DEPARTAMENTO DE EDUCACIÓN MATEMATICA

PROFESOR SERGIO LEIF TORRES BALCHEN

1. INTRODUCCION

Estudiaremos algunas de las distribuciones de probabilidad que son usadas frecuentemente en la teoría y las aplicaciones de la estadística. También estudiaremos sus elementos característicos, que serán deducidos usando los métodos más adecuados según sea el caso, para dar al estudiante experiencias en las aplicaciones de los diversos métodos y técnicas estadísticas y matemáticos correspondientes.

2. DISTRIBUCION UNIFORME DISCRETA.

Definición.Si la variable aleatoria discreta X asume los valores x 1 , x 2 , x 3 ,…..x k con igual probabilidad, entonces sigue una distribución uniforme discreta con función de cuantía dada por:

Observación.i) k es el parámetro de la distribución ya que es variable en la familia de

funciones de probabilidad, pero constante para una función particular.ii) X U ( k ) denota el hecho de que la variable aleatoria discreta sigue

una distribución uniforme discreta de parámetro k.iii) No siempre es posible determinar analíticamente la función de distribución.

La figura siguiente muestra el gráfico de la función de cuantía

f (x)

x1 x2 x3 x4 x5 x6 ............ xk x

Ejemplo.Se selecciona un empleado de un grupo de diez para supervisar cierto proyecto, seleccionando una ficha al azar de una caja que contiene diez fichas numeradas del uno al diez. Determine:

2

i) la función de cuantíaii) la probabilidad de que el número seleccionado sea mayor que cuatro y

menor que nueve:

Solución.i) De acuerdo al supuesto de equiprobabilidad, cada ficha, en la caja, tiene la

misma probabilidad de ser seleccionada. Por lo tanto:

Teorema.Si X U ( k ) , entonces

Demostración.

Ejemplo.Para la distribución del ejemplo anterior, calcule la esperanza y la varianza.

Solución.

3

Ejercicio.Si la variable aleatoria X sigue una distribución uniforme discreta, tal que:

Demuestre que su valor esperado es y su varianza es

3. DISTRIBUCION DE BERNOUILLI

La distribución de Bernouilli se caracteriza por:

i) Es generada por un experimento aleatorio dicotómico, cuyo espacio muestral está formado por dos sucesos "éxito", E, y "fracaso", E C.

= ii)

Definición.Se define la variable aleatoria discreta, X, como:

4

De acuerdo a la definición, se tiene que:

P ( X = 0 ) = f ( 0 ) = P ( E C ) = 1 - p = qP ( X = 1 ) = f ( 1 ) = P ( E ) = p

Definición.La función de cuantía de una variable aleatoria discreta X que sigue una distribución de Bernoulli, es:

Observación. b ( p ) denota el hecho de que una variable aleatoria discreta sigue una

distribución de Bernouilli de parámetro p

Teorema. Si X b ( p ) , entonces

i) = E( x ) = p ii) 2 = Var ( x ) = p ( 1 - p ) = p q iii) la función generadora de momento es .

Demostración.

Ejemplo.Se tiene un experimento de Bernoulli, cuando: se selecciona un alumno de un curso se selecciona un producto de una línea de producción se observa el sexo de un recién nacido

4. DISTRIBUCION BINOMIAL

La Distribución Binomial se caracteriza por:

5

i) Está basada en un experimento aleatorio dicotómico, con las mismas características que en la Distribución de Bernoulli.

ii) El experimento se repite en forma independiente "n" veces y P ( E ) = p permanece constante de repetición en repetición.

La variable aleatoria X es "el número de éxitos en las n repeticiones independientes del experimento".

. De esta manera Rec X = { 1, 2, 3,….., n }

Observación.El hecho de que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros "n" y "p", se denota por X B ( n , p ).

DefiniciónSea X una variable aleatoria discreta tal que X B ( n, p ) , entonces la función de probabilidad es:

Ejemplo.La probabilidad de que un vaso resista una prueba de impacto es 0.75. Calcule la probabilidad de que, en cuatro vasos elegidos al azar:

a) dos resistan el impacto.b) a lo más dos resistan el impacto.c) entre uno y tres inclusive resistan el impacto.d) más de dos resistan el impacto.

Solución.En este problema es “número de vasos que resistan el impacto”.

Rec = 0,1,2,3,4 ; n = 4 ; p = 0.75

Por lo tanto X B ( 4 , 0.75 )

a) = 0.2109

b)

6

= 0.0039 + 0.046 + 0.2109 = 0.2617

c)

= 0.0469 + 0.2109 + 0.421 = 0.6797

d)

= 0.4119 + 0.3164 = 0.7283

Observación.i) Las características de un experimento aleatorio binomial son:

Consta de "n" repeticiones independientes. Cada repetición (ensayo o intento) tiene un resultado que puede clasificarse

como éxito o fracaso. La probabilidad de éxito, indicada por "p", permanece constante de ensayo

en ensayo La distribución Binomial se usa para resolver problemas de extracciones con reposición.

Teorema. Si X B ( n , p ) , entonces:

i) M X ( t ) = ( q + p et ) n

ii) = E [ x ] = n p y 2 = Var [ x ] = n p q

Demostración.

7

Ejemplo.1. La probabilidad de que un paciente se recupere de una enfermedad sanguínea

es 0.4. Si se sabe que 15 personas han contraído esta enfermedad.a) Determine el número esperado de sobrevivientes y la varianza.b) Calcule la probabilidad de que el número de pacientes que se recuperan de la

enfermedad difiera de su valor esperado, en menos dos veces la desviación estándar.

Solución.

B( 15 , 0.4 ) y Rec = { 0,1,2,….,15}

a) = n p = = 6

Se espera que en promedio 6 pacientes se recuperen de la enfermedad

2. Sea una variable aleatoria que sigue una distribución binomial con parámetros n y p. Mediante la función de probabilidad binomial, verificar que:

f ( n – x, n , 1 – p ) = f ( x, n, p )

Solución. Por definición se tiene que:

f ( n –x, n, 1 – p ) =

=

3. Sea una variable aleatoria que sigue una distribución binomial con ( X ) = 2 y de Var ( X ) = 4/3. Hallar los parámetros de la distribución de X.

Solución. E( X ) = n p = 2

8

Var ( X ) = n p q = 4/3 2 q = 4/3 q = 2 / 3 p = n = 6

Por lo tanto B ( 6, 1/3 ).

5. DISTRIBUCION DE POISSON

Los experimentos que resultan al observar el número de ocurrencias independientes del suceso éxito durante un intervalo de tiempo, espacio o área, etc. se llaman experimentos de Poisson.

Algunos ejemplos típicos son: Número de automóviles que pasan por una plaza de peaje en una semana. Número de personas que llegan a un supermercado en una hora. Número de llamadas recibidas en una central telefónica cada diez minutos.

Definición.Sea X una variable aleatoria que representa el número de sucesos independientes que ocurren en un intervalo de longitud fija. Se dice entonces que la variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson de parámetro con función de cuantía dada por:

donde es el número medio de sucesos que ocurren por unidad de tiempo, espacio o área, etc.

Observación.i) X P ( ) denota el hecho de que la variable aleatoria X sigue una

distribución de Poisson de parámetro .iii) El parámetro es proporcional a múltiplos u submúltiplos de las unidades de

tiempo espacio o área, etc.

Ejemplo.En un supermercado llegan en promedio 4 clientes por minuto. Determine la probabilidad de que:i) lleguen dos clientes en un minuto.ii) al menos un cliente llegue en medio minuto,

Solución.

9

Luego X P ( 4 )

Teorema.

Si X P ( ), entonces . Además

E ( x ) = y Var ( x ) =

Demostración.

.

Donde es la unción de cuantía de una variable aleatoria de

Poisson de parámetro . Por lo tanto la suma sobre todo su recorrido es 1

10

Teorema.Si X B ( n, p ). Cuando n , p y = n p

permanece constante, entonces X P ( )

Demostración.

Ejemplo.La probabilidad de que una manzana de exportación tenga defectos es de 0.001. Se reciben 10.000 manzanas y se sabe que las manzanas defectuosas no se pueden exportar.i) Calcule la probabilidad de que:

a) no se pueda exportar exactamente tres manzanasb) no se pueda exportar más de tres manzanasc) no pueda exportar entre una y cinco manzanas

ii) ¿Cuántas son las manzanas que espera exportar?

Solución.Se puede usar la distribución de Poisson, ya que n , luego el valor de es y X es el número de manzanas que no se pueden exportar.

6. DISTRIBUCIOÓN GEOMÉTRICA.

En relación con repetidos independientes de experimento de Bernoulli, algunas veces interesa el número de repeticiones hasta obtener el primer éxito.

11

Ejemplo.Se puede estar interesado en la probabilidad de que: el décimo niño expuesto a una enfermedad contagiosa sea el primero en

contraerla la quinta persona en escuchar un rumor sea la primera en creerlo.

La variable aleatoria discreta X se define como “el número de repeticiones independientes del experimento de Bernoulli, hasta obtener el primer éxito”.

= lN

Observación.X G ( p ), denota el hecho de que la variable aleatoria discreta X sigue una distribución geométrica de parámetro p.

Definición.Si X G ( p ), entonces la función de cuantía es:

Teorema.Si X G ( p ), entonces F ( x ) = 1 - q x y P ( X > x ) = q x

Demostración.

Teorema.

Si X G ( p ), entonces . Además y

Demostración.

Ejemplo.1. Una empresa de reclutamiento encuentra que el 30% de los aspirantes a un determinado puesto en la industria tienen conocimientos avanzados de

12

computación. Se entrevistan a los aspirantes de uno en uno, para lo cual se selecciona al azar del grupo.i) Calcule la probabilidad de que el primer aspirante con conocimientos

avanzados de computacióna) sea el quinto entrevistadob) esté entre la segunda y sexta entrevista

ii) Suponga que el primer aspirante con conocimientos avanzados en computación que se encuentra se le ofrece el puesto y este acepta. Si cada entrevista cuesta 1,5 U.F., calcule el valor esperado y la varianza del costo total de las entrevistas hasta que se ocupe el puesto.

Solución.Sea X : número de entrevista hasta que se encuentra el primer aspirante con conocimientos avanzados en computación. X G ( 0.3 )

2. En una cierta intersección de calles ocurren en promedio cinco accidentes por mes.

i) Calcule la probabilidad de que en determinado mes ocurran:a) exactamente cinco accidentesb) menos de tres accidentesc) más de cuatro accidentesd) a lo menos dos accidentes y a lo más cinco accidentes

ii) Se seleccionan al azar e independientemente cuatro de estos meses, calcule la probabilidad de que ocurran más de cinco accidentes en:

a) exactamente tres mesesb) más de dos mesesc) menos de tres meses

iii) Calcule la probabilidad de que ocurran más de cinco accidentes, por primera vez en:

a) el cuarto mesb) a lo más tres meses

13

c) a lo menos el quinto mes

Solución.

Y B ( 4 , 0.38404 ) ,

G ( 0.38404 ) f ( z ) =

7. EJERCICIOS.

1. Si la variable aleatoria X sigue una distribución uniforme discreta con función de probabilidad f (x) = 1/k para x = 1, 2, 3, …, k, demuestre que

i)

ii)

2. Para dirigir un proyecto se selecciona uno de quince ingenieros comerciales, de la siguiente manera: se escriben los nombres de los ingenieros en ficha

14

numeradas del 1 al 15, las que se introducen en una caja y luego se selecciona al azar una ficha. Determine:

i) la función de probabilidad.ii) la probabilidad de que el número de la ficha seleccionada sea mayor que 3

y menor que 8.iii) la probabilidad de que el número de la ficha sea mayor 7.iv) la esperanza y la varianza. 3. Una máquina produce cierto tipo de piezas de las cuales el 5% son

defectuosas. Se seleccionan aleatoriamente 5 piezas. i) Calcule la probabilidad de obtener:

a) exactamente una pieza defectuosa.b) por lo menos una pieza defectuosa c) a lo más dos piezas defectuosasd) entre 2 y 4 piezas defectuosas

ii) ¿Cuál es el número esperado de piezas defectuosas? ¿ Con qué variabilidad?

4. La probabilidad de que un presunto cliente haga una compra es de 0.2 . Si un vendedor visita a seis presuntos clientes

i) ¿Cuál es la probabilidad de que de que haga cuatro ventas?ii) ¿Cuál es la probabilidad de haga cuatro o más ventas?iii) ¿Cuál es la probabilidad de que haga a lo menos tres compras?iv) Calcule la esperanza y la varianza del número de compras

5. De un conjunto muy grande de productos, el 40% son defectuosos. Se seleccionan aleatoriamente doce de esos productos.

i) ¿Cuál es la probabilidad de que no más de cuatro sean defectuosas?ii) ¿Cuál es la probabilidad de que más de cinco sean defectuosas?iii) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente nueve sean defectuosas?iv) Calcule es número esperado de productos defectuosos y la desviación

estándar

6. Una empresa informa que el 30% de las cuentas por cobrar, de otras empresas comerciales, están vencidas. Un contador escoge aleatoriamente veinte cuentas por cobrar.

i) calcule la probabilidad de que:a) ninguna de las cuentas está vencida.b) exactamente diez cuentas están vencidas.c) más de ocho cuentas están vencidas.d) menos de quince cuentas no están vencidas.e) entre dos y once cuentas están vencidas.f) la mayoría de las cuentas están vencidas.i) ¿Cuál es número esperado de cuentas vencidas? Calcule la desviación

estándar de las cuentas vencidas.

15

7. El 40% de los empleados de una empresa participan en el programa de inversión en acciones de la compañía. Se seleccionan aleatoriamente diez empleados, calcule la probabilidad de que:

i) la proporción de participantes, en el programa de inversiones, sea exactamente el 60%.

ii) la proporción de participantes, en el programa de inversiones, sea menos de 0,7.

iii) la proporción de participantes esté entre el 30% y el 90%

8. Demuestre que en una distribución binomial de parámetros n y p. La varianza es máxima cuando p = ½

9. La probabilidad de que una persona que vive en una cierta ciudad posea un computador es de 0.3. Se entrevistan las personas de una en una hasta encontrar a la primera persona que posea un computador. a) Calcule la probabilidad de que:i) la décima persona entrevistada sea la primera que posee un computadorii) se entrevisten más de ocho personas para encontrar a la primera que

posee un computadoriii) se entrevisten menos de cinco personas para encontrar a la primera que

posee un computadorb) Calcule la esperanza y la varianza del número de entrevistas hasta encontrar a la primera persona que posea un computador

10.Un científico inocula varios ratones, uno a la vez, con un germen de una enfermedad hasta que obtiene uno que la ha contraído. Si la probabilidad de contraer la enfermedad es un 1 / 6.

i) ¿Cuál es la probabilidad de que requiera ocho ratones?ii) ¿Cuál es la probabilidad de que requieran más de doce ratones?iii) ¿Cuál es la probabilidad de que requieran menos de cinco ratones?iv) Calcule el valor esperado y la desviación estándar de número de ratones

requeridos

11.Suponga que la probabilidad de que una persona determinada crea un rumor acerca de una actriz famosa es de 0.8. Calcule la probabilidad de que :

i) la sexta persona que escucha el rumor sea la primera que lo crea. ii) la tercera persona que escucha tal historia sea la primera en creerlo.

12.La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para obtener su licencia de piloto privado es 0.7. Encuentre la probabilidad de que una persona apruebe el examen:

i) en el tercer intento.ii) antes del tercer intentoiii) después del segundo intento

16

13.Un explorador de petróleo perfora una serie de pozos en cierta área para encontrar un pozo productivo. La probabilidad de que tenga éxito en una prueba es 0.2.

i) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer pozo productivo sea el tercer pozo perforado?

ii) ¿Cuál es la probabilidad de que el explorador encuentre un pozo productivo si solamente puede perforar a lo más 10 pozos?

14.Se estima que el 60% de una población de consumidores prefiere una marca particular de pasta de dientes A. Calcule la probabilidad de que se entrevistarse a:

i) exactamente cinco personas, para encontrar la primer que prefiera la marca A

ii) más de cinco personas, para encontrar la primera que prefiere la marca Aiii) nueve personas sabiendo que se entrevistaron a más de cuatro

15.Si X es una variable aleatoria que sigue una distribución geométrica de parámetro p, demuestre que:

16.En un banco llegan en promedio siete clientes por hora a la caja buzón. En una hora dada,

a) ¿cuál es la probabilidad de que:i) no lleguen más de tres clientes?ii) lleguen al menos dos clientes?iii) lleguen exactamente cinco clientes?b) Calcule la esperanza y la varianza del número de clientes que llegan a la caja

buzón en una hora.

17.En un aeropuerto se trasladan en promedio 8,5 unidades de equipaje por minuto. Calcule la probabilidad de trasladar 10 unidades de equipaje en un minuto determinado.

18.Seis personas, en promedio, utilizan un autoservicio bancario durante una hora en un almacén de departamentos. Calcule la probabilidad de que, en una hora seleccionada aleatoriamente:

i) exactamente seis personas utilicen el servicio. ii) menos de cinco personas utilicen el servicio.iii) nadie utilice el servicio durante 10 minutos.iv) una persona utilice el servicio durante cinco minutos.

19.El manuscrito de un libro tiene un total de 50 errores en 500 páginas. Los errores están distribuidos aleatoriamente en el libro. Calcule la probabilidad de que:

i) en 30 páginas se encuentren 2 o más errores.ii) en 50 páginas se encuentren dos o más errores.

17

iii) una página seleccionada aleatoriamente no tenga errores.

20.Durante un estudio de inventarios de una tienda se determinó que un artículo se solicita en promedio cinco veces al día. Calcule la probabilidad de que en un día dado, el artículo:

i) se solicite más de cinco veces.ii) no se solicite.

21.Una cierta zona de un continente sufre en promedio seis huracanes por año. Calcule la probabilidad de que en un año dado:

i) sufra menos de cuatro huracanes.ii) sufra entre seis y ocho huracanes.

22.Se sabe que en promedio dos empresas solicitan servicios de auditoria en un período de seis meses. ¿Cuál es la probabilidad de que en el próximo año soliciten más de tres veces los servicios de auditoria?

18