Efecto Faraday

Mara Jos Gonzlez Vzquez

1

Universidad Nacional Autnoma de Mxico

Laboratorio de fsica contempornea I

17 de marzo de 2015

1Taller de ptica Lser, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autnoma de Mxico, Avenida

Universidad No. 3000, Colonia Universidad Nacional Autnoma de Mxico, C.U., Delegacin Coyoacn,

C.P. 04510, Mxico, D.F.

Resumen

El objetivo del experimento reportado en ste trabajo es estudiar la relacin entre la inten-

sidad del campo magntico al cual se ve sometido un haz de luz polarizado, al pasar a travs

de cierto material, y la variacin del ngulo en el cual se encuentra el mnimo de la intensidad

de la luz de salida. Se encontr que dicha relacin obedece una una ecuacin lineal, donde la

constante de proporcionalidad, conocida como constante de Verdet, corresponde a la pendiente

de las rectas ajustadas a los datos experimentales. A esto se le conoce como efecto Faraday,

el cual describe la rotacin del plano de polarizacin de acuerdo con la intensidad de campo

magntico y la longitud del material. En ste caso se utilizaron muestras de vidrios tipo SF5

y F2. Los valores encontrados de la constante de Verdet, respectivamente, fueron 0.04201 0.001754

minarcoGausscm y 0.03524 0.0018313 minarcoGausscm , con un porcentaje de error de 2.46% parael primero y 3.65% para el segundo, respecto a los valores tericos reportados en la literatura.

1. Introduccin

La primer evidencia experimental de la relacin

entre la luz y el electromagnetismo, fue descu-

bierta en 1845 por el fsico Michael Faraday. El

experimento que llev a cabo mostr que era posi-

ble rotar el ngulo de polarizacin de un haz de

luz cuando ste pasaba a travs de un materi-

al dielctrico, sometido a la accin de un campo

magntico, siempre y cuando las lneas de campo

fueran paralelas a la direccin de propagacin de

la luz.

Para entender por qu hay interaccin entre el

campo magntico y la luz, utilizaremos la teora

de Larmor, que logra explicar ste fenmeno. Recorde-

mos que la polarizacin lineal puede reescribirse

como una superposicin de dos estados de po-

larizacin circular, en sentidos contrarios. La po-

larizacin circular genera oscilaciones en los elec-

trones del dielctrico, los cuales sentirn dos fuerzas,

la elstica y la centrpeta, que deben equilibrarse:

r = m20r (1)

Esto, en ausencia de fuerzas externas. Al con-

siderar la fuerza de Lorentz, obtendremos un tr-

mino extra:

eB1r = m(21 20)r (2)El lado izquierdo de sta ltima ecuacin con-

tiene informacin respecto a la direccin de giro,

lo que genera una nueva frecuencia angular 1.Pensando en un electrn que gira en sentido con-

trario a ste, aparece el signo menos en el tr-

mino correspondiente a la fuerza de Lorentz, lo

cual podemos escribir como una permutacin en

el lado derecho de la ecuacin:

eB2r = m(20 22)r (3)Ahora, haremos la siguiente suposicin: la mag-

nitud del campo no es suciente para hacer una

1

diferencia grande en frecuencia, por lo que pode-

mos asumir, sin problema alguno, que 0 = 1 =2, con lo que tendremos:

(20 22) = (1 0)(1 + 20) = 21(1 0)(4)

De forma similar, haremos la misma suposi-

cin para el electrn que gira en sentido con-

trario:

(20 22) = (0 2)(0 + 22) = 22(0 2)(5)

Sustituyendo en la ecuacin de balance de

fuerzas para cada electrn, observemos que:

1 0 = 0 2 = eB2m(6)

Si 1 est por encima de la frecuencia natural,2 estar por debajo de sta. Por ello, podemosagregar un signo a la diferencia de frecuencias y

escribir la ltima ecuacin de la siguiente forma:

= eB2m(7)

Escribiendo sta ltima expresin en trmi-

nos de la frecuencia:

= eB4pim(8)

Ahora, analizaremos lo que ocurre con el plano

de polarizacin de manera macroscpica.

Figura 1: Rotacin del plano de polarizacin

El cambio en las frecuencias se reeja exter-

namente en una diferencia de camino ptico para

la luz con polarizacin circular hacia la izquier-

da, contra la luz con polarizacin circular hacia

la derecha. El ngulo de rotacin, en trminos

del espacio del nmero de onda, puede escribirse

como:

=1

2()(xni xnd) = 1

2(2pi

x

(ni nd) (9)

Donde . El factor un medio aparece al contar

dos veces el ngulo de polarizacin. sta ecuacin

denota simplemente un cambio de fase. Cmo

obtener informacin de ni y nd?Los materiales dielctricos, en general, no tienen

un ndice de refraccin constante, pues se sabe

que ste depende de la frecuencia, entre otras

cosas, por lo que podemos escribir:

n = n() (10)

Aunque se desconozca la forma del ndice de

refraccin, podemos suponer que es una funcin

analtica, y que es posible hacer un desarrollo en

serie de Taylor:

n() = n(0 + dn(0)d

( 0)) (11)Obtendremos dos ecuaciones al sustituir las

dos frecuencias obtenidas por la interaccin con

el campo magntico, i y d:

ni = n(0) + dn(0)d

(i 0) (12)

nd = n(0) + dn(0)d

(d 0) (13)

Restado la segunda de la primera:

ni nd = dnd

(i 0 + 0 d) (14)Donde hemos eliminado el argumento de la

derivada de n nicamente por notacin. Si i esmayor a la frecuencia natural 0, podemos decir,sin prdida de generalidad, que d ser menor a0. Esto nos lleva a que: = i 0 = 0 d.Por lo tato, podremos escribir la ecuacin (13)

como:

2

ni nd = 2()dnd(15)

De la relacin de dispersin, = c , diferen-ciando, notamos que:

d = c2d (16)

El signo puede asociarse con el cambio en la

frecuencia, as, obtenemos, nalmente:

ni nd = 2()2

c

dn

d(17)

Observando la ecuacin (9), ahora podemos

sustituir la diferencia de ndices de refraccin,

junto con la diferencia de frecuencias, obteniendo

as:

=1

2(2pi

x

)2()(

2

c

dn

d) =

1

2(2pi

x

2(

eB

4pim)(2

c

dn

d))

(18)

Simplicando y agrupando trminos:

= xB(e

2mc

dn

d) = xBV (19)

Donde V corresponde a la constante de Verdet

terica. Experimentalmente, para obtener su val-

or se requiere de medir nicamente tres variables:

longitud, intensidad de campo magntico y rotacin

del plano de polarizacin.

2. Descripcin experimental

2.1. Material utilizado

Electroimanes con arreglo de bobinas de

Helmholtz (Cenco, modelos J 0.79637)

Polarizadores lineales

Fotodetector

Lser rojo (650 nm)

Siete muestras de vidrio de diferentes tamaos

(5.05 cm, 4.04 cm, 3.05 cm y 2.05 cm), tipo

F2 y SF5

Fuente de alto voltaje (Modelo BK)

Cables banana-banana

Multmetro (Steren Fluke)

Gaussmetro (Tel-Atomic Inc. SMS 102)

2.2. Procedimiento

La gura 2 muestra una fotografa del dispos-

itivo experimental.

Figura 2: Electroimanes, polarizadores y fotode-

tector

Las corrientes necesarias para activar el equipo

se encuentran entre 1 y 10 Amperes, por lo cual

se necesitar de la fuente de alta potencia. Dado

que los ncleos de las bobinas utilizadas son de

cobre, no es necesario llevar a cabo el proceso de

desmagnetizacin.

En la entrada de las bobinas se encuentra uno

de los polarizadores, mencionado en la seccin

anterior, que puede girar. Sin embargo, deber

mantenerse jo. En la salida, en el otro extremo

de las bobinas, se coloc el segundo polarizador,

montado con una escala en grados, para facilitar

la lectura de las mediciones. ste ser el nico

que se mover. Antes de iniciar, deben colocarse

cruzados, es decir, en el mnimo de la intensidad,

como referencia.

Delante del polarizador se coloc el lser, sobre

una base ajustable que lo mantuviera estable.

Hay que asegurarse de que el haz atraviese per-

fectamente hasta el otro lado, donde puede colo-

carse la fotocelda, o simplemente una pantalla

blanca, con el n de encontrar el mnimo en la

transmisin de la luz.

Sobre la base de madera, entre las bobinas, se

colocaron las muestras de vidrio, de tal forma

que el haz de luz pasara a travs de ellas. La

primer medida corresponde a cuando no hay cor-

riente alguna. Deben apagarse las luces del lab-

oratorio, y, girando el segundo polarizador, en-

contrar el mnimo en la intensidad de la luz a

3

la salida. Dicho punto, sobre la escala del polar-

izador, se tomar como el cero. Una vez identi-

cado, se procede a encontrar los mnimos corre-

spondientes para cada variacin de la corriente.

En ste experimento, se tomaron tres medidas,

de 5 Amperes a 1 Ampere, para cada muestra de

vidrio. Los datos obtenidos se promediaron, para

despus gracar la variacin del ngulo en fun-

cin del campo magntico, multiplicado por la

longitud del cristal. Haciendo una aproximacin

lineal, se estim la constante de Verdet, que cor-

responde a la pendiente de cada recta.

Es importante anotar que, en caso de utilizar el

fotodetector para encontrar el mnimo en la in-

tensidad, ste tiene que prenderse ante de tomar

las mediciones, en el modo zero check, para que

tome lecturas de la luz de fondo. Pasados, aprox-

imadamente, 5 minutos, puede comenzar a uti-

lizarse.

Aunque se cuenta con la hoja de datos que indi-

ca el valor del campo magntico producido por

la bobinas de acuerdo con la corriente de ali-

mentacin del equipo, se utiliz el Gaussmetro

con la punta Hall para determinar el valor de

ste. Los datos medidos del campo magntico

fueron los que se utilizaron para las grcas -

nales.

3. Datos experimentales

A continuacin se presentan las grcas obtenidas

para cada muestra de cristal, donde el ajuste lin-

eal tiene la forma: = a(Bl) + b, donde a corre-sponder a la pendiente, es decir, la constante de

Verdet que deseamos encontrar para ste tipo de

vidrio. En el apndice A se anexan los datos ex-

perimentales obtenidos, junto con sus respectivas

incertidumbres.

Figura 3: Muestra de vidrio F2 de 2.05 cm

Figura 4: Muestra de vidrio F2 de 3.05 cm

Figura 5: Muestra de vidrio F2 de 4.04 cm

4

Figura 6: Muestra de vidrio F2 de 5.05 cm

Ahora, se muestran las grcas obtenidas para

las muestras de vidrio SF5.

Figura 7: Muestra de vidrio SF5 de 3.05 cm

Figura 8: Muestra de vidrio SF5 de 4.04 cm

Figura 9: Muestra de vidrio SF5 de 5.04 cm

4. Discusin de resultados

En las siguientes tablas se listan los valores obtenidos

de las pendientes para cada ajuste.

Grca Pendiente [

minGcm ]Figura 2 0.03558 0.00281Figura 3 0.03173 6.65201E-4Figura 4 0.03667 0.00114Figura 5 0.03698 0.00271

Cuadro 1: Pendientes de los ajustes lineales para

el vidrio F2

5

Para el vidrio F2 tendremos un valor promedio

de la constante de Verdet: 0.03524 0.0018313minarcoGausscm . El valor terico reportado, que puedeencontrarse en las hojas anexas de [1], es 0.034

minarcoGausscm . El error asociado a ste resultado esdel 3.65%

Grca Pendiente [

minGcm ]Figura 6 0.04022 0.00273Figura 7 0.04141 8.910E-4Figura 8 0.0444 0.00164

Cuadro 2: Pendientes de los ajustes lineales para

el vidrio SF5

Para el vidrio SF5, en cambio, obtenemos un val-

or promedio de la constante de Verdet: 0.04201

0.001754 minarcoGausscm . El valor terico reportado,que puede encontrarse en las hojas anexas de [1],

es 0.041

minarcoGausscm . El error asociado a ste resul-tado es del 2.46%

Notemos que en la grca correspondiente a la

gura 7, la pendiente nos arroja el valor terico

que se menciona para la constante de Verdet del

vidrio tipo SF5, ante la longitud de onda de 650

nm. Los errores experimentales se deben proba-

blemente a la escala para el segundo polarizador,

pues no es lo sucientemente na como para de-

terminar el ngulo con toda exactitud, lo cual

nos oblig a redondear o truncar ciertos valores,

afectando el promedio nal. As mismo, las medi-

ciones del campo magntico se tomaron al nal,

y no junto con cada una de las mediciones. Otra

propuesta para mejorar los resultados, es ampli-

ar el rango de corrientes.

Segn lo encontrado en la literatura [4], para

vidrios del tipo SF, la constante de Verdet in-

crementa por el contenido de PbO, lo cual ex-

plicara por qu el valor obtenido es mayor que

para el vidrio de tipo F2. No podemos estable-

cer algn otro tipo de comparacin, pues no se

experiment, por ejemplo, con otra longitud de

onda, parmetro del cual la constante depende

fuertemente.

5. Conclusiones

Tras realizar el experimento para determinar la

dependencia de la rotacin del ngulo de polar-

izacin para una fuente de longitud de onda dada

(650 nm) con la intensidad del campo magnti-

co, para dos clases de vidrio, F2 y SF5, la cual

comprobamos es lineal, se determin el valor de

la constante de Verdet, que es el parmetro que

indica la proporcionalidad entre la intensidad del

campo magntico y el ngulo de rotacin de po-

larizacin de una fuente polarizada, cuya longi-

tud de onda se conoce, para cada muestra. Los

resultados de los ajustes lineales efectuados, no

dieron los valores promedio: 0.04201 0.001754minarcoGausscm para el vidrio SF5 y 0.03524 0.0018313minarcoGausscm para el vidrio tipo F2. El error por-centual con respecto a los valores tericos repor-

tados son, respectivamente, 2.46% y 3.65%.

Cabe destacar la increble cualidad de ste exper-

imento, que es determinar, midiendo nicamente

tres variables (longitud, intensidad de campo mag-

ntico y rotacin del plano de polarizacin) algo

tan complejo como la constante de Verdet, en lu-

gar de determinar la funcin de dispersin, etc.

Referencias

[1] Manual para el experimento de efecto Fara-

day del laboratorio de Fsica Contem-

pornea I, UNAM

[2] http://www.physics.brocku.

ca/Courses/1P92/lab-manual/

faradayrotation.pdf

[3] http://www.pas.rochester.edu/

~advlab/reports/padmaraju_faraday.

pdf

[4] http://www.physics.rutgers.edu/

ugrad/389/Verdet%20constant-the%

20properties%20of%20optical%

20glasses.pdf

6

IntroduccinDescripcin experimentalMaterial utilizadoProcedimiento

Datos experimentalesDiscusin de resultadosConclusiones