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Algunas pinceladas históricas,
Sobre la resolución de lai
Ecuación de segundo grado
Pretendemos con este trabajo, dirigido a los alumnos de 4º
curso de la ESO, además de que sepan manejar la ecuación de 2º
grado, desarrollen estrategias heurísticas para su resolución y
para ello hacemos un recorrido informal, no exhaustivo, a través
de la Historia de las matemáticas que ha conducido a la popular
y conocida fórmula. Al mismo tiempo queremos resaltar el gran
esfuerzo que ha supuesto a la humanidad logros aparentemente
“de poca importancia”, para que nuestros alumnos,
acostumbrados a encontrar todo trillado sepan valorar en su
justa medida.
Material: lápiz con goma de borrar incorporada, papel
milimetrado (o cuadriculado), papel “para hacer cuentas”, regla
y compás. Recomendamos tener a mano una calculadora para
determinadas actividades.
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1. Los babilonios
La resolución de las ecuaciones cuadráticas completas parece haber
superado la capacidad algebraica de los egipcios. Sin embargo en 1930 se
descubrió (Otto Neugebauer) que tales ecuaciones habían sido ya
manejadas con gran soltura por los babilonios. Hay un problema[i] en el
que se pide “Hallar el lado de un cuadrado en el que el área menos el lado
es igual a 14,30 (en notación sexagesimal)[ii] Los babilonios operaban con
cantidades heterogéneas, sumaban longitudes con áreas, etc…)
La solución a dicho problema viene explicada por el escriba de la
forma siguiente:
“Toma la mitad de 1 (en sexagesimal 0;30) y multiplica 0;30 por 0;30 que
es 0;15, suma este número a 14,30 y lo que da 14,30;15, es el cuadrado de
29;30. Ahora suma 0;30 a 29;30, cuyo resultado es 30, que es el lado del
cuadrado”.
Naturalmente, la ecuación de segundo grado que se plantea es, con
notación moderna y sistema de numeración decimal:
x2-x-870=0
Si los alumnos resuelven esta ecuación traduciendo previamente la
notación sexagesimal a la decimal, se darán cuenta que el escriba ha
utilizado la fórmula, aunque ha obtenido sólo la solución positiva. Lógico
por otra parte al tratarse de un área.
[i] Citado en la pág. 56 de La Historia de las matemáticas, de Carl B. Boyer, Ed.
Alianza Universidad Textos [ii] El sistema de numeración sexagesimal utilizado por los babilonios, teóricamente
tendría que tener 59 dígitos, sin incluir el cero. Actualmente un número escrito en ese
sistema, se ha convenido escribirlo, separando cada dos cifras por comas y la parte
decimal por punto y coma. Nótese que no puede haber dos cifras seguidas, que formen
par, mayores que 59. Ejemplo 12,45;30,28 = 12*60+45+ 30/60+28/60
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2. Euclides
En realidad este apartado, no trata directamente de dicha ecuación, sino que
aparece de rebote. Se trata de hallar la proporción áurea por el método de
Euclides.
De la edición facsímil de:
LOS SEIS LIBROS
PRIMEROS DE LA GEOMETRÍA
DE EVCLIDES.
Traduzidos en lengua Española por Rodrigo çamorano Astrólogo
y Mathemático, y Cathedrático de Cosmographía por
su Magestad en la casa de la contratación de Sevilla
Dirigidos al ilustre señor Luciano de Negrón
Canónigo de la santa iglesia de Sevilla
1576
Estudio introductorio y notas
de José María Sanz Hermida.
Ediciones Universidad de Salamanca
“En los elementos de Euclides, proposición II.11: Cortar una recta
dada, de manera que el rectángulo comprendido entre la recta entera y uno
de los segmentos sea igual al cuadrado del otro segmento".
Afortunadamente también, en la página 81 de la Historia de las
matemáticas, de Carl B. Boyer nos encontramos con este trabajo. Allí lo
vemos mejor: “En los elementos de Euclides II,11, para dividir un
segmento en media y extrema razón, en primer lugar construye Euclides el
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cuadrado ABCD del lado AB (ver figura), divide AC en dos partes iguales
mediante el punto E. Traza el segmento EB y extiende el segmento CEA
hasta F, de manera que EF=EB y, por último, obtiene el punto buscado H
completando el cuadrado AFGH; se comprueba que H nos resuelve el
problema mostrando fácilmente que AB/AH = AH/HB”.
Se llega fácilmente a la proporción áurea, considerando, si AC = 2,
Por tanto:
Cualquier estudiante aventajado de 3º de E.S.O., puede darse cuenta que
cualquiera de esas fracciones puede transformarse fácilmente en el llamado
número áureo:
¿Y dónde aparece aquí la ecuación de segundo grado? Si no utilizamos el
teorema de Pitágoras FA es desconocido, y lo llamamos x, por tanto:
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de donde sacamos la ecuación de segundo grado,
x2-2x-4 = 0
Resolviéndola llegamos al resultado anterior, tomando la solución positiva.
No hace falta señalar, que este proceso puede hacerse para cualquier
cuadrado de lado a
3. Diofanto y Liu Hui
Vamos a dedicar este apartado a un problema planteado por
Diofanto (nacido entre 200-214, fallecido entre 284-298)
y a otro de Liu Hui, que vivió en el reino de Wei,
en el periodo de los Tres Reinos (184-283)
3.1 Diofanto
En los “Libros aritméticos” de Diofanto, (problema 26, libro I) aparece este
problema: “Dados dos números, encontrar otro que multiplicado por cada
uno de ellos dé respectivamente un cuadrado perfecto y la raíz cuadrada de
ese cuadrado perfecto”.
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“Sean 200 y 5 los números dados y en número buscado 1 aritmos[i].
Entonces, si el número buscado se multiplica por 200 unidades, da 200
aritmos, y si se multiplica por 5 unidades da 5 aritmos. Ahora bien, es
preciso que uno de esos números sea un cuadrado perfecto y que el otro sea
la raíz cuadrada de ese cuadrado perfecto; entonces, si se eleva al cuadrada
5 aritmos se obtienen 25 aritmos al cuadrado, que es igual a 200 aritmos.
Dividámoslo todo por el aritmos; se sigue de ello que 25 aritmos son
iguales a 200 unidades, y el aritmos resulta ser 8 unidades, lo que acopla el
enunciado”
Actualmente, es un problema elemental de E.S.O. Si nos dan 200 y 5 y el
número que nos piden x, tendríamos que (5x)2=200x, simplificando x
2=8x,
con lo x=8, excluyendo la solución x=0.
En el libro “Aritmética en nueve secciones”, recopilación china de trabajos
anteriores a nuestra era, comentada e interpretada por Liu Hui en el siglo II
aparece este problema: “Existe una puerta cuya altura y anchura son
desconocidas, y existe una vara de longitud también desconocida. Sólo se
sabe que la vara es 4 pies más larga que la anchura de la puerta y dos pies
más que su altura y además la vara es igual de larga que la diagonal de la
puerta. Se pide averiguar las tres longitudes”.
3.2 Liu Hui
La anchura de la puerta se obtiene sumando lo que exceda la vara de la
altura y la raíz cuadrada del doble producto de los dos excesos. Esta última
cantidad, sumada ahora a lo que exceda la vara de la anchura, nos da la
altura de la puerta, y si la sumamos a los dos excesos, nos da la longitud de
la vara:
Anchura: 2+RC(2.4.2)[ii]=2+4 = 6 pies
Altura: 4+RC(2.4.2)=4+4= 8 pies
Vara: 2+4+RC(2.4.2)=10
Con notación actual la solución, utilizando el teorema de Pitágoras es: si x
es la longitud de la vara, x-4 es la anchura de la puerta, x-2 la altura.
Luego:
x2= (x-2)
2+(x-4)
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Operando llegamos a x2-12x+20 = 0, podíamos resolver esta ecuación y
desechar la solución x=2, por dar una solución negativa para la anchura y
una altura cero, con lo que no hay puerta; pero mejor es sumar 16 en cada
miembro, con lo cual: x2-12x+36=16, o lo que es lo mismo:
(x-6)2=16, con lo que x-6 = 4, por tanto x=10
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Trasladando de forma genérica este problema a nuestro tiempo podíamos
enunciarlo así: “La diagonal de una puerta excede en a unidades a su
anchura y en b unidades a su altura. Calcúlese sus dimensiones”.
Si x es la diagonal, planteando la ecuación por el teorema de Pitágoras,
cualquier estudiante espabilado de secundaria llega a que
x= a+b+RC(2ab)
[i] Nombre que da Diofanto a la incógnita
[ii] Raíz cuadrada
4. Al-Khowarizmi
En la traducción latina del “Álgebra” de Al-Khowarizmi se expone la
solución de los seis tipos de ecuaciones que resultan al considerar
simultáneamente en presencia de los tres posibles tipos de cantidades:
cuadrados, raíces, números, (es decir, x2, x y números (a)) tal como
expresaba Abu-Kamil Shoja ben Aslam[1], matemático ligeramente
posterior:
“La primera cosa que es necesaria para los estudiantes de esta ciencia (el
álgebra) es la de entender las tres especies que menciona Mohammed Ibn
Musa Al-Khowarizmi en su libro. Estas son las raíces, los cuadrados y los
números”.
Las ecuaciones clasificadas son las siguientes:
1. Cuadrados igual a raíces. En notación moderna 5x2=3x, x=3/5, excluye la
solución x=0
2. Cuadrados igual a números
3. Cuadrados y raíces igual a números
4. Cuadrados y números igual a raíces. En este caso se propone un
ejemplo: x2-21=10x, en el que se calculan las dos raíces, x=3 y x=7,
obtenidos a partir de la regla
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llamando la atención de lo que nosotros llamamos discriminante de la
ecuación, que tiene que ser positivo
5. Raíces y números igual a cuadrados
6. Raíces y números igual a cuadrados perfectos (el coeficiente de x2 es uno)
advirtiendo de que si este coeficiente no es uno, se debe reducir la ecuación
a esta forma dividiendo ambos miembros por este coeficiente.
En todos los casos se dan recetas para completar o modificar el cuadrado
tal como veremos a continuación: en la ecuación x2+bx=c, 0<c, traza Al-
Khowarizmi un cuadrado para representar x2 y sobre los cuatro lados,
construye cuatro rectángulos de b/4 unidades de ancho, añadiéndole cuatro
cuadrados en las esquinas, de área b2/16, cada uno. Por tanto el cuadrado
nuevo tiene de área c-b2/4,
a partir de aquí, no es difícil ver que
De hecho es lo que hacemos para resolver la ecuación de segundo grado,
obsérvese, que hemos aplicado, sin darnos cuenta, la fórmula, pues a=1.
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5. Descartes
Descartes en el primer capítulo de “la Geometrie”, propone este método geométrico,
para resolver ecuaciones de segundo grado de la forma x2-bx-c=0, b y c positivos.
Tomado de “La Historia de la matemática”, de Carl B. Boyer, Ed. Alianza
Universidad
Constrúyase el triángulo rectángulo LMN, con base , LM = Raíz
cuadrada(c), NL= b/2, constrúyase una circunferencia con centro en N y
radio NL. Esta circunferencia corta en P a NM y en O a su
prolongación (En la ilustración “a” equivale a “b” y “c” a “b2”
)
La solución a dicha ecuación es OM (PM es la otra solución, que Descartes
llama “falsa raíz”)
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5. En nuestros días
5.1 Por iteración
Supongamos conocidas las soluciones de la ecuación x 1 y x2: Si
factorizamos el trinomio, nos queda:
ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2) = a(x
2-(x1+x2)x+x1x2) = 0,
e identificando coeficientes, llegamos a ,
La segunda de estas dos igualdades nos servirá para intentar resolver por
iteración la ecuación, aunque hay que hacer uso de la calculadora:
Si en la ecuación general ax2+bx+c=0, pasamos al segundo miembro c y
sacamos factor común x, en el primero, nos queda: x(ax+b) = -c, hacemos
la “chapuza” de despejar x, llegamos a:
Ahora damos un valor a x en el denominador, con lo que obtenemos otro
valor a la x despejada, que llamaremos x1, con este valor hallamos x2 =
c/ax1, con este valor volveos a repetir el proceso, nos van a aparecer dos
sucesiones, con los valores de x1 y x2 respectivamente, si estas sucesiones
son convergentes, su límite es precisamente x1 y x2, si son divergentes, por
este método no podemos hallar la solución. Podríamos intentar con otro
valor inicial.
5.2 Un sencillo programa en Basic
Allá por los finales de los 80 y principio de los 90, comenzábamos a
introducir la informática en los institutos y hacíamos estas “cosillas” con
mucha ilusión. Muestro aquí un programa, muy deficiente, por cierto; pero
que funcionaba, para muestra sobre todo a las nuevas generaciones, a fin de
que valoren, que las cosas no han surgido por “generación espontánea”.
Este programa, no utiliza la fórmula, que conocen los escolares de 4º de
ESO. Es fácil encontrar programas de ese tipo, por ejemplo en Wikipedia:
https://es.wikipedia.org/wiki/QBASIC
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El que propongo, sacado de viejos apuntes, está hecho por el equipo, de
profesores, llenos de entusiasmo, al que yo pertenecía, y se basa en el
método de iteración propuesto anteriormente es el siguiente:
10 REM SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
20 INPUT “COEFICIENTES” a, b, c
30 PRINT “SI ESTE PROGRAMA NO PARA”
40 PRINT “ES QUE LA ECUACIÓN NO TIENE SOLUCION”
50 PRINT “---------------------------------------------------------“
60 PRINT “SUPONEMOS QUE X=-1610”
70 LET x=-1610
80 LET z= -c/(a*x+b)
90 IF x=z THEN PRINT “la solución x(1) es “ x
100 IF x=z THEN GOTO 150
110 LET x=z
120 GOTO 80
130 STOP
140 CLS
150 LET x2 = c/(x*a)
140 PRINT “Las soluciones son X1= “;x, “X2= “;x2
4.4 Descartes usa el compás. Este apartado, está desarrollado en la entrada,
en este mismo blog, del 13 de septiembre de 2015
EPÍLOGO
Para resolver una ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0, procedemos así:
1.- Sacamos el coeficiente principal, a, factor común: a(x2+(b/a)x+c/a) = 0
2.- Completamos el cuadrado, compensando lo que añadimos a quitamos:
3.- Si lo que hemos compensado para completar el cuadrado es positivo,
tenemos una diferencia de cuadrados, que como es sabido es igual a “suma
por diferencia”:
No es difícil ver, que de aquí sale la famosa fórmula:
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Por el contrario si lo que hemos compensado para completar el cuadrado es
negativo, tenemos una suma de cuadrados y por consiguiente la ecuación
no tiene solución.
[1] Carl B. Boyer, Historia de las Matemáticas, pág. 298
i Este trabajo ha sido realizado por Pedro Becerro Cereceda,
profesor de secundaria, jubilado, de Matemáticas, a partir de borradores, recuperados, de su vida activa, y terminado el 24 de
Enero de 2016, festividad de Nuestra Señora de la Paz.