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Tema EcuacionesEcuaciones de Grado Mayor que Dos
Profesor Juan SanmartínMatemáticas
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Bicuadradas. De grado mayor que dos. Con radicales. Con X en el denominador
Ecuaciones Bicuadradas
024 cbxaxGrado del polinomio
La forma de una ecuación bicuadrada es:
Puede presentar los casos que hemos visto en la ecuación de segundo grado donde b y c son cero, la resolvemos de la siguiente manera:
2xz 42 xz sustituimos
Y obtenemos la siguiente ecuación
02 cbzaz
02 cbzaz
Tenemos ahora una ecuación de segundo grado que resolvemos como hemos visto, teniendo en cuenta los casos particularesa
cabbz
242
acz
aczcazcaz
222 0
0
0002
baz
zbazzbzaz
Una vez que obtenemos el valor de z tenemos que obtener el o los valores de x.
zxxz entonces 2
En una ecuación bicuadrada podemos obtener cero, dos o cuatro soluciones
045 24 xx
Ejemplo
1a Resolvemos entonces la ecuación de segundo grado…
5-b 4c
2
1625512
41455 2
z
0452 zz2xz ssustituimo
42 xz ssustituimo
2
95z
4428
235
11
zz
1122
235
22
zz
Una vez obtenidos los valores de Z, tenemos que obtener los valores de X
zxxz entonces 2
41 z 12 z
241 zx
21 x
22 x
111 zx
13 x
14 x
Obtenemos 4 soluciones
0187 24 xx
Resuelve
1a Resolvemos entonces la ecuación de segundo grado…
7b 18c
2
7249712
181477 2
z
01872 zz2xz ssustituimo
42 xz ssustituimo
2
1217z
992
182
11711
zz
2224
2117
22
zz
Una vez obtenidos los valores de Z, tenemos que obtener los valores de X
zxxz entonces 2
91 z 22 z
391 zx
31 x
32 x
21zx
Ecuaciones de grado mayor que 201213 234 xxxx
Paso 1.- Descomponemos la ecuación en factores.
0411233
0121112111
012112112112111211311
043111213 234 xxxxxxxx
Aplicamos RUFFINI para
factorizar la ecuación
Paso 2.- Obtenemos los factores e igualamos a cero..
04
03
01
01
04311
x
x
x
x
xxxx
404
303
101
101
4
3
2
1
xx
xx
xx
xx
Solución
Ecuaciones de grado mayor que 2
0121233 234 xxxx
Paso 1.- Descomponemos la ecuación en factores.
Aplicamos RUFFINI para
factorizar la ecuación
0443121233 23234 xxxxxxxx
021422
040140114411
02213443 23 xxxxxxxx
Paso 2.- Obtenemos los factores e igualamos a cero..
02
02
01
03
02213
x
x
x
x
xxxx
202
202
101
003
4
3
2
1
xx
xx
xx
xx
Solución
Ecuaciones con radicalesExiste una raíz dentro de la ecuación y la forma de resolverla es la siguiente:
xxx 112 121 xxx
1212 xx 22 1212 xx
124141212 222 xxxxx
Paso 1.- Separamos la raíz para un lado y el resto para otro del igual.
Paso 2.- Elevamos ambos lados al cuadrado para eliminar la raíz.
Paso 3.- Una vez obtenida la ecuación (en este caso de 2º grado) la resolvemos…
0132
0264011244
2
22
xx
xxxxx
2a 3b 1c
4
89322
12433 2
x
4
13x
1x144
413x 11
21x
21
42
413x 22
Resuelve la siguiente ecuación 352752 xxxx
352752 xxxx
22
22 83758375
xxxxxx
xxxx 4864975 22
0574384864975 222 xxxxxx
Una vez obtenida la ecuación8a 34b
57c
161824184943
8257844343 2
x
16
2542x8
198
191638
16543
11
xx
331648
16543
22
xx
057438 2 xx
Ecuaciones con radicales (2 radicales)
Existen dos raíces dentro de la ecuación y la forma de resolverla es la siguiente:
264 xx
Paso 1.- Separamos una raíz para un lado y el resto para otro del igual. (Es recomendable que pasemos al otro lado la negativa para evitar errores con el signo)
Paso 2.- Desarrollamos los cuadrados. Aplicamos identidades notables.
xx 624
22624 xx
xxx 646442
xxx 64644La raíz se va con la potencia.
Paso 2.- Operamos ahora como en el caso de un solo radical separando el radical para un lado.
xxx 64644
xxx 64644
xx 6462 xx 623
22 623 xx xxx 64692
Paso 3.- Elevamos ambos lados otra vez al cuadrado para eliminar el radical.
02494642469 22 xxxxxx
Paso 4.- Una vez obtenida la ecuación1a 2b 15c
2
604212
151422 2
x
2
642x
52
8211
xx
222
8222
xx
01522 xx
Ecuaciones con x en el denominadorSon ecuaciones con fracciones donde la x también está en el denominador:
23
325
x
xx
Paso 1.- Calculamos el m.c.m. para hallar denominador común a ambos lados.
12102322...
22
33
222
xxxxmcmxx
xx
12102
323322
223252
xxxx
xxxxx
12102322 2 xxxx
Tanto una expresión como otra son válidas ya que son iguales
1210218153
322423010
2
22
xxxx
xxxxx
18153423010 22 xxxxx
018304151032 22 xxxxx
0122 xx
12102
323322
223252
xxxx
xxxxx
Paso 2.- Operamos en el numerador y eliminamos el denominador en ambos lados por ser igual.
Paso 3.- Resolvemos la ecuación de 2º grado en este caso.
Paso 4.- Una vez obtenida la ecuación1a 1b 12c
24811
12121411 2
x
2
491x
42
7111
xx
332
7122
xx
0122 xx
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