CAPTULO

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Mtodos de solucin de ED de primer orden

2.4 Ecuaciones diferenciales de Bernoullio Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden de la forma

a0(x)y +a1(x)y = f(x)y, conr 7 0, l.

se denomina ecuacin diferencial de Bernoulli.

Es claro que, si r = 0, entonces tenemos una ecuacin diferencial lineal

o(x)y' + a1(X)y = f(x)y ao(x)y' + a1(X)y = f(X).

Tambin, si r = l, entonces tenemos una ecuacin diferencial linealao(x)y + a1(x)y = f(x)y => ao(x)y + a1(x)y - f(x)y = 0 =>=> o(x)y' + [a1(X) - f(X)]y = 0 =>=> a0(x)y + h(x)y = 0.Ejemplo 2.4.1 Las siguientes ecuaciones dzferenciales son de Bernoulli:l 1 2 -11. 2y +y =x y ;donde r =1.x2. y2xy = x3y5; donde r = 5.

l l3. xy+x5y =xy2;d0nde r =

4. 5y3 dx y2(2x + y2x4) dy = 0.

l.canel 513% y2(2x + y2x4) = 0 =>d dSysdl :y2(_2x+y2x4) z} Sysx :_2y2x+y4x4 z}y ydz} Sys +2y2X Z y4x4,

que es una ecuacin diferencial de Bernoulli para x en funcin de y, con r = 4.

2.4.1 Resolucin de la ecuacin diferencial de Bernoullio Una ecuacin diferencial de Bernoulli:o(x)y ' + a1(X)y = f(x)yr, Con r 7 0,1,se puede convertir en una ecuacin diferencial lineal realizando el siguiente procedimiento:l. Si se multiplica la ED por y" , se obtiene:ao(x)y_ry' +a1(X)y1_r = f(X)- (2-1)2. Dado que se busca una ED lineal, esto nos sugiere el cambio de Variable:u = yF . (2.2)3. Derivando con respecto a x:u = y1 = (1 -r)yy => 1 u = yy. (2.3)dx l r

Utilizando en (2.1) las dos condiciones anteriores (2.2) y (2.3), obtenemos:

n +a1(x)u = f(x).l-r

Esta ltima expresin es una ecuacin diferencial lineal para u en funcin de x.(La Variabledependiente en este caso es u.)

4. Esta ecuacin diferencial se resuelve con el mtodo de la seccin anterior. Posteriormente se

reemplaza en la solucin general obtenida la Variable u usando u = yl; obtenemos as la

solucin general de la ED original.lEjemplo 2.4.2 Resolver la ED Zy + y = x231.xV En esta ED de Bernoulli se tiene que r = l. Multiplicando por y = y_(_1) = y:

1 1y 2yy + yz = x2. (2.4)

Haciendo el cambio de Variable:

2.4 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli 3

Derivando con respecto a x:

du! = Eyz = Zyyr.

Utilizando las dos condiciones anteriores en (2.4), obtenemos:l 1 2u + u = x . (2.5)x

Esta ltima expresin es una ecuacin diferencial lineal (para u en funcin de x) cuyo proceso de resolucinse presenta a continuacin:

lSe tiene que p(x) = . Calculando un factor integrante L(x):x

Mzefpuixzefdxzelnxzx.

Multiplicando por L la ecuacin diferencial (2.5) y aplicando la igualdad conocida:x(u + = x3 (xu) = x3.x

Integrando:

l l[(xu)'dx=[x3dx => xu+C1 = Zxl-j-C; => xu: Zxl-j-C.Despejando u y sustituyendo por yz, se obtiene:

1 C 1 Cu=x3+ => y2=x3+.4 x 4 x

Esta ltima expresin es la solucin general de la ecuacin diferencial de Bernoulli.

Ejemplo 2.4.3 Resolver la ecuacin diferencial y 2xy = x3y5.V Se tiene una ED de Bernoulli con r = 5. Multiplicando por y = y_5 :

y5(y - 2xy) = (x3y5)y5 => y5y - 2xy = x3. (2.6)

Haciendo el cambio de Variable:

Derivando con respecto a x:

l d 4__

l= _ 4 5 l l Z 5 l hdxy y y _4 y yUtilizando las dos condiciones anteriores en (2.6), obtenemos:

lu2xu = x3.

Hemos obtenido una ecuacin diferencial lineal, la cual se resuelve a continuacin.Multiplicando por 4, para normalizar

u + Sxu = 4x3, (2.7)se tiene que p(x) = 8x. Calculamos un factor integrante L(x):

M:efp(x)dxzef8xdxze4x2h

4 Ecuaciones diferenciales ordinarias

Multiplicamos por L la ecuacin diferencial (2.7) lineal y aplicamos la igualdad conocida:4x2 ; 3 4x2 2 3 4x2e (u +8xu) = 4x e (3496 u) = 4x e .

Integrando:

[(e4x2u)dx = [4x3e4x2 dx. (2.8)Resolvemos la integral del lado derecho aplicando integracin por partes.l[4x3e4x2 dx = [x2e4x28x dx:2 \ u=x2 du=2xdx;l l(uv [vdu) = (x2e4x2 [e4x22x dx) = dv = e4x28x dx z; 1) = e?l l= x2e4x2 [e4x28x dx =2 41 2 4x2 1 4x2= __ _ _ c =2(x e 4e + 24x2 l 2 l)= + C .e ( 2X + 8 2Sustituyendo en (2.8), obtenemos:e4x2u + C1 = e4x2 lx2 +1 + C2 => e4x2u = e? lx2 +1 + C.2 8 2 8Despejando u y sustituyendo por y:l l _ _ l l _u: (x2+g)+Ce 4x2 y y 4: (x2+g)+Ce 4x2,que es la solucin general de la ecuacin diferencial de Bernoulli.

Ejemplo 2.4.4 Resolver la ecuacin diferencial xy + x5y = xSylV Para esta ecuacin de Bernoulli se tiene que r = Multiplicando todo por y" = j/:y%(xy + x5y) = (x5y%)y% => xy + x55 = x5. (2.9)Realizando el cambio de variable:u _ yl-r : yl- z yDerivando con respecto a x:u, : : y-y 2M : y-ydx 2 'Utilizando las dos condiciones anteriores en (2.9), obtenemos:2x14 + x514 = x5,que es una ecuacin diferencial lineal. Para hallar la solucin, dividimos entre2x, para normalizar:l lu + 5x4 4 (2.10)

u=x.2

2.4 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli 5lEncontramos que p(x) = 5x4. Calculamos un factor integrante }L(X)2M:efp(x)dx M:ef%x4dx:e110x5.Multiplicando por L la ecuacin diferencial lineal (2.10) y aplicando la igualdad conocida:x5 4 x51 4 1 5 1 x5 4e10 u+ x =g1o Ex (emxuj 25310 x_Integrando:l[Qlxsuydx = -[el5x5x4 dx. (2.11)Resolviendo la integral del lado derecho por sustitucin:l l1 s t=x5=>dt(x4)dxfelox x4dx; / 10 2Z fexsldx 2Lxs=[e'dt=e'=e10 +C.Sustituyendo en (2.11):(Dxsu = ellxs + C.Despejando u y sustituyendo por y, obtenemos:u = 1+ Ce_11_0x5 => y = 1+ Ctxs,que es la solucin general de la ecuacin diferencial dada.El

Ejemplo 2.4.5 Resolver la ecuacin diferencial 5y3 dx y2(2x + y2x4) dy = 0.

V Como vimos anteriormente [ejemplo 2.4.1, pgina (l)], Considerando a y como lavariable indepen-

diente, podemos transformar la ecuacin diferencial endSysl + Zyzx Z y4x4,dy

que es una ecuacin diferencial de Bernoulli para x en funcin de y, con r = 4.

Multiplicamos por x_ = x4:

d dx-Sys + Zyzx) Z (y4x4)x4 z} Sysxq +2y2x3 Z y4_

Realizando el cambio de variable:

Derivando con respecto a y:

(2.12)

6 Ecuaciones diferenciales ordinarias

Aplicando las dos ltimas condiciones en (2.12), se obtiene:_ 3 r 2 _ 43 y u + 2y u y .

que es una ecuacin diferencial lineal, para u en funcin de y, cuya solucin buscamos.

5Ahora se divide entre 3y3, para normalizar la ED6 l 3u()u=y. (2.13)

6 lSe tiene que p(y) = g Calculamos un factor integrante L(y):

_l _ l gf Sydyzg Sfydyzfslnyzy

UIIO

Mzefpmdy Z} M23

Multiplicando por L la ecuacin diferencial lineal (2.13) y aplicando la igualdad conocida:

_g , 61 _g 3 6 r 3_l

Integrando:43)}? _6 4[0 5M) dy[y dy => y 3M+C1=-ET+C2 => y 3u=y3+C5Despejando u y sustituyendo por x_3 obtenemos:u = %y2 + Cyg => x3 = %y2 + Cyg,

que es la solucin general de la ecuacin diferencial de Bernoulli.

Ejercicios 2.4.1 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli. Soluciones en la pagina 7Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.

1.y+y=xy2. 9.y+xy=xy2.2. y3y=xy4. lO. yx2y=x2y4_ _ d

3- X 3X -3- 11. 3(1+x2)% =2xy(y3l).

l4.x+-x=x3. d

5 12.2y=2,cony(1)=1.5. s+7s=rs7. dx X y

d

6. r2r=sr1. 13- y%%+y%=1, C0ny(0)=4-7- xzylxy=x_7y- 14. e"(yy)=y2.

8. x3y+x2y=x7y%. 15. y2dx+(xyx3)dy=0.

2.4 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli

Ejercicios 2.4.1 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli. Pagina 6

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l. y_1=x1+l+Cex. 9_y1=1+CeX7_l2. y5=3(x+E) +Ce15x. 10. y5=_1+Ce%x3_l3- "-2 = 3Q "l + cf 11- 1

y = m-4 3/1 +c(l +x2)4. x4 =5+Ce_t. 3 2 g

1 1 12. y =3x +cx2.5. s- = r + T4 +Ce42r.

MIN

31 1 13. y= (1+7ex) .6. r2 =sg+Ce4S.

27. yi =17X\8+Cx%. 14' y = Cexex'L 1 _ 2_ 3V8. y4 =21x5+Cx 4. 15- X