ecuaciones diferenciales - richard bronson - schaum

APRUEBE SU EXAMEN CON SCHAUM!!

cuaciones

3 a EDICIN

Richard Bronson Gabriel Costa

563 PROBLEMAS COMPLETAMENTE RESUELTOS

CIENTOS DE PROBLEMAS DE PRCTICA CON RESPUESTAS

UN CAPTULO NUEVO SOBRE MODELADO

LA GUA IDNEA PARA NOTAS SOBRESALIENTES

|Mc GrawHill

Utilcelo para las siguientes asignaturas:5 EC U AC IO N ES S INTRODUCCIN A LAS S C LC U LO S? M O D ELAD OI DIFERENCIALES ECUACIONES DIFERENCIALES II YIII MATEMTICO www.FreeLibros.me

E c u a c io n e sDIFERENCIALES

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E c u a c io n e s DIFERENCIALES

T e rce ra ed ici n

RICHARD BRONSONFairleigh D ickinson U niversity

GABRIEL B. COSTAUnited. S ta tes M ilita ry A cadem y / Seton H a ll U niversity

R evisor tcnico

Ral Gmez CastilloInsti tuto Tecnolgico y d e E s tud ios Superiores d e Monterrey,

C am pus E s tado d e M x ico

Me Graw

MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO

AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO www.FreeLibros.me

C o n t e n id o

A c e r c a d e lo s a u t o r e s ............................................................................................................................................... X I

P r e f a c io ............................................................................................................................................................................... X I II

C A P T U L O 1 C o n c e p to s b s i c o s ...................................................................................................................................................... 1

E c u a c io n es d i fe r e n c ia le s ........................................................................................ 1N o ta c i n ............................................................................................................................... .......................................... 2S o lu c io n e s ....................................................................................................................................................................... 2P rob lem as d e va lor in ic ia l y de valores en la frontera ........................................................................ 2

C A P T U L O 2 U n a in tr o d u c c i n a lo s m o d e lo s y a lo s m to d o s c u a lita t iv o s ......................................................... 9

M o d e lo s m a te m t ic o s ............................................................................................................................................... 9E l c ic lo d e lo s m o d e lo s ....................................................................................................................................... 9M to d o s c u a l i ta t iv o s .................................................................................................................................................. 9

C A P T U L O 3 C la s if ic a c io n e s d e la s e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s d e p r im e r o r d e n ................... 14

F orm a estndar y form a d iferen cia l ....................................................................................... 14E c u a c io n es l i n e a l e s ..................................................................................................................................................... 14E c u a c io n es d e B e r n o u l l i .......................................................................................................................................... 14E c u a c io n es h o m o g n e a s .......................................................................................................................................... 14E c u a c io n es s e p a r a b le s .......................................................... 15E c u a c io n es exactas ..................................................................................................................................................... 15

C A P T U L O 4 E c u a c io n e s d ife r e n c ia le s s e p a r a b le s d e p r im e r o r d e n ..................................* ................................... 21

S o lu c i n ,g e n e r a l ......................... .'............................................................................... ? ........................................... 21S o lu c io n e s al p rob lem a d e valor in ic ia l ............. 21R ed u cc i n d e ecu a c io n es h o m o g n e a s .......................................................................................... 21

C A P T U L O 5 E c u a c io n e s d ife r e n c ia le s d e p r im e r o r d e n e x a c t a s .......................................................... 31

D e fin ic i n d e la s p r o p ie d a d e s ............................................................................................................................... 31M to d o d e s o lu c i n ..................................................................................................................................................... 31F actores d e in te g r a c i n ................................................................................................................ '........................... 3 2

C A P T U L O 6 E c u a c io n e s d ife r e n c ia le s l in e a le s d e p r im e r o r d e n .......................................................................... 4 2

M to d o d e s o lu c i n ..................................................................................................................................................... 4 2R ed u cc i n d e e cu a c io n es d e B e r n o u l l i ............................................................................................................. 4 2

C A P T U L O 7 A p lic a c io n e s d e la s e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s d e p r im e r o r d e n ..................................................... 5 0

P rob lem as d e crec im ien to y d e c a im ie n to ........................................................................................................ 5 0P rob lem as d e tem p er a tu ra ........................................................................................................................................ 5 0P rob lem as d e ca d a d e c u e r p o s ............................................................................................................................. 5 0P rob lem as d e d i s o lu c i n .......................................................................................................................................... 5 2C ircu itos e l c t r i c o s ..................................................................................................................................................... 5 2T rayectorias o r t o g o n a le s .......................................................................................................................................... 53

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VIII C o n t e n id o

CAPTULO 8 Ecuaciones diferenciales lineales: teora de soluciones .......... ................................................... 73

Ecuaciones diferenciales lineales .......................................................................................................... 73Soluciones linealmente independientes................................................................................................ 74El w ron skian o ............................................ ......................................... 74Ecuaciones no hom ogneas...................................................................................................................... 74

CAPTULO 9 Ecuaciones diferenciales lineales hom ogneas de segundo ordencon coeficientes c o n s ta n te s ................................................................................................................... 83

Comentario introductorio ........................................................................................................................ 83La ecuacin caracterstica........................................................................................................................ 83La solucin g en era l................................................................................................................ 84

CAPTULO 10 Ecuaciones diferenciales lineales hom ogneas de n-sim o ordencon coeficientes c o n sta n te s ....................................-.............................................................................. 89

La ecuacin caracterstica.............................. 89La solucin g en era l....................... 90

CAPTULO 11 El m todo de los coeficientes indeterm inados.............................................................................. 94

Forma simple del mtodo ........................................................................................................................ 94G eneralizaciones........................................................................................................................................ 95Modificaciones ........................................................................................................................................... 95Limitaciones del m to d o .......................................................................................................................... 95

CAPTULO 12 Variacin de p arm etros........................................................................................................... 103

El mtodo ............................................. . ..................................................................................................... 103Alcance del m to d o .................................................................................................................................... 104

CAPTULO 13 Problem as de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales ...................................... 110

CAPTULO 14 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden ........................... 114

Problemas de r e so r te s..................................... 114Problemas de circuitos elctricos ...........................................................................................r ............. 115Problemas de flotacin ...................................................................................................... 116Clasificacin de so lu cion es............................................................. 117

CAPTULO 15 M a tr ic e s ...................................................................................................................................................... 131

Matrices y v e c to r e s .................................................................................................................................... 131Suma de matrices ...................................................................................................................................... 131Multiplicacin escalar y de m atrices...................................................................................................... 132Potencias de una matriz cuadrada.......................................................................................................... 132Derivacin e integracin de matrices ................................................................................................... 132La ecuacin caracterstica........................................................................................................................ 133

CAPTULO 16 e A .................................................................................................................................................................. 140

D e fin ic i n ..................................................................................................................................................... 140Clculo de ............................................................................................................................................. 140

CAPTULO 17 R educcin de ecuaciones diferenciales lineales a un sistem ade ecuaciones de prim er o r d e n ............................................................................................................. 148

Un ejemplo .................................................................................................................................................. 148Reduccin de una ecuacin de n-simo orden ............................................... 149Reduccin de un sistem a........................................................................................................................... 150

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C o n t e n id o IX

C A P T U L O 18 M to d o s g r fic o s y n u m r ic o s p a r a r e so lv e r e c u a c io n e s d ife r e n c ia le sd e p r im e r o r d e n .......................................................................................................................................................... 157

M to d o s c u a l i ta t iv o s ................................................................................................................................................. 157C am p os d ir e c c io n a le s ............................................................................................................................................... 157M to d o d e E u l e r ........................................................................................................................................................ 158E s ta b ilid a d ...................................................................................................................................................................... 158

C A P T U L O 19 M to d o s n u m r ic o s a d ic io n a le s p a r a r e so lv e r e c u a c io n e s d ife r e n c ia le sd e p r im e r o r d e n .......................................................................................................................................................... 176

C om en tarios gen era les ............................................................................................................................................ 176M to d o m od ificad o d e E uler ............................................................................................................................... 177M to d o d e R u n g e -K u tta .......................................................................................................................................... 177M to d o de A d a m s-B a sh fo r th -M o u lto n ............................................................................................................. 177M to d o de M i l n e .......................................................................................................................................................... 177V alores in ic ia les .......................................................................................................................................................... 178O rden d e un m tod o n u m r ic o ............................................................................................................................. 178

C A P T U L O 2 0 M to d o s n u m r ic o s p a ra r e so lv e r e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s d e se g u n d o o r d e na tr a v s d e s i s t e m a s .................................................................................................................................................. 195

E c u a c io n es d iferen cia les de segu n d o orden .................................................................................................. 195M to d o de E u l e r .......................................................................................................................................................... 196M to d o de R u n g e -K u tta .......................................................................................................................................... 196M to d o de A d a m s-B a sh fo r th -M o u lto n ............................................................................. 196

C A P T U L O 21 L a tr a n sfo r m a d a d e L a p l a c e ........................................................................................................................... 211

D e f i n i c i n ....................................................................................................................................................................... 211P rop iedades d e las transform adas d e L a p la c e ................................................................................................ 211F u n cio n es d e otras variables in d ep en d ien tes ................................................................................................ 2 1 2

C A P T U L O 2 2 T r a n s fo r m a d a s in v ersa s d e L a p la c e ............................................................................................................ 2 2 4

D efin ic i n ....................... 2 2 4M an ip u lacin de denom inadores ........................................................................................................................ 2 2 4M an ip u lacin de num eradores .......................................................................................... 2 2 5

C A P T U L O 23 C o n v o lu c io n e sy fu n c i n e sc a l n u n ita r io ................................................................................................. 2 3 3

C o n v o lu c io n e s ............................................................................................................................................................... 2 3 3F u n cin esca l n u n ita r io .......................................................................................................................................... 2 3 3T r a n s la c io n e s .................................................................................................................................................................. 2 3 4

C A P T U L O 2 4 S o lu c io n e s d e e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s l in e a le s c o n c o e f ic ie n te s c o n s ta n te sp o r m e d io d e la s tr a n sfo r m a d a s d e L a p l a c e ............................................................................................. 2 4 2

Transform adas d e L ap lace d e d e r iv a d a s ........................................................................................................... 2 4 2S o lu c io n e s d e ecu a c io n es d iferen cia les ........................................................................................................... 2 4 3

C A P T U L O 2 5 S o lu c io n e s d e s is te m a s lin e a le s p o r m e d io d e tr a n s fo r m a d a s d e L a p l a c e ............................. 2 4 9

E l m tod o ....................................................................................................................................................................... 2 4 9

C A P T U L O 2 6 S o lu c io n e s d e e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s l in e a le s c o n c o e f ic ie n te s c o n s ta n te sp o r m e d io d e m to d o s d e m a tr ic e s ................................................................................................................ 2 5 4

S o lu c i n d e l prob lem a de valor i n i c i a l .......................................... 2 5 4S o lu c i n sin co n d ic io n es in ic ia les ..................................................................................................................... 2 5 5 www.FreeLibros.me

C A P T U L O 27 S o lu cion es en ser ies de potencias de ecuaciones d iferen cia les linealescon coeficien tes v a r ia b le s ........................................................................................................................... 262

Ecuaciones de segundo o r d e n ...................................................................................................................... 262Funciones analticas y puntos ordinarios ................................................................................................ 262Soluciones alrededor del origen de ecuaciones h o m o g n e a s ........................................................... 263Soluciones alrededor del origen de ecuaciones no h o m o g n e a s ....................................................... 263Problemas de va lo in ic ia l .............................................................................................................................. 264Soluciones alrededor de otros p u n to s ........................................................................................................ 264

C A P T U L O 28 S o lu cion es en ser ies alrededor de un punto sin gu lar r e g u la r .................................................... 275

Puntos singulares reg u la res........................................................................................................................... 275M todo de F rob en iu s........................................................................................................................................ 275Solucin general ............................................................................................................................................... 276

C A P T U L O 29 A lgu n as ecu acion es d iferencia les c l s ic a s ........................................................................................... 290

Ecuaciones diferenciales c l s ic a s ............................................................................................................... 290Soluciones polinom iales y conceptos a so c ia d o s............................................................................ 290

C A P T U L O 30 F un cion es gam m a y de B essel ................................................................................................................. 295

Funcin gamma ................................................................................................................................................ 295Funciones de B esse l ............................................ 295Operaciones algebraicas sobre series infinitas ....................................................................................... 296

C A P T U L O 31 U n a in troduccin a la s ecu acion es d iferenciales p arcia les ........................................................ 304

Conceptos introductorios ................................................. , ................................................................. . . 304. Soluciones y tcnicas de so lu c i n .............................................................................................................. 305

C A P T U L O 32 P rob lem as de valor de la frontera de segundo orden .................................................................. 309

Forma e s t n d a r .................................................................................................................................................. 309S o lu c io n e s ............................................................................................................................................................ 310Problemas de valor p ro p io ........................................................................................................................... . 310Problemas de Sturm -Liouville .............................................. 310Propiedades de lo s problemas de S tu rm -L iou v ille ................................................................................ 310

C A P T U L O 33 E xp an sion es de la s fu n cion es p r o p ia s ................................................................................................... 318

Funciones suaves a t r o z o s .............................................................................................................................. 318Series de Fourier de tipo s e n o ....................................................................................................................... 319Series de Fourier de tipo coseno ........................................................................................ 319

C A P T U L O 34 U na in trodu ccin a las ecuaciones en d iferencias ........................................................................... 325

Introduccin ....................................................................................................................................................... 325Clasificaciones .................................................................................................. 325S o lu c io n e s ............................................................................................................................................................ 326

A p n d ice A T ransform adas d e L a p la c e .................................................................. 330

A p n d ice B A lgu n os com en tar ios sobre tecnologa ................................................................................................. 336

Comentarios in troductorios..................................................... '........... 336T I-89 ...................................................................................................................................................................... 337M A T H E M A T I C A ................................................................................................................................................ 337

R esp uestas a los prob lem as ad icionales ............................................................................................... 338

n d ic e a n a lt ic o ....................................................................... 382

X C o n t e n id o

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A c e r c a d e l o s a u t o r e s

RICHARD BRONSON e s d o cto r y p ro feso r d e m atem ticas d e F a ir le ig h D ic k in so n U n iversity . E n 1 9 6 8 , o b tu vo e l d octo ra d o en M a tem ticas A p lic a d a s en e l S te v en s Institu te o f T e ch n o lo g y . E l d octor B ro n so n ha s id o ed itor a so c ia d o d e l p er i d ico S im u la t io n , ed ito r d e S I A M N e w s , y co lab orad or d e B e ll L ab oratories . H a d irig id o in v estig a c io n es a ce r c a d e m o d e lo s m a te m tic o s y s im u la c i n p o r com p u ta d o ra en T e c h n io n , en Isra e l, y e n W h arton S c h o o l o f B u s s in e s s , d e la U n iv e r s ity o f P e n n sy lv a n ia . E l d o c to r B r o n so n c u en ta c o n m s d e trein ta a r tcu lo s t c n ic o s y lib ros.

GABRIEL B. COSTA e s doctor, sa cerd o te c a t lic o y profesor e n C ien c ia s M a tem tica s en la U n ited S tates M ilitary A ca d em y , en W est P o in t, d e N u e v a Y ork, en d on d e ad em s fu n g e c o m o cap e ll n . E l d octor C osta cu en ta tam b in con u n a res id en c ia en S e to n H all U n iversity . E n 1 9 8 4 , o b tu vo e l d octo ra d o en e l rea d e ecu a c io n es d ife ren c ia le s en e l S te v e n s In stitu te o f T e ch n o lo g y . E ntre la s a fic io n e s acad m icas d e G ab riel B . C o sta estn la ed u ca c i n d e la s m a tem tica s y e l sa b e r m e t r ic s , la b sq u ed a d e l co n o c im ie n to ob je tiv o d e l b isb o l.

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C o n c e p t o s b s ic o s 1

ECUACIONES DIFERENCIALES

U n a ecuac in d iferencia l e s una ecu acin que involucra una fun cin d escon oc id a y sus derivadas.

EJEMPLO 1.1. Las siguientes son ecuaciones diferenciales que incluyen la funcin desconocida y.

d y

dx= 5 x + 3 (1. 1)

d y

d x= 1 ( 1.2 )

4 r- + (senjc) f + 5xy = 0 d x 3 d x

d 2y\3

dx+ 3y

(1 .3 )

(1.4 )

4 ^ = 0 d t 2 d x 2

(1 .5)

U na ecu acin d iferencial e s una ecuac in diferencia l o rd in ar ia (E D O ) s i la funcin d escon oc id a depende so la m ente de una variable independiente. S i la fun cin d escon oc id a depende d e d os o m s variables independientes, la ecu acin d iferencial e s una ecu ac in d iferencia l p a r c ia l (E D P ). C o n excepc in d e los cap tu los 31 y 34, e l enfoque p r in c ip a l d e es te libro se r so b r e ecu ac ion es diferencia les ordinarias.

EJEMPLO 1.2. D e las ecuaciones (7.i ) a la (1.4) son ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias, pues la funcin desconocida y depende nicamente de la variable x. La ecuacin (1.5) es una ecuacin diferencial parcial, pues y depende tanto de la variable t como de la x

El orden de una ecu acin d iferencia l es e l orden de la m ayor derivada que aparece en la ecuacin .

EJEMPLO 1.3. La ecuacin (7.7) es una ecuacin diferencial de primer orden; (7.2), (1.4) y (7.5) son ecuaciones diferenciales de segundo orden. [Obsrvese en (1.4) que el orden de la mayor derivada que aparece en la ecuacin es dos.] La ecuacin (1.3) es una ecuacin diferencial de tercer orden.

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2 C a p t u l o 1 C o n c e p t o s b s ic o s

NOTACIN

Las expresiones y', y", y'", y

P r o b l e m a s r e s u e l t o s 3

EJEMPLO 1 .7. El problema y" + 2y' = ex; y(n) = 1 , y \ i i ) = 2 es un problema de valor inicial, porque las dos condiciones subsidiarias estn ambas dadas en x = n. El problema y" + 2y '= e1; y(0) = 1,>'(1) = 1 es un problema de valores en la frontera, porque las dos condiciones subsidiarias estn dadas para los diferentes valores x = 0 y x = 1 .

U na solucin para un problem a de valor in icia l o bien de valores en la frontera es una funcin y(x) que resuelve a la ecuacin diferencial y adem s satisface a todas las condiciones subsidiarias.

PROBLEMAS RESUELTOS

1 .1 . D eterm ine e l orden, la funcin desconocida y la variable independiente de cada una de las siguientes ecuac ion es diferenciales:

a ) y ' " - 5xy' = e* + 1 b ) l y + f2 y - (sen r )^ y = 2 - t + 1

2 d i , di x + st

d s 2 dsc) s 5- + = s d) 5J-

V 5

dp

d b "

d p+ >7 - f >5 = i

a) Tercer orden, porque la derivada de mayor orden es la tercera. La funcin desconocida es y; la variable independiente es x.

b) Segundo orden, porque la derivada de mayor orden es la segunda. La funcin desconocida es y; la variable independiente es t.

c) Segundo orden, porque la derivada de mayor orden es la segunda. La funcin desconocida es ; la variable independiente es s.

d) Cuarto orden, porque la derivada de mayor orden es la cuarta. Al elevar derivadas a varias potencias no se altera el nmero de derivadas implicadas. La funcin desconocida es b\ la variable independiente es p.

1.2 . D eterm ine el orden, la funcin desconocida y la variable independiente de cada una de las sigu ientes ecuac ion es diferenciales:

. d 2x 2 ( x fa) y s- = y + 1 b ) y - = ;c2 + l

c ) 2jc + 3i: 5 x = 0 d) 17y (4) 6 y


1.4. Es y(x) = 1 una solucin de y" + 2 / + y = x?

A partir de y(x) s 1, tenemos que y'(x) * 0 y y"(x) & 0. Sustituyendo estos valores en la ecuacin diferencial, obtenemos

y ' + 2 y' + y = 0 + 2 (0 ) + l = l * x

De este modo, y(x) s 1 no es una solucin.

1.5. Demuestre que y = ln x es una solucin de xy"+ / = 0 en $ = (0, o) pero no es una solucin en $ = (-

P r o b l e m a s r e s u e l t o s 5

modo, /(O ) = 2ci eos 0 - 2c2 sen 0 = 2c. Para satisfacer la segunda condicin inicial, y'(0) = 1, escogemos 2C] = 1, oc = i . Sustituyendo estos valores de C\ y c2 en y(jc), obtenemos y{x) = i sen 2x como la solucin del problema de valorinicial.

1 .10. Encuentre una solucin para el problema de valores en la frontera y" + 4y = 0; y (n /8 ) = 0, y(7t/6) = 1, si la solucin general para la ecuacin diferencial es y(x) = Cj sen 2x + c2 eos 2x.

Observe que

y(f) = CSen() + C2C0S() = Cl(^ ) + Cj(i^ )Para satisfacer la condicin y(7t/8 ) = 0, necesitamos

< i( |> /2 ) + c 2 (>/2 ) = 0 U)

Adems, > ( f ) = . Sen( f ] + ^ c o s ( f ) = c, ( ^ ) + Cj ( )

Para satisfacer la segunda condicin, y(7/6 ) = 1, precisamos

i V 3 c 1 + | c 2 = l (2)

Resolviendo (1) y (2) simultneamente, hallamos

2Ci=_Cz=7nSustituyendo estos valores en y(x), obtenemos

2y(x) = = (sen 2x eos 2x)

V 3 -1

como la solucin al problema de valores en la frontera.

1 .11 . Encuentre una solucin para e l problema de valores en la frontera y" + 4y = 0 ;y (0 ) = l ,y (n /2 ) = 2, si se sabe que la solucin general para la ecuacin diferencial es y(x) = c sen 2x + c 2 eos 2 r.

Puesto que y(0) = Ci sen 0 + c2 eos 0 = c2, debemos escoger c2 = 1 para satisfacer la condicin y(0) = 1. Dado que y(;t/2) = c( sen tt + c2 eos 7C = - c 2, debemos elegir c2 = - 2 para satisfacer la segunda condicin, y(x/2) = 2. As, para satisfacer ambas condiciones en la frontera de forma simultnea, requerimos que c2 sea igual a 1 y a - 2 , lo cual es imposible. Por lo tanto, no existe una solucin para este problema.

1.12 . D eterm ine C\ y c2 de m odo que y{x) = c sen 2x + c 2 eo s 2x + 1 satisfaga las con d ic ion es y (7t/8 ) = 0 y y'(* /8 ) = V2 .

Obsrvese que

y(f)=Cl C cos(7)+1=Cl (l^ )+C (^ )+1Para satisfacer la condicin y(n/8 ) = 0, necesitamos que Ci (4V2) + e2 ( i V2) + 1 = 0, o de manera equivalente,

Cj + c2 = - V 2 (2 )

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Dado que y'(x) = 2c, eos 2x - 2c2 sen 2x,

y' ( l ) = 2ClCOS( ) _ 2CSen( f

= 2 c, [ i V 2 ) - 2 c2 = \2cl - V2 c2

Para satisfacer la condicin y'(n/8 ) = V2, necesitamos que y2c, - V3c2 = V5, o de manera equivalente,

c, c2 = 1 (2 )

Resolviendo simultneamente (!) y (2), obtenemos c, = - j ( y j 2 - 1) y c2 = - j (t/2 + 1).

1.13. Determine c , y c2 de m odo tal que y(x) = c , 21 + c2c + 2 sen x satisfaga las condiciones y(0) = 0 y y'(0) = 1.

Porque sen 0 = 0, y(0) = c, + c2. Para satisfacer la condicin y(0) = 0, necesitamos que

c, + c2 = 0 ( /)

A partir de y'(x) = 2c,e2* + c2e* + 2 eos x

tenemos que y'(0) = 2c, + c2 + 2. Para satisfacer la condicin y' (0) = 1, necesitamos que 2c, + c2 + 2 = 1, o bien

2 c , + c 2 = - 1 ( 2 )

Resolviendo simultneamente (1) y (2), obtenemos c , = - l y c2= 1.


PROBLEMAS ADICIONALES

En los problemas del 1.14 al 1.23, determine a) el orden, b) la funcin desconocida y c) la variable independiente para cada una de las ecuaciones diferenciales dadas.

1.14. (y")2 ~ 3 y y ' + x y = 0

1.16. t2'sti = l sen

1.18. =--2 = y 2 + ldy"

1.15. x 4 y(4) + xym = e*

1.17. y(4) + xy'" + x2y" - x y '+ seay = 0

1.19.

1.20.

1.22.

d 2ydxl

+ y = *

f)-

1.23. y(6) + 2 y V 3) + 5y8 = e I

1.24. Cules de las siguientes funciones son soluciones de la ecuacin diferencial y' - 5y = 0?

a) y = 5, b) y = 5x, c) y = x5, d) y = eSx, e) y = 2e5*,

1.25. Cules de las siguientes funciones son soluciones de la ecuacin diferencial y' - 3y = 6 ?

a) y = -2 , b) y = 0, c ) y = e3x- 2 , d) y = e2x- 3, e) y = 4e3x- 2

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1.26. Cules de las siguientes funciones son soluciones de la ecuacin diferencial y - 2 t y = t l

a) y = 2, f>)y = - y . c) y = e ' , d) y = e ' - \ , e ) y = - 7 e ' - i

1.27. Cules de las siguientes funciones son soluciones de la ecuacin diferencial dy/di = y/ t i

a) y = 0, b) y = 2, c) y = 2t, d) y = -3 /, e) y = 2

1.28. Cules de las siguientes funciones son soluciones de la ecuacin diferencial?

dy 7y*+x* d x ~ xy3

a) y = x, b) y = x>- x A, c) y = >lxt - x t , d) y - ( x i - x i )w

1.29. Cules de las siguientes funciones son soluciones de la ecuacin diferencial y" - y = 0?

En los problemas del 1.50 al 1.54, halle los valores de c y c2 de modo tal que las funciones dadas satisfagan las condiciones iniciales prescritas.


1.50. y(x) - + e2e~* + 4 sen x\ i II / ( 0 ) = - l

1.51. y(x) = cx + Ci + xl - 1; >1.52. y(x) = + eje2* + l e 1*-.

OIIO* /(O) = 0

1.53. y{x) = Ci sen x + c2 eos x + 1; y0 ) = l . / ( ] ) = - !

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U na in tr o d u c c i n a LOS MODELOS Y A LOS MTODOS CUALITATIVOS

MODELOS MATEMTICOS

Los m odelos m atem ticos se pueden pensar com o ecuaciones. En este captulo, y en otras partes del libro (por ejem plo, vanse los captulos 7 , 14 y 31), consideraremos ecuaciones que m odelan ciertas situaciones del mundo real.

Por ejem plo, cuando consideram os un sim ple circuito elctrico de corriente directa (C D ), la ecuacin V = RI representa el modelo de la cada de voltaje (medida en voltios) a travs de una resistencia (medida en ohm ios), donde I es la corriente (m edida en amperios). Esta ecuacin se denomina Ley de Ohm, llamada as en honor de G. S. Ohm (1787-1854), fsico alemn.

Una vez construidos, ciertos m odelos se pueden usar para predecir muchas situaciones fsicas. Por ejem plo, el pronstico del tiem po, el crecim iento de un tumor, o el resultado de la rueda de una ruleta, todos e llos se pueden conectar con alguna forma de m odelos matemticos.

En este captulo consideramos variables que son continuas y cm o se pueden usar las ecuaciones diferenciales en la aplicacin de los m odelos matemticos. En e l captulo 34 se introduce la idea de ecuaciones en diferencias. Estas son ecuaciones en las que consideramos variables discretas; es decir, variables que slo pueden aceptar ciertos valores, tales com o nmeros enteros. Con escasas m odificaciones, todo lo que se presenta acerca de los m odelos con ecuaciones diferenciales se puede tomar tambin com o cierto para los m odelos con ecuaciones en diferencias.

EL CICLO DE LOS MODELOS

Supongam os que tenem os una situacin de la vida real (querem os encontrar la cantidad de material radiactivo en cierto elem ento). La investigacin debe ser capaz de construir un m odelo para esta situacin (bajo la forma de una ecuacin diferencial muy d ifc il). S e puede usar la tecnologa para ayudam os a resolver la ecuacin (los programas de com putacin nos dan una respuesta). Las respuestas tecnolgicas son luego interpretadas o comunicadas a la luz de la situacin de la vida real (la cantidad de material radiactivo). La figura 2-1 ilustra este ciclo .

MTODOS CUALITATIVOS

Construir un m odelo puede resultar un proceso prolongado y difcil; suele llevar varios aos de investigacin. Una vez formulados, quiz sea virtualmente im posible resolver los m odelos de m odo analtico. Entonces, el investigador cuenta con dos opciones:

Simplificar, o hacer pequeos cambios al m odelo para mejorarlo y hacerlo m s manejable. ste es un enfoque vlido, siempre y cuando la sim plificacin no com prometa excesivam ente la conexin con e l mundo real" y, por lo tanto, su utilidad.

9

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1 0 C a p t u l o 2 U n a in t r o d u c c i n a l o s m o d e l o s y a l o s m t o d o s c u a l it a t iv o s

Figura 2-1

Dejar el m odelo tal com o est, y usar otras tcnicas, tales com o m todos grficos o numricos (vanse loscaptulos 1 8 ,19 y 20). Esto representa un enfoque cualitativo. En tanto que no tengam os una solucin exacta, analtica, en cierta forma obtenem os a lgo de informacin que puede arrojar cier ta luz sobre el m odelo y su aplicacin. Las herramientas tecnolgicas pueden ser de extrema ayuda en este enfoque (vase el apndice B).

PROBLEMAS RESUELTOS

L os problemas 2.1 a 2.11 tratan con varios m odelos, muchos de los cuales representan situaciones del mundo real.Asum a que lo s m odelos son vlidos, inclusive en los casos en donde algunas de las variables son discretas.

2 .1 . D iscuta e l modelo: 7> = 32 + 1.8 Tc .

Este modelo convierte temperaturas de grados de la escala Celsius a grados de la escala Fahrenheit.

2 .2 . Discuta el modelo: P V = nRT.

ste modela a los gases ideales y se conoce como Ley de un gas perfecto. Aqu, P representa la presin (en atmsferas), Ves el volumen (en litros), n es el nmero de moles, R es la constante universal de los gases (/? = 8.3145 J/mol K) y T es la temperatura (en kelvins).

2 .3 . Qu nos dice la ley de Boyle?

La ley de Boyle establece que, para un gas ideal a temperatura constante, PV = k, donde P (atmsferas), V (litros) y * es una constante (atmsferas-litros).

Otra forma de establecer esto es que la presin y el volumen son inversamente proporcionales.

2 .4 . Discuta e l modelo: / = .dt

Esta frmula se usa en electricidad; / representa la corriente (amperios), q representa la carga (culombios), t es el tiempo (segundos). Los problemas que incluyan este modelo se presentarn tanto en el captulo 7 como en el captulo 14.

d 2y d y T + &-----d t 2 d t

ste es un modelo clsico: sistema forzado de masa-resorte. Aqu, y es el desplazamiento (m), t es el tiempo (seg), m es la masa (kg), a es una constante de friccin o amortiguamiento (kg/seg), k es la constante del resorte (kg/seg2) y /'(;) es la funcin de forzado (N).

2 .5 . D iscuta el modelo: m p r + a-- + ky = F(t).

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Las variaciones de este modelo se pueden usar en problemas que van desde absorbedores de golpes en automviles hasta para responder a aspectos de la columna vertebral en seres humanos.

La ecuacin diferencial usa varios conceptos clsicos, incluyendo la segunda ley de Newton y la ley de Hooke. Volveremos sobre esta ecuacin en el captulo 14.

2 .6 . Considere que M(t) representa la masa de un elem ento en kg. Suponga que la investigacin ha demostrado que la tasa de decaim iento instantneo de este elem ento (kg/ao) es proporcional a la cantidad presente: Af'() M(t) . Establezca un m odelo para esta relacin.

La relacin de proporcionalidad A f(0 a M(t) se puede convertir en una ecuacin introduciendo una constante de proporcionalidad, k (1/ao). De este modo, nuestro modelo se transforma en A'(i) = kM(t). Observamos que k < 0, porque M(t) est decreciendo en tamao.

Esta ecuacin se clasificar como ecuacin separable" (vase captulo 3). La solucin de este tipo de ecuacin diferencial, que se describe cualitativamente como decaimiento exponencial", se tratar en el captulo 4.

2 .7 . Considere e l problema anterior. Suponga que la investigacin revel que la tasa de decaim iento es proporcional a la raz cuadrada de la cantidad presente. Establezca e l m odelo para esta situacin.

r- r~ ltg1/2 .A/'(r)oc VA/(r) impiicaque A/'(l) = fcv A(f). Aqu observamos que las unidades de k s o n . La solucin para

este tipo de ecuacin diferencial se ver en el captulo 4. a

2 .8 . Establezca e l m odelo para una poblacin P(r), si su tasa de crecim iento es proporcional a la cantidad presente en el tiem po t.

Este problema se deriva del problema 2.6; es decir, tenemos un modelo de crecimiento exponencial, P'(t) = kP(t), donde k > 0 .

2 .9 . Suponga que la poblacin descrita en e l problem a 2 .8 tiene una com p osicin in icia l de 1000 . E s decir, P (0) = 100 0 . A usted le dijeron tambin que la solucin de la ecuacin diferencial F ( t ) = kP(t) est dada por P(r) = 1 00 0 efe, donde t est en aos. D iscuta este modelo.

Dado que k> 0, sabemos que P{t) se incrementar exponencialmente conforme t Estamos obligados a concluir que ste no. es (muy probablemente) un modelo razonable, debido al hecho de que nuestro crecimiento es ilimitado.

Sin embargo, agregamos que este modelo podra ser de utilidad en un corto periodo. "Qu tan til? y en qu tan corto periodo? son preguntas que se deben buscar cualitativamente, y dependen de las limitantes y los requerimientos del problema particular que se tenga.

2 .1 0 . Considere las hiptesis de los dos problemas previos. Adem s, suponga que la tasa de crecim iento de P(f) es proporcional al producto de la cantidad presente y cierto trm ino de poblacin m xim a, 1 0 0 0 0 0 - / >(), donde 100 0 0 0 representa la capacidad gua. Es decir, P(f) 100 000, mientras que > La introduccin de la constante de proporcionalidad k nos conduce a la ecuacin diferencial, P'(t) = kP()(100 000 - P(t)). Discuta este m odelo.

Si P(t) es mucho menos que 100 000, la ecuacin diferencial se puede aproximar como P'it) = fcP(r) (100 000) = KPf), donde K = 1(100 000). Esto aproximara de manera muy cercana el crecimiento exponencial. As, para pequeos P(t), debera haber una pequea diferencia enre este modelo y el modelo anterior que se discuti en los problemas 2.8 y 2.9.

Si P(r) es cercana a 100 000 (lo que significa que 100 000 - P(t)

1 2 C a p t u l o 2 U n a in t r o d u c c i n a l o s m o d e l o s y a l o s m t o d o s c u a l it a t iv o s

- = 2 R - 3 R F

% > _ = _ 4 F + 5 / ? F dt

Aqu, R representa el nmero de conejos de una poblacin, en tanto que F representa el nmero de zorros, y r es el tiempo (m eses). Asum a que este m odelo refleja la relacin entre conejos y zorros. Qu nos dice este m odelo?

El sistema de ecuaciones (?) refleja una relacin predador-presa. Los trminos RF en ambas ecuaciones se pueden interpretar como un trmino de interaccin". Es decir, ambos factores son necesarios para tener efecto sobre las ecuaciones.

Vemos que el coeficiente de R en la primera ecuacin es +2; si no existiese ningn trmino RF en esta ecuacin, R se incrementara sin lmite alguno. El coeficiente -3 de RF tiene un impacto negativo sobre la poblacin de conejos.

Poniendo nuestra atencin en la segunda ecuacin, vemos que F est multiplicado por -4 , lo que indica que la poblacin de zorros disminuira si no interactuara con los conejos. El coeficiente positivo para RF indica un impacto positivo sobre la poblacin de zorros.

Los modelos predador-presa se usan de manera extensa en muchas reas desde poblaciones de la vida silvestre hasta en la planeacin de estrategias militares. En muchos de estos modelos se emplean mtodos cualitativos.

PROBLEMAS ADICIONALES

2.12. Usando el problema 2.1, encuentre un modelo que convierta temperaturas de grados en la escala Fahrenheit a grados en la escala Celsius.

V2.13. La ley de Charles establece que, para un gas ideal a presin constante, = /c, donde V (litros), T (kelvins) y k es una

constante (litros/F). Qu nos dice este modelo? ^

2.14. Discuta la segunda ley del movimiento de Newton: F = ma = m - m .dt dt

2.15. Suponga que un cuarto est siendo enfriado de acuerdo con el modelo T(t) = V 5 7 6 - /, donde t (horas) y T (grados Celsius). Si comenzamos el proceso de enfriamiento en t = 0, cundo dejar de funcionar este modelo? Por qu?

2.16. Suponga que el cuarto del problema 2.15 se est enfriando de tal modo que T{t) = t2 -2 0 r W 5 7 6 , donde las variables y condiciones son como las de dicho problema. Cunto tiempo tomar enfriar el cuarto hasta su temperatura mnima? Por qu?

2.17. Considere el modelo discutido en el problema 2.5. Si asumimos que el sistema est no amortiguado y no forzado, es

d 2ydecir F(r) = 0 y a = 0, la ecuacin se reduce a m +!ry = 0. Si hacemos que m = 1 y 4 para una posterior simplicidad,i dt

d y . , tenemos que + 4 y = 0. Supongamos que sabemos que y(0 = sen 21 satisface el modelo. Describa el movimiento de d t2

desplazamiento, y().

2.18. Considere el problema anterior. Encuentre a) la funcin de velocidad; b) la funcin de aceleracin.

dy2.19. Considere la ecuacin diferencial = ( y - l ) ( y - 2 ) . Describa a) el comportamiento de y eny = 1 y y = 2; b) qu sucededx

con y si y < 1 ?; c) qu sucede con y si 1 < y < 2 ?; d) qu sucede con y si y > 2 ?

2.20. Suponga que un compuesto qumico, X, es tal que su tasa de decaimiento es proporcional al cubo de su diferencia a partir de una cantidad dada, M, donde tanto X como M estn dados en gramos y el tiempo est medido en horas. Realice el modelo de esta relacin mediante una ecuacin diferencial.

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2.21. Suponga que A y B son dos tanques interconectados por varias tuberas y desages. Si A(j) y B(t) representan el nmero de galones de azcar lquida en el tanque respectivo en e l tiempo t (horas), qu representan A'(t) y

2.22. Considere el problema 2.21. Suponga que el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales da el modelo de la mezcla de - los tanques:

A . , aA + bB + c dt (1)

dA -f- eB -L f

donde a, b, c, d, e y / s o n constantes. Qu le est sucediendo al azcar lquida y cules son las unidades de las seis constantes?

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C l a sific a c io n e s DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

FORMA ESTNDAR Y FORMA DIFERENCIAL

La f o r m a es tndar o normal para una ecuacin diferencial de primer orden en la funcin desconocida y(x) es

y' = f ( x , y ) (3.1)

donde la derivada y s lo aparece sobre el lado izquierdo de (3.1). Aunque no todas, muchas de las ecuaciones d iferenciales de primer orden se pueden escribir en la forma estndar por m edio de la resolucin algebraica de y' haciendo q u e /O , y) sea igual a la parte derecha de la ecuacin resultante.

El lado derecho de (3.1) siem pre se puede escribir com o el cociente de otras dos funciones, M(x, y) y -N (x , y) . E ntonces, (3 .1) se convierte en dy/dx = M (x, y ) / - N ( x , y) , la cual es equivalente a la fo rm a diferencial

M (x ,y )d x 4- N ( x ,y ) d y = 0 (3.2)

ECUACIONES LINEALES

C onsidere una ecuacin diferencial en la forma estndar (3.1). S i f (x , y ) se puede escribir com o f (x , y ) = -p (x ) y + q(x) (es decir, com o una funcin de x multiplicada por y, ms otra funcin de x), la ecuacin diferencial es lineal. Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden siempre se pueden expresar com o

y + p ( x ) y = q ( x ) (3.3)

Las ecuaciones lineales se resuelven en el captulo 6 .

ECUACIONES DE BERNOULLI

U na ecuacin diferencial de B em ou ll i es una ecuacin de la forma

y ' + p ( x ) y = q (x )y n (3.4)

donde n denota un nmero real. Cuando n = 1 o n = 0 , una ecuacin de B em ou lli se reduce a una ecuacin lineal. Las ecuaciones de B em oulli se resuelven en el captulo 6 .

ECUACIONES HOMOGNEAS

U na ecuacin diferencial en su forma estndar (3 .1) es homognea si

f ( t x , t y ) = f ( x , y ) (3.5)

para cualquier nmero real t. Las ecuaciones hom ogneas se resuelven en el captulo 4.

1 4

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P r o b l e m a s r e s u e l t o s 1 5

Nota: En e l sistem a general de las ecuaciones d iferencia les, la palabra h om ognea tiene un sign ificado co m pletam ente diferente (v ase captulo 8 ). S lo en e l contexto d e las ecu acion es d iferencia les de prim er orden hom ognea tiene en realidad el sign ificado definido antes.

ECUACIONES SEPARABLES

C onsidere una ecuacin diferencial de la form a (.3.2). S i M(x, y ) = A(x) (una funcin s lo de x) y N(x, y ) = B(y) (una funcin s lo de y), la ecuain diferencial e s separable , o presenta sus v ar iab le s se paradas . Las ecuaciones separables se resuelven en e l captulo 4.

ECUACIONES EXACTAS

U na ecu acin d iferencial en form a diferencial (3.2) e s exacta si

d M ( x , y ) d N ( x , y )

d y 8 x

Las ecu acion es exactas se resuelven en el captulo 5 (donde se da una defin icin m s precisa d e exactitud).

PROBLEMAS RESUELTOS

3 .1 . E scriba la ecu acin diferencial xy' - y 2 = 0 en su form a estndar.

Resolviendo para / , obtenemos y' = y2/* que tiene la forma (3.1) con f(x, y) = y2/*.

3 .2 . Escriba la ecu acin diferencial exy' + e ^ y = sen x en su form a estndar.

Resolviendo para y, obtenemos

exy = - e 2x y + senx

o bien y' = - e xy + e~x sen x

que tiene la forma (3.1) confite, y) = - e xy + e~x sen x.

3 .3 . Escriba la ecu acin diferencial (y' + y ) 5 = sen (y'lx) en form a estndar.

Esta ecuacin no se puede resolver algebraicamente para y', y no se puede escribir en la forma estndar.

3 .4 . Escriba la ecu acin diferencial y (yy ' - 1) = x en form a diferencial.

Resolviendo para y', tenemos

y2y ' - y = x

y2y' = jc+yi * + yo bien y = (1)

yque est en forma estndar con fix, y) = (x + y)/y2. Hay un nmero infinito de formas diferenciales diferentes asociadas con ( i) . Cuatro de tales formas son:

a) Tmese M (x,y) = x + y, N(x, y) = -y 2. Entonces

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1 6 C a p t u l o 3 C l a s if ic a c io n e s d e la s e c u a c io n e s d if e r e n c ia l e s d e p r im e r o r d e n

y ( /) es equivalente a la forma diferencial

(x + y) 2

3 .5 . Escriba la ecuacin diferencial dyldx = ylx en forma diferencial.

Esta ecuacin tiene un nmero infinito de formas diferentes. Una de ellas es

dy = - d x

que se puede escribir en la forma (3.2) como

|rc + (-l)


E scrib a la ecu a c i n d iferen cia l (x y + 3 )d x + ( 2 x - y 2 + l ) d y = 0 en form a estndar.

Esta ecuacin est en forma diferencial. La reescribimos as

( 2 x - y 2 + \ ) d y = - ( x y + l ) d x

que presenta la forma estndar

dy - ( x y + 3)

o bien y =

dx 2 x - y 2 + l

x y + 3y - 2 x - l

D eterm in e s i las s ig u ien tes ecu a c io n es d iferen c ia les so n lin ea les.

a ) y ' = ( s e n x ) y + e x b ) y ' = x s e n y + e x c ) / = 5 d ) y = y 2 + x

e) / + x y 5 = 0 f ) x y + y = y jy g ) y + x y = e xy h ) / + - = 0y

a) La ecuacin es lineal; aqu p(x) = - sen x y q(x) = e*.

b) La ecuacin no es lineal, debido al trmino sen y.

c) La ecuacin es lineal; aqu p(x) = 0 y q(x) = 5.

d) La ecuacin no es lineal, a causa del trmino y 2.

e) La ecuacin no es lineal, a causa del trmino y5.

f ) La ecuacin no es lineal, a causa del trmino y xr.

g) La ecuacin es lineal. Reescrbala com o y' + (x - d ) y = 0 c o n p(x) = x - e * y q{x) = 0.

h) La ecuacin no es lineal, a causa del trmino 1 ly.

D eterm in e s i cu a lesq u iera de las ecu a c io n es d ife ren c ia le s d e l p rob lem a 3 .7 so n ecu a c io n es d e B ern ou lli.

Todas las ecuaciones lineales son ecuaciones de Bernoulli con n = 0. Adems, tres de las ecuaciones no lineales,e ) , f ) y h), lo son tambin. R eescribae) co m o / = -.xy5; sta tiene la forma (3.4) c o n p(x) = 0, q(x) = - x y n = 5. Reescribaf ) com o

y + I y = Iy > X X

sta tiene la forma (3.4) con p(x) = q(x) = l l x y n = 1/2. Reeescriba h) com o y' = -x y -1 con p(x) = 0, q(x) = - x y n = -1 .

D eterm in e s i las s ig u ien tes ecu a c io n es d iferen c ia les so n h o m o g n ea s:

\ I y + x I y 2 \ I 2 x y e x/y . , x 2 + ya ) y = - b) y = c ) y ' = d ) y = T i

x

a) La ecuacin es homognea, pues

* ' x 2 + y 2 s e n ' '

a . y + tx r ( y + x ) y + x/(tx .ry ) = ------- = - ----------- -------= / ( x ,y )tx tx X

b) La ecuacin no es homognea, porque

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1 8 C a p t u l o 3 C l a s if ic a c io n e s d e l a s e c u a c io n e s d if e r e n c ia l e s d e p r im e r o r d e n

_ c) La ecuacin es homognea, pues

2(txX0>)eu/,y t l 2xyet ,y

(tx)2 + ( iy ) 2 sen r2x 2 + t 2y 2 s e n - ty y

2 , 2 x x + y sen

d ) La ecuacin no es homognea, puesto que

( ) + < y . t2 * 2 + / y _ tx2 + yf { tx , ty ) , , 3 3 3 2 3

(tx ) ( V r x J

3 .1 0 . D eterm in e s i la s s ig u ien tes ecu a c io n es d iferen c ia les so n separables:

a) s e n x d x + y 2d y = 0 b ) x y 2d x - x 2y 2d y = 0 c ) ( l + x y ) d x + y d y = 0

a) La ecuacin diferencial es separable; aqu M{x, y ) = A(x) = sen x y A/(x, y) = B(y) = y2.b) La ecuacin no es separable en su forma presente, pues M(x, y) = xy1 no es una funcin slo de x. Pero si dividimos

ambos lados de la ecuacin por x1y2, obtenemos la ecuacin (Mx)dx + ( - l)d y = 0, que es separable. Aqu, A(x) = 1/x y B ( y ) = - l .

c) La ecuacin no es separable, pues M(x, y) = 1 + xy, que no es una funcin slo de x.

3 .1 1 . D eterm in e s i la s s ig u ien tes ecu a c io n es d iferen cia les so n exactas.

a) 3 x 2y d x + ( y + x l ) d y = 0 b) x y d x + y 2d y = 0

a) La ecuacin es exacta; aqu M (x ,y ) = 3x2 y, N (x ,y ) = y + x 3 y dM /dy = dN/dx = 3x2.b) La ecuacin no es exacta. Aqu M (x, y) = xy y N(x, y) = y 2 ; de aqu que dM/dy =x , dN/dx = 0 y d M /dy * dN/dx.

3 .1 2 . D eterm in e s i la ecu a c i n d iferen cia l y ' = y tx e s exacta.

La exactitud slo se define para ecuaciones de la forma diferencial, no para la forma estndar. La ecuacin diferencial dada tiene muchas formas diferenciales. Una de tales formas est dada en el problema 3.5, ecuacin (7), como

- d x + dy = 0* y

Aqu M (x, y ) = x /y , N (x, y ) = 1,

dM 1 _ 8 N

d y x dx

y la ecuacin no es exacta. Una segunda forma diferencial para la misma ecuacin diferencial est dada en la ecuacin (3) del problema 3.5 as

dx-1 -d y = 0 x y

Aqu M(x, y) = 1/x, N(x, y) = -1 /y ,

= 0 = dy dx www.FreeLibros.me

P r o b l e m a s a d ic io n a l e s 1 9

y la ecuacin es exacta. D e este m odo, una ecuacin diferencial dada tiene muchas formas diferenciales, algunas de las cuales pueden ser exactas.

3 .1 3 . D em u estre que una ecu a c i n separab le siem p re es exacta .

Para una ecuacin diferencial separable, M(x, y ) = A(x) y N(x, y) = B(y). D e este modo,

9 M ( x ,y ) dA(x) Q d N (x ,y ) dB (y) Q d y d y d x dx

Dado que d M /dy = dN/dx la ecuacin diferencial es exacta.

3 .1 4 . U n teorem a d e la s ecu a c io n es d iferen c ia les d e prim er orden e s ta b le c e q u e s / ( jc, y ) y d f(x , y ) / d y so n con tinu as en un rectn gu lo 91: \x - x 0 1 < a, \y - y0 1 < b, en to n c es e x is te un in tervalo alrededor d e x 0 en e l cual e l p rob lem a de valor in ic ia l y ' = f(x , y ) \ X ^ o )= )'o tiene una n ica so lu cin . E l problem a d e valor in icia l y = 2 ^ /fy l; y (0 ) = 0 tien e las d os so lu c io n e s y = x \ x \ y y = Q. V io la e s te resu ltad o e l teorem a?

No. Aqu, f ( x , y ) = 2 j \ y ] y, por lo tanto, df/dy no existe en el origen.

PR O BLEM A S A D IC IO N A L E S

En los problemas del 3.15 al 3.25, escriba las ecuaciones diferenciales dadas en la forma estndar.

3.15. xy' + y 2 = 0 3.16. exy ' x = y'

3.17. (y')3 + y J + y = senx 3.18. jcy' + c o s fy '-f y ) = l

3.19. eW+y) _ x 3.20. ( y 1)2 5 y '+ 6 = (Jc+yX y, _ 2)

3.21. ( x - y ) d x + y 2dy = 0 3.22. ^ ^ d x - d y = 0 x - y

3.23. dx + ^ - d y = 0 x - y

3.24. (e2x - y ) d x + exd y = 0

3.25. dy + dx = 0

En los problemas del 3 .26 al 3 .35, se dan ecuaciones diferenciales tanto en su forma estndar com o en su forma diferencial. Determine si las ecuaciones en la forma estndar son homogneas y /o lineales y, si no son lineales, si son de Bernoulli; determine si las ecuaciones en forma diferencial, tal como estn dadas, son separables y /o exactas.

3 .26 . y 1 = xy; xydx - d y = 0

3 .27 . y ' = xy, xdx d y = 0y

3.28. y = x y + l ; (xy + l)dx - dy = 0

2 23.29. / = t ; ^ d x - d y = 0

y y

x 23.30. y ' = - 5-; - x 2dx + y 2dy = 0 www.FreeLibros.me

2 0 C a p t u l o 3 C l a s if ic a c io n e s d e las e c u a c io n e s d if e r e n c ia l e s d e p r im e r o r d e n

3.31. y' = ; 2xydx + x2dy = 0 x

3.32. / = - xy2d x - ( x 2y + y 3)dy = 0xy + y 3

3.33. y' = ~Y-r ; xy2dx + (x2y + y 2)dy = 0x y + y

3.34. y' = x3y + xy3-, (x2 + y2)dx dy 0? y

3.35. y' = 2xy + x\ (2xye~x2 + xe~%1 )dx ~* dy = 0

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E c u a c io n e sDIFERENCIALES SEPARABLES DE PRIMER ORDEN

SOLUCIN GENERAL

L a so lu cin para una ecu acin separable de prim er orden (v a se cap tu lo 3)

e s

A ( x ) d x + B ( y ) d y = 0

J A (x ) d x + J B ( y ) d y = c

{4 .1 )

(4 .2 )

d on d e c representa una constante arbitraria.Las integrales obtenidas en la ecu acin (4 .2 ) pueden ser, para todos lo s p rop sitos prcticos, im p osib les d e ca l

cular. En ta les casos, las tcn icas num ricas (v a n se lo s cap tu los 18, 19 y 2 0 ) s e usan para obtener una so lu c i n aproxim ada. In clu so si se pueden realizar las in tegraciones q u e se ind ican en (4 .2), tal v e z no sea p o sib le reso lver algebraicam ente para y en trm inos de x. En tal ca so , la so lu c i n queda en la form a im plcita.

p u ed e obtenerse, co m o de costum bre, u tilizando en prim er lugar la ecu a c i n (4 .2 ) para resolver la ecu acin d iferen c ia l y lu eg o aplicar la con d ic i n in icia l para calcu lar c directam ente.

D e m anera alternativa, la so lu c i n para la ecu a c i n (4 .3 ) s e puede obtener a partir de

S in em bargo, la ecu acin (4 .4 ) tal v e z no determ ine la so lu cin de (4 .3 ) d e m a n e r a n ica ; es decir, (4 .4 ) p u ed e tener m uchas so lu c io n es , d e las cu ales s lo una satisfar e l problem a de valor in icia l.

SO LUCIO NES AL PROBLEM A DE VALOR INICIAL

L a so lu cin al problem a de valor in icia l

A ( x ) d x + B ( y ) d y = 0; y(jc0 ) = y 0 (4 .3 )

XA ( x ) d x + f y B ( y ) d y = 0 (4 .4 )*o J y

REDUCCI N DE ECUACIONES HOM OGNEAS

L a ecu acin d iferen cia l h om ogn ea

(4 .5 )

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2 2 C a p t u l o 4 E c u a c io n e s d if e r e n c ia l e s s e p a r a b l e s d e p r im e r o r d e n

que tiene la propiedad de q u e f i r . O0 = A X< y ) (vase e l captulo 3) se puede transformar en una ecuacin diferencial separable realizando la sustitucin

y = x v (4.6)

junto con su correspondiente derivada

d y dv2 L = v + x (4.7)dx dx

La ecu acin resultante en las variables v y x se resuelve com o una ecuacin d iferencial separable; la so lu cin que se requiere para la ecu acin (4 .5 ) se obtiene por m edio de una sustitucin hacia atrs.

D e manera alternativa, la so lu cin para (4 .5 ) e puede obtener volv ien d o a escribir la ecuacin diferencial com o

dx 1

~dy~ f ( . x , y ) {4 S)

y lu ego sustituyendo

x = y u (4.9)

y la derivada correspondiente

dx du

^ = U + y T y W )

en la ecuacin (4.8). D esp u s de sim plificar, la ecuacin diferencial resultante ser una con variables (esta v ez , u y y ) separables.

C om nm ente, resulta indistinto qu m todo de solu cin se use (van se problem as 4 .1 2 y 4 .1 3 ) . Sin em bargo,algunas veces una de las su stitu cion es (4 .6 ) o (4 .9 ) es definitivam ente superior a la otra. En tales casos, la m ejorsustitucin por lo general resulta evidente a partir de la form a de la propia ecuacin diferencial. (V ase problem a4 .1 7 .)

PROBLEMAS RESUELTOS

4 .1 . R esuelva x d x y 2d y = 0.

Para esta ecuacin diferencial, A(x) = x y B(y) = -y 2. Sustituyendo estos valores en la ecuacin (4.2), tenemos

f xdx + J (~ y 2)dy = c

la cual, despus de aplicar las operaciones de integracin indicadas, se convierte en x?/2 - y3/3 = c. Resolviendo explcitamente para y, obtenemos la solucin como

y = ( | * 2 + * f 3: * = - 3 c

4 .2 . R esuelva y ' = y 2x \

Primero volvemos a escribir esta ecuacin en la forma diferencial (vase captulo 3) x 3dx - (1 / y2 )dy = 0. Luego A (x) = x 3 y B(y) = 1 / y 2. Sustituyendo estos valores en la ecuacin (4.2), tenemos

J x 3dx + J ( - 1 l y 2)dy = c

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o, realizando las operaciones de integracin indicadas, x* / 4 + 1 / y = c. Resolviendo explcitamente para y, obtenemos la solucin as

~ 4 X X*= - 4c

R esu elva ^ .dx y

Esta ecuacin se puede volver a escribir en la forma diferencial

(x2 + 2)dx - y dy = 0

la cual es separable con A (x ) = x2 + 2 y B(y) = - y . Su solucin es

J (x 2 + 2 )dx J y dy = c

o bien ^ x 3 + 2 x - i y 2 = c

Resolviendo para y, obtenemos la solucin en forma implcita como

> 2 , y = - x + 4 x + k

con k = -2 c . Resolviendo implcitamente para y, obtenemos las dos soluciones

y = ^ x 3 + 4 x + k y y = - ^ | x 3 + 4 x + k

R esuelva y' = 5y.

Primero vuelva a escribir esta ecuacin en la forma diferencial 5 dx - (1 / y )dy = 0, la cual es separable. Su solucin es

J 5dx + J ( - l / y ) d y c

o bien, realizando las operaciones de integracin, 5x - ln |y |= c.Con el fin de resolver explcitamente para y, primero volvemos a escribir la solucin como ln |y| = 5x - c y luego

tomamos el exponencial de ambos lados. D e este modo, *"W = e>x~c. Notando que e1"^ = |y |, obtenemos |y| = e5xe~c,o y = e~ ce ,x. La solucin est dada explcitamente por y = keSx, k = e ~ c.

Obsrvese que la presencia del trmino (-1 /y) en la forma diferencial de la ecuacin diferencial requiere de la restriccin y * 0 en nuestra deduccin de la solucin. Esta restriccin es equivalente a la restriccin k * 0, pues y = ke5x. Sin embargo, por inspeccin, y = 0 es una solucin de la ecuacin diferencial tal como se dio originalmente. De este modo, y = ke5x es la solucin para toda k.

La ecuacin diferencial dada originalmente tambin es lineal. Vase el problema 6.9 para un mtodo alternativo de solucin.

R esu elva y 1 = * + ^y 4 + f

Esta ecuacin, en forma diferencial, es (x + 1 )dx + ( - y 4 1 )dy = 0, la cual es separable. Su solucin es

f (x + 1 )dx + f (y4 l )dy = c

o, llevando a cabo las operaciones de integracin,

x 1 y 5T + * - > =

Puesto que es algebraicamente imposible resolver esta ecuacin de manera explcita para y, la solucin debe quedar en su presente forma implcita.

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4 .6 . Resuelva d y = 2 t ( y 2 + 9 )di .

Esta ecuacin se puede volver a escribir como


dy y 2 + 9

2tdt = 0

la cual es separable en las variables y y r. Su solucin es

J V S r J -

o bien, realizando las integrales dadas,

Resolviendo para y, obtenemos

o bien

con k = 3c.

-arctan - r2 = c 3 3

arctan - = 3(2 + c)

^ = tan (312 + 3c)

y = 3tan (3t2 + k)

4 .7 . R esuelva = x 2 - 2 x + 2. dy

Esta ecuacin se puede reescribir en forma diferencial

dex - 2 x + 2

-dt = 0

la cual es separable en las variables x y I. Su solucin es

[d t = cJ x 3 - 2 x + 2 >

Calculando la primera integral al completar el cuadrado, obtenemos

f [dr = cJ ( x - l ) 2 + l >

o bien arctan(x 1) t = c

Resolviendo para x como funcin de r, obtenemos

arctan (x l) = r + c

x 1 = tan (r+ c)

obien x = l + tan(r + c)

4 .8 . Resuel^va e*dx - y d y = 0; y (0 ) = 1.

La solucin para la ecuacin diferencial est dada por la ecuacin (4.2) as

J e*dx + f (~y)dy = c

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o bien, realizando las operaciones de integracin indicadas, se obtiene y 2 = 2e* + k, k = 2c. Aplicando la condicin inicial, obtenemos (1 ) 2 = 2c + k, 1 = 2 + 1 o bien k = -1 . De este modo la solucin al problema de valor inicial es

y 2 = 2 e ' 1 o bien y = \2ex 1

[Obsrvese que no podemos elegir la raz cuadrada negativa; pues entonces >>(0) = -1 , lo que viola la condicin inicial.] Para aseguramos de que y sigue siendo real, debemos restringir x de modo talque 2ex 1 > 0. Para garantizar que

y' existe [obsrvese que y'(x) = dy/dx = ex.'y], debemos restringir x, de modo que 2ex - 1 * 0. Estas condiciones juntas implican que 2 e* i > 0 , o bien x > ln j .

4 .9 . U se la ecuacin {4 .4 ) para resolver e l problem a 4.8.

Para este problema, x0 = 0 , y0 = 1, A(x) = ex, y B(y) = - y . Sustituyendo estos valores en la ecuacin {4.4), obtenemos

J o eX dx+f l (-~y)dy = 0

Llevando a cabo estas integrales, tenemos

' i - y 2 -4 H= 0 o bien e* e +De este modo, y 2 = 2c1 - 1 y, tal como en el problema 4.8, y = J2ex 1, x > ln ^ .

4 .1 0 . R esuelva x eos x dx + {l 6y5 )dy 0; y(n) = 0.

Aqu, xq = K ,y0 0 ,A(x) = xcosjcy B(y) = l - 6 y5. Sustituyendo estos valores en la ecuacin {4.4), obtenemos

J* xcosxdx + j ' y(l - 6 y 5)dy = 0

Calculando estas integrales (la primera mediante integracin por partes), encontramos que

x se n x |j+ c o sx |^ + (y y6)|^ = 0

ob ien xsenx + co sx + l = y6 - y

Dado que no podemos resolver esta ecuacin explcitamente para y, debemos conformamos con su solucin en su presente forma implcita.

4 .1 1 . R esuelva y ' =x

Esta ecuacin diferencial no es separable, pero es homognea, tal como lo muestra el problema 3.9a). Sustituyendo las ecuaciones (4.6) y (4.7) en la ecuacin, obtenemos

dv xv + xv + x = --------

dx x

que se puede simplificar algebraicamente a

dv 1x = 1 obien dx dv = 0 dx x

Esta ltima ecuacin es separable, su solucin es

f d x - f d V = C

la cual, al ser evaluada, da v = ln |x| - c, o bien

v= ln |fcc | (1)

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- donde hemos colocado c = In|fc| y observamos que ln |x| + ln |fc| = ln |fct|. Finalmente, sustituyendo v = y/x hacia atrs en (1), obtenemos la solucin a la ecuacin diferencial dada como y = x ln |fcx|.

4.12. R esuelva y ' = - - .* r

Esta ecuacin diferencial no es separable. En cambio, presenta la forma y' =j[x, y), con

, , N 2 y * + x * f ( x , y ) = -J 3

2(ty)4 + ( tx ) 4 f4 (2 y 4 - r x 4 ) 2 y 4 - M 4donde f { t x , t y ) = - = ------j - 5- = ------- 5 = f (x , y )

(ttXry) ' (ay3) ay3

de modo que es homognea. Sustituyendo las ecuaciones (4.6) y (4.7) en la ecuacin diferencial dada, obtenemos

, dv 2 (xv)*+ x*V + X = ------------; -----

dx x(xv)}

la cual se puede simplificar mediante operaciones algebraicas para obtener

dv v4 + l L. 1 j v3 Ax = ; ornen d x ;------dv = 0

dx v3 x v4 + 1

Esta ltima ecuacin es separable; su solucin es

1f - d x - f dv c

> X J V -1-1

Integrando, obtenemos ln |x| - ^ ln(v4 + 1) = c , o

v4 + l = (fcx) 4 W

donde hemos colocado c = ln|tc| y luego usado las identidades

ln|x| + In|*| = ln|Jfct| y 4ln |fcx|= ln(fct)4

Finalmente, sustituyendo v = ylx de regreso en la ecuacin (7), obtenemos

y4 = q x 8 - x4 (c, = it4 )

4.13. R esuelva la ecu acin d iferencial del problem a 4 .1 2 usando las ecuaciones (4 .9 ) y (4.10).

En primer lugar volvemos a escribir la ecuacin diferencial de este modo

dx xy3dy 2 y4 + a 4

Luego, sustituyendo (4.9) y (4.10) en esta nueva ecuacin diferencial, obtenemos

M + yj = tgQ y3dy 2 y4 + (y u ) 4

que mediante operaciones algebraicas se puede simplificar y convertir en

du _ u + u3 >" d y ~ ~ 2 + u*

(2)

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4.14.

o bien - d y + - + U du = 0 (1)y u + u

La ecuacin ( 1) es separable; su solucin es

' 2 + h 4f ~ dy + J ~ 7~ s du = cJ y J u + uy

La primera integral es In Jy|. Para evaluar ia segunda integral, usamos fracciones F aciales sobre el integrando para obtener

u + u 3 m(1 + u 4 ) u 1 + u 4

Por lo tanto,

> 2 + u4= f - d u - f ^ r d u = 21n|u| ln(l + u4)

J u + u5 J u J 1 + u4 M 4

i4 ) = c , la cual se puede reescribir coi

ty4 u8 = l + u4 W

La solucin para ( !) est en ln|y| + 2In|u| -|-in(l + u4) = c, la cual se puede reescribir como

donde c = -i- ln|c|. Sustituyendo u - x / y d e regreso en (2), nuevamente tenemos (2) del problema 4.12.

R esuelva y ' - ! Xy x y2

Esta ecuacin diferencial no es separable. En cambio presenta la forma y' =f(x, y), con

f ( * . y ) = - .2X yL

. , t i ~ * \ 2


i x 2 + y24 .1 5 . R esuelva y =

*yEsta ecuacin diferencia! es homognea. Sustituyendo las ecuaciones (4.6) y (4.7) en ella, obtenemos

que se puede simplificar algebraicamente as

, dv x 2 + (xv )2v + x = 1 dx x(xv)

dv l . . 1 . . nx = - obten - d x vov = 0dx v x

La solucin para esta ecuacin diferencial separable es ln|x| v2 / 2 = c, o de manera equivalente

v2 = ln x2 + * (k = 2 c) (1)

Sustituyendo v = y I x en (1), encontramos que la solucin a la ecuacin diferencial dada es

y2 = x2 Inx2 + Jbr

x 2 + v24.16. R esuelva y ' = ------ ; y(l) = - 2 .xy

La solucin para la ecuacin diferencial est dada en el problema 3.15 como y2 = x2 lnx2 + kx2. Aplicando la condicin inicial, obtenemos (2) 2 = (1 )2 ln (l)2 + k(l)2, o bien k = 4. (Recuerde que ln 1 = 0 .) De esta forma, la solucin al problema de valor inicial es

y2 = x2 ln x 2 + 4x 2 o bien y = - J x 2 ln x2 + 4 x 2

Se toma la raz cuadrada negativa, para ser consistente con la condicin inicial.

, 2 x v e {x,y)l4.17. R esu elva y = ------------y l + y 2e (xiy)' + i x 2 x ly 'i '

La ecuacin diferencial no es separable, pero es homognea. Observando el trmino (x/y) en el exponente, intentamos la sustitucin u = xJy. que es una forma equivalente de (4.9). Volviendo a escribir la ecuacin diferencial como

dx y2 + y2e(x,yf + 2 x 1e(xly

dy ~ 2 xye(" y)!

tenemos que usar las susdtuciones (4.9) y (4.10), y simplificando,

du 1 + e . . 1 , 2ue' . .y = r- ob ien d y rdu = 0

dy 2ue y 1 + e

Esta ecuacin es separable; su solucin es

ln |y |- ln ( l + e ) = c

que se puede volver a escribir como

y = k( 1 + e' ) (c = ln|A|) (1)

Sustituyendo u = x/y en (1), obtenemos la solucin de la ecuacin diferencial dada como

y = * [l + e


4.18. P ru eb e q u e todas la s so lu c io n e s d e la e c u a c i n (4 .2 ) sa t is fa c e n la e c u a c i n (4 .1 ) .

Vuelva a escribir (4.1) com o A (x) + B (y)y ' 0. Si y(x) es una solucin, debe satisfacer la ecuacin de manera idntica en x ; de aqu que,

A ( x ) + B [ y ( x ) ] / ( x ) = 0

Integrando ambos lados de esta ecuacin con respecto a x, obtenem os

J A(x)dx + j B [y (x ) \y ' (x )d x = c

En la segunda integral, haga el cam bio de variables y = y(x), por e llo dy = y'(x) dx. El resultado de esta sustitucin es (4.2).

4.19. P ru eb e q u e to d a s las so lu c io n e s d e l s is te m a (4 .3 ) so n so lu c io n e s d e (4 .4 ) .

Siguiendo el m ism o razonamiento del problema 4 .18 , excepto que ahora integramos de x = Xq a x = x, obtenem os

A(x)dx + B(y(x)]y'(x)dx = 0

La sustitucin y = y(x) da nuevamente el resultado deseado. Observe que mientras que x vara de xq a x, y vara de y(xo a y(x ) = >

4.20. P ruebe q u e s i y ' f (x , y ) e s h o m o g n e a , en to n c e s la e c u a c i n d ife ren c ia l s e p u ed e reescrib ir co m o / = g(y /x ) , d o n d e g ( y l x ) d ep en d e s lo d e l c o c ie n te y/x .

Tenemos que f ( x , y ) = f ( tx , ty ) . Com o esta ecuacin es vlida para toda r, debe ser vlida, en particular, para t = 1 Ix. A s, f ( x , y ) = f ( \ , y / x ) . S i ahora definim os g(y / x ) = f ( \ , y / x ) , entonces tenem os y ' = f ( x , y ) = f ( 1, y I x ) g ( y / x), tal com o se pide.

Observe que esta forma sugiere la sustitucin v = y /x que es equivalente a (4.6). Si, arriba, hubiramos colocado t = l / y , entonces f ix , y) ~fi,x/y, 1) = h(x, y) , lo que sugiere la solucin alternativa (4.9).

4.21. U n a fu n c i n g (x , y ) e s h o m o g n e a d e g r a d o n s i g ( tx , ty ) = t ng ( x , y ) para toda t. D e term in e s i la s s ig u ie n te s fu n c io n e s so n h o m o g n e a s y, d e ser a s , en cu en tre su grado:

a ) r y + y 2 , b ) x + y s e n ( y / x ) 2 , c ) x i + x y 2e x/y y d ) x + x y

a) (tx)(ty) + (ty)2 = t 2 ( x y + y 2); hom ognea de grado dos.

J*b) tx + ty sen I | = tt y f x + y sen I ; hom ognea de grado uno.c) (tx)3 + (tx)(ty)2 ett,ly = t 3(x3 + xy2exly)\ homognea de grado tres.

d) tx + (tx)(ty) = te + t 2xy\ no hom ognea.

4.22. L a s ig u ie n te e s u n a d e f in ic i n a ltern ativa d e u n a e c u a c i n d ife r e n c ia l h o m o g n e a : una e c u a c i n d ife ren c ia l M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y = 0 e s h o m o g n e a s i tanto M ( x , y ) c o m o N (x , y ) so n h o m o g n e a s d e l m ism o grad o (v a s e p ro b lem a 4 .2 1 ) . D em u estre q u e e s ta d e f in ic i n co m p ren d e la q u e se d io en e l c a p tu lo 3.

S i M(x, y ) y N(x, y ) son hom ogneas de grado n, entonces

- N ( t x , t y ) - t nN ( x , y ) - N ( x , y )

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PR O B L E M A S A D IC IO N A L E S

En los problemas del 4 .23 al 4 .45, resuelva las ecuaciones diferenciales o los problemas de valor inicial dados.


4.23. x d x + y d y = 0 .4 .2 4 . x d x - y 3 dy = 0

4.25. dx + - 7-

E c u a c io n e s DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN EXACTAS

DEFINICIN DE LAS PROPIEDADES

U na ecuacin diferencial

M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y = 0 (5.1)

e s exacta si ex iste una funcin g(x, y ) tal que

dg(x , y ) = M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y (5.2)

P ru eb a d e exact i tud: S i M(x, y ) y N(x, y ) son funciones continuas y tienen primeras derivadas parciales continuassobre algn rectngulo del plano xy, entonces (5 .7 ) es exacta si y s lo si

d M ( x , y ) _ d N (x , y ) 3

3y dx

MTODO DE SOLUCIN

Para resolver la ecuacin (5 .7), asum iendo que es exacta, primero resolvem os las ecuaciones

< 5 .0dx

^ . < - . 5 ) (5 .5 )dy

para g(x, y). La so lu cin para (5 .7 ) entonces est dada im plcitam ente por

g(x, y ) = c (5 .6 )

donde c representa una constante arbitraria.L a ecu a c i n (5 .6 ) e s inm ediata d e las ecu a c io n es (5 .7 ) y (5 .2 ). S i (5 .2 ) se su stitu ye en (5 .7 ) , o b ten em os

dg(x, y(x)) = 0 . Integrando esta ecuacin (obsrvese que podem os escribir 0 com o 0 dx), tenem os dg(x , y (x )) = J 0 dx, la cual, a su vez, im plica (5.6).

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3 2 C a p t u l o 5 E c u a c io n e s d if e r e n c ia l e s d e p r im e r o r d e n e x a c t a s

FACTORES DE INTEGRACIN

En general, la ecuacin (5.1) no es exacta. Ocasionalmente, es posible transformar a (5.1) en una ecuacin diferencial exacta por medio de una sensata multiplicacin. Una funcin l(x, y ) es un fac tor de integracin para (5.1) si la ecuacin

l (x, y ) [M (x , y ) d x + N ( x , y )dy ] = 0 (5.7)

es exacta. Una solucin para (5.1) se obtiene resolviendo la ecuacin diferencial exacta definida por (5.7). A lgunos de los factores de integracin m s com unes se muestran en la tabla 5-1 y en las condiciones siguientes:

Si N

dM d N

dx

( d \ d N

dx

g (x ) una funcin slo de x, entonces

I(x, y ) = e1' Mdx (5.8)

^h (y ) , una funcin slo de y , entonces

I ( x , y ) = e H^ (5.9)

Tabla 5.1

Grupo de trminos Factor de integracin I(x, y) Diferencial exacta dg(x, y)

y d x - x d y 1

x 2

x d y - y d x J y \

e- % )

y d x - x d y1

y 2

y d x - x d y f x )

y 2 U J

y d x - x d yi

*yx ^ - ^ = l n y j

y d x - x d yi

x 2 + y 2x d y - y ^ = ^ A

* * + y V x )

y d x + x d y1

*yy d x + x d y = d Q n x y )

xy

y d x + x d y . n > l( x y T

y d x + x d y I - 1

( x y y L ( n - i x ^ r J

y d y + x d x1

x 2 + y 2 x + y i L2 J

y d y + x d x 1 n My d y + x d x J - 1

(x 2 + y 2 )" (x 2 + y 2 )" L2 ( n - l ) ( x 2 + y 2 ) '1-1 J

a y d x + b x d y (a, b constantes)

x < " 'y h-' x a-' y b- ' ( a y d x + b x d y ) = d ( x ay h)

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Si M = y f (x y ) y N = xg(xy), entonces

En general, lo s factores de integracin son d ifc iles de descubrir. S i una ecuacin diferencial no presenta una de las formas dadas antes, entonces es probable que la bsqueda de un factor de integracin no tenga xito, para lo cual se recom iendan otros m todos de solucin.

PROBLEMAS RESUELTOS

5 .1 . D eterm ine si la ecuacin diferencial 2 x y d x + ( l + x 2 )dy = 0 es exacta.

Esta ecuacin tiene la forma de la ecuacin (5.1) con Ai (x, y) = 2xy y N(x, y) = l + x 2. Puesto que dM/dy = dN/dx = 2x la ecuacin diferencial es exacta.

5 .2 . R esuelva la ecuacin diferencial dada en el problem a 5 .1 .

Fue demostrado que esta ecuacin es exacta. Ahora determinemos una funcin g(x, y) que satisfaga las ecuaciones(5.4) y (5.5). Sustituyendo M (x, y) = 2xy en (5.4), obtenemos dg/dx - 2xy. Integrando ambos lados de la ecuacin con respecto a x, hallamos

j ^ - d x = 2 x y d x

o bien g(x, y) = x2y + h(y) (1 )

Obsrvese que cuando integramos con respecto a x, la constante (con respecto a x) de integracin puede depender de y.Ahora determinamos h(y). Derivando (1) con respecto a y, obtenemos d g /d y = x2 + h'(y). Sustituyendo esta ecua

cin junto con N(x, y) = l+ x 2 en (5.5), tenemos

x 2 +h'(y) = 1 + x 2 o bien A'(y) = l

Integrando esta ltima ecuacin con respecto a y, obtenemos h(y) = y + c, (ci = constante). Sustituyendo esta expresin en ( 1 ) se tiene

g(x, y ) - x 2y + y + c i

La solucin de la ecuacin diferencial, que est dada implcitamente por (5.6) como g(x, y) - c es

x 2y + y = c2 (c2 = c - C [ )

Resolviendo para y explcitamente, obtenemos la solucin as y = c2 / (x 2 + 1).

5 .3 . Determ ine si la ecuacin diferencial y d x - x d y = 0 e s exacta.

Esta ecuacin tiene la forma de la ecuacin (5.1) con M(x, y) = y y N(x, y) = -x .A q u

dM , dN ,ir 1que no son iguales, de modo que la ecuacin diferencial dada no es exacta.

5 .4 . Determ ine si la ecuacin diferencial

( x + sen y )d x + ( x c o s y - 2 y ) d y = 0

es exacta.

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Aqu M (x, y) = x + sen y y N(x, y) = x eos y - 2 y. De este modo, dM/dy = dN/dx = eos y, y la ecuacin diferencial ' es exacta.

5 .5 . R esuelva la ecuacin diferencial dada en el problem a 5.4.

Ya se demostr que esta ecuacin es exacta. Ahora buscamos una funcin g(x, y) que satisfaga (5.4) y (5.5).Sustituyendo M(x, y) en (5.4). obtenemos dg/dx = x+ sen y. Integrando ambos lados de la ecuacin con respecto a x, encontramos que

^ d x = J (x + sen y ) t dx

o bien g(x, y) = ^ x 2 + xseny+h(y) (1)

Para hallar h(y), derivamos ( / ) con respecto a y, obteniendo d g /d y = x eos y + h \ y ) , y luego sustituimos este resultado junto con N{x, y ) = x c o s y -2 y en (5.5). As, hallamos

x eos y + t (y) = x eos y - 2 y o bien t (y ) = - 2 y

de lo cual se sigue que h ( y ) = - y 2 +c,. Sustituyendo esta /i(y) en ( /) , obtenemos

?(*. y) = ^ x 2 + x s e n y - y J +c,

La solucin de la ecuacin diferencial est dada implcitamente por (5.6) como

1 , ,- x z + x s e n y - y = c 2 (c2 = c - c 1)

5 .6 . Resuelva y '= -? - 2 .2 y - x e

Volviendo a escribir esta ecuacin en forma diferencial, obtenemos

(2 + ye*, )dx+(xeI>' - 2 y ) d y = 0

Aqu, M(x, y) = 2 + yexy y N(x, y) = xer> - 2 y y, pues dM/dy = dN/dx = e + xye^, la ecuacin diferencial es exacta. Sustituyendo M(x, y) en (5.4), encontramos que d g /dx = 2 + yexy \ integrando luego con respecto a x, obtenemos

^ d x = l 2 + ye^]dx ox

o bien g(x, y ) = 2 x+e** +h(y)

Para hallar h(y), primero derivamos ( / ) con respecto a y, obteniendo dg /dy resultado junto con N(x, y) en (5.5) para obtener

xev + t (y ) = xe** - 2 y o bien t (y) = - 2 y

Luego sigue que h ( y ) = - y 2 + c ,. Sustituyendo esta h(y) en (1), obtenemos

g(x. y ) = 2 x + e xy - y 2 +c,

La solucin a la ecuacin diferencial est dada implcitamente por (5.6) as

2 x + e v - y 2 = c 2 (c2 = c - c , )

(/)

= xe** + t(y)\ luego sustituimos este

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5 .7 . D eterm ine s i la ecu acin d iferencia l y 2d t + ( 2 y t + l ) d y = 0 e se x a c ta .

sta es una ecuacin para la funcin desconocida y(t). En trminos de las variables t y y , tenemos que M (l, y) = y 2 , N(t, y ) = 2yt + l, y

dM d , 3. _ 3 dN-^r = (y2) = 2 y = - ( 2 y t + 1) = dy ay di di

de modo que la ecuacin diferencial es exacta.

5 .8 . R esu elva la ecu acin d iferencial dada en e l problem a 5.7.

Ya se demostr que esta ecuacin es exacta, as que el procedimiento de solucin dado por las ecuaciones (5.4) hasta la (5.6), con t reemplazando a x, es aplicable. Aqu

= v*di

Integrando ambos lados de la ecuacin con respecto a t, obtenemos ,

J|*-!>=


5 .10 . Resuelva la ecuacin diferencial dada en e l problema 5.9.

Se ha demostrado que esta ecuacin diferencial es exacta, as que el procedimiento de solucin dado por las ecuaciones de la {5.4

ecuaciones diferenciales - richard bronson - schaum

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