淺水波模式與布氏模式應用於封閉水槽內駐波模擬之比較 ·...

海洋工程學刊第 11 卷第 2 期第 137-148 頁 (二○一一年十二月) Journal of Coastal and Ocean Engineering, Vol. 11, No. 2, pp. 137-148 (2011)

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淺水波模式與布氏模式應用於封閉水

槽內駐波模擬之比較

梁興杰 1 陳盈智 2 藍烱揚 2

1 國立台灣海洋大學海洋環境系副教授 2 國立台灣海洋大學海洋環境系研究生

關鍵詞：淺水波方程式、布氏方程式、非線性、頻散、駐波、孤立波。

摘要

本文以時間空間最小平方有限元素法建立淺水波模式 (Shallow Water

Equations, SWE) 與布斯尼斯克模式 (Boussinesq Equations, BE)，模擬封閉平坦

水槽內不同水深之駐波運動。在淺水 (長波) 情況下，兩模式計算結果與微小振

幅波理論值相當吻合；在深水 (短波) 之模擬，BE 模式計算之振福與波速皆優

於 SWE 模式。兩模式並應用於等水深渠道孤立波傳遞之模擬 BE 模式較 SWE

模式更準確預測孤立波之波幅、波速與守恆性質，尤其當頻散效應 (波長與水深

之關係) 顯著時。

COMPARISON OF NUMERICAL SOLUTION OF SHALLOW-WATER EQUATIONS AND

BOUSSINESQ EQUATIONS FOR STANDING WAVE IN A CLOSED BASIN

Shin-Jye Liang 1 Ying-Chih Chen 2 Chiung-Yang Lan 2

1 Associate Professor, Department of Marine Environmental Informatics,

National Taiwan Ocean University, Keelung 20224, Taiwan, R.O.C. 2 Graduate Student, Department of Marine Environmental Informatics,

National Taiwan Ocean University, Keelung 20224, Taiwan, R.O.C.

Keywords: shallow-water equations, Boussinesq equations, nonlinearity, dispersion, standing wave, solitary wav.

Journal of Coastal and Ocean Engineering, Vol. 11, No. 2 (2011)

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ABSTRACT

Numerical solution of shallow-water equations (SWE) and Boussinesq equations

(BE) using space-time least-squares finite element method is developed. Both models

are applied to standing wave, ranging from shallow-water (long waves) to deep water

(short waves), in a flat closed basin. Computed results of both models for shallow

water waves agree well with solution of the small amplitude wave theory. However,

for deep water waves prediction of BE model outperforms SWE model in terms of

wave amplitude and wave speed. Both models are then applied to solitary wave

propagation over a constant depth channel. Dispersive BE model gives better

prediction of wave amplitude, frequency, and conservation property than

non-dispersive SWE model does, especially when the dispersion effect, i.e., ration of

water depth to wave length, is significant.

一、前言

駐波與孤立波為波浪學中重要之經典範例，如港池震盪與海嘯傳播等 (Dean and

Dalrymple, 1984；Mei et al., 2005)；駐波為頻率、波長與振幅皆相同，傳播方向相反的兩週期

波疊加所產生，由於無法傳遞質量與能量，能量以動能和位能的形式互相轉變；而孤立波具

有質量、動量與能量之守恆性質，即使經過長距離傳遞，仍能維持波形而不改變，常被應用

於海嘯在遠洋傳遞的現象。研究駐波與孤立波之方法主要有解析法，以數學解析得其數學模

式之正解 (Mei et al., 2005；Whitham, 1999)；現場觀測或模型實驗，重建物理現象，如水槽

造波實驗，或對物理現象作實際觀測的方式探討；數值方法，以數值模擬的方式對數學模式

求取近似解 (Lin, 2008；Li et al., 1999；Li and Zhan, 2006；Nwogu, 1993；Peregrine, 1967；

Ramaswamy, 1990；Wei and Kirby, 1995；許，2003)。此三種方法，各有其優劣與限制。近年

由於電腦硬體，計算速度大幅提昇，以及計算方法之改進，我們可以對物理問題，建立數學

與數值模式，模擬複雜之流力與波浪問題。

本研究中，我們發展以淺水方程式 (SWE) 與布氏方程式 (BE) 為理論基礎之數值模

式，並將模式應用於駐波與孤立波運動之模擬。由於波浪在淺水 (水深與波長之比值小於

1/20，所謂之長波) 與深水 (水深與波長之比值大於 1/2，所謂之短波) 之動力特性不同，以

及 SWE 與 BE 模式之假設、應用範圍不同，本研究中，我們以駐波與孤立波為例，定量探

討 SWE 與 BE 模式在長波與短波情形下之數值精度與守恆性質。

海洋工程學刊第 11 卷第 2 期 (2011)

139

二、理論分析

本文利用時間空間最小平方有限元素法 (Gunzburger, 1989; Jiang, 1988)，求解一維非守恆

性淺水波方程式

0

0)(

xg

x

uu

t

u

huxt

(1)

與一維非守恆性布氏方程式

2

22

3

0

x

u

t

h

xg

x

uu

t

u

huxt

(2)

式中表示水面，u 表示沿 x 方向之水平流速，h 代表水深，g 代表重力加速度。未知變

數， ) ,( u ，以插分函數近似

,,

,

x tN x t

u x t u

(3)

式中 ),( txN 表示時間空間元素之差分函數。將近似型式，式 (3) ，代入式 (1) 與式 (2) ，

可得殘餘值，即 ),( txR (Gunzburger, 1989；Jiang, 1988；吳，2010)；再利用最小平方法

0),( 2 dxdttxRtt (4)

可得對稱正定 (Symmetric and Postitive-Definite) 之方程組。如此，可利用預處理共軛梯

度法 (preconditioned conjugate gradient method) 有效地對其求解 (Jiang and Carey, 1987)，細節

可參考吳 (2010)。

三、結果與討論

上述兩模式應用於駐波與孤立波之模擬，結果如下。


140

3.1 駐波

圖 1 為一平坦封閉水槽內單一結點之駐波示意圖，水槽寬度 L = 10 m（波長為 20 m）、

為自由水面，自由水面之初始條件為

,0 cosx

x aL

(5)

其中 a 為振幅。算例中 a = 0.01 m；左右邊界條件為完全反射邊界條件

0 u n (6)

n 為邊界上之法向量。類似之模擬可參考 Jankowski (1999)、Stelling and Zijlema (2003) 、

Walters (2005)。計算使用之 0.01 mx 、 t 0.025 s（SWE 模式）與 t 0.0005（BE 模

式）。由 Airy 理論可得線性近似解，

2 2, cos cos

x tx t a

L T

(7)

圖 2 為 h = 5 m（h/ = 0.25, 為波長）時，SWE 與 BE 模式計算結果不同時間之水

面比較。由圖我們發現兩者結點固定不動，水面週期震盪，且振幅大小不變，為駐波運動之

特性。

圖 3 為利用 SWE 與 BE 模式模擬 h = 5 m 時，水槽內駐波之水面與 Airy Theory 解

之比較。由於 25.0/ h 為中間水深之情況，SWE 模式無法預測正確波速，而 BE 模式之

計算結果與理論值較吻合。

圖 1 平坦封閉水槽內單一結點駐波示意圖。


141

x (m)

0 2 4 6 8 10

(m

)

-0.010

-0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

t = T/4t = T/2t = 3T/4t = T

(a) SWE 模式

x (m)

0 2 4 6 8 10

(m

)

-0.010

-0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

t = T/4t = T/2t = 3T / 4t = T

(b) BE 模式

圖 2 利用 SWE 與 BE 模式模擬封閉水槽內之駐波，計算所得不同時間之水面比較。(h = 5m)


142

(a) SWE 模式

(b) BE 模式

圖 3 利用 SWE 模式與 BE 模式模擬水槽內駐波所得 x = 0 之水面變化與解析解之比較。(h = 5 m)


143

表 1 與圖 4 為不同水深 (0.5 m 至 7 m)，SWE 與 BE 模式波速之計算結果與淺水波速

gh 以及 Airy Theorem 之比較。我們可以發現，SWE 模式計算結果與淺水波波速相當接

近，但 05.0/ h 時，SWE 模式無法適當地描述波速；而 BE 模式之計算結果與 Airy Theory

理論值接近，因為水深與波長之比值符合 Boussinesq Equations 之適用範圍 ( 5.0/ h )。

表 1 艾利理論、淺水波、SWE 模式與 BE 模式波速之比較

h/L

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35

C

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(gh)^0.5SWE ModelAiryBE Model

圖 4 波速隨水深變化之比較，實線為線性波理論波速，虛線為淺水波速，方形與菱形符號分別為 SWE

模式與 BE 模式計算結果。

/h )m/s(AiryC )m/s(gh

C )m/s(SWEC )m/s(BEC

0.025 2.20456 2.21360 2.40001 2.00200

0.05 3.08056 3.13050 3.20000 3.07692

0.10 4.16797 4.42719 4.39996 4.16667

0.15 4.79272 5.42218 5.60005 4.78469

0.20 5.14970 6.26099 6.40000 5.14139

0.25 5.34883 7.00000 7.19994 5.33333

0.30 5.45788 7.66811 7.71426 5.71428

0.35 5.51691 8.28251 8.28569 5.71428


144

3.2 孤立波

有關孤立波之模擬可參考 Jankowski (1999)、 Li et al. (1999)、 Li and Zhan (2006)、 Wei

and Kirby (1995)、許 (2003)。我們將兩模式應用於孤立波於等深渠道傳遞之模擬。渠道長 (L)

= 540 m、水深 (h) = 0.45 m，初始條件 (Li and Zhan, 2006) 為

20, sechu x t A B x x Ct (8)

,

1

hux t

uC

C

(9)

其中

2C ghA

C

(10)

2

3 2 241

3

C ghB

gh h C

(11)

1a

C ghh

(12)

波幅 a = 0.045 m、 0x 為起始位置、β = 0.17、g 為重力加速度；計算所用之

m 0375.0x 與 s 0025.0t 。圖 5 為 SWE 模式和 BE 模式計算不同時間所得之自由水

面之比較。結果發現，兩者平均波速相當，但 SWE 模式模擬之孤立波波峰速度較快，波前

陡峭而波尾平滑，導致無法維持，最終波形波碎，此為典型之非線性波動特徵，而 BE 模式

所得之孤立波波形穩定；圖 6 為 BE 模式計算不同時間所得之波形，孤立波以等速度傳遞，

且波尾具微小震盪（頻散現象）。

圖 7 為 BE 模式計算之波形與 Li and Zhan (2006) 近似解比較，其中 x 軸根據

x x ct 做平移， 1 /c gh a h 表示波速。由於 Li and Zhan (2006) 所提出之近似解

並非 BE 方程式 (式 2) 之正解，因此即使調整參數 x 和 t ，兩者不可能完全吻合。


145

x (m)

70 80 90 100 110 120

(m

)

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

t = 0t = 2 (SWE)t = 2 (BE)t = 5 (SWE)t = 5 (BE)t = 7.2 (SWE)t = 7.2 (BE)

t = 0 t = 2 t = 5 t = 7.2

圖 5 利用 BE 模式與 SWE 模式模擬孤立波之傳播，計算所得於 t = 0, 2, 5, 7.2 s 之波形比較。

x (m)

0 100 200 300 400 500

(m

)

-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

t = 025 50 75 100 125 175150

圖 6 利用 BE 模式模擬孤立波傳播於等水深渠道，計算所得於不同時間之波形。

η(m

) η

(m)


146

圖 7 利用 BE 模式模擬孤立波之傳遞，計算所得不同時間之波形與 Li and Zhan (2006) 近似解

(t = 0 s) 之比較。

四、結論

本文中我們利用時間空間最小平方有限元素法建立淺水波模式與布氏模式，並模擬駐波

與孤立波。從駐波的算例中，發現兩模式在淺水 (長波) 之情況下，計算結果與微小振福波理

論相當吻合；而隨著水深增加，在深水 (短波) 之情況下，BE 模式計算之振幅與波速皆優於

SWE 模式。在孤立波的算例，SWE 模式由於其靜水壓分佈與無頻散之假設，其波形無法維

持，而考慮非線性與頻散之 BE 模式，則能較準確的計算波幅、波速與守恆性質。未來可考

慮地形變化，以及二維 SWE 模式與 BE 模式的建立與應用。

謝誌

感謝國科會專題研究計畫「氣候變異與都市化對台中盆地防災之影響研究」(編號 NSC

98-2625-M-019-002) 之經費之補助。

參考文獻

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X (m)

η (m

) η

(m)


147

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148

許泰文 (2003)「近岸水動力學」，科技圖書，台北市。

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資訊系碩士論文。

Manuscript Received：Mar. 03, 2011

Revision Received：Jun. 14, 2011

and Accepted：Jul. 07, 2011

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