend pmbleem handelt. Ook valt te denken aan het snel groeiend aantal mogelijkheden en de tussentijdse wijzigingen, waar- op snei ingespeeld moet kunnen worden. Om aan deze eisen te kunnen voldoen heb ik vrij veel tijd besteed aan hei kiezen van een data-structuur, waarin alle mogelijke entiteiten, zoals knopen, elementen en bijbehorende data, op ov~~zicht~~ijke en uniforme wijze opgeslagen worden. Deze data wordt beheerd doer een zgn. "memory manager", wat gezien kan worden als een soort boek- houder. Deze manager, in de vorm van een bibliotheek van routines, heb ik, omdat er op dat gebied niets voorhanden was, zelf ontwikkeld. In bijlage 3

wordt een aantal aspecten van deze manager belicht, die ook heel bruikbaar

is gebleken voox andere problemen, al of niet ~p het gebied van de eindige elementen methode. De globale ~rogram~astr~ctuur van de interfaces is ge- schetst in fig. 4.3.

Fig. 4.3. De programma-opbouw.

- 4 . 9 -

Hierin zijn de volgende onderdelen te onderscheiden: - Per interface twee modules om het ene formaat te lezen resp. het andere te schrijven. Deze modules verzorgen tevens de conversie tussen enerzijds de interne dato. structuur epi anderzijds de te lezen en schrijven data in hun specifieke formaten.

- Elke interface beschikt over een specifiek hoofdprogramma, waarin de rest van de acties plaats vindt.

Een aantal gemeenschappelijke delen zoals: - VNM, de eerder genoemde manager, die het databeheer verzorgt. - De interactie van en naar de gebruiker geschiedt m.b.v. de COIN-biblio- theek voor het stellen van vragen, verstrekken van hulpteksten en het in- terpreteren van door de gebruiker verstrekte commando'sr en MECG, een klein systeem dat alle boodschappen naar de gebruiker verzorgt. Deze aan- pak waarborgt een eenvormig gebruiBrersvriendelijk gezicht van de program- matuur. Omdat alle teksten, die een gebruiker ooit te zien kan krijgen, opgeslagen liggen in slechts twee compacte files kan tamelijk snel overge- schakeld worden van de huidige Engelstalige versie naar bijv. een Meder- landse.

- Files, een bibliotheek die alle operaties uitvoert m.b.t. het filesysteem van de computer, zoals bijv. het openen en sluiten van files. Deze biblio- theek is alleen bedoeld om de rest van de programmatuur zo veel mogelijk machine-onafhankelPjk te houden.

- Strings: alle manipulaties met tekstvariabelen. Ook dit is met het oog op de machine-onafhankelijkheid toegevoegd.

- Sorts: bevat een aantal elementaire zoek- en sorteerroutines. Deze biblig- theek staat in nauw contact met VMM, die de tijdelijke werkruimte verzorgt bij de sorteerroutines die dat vereken (zoals bijv. Quicksort).

Door het concentreren van de ma~hine-afhanke~ijke delen in kleine overzich- telijke stukjes wordt een grote mate van portabiliteit gewaarborgd. Het toe- voegen van interfaces naar andere pakketten vergt slechts een minimum aan inspanning, wat te danken is aan de modulaire opzet in de vorm van biblio- theken er! de overzichtelijk gedefinieerde datastructuur.

5 . Resultatee~i vttn de analyses

5.1. Lineaire berekeningen

contactoppervlak

/

E

Fig. 5 . 4 . De contactspanningsverdeling BOOE twee waarden vzn

elasdicFieitsmedUlus: z: E = 959 $J'/rnm-- 3

1 ( = 400 b a r )

de

- 5 . 3

Gaandeweg is het e l e ~ e ~ t e ~ ~ o d e l met zowel ~ r i j ~ i n g a l s kruip uitgebreid, w a ~ ~ d o o r een aiek-lineaire i incsementele rekenmethode noodzaketi jk werd. Bij de uitbreiding met wri jv ing , nadat eerder ai overgegaaE werd op een grovere e l e m e n ~ u ~ ~ d e l i ~ ~ ~ omdat het probleem veel t e groot bleek te zijn geworden, moest overgeschakeld worden op een ander type ratatiesysnmetrivche elementei; ( z i e hijlage 4 ) ; Ctie ook verplaatsingen uit het vlak (torsie) kunnen be- s&sijven.

ij de uiteindelijk resulterende berekeningen, die ik h k r zal besprekm, werd het volgende incrementele belaitingpraces voorgrsrhreven:

2 - opbrengen van de vloeistofdruk (40 bT/msn in de VÜYI i a z esn randbelasting 3

op de betreffende elementen in i 0 stappen van ieder 4 Elmm-. - ZSWrkjViEg aanbrer?gen, doQP de "Eis" in d r i e Stappen e23 kleine hC?ekVE?X- draziing te geven, zodanig dat alle ~ K i j u ~ ~ g s e l e m ~ ~ t e ~ s f i g p e n ( i n deze situatie k a er geen sprake neer zijn n n axiale firz~vmg, zodc?;Si deze In S I I

de ber~kenin~e~ n i e t werd meeg~nomen~. DE wrbjvingsca~fficb&n@ werd op

- re laxat ie in 10 stappen to tda t e r n i e t vee1 meer aan de ~ p l a c s i n r g ver- andert (t = = ) . nat er inderdaad ZC'E asymptotische op?ossing bestaat, hangt samen met- hef- ~ a t e ~ i a a l ~ ~ ~ ~ l ~ dak in hoofdstuk 3 besproken i s .

@kt ~ a n e het a~nbre~~er? van de wrijving veroorzaakte ernstige numerieke moeilijkheden. Ce ocixzaak hiervan bleek te liggen in het feit dat, bij een kleine rotatie van de asi a l l e contacte7ementen gelijktijdig over moeten gaar? van geen w r i ~ v m g , geen slip naar een toestand met wrilui.ng en slip. D i t vormde blijkbaar een zo grate discantinulteit, dak ex met geen mogelijk- heid een convergente oplossing kon verkregen worden. Ik heb hier van alles aan pcgberen te doen zoals o.a. verkleinen v m de belastingstappen en vari5- ren van de berekeningtoleranties, maar dit nacht niet baten. Uiteindelijk bleek de oplossing ~ ~ E X V R O S C erg eenvoudig te zija. Door het aanbrengen van enige stijfheid in tangentiele richting tussen de conta~ti2I.ementen en de r e s t vsn de sed . konden de convergentiep^ablemrn voor een groot deel opge- lost worden. De aldus aangebrachte flexibiliteit reduceert de genoemde dis- c o n t i n u ï t e i t er? heeft- nagenoeg geen imrloed up de kwaliteit van de resill- taten.

grond va21 experimenten vastgesteld op 0.1.

* . I * . *

SDRC/OUTPUT DISPLAY

JAYCO SEAL

06/ 19/84 0 7 : 35 :09

-5 .5

- 5 . 6

SDRC/OUTPUT DISPLAY P=400 .) Fe0.1 .) NO SKELETON VON MISES STRESS BOTTOM SURFACE

05/ 14/84 18:53:16 MIN:+3.45E+00 MAX:+1.36E+02 LOAD CASE: 2

Fig. 5.3 t f m 5 - 7 . Contourplots van de effectieve spanning voos t = 0 er, 2 = - met detail vergrotingen.

7:+6.5

SDRC/OUTPUT DISPLAY 05/ 14/84 18:54:07 P=400 F=0.1 NO SKELETON MIN:+3.45E+00 MAX:+1.36E+02 VON MISES STRESS BOTTOM SURFACE LOAD CASE: 2 1:+4.3E+00 2:+1.4E+01 3:+2.5E+01 4:+3.5E+01 5:+4.5E+01 6:+5.5E+01

+01 8:+7.5E+01 9:+8.5E+Bll 10:+9.5E+01 11:+1.1€+02 12:+1.2E+02

SDRC/OUTPUT DISPLAY 05/ 14/84 1$:56:36 P=400,F=0.1JN0 SKELETON MIN:+3.46E+0fZl MAX:+2.41E+01 VON MISES STRESS BOTTOM SURFACE L O A D CASE: 5

1:+4.2E+0Bl 2:+6.0E+00 3:+7.8E+00 4:+9.5E+00 5:+í.!E+01 6:+1.3E+01 7:+1.5E+01 8:+1.7E+01 9:+1.8€+01 10:+2.0E+01 11:+2.2€+01 12:+2.4E+01

-5.9

‘I I I I

SDRC/OUTPUT DISPLAY SEAL/SHAFT

0.0E+00 5.0E+00 1.0E+01 1.5 DISTANCE BETWEEN NODES

LOAD CASE: Z - LOAD CASE: 5

-y..y.- S-i-REs-S yy- STRESS = -+- - - - - - - -

05/ 14/84

I I I I

4 0 1 2.0

1

:+0 1

17:42: 12

Fig. 5.8. ne contactspanning op t = o en t = =.

omdat de be~ekeningen bc]?ijktI dak de ccntactcpanniw~ plas - ts@Li jB v(1~1 t e I . sterk riglnopb,

de r ing tz brengen door vers t i j v ingen in het xubber op t e nemen {een zgn. skeLet). Dezs verski jv iogen dii3ner. fie ~ e w e r k s t ~ ~ l i ~ ~ e n dat: a f . het moment (d.i. de drukf of de t i j d na kruip)l waarop de insnijdi~g

bli-jv£ol:? t e k?:nY;en Z l j e i , is de idee geopperd h i e r i n 13ezal-l-

contact naakt met de as langer wordt uitgesteld en b). de cantactspanningsverdeli~g wat gelijkmatiger m3er het oppervlak wordt

uitgesmeerd. De constructiej d i e hiervoor bedacht .c.~erd, %E ~~~~~e~~~~~~ in f i g . 5 . 0 . In de s e d is een stalen skelet ter dikte van î mm. o ~ g e ~ o m ~ n . Ik heb g e p ~ o b e e ~ d deze s e d op dezel fdp~ wijze doox 'te rekener, als d i e zoEder skelet, zodat d e resultatxri vergelijkbaar zouden zr;n. Voor het kruipproses RIP& dit niet te hukken; omdat MARC niet mees dan ben k r ~ i p ~ ü a ~ l ~ waaraan dan a l l e continur;sn~ele~anten worden ondenwozpen, tege- lijkertijd ia e m constructie toelaat. Hierdoor is alleen een v e r g e l . i jkirrcj op t = O mogelijk. Enige resultaken zijn ~ ~ ~ e ~ o ~ ~ n in de f iguren 5.70 t/m 5.16, waarin de seal. met skelet is aangeduid mt "loadcase 4 " . Be contactspanning b l i j k t inderdaad iets vlakker te ve~lapeur, waarbs-~ de ia-- snijding vrij blijft van de as, zodat h.et geZi6tdel.de niveau van de ron tac t - spanning enigszins taeneemt. Ook de materiaalbelasting blijkt af te nemen: wat echter ten koste gazt van de spanning in het skelet. Epze spanning be- draagt 0ngeveex i 200 ??/mm I wak: 003-1 vofir hoagwaardige staalsoorten, xi jke- l i j k veel is.

* >

, .

2

1 .

http://geZi6tdel.de

SDRC/OUTPUT D I S P L A Y 06/ 19/84

JAYCO S E A L

07: 35 : 46

O

O

O

O

O

O

O

O O

t I

-E . ? 2

SDRC/OUTPUT DISPLAY 05/ 1 4/84 18:03: 1 1 P=400,F=0.1,SKELETON MINv+2.16E+00 MAX:+t.l0E+02 VON MISES STRESS BOTTOM SURFACE LOAD CASE: 4

Y b X

SDRWOUTPUT DISPLAY 05/ 1 4/84 19: 03: 34 P=400 F =0 1 i SKELETON MIN:+216E+00 MAX:+1.10E+02 VON MISES STRESS BOTTOM SURFACE LOAD CASE: 4

1:+2.3E+00 2 : + i . l E + 0 1 3:+1.9E+01 4 :+Z8E+01 5:+3.7E+Ett &+4.5E+01 7:+5.4E+01 8:+6.2E+01 9:+7.iE+Bt 10:+8.0E+01 t1:+8.8E+01 12:+8.7E+01

SDRWOUTPUT. DISPLAY B5/ t 4/84 19 :32 :28 Ps400, F=0.1, SKELETON MIN:+4,48E+D! MAX:+1.2$€+03 VON MISES STRESS BQTTOE/I SURFACE LOAD CASE: 4

1:+.$.5E+0i 2:+1.66+@2 3:+2.6E+02 4:+3,5E42 5:+4.5E+02 6:+5.5E+02 7:+6.5E+02 8:+7.5E+02 9:+8.5E+!Z 10 :+g.5~+02 11:+1.1~+03 12:+1.2~+03

1.0E+02

0.0E+0@

D A T A - 1 .0E+02 v A L U -2.0E+02 E

-3.0E+02

-4.0E+02 0.0f

SDRC/OUTPUT DISPLAY

L

1 1 1 1

+00 5.0E

SEAL/SHAFT

3

I I I 1 1 - I I I I

tOO 1 .. 0E+0 1 1 .5E DISTANCE BETWEEN NODES

LOAD CASE: 2 LOAD CASE: 4 YY- STRESS YY- STRESS

m z v

05/ 14/84

7 17 :38:09

k 0 1 2.0E+0 1

5 . 3 . ?&entijden

B3 . 1

B3.2

E3 een blok i s als volgt weer ofider t e verdelen:

B 3 . 3

B 3 . 4

Als eerste moet aangeroepen ~c7rdei-i:

D e f i n i t i e van een blok:

Vetanderer2 van de lengte va-, een blok

B3.5

Verder zijn er dan nog: