논문사례로보는실험계획법특강 -...

2016-06-01

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논문사례로 보는 실험계획법 특강

이레테크 소프트웨어사업부

박재하

목 차

1. 실험계획법 논문 소개

2. 실험계획법 개요

3. OFAT 실험

4. Plackett-Burman 실험

5. 23 완전배치법 실험

6. 2 factor 중심합성계획법

7. Design Space 활용

2

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2

© 2014 Minitab, Inc.

통계적 방법을 적용한

생산배지 최적화


실험계획법 절차

사례 논문의 실험계획법

4

BACILUS LICHENIFORMIS_DATA.mpj

OFAT {논문}

기본 생산배지

배지 성분 (C, N, P) 선별

Plackett-Burman_III {논문} 2 k-p_부분배치법 {비교}

배지 특성화

2 3 완전배치법 {논문}

배지 최적화 (Response Surface Methodology)

중심합성계획법 (Central Composite Design) {논문}

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Process input & output

5

설계 기반 품질(QbD)의 개요


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실험계획법 적용 프로세스

1 단계 실험계획법

3 단계

2 단계 실험계획법

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기본 생산배지

• 기본배지에 의한 실험

독립변수(X) :

• A1 .D• B1 .E• C1 .F

7

1

• A1: Sucrose 20 g/L• B1: Asparagine 10 g/L• C1: Na2HPO4 2 g/L• D: CaCl2 0.01 g/L• E: MgSO4 0.4 g/L• F: Na2CO3 0.25 g/L

기본배지

기본 생산배지

1% (v/v) 접종30 C

110 rpm

24 Hour

input 배양 공정 output

종속변수(Y) :

• dry cell weight (D.C.W.)

D.C.W. ≒ 1.2 g/L


OFAT 배지 실험

• 기본배지에서 탄소(C)원 선정을 위한 1차 OFAT 실험

독립변수(X) :

• A1

• A2, A3, A4, A5, A6

input

1% (v/v) 접종30 C

110 rpm

24 Hour

배양 공정 output

종속변수(Y) :


8

1

• A1: Sucrose 20 g/L 기본배지• A2: glucose 20 g/L• A3: galactose* 20 g/L D.C.W. 3.13 g/L• A4: lactose 20 g/L• A5: fructose 20 g/L• A6: maltose 20 g/L

탄소(C)원

OFAT 법에 의한 배지 선별: C, N, P 발굴 선정

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OFAT 배지 실험

• 기본배지에 탄소원 고정, 질소(N)원 선정을 위한 2차 OFAT 실험

9

1

• B1: asparagine 10 g/L 기본배지• B2: casitone 10 g/L• B3: peptone 10 g/L• B4: malt extract 10 g/L• B5: Yeast extract* 10 g/L D.C.W. 10.19 g/L• B6: proteose peptone 10 g/L

질소(N)원

독립변수(X) :

• B1

• B2, B3, B4, B5, B6

OFAT 법에 의한 배지 선별 : C, N, P 발굴 선정

1% (v/v) 접종30 C

110 rpm

24 Hour


종속변수(Y) :


input


OFAT 배지 실험

• 기본배지에 탄소원, 질소원 고정, 인(P)원 선정을 위한 3차 OFAT 실험

10

1

• C1:ammonium phosphate monobasic 2 g/L 기본배지• C2:potassium phosphate 2 g/L• C3:potassium phosphate dibasic* 2 g/L D.C.W.: 11.88 g/L• C4:disodium hydrogen phosphate 2 g/L• C5:sodium dihydrogen phosphate dihydrate 2 g/L• C6:diammonium hydrogen phosphate 2 g/L

인(P) 원

input

독립변수(X) :

• C1

• C2, C3, C4, C5, C6

OFAT 법에 의한 배지 선별 : C, N, P 발굴 선정

1% (v/v) 접종30 C

110 rpm

24 Hour


종속변수(Y) :


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OFAT 배지 실험

• 건조균체량 (D.C.W.)

11

1

OFAT 법에 의한 실험 결과 : C, N, P 발굴 선정

출처: Bacillus licheniformis SCD121067 균체 대량 생산성 증가를 위한 통계적 생산배지 및 발효조건 최적화

11.88 g/L


Plackett-Burman 실험

• 배지 선별을 위한 해상도 III의 Screening (인자 선별) 실험

Plackett-Burman : 인자 선별실험

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• A3: galactose [(-)16 (+)24] • B5: yeast extract [(-)5 (+)15]• C3: K2HPO4 [(-)1 (+)3]• D: CaCl2 [(-)0.005 (+)0.015]• E: MgSO4 [(-)0.2 (+)0.6]• F: Na2CO3 [(-)0.125 (+)0.375]

요인

input

독립변수(X) :

• A3 .D• B5 .E• C3 .F

1% (v/v) 접종30 C

110 rpm

24 Hour


종속변수(Y) :


(-) : 낮은 수준, (+) : 높은 수준, 단위 : g/L

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N=12, K=11 Plackett-Burman 설계

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1표준순서

D.C.W.

(g/L)A B C D E F G H I J K

1 + ? 12.40

2 + + 13.05

3 - + + 7.72

4 + - + + 15.99

5 + + - + + 6.78

6 + + + - + + 5.55

7 - + + + - + + 5.14

8 - - + + + - + + 8.34

9 - - - + + + - + + 13.65

10 + - - - + + + - + + 13.05

11 - + - - - + + + - + + 5.96

12 - - - - - - - - - - - 2.71

PBD_D.C.W.mtw



Plackett-Burman 실험 설계

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• 사용 가능한 설계 표시

해상도 III의설계?

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Plackett-Burman 실험 설계

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• 요인 설계 생성 설계

• Coded 워크시트 • Uncoded 워크시트


초기 (주효과) 모형

16


654321 222.0692.0917.0840.0552.3327.0195.9)(ˆ:... xxxxxxCodeyWCD 의모델식

**

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9


오차를 최소화 하는 모형 (오차 , α=0.25 )

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논문에서B, D, C 선정

5432 692.0917.0840.0552.3195.9)(ˆ:... xxxxCodeyWCD 의모델식

****

*


통계적으로 유의한 모형 (α=0.05)

18


논문에서B, D, C 선정

432 917.0840.0552.3195.9)(ˆ:... xxxCodeyWCD 의모델식

****

*

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초기완전모형 오차 ↓ 모형 인자선별모형

항 선택항 p값 선택항 p값 선택항 p값

A O 0.591 X X X X

B O 0.002 O 0.000 O 0.000

C O 0.200 O 0.140 O 0.152

D O 0.168 O 0.112 O 0.125

E O 0.279 O 0.212 X X

F O 0.713 X X X X

곡면성 * * *

오차 (MS) 3.894 3.048 3.385

적합결여 검정 * * *

순수오차 (PE) * * *

모형평가

S 1.973 S 1.746 S 1.840

R-제곱 90.12% R-제곱 89.17% R-제곱 86.25%

R-제곱(수정) 78.26% R-제곱(수정) 82.98% R-제곱(수정) 81.10%

R-제곱(예측) 43.08% R-제곱(예측) 68.17% R-제곱(예측) 69.07%

평가

풀링 (Pooling)에 따른 모형 적합도 비교


Plackett-Burman 선별 실험 분석 {주효과도, 교호작용 효과도}

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• 요인 설계 분석 요인 그림

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Plackett-Burman 선별 실험 분석 {적합치 추정값}

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• 요인 설계 분석 입방체도


3 factor full factorial design 실험

• Screening 실험 후, 2 3 완전배치법 + 중앙점 2회 실험

23 full factorial design : 특성화 실험

22

• B5:yeast extract [(-)5 (+)15] • C3:K2HPO4 [(-)1 (+)3]• F:CaCl2 [(-)0.005 (+)0.015]

요인

input

독립변수(x) :

• B5 • C3• F

1% (v/v) 접종30 C

110 rpm

24 Hour


종속변수(Y) :


(-) : 낮은 수준, (+) : 높은 수준, 단위 : g/L

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2 3 완전배치법 설계

23

Run A: yeast extract B: K2HPO4 C: CaCl2 D.C.W. (g/L)

1 - - - 10.6940

2 + - - 13.2192

3 - + - 8.8796

4 + + - 11.9473

5 - - + 10.6005

6 + - + 13.3502

7 - + + 8.9170

8 + + + 12.2279

9 0 0 0 11.3487

10 0 0 0 11.5545

3f_full factorial.mtw23 full factorial design + 2 중심점 :특성화실험


2 3 완전배치법 설계 생성

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2 3 완전배치법 설계 생성

25


• 요인 설계 생성 설계


23 완전배치법 설계 생성

26


• 요인 설계 생성 요인

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초기 완전 모형 {A, B, C, AB, AC, BC, ABC, 중앙점}

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요인 회귀 분석: D.C.W.

분산 분석출처 DF Adj SS Adj MS F-값 P-값모형 8 21.5992 2.6999 127.49 0.068

선형 3 21.3308 7.1103 335.76 0.040A:yeast extract 1 16.9754 16.9754 801.60 0.022B:K2HPO4 1 4.3396 4.3396 204.92 0.044C:CaCl2 1 0.0158 0.0158 0.75 0.546

2차 교호작용 3 0.1894 0.0631 2.98 0.397A:yeast extract*B:K2HPO4 1 0.1523 0.1523 7.19 0.227A:yeast extract*C:CaCl2 1 0.0273 0.0273 1.29 0.459B:K2HPO4*C:CaCl2 1 0.0098 0.0098 0.46 0.619

3차 교호작용 1 0.0000 0.0000 0.00 0.971A:yeast extract*B:K2HPO4*C:CaCl2 1 0.0000 0.0000 0.00 0.971

곡면성 1 0.0789 0.0789 3.73 0.304오차 1 0.0212 0.0212총계 9 21.6204

모형 요약S R-제곱 R-제곱(수정) R-제곱(예측)

0.145523 99.90% 99.12% *


초기 완전 모형의 계수 {A, B, C, AB, AC, BC, ABC, 중앙점}

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코드화된 계수

항 효과 계수 SE 계수 T-값 P-값 VIF상수 11.2295 0.0515 218.26 0.003A:yeast extract 2.9134 1.4567 0.0515 28.31 0.022 1.00B:K2HPO4 -1.4730 -0.7365 0.0515 -14.32 0.044 1.00C:CaCl2 0.0889 0.0444 0.0515 0.86 0.546 1.00A:yeast extract*B:K2HPO4 0.2759 0.1380 0.0515 2.68 0.227 1.00A:yeast extract*C:CaCl2 0.1169 0.0585 0.0515 1.14 0.459 1.00B:K2HPO4*C:CaCl2 0.0701 0.0351 0.0515 0.68 0.619 1.00A:yeast extract*B:K2HPO4*C:CaCl2 0.0047 0.0023 0.0515 0.05 0.971 1.00Ct Pt 0.222 0.115 1.93 0.304 1.00

코드화되지 않은 단위의 회귀 방정식

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오차를 최소화 하는 모형 {오차 , α=0.25 }

29


***

***

*


오차를 최소화 하는 모형 {오차 , α=0.25 }

30


코드화된 계수항 효과 계수 SE 계수 T-값 P-값 VIF상수 11.2295 0.0427 262.87 0.000A:yeast extract 2.9134 1.4567 0.0427 34.10 0.000 1.00B:K2HPO4 -1.4730 -0.7365 0.0427 -17.24 0.000 1.00C:CaCl2 0.0889 0.0444 0.0427 1.04 0.357 1.00A:yeast extract*B:K2HPO4 0.2759 0.1380 0.0427 3.23 0.032 1.00Ct Pt 0.2221 0.0955 2.33 0.081 1.00

코드화되지 않은 단위의 회귀 방정식D.C.W. = 10.252 + 0.2362 A:yeast extract - 1.0124 B:K2HPO4 + 8.89 C:CaCl2

+ 0.02759 A:yeast extract*B:K2HPO4 + 0.2221 Ct Pt

PtCtABCBACodeyWCD 22.014.004.074.046.123.11)(ˆ:... 의모델식

최소의 오차를 통하여 통계적으로유의한 수학적 모형을 구하여 반

응을 예측할 수 있다.

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통계적으로 유의한 모형 {α=0.05}

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******

*

초기완전모형 오차↓ 모형 인자선별모형

항 선택항 p값 선택항 p값 선택항 p값

A O 0.022 O 0.000 O 0.000

B O 0.044 O 0.000 O 0.000

C O 0.546 O 0.357 X *

AB O 0.227 O 0.032 O 0.024

AC O 0.459 X * X *

BC O 0.619 X * X *

ABC O 0.971 X * X *

곡면성 O 0.304 O 0.081 O 0.069

오차 (MS) 0.0212 0.0146 0.0148

적합결여 검정 * p(0.717) p(0.725)

순수오차 (PE) * 0.0212 0.0212

모형적합

S 0.1455 S 0.1208 S 0.1218

R-제곱 99.90% R-제곱 99.73% R-제곱 99.66%

R-제곱(수정) 99.12% R-제곱(수정) 99.39% R-제곱(수정) 99.38%

R-제곱(예측) * R-제곱(예측) 98.38% R-제곱(예측) 98.63%

평가

풀링 (Pooling)에 따른 모형 적합도 비교

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2 3 완전배치법 특성화 실험 분석 {주효과도, 교호작용 효과도}

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• 요인 설계 분석 요인 그림


2 3 완전배치법 특성화 실험 분석 {적합치 추정값}

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• 요인 설계 분석 입방체도

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OFAT 실험과 23 factorial design 실험의 효과 차이?

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11.88 g/L

04.13)0(*2221.0)}1(*)1{(*380.0)1(*7365.0)1(*4567.12295.111,1ˆ ptcty

• 23 factorial design D.C.W. 최대값 추정 {A: +1, B: -1, C: 편한 수준}

• D.C.W. 생산량 증가 : 13.04 – 11.88 = 1.16g


특성화 단계에서 2 3 완전배치 요인실험계획법 정리

목적 : 정도가 좋은 오차 분산으로 적합된 모델에서 유의한 모형 항을

최적화 단계까지 그대로 가져갈 것 인지 결정하고, 남아 있는 인자의

수준 범위 변경이나 수준 이동을 고려하는 경사로 실험계획을 결정한다.

• 하나, 풀링(Pooling)을 통한 유용한 모형 찾기

• 단계적 회귀분석 방법에 의한 유용한 모형 찾기

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경사로 실험 (Path of Steepest Ascent/descent)

정상점 실험영역을 찾기 위한 최 단거리 실험 예

Path of Steepest Ascent/descent

출처: Design and Analysis of Experiments, Douglas C. Montgomery

dry cell weight (D.C.W.)


경사로 (steepest ascent/descend method) 실험

• 곡면성이 없는 1차식 모형이므로 균체량이 최대가 되는 최단 정상점을 찾기

위하여 통계적으로 유의한 인자에 대해 아래의 수식 값만큼 수준을 이동하여하나의 실험점으로 실험을 진행하면 정상점 영역을 찾을 수 있다.

Steepest Ascent Method (SAM) 법

38

요인

• yeast extract 5.0g씩 증가

• K2HPO4 ≅0.5g씩 감소

i

i

j

ji xb

bxxBase ,1:

321 044.0735.0455.123.11ˆ xxxy

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경사로 (steepest ascent/descend method) 실험선별된 주요 인자의 모형식이 1 차식이라 균체량이 최대가 되는 정상점을 찾기 위하여각각의 인자에 대해 Δ 값만큼 수준을 이동하여 실험 진행, 이동 경로는 yeast(x1) 변수가 좌측 방향이고 K2HPO4(x2) 변수는 아래쪽 방향이다. 두 변수 중 회귀 계수값이 큰 변수를 기준으로 크기(Δ )를 결정한다. 즉 x1은 코드화 된 1단위(5) 만큼 우측으로 이동할 때 마다 x2는 약 0.50단위(1*0.51=0.51) 만큼 아래쪽으로 이동 시킨다.

51.01*455.1

735.0,1 21

xx Step

Coded Variables Natural variables Response

x1 x2 yeast K2HPO4 D.C.W.

origine 0 0 10 2

Δ (origine) 1 -0.50 1 (5) -0.50 (1)

origine+1Δ 1 -0.50 15 1.50

origine+2Δ 2 -1.00 20 1.00

origine+3Δ 3 -1.50 25 0.50

origine+4Δ 4 -2.00 30 0.00

2211 12,510 xXxXUncode

213

231,

2515

2155 22

11

Xx

XxCode

11 x

39

Steepest Ascent Method (SAM) 법

321 044.0735.0455.123.11ˆ xxxy

ix


요인 실험계획법 정리 및 질의 응답

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반응표면분석법

(Response Surface Methodology)


반응 표면 분석법

반응 표면 분석법의 필요성

1. Y와 X들 간에 2차 식의 수학적 모형이 필요한 경우에 사용한다.

2. Y에 영향을 미치는 2~3개의 핵심 인자(Vital Few X’s)가 선정되었을 때, 각 인자의 최적 조건을 도출하기 위하여 사용한다.

3. 반응치에 곡면성이 있을 때 2차 식의 수학적 모형은 규격을 만족하는 인자들의 Design Space를 찾는데 유용하다.

반응 표면 분석법은 순차적인 기법이다. 완전요인 설계나 부분요인 설계를 이용하여 중요한 변수를 스크리닝한 후, 반응 표면 설계로 이동하여 곡면성을 모형화하고, 최적 반응을 찾는다.

42

jii j

iji

iiii

ii xxxxy2

0

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반응 표면 설계

• 1차항과 2차항을 효율적으로 추정할 수 있다.

• 이전에 수행한 요인 설계에 실험 점들을 추가하여 반응변수의 곡면성을 모형화할 수 있다.

반응 표면 분석법

43


중심 합성 계획법(Central Composite Design)

중심 합성 계획법(CCD)은 일반적으로 많이 사용되는 반응표면설계 방법이다.

• Cube Point: 2K 또는 2K-1 요인 설계 점(꼭지점이라고도 함), 여기서 K는 요인 개수이다.

• Axial Point: 축 점 (별 점이라고도 함)

• Center Point: 중앙점

요인 2개로 구성된 중심 합성 계획법 설계는 다음과 같다. 그림의 점은 수행될 실험 런 을 나타낸다.

44

꼭지점

-1 또는 1

축 점

(- α ,0), (+α,0),

(0, +α), (0, -α)

중앙점(0, 0)

꼭지점, 축점, 중앙점을 함께 표시

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Second-order Model :

45

ji

jiij

k

i

iii

k

i

ii xxxxy 1

2

1

0ˆ

2 factor CCD(Central Composite Design) 법 : N, P 최적화

69


2 factor CCD (Central Composite Design) 실험

• 선별된 주요인자의 최적화를 위한 중심합성계획법 실험


46

1

• B5:yeast extract [(-) 5 27 (+) 15 45]• C3:K2HPO4 [(-) 1 0.13 (+) 3 0.39]

요인

input

독립변수(X) :

• B5 • C3

1% (v/v) 접종30 C

110 rpm

24 Hour


종속변수(Y) :


(-) : 낮은 수준, (+) : 높은 수준, 단위 : g/L

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Run A Coded B Coded A: yeast extract B: K2HPO4 D.C.W. (g/L)

1 - - 27 0.13 14.95884

2 + - 45 0.13 15.07108

3 - + 27 0.39 13.89264

4 + + 45 0.39 14.75309

5 -α 0 25.68 0.26 14.60344

6 +α 0 46.32 0.26 14.19193

7 0 -α 36 0.11 14.43509

8 0 +α 36 0.41 15.52000

9 0 0 36 0.26 15.01496

10 0 0 36 0.26 15.46389

11 0 0 36 0.26 15.38907

Factor name수준

-α -1 0 1 α

X1X2

Yeast extractK2HPO4

25.680.11

270.13

360.26

450.39

46.320.41

2f_CCD.mtw



2 인자 중심합성계획법 설계

48



• 반응 표면 설계 반응 표면 설계 생성 설계

2016-06-01

25


중심합성계획법 (Central Composite Designs)

2 인자 중심합성계획법 설계와 블록 인자가 있는 축점 거리

414.1342

344

2

2

1

2

1

cff

caaf

nn

nnn

2,2 Bk 2,3 Bk

414.12241241 k

633.1482

268

2

2

1

2

1

cff

caaf

nn

nnn

682.12241341 k

74

• 반응 표면 설계 생성 요인


2 인자 중심합성계획법 설계

50


• 반응 표면 설계 생성 요인

2016-06-01

26


2 인자 중심합성계획법

51


• 반응 표면 설계 반응 표면 설계 분석


2 인자 중심합성계획법 실험 (초기 완전모형 : 완전 2차 모형)

52


모형 요약의 R-제곱(수정) 값이 가장 높은최적을 찾으려면!!!

2016-06-01

27


2 인자 중심합성계획법 분석 {R-제곱(수정) 가장 높은 최적 모형}

53



2 인자 중심합성계획법 분석 {반응표면 활용을 위한 모형}

54


반응표면 활용을위한 B:K2HPO4 항을

모형에 가져옴

2016-06-01

28


2 인자 중심합성계획법 실험 {최적 모형 발굴}

• 하나, 풀링(Pooling)에 의한 최적 모형

• 둘, 단계적 회귀분석 방법에 의한 최적 모형

55



2 인자 중심합성계획법 실험 {등고선도 / 표면도}

56


)2^(*543.0)(021.0)(*076.0172.15ˆ:)( ABAyCode 반응표면모델식

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29


2 인자 중심합성계획법 실험 {반응 최적화 도구}

57


D.C.W. 추정값 (Uncode) = 6.23+0.491*(36.5320)–0.16*(0.1109)–0.0067*(36.5320^2)=15.208


4.0

0 3.

0.21

21 .3

0.203

3642 1.0

84

.414

5 6.1

.W.C.D

4OPH2K:B

tcartxe tsaey:A

.C.W. 대 B:K2HPO4, A:yeast extract의D 표면도

OFAT 실험과 2 factor CCD 실험의 효과 차이?

58

11.88 g/L

207.15)2^5.36(*0067.0)11.0(16.0)5.36(*491.023.6)(ˆ Uncodey

• 2 factorial design CCD의 D.C.W. 최대값 추정 {A: 36.53, B: 0.11}

• D.C.W. 값의 차이 : 15.21 – 11.88 = 3.33g

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30


2 인자 중심합성계획법 실험 {Design Space, Operating Space}

59



(주)이레테크 남부사업소박 재 하

[email protected]

010-3562-2387

60

2016-06-01

31


실험계획법을 위한 기초통계

61


가설검정의 종류

유의수준 = 0.05인 경우:P-Value > 0.05 이면 Ho 채택P-Value < 0.05 이면 Ho 기각 가설검정

검정 대상

데이터 유형연속형

계수형

모집단의 수 모집단의 수

모집단의 평균 모집단의 분산

1표본 t 검정 2표본 t 검정분산분석ANOVA

카이제곱 검정 F 검정

1개

2개

3개 이상

1개 2개

62

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32


가설검정 절차

63

출처: 이훈영, 통계학

귀무가설 설정 : HO

대립가설 설정 : H1

귀무가설채택영역


한 모집단의 평균에 대한 검정을 하고자 한다면 평균이 얼마나 차이가 나

야 통계적으로 다르다고 할 수 있나?

신뢰수준과 유의수준

64

00 : H

가설검정

),(~ X),(~n

X

01 : H01 : H01 : H

70

2/z 2/z

70

x

표본 평균에 대한가설검정 ??

00 : H

유의수준 (Level of significance): 제 1종 오류를 범할 최대 오류률 (α) p_값: 관찰된 데이터의 증거(검정통계량)로부터 제 1종 오류를 범할 확률 p_값이 α보다 작으면 귀무가설 기각 / p_값이 α보다 크면 귀무가설 채택

x

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33


65

:

::

:

신뢰구간의 의미

1st Sample’s CI

3rd Sample’s CI

5th Sample’s CI

2nd Sample’s CI

4th Sample’s CI

10th Sample’s CI

nz 2

n

z 2

α/2α/2

nz 2

n

NX2

,~ nX

μ

5


가설 검정

검정결과 실제상황

의사결정 Ho 참 Ho 거짓

Ho 참옳은 결정

Probability ( 1 – α )

제 2종 오류(type II error)

Ho 거짓제 1종 오류(type I error)

옳은 결정Probability ( 1 – β )

66

제 1종 오류: 사실은 귀무가설 (HO)이 채택되어야 하지만 기각되는 오류률 제 2종 오류: 사실은 대립가설 (H1)이 채택되어야 하지만 기각되는 오류률 유의수준(α): 제 1종 오류를 범할 최대 오류률, p_값이 α보다 크면 귀무가설 채택

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34


두 모평균의 검정

독립 표본

실험단위

Randomization

Standard

Treatment

New

Treatment

67


2-표본 t 검정

•

2-표본 t 검정

μ1 μ2

?21 XX표준화

(A) (B)

2

2

2

1

2

1

21

n

s

n

s

XXtO

분산이 다른 경우

21

21

11

nnS

XXt

p

O

분산이 같은 경우

68

)8.1,14(~ 2

2 NX4)8.1,10(~ 2

1 NX

)5.0,10(~ 2

1 NX )5.0,12(~ 2

2 NX

2

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35


2-표본 t 검정

가설검정

• 귀무가설: HO : μ1 = μ2 μ1 - μ2 = 0

• 대립가설: H1 : μ1 ≠ μ2

유의 수준 대 임계치

• α = 0.05

통계량 {등분산 ( ) 대 이분산( )}

•

p-value

•

결과값 해석

21

2121

11

nnS

XXt

p

O

등분산 11,205.0 21 nnt

2 Ovalue tTpp

2

2

2

1

2

1

2121

n

s

n

s

XXtO

11

)(

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

21

2

1

n

ns

n

ns

nsnsDF 이분산

2

2

2

1 2

2

2

1

μ1 μ2

69


분산분석 (Analysis of Variance)

일원 배치법 (One-Way ANOVA)

• 데이터 모형;

• 일원 분산분석의 가설 검정;

적어도 한 쌍이 다르다.

nj

aiy ijiij

,2,1

,2,1 means model

nj

aiy ijiij

,2,1

,2,1 effects model

aOH 21:

:1H

평균처리의번째 : ii

2,0,:

:

:

NID

i

ij

i

실험오차

효과처리의번째

평균전체

70

2016-06-01

36



• 제곱합 (Sum of Squares)의 분해

2

..

1 1

( )a n

T ij

i j

SS y y

2 2

.. . .. .

1 1 1 1

2 2

. .. .

1 1 1

( ) [( ) ( )]

( ) ( )

a n a n

ij i ij i

i j i j

a a n

i ij i

i i j

T Treatments E

y y y y y y

n y y y y

SS SS SS

71


변동 요인 제곱합(SS) 자유도(df) 평균 제곱합(MS) F0

Treatments집단간

a-1

Error집단내

N-a

전체 N-1


분산분석표

• 분산분석표를 작성했다면 어떤 의사결정이 필요한가?

F0 통계량과 분포의 임계치(유의확률)을 비교한다.

아래와 같은 결과이면 귀무가설 (처리요인의 평균이 같다.)을 기각한다.

0 , 1, ( 1)a a nF F

aNaF ,1,

Error

Treatment

MS

MS

a

i

i yyn1

2

...

n

j

a

i

iij yy1 1

2

.

11

2

...

ayyna

i

i

aNyyn

j

a

i

iij 1 1

2

.

n

j

a

i

ij yy1 1

2

..

72

2016-06-01

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F값의 유의성 검정


출처 : 이훈영교수의 통계학, 청람

집단간 평균제곱(MS) 집단내 평균제곱(MS) 검정통계량 F값

a

i

iTreatment yynMS1

2

...

n

j

a

i

iijError yyMS1 1

2

.

Error

Treatmento

SS

SSF

16,3;05.0FF

• 분산분석은 집단간 평균제곱(MSB)을 집단내 평균제곱(MSE)으로 나눈 통계량

F값을 검정통계량으로 하여 집단간 평균의 차이가 있는지 통계적으로 검정

73


(주)이레테크 남부사업소박 재 하

[email protected]

74

논문사례로보는실험계획법특강 -...

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