V=−E⋅ s

E=E x , E y , E z

s= x , y , z

=−E x⋅ xE y⋅ yE z⋅ zsE

x

y

z V

A. 電場と距離ベクトルの内積 (座表を用いた、3次元的イメージ)

平面2

平面1

電位から電場を求める。電位差の2つの計算の比較

y= f x

=f (x+ Δ x)− f (x)

Δ x

f ' (x)=d fd x

≃Δ fΔ x

微分：物理では、小さい量の比(割り算)。

f (x+Δ x)− f (x) ≃dfdx

⋅Δ x ( = f '(x)⋅Δ x )

偏微分は、他の変数を定数の様に扱う。

V=V x x , y , z−V x , y , z≃∂V∂ x

⋅ x

∂V∂ x

≃V x x , y , z−V x , y , z

x=

V x  x による偏微分

=V ( x+ Δ x , y+ Δ y , z+ Δ z)−V ( x+ Δ x , y+ Δ y , z )

+ V ( x+ Δ x , y+ Δ y , z )−V (x+ Δ x , y , z )

+ V ( x+ Δ x , y , z )−V (x , y , z )

V=V x x , y y , z z−V x , y , z

≃∂V∂ x

x , y , z⋅ x∂V∂ y

x x , y , z⋅ y∂V∂ z

x x , y y , z⋅ z

V≃∂V∂ x

x∂V∂ y

y∂V∂ z

z

x, y, z  それぞれx, y, z だけ変化するとき、V(x,y,z) の変化は、

変化する変数が一つだけになるよう、分解して差をとる。

B, 電位が位置の関数として与えられているとして、

V=−E⋅ s

=−E x⋅ xE y⋅ yE z⋅ z

V≃∂V∂ x

x∂V∂ y

y∂V∂ z

z

E=(E x , E y , E z)=−(∂V∂ x

,∂V∂ y

,∂V∂ z ) (≃−(ΔV

Δ x,ΔVΔ y

,ΔVΔ z ))

すなわち、

A, 電磁場のイメージ

B, 偏微分の性質

A, B を比較

E=(E x , Ey , E z)=−(∂V∂ x

,∂V∂ y

,∂V∂ z ) (≃−( ΔV

Δ x,ΔVΔ y

,ΔVΔ z ))

(V の勾配)E= V =− ∇ V grad

∇≡( ∂∂ x , ∂

∂ y , ∂∂ z ) ナブラと呼ばれるベクトル・微分演算子

「ベクトル解析」で使われる記号

電位と地形は似ているクーロン電場　と　富士山付近の地形図

等電位面は、無限遠点を基準とする点電荷の電位を仮定して、２倍の電位差を１０等した。

２つの等高線に注目して、座標軸を設定する。

電場ベクトル

勾配ベクトル：等高線に垂直で大きさは勾配の大きさ

yx

z

３次元空間　ー＞　２次元平面電位　　　　ー＞　高さ等電位面　　ー＞　等高線電場　　　　ー＞　勾配ベクトル

等高線２を含む、高度一定の平面にx軸、y軸を取り、その平面に垂直にz軸を取り、x,y,z軸それぞれが地表と交わる点をA,B,Cとする。原点Oは地表の下になる。

この３点を含む平面で、周囲の地表を近似できる。

z

xy

O

A

B

C

座標軸と等高線 等高線１ 等高線２

等高線１

G=−Δ z √Δ x2+Δ y2

Δ xΔ y=

Δ zΔ l

等高線2ΔyΔx

Δz

Δl

H=(−Δ x ,Δ y)

G=(Gx ,G y)=−(Δ zΔ x

,Δ zΔ y

)

G

勾配ベクトル：　大きさ＝斜度　　　　　　　方向　＝傾斜の方向

Hxy

z

G=G g

g=(Δ y

√Δ x2+Δ y2

,Δ x

√Δ x2+Δ y2

)(Δ x ,0,0)

(Δ y ,0,0)G

C

B

O

A

(0,0,0)

(Δ x ,Δ y ,Δ z)

xy平面上の勾配ベクトルは

と書ける。 証明は、まず、xy平面で等高線2に平行なベクトル

　　　　　　　　 との内積

つまり、垂直。

次に、

　　を

と、大きさと単位ベクトルの積で書くことにすると、、

である。

G⋅H=0

勾配ベクトルと経路から２点PQの高度差を求める。

P=P0

P1

Pn­2Pn­1

Q=Pn

G1

Gn­2Gn­1

G0PQの高度差

∼G0⋅P0 P1 + G1⋅P1 P2+...

+Gn−1⋅Pn−1 Pn

=∑i=0

n−1

Gi⋅Pi+1 Pi

P=P0

P1

Pn­2Pn­1

Q=Pn

G1

Gn­2Gn­1

G0

z

偏微分 3次元関数V(x, y, z) が、 x だけが変化するとき、(y, zは定数と考える)

∂V∂ x

≃V x x , y , z−V x , y , z

x=

V x

 x による偏微分

x

y

y=y0

y =y0 上での高さ(V)の変化

x

V

Ex=∂V∂ x

x

富士山の様な電位から、電場を計算。

クーロン場の電位から、電場を求める。

V r =Q

40

1r=

Q40

1

x2 y2

z2

∂V∂ x

=Q

4 0

−x

x2 y2

z2 3=−

Q40

xr3

E=−(∂V∂ x

,∂V∂ y

,∂V∂ z

)=Q

4πε0( x

r3 ,yr3 ,

zr3 ) =

Q4πε0

(x , y , z)

r3

=Q

4 0

rr3

=Q

4 0

rr2

E=Q

40

rr2

r=rr

( に注意)

確かに、一個の電荷の作る電場、

　　　　　　　 と、一致する。

定数と思って、普通に微分

今日の問題、　クーロン場の電位から、クーロン電場を求めよ。

E=−(∂V∂ x

,∂V∂ y

,∂V∂ z

)

E=Q

40

rr2

V r =Q

40

1r=

Q40

1

x2 y2

z2

から、

を用いて、

を導く

考え方:　クーロン電場を三次元座標で表現した式