ecuaciones diferenciales lineales a...
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UNIVERSIDAD DE SEVILLA
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS APLICADAS II
Proyecto fin de carrera Simulación Numérica de Sistemas de
Ecuaciones Diferenciales Lineales a Trozos
Autor: Ignacio Manso Martos
Tutor: Emilio Freire Macías
Para la obtención del título de Ingeniero Industrial
Sevilla, Abril 2012
1
Índice 1. Introducción a los sistemas Dinámicos .................................................................. 3
1.1 Clasificación de sistemas dinámicos ................................................................ 3
Discretos y Continuos ............................................................................................ 3
Autónomos y No autónomos ............................................................................... 5
Lineales y No lineales ............................................................................................ 6
1.2 Geometría y estabilidad de los sistemas dinámicos ........................................ 7
Equilibrios de sistemas lineales planos .................................................................. 9
Ciclos Límite ........................................................................................................ 12
1.3 CAOS ............................................................................................................. 13
Exponentes de Lyapunov ..................................................................................... 14
Sistemas caóticos de tirón ................................................................................... 15
2. Aplicaciones ........................................................................................................ 22
2.1 Análisis dinámico de circuitos lineales a trozos ............................................. 22
2.2 Ecuaciones diferenciales lineales a trozos aplicados a modelos biológicos .... 23
3. Análisis de problemas en 2D ................................................................................ 25
4. Análisis de problemas en 3D ................................................................................ 30
5. Análisis de problemas en 3D lineales a trozos ...................................................... 43
6. Anexo: Documentación de Dynamics Solver. ....................................................... 77
Introducción ............................................................................................................ 77
Manejo y funcionamiento ....................................................................................... 78
2
6. Bibliografía .............................................................................................................. 87
3
1. Introducción a los sistemas Dinámicos
Los sistemas dinámicos son sistemas cuyos parámetros internos (variables de
estado) siguen una serie de reglas temporales. Se llaman sistemas porque están
descritos por un conjunto de ecuaciones (sistema) y dinámicos porque sus parámetros
varían con respecto a alguna variable que generalmente es el tiempo. El estudio de los
sistemas dinámicos puede dividirse en 3 subdisciplinas:
• Dinámica aplicada: Modelado de procesos por medio de ecuaciones de estado
que relacionan estados pasados con estados futuros.
• Matemáticas de la dinámica: Se enfoca en el análisis cualitativo del
modelo dinámico.
• Dinámica experimental: Experimentos en laboratorio, simulaciones en
computadora de modelos dinámicos.
1.1 Clasificación de sistemas dinámicos
Discretos y Continuos
Los sistemas dinámicos pueden dividirse en dos grandes clases: aquellos en los que el
tiempo varía continuamente y en los que el tiempo transcurre discretamente. Los
sistemas dinámicos de tiempo continuo se expresan con ecuaciones diferenciales;
éstas pueden ser ecuaciones diferenciales ordinarias (ODEs), ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales (PDEs) y ecuaciones diferenciales con retrasos
4
(DDEs). Por otro lado si el tiempo es discreto los sistemas se describen por medio
de ecuaciones en diferencias (DEs), también conocidas como mapas iterados.
En lo referente a ecuaciones diferenciales, la diferencia entre las ODEs y las PDEs es la
variable con respecto a la cual varían las variables de estado del sistema. En las ODEs
sólo hay una variable independiente que es generalmente el tiempo. En contraste, en
una PDE puede haber 2 o más variables independientes. Los sistemas dinámicos más
comunes en electrónica son ODEs en el caso de electrónica analógica y DEs con
electrónica digital. De ahora en adelante los sistemas dinámicos que se analizarán
estarán representados por ODEs, a excepción que se indique lo contrario.
Un sistema dinámico continuo n-dimensional se puede representar por la ecuación
(1)
Donde [ ] es el vector de estados;
[ ]
y
[ ] .
5
Autónomos y No autónomos
Un sistema dinámico es autónomo si está representado por una ecuación
diferencial ordinaria autónoma o no forzada de la forma
(2)
mientras que si al sistema dinámico lo modela la ODE no-autónoma o forzada
(3)
el sistema dinámico es no autónomo. La diferencia entre (2) y (3) radica en que la
primera no contiene ningún estímulo externo al sistema que fuerce el comportamiento
natural de la dinámica del sistema, mientras que (3) sí.
La función que fuerza el comportamiento del sistema (3) puede ser constante,
periódica, aleatoria, etc.
6
Lineales y No lineales
Un sistema dinámico es lineal si se cumple
(5)
es decir, es lineal si la función F que relaciona la tasa de incremento de las variables de
estado con sus valores actuales es lineal (afín).
Los sistemas lineales son sencillos de analizar y de trabajar, ya que la solución del
sistema sujeto a condiciones complejas se puede lograr simplificando el problema a la
suma de respuestas del sistema a condiciones más sencillas. Existen técnicas
ampliamente usadas para analizar estos sistemas como son la transformada de
Laplace, el principio de superposición, la transformada de Fourier, etc. Por lo anterior
es usual encontrar soluciones analíticas exactas de sistemas lineales, aunque también
es muy común recurrir a métodos geométricos para visualizar la evolución del sistema
en el tiempo.
Sin embargo, si la ecuación (5) falla en un sistema, éste se dice ser no lineal. El hecho
de ser no lineal hace que su análisis sea mucho más complejo (ya que no se puede
simplificar el problema a instancias más sencillas). En la mayoría de las ocasiones no
se podrá encontrar soluciones analíticas exactas a los problemas no lineales, por
lo tanto la representación de la dinámica del sistema se auxilia mucho de técnicas
geométricas de visualización y análisis.
7
1.2 Geometría y estabilidad de los sistemas dinámicos
La forma de visualizar el comportamiento de las variables de estado de un
sistema dinámico puede ser en forma de onda temporal (gráfica de una variable de
estado contra tiempo), o en forma de espacio de fases (o de estados). El espacio de
fases de un sistema n-dimensional es el espacio donde todos los posibles
estados de un sistema son representados, cada componente de la variable de estado
del sistema se representa como un eje de un espacio multidimensional y cada punto
del espacio representa cada posible estado de las variables de sistema. En este tipo de
representación el tiempo se vuelve un parámetro implícito; como ejemplo se muestra
la Figura 1 una onda temporal (izquierda) y un plano de fases (derecha) de un
sistema dinámico.
Figura 1 Onda temporal (izquierda) y plano de fases (derecha) de un sistema dinámico
El espacio de fases está descrito por un campo vectorial F que rige el recorrido de las
variables x(t) del sistema con el tiempo, el recorrido de estas variables recibe el
8
nombre de órbita o trayectoria. La Figura 2 muestra el campo vectorial en el espacio
de fases de un sistema dinámico. En él se pueden apreciar las singularidades, que
atraen a las trayectorias que pasan cerca de ellas y otras que las repelen. Las
singularidades son las soluciones constantes (Llamadas también equilibrios, puntos
críticos o puntos fijos), cuyas órbitas se reducen a puntos del espacio de fases.
Figura 2 Espacio d e fases de un sistema dinámico no lineal
Se dice que una singularidad del espacio de fases es atractiva, sumidero o atractor si
toda trayectoria que comienza cerca de ella se aproxima a ella conforme el tiempo
transcurre.
Por otro lado, una singularidad del espacio de fases es Liapunov-estable si todas
las trayectorias que comienzan suficientemente cercanas a ella se mantienen cercanas
a ésta durante todo el tiempo futuro. Puede darse la situación de que una singularidad
del espacio fase sea Liapunov-estable pero no atractor, si esto sucede se dice que es
neutralmente estable. Sin embargo, por lo general los dos tipos de estabilidad ocurren
al mismo tiempo, y en ese caso la singularidad se dice ser asintóticamente estable.
9
Por último, una singularidad es inestable, repulsor o fuente cuando no es ni atractor ni
Lyapunov-estable, es decir, las trayectorias que se inician cercanas a ella divergen
conforme pasa el tiempo.
Equilibrios de sistemas lineales planos
Los autovalores de A guardan una estrecha relación con los puntos fijos ya que
determinan la forma en que las trayectorias interactúan con el punto fijo. En base al
comportamiento de las trayectorias alrededor de los puntos fijos, éstos pueden ser:
Nodo: es un punto tal que en sus proximidades todas las órbitas entran a él. Es
asintóticamente estable si las órbitas están direccionadas al punto lo que
sucede si los autovalores del sistema son reales, negativos y distintos entre sí,
ver Figura 3. En cambio, si las trayectorias se alejan del nodo, éste es inestable
y los autovalores del sistema son reales, positivos y diferentes entre ellos.
Nodo estrella: Es un nodo en el que la tasa de rapidez con que todas las
trayectorias convergen o divergen del punto es igual. En este caso, los
autovalores del sistema son reales e iguales, si son positivos el nodo estrella es
inestable y si son negativos es estable.
Foco: Este punto es asintóticamente estable cuando todas las órbitas en
sus proximidades tienden a él pero no entran en él; para que esto
suceda los autovalores del sistema son complejos conjugados con parte real
negativa. Los focos inestables se producen cuando las trayectorias tienden a él
en y corresponden a sistemas con autovalores complejos conjugados
con parte real positiva, ver Figura 4.
10
Centro: Es tal que en sus proximidades todas sus órbitas son cerradas. Ninguna
órbita entra y ninguna sale. Este punto es neutralmente estable y se presenta
cuando los autovalores del sistema son imaginarios puros, ver Figura 5.
Punto Silla: Las trayectorias inicialmente tienden al punto pero después
divergen de él. Este tipo de punto es inestable y se da cuando existen
autovalores de signo opuesto, ver Figura 3-6.
Figura 3 Nodo estable
Figura 4 Foco inestable
11
Figura 5 Centro
Figura 6 Punto silla
Si se tiene un sistema dinámico lineal , es fácil conocer qué tipo de punto fijo
presenta dicho sistema; simplemente se calculan los autovalores a partir de la
ecuación característica del sistema det y se analiza la relación que
hay entre los autovalores.
12
Por otro lado, el análisis de los puntos fijos de un sistema no lineal plano se
puede hacer linealizando el sistema alrededor de cada uno de los puntos fijos y
analizando cada sistema linealizado por separado.
Sea x * un punto fijo, la linealización FL (x) de F(x) es
(
)
, con )=0 (6)
Existe un teorema debido a Henri Poincaré que dice que si el punto fijo del sistema
linealizado es nodo, punto silla o foco, se puede garantizar que el sistema
no lineal tiene el mismo tipo de punto fijo y con la misma estabilidad. Este
teorema no aplica a casos en que el punto fijo sea un nodo estrella o un centro, debido
a que este tipo de punto es frontera y pequeños términos no lineales ignorados en la
linealización lo puede afectar y cambiar el tipo de punto fijo que éste es. Sin embargo,
en lo referente a la estabilidad, los nodos estrella no cambian su estabilidad con los
términos no lineales, mientras que los centros sí. Esto último se debe a que los centros
son resultado de autovalores con parte real igual a cero, y los términos no lineales los
decidirán su estabilidad o inestabilidad.
Ciclos Límite
Un ciclo límite es una órbita aislada cerrada, que corresponde por tanto a soluciones
periódicas; así, no existen otras órbitas cerradas en su vecindad y por lo tanto las
trayectorias vecinas se mueven acercándose o alejándose del ciclo límite.
Si todas las trayectorias vecinas se acercan al ciclo, entonces éste es estable. El ciclo es
inestable si las trayectorias vecinas se alejan del ciclo; existen casos singulares donde
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se dice que el ciclo es semiestable y se da cuando algunas trayectorias se alejan del
ciclo y otras tienden a él.
Figura 7 Ciclo limite estable
Los ciclos límite sólo pueden ocurrir en sistemas no lineales; es imposible que sucedan
en sistemas lineales. Aunque un sistema lineal puede tener orbitas cerradas, éstas no
son aisladas y corresponden a la dinámica causada por un punto fijo tipo centro.
1.3 CAOS
Caos es un comportamiento aperiódico en un sistema determinista que presenta
sensibilidad a condiciones iniciales. Un sistema presenta caos cuando tiene un
atractor que no es una solución de equilibrio, ni una solución periódica, ni una
solución cuasiperiódica. A pesar de comportarse aperiódicamente, el caos no es
aleatorio, es determinista: si se conocen las condiciones iniciales del sistema y los
parámetros de éste se puede determinar la evolución de una trayectoria. Otra
característica importante de un sistema caótico es que ligeras variaciones en las
condiciones iniciales hacen que las correspondientes órbitas evolucionen de forma
14
muy distinta; a esta característica se le llama dependencia sensible a condiciones
iniciales.
Exponentes de Lyapunov
Los exponentes de Lyapunov son cantidades que dan la tasa de divergencia
exponencial de trayectorias con condiciones iniciales perturbadas. Por lo general el
término de exponente de Lyapunov se refiere al más grande de los exponentes de
Lyapunov de un sistema, ya que es éste el que determina la predictibilidad de un
sistema. Numéricamente el significado del exponente de Lyapunov es que si dos
trayectorias cualesquiera estaban originalmente distanciadas | | , entonces al
transcurrir del tiempo t estarán separadas en | |, ver Figura 9.
Figura 9 Divergencia entre trayectorias
Es importante resaltar que el número de exponentes de Lyapunov depende de
las dimensiones del espacio de fase. En un sistema tridimensional hay, por lo
tanto, tres exponentes. Para que un sistema sea caótico al menos uno de los
exponentes debe ser positivo, y la suma de todos ellos debe ser negativa, para que
exista un atractor.
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Sistemas caóticos de tirón
Existen diferentes sistemas autónomos que pueden presentar caos. Dichos sistemas
tienen en común ser de dimensión 3 o mayor, y ser no lineales; sin embargo pueden
ser muy diversos en su estructura y complejidad. En 1996, Gottlieb (ver
http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/loaiza_r_m/capitulo3.pdf)
argumentaba que la ecuación más sencilla presentando dinámica caótica es la llamada
ecuación de “tirón” (jerky dynamics):
donde x es el desplazamiento, es la velocidad, es la aceleración y es el “tirón”
(jerk). En 1999, Linz y Sprott (ver
http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/loaiza_r_m/capitulo3.pdf)
encontraron diversos atractores caóticos para el sistema de tirón, lineal en velocidad y
aceleración, y no lineal en el desplazamiento:
(8)
donde la función f (x) es no lineal (por ejemplo lineal por partes); algunos ejemplos de
f(x) son:
| | ; (9)
(
); (10)
; (11)
(x, 0) + c; (12)
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Dependiendo de la función f(x) que se seleccione se obtienen atractores diferentes. La
Figura 10 (a), (b), (c), y (d) muestra los atractores caóticos correspondientes a sistemas
de tirón con las funciones f(x) expresadas en (9), (10), (11) y (12), respectivamente
(http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/loaiza_r_m/capitulo3.pdf).
Figura 3-10 Atractores caóticos de sistemas de tirón
Condiciones para caos de los sistemas de tirón
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No todo sistema de tirón presenta caos, dependiendo del valor de los parámetros
y , y de la función no lineal f x se obtienen diversos comportamientos algunos de
los cuales son caóticos. Las ecuaciones (9), (10), (11) y (12) son algunos ejemplos
de funciones que pueden lograr caos en los sistemas de tirón para algunos valores de
b y c. Las condiciones que el sistema de tirón debe cumplir para presentar un
comportamiento caótico:
Si f x es continua debe tener un cero en x x0 .
Si x0 , 0, 0es un punto de equilibrio, una condición necesaria y suficiente
para su estabilidad es que 0 y que f L 0 . Por lo tanto, para que el
sistema se comporte caóticamente se necesita que f L 0 o que f L .
Una función lineal por partes que cumple las características antes mencionadas
es la función triangular que está descrita por:
| | | | (13)
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O de forma alternativa:
{
(
)
(14)
donde 0 0.8,1.2y 0, . La Figura 11 muestra la gráfica de la función
característica en forma triangular.
Figura 3-11 Función característica triangular
Si se hace x1 = x, x2 = x, x3 = x, y se usa la función de la ecuación (13), se tiene que el
sistema de tirón con función triangular está descrito por el sistema dinámico:
[
] (
) [
] [ ] (
| | | | ) (15)
o de forma alternativa:
[
] (
) [
] , (16)
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donde puede tomar dos valores diferentes dependiendo del punto fijo alrededor
del cual se linealize la función. Los valores posibles son para punto fijo
z 0, 0, 0y para los puntos fijos
, 0, 0
Por ejemplo, si 0.6 , 1 , 1 , 1 y 0.25, existen 3 puntos fijos:
z 0, 0, 0y
1, 0, 0Los autovalores del punto fijo z son
1.0731 y
-0.8366 i1.4476 , por lo tanto éste es un punto fijo tipo silla. Los autovalores
del punto fijo son
= -0.8356 y
0.1178 i1.0876 y los de son son
-0.8356 y 0.1178 i1.0876, lo que significa que los puntos fijos
son
tipo silla.
Los autovalores conrolan las trayectorias alrededor del punto fijo
, mientras que
los autovalores controlan las trayectorias alrededor del punto fijo
; así, el
comportamiento cercano a estos puntos fijos se caracteriza por espirales que se alejan de
ellos. Por otro lado, los autovalores correspondientes a hacen que las trayectorias se
alejen exponencialmente y así, caerán en los comportamientos espirales antes descritos.
Como resultado de esta descripción cualitativa se obtiene un atractor extraño que se
muestra en la Figura 12.
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Figura 12 Espacio de fases del atractor caótico del sistema de tirón.
Si se dejan fijos los valores 0.6, 1 , 1 , 1 la condición de obtener caos en
el sistema de tirón queda en función de . La Figura 13 muestra el diagrama de
bifurcación del sistema de tirón y el espectro de exponentes de Liapunov en función de
. En ambas gráficas se puede ver que la región de en la que posiblemente se
encontrará un comportamiento caótico es 0, 0.3.
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Figura 3-13 Diagrama de bifurcación (a) y de exponentes de Lyapunov (b) del sistema de tirón (13).
Se concluye que el sistema general:
[
] (
) [
] [ ] (
| | | | ) (17)
con 1 , 0.6 , 1 , 1 y 0, 0.3presenta un comportamiento caótico, ya
que bajo esas condiciones se obtiene un exponente de Lyapunov positivo.
22
2. Aplicaciones
A continuación se muestran situaciones en diferentes campos, donde se usan como
modelo sistemas lineales a trozos para aproximar y resolver de forma más sencilla las
cuestiones que en cada uno de ellos se plantea.
2.1 Análisis dinámico de circuitos lineales a trozos
Los circuitos eléctricos se componen de elementos dinámicos como condensadores y
bobinas y de elementos estáticos no lineales, tales como resistencias y transistores.
Para analizar el comportamiento de estos sistemas eléctricos, a menudo los elementos
no lineales se aproximan por segmentos lineales a trozos (Heemels, Kanat Çamlıbel, y
Schumacher, 2002). En consecuencia, los dispositivos estáticos lineales a trozos
pueden ser sustituidos por diodos ideales y resistencias lineales. Elementos de
conmutación como los tiristores y los diodos están presentes en una gran variedad de
aplicaciones como en ingeniería de la energía y el procesamiento de señales. Para
reducir el tiempo de simulación del comportamiento transitorio de este tipo de redes
y para análisis (de por ejemplo, la estabilidad o el caos), estos conmutadores son a
menudo modelados de forma ideal.
Como consecuencia, se pueden dar dos motivos diferentes para el uso de un diodo
ideal en el estudio de circuitos eléctricos no lineales y de conmutación: como una
metodología de modelado para circuitos lineales a trozos y como descripciones ideales
de dispositivos físicos. Entonces, se considera que los circuitos lineales a trozos se
pueden modelar mediante el uso de las características ideales de diodos y resistencias
lineales para la parte estática (lineal a trozos) e inductores y condensadores para la
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captura de la parte dinámica del circuito. Esto se traduce en modelos que son
combinaciones lineales de circuitos eléctricos (descrito por ecuaciones diferenciales
lineales invariantes en el tiempo) y diodos ideales (condiciones de
complementariedad).
2.2 Ecuaciones diferenciales lineales a trozos aplicados a
modelos biológicos
Se trata de investigar las propiedades de las soluciones de un tipo particular de
ecuaciones diferenciales lineales a trozos, que aparecen como modelos en sistemas
biológicos caracterizados por las interacciones “switch-like” entre elementos (Gouzé,
2003). El análisis usa el concepto de solución de Filippov de ecuaciones diferenciales
discontinuas.
Sistemas biológicos compuestos se modelan a menudo bajo las relaciones “switch-like”
entre variables, que involucran funciones escalón. Tales comportamientos de umbral
se han demostrado experimentalmente en las redes genéticas o enzimáticas: en el
modelo, el ratio de producción de la enzima(o gen) es a menudo descrito por una
función sigmoidea, como por ejemplo la función de Hill ∑ ,
donde el umbral es . Si es grande, la función es similar a la función escalón. La
ecuación general del modelo puede ser escrita como:
i= (1, · · · , n) (1)
donde el ratio de degradación relativa del componente es una constante positiva,
y el ratio de producción depende de los componentes Se asume
que es una función positiva constante a trozos, cuyos valores cambian con la
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variable cuando cruza un determinado umbral . Este sistema ha sido estudiado
ampliamente, principalmente en la rama de redes genéticas (Gouzé, 2003). El
comportamiento dinámico de las variables en cada espacio entre umbrales está bien
determinado; por lo tanto, la descripción del comportamiento puede ser asociada a
autómatas booleanos, involucrando variables booleanas (correspondiendo a las
variables continuas por debajo o por encima del umbral).
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3. Análisis de problemas en 2D
Vamos a comenzar a analizar las variaciones que pueden producirse en un modelo de
ecuaciones lineales a partir de un sistema de ecuaciones que suponen un modelo en
2D y observar que variaciones se producen al efectuar ciertos cambios en los
parámetros de dicho modelo.
El modelo está compuesto por las variables de estado y , y los parámetros y ,
que corresponden a la traza y el determinante de la matriz respectivamente, siendo el
sistema el siguiente:
(
) (
)
O bien escrito de forma matricial:
(
)
(
)
Para realizar el análisis escogeremos seis situaciones diferentes de la siguiente
manera:
𝑑 𝑇
4
T
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Para realizar los siguientes puntos debemos tomar unas condiciones iniciales siempre
distintas de cero para que el resultado no sea el punto (0, 0).
Punto 1: Si damos a los parámetros T y d los siguientes valores T=-4 y d=2, y tomando
las condiciones iniciales distintas de cero, obtenemos un nodo estable.
Esto ocurrirá siempre que y 4
27
Punto 2: Sean los parámetros T y d con los siguientes valores T=-2 y d=5, y tomando las
condiciones iniciales distintas de cero, obtenemos ahora un foco estable.
Esto ocurrirá siempre que y 4.
Punto 3: Tomando los valores T=0 y d=1, y tomando las condiciones iniciales distintas
de cero, obtenemos un centro.
Con y obtendremos siempre un centro.
28
Punto 4: Siendo los valores de los parámetros T y d los siguientes, y , y
tomando las condiciones iniciales distintas de cero, obtenemos un foco inestable.
Al tomar T valores positivos la curva tiende al infinito produciéndose la inestabilidad.
Punto 5: Tomando T y d valores de la siguiente manera, 4 y , y tomando las
condiciones iniciales distintas de cero, obtenemos un nodo inestable.
Como podemos observar la disminución de valor de d provoca que la curva tienda más
rápido al infinito, es decir, sea más inestable.
29
Punto 6: Si damos a los parámetros T y d valores de la siguiente manera y
, y tomando las condiciones iniciales distintas de cero, obtenemos un punto de
silla.
Esto sucederá siempre que .
30
4. Análisis de problemas en 3D
Veamos ahora un modelo de ecuaciones lineales a partir de un sistema de ecuaciones
con tres variables, es decir, en 3D y observaremos que variaciones se producen al
efectuar ciertos cambios en los parámetros de dicho modelo.
El modelo está compuesto por las variables x, y, z, y los parámetros T, m y d, que
corresponden a la traza de la matriz, la suma de los adjuntos principales de orden dos
y el determinante de la matriz respectivamente, siendo el sistema el siguiente:
[
] [
]
O bien escrito en forma matricial:
[
] [
] [ ]
Además estos parámetros toman valores en función de los autovalores de la matriz:
i, , de la siguiente manera:
Estudiaremos los casos en los que y variaremos los valores de y para ver
cómo responde el sistema.
Para observar mejor el comportamiento de los distintos casos asignaremos valores de
bajos de manera que podamos observar como gira la curva. Podríamos describir al
31
parámetro como el paso de la curva que produce una espiral. Esto se produce
debido a que determina el avance de cada giro, hacia el origen si es estable
( , o al infinito si es inestable ( ).
Con respecto a daremos valores del orden de . El parámetro determina el paso de
la órbita como si de un tornillo se tratara, es decir, cuanto baja ) o sube )
la órbita por cada vuelta que da. Esto se determina mediante .
Caso 1: Si consideramos dando los siguientes valores:
; los parámetros T, m y d son los siguientes:
4 ; y tomando unas condiciones iniciales
distintas de cero obtenemos la siguiente órbita:
Órbita en 3D:
32
Proyección sobre el plano (x, y):
Proyección sobre el plano (x, z):
33
Proyección sobre el plano (y, z):
Sección de Poincaré x=0:
Al ser , la curva avanza más rápido hacia abajo que hacia el interior
produciéndose este tipo de curva parabólica.
34
Caso 2: Si consideramos dando los siguientes valores:
; los parámetros T, m y d son los siguientes: 0.03
; y tomando unas condiciones iniciales distintas de cero
obtenemos la siguiente órbita:
Órbita en 3D:
Proyección sobre el plano (x, y):
35
Proyección sobre el plano (x, z):
Proyección sobre el plano (y,z):
36
Sección de Poincaré en y=0:
Al ser no predomina ningún paso sobre el otro de manera que la bajada es
igualmente rápida que el paso hacia el interior mostrando una forma rectilínea en
la sección de Poincaré que corresponde a una superficie invariante tipo cono en el
espacio de fase.
37
Caso 3: Si consideramos dando los siguientes valores:
; los parámetros T, m y d son los siguientes:
; y tomando unas condiciones iniciales distintas de cero obtenemos la siguiente
órbita:
Órbita en 3D:
38
Proyección sobre el plano (x, y):
Proyección sobre el plano (x, z):
39
Proyección sobre el plano (y,z):
Sección de Poincaré en y=0:
Al ser el paso hacia el interior es más fuerte que de bajada, de manera que la
curvas que aparecen en la sección entra al origen tangente a una recta común.
40
Caso 4: Si consideramos dando los siguientes valores:
; los parámetros T, m y d son los siguientes:
; y tomando unas condiciones iniciales distintas de cero obtenemos la siguiente
curva:
Órbita en 3D:
Proyección sobre el plano (x, y):
41
Proyección sobre el plano (x, z):
Proyección sobre el plano (y,z):
42
Sección de Poincaré y=0:
Al ser la curva ya no tiende al origen, sino que tiende al infinito.
43
5. Análisis de problemas en 3D lineales a trozos
A continuación procedemos a estudiar un modelo de ecuaciones lineales a trozos a
partir del sistema de ecuaciones con tres variables estudiado anteriormente, pero
imponiendo unas condiciones que hagan del sistema un sistema homogéneo lineal a
trozos y observaremos que variaciones se producen al efectuar ciertos cambios en los
parámetros de dicho modelo.
Las condiciones que impondremos para que el sistema sea lineal a trozos serán las
siguientes:
[
] [
] [ ]
[
] [
] [ ]
El modelo tiene unos valores para T, m y d, que son distintos si es positivo
( , a los que toma cuando x es negativo ( ).
Para reflejar esto definiremos unos parámetros ( ) que permitirán
reflejar en una sola ecuación la linealidad a trozos del sistema, gracias a la función
valor absoluto:
44
De manera que los parámetros quedan de la siguiente manera:
Y del mismo modo con los demás parámetros:
Y por tanto:
45
Pudiendo escribir el sistema de la siguiente forma:
[
] [
| |
| |
| | ]
A los parámetros T, m y d seguimos asignando valores en función de los autovalores de
la matriz de la siguiente manera:
De manera que tendremos un para y un para
Variando estos valores observaremos como varia el comportamiento del sistema.
46
Caso 1: Si consideramos
debiendo cumplir que:
dando los siguientes valores:
los parámetros T, m y d son los siguientes:
4 4
Quedando los parámetros con los siguientes valores:
Comenzamos con condiciones iniciales en el plano focal común z=0, que es por tanto
invariante (al ser ):
Órbita azul:
47
Obtenemos la siguiente órbita en el plano (x,y), que obviamente, coincide con su
proyección:
Que en perspectiva toma la siguiente forma:
48
La proyección en el plano (x,z) es naturalmente el eje horizontal:
La órbita simulada, que permanece siempre en el plano invariante z=0 tiende al origen
como un foco estable. El plano focal invariante z=0 puede ser considerado un cono
invariante (degenerado).
Introducimos ahora unas nuevas condiciones iniciales:
Órbita verde: 4
Órbita azul: 4
49
Órbitas en perspectiva 3D:
Órbitas en su plano invariante para z=4.
50
Proyección sobre el plano (x, z), que coincide con la línea horizontal z=4.
Proyección sobre el plano (y, z) que coincide con la línea horizontal z=4.
51
Sección de Poincaré para y=0:
En las gráficas podemos observar el comportamiento transitorio de las orbitas azul y
verde y cómo alcanzan el régimen permanente cuando el tiempo tiende a infinito en
forma de una solución periódica que aparece como una orbita cerrada. En un caso
(azul) nos acercamos desde fuera y en otro (verde) desde dentro.
La conducta observada para el plano z=4 se reproduce de manera análoga para
cualquier plano z>0, disminuyendo la amplitud de las correspondientes órbitas
cerradas conforme z tiende a 0. Por tanto el conjunto de estas orbitas cerradas
formarían una superficie que por el carácter homogéneo del sistema estudiado es tipo
cono. Este cono invariante junto con el cono invariante formado por el plano z=0
forman una pareja de superficies invariantes siendo el primero de ellos atractivo.
52
Realizamos ahora las simulaciones numéricas para planos invariantes con cota z<0:
Órbita 3D.
Proyección sobre el plano (x,y), para z=-5.
53
Proyección sobre el plano (x,z).
Proyección sobre el plano (y, z).
54
Sección de Poincaré en y=0.
Así, en los planos invariantes con z<0 vemos un comportamiento transitorio con una
orbita en espiral (foco) que asintóticamente, con el tiempo tendiendo a infinito, tiende
a un equilibrio en la zona x<0.
55
Caso 2: Cambiamos con respecto al caso anterior lo siguiente:
y simulamos con los mismos valores de obteniendo los siguientes
valores de los parámetros T, m y d:
4 44
Los parámetros valen:
Para la simulación numércia tomamos:
Órbita azul:
Órbita verde:
56
Órbita en perspectiva 3D.
Proyección sobre el plano (x, y).
57
Proyección sobre el plano (x, z).
Proyección sobre el plano (y, z).
58
Sección de Poincaré x=0.
El comportamiento asintótico de las dos órbitas simuladas sugiere la existencia de un
cono invariante que en la sección de Poincaré muestra pendientes parecidas al cono
del caso 1 anterior. Este primer cono invariante sería atractivo y heredero del cono del
caso 1 al ser el valor absoluto común de pequeño (0,001).
Para el plano focal común a los dos sistemas lineales, tiene de
ecuación , por tanto el corte con el plano x=0 es la recta
y así la condición inicial x = 0, y = 1, z = -0,001 produce una órbita que
estará siempre en dicho plano, que constituye así el segundo cono invariante.
59
Para dicha condición inicial, la Órbita en perspectiva 3D.
Proyección sobre el plano (x, y).
60
Proyección sobre el plano (x, z).
Proyección sobre el plano (y, z).
61
Sección de Poincaré x=0.
Podemos ver, al aumentar el zoom, como el plano focal ahora está ligeramente
inclinado (z= -0,001y)
62
Caso 3: En este caso procederemos a estudiar el problema haciéndolo no homogéneo.
Para ello introduciremos una constante “a” en la última ecuación de la siguiente
manera:
[
] [
]
Si observamos, el origen ya no es la solución de equilibrio del sistema. Para ello
veamos donde se produce el equilibrio, que se calcula de la siguiente manera:
La condición de equilibrio es: [
] [ ]
Por lo tanto: [ ] [
]
El parámetro “a” hace que, como decíamos, el origen ya no sea solución del sistema.
Recordemos el valor de :
Para estudiar este caso asignaremos los mismos valores que en el caso anterior:
Debido a que tienen valores negativos, para valores positivos de “a” tendremos
para el equilibrio soluciones negativas de la componente x, y por tanto un equilibrio
63
estable en la región x<0 ( ); para valores negativos de a obtendríamos valores
positivos de la componente x, produciéndose un equilibrio inestable en la región x >0
( ).
Vamos a considerar el caso de equilibrio inestable, ya que su conducta dinámica es de
mayor riqueza; para ello asignaremos al parámetro “a” el valor -0.001.
Si , entonces , y sustituyendo el valor (
) en el sistema,
podemos determinar el punto de equilibrio como (
).
Tomando las siguientes condiciones iniciales:
Órbita verde:
Órbita azul:
64
Perspectiva 3D.
Proyección sobre el plano (x, y).
65
Proyección sobre el plano (x, z).
Proyección sobre el plano (y, z).
66
Sección de Poincaré x=0.
Observemos más detenidamente la sección de poincaré con distintas condiciones
iniciales:
Vemos que en la sección de Poincaré aparece un punto fijo en (0, -3.6, 1) que
representa una orbita periódica asintóticamente estable; de hecho dicho punto fijo
aparenta ser un nodo estable.
67
Caso4: En todos los casos anteriores hemos considerado y así teníamos un
único plano focal que puede verse como un cono invariante para los casos
homogéneos. Ahora es el momento de tomar valores distintos de ,
manteniendo los otros parámetros iguales al caso 3:
Para una primera simulación tomamos y .
Observamos que se mantiene la onda periódica, con mayor amplitud puesto que el
punto fijo es (0,-14,-3.5); dicha órbita cerrada mantiene el carácter estable y la
configuración tipo nodo.
68
Consideramos ahora el mismo valor para y aumentamos el valor absoluto de
hasta el valor -0.005:
La órbita periódica ha desaparecido, presumiblemente porque ha colisionado con una
órbita periódica inestable que por su carácter silla no observamos. En este caso todas
las soluciones son no acotadas (Warning: Infinity Reached).
Procedamos ahora a estudiar el sistema con .y
69
Obtenemos la siguiente sección de Poincaré en el plano x=0:
Observamos nuevamente un punto fijo en (0, -0,4, -0,1) que corresponde a una órbita
periódica estable pero con una configuración tipo foco.
70
Caso 5: Vamos a utilizar en este caso un conjunto distinto de valores:
4
Quedando los valores de T, M y d de la siguiente manera:
Tomando a=1, y arrancando de diversas condiciones iniciales se obtiene un atractor
que presenta la siguiente configuración:
Perspectiva 3D:
71
Proyección sobre el plano (x, y).
Proyección sobre el plano (x, z).
72
Proyección sobre el plano (y, z).
Sección de Poincaré.
73
El aspecto geométrico del objeto que aparece en la simulación nos induce a pensar
que estamos en presencia de una atractor caótico, es decir, aperiódico y con
sensibilidad con respecto a las condiciones iniciales.
En la sección de Poincaré se produce un error de representación del programa que se
observa en la esquina inferior derecha.
74
Caso 6: Vamos a estudiar el sistema asignando otros valores a los parámetros de la
siguiente manera:
44
4
Tomando a=1 obtenemos la siguiente órbita:
Orbita en perspectiva 3D:
75
Proyección sobre el plano (x, y).
Proyección sobre el plano (x, z).
76
Proyección sobre el plano (y, z).
Sección de Poincaré x=0.
Podemos observar que la órbita obtenida se asemeja a un atractor caótico es decir,
aperiódico y con sensibilidad con respecto a las condiciones iniciales.
En la sección de Poincaré se produce el mismo error que en el caso anterior.
77
6. Anexo: Documentación de Dynamics Solver.
Introducción
Dynamics Solver es un software que resuelve numéricamente problemas de valores
iniciales y condiciones de contorno para sistemas dinámicos discretos y continuos:
Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden arbitrario.
Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.
Sistemas dinámicos discretos en forma de mapas iterados en dimensiones
arbitrarias.
Dynamics Solver es una herramienta poderosa para estudiar ecuaciones diferenciales,
sistemas dinámicos no lineales tanto continuos como discretos, caos determinista, etc.
Por ejemplo, se puede representar secciones del espacio (incluyendo el campo
vectorial), mapas de Poincaré, exponentes de Liapunov, histogramas, diagramas de
bifurcación, etc. Los resultados pueden ser observados (en perspectiva o no) desde
cualquier dirección y pueden analizarse subespacios particulares.
Dynamics Solver es extensible: pueden añadirse nuevas funciones matemáticas y
códigos de integración.
También tiene todas las ventajas de programas de Windows, incluyendo facilidad de
uso, la posibilidad de abrir simultáneamente varias ventanas de representación y la
cantidad de memoria que permite analizar problemas más complejos. Además hay
muchas formas de imprimir y exportar resultados.
78
Manejo y funcionamiento
Para comenzar a utilizar el Dynamics Solver lo primero que se tiene que hacer es
definir la ecuación o sistema de ecuaciones con el que se quiere trabajar. Para ello, al
abrir el programa, debemos ir a Edit y pulsar en Type, llegando a la siguiente pantalla:
En este paso debemos definir si es una ecuación o sistema de ecuaciones y el orden del
mismo.
El siguiente paso es definir las variables que van a componer el sistema de ecuaciones.
Para ello en la barra de herramientas pulsamos Edit y posteriormente en Variables,
apareciendo la siguiente pantalla:
79
Aquí debemos definir la variable independiente y el resto de variables del sistema.
A continuación, bien en la pestaña Parameters o bien desde el principio pulsando en
Edit y posteriormente en Parameters, procedemos a definir los parámetros:
Definiremos el nombre del parámetro a la izquierda y el valor que le queremos asignar
a la derecha.
80
Una vez definidos las variables y los parámetros del sistema procedemos a definir las
ecuaciones que componen el sistema. Para ello en la pestaña Equations o bien
pulsando en Edit, Equations, llegamos a la siguiente pantalla:
Escribimos la primera ecuación que compone al sistema y pulsamos sobre la barra
lateral de la izquierda para proceder a escribir la siguiente ecuación.
Definido ya el sistema podemos asignar los valores iniciales, del mismo modo que
hemos hecho anteriormente; bien pulsando en la pestaña de Initial Values o bien
pulsando sobre Edit, Initial Values.
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Definimos tanto el valor inicial para la variable independiente (la primera casilla) como
para las variables dependientes que habíamos definido anteriormente (la segunda
casilla).
Asignados ya todos los valores y definido el sistema podemos comenzar a configurar
las ventanas de representación.
Para ello pulsamos en Output en la barra de herramientas y posteriormente en New
graph window, apareciendo lo siguiente:
82
En la pestaña Expresions podemos definir el área de representación que deseamos,
asignando los valores máximos y mínimos de los ejes. Para ello previamente debemos
escribir el nombre de nuestra variable en las casillas intermedias, llamadas Horizontal
axis y Vertical axis. La pestaña de Title nos sirve para nombrar a la ventana, por
ejemplo, si lo que queremos es representar x frente a y, podemos llamarla Proyección
x-y. Además en esta ventana podemos definir el error con el que queremos que la
gráfica sea representada en la correspondiente casilla de error.
En el caso de querer representar la sección de Poincaré debemos seleccionar la opción
Poincaré section, y alguna o ambas opciones llamadas Increasing y Decreasing. Estas
dos últimas opciones hacen que en la sección de Poincaré aparezca los puntos que
cortan al plano que representamos de forma creciente, si pulsamos Increasing, o bien
los puntos que cortan al plano de forma decreciente, si pulsamos Decreasing, o ambos
en caso de pulsar ambas opciones. Sin embargo esta última opción (Pulsar Increasing y
Decreasing) no se recomienda ya que el programa para intentar hacernos más visible
83
la representación, une los puntos formando una curva que en el caso que comentamos
puede dar lugar a confusión.
Posteriormente podemos dibujar los ejes o algún otro elemento si lo deseamos
pulsando la opción Draw en la barra de herramientas, seguido de New element, o Edit
element si queremos editar uno que ya habíamos creado.
84
Si por ejemplo seleccionamos axes para dubujar los ejes:
Podemos determinar el tamaño de letra en Height y Width, o por ejemplo el color.
Una vez creada la pantalla de representación deseada, podemos continuar creando
más, si deseamos tener varias pantallas de representación o bien podemos proceder a
simular con el programa pulsando el botón start:
85
Y el botón Stop para finalizar la simulación:
86
Una vez simulado podemos cambiar los parámetros para ver como se comporta el
sistema. Para ello podemos limpiar las pantallas pulsando sobre el siguiente botón:
El de la izquierda borrará solo la pantalla seleccionada mientras que el de la derecha
borrará todas las pantallas.
87
6. Bibliografía
http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/loaiza_r_m/capitulo3.pdf (Tutorial sobre Sistemas Dinámicos) W. P. M. H. Heemels, M. Kanat Çamlıbel, y J. M. Schumacher(MARCH 2002), “On the Dynamics Analysis of Piecewise-Lineal Networks”, IEEE TRANSACTIONS ON CIRCUITS AND SYSTEMS—I: FUNDAMENTAL THEORY AND APPLICATIONS, VOL. 49, NO. 3, http://www.mate.tue.nl/mate/pdfs/6004.pdf
Jean-Luc Gouzé, “A class of piecewise-linear differential equations arising in biological models”, COMORE, INRIA, Francia http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.5.3267
http://tp.lc.ehu.es/jma/ds (Documentación de Dynamics Solver)